3-tasasequivalentes

Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas

TASAS EQUIVALENTES Son aquellas que teniendo diferentes efectividad producen el mismo monto en la unidad de tiempo. son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Es decir que las tasas nominales y efectiva son equivalentes cuando producen el mismo efecto, es decir conducen al mismo monto valor futuro. La tasa efectiva es el valor real del Inters que est pagando por una tasa nominal, con una caracterstica en el tiempo del pago de los intereses. La tasa efectiva anual es una forma de realizar una comparacin cuando se presentan alternativas de rentabilidad( costos) con diferentes modalidades de liquidar y pagar los intereses. INVESTIGAR RESOLUCION 060 DE AGOSTO /2000 SUPERINTENDENCIA BANCARIA (Hoy Superintendencia Financiera) Definicin de tasas Tasa efectiva(i). Se puede decir que la tasa efectiva es el costo real del dinero prestado rendimiento real del dinero invertido. El valor de esta tasa depende de la frecuencia de capitalizacin de los intereses , la manera de pagarse estos( anticipados vencidos) y las comisiones que se liquiden. Es la tasa que realmente acta(trabaja) en el ao y se representa con la letra i. Es de resaltar que las tasas efectivas no se dividen por la frecuencia de capitalizacin. Si nos dan una tasa efectiva anual (i) y se desea conocer la tasa del perodo (Mensual, trimestral, etc) el primer paso es obtener la tasa nominal anual equivalente(J) y esta se divide por la frecuencia de capitalizacin determinada(m). Tasa Nominal: La tasa que se da para todo un ao se denomina tasa nominal y la denotamos con la letra J. Esta tasa siempre estar acompaada de la frecuencia de capitalizacin forma de liquidar los intereses. Ej: 10% Capitalizable Trimestralmente(CT),15% CS, 9% CM. Tasa Peridica: Es la tasa que se utiliza en cada perodo y la representaremos con la letra ip y se obtiene al dividir la tasa nominal (J) sobre la frecuencia de capitalizacin (m). Equivalencias Conversiones entre tasas nominales y efectivas 1. De tasas nominales ( j ) a tasas efectivas anuales equivalentes( i ) 1.1. Modalidad Vencida

S = P(1+j/m)^m*n monto con tasa nominal anual(j) tasa peridica(ip) S = P(1+ip)^m*n S = P(1+i)^ nmonto con tasa efectiva

P(1+i)^ n = P(1+j/m)^m*n luego simplificando P y n se tiene:i = [(1+j/m)m -1]*100

j/m = ip (tasa peridica) m = perodos de capitalizaciones1.2. Modalidad Anticipada i = [(1/(1-j/m)) -1]*100 m La tasa anticipada no es ms que el pago de los intereses por adelantado, por lo tanto es importante hallar una formula que nos relacione la tasa anticipada en funcin de la tasa vencida la tasa

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas vencida en funcin de la tasa anticipada, con solo conocer una de estas dos tasas. Se consideran las siguientes dos situaciones para efectos de encontrar las equivalencias pertinentes: a) Pago de inters vencido. Si prestamos hoy $ 1.000.000 al 20% anual durante un ao, al finalizar el ao tenemos que cancelar $ 1.200.000 S= $1*(1.20)^1 b) Si los intereses se pagan por adelantado, del $ 1.000.000 realmente me entregan $ 800.000 y al finalizar el ao debemos pagar $ 1.000.000. De acuerdo a esta forma de pagar los intereses tenemos que $ 800.000 corresponden a P y el $ 1.000.000 es igual a S y N=1. Se halla la tasa de inters simple as: i = (S/P 1)/N reemplazando los valores tenemos que i = ( 1.000.000/800.000 1)/ 1 i = 25% Esto significa que una tasa del 20% anticipada equivale a una tasa del 25% vencida. Si entramos a considerar prstamo de P $1 a una tasa anticipada ia durante un perodo (N= 1) se tiene que P S = P(1+i)^n vencida P equivale a S luego P=P(1-ia)(1+i)^n Se simplifica P 1= 1(1-ia)(1+i)^n n=1 1 = 1(1-ia)(1+i) 1+i = 1/(1-ia) luego i = 1/(1-ia) 1 i = (1-1+ia)/(1-ia) iv=ia/(1-ia)

1 periodo

P-P*ia = P(1-ia) iv = ia/(1-ia) corresponde a una tasa vencida en funcin de una tasa anticipada aplicndolo al ejemplo anterior donde consideramos una tasa anticipada del 20% y hallamos la tasa vencida tendramos que iv = 0.20/(1-0.20) iv = 25%. Despejando ia en la formula anterior se tiene que ia =iv/(1+iv) y corresponde a una tasa anticipada en funcin de la tasa vencida. Cuando la tasa es anticipada, es necesario hacer la tasa vencida equivalente. Ej: La tas nominal(j) es del 20% anual CT anticipado. Hallar la tasa peridica anticipada y su equivalente vencida al igual que la efectiva anual. Ipa = 0.20/4 = 0.05 = 5% I(efectiva anual) = ipv = ipa/(1-ipa) = ipv= .05/(1-0.05) = %

(1+ipv)^m 1 = 1+%^4 -1 = %.

