3. límites de funciones

CURSOS O

CURSOS O

Departamento de Matemáticas FundamentalesFacultad de Ciencias

M. Teresa Ulecia GarcíaRoberto Canogar McKenzie

Módulo III:Límites de funciones

MATEMÁTICAS ESPECIALES (CAD)

Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales

2

1. Introducción

Es muy habitual que, al reunir información acerca de cualquier fenómeno natural, se

observe una relación como mínimo entre dos elementos, como pueden ser la temperatura de

un cierto medio y el tiempo transcurrido.

Esta relación entre los valores de las distintas variables de un fenómeno puede

expresarse de manera algebraica mediante funciones. Más aún, el estudio de los elementos de

las funciones tiene gran aplicación en múltiples campos de las Matemáticas.

A pesar de que este concepto de función es fundamental en Matemáticas y en las

Ciencias Aplicadas, hasta principios del siglo IXX no se dio claridad a dicho concepto.

Se considera que Agustin Louis Cauchy, matemático francés nacido en Paris en 1789,

profesor en la prestigiosa Escuela Politécnica de París, fue el que sentó los fundamentos

rigurosos del Cálculo moderno.

Cauchy y sus contemporáneos fueron quienes comenzaron a tratar con rigor conceptos

como el de función y límite de función que hasta el momento habían sido utilizados sin un

sentido totalmente preciso por matemáticos anteriores.

Objetivos • Distinguir una relación funcional de una que no lo sea.

• Determinar el dominio y Recorrido de una función en casos sencillos.

• Determinar el límite de una función en un punto y sus límites laterales.

• Comprender e interpretar el límite de una función en un punto a través de su

representación gráfica y estudio analítico.

• Calcular el límite de la suma, producto y cociente de funciones polinómicas.

• Resolver indeterminaciones de distinto tipo en el cálculo de límites.


3

2. Esquema

Función

Conceptos fundamentales de

Función

Gráfica Dominio y

Recorrido

Operaciones con

funciones

Límite de una función

Límites y operaciones

El esquema indica el orden en que vamos a estudiar los contenidos del tema. El núcleo

de éste es el concepto de límite de una función, uno de los más importantes de las

Matemáticas, en general, y del Análisis Matemático, en particular.

Al principio veremos los conceptos fundamentales de función: definición de aplicación

y función; algunas características, como el dominio y recorrido; para acabar con las

operaciones de las funciones reales.

Más tarde se introduce el concepto de límite de forma intuitiva y se estudian los límites

laterales y los límites de las operaciones con funciones.

El estudio de los límites infinitos y en el infinito da paso al análisis de los distintos

tipos de indeterminaciones:

0

l,

0

0,

∞∞

, ∞−∞ .

Límites

infinitos

Límites en el

infinito

Indeterminaciones


4

3. Prueba de autoevaluación inicial

1.- Utilizando la gráfica de la función

Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

a) No existe límite en x = 1.

b) Existe límite en x = 3.

c) No existe límite en x = 4.

d) No existe límite en x = 0.

2.- A partir de la gráfica de la función


a) +→+∞=

1

)(lim

x

xf.

b) −−→+∞=

5

)(lim

x

xf.

c) 4

3)(lim

→=

x

xf.


5

d) 3

3)(lim

→=

x

xf.

3. – El 4

)(lim

−→x

xfde la función representada en la siguiente gráfica es:

a) ∞+ .

b) No existe.

c) 0.

d) 1.

4.- Señala la afirmación verdadera:

a) No existe −→+−

1

)13(lim 4

x

xx.

b) No existe 1

)13(lim 4

→+−

x

xx.

c) No existe +→+−

1

)13(lim 4

x

xx.

d) 1

1)13(lim 4

→−=+−

x

xx.


a) 0

25)5(lim

2

→

+∞=−+

xx

x.


6

b) 0

025)5(

lim2

→

=−+

xx

x.

c) 0

1025)5(

lim2

→

=−+

xx

x.

d) No existe

0

25)5(lim

2

→

−+

xx

x.

6.- Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

a) +∞→

=+−

+−+

xxx

xxx2

132

534lim

3

23

.

b) +∞→

+∞=+−

+−+

xxx

xxx

132

534lim

3

23

.

c) No existe

+∞→+−

+−+

xxx

xxx

132

534lim

3

23

.

d) +∞→

=+−

+−+

xxx

xxx0

132

534lim

3

23

.


a) No existe

+∞→−

+

xx

x

12

2lim

2 .

b) +∞→

+∞=−

+

xx

x

12

2lim

2 .

c) +∞→

=−

+

xx

x0

12

2lim

2 .

d) +∞→

−∞=−

+

xx

x

12

2lim

2 .


7


a) +∞→

−∞=++

xx

xx

4

22lim

2

.

b) +∞→

=++

xx

xx2

4

22lim

2

.

c) No existe

+∞→++

xx

xx

4

22lim

2

.

d) +∞→

+∞=++

xx

xx

4

22lim

2

.


a)

0

1255

24lim

→

−=+−−+

xx

x.

b) 0

2

5

255

24lim

→

−=+−−+

xx

x

c)

0

0255

24lim

→

=+−−+

xx

x

d) No existe

0255

24lim

→+−−+

xx

x.


a) +∞→

=+−−x

xxx 2)54(lim 2

.

b) +∞→

−∞=+−−x

xxx )54(lim 2

.


8

c) +∞→

+∞=+−−x

xxx )54(lim 2

.

d) No existe+∞→

+−−x

xxx )54(lim 2

.


9

Soluciones a la Prueba de Autoevaluación inicial 1 → a

2 → c

3 → a

4 → d

5 → c

6 → a

7 → c

8 → d

9 → b

10 → a


10

4. Contenidos conceptuales

Relación Una relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B es una forma de asociar una serie

de elementos del primer conjunto A (conjunto inicial) con un grupo de elementos del segundo

conjunto B (conjunto final). Definimos entre los conjuntos A = {8,22,25,28,36} y B =

{7,12,18,25,32,42,50}, la siguiente relación: Un elemento de A está relacionado con uno de B

si tienen igual la cifra de las unidades.

Se puede escribir esta relación mediante pares de puntos de la siguiente manera:

R = {(8,18),(28,18), (25,25),(22,32),(22,42).

Es decir, cualquier relación puede ser mostrada como un conjunto de pares ordenados de

forma que el primer elemento pertenece a A y el segundo a B.

Y también podemos expresar esta relación mediante flechas entre los elementos que estén

relacionados:

Aplicación Una aplicación entre A y B es cualquier relación que cumpla dos condiciones:

• Cualquier elemento de A está relacionado con alguno de B.

• Cada elemento de A no está relacionado con más de un elemento de B.

Así pues, la relación anterior no es una aplicación pues no cumple ni la primera condición (el

35 no está relacionado con ninguno de B) ni la segunda (el 30 está relacionado cos dos

elementos de B).

8

28

25

22

36

7 12

18

25

33

42

52


11

Sea A es el conjunto de los números enteros, es decir, A = Z y B el conjunto de los números

reales, B = R; entonces, la relación que hace corresponder a cada número su cuadrado es una

aplicación de Z en R:

Se comprueba que a cada número entero (variable independiente) le corresponde un único

número real (variable dependiente).

Si llamamos C a esta aplicación:

C = {(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),…}.

Tradicionalmente se presenta de la forma siguiente: C(1) = 1; C(2) = 4; C(3) = 9; …

En síntesis, las condiciones para que una relación sea aplicación hay que verificarlas en el

primer conjunto, el inicial; en este conjunto hay que comprobar si a cada uno de sus elementos

le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto final. Como sucede en el ejemplo anterior,

a los elementos del segundo conjunto les pueden corresponder más de un elemento del

primero o, incluso, ninguno.

Función Una función es una aplicación entre conjuntos numéricos {N, Z, Q, R, C, R

2,…}. Aunque si

es una aplicación entre subconjuntos numéricos, también suele denominarse función.

Cualquier función entre subconjuntos de R se denomina función real de variable real. Y suele

representarse de diferentes maneras:

• Mediante un texto: Una descripción verbal nos puede expresar, de manera cualitativa,

cómo se relacionan las dos variables.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

4 0

1 9

16

-3

1/3

1,2

25


12

• Mediante tablas: Apareciendo en una tabla una serie de pares, valores de la variable

independiente y sus correspondientes de la variable dependiente.

• Mediante gráficas: Nos dará una visión cualitativa, que puede ser cuantitativa y precisa

si la información se da mediante un sistema de coordenadas con la escala adecuada a

los valores de las variables.

