3-libro módulo tres del Ámbito científico-tecnológico...

MÓDULO TRES

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO MÓDULO TRES

BLOQUE 7 TEMA 1: CLASES DE NÚMEROS Y SUS APLICACIONES 1. LOS DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS

1.1. LOS NÚMEROS NATURALES 1.2. LOS NÚMEROS ENTEROS 1.3. LOS NÚMEROS RACIONALES 1.4. LOS NÚMEROS IRRACIONALES 1.5. LOS NÚMEROS REALES. INTERVALOS

2. INTRODUCCIÓN A LA HOJA DE CÁLCULO 2.1. HOJAS, CELDAS Y RANGOS. 2.2. OPERACIONES, FÓRMULAS Y FUNCIONES

3. CÁLCULO DE PORCENTAJES. LOS PORCENTAJES EN ECONOMÍA 3.1. CÁLCULO DE PORCENTAJES. LOS PORCENTAJES Y LA HOJA DE CÁLCULO 3.2. AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 3.3. LOS PORCENTAJES EN LA ECONOMÍA

4. ALGUNAS FACTURAS DE ANDAR POR CASA 4.1. EL RECIBO DE LA LUZ: LA FACTURA DE LA LUZ 4.2. LA HIPOTECA

BLOQUE 8

TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS 1. INTRODUCCIÓN: EL ÁLGEBRA

1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 1.3 MONOMIOS 1.4. POLINOMIOS

2. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 2.1. DEFINICIONES 2.2. EL LENGUAJE ALGEBRAICO 2.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES 2.4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES

3. PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS

BLOQUE 9 TEMA 5: GEOMETRÍA 1. REPASO DE GEOMETRÍA PLANA

1.1. UN POCO DE HISTORIA 1.2. PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 1.3. REPASO A LAS FIGURAS PLANAS ELEMENTALES

1.3.1 TRIÁNGULOS 1.3.2. CUADRILÁTEROS.

2. POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN 2.1. POLIEDROS

2.1.2. POLIEDROS REGULARES 2.1.3. PRISMAS 2.1.4. PIRÁMIDES

2.2. CUERPOS DE REVOLUCIÓN 2.2.1. CILINDRO 2.2.2. CONO 2.2.3. ESFERA

2.3. ÁREAS Y VOLÚMENES

OPERACIONES MATEMÁTICAS REPASO DEL MÓDULO TRES

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO Repaso-1

I.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Según las necesidades que se han ido produciendo para contar diferentes realidades, los humanos hemos ideado diferentes tipos de números que dan respuesta a éstas:

a) Números Naturales (su conjunto se representa con N): permiten contar animales, cosas, etc N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....}

b) Números Enteros (Z): permiten contar “las deudas”, es decir, incluyen números ne-gativos: Z={...., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}

c) Números Racionales (Q): permiten representar porciones de un todo: Q={...,

512− ,

21− ,

86− ,

10 ,

94 ,

27 ,

315 , ...}

d) Números Irracionales (I): como π, 2 , ... e) Números Reales (R): incluyen todos los anteriores.

I.2. OPERACIONES CON NÚMEROS Y PROPIEDADES En general, con todos los tipos de números anteriores es posible realizar operaciones bá-sicas como la suma, resta, multiplicación y división, que ya conocerás. Conviene tener en cuenta en todas ellas unas propiedades que pueden serte de mucha utilidad: - Lo primero que debes saber es que todas estas operaciones se definen para dos núme-ros (podríamos decir que son operaciones ‘binarias’). Por eso, por ejemplo, cuando que-remos hacer 2+2+3, decimos “dos y dos cuatro, y tres, siete”; por supuesto, todos lo sa-bemos hacer, pero fíjate en que has hecho dos sumas, y en cada una de ellas sólo juntas dos números, ¡no tres!. Las siguientes propiedades te ayudarán a solucionar muchos ca-sos (el nombre es lo de menos; fíjate en los ejemplos):

SUMA MULTIPLICACIÓN

Propiedad Ejemplo Propiedad Ejemplo

CONMUTATIVA a+b=b+a 3+2=2+3

5=5 a·b=b·a 3·2=2·3

6=6

ASOCIATIVA a+(b+c)=(a+b)+c 5+(1+6)=(5+1)+6

5+7=6+6 12=12

a·(b·c)=(a·b)·c 2·(3·7)=(2·3)·7

2·21=6·7 42=42

ELEMENTO NEUTRO

a+0=a 7+0=7 a·1 = a 7·1=7

ELEMENTO OPUESTO

a+(-a)=0 3+(-3)=0 3-3=0

-------------------- ---------------------

ELEMENTO INVERSO

------------------------ ----------------------- a· a1 =1, (si a≠0) 5·

51 = 1

55

51·5 ==

DISTRIBUTIVA a·(b+c)=a·b+a·c 3·(2+7) = 3·2 + 3·7

3·9 = 6 + 21 27 = 27

- Una de las consecuencias de lo anterior es que con la existencia del opuesto, la resta se equipara a una suma (del minuendo con el opuesto del sustraendo). - De igual modo, con la existencia del inverso, la división se equipara a la multiplicación (del dividendo por el inverso del divisor). - Otra consecuencia es una regla básica cuando aparecen operaciones combinadas: “cuando hay varios números entre los que aparecen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, la PRIORIDAD la tienen la multiplicación o división (ambas con igual prioridad) y luego las sumas o restas, salvo que haya paréntesis o corchetes, que modifican esta prioridad”.

REPASO DEL MÓDULO TRES OPERACIONES MATEMÁTICAS

Repaso-2 ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

Ejemplos: a) 3·4+2 = 12+2 =14 b) 3·(4+2) = 3·6 =18 Fíjate cómo con los mismos números y operaciones, el resulta-

do es distinto con el paréntesis. - Regla de los signos en la multiplicación (o división): - Suma de fracciones: si tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador:

84

81

83 =+

Cuando los denominadores no son iguales (que es lo normal), es necesario obtener frac-ciones equivalentes a las dadas que sí tengan los denominadores iguales (para ello basta multiplicar su numerador y denominador por el mismo número. Ejemplo:

1015

5·25·3

23 == , es

decir, 23 y

1015 son equivalentes y representan la misma cantidad).

Hay dos formas de obtener este común denominador:

a) Multiplicando todos los denominadores entre sí: db

bcda

db

bc

db

da

d

c

b

a

·

··

·

·

·

· +=+=+

Ejemplo: 12

52

12

1042

6·2

2·56·7

6

5

2

7 =+=+=+

b) Obteniendo el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y usando éste co-mo común denominador, para lo cual habrá que multiplicar cada numerador por el número que, multiplicado por el denominador original, da el mcm. Recuerda que el mcm de varios números se obtiene multiplicando entre sí los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente de los números de los que se quiere calcular. En el ejemplo anterior: mcm(2 y 6) = 6, luego:

6

26

6

521

6

5

6

21

6

5

3·2

3·7

6

5

2

7 =+=+=+=+

El resultado, como puedes imaginar, es equivalente al anterior: 12

52

2·6

2·26

6

26 ==

La ventaja de usar el mcm es que, en general, conduce a números más pequeños, evi-tando posibles errores. Su inconveniente, es que hay que entretenerse en factorizar y ob-tener el mcm. - Producto de fracciones: se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí

(en ‘horizontal’): db

ca

d

c

b

a

·

·· = Ejemplo:

20

21

5·4

7·3

5

7·

4

3 ==

- División de fracciones: se multiplican numeradores y denominadores ‘en cruz’:

cb

da

d

c

b

a

·

·: = Ejemplo:

28

15

7·4

5·3

5

7:

4

3 ==

- Fracciones equivalentes: representan al mismo número, aunque tengan aspecto dife-rente (numerador y denominador), luego, al dividirlas entre sí darán por resultado 1, o lo

que es lo mismo: cbdad

c

b

a·· ==

(+)·(+) = (+) (+)·(-) = (-) (-)·(+) = (-) (-)·(-) = (+)

OPERACIONES MATEMÁTICAS REPASO DEL MÓDULO TRES

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO Repaso-3

- Símbolos matemáticos: en el anterior cuadro aparece el símbolo , que se lee “impli-ca” y equivale a decir “... y en consecuencia ...”. Además de éste, en matemáticas se usan muchos otros, entre los cuales puedes encontrarte estos:

≡ Identidad / Tal que ... < Menor que ... ∈ Pertenece a ... {...} Conjunto > Mayor que ... ∉ No pertenece a ... Implica (directa) ∃ Existe ⇐ Implica (inversa) ∀ Para todo ⇔ Doble implicación

- Potencias: definición de potencia natural:

��

vecesn

n aaaaa ........··= Ejemplo: 34 = 3·3·3·3 = 81

Propiedades: Ejemplos:

qpqp aa ·)( = 642)2( 623 == qpqp aaa +=· 3222·2 523 ==

ppp baba ·)·( = 369·43·2)3·2( 222 ===

p

pp

b

a

b

a =

243

32

3

2

3

25

55

==

qpq

p

aa

a −= 4222

2 235

3

5

=== −

pp

aa

1=− 8

1

2

12

3

3 ==−

aaaa pp pp == )(11

2222)2(22 13·33 3

3

3

1

3

1

3

1

=====

0,10 ≠∀= aa 120 =

REPASO DEL MÓDULO TRES OPERACIONES MATEMÁTICAS

Repaso-4 ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

EJERCICIOS DE OPERACIONES CON NÚMEROS 1º) Realiza las siguientes operaciones con números enteros:

a) (-2)·(-5)+6·(7-1) = b) 5·(3+4) –2·(9+21) = c) 3·(2·8)+12-40:5 = d) (9-5)·(6+4)+(3·4):2 = e) 2·(-3)+(5-7)·9-8:2+1 = f) [2-3·(6+4):5]·9+(2-1)·6 = g) -5·(-4)+8:(3+5) = h) 3-5·[3-2·(-1)·(4+2·(3-6):3)] =