Es importante recordar que en matemticas financieras los problemas se resuelven con tasas vencidas. Si el enunciado nos da una tasa anticipada para la solucin del problema, lo primero que hay que realizar es convertir la tasa anticipada a su equivalente vencida y luego aplicar los conceptos necesarios para la correcta solucin del mismo. 2. De tasas efectivas anuales ( i ) a nominales anuales ( j ) equivalentes. 2.1. Nominal Modalidad Vencida j = m [(1+i) (1/m) - 1 ]*100

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2.2. Nominal Modalidad Anticipada J = [ m - m/(1+i) (1/m) ]*100 3. De tasas efectivas anuales(%) - A tasas Peridicas(ip) 3.1. De tasas efectivas anuales ( i ) a tasas efectivas peridicas ( ip ) equivalentes. ( ip ) = [ ( 1+ i ) (1/m) -1 ]*100 3.2. De tasas efectivas peridicas ( ip ) a tasas efectivas anuales ( i ) equivalentes ( i ) = [ ( 1+ ip ) -1 ]*100 m 4. Equivalencias entre tasas nominales Dada una tasa nominal ( j ) encontrar una tasa nominal ( j ) equivalente PASOS: Primero- Convertir la tasa nominal- j - en una tasa efectiva anual - i Segundo- Convertir la tasa efectiva ( i ) anual del paso A en la tasa nominal deseada ( j ). SITUACIONES: a. De j (Modalidad Vencida) Primer Paso i = ( 1+ j/m ) - 1 m b. De j ( Modalidad Vencida) Primer Paso i= ( 1+ j/m ) - 1 m c. De j ( Modalidad Anticipada) Primer Paso i=[ ( 1/ ( 1- j/m)) - 1 ] m d. De j ( Modalidad Anticipada) Primer Paso i= [ ( 1/ ( 1- j/m)) - 1 ] m "a" "a" "a" "a" j ( Modalidad Vencida) Segundo Paso j = m [ ( 1+ i ) (1/m) - 1 ] j ( Modalidad Anticipada ) Segundo Paso j= [ m - m/(1+i) (1/m) ] j ( Modalidad vencida) Segundo Paso j= m [ ( 1+ i ) (1/m) - 1 ] j ( Modalidad Anticipada) Segundo Paso j= [ m - m/(1+i) (1/m) ]

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5-TASAS COMBINADAS En el pas cotidianamente se registran operaciones financieras en las cuales se requiere la utilizacin simultnea de dos tasas(Ej: inters sobre inversin en moneda extranjera VARIACIN TIPO DE CAMBIO ; tasa de inters sobre una inversin en UVR y la inflacin). Dada una tasa de inters en USD hallar la tasa de inters equivalente en pesos colombianos: ( i ) $ col = [ ( 1+ i usd )( 1+ i dev) - 1 ]*100 i $col = tasa de inters en pesos colombianos i usd = Tasa de inters en dlares americanos i depreciacin moneda $ vs USD/ apreciacin= Dada una tasa de inters en $ col, hallar la tasa equivalente en dlares(usd) ( i ) usd = [ ( 1+ i$col)/(1+i depreciacion) - 1 ]*100 Tasas efectivas ajustadas a valor constante por ( iu)

( iu ) = ( 1+ IPC )( 1+ j/m) ( iu) = ( 1+ cm )( 1+i) -1 m IPC = correccin monetaria capitalizacin. j = tasa nominal anual i = tasa efectiva anual m = perodo de

6- EQUIVALENCIA ENTRE UNA TASA DE INTERES CORRIENTE ( ic) Y UNA TASA DE INTERES REAL ( ir). ( ir ) = [ ( 1+ ic )/ ( 1+ ipc) - 1 ]*100 ipc = tasa de inflacin

NOTA : Es importante recordar que en matemticas financieras los problemas se resuelven con tasas vencidas. Si el enunciado nos informa una tasa anticipada, el primer paso a realizar es convertir la tasa anticipada a su equivalente vencida y luego aplicar los conceptos necesarios. Ejemplos: Si un banco nos presta al 20% de inters nominal, con pago de intereses anticipados trimestrales, entonces estamos pagando el xx% anual efectivo. Si el prstamo concedido se pacta al 26% anual C.T. al vencimiento, luego estamos liquidando en forma efectiva anual el %. 7- Costos de crditos y rentabilidad En las transacciones financieras se presentan normalmente operaciones de crdito de dinero (colocacin) y ahorros depsitos de los mismos(captacin). Es importante al hacer un prstamo y/o invertir conocer cul es el costo real del crdito y/o rentabilidad de la inversin. 7.1. Costos de los crditos Es importante recordar, que para determinar el verdadero costo de un crdito se debe tener en cuenta otros conceptos involucrados en los mismos(impuestos de timbre segn la cuanta,

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas comisiones, intereses anticipados vencidos, seguros, estudio del crdito, etc). Por esto es indispensable establecer como dichos factores inciden en el costo financiero de la transaccin. 7.2. Rentabilidad En el caso anterior se menciona que el costo del crdito es el inters que hay que pagar por el uso del dinero tomado en prstamo. En este caso sera la transaccin opuesta, o sea, el beneficio recibido por una inversin realizada. Este beneficio es el concepto de rentabilidad. Ej. Un banco ofrece para sus certificados de depsitos a trmino (CDT), una tasa del 7% al ao capitalizable por mes al vencimiento. Que rentabilidad efectiva anual ofrecen estas inversiones? i = (1+0.07/12)^12 1 i=

