3 pogl minim ds bolonjska 1 - lms.uni-mb.si

Digitalni sistemi Minimizacija preklopnih funkcij

Prosojnica št. 4-1

Minimizacija preklopnihfunkcij

Digitalni sistemi


Prosojnica št. 4-2

Vsebina poglavja

• Osnove minimizacije• Algebrsko poenostavljanje• Metoda minimizacije z Boolovimi kockami• Karnaughova metoda minimizacije• Veitcheva metoda minimizacije• Quine-McCluskeyeva metoda minimizacije• CAD orodja za minimizacijo


Prosojnica št. 4-3

Osnove minimizacije: Minimizacijski izrekMinimizacija funkcije privede DNO (KNO) v njeno minimalno disjunktivno normalno obliko–MDNO (minimalno konjunktivno normalno obliko–MKNO). MDNO (MKNO) vsebuje najmanjše število konjunktivnih(disjunktivnih) členov in minimalno število literalov.

Cilji minimizacije: implementirati preklopno funkcijo z logičnim vezjem,ki vsebuje najmanjše možno število vrat!

Osnova za minimizacijo je naslednji minimizacijski izrek (izrek o sosednosti (I16a in I16b)):

Izrek. Naj bo E poljubni Boolov izraz in x Boolova spremenljivka. Velja:

Ex + Ex' = E in (E + x)•(E + x') = E . nEx + Ex' = E in (E + x)•(E + x') = E . n

Ključna procedura minimizacijskega postopka je poenostavitev dveh konjunktivnih ali disjunktivnih členov, ki sta logično sosedna.

Logično sosedna sta člena, ki se razlikujeta samo v enem literalu. (v enem členu nastopa ena spremenljivka komplementirana, v drugem panekomplementirana).

Z zaporedno uporabo minimizacijskega izreka odstranjujemo nepo-trebne literale ali celotne konjunktivne ali disjunktivne člene.


Prosojnica št. 4-4

Osnove minimizacije: Vsebovalnik funkcije

Naj bo f(x1, x2, ..., xn) preklopna funkcija in p(x1, x2, ..., xn) produktni člen(= produkt literalov). Če f pokriva p, potem pravimo, da je p vsebovan v f. p-ju pravimo vsebovalnik funkcije f.

Primer: f(x1, x2, x3) = x1x2 + x2x3 + x1x'2x3

Definicija. Preklopna funkcija f(x1, x2, ..., xn) pokriva funkcijo g(x1, x2, ..., xn), če zavzame f vrednost 1, kadarkoli jo zavzame g. Torej, če fpokriva g, potem ima f vrednost 1 v vsaki vrstici pravilnostne tabele, vkateri ima g vrednost 1.

Definicija. Če f pokriva g in hkrati g pokriva f, sta funkciji f in gekvivalentni.

Vsebovalniki f-ja so: x1x2, x2x3, x1x'2x3, .. x'1x2x3, x1x2x'3, x1x2x3, x1x3, ...


Prosojnica št. 4-5

Osnove minimizacije: Glavni in potrebni glavni vsebovalnik funkcije

V MDNO nastopajo vsi potrebni glavni vsebovalniki in minimalna množica tistih glavnih vsebovalnikov, ki pokrijejo vse s potrebnimi glavnimi vsebovalniki še nepokrite minterme.

Definicija. Vsebovalnik p funkcije f imenujemo glavni vsebovalnik, čez brisanjem kateregakoli literala iz p dobimo produktni člen, ki ni večvsebovalnik funkcije f.

Primer: f(x1, x2, x3) = x1x2 + x2x3 + x1x'2x3Primer: f(x1, x2, x3) = x1x2 + x2x3 + x1x'2x3

Npr., x1x2 je glavni vsebovalnik f-ja, ker niti sam x1 niti sam x2 ni vsebovalnik funkcije f. Vsebovalnik x1x'2x3 ni glavni vsebovalnik, kerdobimo z brisanjem literala x'2 člen x1x3, ki je vsebovalnik f-ja.

Definicija. Glavni vsebovalnik p funkcije f je potrebni glavni vse-bovalnik, če pokriva vsaj en minterm funkcije f, ki ni pokrit z nobenim drugim glavnim vsebovalnikom.


Prosojnica št. 4-6

Osnove minimizacije: Vrste minimizacijskih metod

Obstaja več metod za minimizacijo preklopnih funkcij: algebrskopoenostavljanje, ročne grafične metode (metoda z Boolovimi kockami,Karnaughova metoda, Veitcheva metoda), ročne tabelarične metode(Quine-McCluskeyeva metoda) in orodja CAD za minimizacijo (npr. Espresso).

Ročne metode• Praktično so uporabne samo za minimizacijo funkcij z manjšim

številom vhodnih spremenljivk (n 6), ki pa so pri delu v laboratorijunajpogostejše.

• Poznavanje ročnih metod nam daje vpogled v delovanje CAD orodij za minimizacijo in možnost, da vsaj na manjših primerih preverimo njihove rezultate.

Algebrsko poenostavljanje• V ad-hoc zaporedju uporabljamo minimizacijski izrek.• Procedura ni algoritmična in zato ni sistematična.• Težko ugotovimo, ali smo že dosegli minimalno obliko.

