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Examen Final - Tercer Grado de Secundaria

1. Tres agricultores decidieron cultivar sus terrenos

cuyas dimensiones son 20 hectáreas, 15 hectáreas y

11 hectáreas, respectivamente; pero antes de

empezar contrataron a un peón para que les ayude

con el trabajo y así todos trabajaron por igual.

¿Cuánto dinero recibió uno de los agricultores, si el

peón recibió S/.506 más que este agricultor?

A) S/.23 B) S/.30

C) S/.22 D) S/.40

2. Dadas dos magnitudes A y B se cumple lo siguiente:

A IP B2 para B ≤ 12

A IP B para 12 ≤ B ≤ 14

A DP B3 para 14 ≤ B

Si el valor de A es 63 cuando B es 8 y el valor de A

es x cuando B es 21, además, f es una función lineal

que pasa por el origen y g una función hiperbólica,

tal que

f(f(f(189)))+f(x)=110

g(x)+g(g(27))=823

halle f(18)+g(g(8)).

A) 12,5 B) 38

C) 44 D) 20

3. En cierto colegio se eligió un aula de tercer año

de secundaria y se encuestó a sus estudiantes

preguntándoles: ¿Cuántas veces han visitado el

museo el año pasado? Las respuestas aparecen en

la siguiente tabla (b=2a):

# visitas # alumnos

0 - a ab

b - 4 ba

5 - 6 d – 1

c - 8 a+b+c

d - a0 c – 3

Si p es el número de alumnos que han visitado el

museo menos de 2b veces, además, q es la cantidad

de alumnos que han ido más de c veces, calcule

p+q.

A) 42 B) 35

C) 47 D) 34

4. Con los sueldos de N empleados se forma una tabla

de distribución simétrica, en la que encontramos lo

siguiente:

• 7 intervalos de ancho de clase común.

• El límite inferior del segundo intervalo es 510.

• f4, f1 y f2 forman una P. A. estrictamente creciente

y MA(f1; f2; f4)=4.

• x5=720

• H5=0,80

Calcule la suma de los valores de N.

A) 150 B) 210

C) 105 D) 130

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Tercer Grado de Secundaria

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Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2008

5. Si en el histograma que se muestra la media es 60,

calcule la mediana.

fi

xi20 90

k

20

3k

(Considere que todos los intervalos tienen un ancho

común de clase)

A) 63 4, B) 74,4

C) 64 4, D) 73 4,

6. El siguiente conjunto muestra las pendientes de 8

rectas en el plano.

− − −{ }2

43

12

012

34

3 4; ; ; ; ; ; ;

¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar

3 rectas dos de ellas sean perpendiculares?

A) 128

B) 34

C) 3

14 D)

14

7. Cuatro señoritas ingresan juntas a un consultorio

médico, una de ellas es Valery. Si en la sala de

espera solo hay 3 asientos disponibles, ¿cuál es la

probabilidad de que Valery se quede sin asiento?

A) 1/3 B) 1/4

C) 2/3 D) 1/2

8. De un grupo de n personas son seleccionadas 5, y

la probabilidad de que 3 de ellas estén siempre en

el grupo seleccionado es 1/22. Si de los números de

tres cifras que son no

se eligen 2 números al azar,

¿cuál es la probabilidad de que sólo uno de ellos sea

divisible por 5?

A) 4089

B) 637

C) 1237

D) 15

9. Sean las siguientes desigualdades:

– 4 < x < 3; y > 2

Halle la variación de f (x; y)=xy

2.

A) ⟨0; 8⟩ B) 14

16;

C) [0; 8⟩ D) [0; 16⟩

10. En la siguiente ecuación cuadrática

(x+1)(x – 1)=3x – 2, en la cual x1 y x2 son sus raíces,

halle el valor de

x x x x x x

x x

x x x x1 2 1 2 1

525

14

24

2 1 1 2 2+( ) +( ) + + −

+

A) 15 B) 20

C) 3/4 D) 3

11. Considere la inecuación en x, 2 mx – n > 0, m y n

reales (fijos), de conjunto solución

S={x ∈R/x2+1>0}

Resuelva la inecuación lineal n – nx ≥ 0 e indique la

proposición correcta.