Si esta inversin reconociera una tasa nominal anual del 8% pero capitalizable mensualmente en forma anticipada, que rentabilidad efectiva anual reconoce? i = ( 1/(1-0.08/12))^12 1 i = 7.3 Rentabilidad Neta(rn) Es importante tener en cuenta que los rendimientos financieros originado por las inversiones en ttulo valores (CDT,TES,CDAT), cuentas de ahorro, encargos fiduciarios, fondos de valores son gravados en nuestro pas y por lo tanto pagan impuesto( retencin en la fuente del 7% de los rendimientos ). Ej: Una Corporacin Financiera le ofrece una tasa efectiva anual del 15%. La retencin en la fuente la aplica la corporacin al momento de liquidar los intereses. Cual es la rentabilidad(%) neta obtenida? rn = (0.15)(1-0.07) rn = 0.15*0.93 rn= 7.4. Rentabilidad Real(rr) La rentabilidad neta est afectada por la inflacin, por lo tanto s se desea conocer la rentabilidad realmente obtenida, es necesario descontar la inflacin (ipc). Luego, la rentabilidad real, es la tasa efectiva de la inversin descontndoles los impuestos y la inflacin, es decir, la rentabilidad neta descontada la inflacin. Rr = (1+rn)/(1+IPC) -1 Ej: Con base en el ejemplo anterior, determinar la rentabilidad real(rr) obtenida si la variacin del IPC del ao es del 3.5% ? %

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TEMA: QUEREMOS APRENDER A MANEJAR LAS WWW.SUVALOR.COM.CO)

TASAS DE

INTERS(FUENTE

Las tasas de inters son el costo o remuneracin que se paga a un tercero por utilizar el dinero que es de su propiedad. Las dos maneras principales de expresar las tasas de inters son la nominal y la efectiva. A continuacin usted podr ver explicaciones y ejemplos claros sobre los siguientes tipos de inters:Tasa Tasa Tasa Tasa Tasa Tasa Tasa de de de de de de de inters nominal Inters efectiva inters anticipada inters vencida inters real Inters indexada a la DTF inters en dlares

Tasa de inters nominal Es la que se obtiene o se paga peridicamente pero no se reinvierte o capitaliza. Una tasa del 36% nominal anual equivale a una tasa mensual del 3%. Ejemplo: P/ Si realizo una inversin en un bono de $1.000.000, el cual otorga una tasa de inters del 30% nominal anual pagaderos mensualmente, cuya fecha de vencimiento es dentro de un ao, cul es el rendimiento que obtendra? R/ Como se trata de una tasa nominal, simplemente divida 30 (que es la tasa de inters) entre 12 meses. Eso le dar una tasa mensual del 2,5%, cifra que si la multiplica por el $1.000.000, le dar como resultado que mensualmente recibir $25.000. P/ Y utilizando los mismo datos, cunto obtendra al finalizar el perodo de un ao? R/ El resultado es igual al 30% de $1.000.000, es decir $300.000. Tasa de inters efectiva Contrario a la tasa de inters nominal, en la de inters efectiva los rendimientos se reinvierten o capitalizan, pero eso s, dependiendo de la periodicidad de causacin de ellos. De ah que el punto clave en los intereses efectivos sea la periodicidad en que se paguen, porque de eso depender el rendimiento final. Unos intereses efectivos que se cancelen mensualmente generarn diferentes rendimientos que unos que se paguen cada seis meses, pues ellos empezarn tambin a generar intereses desde el mismo momento en que se reinvierten. Para calcular la tasa de inters efectiva usted debe conocer el inters peridico y el tiempo, as: Inters efectivo = (1 + Inters peridico)^n - 1 donde, n es el nmero de perodos en que se van a capitalizar los intereses. Sera doce para indicar tasas efectivas anuales, con un inters peridico mensual.

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas La siguiente formula permite hallar el valor futuro de una inversin en la que se reinvierten los inters (inters efectivo): S = P x (1 + i)^n donde, S es el valor que se tendr al final del perodo P es el valor presente a invertir i es la tasa de inters dividida por 100. Si ella es 3% se utiliza 0,03 en la frmula. n es el nmero de perodos que se tendr la inversin. Hay que tener en cuenta que si la tasa de inters es mensual, el numero de perodos debe estar expresado en meses. Ejemplo: P/ Si abro una cuenta de ahorros por $1.000.000 con un inters del 2% mensual y procedo a capitalizar los intereses cada mes bajo las mismas condiciones iniciales, cunto deber tener al finalizar el ao? R/ Vale la pena anotar que como Usted reinvirti los intereses, los beneficios econmicos sern mayores que si los hubiera retirado cada mes. Por tanto, al trmino de los doce meses y utilizando la frmula anterior, el total ser: S = 1.000.000 x (1 + 0,02)^12 S = 1.268.241,79 De ah que el inters efectivo anual que Usted recibi por esta inversin sea el siguiente: Inters efectivo = (1+0.02)^12 - 1 = 0,2682 Pero para convertir ese dato a porcentaje debe multiplicar el 0,2682 por 100 y as obtener que la tasa efectiva anual de la inversin fue del 26,82%. Tasa de inters anticipada Es la tasa de inters que se pacta cancelar o cobrar al comenzar cada uno de los perodos. Tasa de inters vencida Es la tasa de inters que se pacta cancelar o cobrar al vencer cada uno de los periodos. Como su nombre lo indica, la nica diferencia que existe entre las tasas de inters anticipadas y vencidas es el momento de su pago. Por tanto y debido a que el valor del dinero en el tiempo es diferente, las tasas son diferentes. Para convertir una tasa de inters anticipada en una vencida se utiliza la siguiente frmula: Tasa de inters vencida = Tasa de inters anticipada/(1- Tasa de inters anticipada) Y para convertir una tasa de inters vencida en una anticipada se utiliza la siguiente frmula: Tasa de inters anticipada = Tasa de inters vencida/(1 + Tasa de inters vencida ) A continuacin algunos ejemplos que combinan todas las expresiones analizadas anteriormente y los procedimientos ms comunes: P/ Cul sera el inters efectivo anual de una inversin que me ofrece un inters nominal anual del 32% pagadero cada semestre? R/ Primero Usted debe encontrar el inters peridico que resulta de dividir el 32% entre 2 (es decir 16%), pues como el inters es nominal anual entonces se pude dividir directamente; y se hace por 2 en vista de que un ao tiene dos semestres. Eso le da un inters del 16% semestral. Ahora aplique la frmula de inters efectivo, as: Inters efectivo = (1,16)^2 - 1 = 0,3456. Y al multiplicar el 0,3456 por 100 hallar que el inters efectivo anual de esta inversin ser del 34.56%. P/ Suponiendo esa misma inversin pero con unos intereses que se capitalizan o se causan trimestralmente, cul sera el inters efectivo anual? R/ Ahora divida el 32% entre 4, pues cada ao tiene cuatro trimestres. Eso es igual a un inters del 8%. Y aplicando la frmula de inters efectivo obtendr que la tasa efectiva anual ser del 36,048%.