2º) Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) =−2

5

7

12

c) =⋅21

5

10

14

b) =4

9:

5

3

d) =−+9

2

6

1

3

4

e) =

−+

−−4

3

2

1

5

3:

5

42

7

29

g) =

++

+

−20

7

5

4

3

1

6

1:

4

1

3

2

f) =+

+

10

7·

7

8

6

1

4

9:

5

3·

2

5

h) =

−15

2:

9

2

6

1·

3

4

3º) Escribe el opuesto y el inverso de los siguientes números:

Número Opuesto Inverso

12

-5

2

1

3

2−

4º) Calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los siguientes números: a) 36 y 54 b) 12, 20 y 36

5º) Realiza las siguientes operaciones con potencias, simplificando al máximo cuando sea posible:

a) =2)2·3(

c) =5

6

7

7

b) =325·5

d) =2

42

15

5·3

TEMA 1: CLASES DE NÚMEROS Y SUS APLICACIONES MÓDULO TRES

BLOQUE 7 DEL ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO <1>

1. LOS DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS 1.1. LOS NÚMEROS NATURALES 1.2. LOS NÚMEROS ENTEROS 1.3. LOS NÚMEROS RACIONALES 1.4. LOS NÚMEROS IRRACIONALES 1.5. LOS NÚMEROS REALES. INTERVALOS

2. INTRODUCCIÓN A LA HOJA DE CÁLCULO 2.1. HOJAS, CELDAS Y RANGOS. SELECCIONAR, CORTAR, COPIAR, PEGAR Y DESHACER. TIPOS DE DATOS 2.2. OPERACIONES, FÓRMULAS Y FUNCIONES

3. CÁLCULO DE PORCENTAJES. LOS PORCENTAJES EN ECONOMÍA 3.1. CÁLCULO DE PORCENTAJES. LOS PORCENTAJES Y LA HOJA DE CÁLCULO 3.2. AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 3.3. LOS PORCENTAJES EN LA ECONOMÍA

-EL IMPUESTO SOBRE EL VALOR AÑADIDO (IVA) -EL INTERÉS SIMPLE -EL ÍNDICE DE PRECIOS AL CONSUMO (IPC)

4. ALGUNAS FACTURAS DE ANDAR POR CASA 4.1. EL RECIBO DE LA LUZ: LA FACTURA DE LA LUZ 4.2. LA HIPOTECA

-¿INTERÉS FIJO O VARIABLE? -TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE) -¿CUÁNTO ME CUESTA REALMENTE MI CASA?

1. LOS DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS Antes de llegar a las cuentas que realizamos en nuestras casas en la vida diaria, vamos a hacer un repaso por los diferentes tipos de números que nos podemos encontrar y cómo los representamos. 1.1. LOS NÚMEROS NATURALES El primer tipo de números del que tenemos que hablar son aquellos que nos permiten contar. Por ejemplo, son los que nos permiten decir: dos manzanas, cinco libros, siete cartas,… Los números naturales son aquellos que pensamos y nos vienen a la cabeza sin más; son positivos, sin decimales, sin fracciones…, es decir, naturales. Los números naturales fue-ron los primeros que manejó el ser humano. Éstos se representan con el siguiente símbo-lo N y son:

N = {0, 1,2,3,4,5,6,7,...,15,16,...,66,67,68,...,12345,12346,...} En los números naturales siempre que se tenga un número existe su siguiente, que se obtiene del anterior sumándole uno. A la hora de ordenar los números naturales estos siguen el orden lógico, el 0 es menor que 1, el 1 es menor que 2, el 3 es menor que 4,…, el 66 es menor que 67,… Para decir que un número es menor que otro, en matemáticas usamos el símbolo <, y pa-ra decir que un número es mayor que otro, escribimos >. De esta forma la frase anterior quedaría de la siguiente forma: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < .....< 66 < 67 <... Si lo escribimos de mayor a menor: ....> 67 > 66 > ...... > 4 > 3 > 2 > 1 > 0 ¡¡OJO!! Para no confundirte con los signos “<” y “>” recuerda lo siguiente: La parte abierta del ángulo debe “mirar” al número mayor y el vértice al número menor nº menor < nº mayor nº mayor > nº menor

MÓDULO TRES TEMA 1: CLASES DE NÚMEROS Y SUS APLICACIONES

<2> BLOQUE 7 DEL ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO

La representación gráfica de los números naturales se hace sobre una semirrecta horizon-tal donde el extremo izquierdo es el 0. Desde aquí se divide la semirrecta en partes igua-les, y en cada marca vamos situando los números ordenados de menor a mayor.

Antes de seguir adelante deberías repasar cómo se opera con los números naturales. 1.2. LOS NÚMEROS ENTEROS ¿Cuál es el resultado de la operación: 5 – 8 ? ¿Es un número natural? Como ya habréis contestado, la respuesta es -3, pero, ¿es este número un número natu-ral? Efectivamente, NO. Los números naturales son del 0, 1,… y todos positivos, los nega-tivos no son números naturales. La necesidad de tener números negativos es lo que nos lleva a definir los Números Ente-ros que no son ni más ni menos que los números naturales y estos mismos con signo negativo, es decir:

Z = {..., -1234,-1233,...,-78,-77,...,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,...,+77,+78,...,+1233,+1234,...} A los números enteros se les identifica con el símbolo Z. La primera consecuencia de lo que hemos escrito anteriormente es que todos los núme-ros naturales son números enteros, pero no todos los números enteros son números natu-rales. La gran diferencia entre los números naturales y los números enteros es que los números enteros tienen opuesto, mientras que los números naturales no. Todo número entero tiene anterior y siguiente, esto es, dado un número entero siempre puedo escribir un número mayor y un número menor que él simplemente con sumarle o restarle uno. El opuesto de un número entero es el mismo número pero cambiado de signo.

EJEMPLOS:

1. El opuesto de -5 es +5. 2. El opuesto de +8 es -8. 3. El opuesto de -17 es 17. 4. El opuesto de 4 es -4. 5. El opuesto de 0 es 0.



REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS: Para representar los números enteros seguimos los siguientes pasos:

1. Trazamos una recta horizontal y situamos en ella el 0, que divide la recta en dos semirrectas:

2. Dividimos cada una de las dos semirrectas en partes iguales:

3. Situamos los números enteros sobre las semirrectas. Los enteros positivos a la de-

recha del cero, y los enteros negativos a la izquierda del cero:

Es decir, quedaría de la siguiente forma:

��

positivosenterosnegativosenteros

→ ← +++++++−−−−−−− 76543211234567 0

Veamos ahora lo que se llama valor absoluto de un número, que se representa escri-biendo el número entre dos barras verticales ( 7− , valor absoluto de -7):

El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene al qui-tarle el signo al número inicial, luego 77 =− .

EJEMPLOS: a) 55 =+ b) 1212 =− c) 1414 = d) 88 =−

A la hora de ordenar los números enteros se cumplen las siguientes reglas: 1. Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero ne-

gativo. Ejemplo: 83 <− 2. El cero es mayor que cualquier número entero negativo y menor que cual-

quier número entero positivo. Ejemplo: 906 <<− 3. Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor ab-

soluto. Ejemplo: 196191966196 <=+=+++ yy

4. Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ejemplo:

715157151577,157 −<−<=−=−−− quecumplesecomoyy

Si te cuesta trabajo recordar estas reglas, no olvides que otra forma de saber cuándo un número entero es mayor o menor que otro, es situar ambos números en la recta numéri-ca: el menor de ellos es el que queda más a la izquierda. Para continuar, repasa las operaciones con números enteros. Puedes practicar con números enteros en esta dirección de internet: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/introduccionenteros.htm



1.3. LOS NÚMEROS RACIONALES A pesar de que los números enteros mejoran y complementan a los números naturales,

¿el número 4

3es natural, entero,…? Lo cierto es que ni es natural, ni es entero, es un nú-

mero racional. Los números racionales nacen de la necesidad de dividir.

Algunos ejemplos de números racionales son: 3

8,

5

3,

2

7,

4

5

−−−

Los números racionales son aquellos que podemos expresar mediante una fracción con algunas condiciones especiales.

Una fracción es de la forma b

a, donde a recibe el nombre de numerador, y b denomina-

dor. De esta forma, un número racional es una fracción donde:

1. a y b son números enteros. 2. b no puede ser 0.

