PENGAMBILAN SAMPEL BERKELOMPOK TIGA TAHAP(THREE-STAGE CLUSTER SAMPLING)Kelompok 7

Nurharis Haryanto 0905883

Atiya Maulani 0905645

Vanissa Hapsari 0905655

Maria Lemorenty 0905721

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

hasil dari tahap kedua juga masih berupa kluster

PSUPrimary Sampling

Units

SSUSSUSecondary Sampling

UnitsSSU

TSU

TSU

TSU

TSU

TSU

TSU

TSU TSU

TSU

sub dari cluster hasil sampling tahap pertama

pada tahap ketiga diturunkan sampel dari masing-masing cluster yang diperoleh dari tahap kedua

Sebagaimana proses sampling pada tahap pertama dan kedua, tahap ketiga juga dapat menggunakan salah satu dari berbagai teknik random yang ada.

1.2 PENDAHULUAN KLUSTER SAMPLING TIGA TAHAP

Keuntungan dari sampling tiga tahap sama dengan klaster sampling dua tahap. Kita hanya butuh persiapan kerangka untuk psu,ssu dan tsu dalam pemilihan sampel.

KEUNTUNGAN

• ketika memilih psu,ssu dan tsu menggunakan sampling acak sederhana, unit ini harus kurang lebih sama dalam ukuran.• terdapat banyak keheterogenan antar psu, tetapi kehomogenan antar ssu dan tsu

KEKURANGAN

Kita akan mengestimasi jumlah total buku yang dimiliki siswa kelas enam di kota Bandung. Misal terdapat L = 580 sekolah dasar (psu) , asumsikan = 10 dipilih sebagai sampel acak dari psu. Dari sampel sekolah ke-i (psu) mempunyai kelas (ssu) kelas enam, dan andaikan = 2 kelas (ssu) dipilih dari setiap sampel sekolah. Terakhir, kita asumsikan terdapat siswa (tsu) dalam sampel kelas ke-j dari sampel sekolah ke-i dan subsampel siswa dipilih dari kelas ke-j. Andaikan = 3 siswa, yaitu 3 siswa dipilih dari = 50 siswa dari kelas ke-j dalam sekolah ke-i.

Banyaknya buku yang dimiliki masing-masing siswa dalam j kelas dapat ditunjukkan oleh = 4 buku = 3 buku = 5 buku

Contoh Kasus :

miM

ijN

ijn

ijNijn

1ijx 2ijx 3ijx

psu sekolah ssu kelas tsu siswa

LmiM

ijN ijn

Banyaknya buku yang dimiliki siswa dalam subsampel dapat ditunjukkan oleh . Huruf besar digunakan sebagai nilai populasi.

Harus diingat bahwa beberapa subskrip digunakan untuk dua pernyataan berbeda. Satu untuk populasi dan yang satu lagi untuk sampel. Sebagai contoh adalah j= 5 kelas dalam i= 3 sekolah pada populasi. sedangkan, yaitu j = 5 kelas sampel dalam i= 3 sampel sekolah .

ijkx ijkX

35XX ij =35xxij =

1.2 PENAKSIR TOTAL POPULASI DAN PENAKSIR RATA-RATA POPULASI

Populasi Sampel

� � psu sekolah

�� �ഥ ssu kelas

��� ��� tsu siswa

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Penaksir tak bias untuk total populasi

�= �� ���ഥ�� ������

�ഥ� ��������

• ���� : banyaknya buku yang dimiliki oleh siswa ke-� dalam

kelas ke-� dari sekolah ke-� • σ ���� : penaksir total banyaknya buku dari ��� siswa.

• 1��� σ ���� : penaksir rata-rata banyaknya buku dari ��� siswa yang

dipilih dari kelas ke-�.

• ������ σ ���� : penaksir dari total banyaknya buku dalam kelas ke-�.

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

• σ ���� �� σ ���� : penaksir dari total buku untuk �ഥ kelas yang

dipilih dari sekolah ke-�. • 1�ഥσ ������ σ ���� : penaksir dari rata-rata banyaknya buku per

kelas dalam sekolah ke-� • ���ഥσ ������ σ ���� : penaksir dari total buku dalam sekolah ke-�. • σ ���ഥσ ������ σ ���� : total buku dari � sampel sekolah

• 1� σ ���ഥσ ������ σ ���� : penaksir rata-rata dari banyaknya buku per

sekolah.

• �� σ ���ഥσ ���� �� σ ���� : penaksir dari total buku untuk � sekolah.