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas En este ejemplo se ve lo que se haba mencionado anteriormente. Entre ms veces se capitalizan los intereses en un ao, ms alto ser la tasa de inters efectiva anual si el resto de condiciones son iguales. Si se capitalizan semestralmente (dos veces al ao), el inters efectivo anual ser del 34,56%; y si se capitalizan trimestralmente (cuatro veces al ao), el inters efectivo anual ser del 36,048%. El rendimiento real Cuando se recibe un rendimiento financiero por determinada inversin, es conveniente tener en cuenta el efecto que tiene la inflacin sobre ese rendimiento, es decir, saber cul es la tasa de inters real. De ah que la tasa de inters real se encuentre restndole el componente inflacionario, as: Tasa de inters real = ((1+ Tasa de interes efectivo) / (1 + Inflacin) )-1 El resultado puede incluso llegar a ser negativo cuando la tasa de inflacin es mayor que la tasa de inters que se recibe. Eso significa que en realidad se est perdiendo dinero en este tipo de inversin. Tasa atada a la DTF La utilizacin de tasas de inters atadas a un ndice como la DTF para los ttulos (bonos o prstamos) es una manera de usted protegerse contra las variaciones en los rendimientos que se presenten en el mercado, con el fin de que siempre se estn pagando intereses acordes con las condiciones del momento. Vale la pena recordar que la DTF, calculada semanalmente, es la tasa de inters promedio que pagan las instituciones financieras sobre los Certificados de Depsitos a Trmino (CDT). Ella refleja el comportamiento de las entidades del sistema financiero colombiano durante la semana anterior y es expresada en trminos de efectivo anual o nominal anual trimestre anticipado. Las tasas en mencin se expresan como DTF + 8 Puntos. Eso indica que la tasa de inters que se cobrar ser la DTF vigente en el momento ms 8 puntos adicionales, los cuales se suman tambin en las mismos trminos que la DTF. Si por ejemplo la DTF vigente para la presente semana es del 8,5% nominal anual trimestre anticipado, la tasa de inters total ser del 16,5% tambin nominal anual trimestre anticipado. Pero si la semana siguiente la DTF sube a 9%, la tasa de inters total para esa semana ser del 17%. Rendimiento en dlares Al momento de hacer una inversin en el exterior (sea en dlares o en cualquier otra moneda extranjera), es necesario que Usted convierta ese rendimiento al equivalente en pesos con el fin de saber si hubiera sido ms rentable colocar ese dinero en una inversin realizada localmente. Al hacer la conversin inciden otros factores diferentes a la tasa de inters que pueden afectar el rendimiento total de la inversin, como son el comportamiento de la Tasa Representativa del Mercado (TRM). Es importante hacerle nfasis en que aunque la inversin en un CDT en el extranjero es catalogada como de renta fija, el slo hecho de ser en dlares le agrega alguna incertidumbre por el desconocimiento que se tiene acerca del comportamiento de la divisa estadounidense en un perodo de tiempo. Para el caso de una inversin en dlares realizada por ejemplo en los fondos internacionales de Merryll Lynch, la rentabilidad total que recibir se calcula de la siguiente manera: Rentabilidad en moneda local = [(1 + rentabilidad en moneda extranjera) x (1 + devaluacin)] - 1 donde, devaluacin es el aumento o disminucin porcentual del precio del dlar en relacin con el peso colombiano en el periodo de tiempo que dure la inversin. Si se presenta un aumento en el precio del dlar (devaluacin), el rendimiento total de su inversin aumentar; pero si ese precio disminuye (revaluacin), el rendimiento total disminuir. Para calcular el porcentaje de cambio en la TRM se aplica la siguiente frmula:

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas Porcentaje de cambio en la TRM = TRM al final de la inversin /TRM al momento de realizar la inversin 1 x 100 Ejemplo: P/ Si realizo una inversin de USD $20.000 en un Certificado de Depsito a Trmino (CDT) en Estados Unidos que ofrece una rentabilidad anual del 4%, cual ser el rendimiento total en pesos que obtendr? R/ Para resolverle la inquietud, deber conocer el tipo de cambio esperado en el valor del dlar. En este caso hipottico se estima que la devaluacin ser del 20% anual. Con ese estimativo el rendimiento total que obtendr en pesos ser el siguiente: Rentabilidad en moneda local = [(1,04) x (1,20)] - 1 Y si la devaluacin anual fuera del 10%, el rendimiento que obtendr en pesos colombianos sera del 14,4%.