A todos los números racionales se les designa con el símbolo Q. Todo esto puede escribirse un poco más formalmente así:

≠∈∈= 0;,/ bZbZa

b

aQ

Y lo leeríamos así: “El conjunto de los números racionales, Q, está formado por los núme-

ros b

a , tales que a y b pertenecen al conjunto de los números enteros, Z, no pudiendo ser

b el número cero”. ¿Comprendes ahora por qué los matemáticos, en lugar de esta frase tan larga, prefieren utilizar unos símbolos que te parecerán muy extraños?. Es el lenguaje formal de los ma-temáticos, en el que el símbolo / significa “tal que” (es un enlace a la hora de escribir en matemáticas); el símbolo ∈significa “pertenece a”, luego Za ∈ significa que a pertenece a los números enteros. Algunas consecuencias inmediatas de la definición de número racional son las siguientes:

1. Todo número natural es racional. Ejemplo: 2

42 =

2. Todo número entero es racional. Ejemplo: 2

63

−=−

3. Todos los números racionales, salvo el cero, tienen inverso. Esta es la ca-racterística más importante que diferencia a los racionales de los enteros, ya que en los números enteros, solamente el 1 tiene inverso que es el mismo.

Dado un número racional b

a, su inverso es

a

b.

EJEMPLOS:

1º) El inverso de 6

7es

7

6 2º) El inverso de

5

3−es

3

5

−



REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES: Veamos con un ejemplo los pasos a seguir para representar los números racionales. Su-

pongamos que queremos representar el número racional 2

3:

1. Dibujamos la recta numérica:

2. Dividimos cada segmento unidad en b partes iguales, en nuestro caso

2=b . (Un segmento unidad es el trozo de recta que hay comprendido entre dos números consecutivos de la recta numérica).

3. Contamos a partes, de en las que hemos dividido ahora la recta, desde el 0

y en el sentido de su signo, en nuestro caso 3=a , y como es positivo, con-tamos desde el 0 hacia la derecha. Luego:

Ejemplo: Representamos el número 3

4− :

Para completar el estudio de la representación, tanto de números racionales como de números enteros, en la siguiente página web hay ejercicios que puedes realizar en tu cuaderno y corregirlos en la aplicación que hay en la misma página en la esquina superior derecha, donde dice “Software para practicar”: http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod2/node1.html A la hora de saber cuándo un número racional es mayor o menor que otro la forma más fácil de hacerlo es representando ambos números en la recta numérica y el que esté más a la izquierda es el menor.

De esta forma con los dos ejemplos que hemos usado anteriormente: 2

3

3

4 <−

Este es el momento de repasar las operaciones con números racionales. He aquí algunos enlaces interesantes:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/fracciones/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Fracciones_decimales_porcentajes/index.htm



1.4. LOS NÚMEROS IRRACIONALES Ya hemos visto los números naturales, enteros y racionales, pero aún queda un tipo de números, estos son los números irracionales. Estos números son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Algunos de estos números son: ...,3,2,,φπ Para saber si un número irracional es mayor o menor que otro, se hace de forma aproxi-mada. Puede calcularse el número en la calculadora, se representa aproximadamente en la recta numérica y el que se quede más a la izquierda es el menor. 1.5. LOS NÚMEROS REALES

A lo largo de este tema hemos estudiado los números naturales, enteros, racionales e irracio-nales; a todos estos números juntos se les llama números reales.

Los números reales se representan sobre la recta numérica que toma el nombre de los números que contiene y se denomina recta real.

INTERVALOS Una vez vista la recta real donde están representados todos los tipos de números que hemos estudiado, se llama intervalo determinado por dos números reales a todos los nú-meros que se pueden representar en la recta real entre ambos, es decir, a todos los nú-meros que puedo colocar en el segmento de recta real determinado por dos números reales. EJEMPLO: El intervalo entre -1 y 2 es, gráficamente, la zona coloreada de rojo en la recta real:

A los números que determinan el intervalo se les denomina extremos. Dependiendo de si los extremos se incluyen en el intervalo o no, la forma de escribirlo matemáticamente varía. Cuando los extremos pertenecen al intervalo se usan los símbo-los [ ]ó . Sin embargo, cuando los extremos no están dentro del intervalo, se usan los símbolos ( )ó . Los extremos, a la hora de escribir, se ponen con el número menor a la izquierda y el mayor a la derecha. Una propiedad importante de los intervalos es que están formados por infinitos números reales. Veamos algunos ejemplos para ilustrar lo anterior:

1. Intervalo [ ]2,1− , es el que tenemos representado en el dibujo anterior. En este caso hemos considerado que tanto el -1 como el 2 están dentro del intervalo.

2. Intervalo [ )2,1− : parece igual que antes, pero en este caso el 2 no está en el inter-valo, es decir, son todos los números comprendidos entre el -1 (inclusive) hasta el 2 (sin incluir).

O



3. Intervalo ( ]2,1− : se diferencia del anterior en que ahora el 2 sí está en el intervalo, pero no el –1.

4. Intervalo ( )2,1− : en este caso, ninguno de los dos extremos están incluidos en el in-tervalo, es decir, son todos los números desde el -1 al 2 pero sin incluir ninguno de estos dos.

2. INTRODUCCIÓN A LA HOJA DE CÁLCULO Una hoja de cálculo es una herramienta informática que permite realizar infinidad de cálculos de forma cómoda y sencilla. Ejemplos de estos programas son OpenOffice Calc y Microsoft Excel. La primera herra-mienta es de uso e instalación gratuita, mientras que la segunda es software propietario del que debemos tener licencia para utilizarlo. Si no tienes ningún programa de hoja de cálculo, puedes descargarte gratuitamente el “paquete” OpenOffice desde http://es.openoffice.org/ Incluso, si no quieres instalar nada hay aplicaciones en Internet con las que puedes hacer prácticamente lo mismo de forma gratuita; sólo necesitas darte de alta. La más conocida –aunque hay otras- puedes encontrarla en: http://www.google.com/google-d-s/hpp/hpp_es.html Ambos programas se utilizan de forma semejante, y la pantalla que se nos muestra cuan-do se ejecutan es muy similar: la parte superior muestra, como vemos en casi todos los programas, la barra de menús y una serie de barras de herramientas con sus íconos para acceder directamente a las que más se utilizan; debajo de éstas aparece una barra llama-da “de fórmulas”, que se usa para introducir las expresiones que nos servirán para obte-ner resultados; y finalmente, en el “cuerpo” de la hoja, una gran cuadricula vacía:



2.1. HOJAS, CELDAS Y RANGOS Un documento puede estar constituido por varias hojas a la vez. Observa en la parte infe-rior del área de trabajo las etiquetas de las tres hojas que hay por defecto: Hoja1, Hoja2, Hoja3. Cada hoja admite datos, textos e imágenes y puede tratarse como una tabla independien-te. La hoja puede reconocerse por la pestaña en el margen inferior. Para ver otra hoja basta con hacer clic en la pestaña correspon-diente. A cada uno de los pequeños espacios que componen la cuadrícula se le denomina celda. Para diferenciar unas cel-das de otras, cada columna comienza con una letra, y cada fila con un número. De esta forma, una celda es la intersección entre una fila y una columna de las que forman la hoja de cálculo, y se designa por la letra de la columna a la que pertenece seguida por el número de la fila. La imagen de la dere-cha muestra, por ejemplo, la celda D12. Seleccionar una celda es tan simple como hacer clic sobre ella. Cuando una cel-da se encuentra seleccionada se dice que la celda está activa. La celda activa aparecerá como un borde más grueso y su referencia aparecerá en el área de hoja de la barra de fórmulas. También podemos realizar la selección haciendo uso de las teclas de direc-ción (las “flechas” del teclado), con ellas nos podremos ir desplazando por las celdas de la hoja. Un rango es simplemente un grupo de celdas. La for-ma de designar un rango es utilizando el nombre de la primera celda (en caso de un rango rectangular, la celda de la esquina superior izquierda) seguida por dos puntos y el nombre de la última celda (esquina infe-rior derecha). Por ejemplo, en la imagen de la derecha se muestra el rango B3:D9. La forma más sencilla de seleccionar un rango es arrastrando el ratón. Para ello, en primer lugar activamos la primera celda del rango (mediante un clic de ratón sobre dicha celda) y sin soltar el botón del ratón arrastramos hasta la última celda y una vez que el rango deseado aparezca marcado, soltamos el ratón.