CAD orodja za minimizacijo• Eksaktne rešitve zahtevajo zelo veliko procesorskega časa, še

posebej za funkcije z velikim številom vhodnih spremenljivk (n > 10).

• Za zmanjšanje kompleksnosti računanja se zatečemo k uporabi hevrističnih metod, ki dajo dobre, ne pa tudi najboljše rešitve.


Prosojnica št. 4-7

Algebrsko poenostavljanje

Primer: Za podano PDNO funkcijo F(A,B,C)=(0,1,2,3,7) izpeljimoMDNO funkcije F.

Zdaj izpeljimo še MKNO funkcije F.

F(A,B,C) = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + A'BC + ABC = A' + BC

A'B' A'B BC

A'

F(A,B,C) = (0,1,2,3,7) = (4,5,6) =

= (A' + B + C)(A' + B + C')(A' + B' + C) = (A' + B)(A' + C)

(A' + B) (A' + C)

Pokažimo, da je Boolov izraz za MKNO ekvivalenten izrazu za MDNO:

(A' + B)(A' + C) = A' + A'B + A'C + BC = A'(1 + B+ C) + BC = A' + BC


Prosojnica št. 4-8

Boolove kocke

Boolove kocke so grafične sheme za ugotavljanje, kje lahko uporabimo minimizacijski izrek. Za n vhodnih spremenljivk dobimo n-dimenzionalno“kocko”.

3-dimenzionalna kocka

XYZ

X

011

010

000

001

111

110

100

101 Y Z


XY 1-dimenzionalna kocka

X

X

01

00

11

10

Y

0 1


WXYZ

0111 0011

0010

0000

0001

0110

1010

0101

0100 1000

1011

1001

1110

1111

1101

1100 Y

Z W

X


Prosojnica št. 4-9

Preslikava pravilnostnih tabel v Boolove kocke

Množico “ON-set” predstavljajo polna vozlišča.Množico “OFF-set” predstavljajo prazna vozlišča.Množico “DC-set” predstavljajo vozlišča X.

Primer:AB

00

01

10

11

01

00

11

10

FG

F G

A ima vrednost 1.B ima vrednost 0 ali 1.

A ima vrednost 0 ali 1.B ima vrednost 0.

Kocka z dimenzijo n-1

Reduciran izraz vsebuje n-1 spremenljivk.

01 11

10 00

A

B

01 11

10 00

B

A

Boolove kocke


Prosojnica št. 4-10

Primer s tremi spremenljivkami: funkcija Cout popolnega seštevalnika

(A' + A) B Cin = BCin

A B (Cin' + Cin) = AB

A (B + B') Cin = ACin

MDNO: Cout = B Cin + A B + A Cin

Množica “ON-set” je pokrita z disjunkcijami treh temno šrafiranih podkock z dimenzijo1.

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

Cin 0 1 0 1 0 1 0 1

Cout 0 0 0 1 0 1 1 1

MKNO: Cout' = B'Cin' + A'B' + A'Cin'(Cout')' = [B'Cin' + A'B' + A'Cin']'Cout = (B + Cin)•(A + B)•(A+ Cin)

Množica “OFF-set”je pokrita s kon-junkcijami treh sve-tlo šrafiranih pod-kock z dimenzijo 1.

A

B

111

010 110

001

000 100

101 Cin

011

A'C'in

B'C'in

A'B'

Boolove kocke



Podkocke z dimenzijami večjimi od 2

F(A,B,C) = (4,5,6,7)

Množica “ON-set” tvori kvadrat,(2-dimenzionalno kocko). Predstavlja izrazz eno spremenljivko (3 - 2 = 1).

A ima vrednost 1.B in C imata vrednosti 0 ali 1.

Ta podkocka predstavljaliteral A.

011 111

101

100

110 010

001

000

B

C

A

Boolove kocke



Boolove kocke

V 3-dimenzionalni kocki imamo:

• 0-dimenzionalne kocke–posamezna vozlišča, ki dajejo člen s tremi literali,

• 1-dimenzionalne kocke–stranice z dvema vozliščema, ki dajejo členz dvema literaloma,

• 2-dimenzionalne kocke–ravnine s štirimi vozlišči, ki dajejo člen zenim literalom in

• 3-dimenzionalno kocko–kocko z osmimi vozlišči, ki daje konstantničlen “1”.

V splošnem velja, da k-dimenzionalna kocka v n-dimenzionalni kocki(k < n) daje člen z n - k literali.

Metoda minimizacije z Boolovimi kockami je uporabna le do dimenzijen = 4, ker je težko risati kocke z večjimi dimenzijami.



Karnaughov diagram

Karnaughov diagram (K-diagram) je matrična logična shema za predstavitev pravilnostne tabele, iz katere lahko z opazovanjem dokaj enostavno odčitamo sosednosti med Boolovimi kockami do 6 dimenzij.

A B 0 1

0

1

0

1

2

3

0

1

2

3

6

7

4

5

AB C

A

B

00 01 11 10

0

1

K-diagram je v bistvu modificiran Vennov diagram, če Vennove kroge spremenimo v kvadrate oz. pravokotnike in njihovo prekrivanje sistematičnouredimo.