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Contoh Kasus:

Misal � = 3 sekolah (psu), dan kita akan menaksir total buku yang dimiliki oleh siswa kelas 6. Untuk menyederhanakannya, asumsikan masing-masing sekolah memiliki �� = 3 kelas (ssu), dan masing-masing kelas memiliki ��� = 3 siswa (tsu).

Tabel 1 Populasi

Sekolah �

Kelas �� Siswa ��1

Buku ��1�

Siswa ��2

Buku ��2�

Siswa ��3

Buku ��3�

1 �1 = 3 �11 = 3

�111 = 2 �12 = 3

�121 = 4 �13 = 3

�131 = 6 �112 = 4 �122 = 6 �132 = 8 �113 = 6 �123 = 8 �133 = 10

2 �2 = 3 �21 = 3

�211 = 4 �22 = 3

�221 = 6 �23 = 3

�231 = 8 �212 = 6 �222 = 8 �232 = 10 �213 = 8 �223 = 10 �233 = 12

3 �3 = 3 �31 = 3

�311 = 6 �32 = 3

�321 = 2 �33 = 3

�331 = 4 �312 = 8 �322 = 4 �332 = 6 �313 = 10 �323 = 6 �333 = 8

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Penyelesaian

Berdasarkan Tabel 1 diperoleh total siswa � = 27 siswa, � = 180 buku

Pilih sampel sebanyak � = 2 sekolah (psu), dari masing-masing sekolah pilih �ഥ= 2 kelas (ssu), dari masing-masing kelas pilih ��� = �ത= 2 siswa (tsu). Kita

akan memiliki sebuah sampel berukuran ��ഥ�ത= � = 8 siswa yang akan digunakan

untuk menaksir total buku dari populasi.

Tabel 1 Sampel � = 2 �ഥ= 2 ��� = 2 ���� = ����

�1 = 3 �12 = 3 �11 = 2 �122 = �111 = 6 �121 = �112 = 4 �13 = 3 �12 = 2 �131 = �121 = 6 �133 = �122 = 10 �3 = 3 �31 = 3 �21 = 2 �313 = �211 = 10 �312 = �212 = 8 �33 = 3 �22 = 2 �331 = �221 = 6 �333 = �222 = 8

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Sekolah (�) Kelas (��) Siswa (��� )

2

1

2

3

1

1

2

3

(A)

(B)

1

2

3

1

2

3

4 buku

6 buku

6 buku

10 buku

3

1

2

3

(C)

(D)

1

2

3

1

2

3

4 buku

10 buku

8 buku

8 buku

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Sekolah (�) Kelas (�ഥ) Siswa (��� )

1

1

2

(A)

(B)

1

2

1

2

�111 = 4 𝑏𝑢�𝑢 �112 = 6 𝑏𝑢�𝑢

�121 = 6 𝑏𝑢�𝑢 �122 = 10 𝑏𝑢�𝑢

2

1

2

(C)

(D)

1

2

1

2

�221 = 4 𝑏𝑢�𝑢

�212 = 10 𝑏𝑢�𝑢

�211 = 8 𝑏𝑢�𝑢

�222 = 8 𝑏𝑢�𝑢

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Langkah-langkah menentukan total jumlah buku yang dimiliki siswa kelas 6

dari populasi �= �� ���ഥ�� ������

�ഥ� ��������

Total banyaknya dari ��� siswa yang dipilih dari kelas ke-�.

��� = ��������=1

Kelas � σ �11��11�=1 = �111 + �112 = 4 + 6 = 10

� σ �12��12�=1 = �121 + �122 = 6 + 10 = 16

� σ �21��21�=1 = �211 + �212 = 8 + 10 = 18

� σ �22��22�=1 = �221 + �222 = 4 + 8 = 12

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Penaksir rata-rata banyaknya buku dari ��� siswa yang dipilih dari

kelas ke-� �ҧ�� = 1��� ��������=1

Penaksir dari total banyaknya buku dalam kelas ke-�,

��� = ��� �ොොොොො�� = ������ �������

�=1

Tabel 3 �ҧ�� = 1��� ��������=1 ��� = ��� �ොොොොො�� = ������ �������

�=1 � ൬1�ത10= ൬

1210= 5 ൬3210= 15 � ൬

1�ത16= ൬1216= 8 ൬

3216= 24 � ൬1�ത18= ൬

1218= 9 ൬3218= 27 � ൬

1�ത12= ൬1212= 6 ൬

3212= 18

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Penaksir dari total buku untuk �ഥ kelas yang dipilih dari sekolah ke-�. Penaksir dari rata-rata banyaknya buku per kelas dalam sekolah ke-�

Tabel 4

�������ഥ� �������

�=1 �ധ� = 1�ഥ �������ഥ� �������

�=1

� + � ൬3210+ ൬

3216= 39 ൬1239= 392

� + � ൬3218+ ൬

3212= 45 ൬1245= 452

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Penaksir dari total buku dalam sekolah ke-�.