Para seleccionar una fila o columna entera haremos un clic con el ratón sobre la letra o número de la columna o fila. De este modo quedará seleccionada en su totalidad. Selección múltiple Si deseamos seleccionar varias filas o columnas contiguas, haremos lo siguiente: cuando seleccionemos la primera de ellas, sin soltar el botón del ratón, arrastramos hasta que abarcar las que nos interesen, momento en el que soltaremos el ratón. Cortar, copiar, pegar y deshacer Como en cualquier otro programa, en la hoja de cálculo podemos copiar, cortar y pegar, ya sea utilizando mediante el ratón las distintas opciones del menú Editar, o bien las com-binaciones de teclas CTRL+C (copiar), CTRL+X (cortar) y CTRL+V (pegar). El botón “mágico”: deshacer Deshacer y Restaurar (aunque sobretodo deshacer) son dos de los más grandes inven-tos como comandos para el usuario. Hoy en día, no existe apenas ningún programa serio que no incluya estos dos comandos. Veamos cómo pueden ayudarnos. El comando deshacer, deshace la última o las últimas acciones que hayamos realizado. Por ejemplo, si modificamos una celda y, acto seguido nos damos cuenta de que no de-bíamos haberlo hecho, ejecutando una vez el comando deshacer la casilla volverá a que-dar como estaba, como si no la hubiéramos tocado. Los comandos Deshacer y Restaurar están ubicados en el menú Editar de la Barra de Menús. También los podemos encontrar en la barra de herramienta estándar: el botón

deshacer tiene este aspecto: El comando Restaurar es la acción inversa del comando Deshacer. En otros programas como Excel se la denomina Rehacer. Así pues, lo que hace Restaurar es volver a realizar la acción que un comando Deshacer haya deshecho previamente. Tipos de datos Cuando escribimos los datos con los que vamos a trabajar en la hoja de cálculo, podemos especificar de qué tipo son: el programa permite bastantes tipos distintos. Al introducir un dato en una celda, el pro-grama de hoja de cálculo que utilicemos va a intentar, en primer lugar, interpretarlo co-mo un número, y por defecto alineará los números a la derecha y el texto a la iz-quierda. Intentará, asimismo, aplicarle un formato. Por ejemplo si escribimos en una celda 24-9-08 y pulsamos la tecla <Intro> para fijar ese valor, Calc (o Excel) interpreta ese dato como una fecha y lo transforma en 24/09/08. En la imagen se aprecian distin-tos formatos del mismo número. Si el número es muy grande y no cabe en la dimensión de la celda, el programa apli-cará el formato científico, cuya apariencia es 5,73478E+9. La interpretación de esta expresión es fácil, el E+9 equivale a 109, o lo que es igual, a multiplicar por un 1 seguido de 9 ceros. Si aún de este modo, el número no cupiese en la celda, ésta aparecerá rellena de los símbolos de almohadillas: ###########



El procedimiento normal será introducir todos los datos y posteriormente aplicar los forma-tos. Para esto, en primer lugar seleccionamos la celda o celdas en cuestión, accederemos al menú Formato y ejecutaremos el comando Celdas. Con esto Calc nos mostrará el cua-dro Formato de celdas. En este cuadro disponemos de una gran cantidad de posibilidades para establecer la con-figuración de la apariencia de los datos. Los formatos más utilizados son: Número. Para la presentación de números en general. Porcentaje. Se multiplica por 100 el valor de la celda y se muestra el resultado con un símbolo porcentual. Moneda. Se indica el símbolo de la unidad monetaria usada (por ejemplo 29 €). Fecha. Diversos formatos que representan fechas. Hora. Se representan fechas y horas con varios formatos. Ciencia. El número 100000, por ejemplo, será representado como 1E+05. Texto. Es tratada como texto, aunque en ella haya un número. En la mayoría de los casos, podremos determinar también algunas variantes dentro de la categoría en concreto, como, por ejemplo, el número de decimales. Algunas de las opciones disponibles en el comando Celdas del menú Formato, las pode-mos encontrar disponibles en los botones de la barra de herramientas Formato.

Es importante definir el formato del número con objeto de que la información recogida sea correcta. En general, el trabajo con la hoja de cálculo consiste en introducir los datos de interés, darles el formato deseado y, una vez colocados y organizados los datos con los que va-mos a trabajar, se puede empezar a añadir las fórmulas que nos permitirán sacar conclu-siones. 2.2. OPERACIONES, FÓRMULAS Y FUNCIONES Vamos a empezar utilizando una operación sencilla, la suma. Utilizaremos Calc para rea-lizar la siguiente suma de números enteros: 11+18+(-24).

• Nos situamos en la celda B1 e introducimos el texto: Practicando la suma. • Pulsamos <Intro> y tecleamos 11.

Observa cómo en la barra de fórmulas se visua-liza también lo que estamos escribiendo.

• Pulsamos Intro e introducimos en B3 el valor 18 y luego en B4 el número -24 (ojo con el signo).

• Nos colocamos en B5 y tecleamos: =B2+B3+B4. NO olvides el signo igual (=), debes comenzar escribiéndolo siem-pre que quieras realizar una operación.

• Pulsa <Intro> y comprobarás que se ha realizado la suma.

Si has seguido los pasos con Calc (o Excel) habrás obtenido el mismo resultado de la imagen. Puedes probar a modificar alguno de los números (excepto el total) y verás cómo, después de pulsar <Intro>, el resultado se actualiza correctamente. Para modificar el contenido de una celda sin tener que volver a escribirlo, se puede selec-cionar la celda y después pinchar sobre la barra de fórmulas, cambiando ahí el contenido. También, te puede resultar mucho más sencillo seleccionar la celda que quieres modificar y presionar la tecla F2.



Las funciones son unas fórmulas que la hoja de cálculo tiene memorizadas para poder realizar operaciones algebraicas, lógicas, estadísticas, etc. Para que el programa identifique a las funciones y operaciones como tales y no como texto, deben empezar con el símbolo igual “=”. Cada vez que introducimos una fórmula, debemos pulsar <Intro>, visualizándose el resul-tado de la operación en la celda. Si nos colocamos en la celda en la que se ha introducido previamente una fórmula podremos ver en la barra de fórmulas la fórmula introducida. Fórmula es un conjunto de operaciones y funciones matemáticas que se utilizan para rea-lizar ciertos cálculos. En las hojas de cálculo, las fórmulas se pueden aplicar a números o a los valores contenidos en una o varias celdas. Si introducimos mal una fórmula nos apa-recerá el aviso de error: Ya hemos visto más arriba cómo utilizar la suma con el símbolo +; para realizar las opera-ciones aritméticas más usuales tendremos que utilizar:

Operación Símbolo

Resta -

Multiplicación *

División /

Potencia ^

Estos símbolos –exceptuando el de la potencia- los podemos localizar en el bloque numé-rico (a la derecha) del teclado o en la zona principal del mismo. A la hora de trabajar con fórmulas hay que tener en cuenta la prioridad de los operadores matemáticos (jerarquía de las operaciones):

• Primero se realizan las operaciones entre paréntesis. • A continuación las potencias. • Después multiplicaciones y divisiones. • Por último, las sumas y restas.

Para conseguir hacer fórmulas un poco complejas, necesitaremos utilizar los paréntesis. Cuando utilicemos paréntesis en una fórmula, le estaremos indicando a Calc el orden en que se deben procesar las operaciones. El siguiente ejemplo nos muestra cómo hacerlo:

Fórmula Resultado En la primera fórmula del ejemplo, no he-mos usado paréntesis, por lo que la priori-dad asignada a cada operación será la prio-ridad por defecto (es decir, las multiplica-ciones y divisiones van antes que las su-mas y restas), primero se opera 4*3, luego 8/2 y, finalmente, se realiza la suma.

=4*3+8/2 16

=4*(3+8)/2 22

=4*(3+8/2) 28

=(4*3+8)/2 10

Otra opción de sumar el contenido de celdillas consecutivas es utilizar la función SUMA de la hoja de cálculo, para lo cual hay que introducir los números a sumar en ciertas celdi-llas consecutivas (en el ejemplo de arriba, estaban en las celdillas B2, B3 y B4, es decir, en el rango de celdillas B2:B4); una vez hecho esto, en la celdilla en la que deseamos que aparezca la suma, escribimos =SUMA(B2:B4). Cuando pulsemos <Intro> aparecerá el resultado de la suma. Como la suma es una operación muy utilizada, hay una función específica para realizarla cómoda y rápidamente. Ten en cuenta que en el ejemplo anterior tendríamos que haber escrito =B2+B3+B4.



Existen gran número de fórmulas que el programa tiene memorizadas, y además nosotros podemos crear las que deseemos. Para ello, sólo tenemos que seguir las reglas matemá-ticas, con los signos apropiados. Además, los programas muestran ayudas en los pasos de introducción de las distintas fórmulas. Vamos a ver algunos ejemplos de funciones sencillas: =B12+C4*5 calcula el producto de 5 por el contenido de C4 y lo suma al contenido del la celda B12; el resultado lo coloca en la celda donde se introduce esta fórmula (según la jerarquía de las operaciones, si no hay parén-tesis, los productos se realizan antes que las sumas y restas) =SUMA(A8:C12) halla la suma del contenido de todas las celdas que hay en el rango entre A8 y C12; no importa introducir la letra de la celda en minúscula =ABS(B4) devuelve el valor absoluto de la celda D2. Más adelante veremos algunas aplicaciones y usos útiles de la hoja de cálculo. Para saber más: Si no has usado antes una hoja de cálculo, te resultarán útiles estos recursos. - Te recomendamos el siguiente curso (breve pero bastante completo) sobre el uso de OpenOffice Calc: http://www.academiaelearning.com/course/view.php?id=16 (puedes acceder como invitado) - Aquí tienes un manual del programa Calc: http://es.tldp.org/Manuales-LuCAS/doc-manual-OOCalc/Calc.pdf 3. CÁLCULO DE PORCENTAJES. LOS PORCENTAJES EN LA ECONOMÍA Los porcentajes son una manera de expresar una proporcionalidad entre una cantidad y el total sobre el que se considera dicha cantidad. Por tanto, se pueden resolver como una operación entre fracciones, teniendo en cuenta que el porcentaje es una cantidad referida a un total de 100. Así, si queremos calcular el 20% de 300 €, lo haríamos así:

60100

6000

100

30020300

100

20300

100

20300%20 ==×=×== dede

Es decir, el 20% de 300 € son 60 € Para cualquier otro caso, aplicando esta misma idea, podríamos escribir la siguiente ex-presión para el cálculo de la cantidad que representa un porcentaje:

100

Total%Cantidad

×=

Por otro lado, si queremos saber qué porcentaje representa una cantidad sobre un total, lo haríamos así:

100×=Total

Cantidad%



3.1. CÁLCULO DE PORCENTAJES En cualquiera de los casos anteriores, si plantemos el problema como una proporcionali-dad directa entre magnitudes, nos queda:

, de donde se deduce que

Ejemplo: en el último mes de julio unos almacenes hicieron una rebaja del 15% sobre los precios de junio en los artículos de ropa para jóvenes. Un pantalón costaba en junio 14,40 €. ¿Qué descuento hay que aplicarle? ¿Cuál es su precio de venta en julio? El porcentaje es un caso particular de las proporciones. Un 15% de descuento significa que de cada 100 € del precio de un artículo, el comercio descuenta 15 €. El importe del descuento es una magnitud proporcional al precio original. Por tanto, para resolver el pro-blema hay que aplicar la siguiente regla de tres directa:

x→→

15

4,14100

Haciendo los cálculos:

16,2100

4,1415 =×=x

Con lo que la tienda ha realizado un descuento de 2,16 €. Como consecuencia, nosotros tendremos que pagar 24,1216,240,14 =− euros. El cálculo de porcentajes es quizás el ejemplo de función de proporcionalidad directa que con más frecuencia usamos en la vida cotidiana. La razón de proporcionalidad en los problemas de porcentaje es un cociente cuyo de-

nominador vale siempre 100. Así, en nuestro ejemplo, la razón es de 15,0100

15 = . El pro-

blema se puede resolver multiplicando el precio original por la razón de la proporción, es decir, el descuento será de 16,215,040,14 =× . LOS PORCENTAJES Y LA HOJA DE CÁLCULO Supongamos que en otros almacenes quieren calcular el descuento y el precio final de todos los artículos rebajados. Si se hiciera artículo por artículo, sería un proceso largo y tedioso. ¿Cómo nos puede ayudar la hoja de cálculo con esta tarea? Lo veremos en el siguiente ejemplo. Lo hemos elaborado con unos cuantos artículos, pero imagínate que ese establecimiento tiene 200 o… ¡500 productos distintos! Tal como se observa en la imagen de una hoja de cálculo que se muestra más abajo, se podría hacer lo siguiente:

1º) Introducir en C2 el porcentaje de descuento. 2º) Introducir en D2 la fórmula para el cálculo del descuento (=B2*C2/100). 3º) Introducir en E2 la fórmula para calcular el precio rebajado (=B2-D2). 4º) Rellenar ‘hacia abajo’ las fórmulas escritas en C2, D2 y E2, para lo cual basta seleccionar con el ratón el rango C2:E15 y pulsar <CTRL+J> (la tecla de control y la tecla J a la vez). Las fórmulas de la fila C2:E2 quedarán copiadas en todo el ran-go seleccionado, pero adaptadas a cada fila.

Total

Cantidad

100

% = 100×=Total

Cantidad%



Hay otras formas alternativas de llenado de celdillas de la hoja de cálculo (con fórmulas o datos), todas ellas bastante intuitivas desde el menú principal, en edición, con opciones de llenado hacia abajo, hacia la derecha, etc.

Ya tenemos todos los precios actualizados, aunque el formato no parece el más adecua-do. Estaría mejor si los importes que hemos calculado estuviesen todos expresados con dos cifras decimales (porque los precios sólo pueden tener céntimos de euro) de forma que, además de ser más homogéneos, sea fácil identificar los céntimos. Para lograrlo, seleccionamos las celdillas en las que aparecen valores en euros, elegimos en la barra de menú “Formato”, luego “Celdas” y después “Número”; aquí seleccionamos el número de posiciones decimales que deben tener las celdillas seleccionadas 8dos en nuestro caso). Ejemplo: En el campeonato escolar el equipo de fútbol del colegio jugó 40 partidos de los que ganó 25, empató 10 y perdió 5 partidos. ¿Qué porcentaje representan los partidos ganados, empatados y perdidos? El problema es muy similar a los anteriores. La regla de tres hay que plantearla ahora de la siguiente manera para calcular el porcentaje de partidos ganados:

25

40100

→→

x Calculando el valor de x : 5,62

40

10025 =×=x

Por tanto, el porcentaje de partidos ganados es de un 62,5 %. Para calcular el porcentaje de partidos empatados usamos la misma regla de tres pero con los números cambiados y obtenemos:

2540

10010

10

40100=×=

→→

yy

Luego el porcentaje de partidos empatados es de un 25 %. Por último para calcular el porcentaje de partidos perdidos lo que hacemos es lo siguiente:

5,12255,62100100 =−−=−−= yxz Por tanto el porcentaje de partidos perdidos es de un 12’5 %.



CON LA HOJA DE CÁLCULO: Como es lógico, también podemos usar la hoja de cálculo, para calcular porcentajes como en el ejemplo anterior. Será especialmente útil si necesitamos manejar muchos datos o hacer muchos cálculos.

En la imagen de arriba puedes ver la clasificación de la primera división de fútbol en la temporada 2007-08. Lógicamente, si quisiéramos calcular “a mano” los porcentajes de partidos ganados, empatados y perdidos por cada equipo sería una tarea tediosa (incluso con la calculadora). EJERCICIO:

Intenta realizar y completar la hoja de cálculo del ejemplo anterior, calculan-do los porcentajes de partidos ganados y perdidos por cada equipo. Suma en la columna M los porcentajes de partidos ganados, empatados y perdidos por cada equipo (ya habrás adivinado cuál debe ser el resultado de la suma).



3.2. AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES Los porcentajes se usan muy a menudo para referirnos a un aumento sobre un valor ini-cial, lo que significa que el valor final será mayor del 100% (cien, más el porcentaje de aumento). Es lo que ocurre cuando, al hacer una compra, nos cargan cierto porcentaje de impuestos (como el IVA), recargos por instalación del producto, o por pago aplazado. Ejemplo de aumento porcentual: Un libro costaba hace dos meses 18 €. Si su precio ha aumentado un 12 %, ¿cuánto cuesta ahora? Si usamos una regla de tres para calcular en primer lugar el aumento en el precio

16,2100

1812

12

18100=×=

→→

xx

En consecuencia, el precio del libro ha aumentado en 2,16 €, luego ahora cuesta 16,2016,218 =+ €.

También podíamos haberlo calculado directamente haciendo las siguientes operaciones: 16,2012,118)12,01(18 =×=+×

En esta operación lo que se hace es que el 1 representa el 100 por 100 del libro y el 0,12 el aumento en el precio. Por tanto, para calcular el precio que tengo que pagar por el libro lo único que tengo que hacer es multiplicar el precio del libro por la suma de 1 y el aumen-to en el precio, en nuestro ejemplo 1,12. Sin embargo, en otras ocasiones los porcentajes se aplican para disminuir un valor inicial. En este caso, el valor final será inferior al 100% (cien, menos el porcentaje de disminu-ción). Esto es lo que ocurre cuando al comprar un producto, nos aplican una rebaja, o cuando se consume en cierto porcentaje cualquier producto. Ejemplo de disminución porcentual: Un traje costaba 252 €, y se rebaja un 25 %, ¿cuánto vale ahora?: Como en el ejercicio anterior, podríamos calcular la cantidad que se descuenta (25%) y luego restarla del precio inicial:

63100

25252

252

25100=×=

→→

xx

Por tanto, el precio después de la rebaja sería 18963252 =− € También ahora podríamos haber hecho el cálculo directamente mediante estas sencillas operaciones:

189)25,01(252 =−× Es el mismo proceso que el usado en los aumentos porcentuales, salvo que ahora hay que restar porque lo que tenemos es una rebaja (disminución). Por lo que hemos visto en los ejemplos anteriores, cuando nos hacen rebajas sobre pre-cios rebajados, tendremos que tener cuidado con lo que pensamos que nos están co-brando, ya que a veces los porcentajes encadenados pueden hacer pensar que nos descontarán cantidades superiores a las que realmente corresponde. En la mayoría de los casos son estrategias comerciales perfectamente estudiadas.



Ejemplo de rebajas encadenadas: En una tienda encontramos el siguiente rótulo:

REMATE FINAL:

20 % DE DESCUENTO

SOBRE LO YA REBAJADO Queremos comprarnos unos pantalones que costaban 58 € y tenían una primera rebaja del 15%.

a) ¿Cuánto costarán después de la segunda rebaja?

b) ¿Cuál será el porcentaje real de la rebaja que se aplica a los pantalones? Solución: para saber cuál es el precio final, se pueden hacer dos reglas de tres consecuti-vas (o multiplicar directamente por los dos “tantos por uno” de lo que se pagará tras cada una de las rebajas). Para el cálculo del porcentaje real de descuento, basta dividir la can-tidad total rebajada (diferencia entre el precio inicial y final) entre el precio inicial y multipli-car por 100. El precio tras la primera rebaja sería: €3,4985,058)15,01(58 =×=−× El precio tras la segunda rebaja sería: €44,3980,03,49)20,01(3,49 =×=−× También se podría calcular directamente el precio final así:

€44,39)20,01()15,01(58 =−×−×

En cualquiera de los casos, vemos cómo el precio final es 39’44 € En este caso, la estrategia comercial aparenta hacer un rebaja total del 35% (15%+20%). Sin embargo, el porcentaje real de descuento resulta ser el siguiente:

%3210058

56,18100

58

)44,3958(% =×=×−=dto

Por tanto, realmente, el porcentaje de descuento total aplicado es un 3% menos de lo que “nos creemos” (35%-32%).