Splošne oblike K-diagramov za preklopne funkcije z 2, 3, 4, 5 in 6 spremenljivkami.

n = 2 n = 3 n = 4

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

AB CD

A

00 01 11 10

00

01

11

10 C

B

D

Puščice označujejo fizično nesosedne vrstice oz. fizično nesosedne stolpce, kiso logično sosedni.

Puščice označujejo fizično nesosedne vrstice oz. fizično nesosedne stolpce, kiso logično sosedni.



• K-diagram za f z n spemenlivkami ima 2n kvadratnih celic

• Vsaka vrstica i v pravilnostni tabeli ustreza celici i v Karnaughovem diagramu. Celice so označene z desetiškim ekvivalentom i-ja v desnem spodnjem kotu.

• Vsaka celica i je naslovljena z binarno koordinato stolpca in binarno koordinato vrstice, ki ju tvori kombinacija vrednosti vhodnih spremenljivk. Koordinate stolpcev in vrstic so zapisane v Grayevemkodu (sosedni kodni besedi se razlikujeta samo v enem bitu).

• Glavna ideja K-diagrama je ta, da so v njem logično sosedne celice tudi fizično sosedne. Na ta način je lahko prepoznati člene, ki jih smemo združiti v en sam, preprostejši člen. Upoštevati moramo, daso si v K-diagramu tudi fizično nesosedne celice logično sosedne, čeležijo zrcalno glede na simetrali K-diagrama.

Karnaughov diagram

0

1

2

3

6

7

4

5

AB C 00 01 11 10

0

1



n = 5

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

ABCDE

C

000 001 011 010

00

01

11

10 D

A

24

25

27

26

28

29

31

30

20

21

23

22

16

17

19

18

110 111 101 100

C

B

E

Puščice označujejo fizično nesosedne vrstice oz. fizično nesosedne stolpce, ki so logično sosedni.

Karnaughov diagram



n = 6


0

1

3

2

8

9

11

10

24

25

27

26

16

17

19

18

ABCDEF

C

000 001 011 010

000

001

011

010

F

A

48

49

51

50

56

57

59

58

40

41

43

42

32

33

35

34

110 111 101 100

C

B

E

6

7

5

4

14

12

30

31

29

28

22

23

21

20

54

55

53

52

62

63

61

60

46

47

45

44

38

39

37

36

15

13

110

111

101

100

F D

Karnaughov diagram



Grupiranje celic

V celico i K-diagrama vpišemo vrednost funkcije v i-ti vrstici pravilnostne tabele.

Vsaka celica z vrednostjo 1 (0) ustreza mintermu (makstermu) funkcije.

Če lahko množico 2k mintermov preklopne funkcije f z n spremenljivkami predstavimo z enim samim produktnim členom (ta vsebuje n - k literalov),potem ustrezno grupo 2k celic 1 v K-diagramu za f združimo v Boolovo podkocko in jo označimo s pravokotnikom ali kvadratom.

Cilj iskanja MDNO v K-diagramu je, da poiščemo najmanjše število največjih možnih podkock, s katerimi pokrijemo množico “ON-set”.

Karnaughov diagram



Primeri K-diagramov

F = A G = B'

F = A B + B C + A C F(A,B,C) = A

A B 0 1

0 1

0 1

0

1

A B 0 1

1 1

0 0

0

1

AB C

A

00 01 11 10

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

B

B ima vrednost 0.A ima vrednost 0 ali 1.

A ima vrednost 1.B ima vrednost 0 ali 1.

Karnaughov diagram

A B A

B

C 00 01 11 10

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

A B C + A B C + A B C + A B C0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1



Primer K-diagrama s tremi spremenljivkami

00 C AB

01 11 10

1 0 0 1

1 1 0 0

A

B

0

1

Karnaughov diagram

A B C + A B C + A B C + A B C0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1

F(A,B,C) = (0,4,5,7)

F = B' C' + A C

Stolpca na robovih K-diagrama sta logično sosedna.



Karnaughova metoda minimizacijePrimer K-diagrama s štirimi spremenljivkami

F(A,B,C,D) = (0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)

F =

AB 00 01 11 10

1 0 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B



Karnaughova metoda minimizacijePrimer K-diagrama s štirimi spremenljivkami

F(A,B,C,D) = (0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)

F = C + A' B D + B' D'

Ilustriracija logične so-sednosti celic 1 v kotihK-diagrama s 4-dimen-zionalno kocko.

AB 00 01 11 10

1 0 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

0011

D

0010

0000

0111

0110

0001 C

A

B 0100 1000

1100

1101

1111

1110

1001

1011

1010

0101



Karnaughova metoda minimizacijePrimer K-diagrama z nedoločenimi vrednostmi

Nedoločene vrednosti lahko jemljemo kot 1 ali kot 0.Nedoločene vrednosti lahko jemljemo kot 1 ali kot 0.