• Mediante una expresión analítica o fórmula: Con ella podemos calcular qué valor de la

variable dependiente corresponde a un cierto valor de la variable independiente, y

viceversa. Al valor de la variable independiente se le suele representar por x, y la letra

y representa el valor de la variable dependiente asociado a x. La relación o función que

existe entre ambos se suele representar por la letra f, de la siguiente forma:

)(

:

xfx

RRf

→→

y = f(x)

También se les llama al valor x el original y al valor y su imagen.

Veamos, con un ejemplo, estas formas de expresión. En el cine, el precio de una bolsa de

palomitas es de 2 euros: esta situación se puede expresar de las formas siguientes:

a) Mediante un texto: El importe a pagar en euros es el producto de 2 por el número de

bolsas compradas.

b) Mediante una tabla: El número de bolsas es la variable independiente y el importe es la

variable dependiente.

Número de bolsas 1 2 3 …

Importe (euros) 2 4 6 …

c) Mediante un gráfico:

�

�

�

�

1 2 3 4

Númerode bolsas

12345678

Importe �euros�

Original

1

2

3

Imagen

2

4

6


13

d) Mediante una fórmula: Si llamamos P al importe (en euros) y N al número de bolsas

de palomitas, la fórmula será:

P = 2 . N

Dominio de una función Se llama dominio de una función al conjunto sobre el cual está definida esa función, es decir,

al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. También suele ser referido

como campo de existencia o campo de definición de la función.

Al definir una función ha de indicarse el dominio, aunque en el caso de funciones definidas

mediante una expresión analítica suele no indicarse. En tal caso, se considera como dominio

de la función al mayor conjunto de R para el cual la expresión analítica tiene sentido, es decir,

la expresión representa un número. Por ejemplo, x

xf1

)( = tiene como dominio R-{0}, puesto

que 0

1no existe, no es un número. En cambio, para la función 4+= xy el dominio de

definición es todos los números reales, porque la variable independiente x puede tomar

cualquier valor.

Recorrido de una función Se denomina recorrido de una función al conjunto de todos los valores que toma la variable

dependiente y. Para la función 23xy = el recorrido son los valores de y mayores o iguales que

cero, ya que el cuadrado de todo número es siempre así.

Gráfica de una función Cualquier función no es más que un conjunto de pares ordenados (x, f(x)), donde tanto x como

f(x) son números.

Para representar gráficamente una función, representamos los pares de valores en un plano

con un sistema de ejes coordenadas, con la variable independiente x en el eje horizontal (eje

de abcisas) y la dependiente en el vertical (eje de ordenadas) y, en consecuencia, toda función

puede representarse como los puntos de una curva en este plano. A esta curva, que es la

representación del conjunto de puntos que definen la función, se le llama gráfica de la

función.


14

�

�

�

0 6 12

Edad�meses�20

40

60

80

100

120Peso �Kg�

Operaciones con funciones reales Sobre el conjunto de las funciones reales de variable real se pueden considerar las operaciones

o leyes de composición interna:

• Suma: Dadas las funciones f : R →R y g : R →R la función suma f+g : R →R es la

función definida por (f+g)(x) = f(x) + g(x), para todo ∈x R. Por ejemplo, la suma de

las funciones 12)( += xxf y 53)( 2 +−= xxxg es 6))(( 2 +−=+ xxxgf . Como al

final se reduce a sumar números reales, la suma de funciones reales tiene las mismas

propiedades que la suma de números reales, es decir, es conmutativa, asociativa, tiene

elemento neutro (la función nula: 0)(0 =x para todo ∈x R) y elemento opuesto (toda

función f tiene función opuesta )())(( xfxf −=− ∈x R).

• Producto: Para las funciones f : R →R y g : R →R la función producto :gf ⋅ R →R

es la función definida por ( gf ⋅ )(x) = )()( xgxf ⋅ , para todo ∈x R. Por ejemplo, el

producto de las funciones 12)( += xxf y 53)( 2 +−= xxxg es

5752))(( 23 ++−=⋅ xxxxgf . Como al final se reduce a multiplicar números reales,

el producto de funciones reales tiene las mismas propiedades que el producto de

números reales, es decir, es conmutativo, asociativo y tiene elemento unidad (la

función: 1)(1 =x para todo ∈x R).

• Composición: Para las funciones f: R →R y g : R →R la función composición :gf o

R →R es la función definida por ( gf o )(x) = ))(( xgf , para todo ∈x R. Por ejemplo,

la composición de las funciones 12)( += xxf y 53)( 2 +−= xxxg es

11621)53(2))(())(( 22 +−=++−== xxxxxgfxgf o . La composición de


15

funciones reales es asociativa y tiene elemento unidad (la función identidad:

xx =)(1 para todo ∈x R) pero no es conmutativa:

5)12(3)12())(())((1)53(2))(())(( 22 ++−+==≠++−== xxxfgxfgxxxgfxgf oo

Se puede considerar también una ley de composición externa:

• Producto por un escalar: Para la función f : R →R y el número real o escalar ∈λ

R se define el producto :f⋅λ R →R es la función definida por ( f⋅λ )(x)

= )(xf⋅λ , para todo ∈x R. Por ejemplo, el producto de 7 y la función

12)( += xxf es 714)(7))(7( +==⋅ xxfxf . Esta ley cumple las propiedades:

distributivas ( gfgf λλλ +=+ )( , fff βλβλ +=+ )( , para todo ∈βλ, R y para

todas f y g funciones reales), asociativa mixta ( ff )()(( λββλ = para todo ∈βλ, R

y para toda f función real) y tiene elemento unidad (el número real 1).

Ha de tenerse especial cuidado al determinar el dominio de la función resultante de una

operación. Así pues, se destacan las siguientes consideraciones:

a) Los dominios de las funciones f + g y gf ⋅ coinciden y son la intersección

de los dominios de f y g.

b) La función f y su opuesta, -f, tienen el mismo dominio.

c) El dominio de la función inversa, respecto al producto, de la función f es el

dominio de f menos los valores donde f se anula.

d) El dominio de la función gf o es el de f menos los valores ∈0x dominio(f)

tales que ∉)( 0xf dominio(g).

Regla de Ruffini

Esta regla, cuyo autor es Paolo Ruffini, nos permite dividir un polinomio

01

1

1 ..`)( axaxaxaxP nn

nn ++++= −

− entre un binomio de la forma (x − a), donde a es un

número real cualquiera.

Para dividir P(x) entre x-a:

1. Se trazan dos líneas a manera de ejes. Se escriben los coeficientes de P(x) ordenados,

completando con ceros si falta alguno de los grados. A continuación se escribe a en la parte

inferior izquierda del eje, encima de la línea:


16

| an an-1 ... a1 a0 | a | ----|--------------------------------------------------------- | |

2. El coeficiente del monomio de mayor grado, es decir, el más pegado a la izquierda (an), se

escribe abajo, justo debajo de la línea y así se obtiene el primero de los coeficientes del

cociente:

| an an-1 ... a1 a0 | a | ----|--------------------------------------------------------- | an |

3. Se multiplica el número más pegado a la derecha debajo de la línea por a y se escribe sobre

la línea en la primera posición de la derecha:

| an an-1 ... a1 a0 |

a | aan ⋅

----|--------------------------------------------------------- | an |

4. Se suman los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

| an an-1 ... a1 a0 |

a | aan ⋅

----|---------------------------------------------------------

| an aaa nn ⋅+−1

|

5. Y sucesivamente se van repitiendo los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

| an an-1 2−na a1 a0

|

a | aan ⋅ aaa nn ⋅+−1 ... ...

----|---------------------------------------------------------

| an aaa nn ⋅+−1 )( 12 aaaa nnn ⋅+−− ... R

|


17

Los valores de debajo de la línea son los coeficientes del polinomio cociente (Q(x)), cuyo

grado será un grado menos que el grado de P(x). Por último, R es el resto que será un número

real.

Por ejemplo, si queremos dividir 32 34 −+ xx entre 1−x , aplicamos la regla de Ruffini para a

= 1:

| 1 2 0 0 -3 |

1 | 1 3 3 3 ----|---------------------------------------------------------

| 1 3 3 3 R = 0

El cociente resultante es: 333)( 23 +++= xxxxQ y el resto R = 0.

Esta regla también nos permite localizar raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de

la forma (x − a), siendo a un número real. Según la igualdad fundamental de la división, el

dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, por tanto si el resto es cero, como en

el ejemplo anterior, el dividendo se descompone como producto del divisor por el cociente:

)333)(1(1 234 +++−=− xxxxx .

Límite de una función en un punto En este módulo se estudia el concepto de límite de una función real de variable real de manera

intuitiva. Consideramos la definición rigurosa más adecuada para el nivel del Curso de

Acceso, no para el de este Curso de Nivelación.