3.3. LOS PORCENTAJES EN LA ECONOMÍA El impuesto sobre el valor añadido (IVA) Al realizar cualquier compra, el proveedor añade al precio del objeto que compras un im-puesto llamado impuesto del valor añadido (o simplemente IVA) que posteriormente en-trega a Hacienda. El valor de ese impuesto es un porcentaje del importe de la compra. Dependiendo de lo que adquieras, el porcentaje a aplicar es distinto. Por ejemplo, si com-pras un televisor o un juego para el ordenador, debes aplicar un 21% del importe de la compra; si compras un libro, el tipo que se aplica es del 8%. Veamos un caso concreto: si compras un ordenador cuyo precio de catálogo es de 720 €, para calcular el importe del IVA debes aplicar un tipo del 21%. Por tanto, el importe del

impuesto será 20,151100

21720 =× que, sumándolo al precio de catálogo, resulta un precio

final de 871,20 €. La cantidad resultante del impuesto se añade a su precio y se obtiene así el precio de compra.



UNA FACTURA CON LA HOJA DE CÁLCULO: Con una hoja de cálculo también podemos realizar los cálculos necesarios para averiguar el importe total de una factura, ya sea para entender cómo está realizada y “de dónde sa-le” el total, o bien para elaborar la factura de una venta si tenemos un pequeño (o gran) negocio. Veamos un ejemplo: un cliente compra una serie de artículos en unos grandes almacenes. 1º-En primer lugar, colocamos todos los da-tos en la hoja de cálculo. (Observa que en las celdas donde aparecen los precios de los artículos hemos aplicado un formato de número con dos decimales). Esto se puede hacer, como sabes, en el menú Formato, Celdas… o bien con ayuda de estos boto-nes de la barra de herramientas, que permi-ten añadir o quitar cifras decimales:

2º- Realizamos las operaciones:

3º- Sumamos los precios sin IVA: 4º- Calculamos el IVA:

5º- Calculamos el total, sumando el IVA: 6º- Podemos modificar el formato de algunas celdas:



EL INTERÉS SIMPLE Las entidades financieras (bancos, cajas de ahorro) dan a sus clientes una cantidad de dinero anual que es proporcional al dinero que tienen guardado o depositado en ellas. Esta cantidad de dinero se llama interés y se mide en tanto por ciento. Veamos un ejemplo: Isabel tiene ahorrados 3.000,00 € en la caja de ahorros del barrio, que le da un 2,5% anual por este dinero. ¿Qué interés le produce su capital al final de año? ¿Y en 3 años? Que el tipo de interés sea del 2,5% significa que de cada 100 € que Isabel tiene en la caja de ahorros, ésta le da 2,50 € al año. Por los 3.000 € le dará el 2,5%, esto es:

=× 00,75100

5,23000 Le da 75,00 € en un año

En tres años le producirá 3 veces esa cantidad, es decir,

=×× 00,2253100

5,23000 En tres años gana 225,00 €

En general, si c es el capital depositado, r el tipo de interés anual (llamado también rédi-to) y t el número de años, el importe del interés i que produce viene dado por la fórmula:

100

trci

⋅⋅=

Cuando el tiempo transcurrido no está en años, puede usarse la fórmula anterior un poco modificada:

Si el tiempo estuviera en meses, en lugar de dividir por 100, habría que hacerlo por 1.200 (porque el año tiene 12 meses). Si el tiempo estuviera en días, en lugar de dividir por 100, habría que hacerlo por 36.000 (el año comercial se considera que tiene 360 días).

EL ÍNDICE DE PRECIOS AL CONSUMO (IPC) El IPC es un índice que refleja cada mes la variación (aumento o, a veces, disminución) que sufren los precios de los productos que consumimos en España. Este índice se mide en tanto por ciento. Así, cuando en torno al día 10 de este mes los periódicos publicaron que el IPC había subido dos décimas (0,2%) significa que el nivel de precios ha aumenta-do ese porcentaje respecto del mes anterior. Esto no quiere decir que cualquier producto de consumo (alimentos, gasolina, electricidad, vivienda) haya subido ese porcentaje. El IPC se obtiene como una media de la variación de los precios en el mes anterior. El IPC es un índice muy importante, pues suele utilizarse como base para los incrementos de los sueldos de los trabajadores cada año. 4. ALGUNAS FACTURAS DE ANDAR POR CASA 4.1. EL RECIBO DE LA LUZ Como sabes la electricidad es la forma de energía más presente en nuestras vidas. Por ejemplo a ver si eres capaz de hacer una lista de diez cosas que podamos hacer en casa cuando se va la luz, ¡pero de las que haces a diario y suponiendo que es de noche, claro!. Realmente la electricidad nos ha cambiado la vida, aunque sin lugar a dudas la con-sumimos en unas cantidades mucho mayores de lo necesario y de las que nos podemos permitir en la situación actual de nuestro planeta. Desgraciadamente muchos de nosotros sólo nos acordamos cuando nos



llega la factura, que cada vez va subiendo más. Pero ¿sabemos lo que estamos pagan-do y por qué? Para contestar a esta pregunta es necesario comprender los datos que vienen en la factu-ra, que vamos a explicarte en este apartado. La factura de la luz Trabajaremos con una factura de Unión Fenosa por ser una de las empresas que suminis-tra la electricidad a un mayor número de hogares en Castilla-La Mancha, pero si en tu ca-so fuese otra compañía, sólo tendrías que ir buscando los mismos datos, pues todas las facturas de la luz deben contenerlos. La siguiente es una factura de la luz típica. Veamos de qué partes se compone:



a) Lo primero que aparece es la siguiente línea:

Aquí, como se ve claramente, se nos indica:

• donde se encuentra la oficina de Unión FENOSA • el número de la factura (es importante porque si queremos hacer alguna pregunta o

reclamación sobre esta factura nos lo pedirán) • la fecha en que se ha emitido

b) En la segunda línea aparecen los datos del suministro:

• Dirección del suministro (la dirección de vivienda a la que corresponde el recibo) • Titular del contrato (Nombre del titular del contrato de suministro eléctrico) • N.I.F/C.I.F.

c) La siguiente parte a analizar de la factura es:

• Tipo de Consumo: TOTAL (nos indica que nos van a tarificar todo nuestro consumo

eléctrico) • Nº de Contador (es el número con el que se identifica el contador de la propiedad) • Lectura Anterior (Lo que habíamos gastado hasta el momento de empezar el pe-

riodo de facturación actual) • Lectura Actual (Lo que marca el contador que hemos gastado hasta ese momento,

inclusive lo de otros meses) Consumo (es lo que realmente hemos gastado en el período de facturación, se calcula restándole al Consumo actual el Consumo anterior). Esta es la lectura real de nuestro contador, que viene a leer un trabajador de Endesa de vez en cuando. El consumo de energía eléctrica se mide en kWh. (kiloWatioshora). EJEMPLO: una plancha de 1600 W, que son 1,6 kW, consume cada hora eso: 1,6 kWh. Si la tenemos encendida cuatro horas consumirá: 1,6 x 4 = 6,4 kWh d) Un poco más abajo:

• Período de lectura (estos son los días que nos están cobrando) • C.N.A.E (la actividad económica): este número indica el tipo de instalación eléc-

trica que tenemos (si es una vivienda, una fábrica,…), el código 95100 indica que se trata de “uso doméstico”.



• Nº de la póliza e) Datos de contratación:

• la tarifa: la empresa nos ofrece varios tipos de tarifas. • El número 2.0.2 y BOE = 30 – 06 – 07, indica el tipo de tarifa que nos están apli-

cando por ley y la fecha de publicación en el Boletín Oficial del Estado (B.O.E.) • Potencia contratada: Vamos a pararnos un poco en esto.