F(A,B,C,D) = (1,3,5,7,9) + (6,12,13)

Brez upoštevanja nedoločenih vrednosti: F =

F =Z upoštevanjem nedoločenih vrednosti:

AB 00 01 11 10

0 0 X 0

1 1 X 1

1 1 0 0

0 X 0 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

A B C D F0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 X0 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 X1 0 1 1 X1 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 01 1 1 1 1

A B C D F0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 X0 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 X1 0 1 1 X1 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 01 1 1 1 1



Karnaughova metoda minimizacije

F(A,B,C,D) = (1,3,5,7,9) + (6,12,13)

Z jemanjem tega X-a za “1” lahko minterm 9 pokrijemo z 2-dimenzio-nalno kocko namesto z 1-dimenzio-nalno.

AB 00 01 11 10

0 0 X 0

1 1 X 1

1 1 0 0

0 X 0 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Primer K - diagrama z nedoločenimi vrednostmi

Brez upoštevanja nedoločenih vrednosti: F = A'D + B' C' D

F = A' D + C' D Z upoštevanjem nedoločenih vrednosti:

Nedoločene vrednosti lahko jemljemo kot 1 ali kot 0.Nedoločene vrednosti lahko jemljemo kot 1 ali kot 0.



Karnaughova metoda minimizacijePrimer načrtovanja: Dvobitni primerjalnik

=, >, <

F 1 A B = C D

F 2 A B < C D

F 3 A B > C D

A B

C

D

N 1

N 2

Blokovni diagram

Za vsako od treh izhodnih funkcij potrebujemo K-diagram s štirimi spremenljivkami.

F 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

F 2 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

F 3 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

B 0

1

0

1

A 0

0

1

1

Pravilnostna tabela

1 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

primer enobitnega primerjalnika




F1 =

F2 =

F3 =

AB 00 01 11 10

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

K-diagram za F1

AB 00 01 11 10

0 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 1

1 1 0 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 1 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

K-diagram za F2 K-diagram za F3

Primer načrtovanja: Dvobitni primerjalnik




F1 = A' B' C' D' + A' B C' D + A B C D + A B' C D'F2 = A' B' D + A' C + B' C DF3 = B C' D' + A C' + A B D'

AB 00 01 11 10

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 1

1 1 0 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 1 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Primer načrtovanja: Dvobitni primerjalnik

K-diagram za F1 K-diagram za F2 K-diagram za F3

F1 = A'C'(B'D' + BD) + AC(B'D' +BD) = (A'C' + AC)(B'D' + BD)

= (A C)(B D) = (A C)(B D)



Karnaughova metoda minimizacijePrimer načrtovanja: Dvobitni seštevalnik

+ N 3

A B

C D

N 1

N 2

X Y Z

Blokovni diagram

Pravilnostna tabela

Za vsako od treh izhodnih funkcij potrebujemo K-diagram s štirimi spremenljivkami.

X 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1

Z 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

B 0

1

0

1

A 0

0

1

1

0 0 0

0 0 0

1 1 1

0 0 0

1 1 1

1 1 1

0 0 0

1 1 1

00111 710101 21

0

1

0

1

1

1

1

0

1 28=

Princip seštevanja binarnih števil: seštej binarni števili 00111 in 10101




X =

Z =

Y =

Primer načrtovanja: Dvobitni seštevalnik

AB 00 01 11 10

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 1 1

0 0 1 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B X K-diagram za Y K-diagram za Z K-diagram za




Y = A' B' C + A B' C' + A' B C' D + A' B C D' + A B C' D' + A B C D= B' (A C) + A' B (C D) + A B (C D)= B' (A C) + B(A'(C D) + A(C D)) = B' (A C) + B (A C D)

Celice 1 po diagonali su-gerirajo uporabo vrat XOR.

AB 00 01 11 10

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 1 1

0 0 1 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

X K-diagram za Y K-diagram za Z K-diagram za


Če uporabimo vrata XOR, zmanjšamo število potrebnih vrat in literalov.

X = A C + B C D + A B DZ = B D' + B' D = B DY = A' B' C + A B' C' + A' C D' + A C' D' + A' B C' D + A B C D




Alternativni implementaciji funkcijeY (brez vrat XOR in z vrati XOR).

Opomba: implementacijavrat XOR tipično zahteva4 vrata NAND.


X Y

X

Y

\ D \ A \ C

Y 1

A

C

D

\ B

B

Y 2




W =

X =

Y =

Z =

AB 00 01 11 10

0 0 X 1

0 0 X 0

0 1 X X

0 0 X X

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 1 X 0

0 1 X 0

1 0 X X

0 1 X X

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 0 X 0

1 1 X 0

0 0 X X

1 1 X X

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

1 1 X 1

0 0 X 0

0 0 X X

1 1 X X

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Z Y

X W

Krožni BCD števnik




W = B C D + A D'

X = B C' + B D' + B' C D

Y = A' C' D + C D'

Z = D'

AB 00 01 11 10

0 0 X 1

0 0 X 0

0 1 X X

0 0 X X

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 1 X 0

0 1 X 0

1 0 X X

0 1 X X

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 0 X 0

1 1 X 0

0 0 X X

1 1 X X

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

1 1 X 1

0 0 X 0

0 0 X X

1 1 X X

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Z Y

X W

Krožni BCD števnik




Pojmi: vsebovalnik,glavni vsebovalnik, potrebni glavni vsebovalnik v K-diagramu

• Vsebovalniki v K-diagramu so posamezne celice 1 ali katerekoli grupe celic 1, ki jih lahko združimo v podkocko.