Si a y L son números reales y f es una función real de variable real, la expresión

ax

Lxf

→=)(lim

,

Se lee: el límite cuando x tiende hacia a de f(x) es L, o también f(x) tiende hacia L cuando x

tiende hacia a. Esto significa que f(x) puede hacerse tan próximo a L como queramos siempre

que se elija x suficientemente próximo al valor de a. También se representa por:

f (x) →L cuando x →a.

Veamos, como ejemplo, el límite de la función 3)( += xxf en 1=x . Para ello representamos

esta función


18

Se observa en la gráfica que, cuando damos valores cercanos a 1=x , la función se acerca

todo lo que queramos a 4, de hecho llega a tomar ese valor que es, precisamente, )1(f . Por

tanto en este caso ax

afxf

→= )()(lim

. Esto ocurre con todas las funciones polinómicas, las

funciones racionales (cociente de polinomios) en los puntos ax = en los que no se anule el

denominador y con las funciones continuas (concepto que veremos en otro módulo posterior).

Sin embargo, en la definición de límite, la función no toma el valor ax = aunque, como

hemos visto, puede estar definida en dicho punto. Es decir, lo que interesa son los valores de x

cercanos al a, el propio a es indiferente.

La función 2

)2()(

2

−−=

x

xxxf no está definida en 2=x , pues se anula el denominador.

Cuando x se aproxima a 2, ¿qué ocurre con la función?

Para determinarlo, calculamos el valor de la función en puntos cada vez más cercanos a 2,

tanto superiores como inferiores a él:

x > 2 2,5 2,1 2,01 2,001

f(x) 6,25 4,04 4,04 4,0004

x < 2 1,5 1,9 1,99 1,999

f(x) 2,25 3,61 3,96 3,9996

Al aproximarse x a 2, tanto por la derecha ( x > 2) como por la izquierda (x < 2), los valores

correspondientes de la función tienden a 4. Por tanto, 4 es el límite de esta función cuando x

tiende a 2:

2

42

)2(lim

2

→

=−

−

xx

xx.


19

Límites laterales En la función )()( xExf = (parte entera de x), cuando x tiende a 4, ¿hacia dónde tiende la

función?. En las tablas siguientes:

x > 4 4,5 4,1 4,001 4,0001

f(x) 4 4 4 4

x < 4 3,5 3,1 3,01 3,001

f(x) 3 3 3 3

se comprueba que la función cuando x tiende a 4, no tiende a un valor único determinado. Al

aproximarse por la derecha, f(x) tiende a 4, y cuando lo hace por la izquierda, f(x) tiende a 3.

En este caso la función no tiene límite en el punto x = 4.

Si hacemos tender solamente x por la derecha de 4 ( +→ 4x ), la función E(x) tiende a 4. Se

dice que el límite por la derecha de la función f es 4 y se representa por:

+→=

4

4)(lim

x

xE o 4)( →xE cundo +→ 4x .

En general, se dice que el límite por la derecha de la función f es 1L si f(x) puede hacerse tan

próximo a 1L como queramos siempre que se elija x suficientemente próximo al valor de a y

mayor que a. Se representa por:

+→=

ax

Lxf 1)(lim o 1)( Lxf → cundo +→ ax .

Análogamente, si hacemos tender solamente x por la izquierda de 4 ( −→ 4x ), la función

E(x) tiende a 3. Se dice que el límite por la izquierda de la función f es 3 y se representa por:

−→=

4

3)(lim

x

xE o 3)( →xE cuando −→ 4x .

Entonces, el límite por la izquierda de la función f es 2L si f(x) puede hacerse tan próximo a

2L como queramos siempre que se elija x suficientemente próximo al valor de a y menor que

a. Se representa por:

−→=

ax

Lxf 2)(lim o 2)( Lxf → cundo −→ ax .


20

Los límites por la derecha y por la izquierda de una función reciben el nombre de límites

laterales. Para que una función tenga límite en un punto ax = , deben existir los dos límites

laterales y ser iguales.

Límites infinitos Una función f puede tener o no límite en un punto a. Si no lo tiene, puede ser por alguna de las

siguientes razones:

• No existir cerca de a.

• Los límites laterales no coinciden.

• No existir ningún número real que cumpla la definición de límite.

De la tercera razón se puede destacar un caso particular, que veremos con el siguiente

ejemplo:

La función 2

1)(

xxf = , cuando x tiende a 0, ¿tiene límite?. Calculamos el valor de la función

en puntos cercanos a 0.

x > 0 1 0,1 0,001 0,0001

f(x) 1 100 10000 1000000

x < 0 -1 -0,1 -0,01 -0,001

f(x) 1 100 10000 1000000

Se observa cómo, cuando x tiende a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, los valores

de la función son cada vez mayores. La función crece tanto como se quiera, siempre que x

tome valores suficientemente próximos a 0. Cuando esto sucede, la función f(x) tiene por

límite ∞+ cuando x tiende a 0. Se simboliza por:

0

1lim

2

→

+∞=

xx .

En general, la función f(x) tiene por límite ∞+ en el punto ax = , cuando la función se hace

todo lo grande que se quiera para valores de x suficientemente próximos al valor a.

ax

xf

→+∞=)(lim

.


21

Análogamente se define el límite ∞− : La función tiene por límite ∞− en el punto ax = ,

cuando la función se hace todo lo pequeña que se quiera para valores de x suficientemente

próximos al valor a.

ax

xf

→−∞=)(lim

.

Límites en el infinito Se generaliza la definición de límite de la siguiente forma.

Sea f una función cuyo dominio contiene una semirrecta ),( +∞p . El número real L es el límite

de f en el infinito cuando los valores de la función tienden a L conforme x tiende a ∞+ . Se

representa por:

+∞→=

x

Lxf )(lim.

Sea f una función cuyo dominio contiene una semirrecta ),( q−∞ . El número real L es el límite

de f en el menos infinito cuando los valores de la función tienden a L conforme x tiende a ∞− .

Se representa por:

−∞→=

x

Lxf )(lim.

Veamos un ejemplo de ambos límites con la función x

xf1

)( = :

Se observa en la gráfica anterior que si hacemos que la variable x de la función x

xf1

)( =

tome valores cada vez mayores (x tienda a ∞+ ) la función f(x) se aproxima cada vez más a 0,

tiende a 0. Por tanto,


22

+∞→

=

xx

01

lim.

También si hacemos que la variable x de la función x

xf1

)( = tome valores cada vez menores

(x tienda a ∞− ) la función f(x) se aproxima cada vez más a 0, tiende a 0. Por tanto,

−∞→

=

xx

01

lim.

Cálculo del límite de una función Ha de tenerse en cuenta el contexto donde aparece un límite para tratar adecuadamente de

calcularlo. Es decir, si es finito o no, en un punto o en el infinito, y lateral o no.

A continuación se enuncian diversos resultados sobre cálculo de límites.

• El límite de un polinomio, kcxbxxf nn +++= − ...)( 1 , para todo b, c,….,k reales, es el

valor de la función:

ax

kaxafkbx nn

→++==++ ...)()...(lim

.

• Sean f y g dos funciones tales que

ax

Lxf

→=)(lim

y ax

Kxg

→=)(lim

, con L y K números reales entonces

ax

xgxf

→+ ))()((lim

= ax

xf

→)(lim+

ax

xg

→)(lim= L + K

Es decir, si las funciones f(x) y g(x) tienen límite en el punto x = a, el límite de la suma es

igual a la suma de los límites de las dos funciones.

Las funciones =)(xf 4x-1 y 42)( += xxg (se puede comprobar fácilmente) tienen por

límite 7 y 8 respectivamente en el punto 2=x . El límite de la función suma de las

funciones f y g en el punto 2=x vale:

2

)4214(lim

→++−

x

xx=

2

)36(lim

→+

x

x


23

Vemos en la grafica que 2

)36(lim

→+

x

x= 15.

Por otro lado 2

14lim

→−

x

x+

2

42lim

→+

x

x = 7 + 8 = 15.

.


ax

Lxf

→=)(lim

y ax

Kxg

→=)(lim

, con L y K números reales

entonces

ax

xgxf

→− ))()((lim

= ax

xf

→)(lim-

ax

xg

→)(lim= L – K.

Es decir, si las funciones f(x) y g(x) tienen límite en el punto x = a, el límite de la

diferencia es igual a la diferencia de los límites de las dos funciones.

Las funciones =)(xf x + 3 y 1)( 2 −−= xxg tienen por límite 1 y -5 respectivamente en el

punto -2. El límite de la función diferencia de las funciones f y g en el punto 2−=x vale:

2

)13(lim 2

−→+++

x

xx=

2

)4(lim 2

−→++

x

xx= 6 = 1 -(-5) .