A) Las soluciones pueden ser negativas.

B) La suma de las tres mayores soluciones enteras es cero.

C) La suma de las tres menores soluciones enteras

es seis.

D) La menor solución entera es dos.

12. Respecto a la inecuación cuadrática

x2 – λx+1 < 0; –1 ≤ λ ≤ 1

de conjunto solución S, indique lo correcto.

A) S=φ B) S=R

C) S=[–1; 1] D) S=R–

P - 3

Examen Final - Tercer Grado de Secundaria

13. Indique verdadero (V) o falso (F).

I. Si |x| < 2, entonces, 1 12

12x

∈ − ; .

II. Si –1 < x < 2, entonces, –1 ≤ x2 – 1 < 3.

III. Si x > 0, entonces, 01

132<

+ +≤x

x x.

IV. Si x < 12

, entonces, 1x

> 2.

A) FVFV B) FVVF

C) VVVV D) VVVF

14. Si {α; β} es el conjunto solución de la siguiente

ecuación:

x

x x x22 2 22 1 4 1 8 1

1 2 3+ − + − + − + =( ) ( ) ( )

! ! !…

e2+(x+1)2 – 2xe2; α > β

además

e

x x xx = + + + +11 2 3

2 3

! ! !…

entonces, calcule el valor de αβ

.

A) – 2 B) – 3

C) – 1 D) – 4

15. Resuelva la siguiente ecuación irracional

1 2 13− + + =x x

e indique el número de soluciones que presenta.

A) 0 B) 1

C) 2 D) más de 2

16. Indique el conjunto solución de la siguiente

inecuación irracional.

x x

x

2

24

6

6 25

+ −

− − ≥ x – 8

A) [–3; 2]

B) [– 5; 5]

C) [– 5; – 3] ∪ [2; 5]

D) [– 5; – 1] ∪ [2; 5]

17. Sean las matrices A=1 01 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , B y X no singulares tal

que se cumple la igualdad AX · B=|A|·B. Halle X –1.

A) 1/2 1/21/2 1/2−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ B)

2 02 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C) 1 01/2 1/2−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ D)

1/2 01/2 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

18. Resuelva

1

1

1

3

2

24 2 4 2 4x x x x x+ ++

− +=

+

e indique la proposición incorrecta.

A) La suma de soluciones es cero.

B) Tiene soluciones enteras.

C) Las soluciones son racionales.

D) Tiene soluciones no reales.

19. Si la inecuación fraccionaria

x y

x x y x z x y z y z

+ −+ + + + +

6

4 2 2 2( )( )( ) ≥ 0; z > 0

se verifica ∀x ∈[α; +∞⟩, además, 2 ≤ y ≤ 5, halle el

mínimo valor de α.

A) 6 B) 4

C) 1 D) 5

20. Si al resolver la inecuación

||x2 – x – 1| – |2x – 4|| ≤ x2 – 3x+3

se obtiene como conjunto solución S, entonces,

indique lo correcto.

A) S ⊂ ⟨– ∞; 2]

B) ⟨– 1; 1⟩ ⊂ S

C) S ⊂ 1− 1+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

52

52

;

D) S=1− 1+5

25

2;

P - 4

Concurso Nacional de Matemática CÉSAR VALLEJO 2008

21. Sobre una recta se ubican los puntos A, B y C

(AB > BC), donde M y N son puntos medios de AC y

AB. Si MN=4, calcule BC.

A) 1/2 B) 2

C) 4 D) 8

22. Si L L1 2// , indique lo correcto.

I. α+β – θ=180º

II. θ – α=β III. β+θ – α=180º

A) I y II B) I y III

C) solo III D) solo II

23. Según el gráfico, AB=AM. Calcule x.

A) 30º

B) 35º

C) 45o

D) 60o

24. En el gráfico, ABCD: cuadrado de centro O, MNPQ:

trapecio isósceles, OM=2(ON) y BH=HC. Calcule x.

A) 30º B) 37º

C) 45º D) 53º

25. Del gráfico se sabe que R= 45 20 5+ . Calcule la

longitud del lado del cuadrado menor.

A) 0,5 B) 5

C) 2 D) 1

Domingo, 26 de octubre de 2008