• Glavni vsebovalniki v K-diagramu so največje grupe celic 1, ki jih lahko združimo v podkocko.

• Potrebni glavni vsebovalniki v K-diagramu so tisti glavni vsebovalniki, ki sami pokrivajo kakšno celico 1.

Cilj minimizacije

1. Vsebovalnike povečujemo do glavnih vsebovalnikov.

2. Celice 1 pokrijemo s čim manjšim številom glavnih vsebovalnikov.

3. Potrebni glavni vsebovalniki nastopajo v vseh možnih pokritjih.




6 glavnih vsebovalnikov:A' B' D, B C', A C, A' C' D, A B, B' C D

potrebna

F = B C' + A C + A' B' D

5 glavnih vsebovalnikov:B D, A B C', A C D, A' B C, A' C' D

potrebni

AB 00 01 11 10

0 1 1 0

1 1 1 0

1 0 1 1

0 0 1 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

0 0 1 0

1 1 1 0

0 1 1 1

0 1 0 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Primeri za ilustracijo glavnih in potrebnih glavnih vsebovalnikov

MDNO:

MDNO: F = A B C' + A C D + A' B C + A' C' D

Glavni vsebovalnik, ki ga v MDNO ne potrebujemo, kajti potrebni glavni vsebovalniki pokrijejo vse minterme.




4 glavni vsebovalniki:B D, C D, A C, B' C

potrebni

AB 00 01 11 10

0 0 0 0

0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 1 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Primeri za ilustracijo glavnih in potrebnih glavnih vsebovalnikov

F = B D + A C + B' CMDNO:



Karnaughova metoda minimizacijeAlgoritem za iskanje MDNO s pomočjo K-diagrama

Pregledamo celice 1 v K-diagramu. Če je celica 1 pokrita zenim samim glavnim vsebovalnikom, je ta potreben, innastopa v končnem pokritju. Celic 1 v potrebnem glavnem vsebovalniku ni treba več pregledovati.

Korak 1: Za funkcijo narišemo K-diagram in vanj vnesemo funkcijskevrednosti (0, 1, X).

Korak 2: Izberemo neki element iz množice “ON-set”. Poiščemo vse“maksimalne” grupe celic 1 in celic X (število celic v grupi je enako potenci števila 2), ki pokrijejo ta element. Te grupe soglavni vsebovalniki. Korak 2 ponovimo za vsak element iz množice “ON-set”, da najdemo vse glavne vsebovalnike.

Korak 3:

Korak 4: Če v K-diagramu ostanejo celice 1, ki niso pokrite spotrebnimi glavnimi vsebovalniki, izberemo najmanjšo množico glavnih vsebovalnikov, ki jih pokrijejo. Če obstajaveč takih množic, izberemo tisto, ki ima najmanjše možno število literalov.

Opomba: Preklopna funkcija ima lahko več enakovrednih minimalnih oblik.



Karnaughova metoda minimizacijePrimer: F(A,B,C,D) = (4,5,6,8,9,10,13) + (0,7,15)

Začetni K-diagram

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B




Glavni vsebovalnikiokrog A' B C' D'

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Primer: F(A,B,C,D) = (4,5,6,8,9,10,13) + (0,7,15)

Začetni K-diagram




AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Primer: F(A,B,C,D) = (4,5,6,8,9,10,13) + (0,7,15)

Začetni K-diagram Glavni vsebovalnikiokrog A' B C' D'

Glavni vsebovalnikiokrog A' B C' D



Karnaughova metoda minimizacijeNadaljevanje primera

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Glavni vsebovalnikiokrog A B C' D




AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Nadaljevanje primera


Glavni vsebovalnikiokrog A B' C' D'




AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

Potrebni glavnivsebovalniki in

minimalno pokritje

Nadaljevanje primera


Glavni vsebovalnikiokrog A B' C' D'

MDNO: F(A, B, C, D) = A'B + AB'D' + AC'D

AB 00 01 11 10

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B



Karnaughova metoda minimizacijePrimer K-diagrama s petimi spremenljivkamiF(A, B, C, D, E) = (2,5,7,8,10,13,15,17,19,21,23,24,29,31)

ABCDE

C

000 001 011 010

00

01

11

10 D

A

110 111 101 100

C

B

E

1 1

1 1

1 1

11

1 1 1

1 1 1

MDNO: F(A, B, C, D, E) =

0 0 0

0

0

00

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0



Karnaughova metoda minimizacijePrimer K-diagrama s petimi spremenljivkamiF(A, B, C, D, E) = (2,5,7,8,10,13,15,17,19,21,23,24,29,31)

MDNO: F(A, B, C, D, E) = CE + AB'E + BC'D'E' + A'C'DE'

ABCDE

C

000 001 011 010

00

01

11

10 D

A

110 111 101 100

C

B

E

1 1

1 1

1 1

11

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0

0

00

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0



Karnaughova metoda minimizacijePrimer K-diagrama s šestimi spremenljivkamiF(A, B, C, D, E, F) = (2,8,10,18,24,26,34,37,42,45,50,53,58,61)