24


ax

Lxf

→=)(lim

y ax

Kxg

→=)(lim


entonces

ax

xgxf

→⋅ ))()((lim

= ax

xf

→)(lim.

ax

xg

→)(lim= L . K

Si las funciones f(x) y g(x) tienen límite en el punto x = a, el límite del producto es igual al

producto de los límites de las dos funciones.

Las funciones =)(xf 2x y 2)( += xxg tienen por límite -2 y 1 respectivamente en el

punto -1. El límite de la función producto de las funciones f y g en el punto1 2−=x es:

1

))2(2(lim

−→+⋅

x

xx=

1

)42(lim 2

−→+

x

xx= -2 = -2 .1 .

• Como consecuencia:

nn

ax

xf

ax

xf)

)(lim(

)((lim

→=

→, Nn∈∀ , 0≠n .

nn

ax

xf

ax

xf→

=→

)(lim)((lim. Si n es par, entonces debe ser 0≥L .


ax

Lxf

→=)(lim

y ax

Kxg

→≠= 0)(lim


entonces

axxg

xf

→)(

)(lim

=

ax

xgax

xf

→

→)(lim

)(lim

= K

L.


25

Por tanto, si las funciones f(x) y g(x) tienen límite en el punto x = a, el límite del cociente

es igual al cociente de los límites de las dos funciones siempre que no sea nulo el límite

del denominador

Las funciones =)(xf x y 2)( =xg tienen por límite 3 y 2 respectivamente en el punto 3.

El límite de la función cociente de las funciones f y g en el punto 3=x es:

32

3

2lim

→

=

x

x.

• La suma de una función que en x = a tiende a L con otra que en x = a tiende a + ∞ es

otra función que en dicho punto a también tiende a más infinito. Esto en forma

esquemática se representa así:

+∞=+∞+ )(L .

• Análogamente, para el menos infinito:

−∞=−∞+ )(L .

• Para el producto de funciones se sigue la regla de los signos, es decir:

+∞=+∞⋅ )(L si L > 0

−∞=−∞⋅ )(L si L > 0

−∞=+∞⋅ )(L si L < 0

+∞=−∞⋅ )(L si L < 0

• La suma de dos funciones que en x = a tienden a infinito es otra función que en dicho

punto a también tiende a infinito. Esquemáticamente se simboliza así:

+∞=+∞++∞ )()( .

• Análogamente, para el menos infinito:

−∞=−∞+−∞ )()( .


26

• Para el producto de funciones se sigue la regla de los signos, es decir:

+∞=+∞⋅+∞ )()(

−∞=−∞⋅+∞ )()(

+∞=−∞⋅−∞ )()( .

Para el cálculo de límites de funciones, siempre que se pueda, se deben utilizar estos

resultados pues es más sencillo que hacerlo con la propia definición de límite o

representando la función.

Indeterminaciones En el cálculo de algunos límites hay veces en las que no se pueden aplicar directamente los

anteriores resultados. Aparecen indeterminaciones en los siguientes casos:

0

0,

∞∞

, ∞−∞ , ∞⋅0

• Indeterminación 0

0: Si

ax

xf

→= 0)(lim

y ax

xg

→= 0)(lim

no podemos determinar

directamente el límite del cociente. Para calcular este límite hay que factorizar y

simplificar el numerador y el denominador, es decir f(x) y g(x):

Si aplicamos la propiedad del límite del cociente al

24

44lim

2

2

→−

+−

xx

xx, obtenemos

0

0,

expresión que carece de sentido. Factorizando el numerador y el denominador con la regla

de Ruffini para a = 2, y simplificando:

2

04

0

2

2lim

2

)2)(2(

)2(lim

24

44lim

2

2

2

→

==+−

→

=−+

−

→

=−

+−

xx

x

xxx

x

xx

xx.

• Indeterminación ∞∞

: Si ax

xf

→∞=)(lim

y ax

xg

→∞=)(lim

tampoco se puede

calcular directamente el límite del cociente. Para hallar este límite hay que dividir

numerador y denominador x elevado a la máxima potencia. Para la función racional del

ejemplo anterior, si calculamos el límite en el infinito resulta, aplicando la propiedad del


27

límite del cociente, ∞∞ expresión que carece de sentido. Dividiendo el numerador y el

denominador por 2x , potencia máxima se tiene:

+∞→

=−

+−

+∞→

=−

+−

+∞→

=−

+−

+∞→

=−

+−

xx

x

xx

xxx

xxx

x

x

x

xx

xx1

01

001lim

41

441

lim4

44

lim4

44lim

2

2

22

2

222

2

2

2

En general para los límites en el infinito de cociente de polinomios se obtienen los

siguientes resultados:

1. ±∞→

±∞=

xxQ

xP

)(

)(lim

si grado de P(x) > grado de Q(x). El signo del límite

depende del signo de los coeficientes de los términos de mayor grado,

considerando siempre la regla de los signos y de la paridad de dichos grados.

2. ±∞→

=

xxQ

xP0

)(

)(lim

si grado de P(x) < grado de Q(x).

3. ±∞→

=

xn

m

xQ

xP

)(

)(lim

si grado de P(x) = grado de Q(x) y m y n son los coeficientes

de los términos de mayor grado de P(x) y Q(x), respectivamente.

• Indeterminación ∞−∞ : Si ax

xf

→∞=)(lim

y ax

xg

→∞=)(lim

no podemos

determinar directamente el límite de la diferencia. Para calcular este límite hay que

efectuar la resta de las funciones. Cuando aparecen radicales, se multiplica y divide por la

expresión conjugada. Veamos un ejemplo de ambos casos.

Al calcular

+∞→

−−

+−

x

xx

xx)

7

26(lim

2

, se obtiene ∞−∞ , de nuevo una expresión que

carece de sentido. Efectuando la diferencia indicada y simplificando:

+∞→

==−+

+∞→

=−−

+−

xx

x

x

xx

xx1

1

1)

7

2(lim)

7

26(lim

2

.

Con radicales:


28

+∞→

=+−+

+−+−−+

+∞→=−−+

xxxx

xxxxxx

x

xxx13

)13)(13(lim)13(lim

2

222

=

+∞→

=+

=+−+

−

+∞→

=+−+

−−+

xxxx

x

xxxx

xxx

2

3

11

3

13

13lim

13

)13(lim

22

22

.

• Indeterminación ∞⋅0 : Esta indeterminación se deshace operando. Por ejemplo:

+∞→

=+−

+

+∞→

=⋅+−

+

xxx

xx

x

xxx

x

3

1)

133

5(lim)

133

5(lim

3

3

3

2


29

5. Resumen teórico

Relación o

correspondencia entre

dos conjuntos

• Una relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B

es una forma de asociar una serie de elementos del primer

conjunto A (conjunto inicial) con un grupo de elementos del

segundo conjunto B (conjunto final).

Aplicación • Es una relación en la que a cada uno de los elementos del

conjunto inicial le corresponde uno y sólo un elemento del

conjunto final.

Función • Es una aplicación entre conjuntos numéricos.

Dominio de una función • Se llama dominio de una función al conjunto sobre el cual

está definida esa función, es decir, al conjunto de valores que

puede tomar la variable independiente x.

Recorrido de una

función

• Se denomina recorrido de una función al conjunto de todos

los valores que toma la variable dependiente y.

Gráfica de una función • A la representación del conjunto de puntos que definen la

función, se le llama gráfica de la función.

Operaciones con

funciones reales

• Dadas las funciones f : R →R y g : R →R la función suma

f+g : R →R es la función definida por (f+g)(x) = f(x) + g(x),

para todo ∈x R.

• Para las funciones f : R →R y g : R →R la función

producto :gf ⋅ R →R es la función definida por ( gf ⋅ )(x)

= )()( xgxf ⋅ , para todo ∈x R.

• Para las funciones f: R →R y g : R →R la función

composición :gf o R →R es la función definida por

( gf o )(x) = ))(( xgf , para todo ∈x R.

• Para la función f : R →R y el número real o escalar ∈λ R

se define el producto :f⋅λ R →R es la función definida

por ( f⋅λ )(x) = )(xf⋅λ , para todo ∈x R.

• Regla de Ruffini: Para dividir un polinomio

01

1

1 ..`)( axaxaxaxP nn

nn ++++= −

− entre un binomio de la


30

forma (x − a), donde a es un número real cualquiera:

| an an-1 2−na a1 a0

|

a | aan ⋅ aaa nn ⋅+−1 ... ...

----|--------------------------------------------------

| an aaa nn ⋅+−1 )( 12 aaaa nnn ⋅+−− .. R

|

Cociente: ...)()( 2

1

1 +⋅++= −−

− nnn

nn xaaaxaxQ y resto: R.