Tabel 1 �� = ���ഥ ������

�ഥ� ����

����=1

� = 1 �� = ൬3239 � = 2 �� = ൬3245

Penaksir total buku dari � sampel sekolah �� =�� �1 + �2 = 32 39+ 32 45= 126

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Penaksir rata-rata dari banyaknya buku per sekolah. �ത= 1� σ ���=2�=1 = 12 126= 63 buku

Penaksir tak bias dari total banyaknya buku untuk � = 3 sekolah. �= �� σ ���ഥ�� σ ���� ���ഥ� σ ����� ��� = 363= 189 buku

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

1.3 VARIANS DARI

X̂

Varians dari estimator tak bias , untuk sampling cluster 3-tahap didapatkan dengan menggabungkan dua varians sampling cluster 2-tahap.

Skema 2-tahap

Dengan varians

X̂

psu———ssu

)S ns(ssu varia+)S ns(psu varia=)X̂V( 2i

2b

X̂

Skema 3-tahap

Varians dari pada kasus 2-tahap

psu—————ssu

ssu ————— tsu(1st case)

(2nd case)

X̂

22i

22b

2i

M2i

2b2

)(1-N

1=S

)(1-M

1=S dimana

S

Nm

M

m

S

M

m)-(MM=)X̂V(

∑

∑

∑

−

−

−+

iN

jiij

M

ii

ii

ii

XX

XX

nN

nN

Substitusikan varians ke psu dan ssu pada kasus 3-tahap, akan didapatkan

∑

∑

∑

−

−

−+

iM

j

2ij

i

2

2i

2

2i

L

j

22

2

)(X1-M

1=

)(X1-L

1= dimana

S)(

l

L

L

l-LL (2)

ii

L

ib

i

ii

b

XS

XS

mM

mMM

l

S

Selanjutnya, kita substitusikan varians 2-tahap ke ssu dan tsu dari kasus 3-tahap. Maka:

M (3) 2i

∑

∑

−−

=

−+−

0

i

22

M

ij

2

ij

ijij2ij

i2

i

i2i

)(1

1

dimana

nN

nNN

M

M

MM)3(

N

kijijk

ijij

j

iji

XXN

S

S

mm

Sm

Lalu, gabungkan persamaan (2) dan (3) untuk mendapatkan 3-tahap

(4)

Persamaan diatas dapat dibagi menjadi 3 komponen, yaitu:

X̂

.

18=X 12,=X 24,=X

30=X 24,=X 18,=X

24=X 18,=X 12,=X

:didapatkan

sama, yang caradengan hitung kita lainnya Xuntuk Kemudian

12=6+4+2=X+X+X X=X

dapatkan kita XUntuk

i)-kesekolah dan j-ke kelas padabuku tal(jumlah to X Cari 1.

X̂ dari variansdihitungakan 11.2,contoh n Menggunaka

1. Example

333231

232221

131211

ij

113112111

3N

k11k11

11

ij

11

=∑=

, ,

, ,

, ,

54=X72,=X54,=X

dapatkan kita sama, yang caraDengan

54=24+18+12=X+X+X X=X

dapatkan kita XUntuk

i)-kesekolah padabuku tal(jumlah to X Cari 2.

321

131211

M

j1j1

1

i

1

=∑

108=] 60)-(54+60)-(72+60)-[(54 1-3

1=

)(X1-L

1=S

S Cari.4

60=54)+72+(54 3

1= X

L

1=X̂

sekolah) setiap dibuku jumlah rata-(rata X̂ Cari 3.

222

2i

2b

2b

1

1

∑

∑

−L

M

X

18=X 24,=X 18,=X

didapatkanakan sama, yang caraDengan

18=24)+18+(12 3

1= X

M

1=X

dapatkan kita , 1=iUntuk

i)-kesekolah pada

kelas setiap dibuku jumlah rata-(rata X Cari 5.

321

M

1j1

1

1

1

∑

36=Sdan 36=S

didapatkanakan sama, yang caraDengan

36=] 18)-(24+18)-(18+18)-[(12 1-3

1=

)X(X1M

1=S

S Cari.6

23

22

222

21

M

1j1

21

2i

1

∑ −−

6=X 4,=X 8,=X

10=X 8,=X 6,=X

8=X 6,=X 4,=X

didapatkanakan sama, yang caraDengan

4=(12) 3

1=X

N

1=X

i).-kesekolah dan

j-ke kelas di siswa setiapbuku jumlah rata-(rataX Cari.7

333231

232221

131211

11k11

11

ij

∑

4=S 4,=S 4,=S 4,=S

4=S 4,=S 4,=S 4,=S

didapatkanakan sama, yang caraDengan

4=] 4)-(6+4)-(4+4)-[(2 1-3

1=

)(X1N

1=S

S Cari 8.