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas EJERCICIOS VARIOS 1- Cul es la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 20% anual CM al vencimiento? 2-Cul es la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 24% CT anticipada? 3-Que tasa nominal capitalizable mensualmente vencida es equivalente al 21.08% efectiva anual? 4- Que tasa nominal anual capitalizable trimestralmente en forma anticipada es equivalente a 25.83% efectiva anual? 5- Cul es la tasa peridica trimestral ( ip) equivalente a una tasa efectiva anual del 16.82%? 6- Cul es la tasa efectiva anual equivalente a una tasa peridica mensual del 1.5%? 7-Que tasa de inters anual capitalizable por semestre al vencimiento es equivalente a una tasa del 16% anual capitalizable por trimestre al vencimiento? 8-Para la ltima semana del presente mes, el Banco de la Repblica determin que la DTF ( tasa depsito a trmino fijo) efectiva anual es del XXX%. Cuales seran las tasas nominales equivalentes si los intereses se pactan : A- Mes, trimestre, semestre al vencimiento B- Mes, trimestre, semestre anticipados 9-Un pequeo empresario recibe el 1 de septiembre un crdito del Banco de Occidente por un plazo de un ao, para financiar capital de trabajo por la cuanta de $ 50 millones. El CAPITAL prstamo se paga AL FINALIZAR EL AO. La tasa de inters pactada fue del DTF + 4%(NATA) liquidados por trimestre al vencimiento. Se estima que la DTF NATA se mantendr en el 5.25%. Con base en lo anterior, proceder LIQUIDAR LOS INTERESES. 10 Cul es la tasa efectiva anual en pesos de una inversin - TES- en dlares americanos que reconoce el 4% efectivo anual y la tasa de depreciacin proyectada es del 5% anual? 11--Cul es la tasa efectiva anual en pesos de una inversin - TES- en dlares americanos que reconoce el 3.75% efectivo anual y la tasa de depreciacin de la moneda es del 9.5% anual? Si el monto de la inversin fue de $ 80 millones de pesos al iniciar el ao, a cuanto asciende los rendimientos brutos ganados? R/ta i = % Rendimientos $ 12- Si usted invierte en un ttulo valor del Gobierno -TES en USD- un valor de $ 10 millones de pesos por un plazo de 1 ao y la tasa pactada es del 4% nominal anual capitalizable por trimestre al vencimiento y la depreciacin de la moneda es del 4.5% anual, que valor en pesos recibir al finalizar el ao. De cuanto es los rendimientos financieros brutos y netos teniendo en cuenta una retencin en la fuente del 7%? SI EL PLAZO ES DE DOS AOS DE CUANTOS SON ESTOS

13-a- Cul es el rendimiento en dlares de una inversin que rinde el 3.2% en pesos y la tasa de depreciacin de la moneda es del 6% anual? b-Si la depreciacin es del 5.4% anual, cual sera la rentabilidad en USD ? i usd =

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14- Si una inversin rinde el 10% efectivo anual en trminos corrientes, cul es el rendimiento en trminos reales, si la inflacin ( medida a travs del IPC) es del 4% anual? Si su inversin asciende a $ 1.000.000, cuanto es el valor a utilizar para consumir si quiere mantener su dinero con poder adquisitivo? De cuanto sera esta, si la tasa de rendimiento corriente es del 7.5% nominal anual CT al vencimiento y el IPC es del 4.85% 15-a- Si una inversin de TES en UVR reconoce una tasa de inters efectiva anual del 4% y la inflacin es del 3.3% anual. Cul es la tasa efectiva anual de la inversin( iu)? b-Si la inflacin es del 6.45% cual es la tasa real de inters? 16- Si la Banca Davivienda le informa que su dinero ganar el 3% nominal anual capitalizable por semestre al vencimiento en una cuenta abierta en Unidades de Valor Real y la inflacin ser del 3% cual es su rentabilidad anual efectiva en este tipo de inversin? 17- Si su inversin fue de $ 1.000.000, de acuerdo al punto anterior liquide sus rendimientos brutos y netos 18- Se desea invertir $ 2.500.000 a dos aos Las tasas de inters que se ofrecen en el mercado son las siguientes: a-4.5% N.A.T.A. b- 4% NASA c- 4.5% NA TV d-5.5% NA SV. Cul es la mejor alternativa y cuanto nos entregan al finalizar los dos aos? NA = nominal anual. T =trimestre. S =semestre. A =anticipado. V = vencido. 19- Usted dispone la suma de $ 6.000.000 el cual lo ha de invertir en ttulos tesoros(TES) emitidos por el gobierno nacional. Estos TES se emiten con base en la Unidad de Valor Real (UVR). El plazo de la inversin es de 1 ao, la tasa de inters a liquidar sobre los UVR es del 3.5% anual. El valor del UVR el da de la inversin(HOY) es de $ XXX. La tasa de inflacin proyectada para el ao a travs de la Junta Directiva del Banco de la Repblica es del 4%, Calcular la cantidad en UVR y $ a recibir un ao ms tarde. Calcular la rentabilidad obtenida antes de impuestos(en $ y en %). Determinar la rentabilidad neta(despus de impuesto) considerando que la retencin en la fuente ser del 7% aplicada sobre los rendimientos ganados. 20- Determinar la rentabilidad real obtenida en la anterior inversin. 21- Se realiza una inversin a 2 aos, con una tasa del 10%. Si la inflacin es del 4% Cul es la tasa realmente ganada? 22- Usted dispone la suma de $ 3.000.000 el cual lo ha de invertir en ttulos tesoros(TES) emitidos por el gobierno nacional. Estos TES se emiten con base en USD(dlares americanos). El plazo de la inversin es de 1 ao, la tasa de inters a liquidar sobre los USD es del 2.6% anual. El valor de la TRM(tasa representativa del mercado) el da de la inversin(HOY) es de $xxx . La tasa de depreciacin de la moneda proyectada para el ao a travs de la Junta Directiva del Banco de la Repblica es del 5%, Calcular la cantidad en USD y $ a recibir un ao ms tarde. Calcular la rentabilidad obtenida antes de impuestos(en $ y en %). Determinar la rentabilidad neta(despus de impuesto) considerando que la retencin en la fuente ser del 7% aplicada sobre los rendimientos financieros obtenidos(INTERESES Y DIFERENCIA EN CAMBIO). 23- De cul sera la rentabilidad neta si la inversin se hace en un CDT en el extranjero y la retencin es del 3% aplicable sobre el total trado del exterior? 24- Usted ha de invertir la suma de $ 57.000.000 por un trmino de 3 meses. La entidad financiera seleccionada le ofrece el 6.8% efectivo anual. A cuanto asciende los rendimientos brutos ganados