Veamos más despacio qué es la POTENCIA. POTENCIA ES LA VELOCIDAD A LA QUE SE CONSUME LA ENERGÍA En realidad es una forma de hablar porque la energía no se consume, se transforma en otro tipo de energía, como calor en el caso de una estufa o luz en una bombilla. La unidad de medida de la potencia son los vatios (W), aunque con fre-cuencia son más utilizados múltiplos como el kilovatio (mil W), o el mega-vatio (un millón de W). Por ejemplo, sabrás que hay electrodomésticos o bombillas de diferentes potencias: una bombilla de 100 W, da más luz que una de 60 W, es decir, en el mismo tiempo, la de 100 W consume más energía. Cuanta más potencia tengamos contratada más aparatos eléctricos podre-mos tener enchufados a la vez sin que “salte el diferencial”, llamado ICP, o interruptor de control de potencia, (situado en el cuadro eléctrico que tie-nes en la entrada de tu vivienda) . En la siguiente dirección web tienes una explicación sobre el cuadro eléctrico, así como unos sencillos consejos so-bre seguridad: http://www.fecsa.es/ES/hogares/teguia/asesoramiento/seguridadproteccion/electricidad/index.asp f) Facturación: En este apartado están los datos que más nos interesan porque es donde nos indican de donde procede el importe total de la factura. Vamos a analizarlos uno a uno: Facturación por potencia: Cada kW que contratemos tiene un coste de 1,581887 € por mes .Por lo tanto por la potencia pagamos: 3,3 kW contratados x 2 me-ses x 1,581887 = 10,44 € Facturación por consumo: En la actualidad el kWh está a 0,089868 € . Esto es lo que pagamos por los kWh que realmente hemos gastado:



291 kWh gastados x 0,089868 € = 26,15 € Impuesto especial sobre la electricidad: Este es un impuesto que pagamos para sub-vencionar la minería del carbón y por la moratoria nuclear. Alquiler de equipos de medida: ¿Sabías que el contador que tienes en casa es propie-dad de Unión FENOSA que te lo alquila todos los meses por una cantidad? Cada mes pagamos 0,57 € por el alquiler de los equipos. IVA Potencia, consumo y alquiler:

La electricidad también lleva el 16 % de Impuesto sobre el Valor Añadido (IVA) que va a parar al Estado. Aunque parezca un poco lioso lo que aparece en la factu-ra, lo único que se hace es aplicarle el 16 % de IVA tanto al gasto por potencia, consumo, impuesto sobre la electri-cidad y alquiler, es decir:

336,616,0)14,187,115,2644,10( =×+++ Luego, el total a pagar será la suma de todas las cantida-des anteriores:

• Datos de pago: son los datos de la cuenta a la que cargarán el recibo.

• Atención al cliente: En esta parte vienen los teléfonos a los que llamar, o página web, si queremos consultar algo relacionado con nuestra fac-tura o tenemos una avería. Aquí también aparecerán in-formaciones importantes, por ejemplo si se produce un cambio en las tarifas, o apa-rece alguna normativa rela-cionada con la electricidad.

Para terminar, te ofrecemos unos datos que seguro te resultan muy interesantes: Los electrodomésticos, grandes responsables del gasto de energía.



• Calefacción, agua caliente y cocina representan el 24% del gasto. La tempera-tura en casa no debe superar los 22 grados. Tampoco conviene prolongar las du-chas ni utilizar agua a temperatura en exceso elevada.

• El frigorífico, un 21% del gasto eléctrico. Dejar la puerta abierta o abrirla innece-sariamente aumenta el consumo. Y el gasto subirá un 5% por cada grado de más que el frigorífico enfríe.

• El TV es el tercer aparato que más gasta: el 12%. Conviene mantenerlo apagado cuando no se le presta atención.

• La lavadora, el 5% del gasto energético, más que el lavavajillas que representa sólo el 1%. En ambos casos, evitar ponerlos en marcha si no es a carga completa.

• Otros electrodomésticos, como videos, aspiradores suponen el 13% del gasto de luz.

• Algunos aparatos consumen poco, pero al estar enchufados permanentemente su gasto acaba siendo elevado. Por eso, apaguemos los que disponen de modo de espera ("stand by") cuando no los usamos.

• Aislar la casa ayuda a ahorrar hasta un 40% del gasto energético. • En esta dirección de internet puedes encontrar simuladores que te ayudarán a en-

contrar formas para ahorrar energía eléctrica en casa: http://eficiencia.unionfenosa.es/wps/wcm/jsp/simulador/indexHogar.html

4.2. LA HIPOTECA Otro de los recibos típicos en nuestras casa es el de la Hipoteca. A la hora de comprarse o hacerse una casa normalmente hay que pedir un préstamo hipotecario al banco y, como solemos hacer todos, se empieza mirando las condiciones que nos ofrecen los dis-tintos bancos. Pero ¡qué lío! Hay tal cantidad de palabras que no conocemos que la verdad es que no entendemos nada. Y todos los bancos dicen que su oferta es la mejor: ¡como para fiarse de los bancos!. Menos mal que tenemos un amigo, Jesús, que hace poco que se compró su casa y está puestísimo en estos temas. Así que una noche le invitamos a cenar a casa y le pedimos que nos expli-que las cosas que debemos tener en cuenta a la hora de decidirnos por uno u otro banco. ¿Interés fijo o interés variable?

Como puedes ver, todos estos anuncios tienen en común que nos anuncian el tipo de interés al que el banco nos presta el dinero. El Tipo de Interés es el precio que nos cobra el banco por darnos un préstamo

En nuestro caso, finalmente hemos decidido pedir al banco 180.000 €. Esta cantidad es lo que se llama capital. El interés se calcula aplicando un porcentaje sobre el capital pen-diente de devolución en cada momento.



Las entidades (bancos o cajas de ahorro) nos ofrecen dos modalidades de préstamos hi-potecarios en función del tipo de interés:

a. Préstamos a interés fijo: Este tipo de préstamos mantienen de forma constante el tipo de interés que nos aplican a lo largo de toda la vida del préstamo, por lo que la cuota mensual que hemos de atender se mantendrá invariable.

b. Préstamos a interés variable: Es aquel préstamo en el que el tipo de interés que nos aplican va cambiando en el tiempo. Esta variación depende de unos valores de referencia o índices que hace públicos el Banco de España. El índice más usado actualmente es el Euribor. El interés se revisa en un periodo previamente acordado (habitualmente de forma anual o semestral).

Para que lo entiendas, vamos a explicártelo con uno de lo ejemplos anteriores: En este caso el interés que nos ofrecen es el Euribor -que en abril de 2008 fue del 4,82%- más el 0,22%. Es decir pagaríamos un interés del 5,02% ....DE MOMENTO, porque en cada revisión nos cambiarían para todo un año el interés. Para que te hagas una idea de cómo ha variado el Euribor los últimos años observa con atención la siguiente gráfica:

Es decir, que esta misma oferta en abril de 2007 en el que el Euribor estaba a 4,253% habría supuesto un interés de:

4,253% + 0,22% = 4,473 % Esto es muy importante tenerlo en cuenta cuando se pide un préstamo porque, aunque después de echar cuentas hayamos calculado que en este momento podemos pagarlo, puede ser que en años venideros, con el aumento del Euribor, no podamos.

¿Quieres saber cuánto le ha aumentado a Jesús su hipoteca este último año con la subida del Euribor? Jesús pidió 280.000€ de préstamo. El año pasado pagaba 1.300 €/mes y después de la revisión paga ¡¡¡1. 448 €/mes !!!

EL EURIBOR El Euribor es el tipo de interés al que se prestan entre sí las entidades financieras en el mercado interbancario. Así, el Euribor de julio de 2008 (5,393 %) sería el tipo medio (me-dia aritmética) al que se han prestado los bancos y cajas en el mercado interbancario a lo largo del mes de julio. Ten en cuenta que aunque el Euribor es uno de los indicadores más usados, no es el úni-co. También existen otros indicadores y es muy importante conocer cuál nos están apli-cando porque sus valores son bien distintos.



TAE: TASA ANUAL EQUIVALENTE A estas alturas empezamos a tener las cosas más claras, pero hay algo que tengo mu-chas ganas de saber:

• Oye Jesús, y ese TAE que aparece por todas partes ¿qué es? ¿qué tiene que ver con el interés? Porque lo veo por todos los anuncios.

• Pues ese es el dato fundamental, es justamente lo que te va a permitir comparar unas ofertas con otras. Te explico:

Además del interés que hemos visto antes, un préstamo tiene otros muchos gastos a tener en cuenta como:

• Las comisiones • Seguros de vida que nos obligan a hacernos para

concedernos el préstamo. • La periodicidad con la que se pague (mensual, semestral, anual,...y que afecta a la

cantidad final que pagamos). ¿Quieres saber cómo afecta la periodicidad en un préstamo hipotecario? Ejemplo: Supongamos que se ha logrado contratar un préstamo de 120.000 euros, a un tipo de interés anual del 6%, sin comisiones y a devolver en 20 años y que nos ofrecen 2 alternativas:

• Alternativa 1: Devoluciones mensuales • Alternativa 2: Devoluciones semestrales (el co-

mercial del banco nos dice, por ejemplo, que es mucho mejor devolver el préstamo en 2 veces al año cuando cobremos las pagas extraordinarias)

Si optamos por la alternativa 1, tendremos que hacer fren-te a 240 cuotas (12 meses x 20 años) cada una de ellas de un importe de 859,72 €. Al final habremos devuelto 240 x 859,72 = 206.333 € Si, por el contrario, elegimos la alternativa 2 tendremos que hacer frente a 40 cuotas se-mestrales (2 semestres x 20 años) cada una de ellas de un importe de 5.191,49 €. Al final habremos devuelto 40 x 5.191,49 = 207.660 € Como puede verse la segunda alternativa es más costosa que la primera, aunque en nin-guna de las 2 existen comisiones y el tipo de interés anual es el mismo para las 2. La T.A.E. de la primera será menor que la de la segunda alternativa. El problema es cómo saber globalmente qué préstamo nos sale más barato teniendo en cuenta tantas cosas. Bien, pues justo para eso está la TAE. La T.A.E. (Tasa Anual Equivalente) es un indicador que, en forma de tanto por ciento anual, expresa el coste efec-tivo de un préstamo, incluyendo no sólo el coste que se deriva de la obligación de pago de los intereses, sino también el coste que se deriva del pago de las comisio-nes y otros gastos bancarios a que se nos obligue en la contratación del préstamo. La TAE nos permite comparar distintas ofertas con muy diferentes condiciones particula-res, esto es con tipos de interés y comisiones bancarias diferentes. Así, fijándonos en este indicador podremos comparar fácilmente el coste de distintas al-ternativas en las que normalmente no son iguales ni los tipos de interés que se aplican, ni las comisiones que se repercuten, ni la periodicidad que se acuerda para el pago de las cuotas: A menor T.A.E. menor coste del préstamo.