Límite de una función en

un punto

• L es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a si f(x) puede

hacerse tan próximo a L como queramos siempre que se elija

x suficientemente próximo al valor de a. Se simboliza

por:ax

Lxf

→=)(lim

Límites laterales • El límite por la derecha de la función f es 1L si f(x) puede

hacerse tan próximo a 1L como queramos siempre que se

elija x suficientemente próximo al valor de a y mayor que a.

Se representa por:

+→=

ax

Lxf 1)(lim

• El límite por la izquierda de la función f es 2L si f(x) puede

hacerse tan próximo a 2L como queramos siempre que se

elija x suficientemente próximo al valor de a y menor que a.

Se representa por:

−→=

ax

Lxf 2)(lim

Límites infinitos • f(x) tiene por límite ∞+ en el punto ax = , cuando la

función se hace todo lo grande que se quiera para valores de

x suficientemente próximos al valor a.

ax

xf

→+∞=)(lim

.

• f(x) tiene por límite ∞− en el punto ax = , cuando la función

se hace todo lo pequeña que se quiera para valores de x

suficientemente próximos al valor a.


31

ax

xf

→−∞=)(lim

.

Límites en el infinito • El número real L es el límite de f en el infinito cuando los

valores de la función tienden a L conforme x tiende a ∞+ .

Se representa por:

+∞→=

x

Lxf )(lim.

• El número real L es el límite de f en el menos infinito cuando

los valores de la función tienden a L conforme x tiende a

∞− . Se representa por:

−∞→=

x

Lxf )(lim.

Cálculo de límites •

ax

kaxafkbx nn

→++==++ ...)()...(lim

Sean f y g dos funciones tales que

ax

Lxf

→=)(lim

y ax

Kxg

→=)(lim

, con L y K reales

• ax

xgxf

→+ ))()((lim

= ax

xf

→)(lim+

ax

xg

→)(lim= L + K.

• ax

xgxf

→− ))()((lim

= ax

xf

→)(lim-

ax

xg

→)(lim= L – K.

• ax

xgxf

→⋅ ))()((lim

= ax

xf

→)(lim.

ax

xg

→)(lim= L . K

• nnn

Lax

xf

ax

xf=

→=

→)

)(lim(

)((lim, Nn∈∀ , 0≠n .

• nn

n

Lax

xf

ax

xf =→

=→

)(lim)((lim. Si n es par, entonces

debe ser 0≥L .

•

• ax

xg

xf

→)(

)(lim

= K

L

ax

xgax

xf

=

→

→)(lim

)(lim

con ax

Kxg

→≠= 0)(lim


32

• +∞=+∞+ )(L

• −∞=−∞+ )(L

• +∞=+∞++∞ )()(

• +∞=+∞⋅ )(L si L > 0

• −∞=−∞⋅ )(L si L > 0

• −∞=+∞⋅ )(L si L < 0

• +∞=−∞⋅ )(L si L < 0

• −∞=−∞+−∞ )()(

• +∞=+∞⋅+∞ )()(

• −∞=−∞⋅+∞ )()(

• +∞=−∞⋅−∞ )()(

• ±∞→

±∞=

xxQ

xP

)(

)(lim

si grado de P(x) > grado de Q(x). El

signo del límite depende del signo de los coeficientes de los

términos de mayor grado, considerando siempre la regla de

los signos y de la paridad de dichos grados.

• ±∞→

=

xxQ

xP0

)(

)(lim

si grado de P(x) < grado de Q(x).

• ±∞→

=

xn

m

xQ

xP

)(

)(lim

si grado de P(x) = grado de Q(x) y m y

n son los coeficientes de los términos de mayor grado de

P(x) y Q(x), respectivamente.

Indeterminaciones • 0

0,

∞∞

, ∞−∞ , ∞⋅0


33

6. Actividades resueltas

1.1 Dados los conjuntos A = {9, 12, 30} y B = {5, 6, 7, 8}, se establece la siguiente

relación entre ellos: un elemento de A está relacionado con un elemento de B si ambos

tienen algún divisor común distinto de la unidad. Establece la relación y represéntala

mediante pares de puntos y de forma gráfica mediante conjuntos.

Solución:

Para determinar los divisores comunes, previamente, descomponemos en factores los

elementos de A y B.

139 2 ⋅= ; 12312 2 ⋅⋅= ; 123530 ⋅⋅⋅=

155 ⋅= ; 1236 ⋅⋅= ; 177 ⋅= ; 128 3 ⋅=

Ya podemos establecer esta relación que consiste en tener algún divisor común

(distinto de 1): {(9,6), (12,6), (12,8), (30,5), (30,6), (30,8)}.

En forma de diagrama:

1.2 Expresa mediante una fórmula o expresión algebraica las siguientes relaciones:

a) La mitad de un número.

b) La raíz cuadrada de un número.

c) El 10% de una cantidad.

Solución:

a) x →2

x

b) x → x

c) x → x⋅10

1

2.3 De las siguientes relaciones, indica cuáles son las que son aplicaciones.

a) Ser padre.

b) Ser hijo biológico.

c) Ser hermano.

Solución:

A

9

12

30

B 5

6

7

8


34

a) No es una aplicación pues no todas las personas son padres y muchas personas

tienen más de un hijo.

b) Es una aplicación pues toda persona tiene un solo padre.

c) No es una aplicación ya que no todas las personas tienen hermanos y muchas

personas tienen más de un hermano.

2.4 De las siguientes correspondencias, señala las que sean aplicaciones.

a)

b)

c)

Solución:

α

β

χ

δ

b

d

c

a

b

c

d

1

2

3 4

5

-3 -2

0

1

2

-1

3

2

0

1

3


35

a) Es una aplicación porque todos los elementos del conjunto inicial tienen una sola

imagen en el conjunto final.

b) No es una aplicación pues el elemento d del conjunto inicial tiene dos imágenes.

c) No es una aplicación pues el elemento α del conjunto inicial no tiene imagen.

3.5 Averigua si las siguientes correspondencias son funciones reales de variable real:

a) A cada nº le hace corresponder sus factores primos.

b) A cada nº le hace corresponder el doble de su inverso.

c) A cada nº le hace corresponder su cubo.

Solución:

a) No es una función pues ningún número real, excepto el 1, tienen sólo un factor

primo.

b) No es una función ya que el 0 no tiene inverso.

c) Sí es una función pues todo número real tiene un único cubo.

3.6 Dada la función que asocia a cada nº real su doble más 4 unidades:

a) Halla su expresión algebraica.

b) Calcula f(2), f(-1) y f(3/4).

c) Determina el dominio y el recorrido.

Solución:

a) La expresión algebraica de esta función viene expresada por la fórmula:

42)( += xxf .

b) Para 2=x , resulta 8422)2( =+⋅=f . Análogamente, 24)1(2)1( =+−⋅=−f y,

por último, 2

114

2

34

4

32)

4

3( =+=+⋅=f .

c) Como todo nº real tiene imagen (su doble más cuatro), Dom(f) = R y como también

tiene origen o antiimagen (2

4−= yx ), Re(f) = R.

3.7 Considera la relación entre el nº de lados de un polígono y la suma de sus ángulos.

a) ¿Es una función?

b) Construye una tabla y representa gráficamente la función.

c) ¿Es posible establecer una expresión algebraica de esta función? Determínala.

Solución:

a) Es una función pues para cada polígono la suma de sus ángulos es siempre un

número fijo.


36

b)

Nº de lados 3 4 5 6

Suma de ángulos 180º 360º 540º 720º

�

�

�

�

1 2 3 4 5 6Nº de Lados

180º

360º

540º

720ºSuma de ángulos

c) Para determinar la fórmula de esta función nos fijamos en que los valores son todos

múltiplos de 180º:

3 → 1º180 ⋅ ; 4 → 2º180 ⋅ ; 5 → 3º180 ⋅ ; 6 → 4º180 ⋅ ;…

Es decir,

x → )2(º180 −⋅ x

por tanto la expresión algebraica es

)2(180 −= xy .

3.8 Razona por qué la expresión y = xx −+− 24 no define ninguna función.

Solución: Esta función está definida por la suma de dos raíces cuadradas, por tanto es necesario

que existan ambas, es decir, que no sean negativos sus radicandos.

Por un lado, debería ser:

04 ≥−x ⇒ 4≥x .

Pero también se debe cumplir:

02 ≥− x ⇒ x≥2

lo cual es imposible.