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas en el trimestre de la inversin si los intereses se liquidan en forma: anticipada, vencida. Determinar los rendimientos netos.

TASAS DE INTERESES CON SOLUCIONES PARCIALES Y SIN SOLUCION-. 1- A partir de una tasa de inters del 20% con capitalizaciones mensuales vencidas, hallar la tasa efectiva anual. Rta= 21.94% 2- Hallar la tasa efectiva semestral partiendo de una tasa del 9% semestral con capitalizaciones trimestrales vencidas. R. 9.2% = ((1+.09/2)^2 1)*100 3- Cul es la tasa efectiva trimestral(ip) equivalente a una tasa del 35% anual con capitalizaciones mensuales vencidas. Ip = 9.0076% i = (1+0.35/12)^12 1 = 41.20%

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1-- Una PYME debe pagar $ 2 milln con vencimiento en 3 meses sin intereses; $ 5.5 millones con intereses del 12% capitalizable semestralmente vencido (CS) en 12 meses y $ 18 millones con vencimiento en 18 meses e intereses del 18% capitalizable trimestralmente vencido (CT). Si se van a cancelar con un pago en el mes 18 y otro pago igual en el mes 24, hallar el valor de los pagos. Suponga un rendimiento del 20% capitalizable trimestralmente (CT). SOLUCION CON INTERES COMPUESTO 2- De que trata la circular externa 060 de agosto del ao 2000, que se les mando a leer en das anteriores? Que tasa de inters se debe emplear para tomar decisiones de inversin financiera: La tasa nominal anual la tasa efectiva anual? (sustente su respuesta) La tasa peridica se obtiene: a) Dividir la tasa efectiva anual sobre la frecuencia de la capitalizacin (m)_____ b) Dividir la tasa nominal anual sobre el perodo de capitalizacin 3- La DTF efectiva anual de la presente semana es del 10.20%. Esta corresponde a captaciones de 90 das. Por lo cual se requiere determinar: a) Cual es la tasa peridica trimestral vencida, al igual que la tasa peridica trimestral anticipada b) Cul es la tasa nominal anual capitalizable por semestre vencido y la tasa nominal anual capitalizable por semestre anticipado. Si usted realiza una inversin en un CDT a 90 das y el valor de la inversin es de $ 5 millones cual es el valor de los intereses ganados al finalizar el trimestre de la inversin si la tasa de inters que le reconocen es del 10.2% efectiva anual. 4. A usted se le presentan los siguientes ofrecimientos para invertir en el sector financiero con un plazo de un ao: Bancolombia Banco de occidente Serfinanza Giro y Finanzas Cul es la mejor opcin? Con base en esta seleccin y si usted invierte $ 10 millones de pesos a cunto asciende el valor de los intereses ganados al finalizar el ao Brutos y Netos (La retefuente es del 7% de los rendimientos obtenidos). 5. A- Que tasa de inters anual capitalizable por trimestre al vencimiento es equivalente a una tasa del 16% anual capitalizable por mes al vencimiento? B- Un pequeo empresario recibe el 31 de diciembre del ao 2008 un prstamo del Banco Popular por un plazo de un ao, para financiar capital de trabajo por la cuanta de $ 20 millones. El prstamo se paga al finalizar el ao. La tasa de inters pactada fue del (DTF + 4%) AMBAS NATA liquidados por SEMESTRE al vencimiento. Se estima que la DTF NATA DEL PUNTO TRES se mantendr en el ao. Con base en lo anterior, proceder a calcular los intereses a pagar semestralmente. 10% anual capitalizable mensualmente al vencimiento 9.5% anual capitalizable mensualmente anticipada 10.75% efectiva anual 10.25% anual capitalizable trimestralmente al vencimiento