ABCDEF

C

000 001 011 010

000

001

011

010

F

110 111 101 100

C

B

E 110

111

101

100

F D

1 1 1 1 1 1 1 1

11

1111

F(A, B, C, D, E, F) =

A

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 00



Karnaughova metoda minimizacijePrimer K-diagrama s šestimi spremenljivkamiF(A, B, C, D, E, F) = (2,8,10,18,24,26,34,37,42,45,50,53,58,61)

ABCDEF

C

000 001 011 010

000

001

011

010

F

110 111 101 100

C

B

E 110

111

101

100

F D

1 1 1 1 1 1 1 1

11

1111

F(A, B, C, D, E, F) = D'EF' + ADE'F + A'CD'F'

A

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 00



Karnaughova metoda minimizacijePrimer iskanja MKNO s pomočjo K-diagrama:

F(A,B,C,D) = (0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)Korak 1: Poiščemo MDNO za funkcijo F' (pokrivamo ničle).

Korak 2: Obe strani izraza za F' negiramo in tako dobimo MKNO za funkcijo F.

AB 00 01 11 10

1 0 0 1

0 1 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

F = (B' + C + D)(A' + C + D')(B + C + D')

F' = BC'D' + AC'D + B'C'D

F = (B' + C + D)(A' + C + D')(B + C + D')(F')' = (BC'D' + AC'D + B'C'D)'

MKNO:




F(A,B,C,D) = (1,3,5,7,9) + (6,12,13)

AB 00 01 11 10

0 0 X 0

1 1 X 1

1 1 0 0

0 X 0 0

00

01

11

10 C

CD

A

D

B

F' = D' + AC(F')' = (D' + AC)'F = D(A' + C')MKNO:

Primer iskanja MKNO nepopolno določene funkcije s pomočjo K-diagrama:



Veitcheva metoda minimizacije

Veitchev diagram je matrična logična shema, na kateri temelji grafična metoda za ročno minimizacijo preklopnih funkcij do 6 spremenljivk.

Veitcheva metoda minimizacije preklopnih funkcij je enaka kot Karnaughova. Razlika je le v tem, da so celice v Veitchevem diagramu drugače razmeščene kot v Karnaughovem, zato veljajo (za n 4) drugačna pravila o logični sosednosti stolpcev in vrstic.

Oglejmo si splošne oblike Veitchevih diagramov za preklopne funkcije z 2, 3, 4, 5 in 6 spremenljivkami.

A

B 3

2

1

0

6

4

7

5

3

1

2

0

C

A

B 12

13

9

8

14

15

11

10

6

7

3

2

4

5

1

0

A

C

B

D

n = 2 n = 3 n = 4

Puščice označujejo fizično nesosedne vrstice oz. fizično nesosedne stolpce,ki so logično sosedni.



Veitcheva metoda minimizacijeVeitchev diagram

n = 5

25

27

19

17

29

31

23

21

13

15

7

5

9

11

3

1

D

A

24

26

18

16

28

30

22

20

12

14

6

4

8

10

2

0

C

B

A

C

E


Opozorilo: Četrti in peti stolpec sta fizično sosedna, vendar nistalogično sosedna (razlikujeta se v spremenljivkah A in E).



Veitcheva metoda minimizacijeVeitchev diagramn = 6

F

51

55

39

35

59

63

47

43

27

31

15

11

19

23

7

3

C

F

A

49

53

37

33

57

61

45

41

25

29

13

9

17

21

5

1

C

B

E

50

54

38

34

58

42

26

30

14

10

18

22

6

2

48

52

36

32

56

60

44

40

24

28

12

8

16

20

4

0

62

46

D

B

D

A

Puščice označujejo fizično nesosedne vrstice oz. fizično nesosed-ne stolpce, ki so logično sosedni.

Opozorilo: Četrtiin peti stolpec sta fizično sosedna,vendar nista logi-čno sosedna (raz-likujeta se v spre-menljivkah A in E). Četrta in peta vrstica sta fizič-no sosedni,vendar nista logično sosedni(razliku-jeta se vspreme-nljivkahB in F).



Veitcheva metoda minimizacijePrimer Veitchevega diagrama s petimi spremenljivkami

F(A, B, C, D, E) = (2,7,12,13,18,20,24,25,27) + (0,3,8,10,16,22,26,28,29,30)

D

A

C

B

A

C

E

1

1

1

1 1 1

1

1 1

0

0

0

0

0 0

0 0

0

0

0

0

0

X

X

X

X

X

X

X X

X

X

MDNO:

F =

D

A

C

B

A

C

E

1

1

1

1 1 1

1

1 1

0

0

0

0

0 0

0 0

0

0

0

0

0

X

X

X

X

X

X

X X

X

X

MKNO:

F =

F' =



Veitcheva metoda minimizacijePrimer Veitchevega diagrama s petimi spremenljivkami

F(A, B, C, D, E) = (2,7,12,13,18,20,24,25,27) + (0,3,8,10,16,22,26,28,29,30)

MDNO:

F = AE' + C'E' + ABC' + BCD' + + A'B'DE

D

A

C

B

A

C

E

1

1

1

1 1 1

1

1 1

0

0

0

0

0 0

0 0

0

0

0

0

0

X

X

X

X

X

X

X X

X

X

MKNO:

F' = A'B'D' + A'BC' + AB'E + CDE' + + BCD

F = (A + B + D)(A + B' +C)(A' + B + E')(C' + D' +E)(B' + C' + D')

D

A

C

B

A

C

E

1

1

1

1 1 1

1

1 1

0

0

0

0

0 0

0 0

0

0

0

0

0

X

X

X

X

X

X

X X

X

X



Quine-McCluskeyeva metoda minimizacije

Tabela vsebovalnikov

Stolpec 10000

0100 1000

0101 0110 1001 1010

0111 1101

1111

Je tabelarična metoda za minimizacijo preklopnih funkcij. Izpeljemo jo vdveh delih.