4.9 Calcula el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

a) f(x) = 12 +x

b) g(x) =x

1


37

c) h(x) =4+x

x

d) i(x) = 5x-1

e) j(x) = 3−x

Solución:

a) La función f es un polinomio, por tanto para todo número real tiene sentido y es

otro número real. Así, Dom(f) = R.

b) La función g es un cociente de polinomios, por tanto no tiene sentido para los

valores de x que anulen el denominador. Entonces, Dom(g) = R - {0}.

c) La función h es de nuevo un cociente de polinomios, por tanto no pertenecen a su

dominio los valores de x que anulen x+4. Es decir, Dom(h) = R - {-4}.

d) La función i es otro polinomio, por tanto Dom(f) = R.

e) Como la función j es una raíz cuadrada de un polinomio, existe si el radicando no es

negativo. Así, 03 ≥−x ⇒ 3≥x ⇒Dom(j) = [ )+∞,3 .

5.10 Calcula f(0), f(-1), f(1), )2(1−f y )2(1 −−f , para las siguientes funciones:

a)

b)

c)


38

Solución:

a) 3)0( −=f ; 5)1( −=−f ; 1)1( −=f ; 2

5)2(1 =−f ;

2

1)2(1 =−−f .

b) 1)0( −=f ; 2)1( −=−f ; 2)1( =f ;

−=−

3

1)2(1f ; 1)2(1 −=−−f .

c) 1)0( −=f ; 2)1( −=−f ; 2)1( =f ; 1)2(1 =−f ; 1)2(1 −=−−f .

5.11 Determina la ecuación y la gráfica de la recta que tiene asociada la tabla:

x 0 -2 2 4

fx) 2 1 3 4

Solución:

La expresión de una recta es:

nmxy +=

Donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.

Entonces, según la tabla, n = 2 (la imagen de x = 0) ⇒ 2+= mxy .

Como la imagen de x = -2 es y = 1, resulta:

2)2(1 +−= m ⇒2

1

2

1 =−−=m .

La ecuación de la recta pedida es:

22

1 += xy .

La gráfica:


39

5.12 Determina la ecuación y la gráfica de la parábola que tiene asociada la tabla:

x 0 -1 1 2 -2

fx) 3 4 4 7 7

Solución:

La expresión de una parábola es:

cbxaxxf ++= 2)(

Donde c es la ordenada en el origen.

Entonces, según la tabla, c = 3 (la imagen de x = 0) ⇒ 32 ++= bxaxy .

Al ser )1()1( ff =− y )2()2( −= ff el eje de simetría es la recta 0=x , el eje OY, por

tanto el vértice está en dicho eje ⇒ .0=b

Por último, como la imagen de x = -1 es y = 4, resulta:

3)1(4 2 +−= a ⇒ 1=a .

.

La ecuación de la parábola es:

32 += xy .

La gráfica:


40

6.13 Dadas las funciones reales de variable real

12)( 3 +−= xxxf ; xxxg += 22)(

Determina las funciones:

a) .gf +

b) gf 32 −

c) gf o

Solución:

a) La función suma de f y g es otra función real de variable real cuya expresión es:

12))(( 23 +−+=+ xxxxgf .

b) Análogamente, la función gf 32 − es otra función real de variable real cuya

expresión es:

2762)2(3)12(2)(3)(2))(32( 2323 +−−=+−+−=−=− xxxxxxxxgxfxgf .

c) La función gf o , g compuesta con f , está también definida en todo R y tiene de

expresión algebraica:

=++−+=+== 1)2(2)2()2())(())(( 2322 xxxxxxfxgfxgf o

= 1246128 23456 +−−+++ xxxxxx .

6.14 Dadas las funciones reales de variable real

xx

xf 21

)( += ; 2

1)(

+−=

x

xxg


a) (f+g)(0).

b) )0()2(3 gf − .

c) )1)(( −gf o .

d) )1)(( gf o .

Solución:


41

a) (f+g)(0) no existe pues no existe f(0) ya que la expresión 0

1no tiene sentido, no es

un número real.

b)

14)2

1()4

2

1(3)0()2(3 =−−+=− gf .

c)

2

9)2())1(()1)(( −=−=−=− fgfgf o .

d)

)0())1(()1)(( fgfgf ==o

Al no existir )0(f tampoco existe )1)(( gf o .

7.15 Determina si existen o no el límite de la función siguiente:

f(x) = 3x-4 en x = 1.

Solución:

Para determinarlo, calculamos el valor de la función en puntos cada vez más cercanos a

1, tanto superiores como inferiores a él:

x > 1 1,5 1,1 1,01 1,001

f(x) 0,5 -0,7 -0,97 -0,997

x < 1 0,5 0,9 0,99 0,999

f(x) -2,5 -1,3 -1,03 -1,003


correspondientes de la función tienden a -1. Por tanto, -1 es el límite de esta función cuando x

tiende a 1:

1

143lim

→−=−

x

x.

7.16 Determina si existen o no el límite de la función siguiente:

f(x) = x

1 en x = 0.


42

Solución:

Para determinarlo, calculamos el valor de la función en puntos cada vez más

cercanos a 0, tanto superiores como inferiores a él:

x > 0 0,5 0,1 0,01 0,001

f(x) 2 10 100 1000

x < 0 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001

f(x) -2 -10 -100 -1000

Al aproximarse x a 0 por la derecha los valores correspondientes de la función se hacen cada

vez mayores. Análogamente, al aproximarse x a 0 por la izquierda los valores

correspondientes de la función se hacen cada vez menores Por tanto, esta función no tiene

límite cuando x tiende a 0.

7.17 Halla a partir de la gráfica los siguientes límites:

a) 0

)(lim

→x

xf

b) 2

)(lim

→x

xf

c) 2

)(lim

−→x

xf

Solución:

a) 0

)(lim

→x

xf= 4.

b) 2

)(lim

→x

xf= 8.


43

c) 2

)(lim

−→x

xf= -2


a) 0

)(lim

→x

xf

b) 2

)(lim

→x

xf

Solución:

a) No existe el límite.

b) 2

)(lim

→x

xf= 26.


a) 4

)(lim

→x

xf

b) 2

)(lim

→x

xf


44

Solución:

a) 4

)(lim

→x

xf= -10.

b) 2

)(lim

→x

xf= 0.

8.20 Halla a partir de la gráfica los siguientes límites

a) +−→ 1

)(lim

x

xf

b) −−→ 1

)(lim

x

xf

c) +→ 2

)(lim

x

xf

d) −→ 2

)(lim

x

xf

Solución:


45

a) +−→ 1

)(lim

x

xf= 5.

b) −−→ 1

)(lim

x

xf= -3.

c) +→ 2

)(lim

x

xf= 10.

d) −→ 2

)(lim

x

xf= -4.

9.21 Observando la gráfica de la función y = f(x) calcula el valor de los siguientes

límites:

a) +→ 1

)(lim

x

xf

b) −→ 1

)(lim

x

xf

c) −→ 0

)(lim

x

xf

d) +→ 0

)(lim

x

xf

e) +−→ 1

)(lim

x

xf

f) −−→ 1

)(lim

x

xf

g) +∞→x

xf )(lim

h) −∞→x

xf )(lim


46

Solución:

a) +→ 1

)(lim

x

xf= ∞+

b) −→ 1

)(lim

x

xf= ∞−

c) −→ 0

)(lim

x

xf= 0

d) +→ 0

)(lim

x

xf= 0

e) +−→ 1

)(lim

x

xf= ∞−

f) −−→ 1

)(lim

x

xf= ∞+

g) +∞→x

xf )(lim= 0

h) −∞→x

xf )(lim= 0

9.22 Calcula el valor de los siguientes límites:

a) +∞→

+x

x )2(lim 2

b) +∞→

+−x

x )3(lim

c) −∞→

+x

x )2(lim


47

d) −∞→

+x

x )2(lim 2

Solución:

a) Dando valores a x muy grandes, la función se hace todo lo grande que queramos, es

decir, el límite es ∞+ . En la gráfica se ve muy bien:

b) Análogamente, dando valores a x muy grandes, la función se hace todo lo pequeña

que queramos, es decir, el límite es ∞− . Gráficamente:

c) De nuevo, dando valores a x muy pequeños, la función se hace todo lo pequeña que

queramos, es decir, el límite es ∞− .


48

d) Por último, dando valores a x muy pequeños, la función se hace todo lo grande que

queramos, es decir, el límite es ∞+ .

10.23 Sabiendo que 2

4)(lim

→=

x

xf y

2

3)(lim

→=

x

xg, hallar:

a) 2

))()((lim

→−

x

xgxf.

b) 2

))(3)(2(lim

→+

x

xgxf.

Solución:

a) Como el límite de una diferencia de funciones es igual a la resta de los límites, resulta:

2

))()((lim

→−

x

xgxf=

2

)(lim

→x

xf+

2

)(lim

→x

xg= 4 - 3 = 1.

b) Análogamente,

2

))(3)(2(lim

→+

x

xgxf=

2

))(2(lim

→x

xf+

2

))(3(lim

→x

xg=

= 2 2

)(lim

→x

xf+ 3

2

)(lim

→x

xg= 173342 =⋅+⋅ .