233

232

231

223

222

221

213

212

222

N2

1111ik11

211

2ij

11

∑ −−

X

22=)X̂V(

486=81+243+162=

S

S

l

S

L

l-L L=)X̂V(

2ij22

2i2

2b2

ij

L

ij

ijijL

iji

L

i

ii

nN

nNNM

l

L

mM

mMM

l

L

∑ ∑

∑−

+

−+

TE

OR

I SA

MP

LIN

G M

T 505

Bentuk dari estimator untuk klaster sampling 2-tahap :

1.4 ESTIMATOR DARI

( ) ∑ −+−=m

i

i

i

iii

b

n

S

N

nNN

m

M

m

S

M

mMMXV

22

22ˆˆ

( )( )

∑

∑

∑

=

−−

=

−−

=

i

i

n

iji

ii

n

jiij

ii

m

b

xn

NX

xxn

s

XXm

s

ˆ

1

1

ˆˆ1

1

22

22

∑

∑

=

=

=

in

iji

i

ii

m

i

xx

n

xx

Xm

X ˆ1ˆ

Untuk kasus 3-tahap, penaksir varians menjadi :

( ) ∑∑−

+−−−=m

j ij

ij

ij

ijijij

l

i

ii

i

ii

b

n

S

N

nNN

m

M

l

L

m

S

M

mMMl

L

l

S

L

LLXV

22

22

22 1ˆˆ

( )( )

( )( )∑

∑

∑

∑

−−

=

−−

=

−−

=

−−

=

ij

i

n

kijijk

ijij

l

j

m

jiij

ii

l

ib

xxn

s

XXl

XXm

s

XXl

s

22

2

22

22

1

1

ˆˆ1

1

ˆ1

1

ˆˆ1

1

Ketika kita dapat menyederhanakan estimator untuk variansi di atas menjadi:

Ll <

( )

−+−−−

= ∑∑∑

im

j ij

ij

ij

ijijij

l

i i

i

i

i

i

il

ib n

s

N

nNN

m

M

L

l

m

s

M

mMM

L

llS

L

L

l

LXV

2222

21ˆˆ

=

l

sL b

22

Contoh :Diketahui ada suatu populasi L =580 sekolah, kemudian diambil sebuah sample l=5 sekolah, kelas dari setiap sekolah ,dan siswa dari setiap kelas . Estimasi berapa banyak jumlah buku yang dimiliki siswa dalam populasi jika diketahui L=580 , l=5, 1/L=5/580. Ausmsikan kelas per sekolah dan siswa per kelas.

2=m 4=n

6==MM i40== NN ij

Sekolah Siswa Kelas j=1 Kelas j=2

1 k=1 x111=5 x121=4

2 x112=4 x122=6

3 x113=7 x123=1

4 x114=7 x124=5

2 k=1 x211=5 x221=4

2 x212=4 x222=6

3 x213=7 x223=1

4 x214=7 x224=5

3 k=1 x311=5 x321=4

2 x312=4 x322=6

3 x313=7 x323=1

4 x314=7 x324=5

4 k=1 x411=5 x421=4

2 x412=4 x422=6

3 x413=7 x423=1

4 x414=7 x424=5

5 k=1 x511=5 x521=4

2 x512=4 x522=6

3 x513=7 x523=1

4 x514=7 x524=5

∑ =ikn

kx 2311∑ =ikn

kx 1612

∑ =ikn

kx 1621 ∑ =ikn

kx 1722

∑ =ikn

kx 1231 ∑ =ikn

kx 1532

∑ =ikn

kx 1041 ∑ =ikn

kx 2142

∑ =ikn

kx 2151 ∑ =ikn

kx 1742

Misal biaya pemilihan psu,ssu dan tsu yaitu kemudian total biaya dimisalkan c , maka :

321 ,, cdancc

nmlcmlclcc 321 ++=Dari persamaan fungsi biaya tersebut kita menentukan dengan cara meminimumkan . Untuk menyederhanakan, kita asumsikan bahwa . Karena itu menjadi :.

nnij =

dimana

1.5 ALOKASI SAMPEL

Dengan menggunakan pengali Lagrange diperoleh :