F(A,B,C,D) = (4,5,6,8,9,10,13) + (0,7,15)Primer:

1. del: Poiščemo vse glavne vsebovalnike.

Korak 1: V prvi stolpec vpišemo kodnebesede mintermov iz množice “ON-set” in množice “DC-set”. Grupiramo jih po številu enic.




F(A,B,C,D) = (4,5,6,8,9,10,13) + (0,7,15)Primer:


Stolpec 1 Stolpec 2 0000 0-00

-000 0100 1000 010-

01-0 0101 100-0110 10-0 1001 1010 01-1

-101 0111 011-1101 1-01

1111 -111 11-1

1. del: Poiščemo vse glavne vsebovalnike.

Korak 1: V prvi stolpec vpišemo kod-ne besede mintermov iz množice “ON-set” in množice “DC-set”. Grupiramo jih po številu enic.

Korak 2: Uporabimo minimizacijski izrek.Elemente grupe z N enicami pri-merjamo z elementi grupe z N+1 eni-cami. Razlika v enem bitu pomeni so-sednost. Odstranimo spremenljivko inostanek vpišemo v naslednji stol-pec.Npr., 0000 in 0100 dajeta 0-00, 0000 in 1000 dajeta -000. Vse ele-mente, ki imajo sosede, označimo s kljukicami.Preostali elementi so glavni vsebovalniki. Označimo jih z zvezdicami.Korak 2 ponavljamo, dokler obstajajo sosedni elementi.




F(A,B,C,D) = (4,5,6,8,9,10,13) + (0,7,15)1. del: Poiščemo vse glavne vsebovalnike.

Primer:


Stolpec 1 Stolpec 2 Stolpec 30000 0-00 * 01-- *

-000 *0100 -1-1 *1000 010-

01-0 0101 100- *0110 10-0 *1001 1010 01-1

-101 0111 011-1101 1-01 *

1111 -111 11-1

Korak 2: Uporabimo minimizacijski izrek.Elemente grupe z N enicami primerjamoz elementi grupe z N+1 enicami. Razlikav enem bitu pomeni sosednost.Odstranimo spremenljivko in ostanek vpišemo v naslednji stolpec. Npr., 0000 in 0100 dajeta 0-00, 0000 in 1000 dajeta-000. Vse elemente, ki imajo sosede, označimo s kljukicami. Preostali elementi so glavni vsebovalniki. Označimo jih z zvezdicami. Korak 2ponavljamo, dokler obstajajo sosedni elementi.

Korak 1: V prvi stolpec vpišemo kod-ne besede mintermov iz množice “ON-set” in množice “DC-set”. Grupiramo jih po številu enic.




0-00 = A' C' D'

100- = A B' C'

1-01 = A C' D

-1-1 = B D

-000 = B' C' D'

10-0 = A B' D'

01-- = A' B

AB CD 00 01 11 10

00

01

11

10

D

B

C

A

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

Glavni vsebovalniki:

Pregled vsebovalnikov funkcije še v Karnaughovem diagramu




Glavni vsebovalniki:

0-00 = A' C' D'

100- = A B' C'

1-01 = A C' D

-1-1 = B D

-000 = B' C' D'

10-0 = A B' D'

01-- = A' B

2. del:

AB CD 00 01 11 10

00

01

11

10

D

B

C

A

X 1 0 1

0 1 1 1

0 X X 0

0 1 0 1

Poiščemo najmanjšo množico glavnih vsebovalnikov, ki pokrijejo vse minterme.

Potrebni glavni vsebovalniki morajo nastopati v vseh pokritjih.

Drugi del metode izvedemo s pomočjo tabele pokritja.




Vrstice so glavni vsebovalniki.Stolpci so mintermi.Na presečišče vrstice i instolpca j zapišemo znak X, čeglavni vsebovalnik v vrstici ipokriva minterm v stolpcu j.

Tabela pokritja

indeksi združenih mintermov glavni vsebovalnik m4 m5 m6 m8 m9 m10 m13

0,4 (0-00) x0,8 (-000) x8,9 (100-) x x10,8 (10-0) x x9,13 (1-01) x x

4,5,6,7 (01- -) x x x5,7,13,15 (-1-1) x x




En sam x v stolpcu ki označuje minterm mi edini ki ga pokriva. Glavni vsebovalnik, ki ustreza vrsticiz znakom x je zato potreben in mora nastopati v minimalnem pokritju.