10.24 Sean 13)( 2 −= xxf y g 2)( += axx . Halla a, sabiendo que

1

2)()(lim

→=⋅

x

xgxf.

Solución:


49

Como el límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites, resulta:

2 =1

))()((lim

→⋅

x

xgxf=

1

)(lim

→x

xf.

1

)(lim

→x

xg= 42)2)1(()1)1(3( 2 +=+⋅− aa ⇒

a242 =− ⇒ 1−=a .

10. 25 Sean 12)( 2 −+= xxxf y g2

4)(

+−=

x

xx .Calcula los siguientes límites:

a) 1

))(4)((lim

→−

x

xgxf.

b) 2

))()(2(lim

→⋅

x

xgxf.

Solución:

a) La función f es un polinomio, por tanto 1

2)1()(lim

→==

x

fxf. La función g es un

cociente de polinomios, como 1

032lim

→≠=+

x

x, resulta

1

13

3

2

4lim

→

−=−=+−

xx

x. Así,

1

6)1(42))(4)((lim

→=−−=−

x

xgxf.

b) Análogamente, 2

4)1(22))()(2(lim

→−=−⋅⋅=⋅

x

xgxf.

10. 26 Determina los siguientes límites:

a) +∞→

+−+−

xxx

xxx

13

354lim

23

23

.

b) +∞→

−++−+

xxx

xxx

422

25lim

2

25

.

c) +∞→

++−−

xx

xxx

28

635lim

23

.

Solución:


50

a) Como es un cociente de polinomios, el límite depende de los grados del numerador y

del denominador. En nuestro caso son de igual grado, por tanto el límite es el cociente de los

coeficientes de los términos de grado 3 (mayor grado):

+∞→

==+−+−

xxx

xxx4

1

4

13

354lim

23

23

.

b) De nuevo es un cociente de polinomios, el límite depende de los grados del numerador

y del denominador. En este ejercicio es mayor el grado del numerador, entonces el límite es

infinito. Como los coeficientes de mayor grado son de igual signo,

+∞→

+∞=−+

+−+

xxx

xxx

422

25lim

2

25

.

c) En esta función racional es otra vez es mayor el grado del numerador, entonces el

límite es infinito. Al ser los coeficientes de mayor grado de distinto signo,

+∞→

−∞=+

+−−

xx

xxx

28

635lim

23

.

10. 27 Calcula el valor de los siguientes límites:

a) 0

2lim

2

→xx .

b) 3

9

3lim

2

→−−

xx

x.

c) 0

11lim

→

−−

xx

x.

d) 0

1lim

3

→xx .

Solución:

a) Aunque esta función es un cociente de polinomios, no podemos hallar directamente el

límite pues el límite del denominador es nulo. Entonces, para determinar este límite, no

utilizaremos propiedades e iremos a la propia definición de límite.


51

Para ello calculamos el valor de la función en puntos cada vez más cercanos a 0, tanto

superiores como inferiores a él:

x > 0 0,5 0,1 0,01 0,001

f(x) 8 200 20000 2000000

x < 1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001

f(x) 8 200 20000 2000000


correspondientes de la función se hacen todo lo grande que se quiera. Por tanto, ∞+ es el

límite de esta función cuando x tiende a 0:

0

2lim

2

→

+∞=

xx .

b) Si aplicamos la propiedad del límite del cociente al

39

3lim

2

→−−

xx

x, obtenemos

0

0,

expresión que carece de sentido. Factorizando el denominador y simplificando:

26

1

3

1lim

3

)3)(3(

3lim

39

3lim

2

→

=+

→

=−+

−

→

=−−

xx

xxx

x

xx

x.

c) Si aplicamos la propiedad del límite del cociente al

0

11lim

→

−−

xx

x, obtenemos

0

0, expresión que carece de sentido. Como aparece un radical, multiplicamos y dividimos

por la expresión conjugada:

( )=

→−+

−−=

→−+

−+−−=

→

−−

0

)11(

)11(lim

0

)11(

)11)(11(lim

0

11lim

21

xxx

x

xxx

xx

xx

x

02

1

11

1lim

0

)11(lim

→

=−+=

→−+=

xx

xxx

x.


52

d) Calculamos el valor de la función en puntos cada vez más cercanos a 0, tanto superiores

como inferiores a él:

x > 0 0,5 0,1 0,01 0,001

f(x) 8 1000 1000000 1000000000

x < 1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001

f(x) -8 -1000 -1000000 -1000000000

Al aproximarse x a 0, por la derecha ( x > 0) los valores correspondientes de la función se

hacen todo lo grande que se quiera. Por tanto, ∞+ es el límite de esta función cuando x tiende

a 0 por la derecha es:

+→

+∞=

0

1lim

3

xx .

En cambio, al acercarse x a 0, por la izquierda ( x < 0) los valores correspondientes de la

función se hacen todo lo pequeño que se quiera. Por tanto, ∞− es el límite de esta función

cuando x tiende a 0 por la izquierda es:

−→

−∞=

0

1lim

3

xx .

Como los límites laterales no coinciden esta función no tiene límite en cero.

10. 28 Halla los siguientes límites:

a) 0

4)2(lim

2

→

−+

xx

x.

b)

2

4

8lim

2

3

−→−+

xx

x.

c)

1

1lim

2

2

→−−

xx

xx.

Solución:


53

a) Si aplicamos la propiedad del límite del cociente al

0

4)2(lim

2

→

−+

xx

x, obtenemos

0

0, expresión que carece de sentido. Operando, factorizando y simplificando resulta:

0

4lim

0

444lim

0

4)2(lim

222

→

=+

→

=−++

→

=−+

xx

xx

xx

xx

xx

x.

= 0

4)4(lim

0

)4(lim

→=+

→

=+

x

x

xx

xx.

b) Análogamente, factorizando y simplificando:

2

34

12

2

42lim

0)2)(2(

)42)(2(lim

24

8lim

22

2

3

−→

−=−

=−

+−

→

=−+

+−+

−→

=−+

xx

xx

xxx

xxx

xx

x.

c) De nuevo, factorizando y simplificando:

12

1

1lim

1

)1)(1(

)1(lim

11

lim2

2

→

=+

→

=−+

−

→

=−−

xx

x

xxx

xx

xx

xx.

10. 29 Calcula los siguientes límites de funciones racionales cuando existan:

a) −∞→

+

xx

x2

45lim

.

b) +∞→

++

xx

x

4

3lim

2

3

.

c) −∞→

++−+−

xxx

xx

24

13lim

2

2

.

Solución:

a) Si calculamos el límite en el infinito resulta, aplicando la propiedad del límite del

cociente, ∞∞ expresión que carece de sentido. Dividiendo el numerador y el

denominador por 2x , potencia máxima se tiene:


54

−∞→

=+

−∞→

=+

−∞→

=+

−∞→

=+

xx

xx

xx

xxx

x

xx

x0

1

00lim

1

44

lim

45

lim45

lim 2

2

2

22

2 .

b) Análogamente, dividiendo por la potencia mayor, en este caso 3x :

+∞→

+∞=++

+∞→

=+

+

+∞→

=+

+

+∞→

=++

xx

xx

x

xxx

xxx

x

xx

x00

01lim

41

31

lim4

3

lim4

3lim

3

3

33

2

33

3

2

3

.

c) De la misma forma, dividiendo numerador y denominador por 2x resulta:

−∞→

=++

−+−

−∞→

=++

−+−

xxx

x

x

xxx

x

x

x

xxx

xx

222

2

222

2

2

2

24

13

lim24

13lim

−∞→

−=++−+−

−∞→

=++

−+−

=x

xxx

xx1

001

001lim

241

131

lim

2

2

.

10. 30 Halla los siguientes límites de funciones irracionales:

a)

22

86lim 3

2

2

→−−+−

xxx

xx.

b)

2

53

4lim

2

2

→+−

−

xx

x.

Solución:

a) Como es una raíz de orden impar, no es necesario que el radicando sea positivo.

Aplicando la propiedad nn

ax

xf

ax

xf→

=→

)(lim)((limresulta:


55

33 2

2

32

2

0

0

22

86lim

22

86lim =

→−−+−

=→

−−+−

xxx

xx

xxx

xx.