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APNDICE 1: CIRCULAR 060 DEL AO 2000 Definiciones (segn la CIRCULAR 060 del 10 de agosto del 2000 emanada de la Superintendencia Bancaria de Colombia) A continuacin se define cada uno de los tipos de inters aceptables con su significado y ejemplos, definiciones que debern ser aplicadas por las entidades vigiladas tanto en los rendimientos que pagan por los recursos captados, como el cobro de intereses anticipados o vencidos de los prstamos efectuados por stas, de conformidad con la tasa fijada por la ley en cada caso. Tipo de inters La tasa efectiva de inters es la que se refiere a la unidad de tiempo y a la unidad de capital y se liquida por unidad de tiempo. El smbolo internacional que se utiliza para el tipo efectivo de inters es letra minscula "i". Ejemplos: I=24% efectivo anual. Significa que el Inversionista obtienen, despus de un ao sobre cada peso de depositada, 24 centavos de intersi =12% efectivo semestral. Significa que el inversionista obtiene despus de un semestre sobre cada 100 pesos, 12 pesos de inters. Tipo nominal de inters. El tipo nominal de inters es el que se refiere a la unidad de tiempo y a la unidad de capital y se liquida por fraccin de unidad de tiempo. El smbolo internacional que se utiliza para el tipo nominal de inters es la letra minscula j(m), donde m significa el nmero de pagos del inters por unidad de tiempo. Ejemplos: J (12) = 24% nominal anual pagado por meses. Significa que el inversionista obtiene, sobre cada peso depositado, un inters mensual de 2 centavos. J (6) = 9% nominal semestre pagado por meses. Significa que el inversionista obtiene sobre cada 100 pesos depositados, un inters mensual de un peso con cincuenta centavos la unidad de tiempo es aqu el semestre. Tipos equivalentes de inters

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas La unidad de capital se convierte, despus de la unidad de tiempo, en el capital 1 + i, si se liquida el tipo efectivo de inters i. Al mismo tiempo. Se convierte la unidad de capital, despus de la unidad de tiempo, en el capital [i j (m) ] decimos que i es el tipo efectivo equivalente al tipo nominal j (m) y vicerversa. Ejemplos: Cul es el tipo efectivo de inters anual i, equivalente a un tipo nominal de inters j(12) de 24% anual pagado por mes? J(12) = 24% nominal anual pagado por meses i = 26.82% efectivo anual Lo que significa que no importa si se paga al inversionista de conformidad con una tasa efectiva anual de 26.82% o si se paga mensualmente 2%, o sea 24% nominal anual pagado por meses. Las dos tasa son equivalentes. Cul es el tipo de inters nominal semestral pagado por meses, equivalente a un tipo efectivo semestral de 12%? i = 12% efectivo semestral. J(6) = 11.44% nominal semestral pagado por meses. Significa que no importa si se paga al inversionista de conformidad con una tasa efectiva semestral del 12% o si se le paga semestralmente 1.907% o sea 11.44% nominal semestral, pagado por meses. Las dos tasas son equivalentes. Tipo efectivo de descuento El tipo efectivo de descuento es el que se refiere a la unidad de tiempo y a la unidad de capital y se reconoce por unidad de tiempo, es decir, que se paga anticipadamente por unidad de tiempo. El smbolo internacional que se utiliza para el tipo efectivo de descuento es la letra minscula "d". Ejemplo: d = 24% efectivo anual. Significa que sobre cada 100 pesos de valor nominal que vence en un ao se deducen 24 pesos por anticipado. Tipo nominal de descuento El tipo nominal de descuento es el que se refiere a la unidad de tiempo y a la unidad de capital y se deduce por fraccin de unidad de tiempo, o sea que se paga anticipadamente por fraccin de unidad de tiempo. El smbolo internacional que se utiliza para el tipo nominal de descuento es la letra minscula f(m),donde m significa el nmero de pagos por unidad de tiempo nominal que vence en un ao, se deducen en forma anticipada dos centavos mensuales. 11) Restricciones para la expresin de tasas en cualquier campaa publicitaria de las entidades vigiladas. Los avisos que contengan la rentabilidad que se ofrece al inversionista, as como la tasa de inters o descuento que se cobre al deudor, deben tener en cuenta los siguientes aspectos:

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Alvaro Alvarez Sampayo. Economista. Especializado en Finanzas Cualquiera que sea la tasa de inters ofrecida a cobrar, deber calcularse conforme a las definiciones mencionadas anteriormente; adems, siempre deber expresarse su equivalencia con la tasa de inters efectiva anual. La rentabilidad de una inversin no se puede referir a perodos cuya duracin sea superior a un ao. Para el clculo de la rentabilidad solamente se deben tener en cuenta factores objetivos. Factores subjetivos tales como aspectos tributarios o saldos mnimos, que no se pueden cuantificar individualmente, no se deben incluir numricamente en la tasa de rentabilidad. Estos factores subjetivos puede mencionarse cualitativa y adicionalmente. Tanto la rentabilidad que se ofrezca para una inversin como la tasa que se cobre para un crdito, deben ser exactas y no se pueden aproximar sus valores ni por encima en el primer caso ni por debajo en el segundo. En todo aviso o promocin deber manifestarse que las tasas de rentabilidad all utilizadas se calculan de acuerdo con las definiciones dadas por la Superintendencia Bancaria en la presente circular; as mismo a todo deudor, que as lo solicite, deber explicrsele la tasa de inters o de descuento, utilizando las definiciones de la presente circular.