Tabela pokritja

Vrstice so glavni vsebovalniki.Stolpci so mintermi.Na presečišče vrstice i instolpca j zapišemo znak X, čeglavni vsebovalnik v vrstici ipokriva minterm v stolpcu j.

indeksi združenih mintermov glavni vsebovalniki m4 m5 m6 m8 m9 m10 m13

0,4 (0-00) x0,8 (-000) x8,9 (100-) x x

10,8 (10-0) x x A B' D'9,13 (1-01) x x

4,5,6,7 (01- -) x x x A' B5,7,13,15 (-1-1) x x




Odstranimo vse stolpce, ki so po-kriti s potrebnimi glavnimi vsebo-valniki.

Tabela pokritja


0,4 (0-00) x0,8 (-000) x8,9 (100-) x x

10,8 (10-0) x x A B' D'9,13 (1-01) x x

4,5,6,7 (01- -) x x x A' B5,7,13,15 (-1-1) x x



Quine - McCluskeyeva metoda minimizacije

Poiščemo minimalno množico vr-stic, ki pokrijejo preostale stolpce.

F = A B' D' + A C' D + A' BF = A B' D' + A C' D + A' B

Tabela pokritja

MDNO:


0,4 (0-00) x0,8 (-000) x8,9 (100-) x x

10,8 (10-0) x x A B' D'9,13 (1-01) x x A C' D

4,5,6,7 (01- -) x x x A' B5,7,13,15 (-1-1) x x



Quine-McCluskeyeva metoda minimizacijeDominacija vrstic in dominacija stolpcev v tabeli pokritja

ma mb mc md me mf mg mh

PA X X X XPB X X X XPC X X X XPD X XPE X X X X X X X

PA PD

PE PD

ma md

ma mf

me mg mhdominira vsem stolpcem.

PE dejansko do-minira nad vse-mi vrsticami.

Definicija. Stolpec mi dominira stolpcu mj, označimo mi mj, če vsebuje stolpec mi križec X v vsaki vrstici, v kateri vsebuje križec X stolpec mj.

Definicija. Vrstica Pi dominira vrstici Pj, označimo Pi Pj, če vsebuje vrstica Pi križec X v vsakem stolpcu, v katerem vsebuje križec X vrstica Pj.



Quine-McCluskeyeva metoda minimizacijeDominacija vrstic in dominacija stolpcev

Izrek. Z upoštevanjem dominacije vrstic in stolpcev se lahko pri reduciranju tabele pokritja ravnamo po naslednjih pravilih:

1. Če stolpec mi dominira nad stolpcem mj (mi mj), lahko dominirajoči stolpec mi zbrišemo iz tabele pokritja.

2. Če vrstica Pi dominira nad vrstico Pj (Pi Pj), lahko dominirano vrstico Pj zbrišemo iz tabele pokritja, toda le tedaj, če vsebuje Pj enako ali več literalov kot Pi.



CAD orodja za minimizacijoProgram EspressoProblem pri Quine-McCluskeyevi metodi minimizacije je ta, da številoglavnih vsebovalnikov zelo hitro raste s številom vhodov.

Iskanje minimalnega pokritja je NP-težak problem, tj., računsko zah-teven proces, zato ni verjetno, da bi zanj obstajal učinkovit algoritem.

Espresso daje prednost hitri rešitvi pred minimalnostjo rešitve.

Ne generira vseh glavnih vsebovalnikov, kot to počnemo v prvem delu Quine-McCluskeyeve metode.

Tehtno izbere podmnožico glavnih vsebovalnikov, ki še vedno pokrivajovse minterme.

Deluje podobno kot ljudje pri iskanju glavnih vsebovalnikov v K-diagramu.



CAD orodja za minimizacijoVhod in izhod v programu Espresso

.i 4

.o 1

.ilb a b c d

.ob f

.p 100100 10101 10110 11000 11001 11010 11101 10000 -0111 -1111 -.e

-- štev. vhodov-- štev. izhodov-- imena vhodov-- ime izhoda-- število produktnih členov-- A'BC'D'-- A'BC'D-- A'BCD'-- AB'C'D'-- AB'C'D-- AB'CD'-- ABC'D-- A'B'C'D' nepomembno-- A'BCD nepomembno-- ABCD nepomembno-- konec seznama

F(A,B,C,D) = (4,5,6,8,9,10,13) + (0,7,15)

Vhod v Espresso Izhod iz Espressa.i 4.o 1.ilb a b c d.ob f.p 31-01 110-0 101-- 1.e

F = A C' D + A B' D' + A' B



Povzetek poglavja

Predstavili smo:

Postopke za minimizacijo logičnih vezij

Dosegli smo ga:

- z algebrskim poenostavljanjem s postulati in izreki Boolove algebre ali

- z Boolovimi kockami (do 4 spremenljivke) ali

- s Karnaughovimi diagrami (do 6 spremenljivk) ali

- z Veitchevimi diagrami (do 6 spremenljivk) ali

- s Quine-McCluskeyevim algoritmom ali

- CAD program Espresso

Naš cilj je dobiti dvonivojsko realizacijo logike z najmanjšim številom vrat in najmanjšim številom vhodov v vrata.

3 pogl minim ds bolonjska 1 - lms.uni-mb.si

Documents