Para deshacer la indeterminación 0

0, factorizamos numerador y denominador,

utilizando la regla de Ruffini para a = 2, y simplificamos:

33333 2

2

3

2

3

2

2

)1(

)4(lim

2

)1)(2(

)4)(2(lim

22

86lim −=−=

→+−

=→

+−−−

=→

−−+−

xx

x

xxx

xx

xxx

xx.

b) Al sustituir x por 2 en la expresión 53

4

2

2

+−−x

xse obtiene de nuevo una

indeterminación del tipo 0

0. Como aparece un radical (no es posible utilizar la regla de

Ruffini para factorizar) hay que multiplicar y dividir por la expresión conjugada para poder

simplificar:

2

)53)(53(

)53)(4(lim

2

53

4lim

22

22

2

2

→

=+++−

++−=

→+−

−

x

xx

xx

xx

x

2

6)53(lim

24

)53)(4(lim

2

)5(3

)53)(4(lim 2

2

22

222

22

→=++

→

=−

++−

→

=+−

++−=

x

x

xx

xx

xx

xx.

10. 31 Calcula los siguientes límites de funciones irracionales cuando existan:

a) +∞→

−−x

xx 5lim 2

.

b)

+∞→

+−+

xx

xx 75lim

.

Solución:

a) Es una indeterminación del tipo ∞−∞ . Se resuelve multiplicando y dividiendo por

la expresión conjugada:


56

=+∞→

−+

−−=

+∞→−+

−+−−=

+∞→−−

xxx

xx

xxx

xxxx

x

xx5

)5(lim

5

)5)(5(lim5lim

2

222

2

222

05

5

5lim

5

5lim

22

22

=∞+

=+∞→

−+=+∞→

−+

+−=

xxx

xxx

xx.

b) Es una indeterminación del tipo 0

0, que, como tiene radicales, se resuelve

multiplicando y dividiendo de nuevo por la expresión conjugada:

( )( )( )

+∞→

=+++

++++−+

+∞→

=+−+

xxxx

xxxx

xx

xx

75

7575lim

75lim

( ) ( )( ) ( ) 0

2lim

75

2lim

75

75lim

22

+∞→

=∞+

−

+∞→

=+++

−

+∞→

=+++

+−+=

xxxxx

xxxx

xx


57

7. Actividades propuestas

1. Expresa, mediante una fórmula, la relación que existe entre las magnitudes:

a) El radio de una circunferencia y su longitud.

b) El lado de un cuadrado y su área.

c) El radio de una esfera y su volumen.

2. La tarifa para mandar un telegrama es la siguiente: 80 céntimos de cuota fija y 5

céntimos por palabra.

a) Expresa la relación entre tarifa y número de palabras mediante una tabla.

b) Exprésala también mediante una gráfica.

c) Determina la fórmula que relaciona ambas.

3. Dada la función f que asocia a cada número real su tercera parte más 5 unidades

Halla su expresión algebraica

a) Calcula f(6), f(-1) y f(1/4).

b) Determina el dominio y el recorrido de f.

4. Señala si la relación que asocia a cada número real su raíz cuadrada es una función.

a) Calcula el valor de la variable dependiente para los valores de x = 0, x = 1, x = 3 y

x = -4

b) Halla el dominio y el recorrido.

5. Dadas las funciones reales de variable real

1

23)(

−+=x

xxf ;

3

2)(

+=x

xxg


a) (f+g)(1).

b) )2()1(2 gf −− .

c) )3)(( −gf o .

d) )1)(( gf o .

6. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son indeterminaciones?

a) )()( −∞−+∞

b) )()( +∞−+∞


58

c) ∞0

d) 0

∞

e) )()( −∞+−∞

7. Determina, utilizando la gráfica de f(x), los puntos de R donde no existe límite de la

función.

8. Utilizando la gráfica de f(x), calcula los puntos de R en donde la función tiene por

límite ∞+ o ∞− .

9. Dada la gráfica de la función f(x), calcula los siguientes límites:

a) +∞→x

xf )(lim.

b) 2

)(lim

→x

xf.


59

c) 0

)(lim

→x

xf.

d) +−→ 4

)(lim

x

xf.

e) 6

)(lim

−→x

xf.

f) −∞→x

xf )(lim.

10. Calcula +∞→x

xf )(limpara las funciones:

a) 57

43)(

−+=

x

xxf .

b) 12

3)(

2 +−+=xx

xxf .

11. Determina el valor de −∞→

+−x

xx 4lim 2

.

12. Calcula los siguientes límites de funciones:

a) 2

53lim 3

→−+

x

xx.


60

b) 3

9

27lim

2

3

−→−

+

xx

x.

13. Calcula los siguientes límites de funciones racionales:

a) +∞→

+−+−+

xxx

xxx

19

273lim

3

23

.

b) +∞→

++−+−

xxx

xx

16

4lim

2

3

.

c)

+∞→++−

xx

x

3

5lim

2 .

14. Calcula los siguientes límites de funciones irracionales:

a) +∞→

−−+x

xxx 14lim 2

.

b) 1

1

2312lim

→−

−−−

xx

xx.

c) ( )

+∞→−−+

x

xx 22lim 22

.

15. ¿Existe el límite de la función 4

1)(

2 −=x

xf en 2=x ?

16. Estudia el límite de 1

1)(

3

2

−−=

x

xxf en 1=x .

17. Calcula:

416

422lim

2

→−

−−

xx

x.

18. Calcula: ( )

+∞→−+

x

xxx 1lim 2

.


61

8. Bibliografía

“Matemáticas. Álgebra-Cálculo-Geometría-Probabilidad” Serie Schaum. ED.

McGrauw-Hill.

“Matemáticas. 1ºBachillerato.” Ed. Edelvives.

“Matemáticas. 2ºBachillerato.” Ed. MCGraw-Hill.

“Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales. 2ºBachillerato.” Ed. SM.

“Problemas de Matemáticas Especiales”(1989) Cuadernos de la UNED, nº 80.

“Problemas de Matemáticas Especiales”(1995). Mª E. Ballvé y otros. Ed. Sanz y

Torres. Madrid

http://www.vadenumeros.es/tercero/indice-tercero-de-eso.htm

www.juntadeandalucia.es/averroes/iesbajoguadalquivir/mat/cuartob/mates4esob.htm


62

9. Prueba de autoevaluación final

1.- Utilizando la gráfica de la función


a) Existe límite en x = 0.

b) Existe límite en x = 1.

c) No existe límite en x = 4.

d) No existe límite en x = 0.

2.- A partir de la gráfica de la función


a) +→−=

0

1)(lim

x

xf.

b) −→=

2

4)(lim

x

xf.

c) 2

4)(lim

→=

x

xf.


63

d) 0

0)(lim

→=

x

xf.

3. – El 2

)(lim

−→xxf

de la función representada en la siguiente gráfica es:

a) ∞+ .

b) 2.

c) 0.

d) No existe.


a) −→

∞−=+−1

)12(lim 2

x

xx.

b) No existe −→

+−1

)12(lim 2

x

xx.

c) No existe +→

+−1

)12(lim 2

x

xx.

d) −→

=+−1

0)12(lim 2

x

xx.


a) 0

1)1)(1(lim

→

+∞=++−

xx

xx.


64

b) 0

1)1)(1(lim

→

−∞=++−

xx

xx.

c) 0

01)1)(1(

lim

→

=++−

xx

xx.

d) No existe

0

1)1)(1(lim

→

++−

xx

xx.


a) +∞→

=+−

−−

xxx

xxx2

132

3lim

3

23

.

b) +∞→

=+−

−−

xxx

xxx2/1

132

3lim

3

23

.

c) No existe

+∞→+−

−−

xxx

xxx

132

3lim

3

23

.

d) +∞→

=+−

−−

xxx

xxx0

132

3lim

3

23

.


a) No existe

+∞→++

xx

x

1

1lim

2 .

b) +∞→

=++

xx

x0

1

1lim

2 .

c) +∞→

=++

xx

x1

1

1lim

2 .

d) +∞→

−=++

xx

x1

1

1lim

2 .


65


a) +∞→

−∞=++−

xx

xx

4

2lim

2

3

.

b) +∞→

+∞=++−

xx

xx

4

2lim

2

3

.

c) No existe

+∞→++−

xx

xx

4

2lim

2

3

.

d) +∞→

=++−

xx

xx0

4

2lim

2

3

.


a)

0

1164

39lim

→

−=+−−+

xx

x.

b)

0

3/4164

39lim

→

−=+−−+

xx

x

c)

0

0164

39lim

→

=+−−+

xx

x

d) No existe

0164

39lim

→+−−+

xx

x.


a) +∞→

=+−x

xx 0)1(lim 2

.

b) +∞→

−∞=+−x

xx )1(lim 2

.


66

c) +∞→

+∞=+−x

xx )1(lim 2

.

d) No existe+∞→

+−x

xx )1(lim 2

.


67

Soluciones a la Prueba de Autoevaluación final 1 → a

2 → b

3 → d

4 → d

5 → c

6 → b

7 → b

8 → a

9 → b

10 → a

3. límites de funciones

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