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GUIA ACADMICA PARA UTILIZAR LA HOJA ELECTRICA EXCELL EN MATEMTICAS FINANCIERAS. A travs de las funciones (Fx) de financieras se puede acceder a las siguientes opciones para obtener los clculos respectivos de valores futuros, presentes, anualidades, tasa de inters, nmero de perodos. 1) NPER(Nmero de perodo). Se calcula el tiempo conocida la tasa, la anualidad(Pago), valor actual presente(VA), valor futuro(VF), modalidad de pago de los intereses(Tipo: 0 vencido 1 anticipado). NPER( Tasa; Pago; Va; Vf; tipo) Ej: NPER(12%/12;-100;-1000;10000;1) = a 59.67 si el tipo es 0 es= 60.08 NPER(1%;-100;-1000; 10000) = 60 NPER(1%;-100;1000) = 11 2)Valor presente actual (VA). Se procede VA(tasa;nper;pago;Vf;tipo) Se depositan $500.000 mensuales, tasa del 8% CMV durante 20 aos. A cuanto equivale hoy dicho plan de ahorros? VA(8%/12;12*20;500;0) Si queremos disponer de $ 3.500.000 dentro de 24 meses al 12%CMV, a cuanto equivale hoy con la tasa anterior? VA(8%/12;24;0;3500000,0) 3)Valor futuro (VF). Se procede VF(tasa;nper;pago;VA;tipo) Si ahorra dinero para pagar sus estudios universitarios dentro de un ao. Deposita hoy $1000 en una cuenta de ahorro y devenga el 6%CMV. Al principio de cada mes realiza ahorros mensuales de $ 100, cual es el valor a retirar al finalizar el ao? VF(6%/12;12;-100;-1000;1) es = a $2.301.4

4) TASA (nper;pago;Va;Vf;tipo;estimar) TASA(48;-200000;8000000) ES = A 0.77% por mes. Luego la tasa anual es del 9.24%(0.77%*12). 5) PAGO(Anualidad): Se hallar la serie uniforme de un valor presente y/o futuro PAGO(Tasa;nper;Va;Vf;tipo) Prstamo $ 5 millones; tasa 18% CMVencida PAGO(18%/12;10;5000000) ES = $ Si es 18% CMAnticipada PAGO(18%/12;10;5000000;0;1) ES = $ Se desea ahorrar $ 5 millones en 18 aos realizando depsitos mensuales y reconocen el 6%CMV PAGO(6%/12;18*12;0;5000000)

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1-Una empresa fue autorizada para realizar una emisin de bonos ordinarios a travs de la bolsa de valores de Colombia. El monto total aprobado de la emisin fue as: a) BONOS Clase A $ 3.500 millones. Se vencen dentro de 3 aos. Los intereses los liquidan anualmente semestralmente trimestralmente al vencimiento de acuerdo al inters del inversionista. La tasa de inters mxima ser del DTF + 3.5% (NATA nominal anual trimestre anticipada). La DTF vigente para el da de la emisin es del 6.25% efectiva anual. Cada bono vale $ 1 milln. Su negocio compra 10 bonos el mismo da de la emisin. Se estima que la DTF efectiva anual sea del 6.15% aos 2 y 3, El capital se reembolsa en el tercer ao. b) Bonos denominados en UVR con plazos de tres aos. La inversin mnima en estos bonos es por su equivalente en pesos de $ 10 millones. Los intereses los pagan al finalizar cada ao. La tasa de inters adicional sobre la UVR es del 5% efectivo anual. El valor de la UVR al momento de invertir es $ 159.62. Se estima que esta ser al finalizar el primer ao de la inversin es de $ 167.60 y para cada ao posterior aumenta el 5%. El capital por su equivalente en pesos se los rembolsan en el tercer ao. Elaborar el diagrama de flujo de cada inversin con sus respectivos valores en pesos. Si al finalizar el tercer semestre (1.5 aos) de haberse constituido la inversin su negocio se le presentan problema de liquidez y decide vender los bonos adquiridos a una sociedad comisionista de bolsa y esta le plantea como negociacin una tasa efectiva anual del 12.5% cuanto recibe por cada una de las inversiones reseadas en a y b. 2- Si realizo una inversin de USD $30.000 en un Certificado de Depsito a Trmino (CDT) en un banco en Panam que ofrece al finalizar el ao de la inversin una rentabilidad anual del 4%, cual ser el rendimiento total en pesos que obtendr? La tasa representativa del mercado al 31 de octubre del 2006 fecha de la inversin es de $ 2.360 y un ao mas tarde es de $ 2.549. Igualmente un banco en Colombia le reconoce sobre la inversin equivalente en $COL a travs de CDT a un ao de plazo una tasa efectiva anual del 11.5% Cual de las dos alternativas es la mejor ? SUSTENTE EL PORQUE Si la inflacin proyectada para el ao es del 5% anual, cual es la tasa de inters real de la alternativa de inversin seleccionada? 3- A- Cul es el tipo efectivo de inters anual i, equivalente a un tipo nominal de inters j(12) de 12% anual pagado por mes VENCIDO O ANTICIPADO? B-Los avisos que contengan la rentabilidad que se ofrece al inversionista, as como la tasa de inters o descuento que se cobre al deudor, deben tener en cuenta los siguientes aspectos: Cualquiera que sea la tasa de inters ofrecida a cobrar, deber calcularse conforme a las definiciones mencionadas anteriormente; adems, siempre deber expresarse su equivalencia con la tasa de inters efectiva anual. La rentabilidad de una inversin no se puede referir a perodos cuya duracin sea superior a un ao. Para el clculo de la rentabilidad solamente se deben tener en cuenta factores objetivos. Factores subjetivos tales como aspectos tributarios o saldos mnimos, que no se pueden cuantificar individualmente, no se deben incluir numricamente en la tasa de rentabilidad. Estos factores subjetivos pueden mencionarse cualitativa y adicionalmente. Estas restricciones fueron planteadas por la: a) Circular 020 de agosto 10 del ao 2001 del Banco de la republica b) Resolucin 060 de agosto 10 del ao 1999 de la supersociedades c) Circular 060 de agosto 10 del ao 2000 de la Superbancaria d) Directiva presidencial 060 de agosto/2000 C- Que entidades suministran y con que frecuencia los indicadores de la DTF, UVR, TRM

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3-tasasequivalentes

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