• En definitiva, que de las ofertas que teníamos al principio, no tenéis más que mirar la TAE – termina Jesús.

• Es decir, que lo que más barato me sale es el banco xxxxxx, puesto que es el que tiene la TAE más barata. ¿Así de fácil?.

• Así de fácil. ¿Cuánto me cuesta realmente mi casa? Mira, te voy a enseñar mi último recibo de la hipoteca para que te vayas acostumbrando a lo que recibirás todos los meses. ¿Por qué vienen dos cantidades diferentes si es un solo préstamo?- pregunto. - Bueno, te voy a explicar un poco más acerca de los intereses: El importe total de la cuota mensual (lo que se paga cada mes) es 1.147,38 €. Este impor-te es igual todos los meses (hasta que toque la revisión anual, claro) pero se divide en dos cantidades:

• Amortización del capi-tal (126,17 €): Es lo que ese mes se devuelve del capital.

• Intereses (1.021,21 €): Es lo que ese mes se paga de intereses.

Jesús lleva dos años pagando su préstamo (¡ya sólo le que-dan 38!) y por eso paga muy poco capital y muchos intere-ses. Según vaya pasando el tiempo irá pagando más capital y menos intereses, hasta que el último año casi todo lo que pague sea capital. En la siguiente tabla tienes un ejemplo de una hipoteca de 120.000 €, a un interés anual del 6% y a devolver en 20 años. Te explicamos lo que aparece en las diferentes colum-nas: Periodicidad: Cada uno de los valores está calculado para una periodicidad mensual, trimestral, semestral o anual. Cuota: Es la cantidad que pagaremos cada mes, trimestre, semestre o año. Total de pagos: Es la cantidad que pagamos en total a lo largo de toda la vida del prés-tamo. Intereses pagados: Son los intereses que se pagan en total, a lo largo de toda la vida del préstamo.

Periodicidad interés anual años hipoteca cuota

Total de pagos

Intereses pagados

Mensual 6 20 120.000,00 859,72 206.332,80 86.332,80

Trimestral 6 20 120.000,00 2.585,80 206.864,00 86.864,00

Semestral 6 20 120.000,00 5.191,49 207.659,60 87.659,60

Anual 6 20 120.000,00 10.462,15 209.243,00 89.243,00

Como puedes ver, es más barato pagar mensualmente que en periodos más largos.

MÓDULO TRES TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS


1. INTRODUCCIÓN: EL ÁLGEBRA 1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 1.3 MONOMIOS

1.3.1. MONOMIOS SEMEJANTES 1.3.2. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS 1.3.3. PRODUCTO DE MONOMIOS 1.3.4. DIVISIÓN DE MONOMIOS

1.4. POLINOMIOS 1.4.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE POLINOMIOS 1.4.2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS 1.4.3. PRODUCTO DE POLINOMIOS 1.4.4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS

2. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 2.1. DEFINICIONES

2.1.1. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN 2.1.2. PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

2.2. EL LENGUAJE ALGEBRAICO 2.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES 2.4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

2.4.1 DEFINICIÓN. 2.4.2 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCOMPLETAS 2.4.3 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA

2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES 2.5.1 SUSTITUCIÓN. 2.5.2 IGUALACIÓN. 2.5.3 REDUCCIÓN.

3. PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 1. INTRODUCCIÓN: EL ÁLGEBRA 1.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

xyayax 423 −+ Una expresión algebraica, como la anterior, es aquélla en la que se utilizan letras, núme-ros y signos de operaciones para reflejar de forma generalizada la relación que existe en-tre varias magnitudes y poder realizar un cálculo de esa relación en función de los valores que tomen las diferentes magnitudes. Ejemplo: expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular. Si suponemos que mide ""x metros de largo e "" y metros de ancho, obtendremos: Perímetro: yx 22 + Área: yx ⋅ Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el signo de la multiplicación se acos-tumbra a no ponerlo). Otras expresiones algebraicas podrían ser:

Suma de cuadrados: 22 ba + Triple de un número menos doble de otro: yx 23 −

Suma de varias potencias de un número: aaaa +++ 234

1.2 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realizan las ope-raciones indicadas, se obtiene un número que recibe el nombre de "valor numérico" de la expresión algebraica para los valores de las letras dados. En el ejemplo anterior, si el largo del terreno fueran 50 m ( 50=x ) y el ancho 30 m ( 30=y ), el valor numérico sería: Perímetro = 2 · 50 + 2 · 30 = 100 + 60 = 160 m ; Área = 50 · 30 = 1500 m2

El valor numérico de una expresión algebraica no es único, sino que depende del va-lor que demos a las letras que intervienen en ella.

TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS MÓDULO TRES


1.3 MONOMIOS Si se observan las siguientes expresiones algebraicas se verá que en ellas aparecen dis-tintas operaciones: 1) ax3 ; 2) 22ay− ; 3) xab38 ; 4) yax 23 − ; 5) 422 −+ xx En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras que en la 4) y la 5) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que en los otros dos no. Podemos decir por tanto que:

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.

Se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las letras. Normalmente se coloca al principio. Si es un 1 no se escribe y nunca es 0 ya que la ex-presión completa sería 0. En los tres ejemplos de monomios anteriores los coeficientes son 3; -2 ; y 8 respectivamente. Se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras. De este modo los tres monomios anteriores serán: el 1) de grado 2, el 2) de grado 3, el 3) de gra-do 5 (como es sabido cuando el exponente es 1 no se escribe).

En la mayor parte de los casos, se utilizarán los monomios más simples, formados por una letra, normalmente la x , el exponente correspondiente (que será el grado del monomio) y un coeficiente.

Ejemplos: 22x− ; x3 ; 35x− ; 5x son monomios de grados 2, 1, 3 y 5, respectivamente.

Los coeficientes de un monomio pueden no ser enteros (por ejemplo 0,6 ; 2

1 ;

6

5− ;

etc.) aunque normalmente serán enteros y así lo vamos a suponer en este tema. 1.3.1. MONOMIOS SEMEJANTES Son monomios semejantes entre sí aquellos en los que aparecen las mismas letras con los mismos exponentes. Ejemplos: monomios semejantes entre sí: 342 yax ; 343 yax ; 34 yax ; 345 yax

Monomios no semejantes a los anteriores: 3axy ; 3423 yxa ; 42bx Por tanto:

Dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente y siempre tendrán el mismo grado.



1.3.2. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Observa estas operaciones: 1) 343434 325 yaxyaxyax =− 2) yxyax 2344 + En el primer caso se restan monomios semejantes y el resultado es otro monomio seme-jante a los que se restan. Sin embargo, en el segundo caso se quieren sumar monomios que no son semejantes y hay que dejar la suma indicada. Por tanto, para sumar monomios: Cuando los monomios son semejantes, el resultado es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes. Cuando los monomios no son semejantes, la suma queda indicada y el resultado es un polinomio, como veremos en este tema. Ejemplo: observa las siguientes operaciones con monomios:

a) 444444 437532 axaxaxaxaxax =−=+− b) xxxxxxx +=+++− 3333 6232

Como puedes observar, se suman o restan los coeficientes de los monomios que son se-mejantes. Si no lo son, no pueden sumarse; se deja la operación indicada. 1.3.3. PRODUCTO DE MONOMIOS Para multiplicar monomios se debe recordar el producto de potencias que, como sabemos se puede realizar si tienen la misma base. Ejemplo: 642 153·5 xxx = , ya que:

"Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes"

Pues bien: Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno entre si y las po-tencias que tengan la mima base de cada uno, dejando las de distinta base como estén. Ejemplo: calcular el producto de los siguientes monomios: )3)·()·(4( 32234 yabyxyax Se procede de la siguiente forma:

a) Se multiplican los coeficientes: 4, 1 y 3 respectivamente. Resultado: 12 b) Se multiplican todas las potencias de base a (sumando los exponentes), dando como resultado 2a c) Se multiplican todas las potencias de base b . Resultado: 2b d) Se multiplican todas las potencias de base x . Resultado: 6x e) Se multiplican todas las potencias de base y . Resultado: 7y

Resultado final: 762232234 12)3)·()·(4( yxbayabyxyax =



1.3.4. DIVISIÓN DE MONOMIOS

Dos monomios no siempre se pueden dividir, ya que cuando el grado de laguna de las variables es menor en el dividendo que en el divisor, el resultado no es un mono-mio, sino una fracción algebraica.

Observa los siguientes ejemplos:

a) )2(:)4( 234 yxyax En este caso se pueden dividir los coeficientes entre si y las letras del dividendo entre las del divisor, aunque en el divisor no esté la "a". Se obtendría como resulta-do 222 yax

b) )(:)6( 34 axyx En este caso, como no existe la a en el dividendo, no es posible hacer la división.

Quizá se entienda mejor todo esto si expresamos la división como una fracción y la "sim-plificamos", restando los exponentes de las potencias de la misma base:

22

2

34

22

4yax

yx

yax =

Obviamente, en el caso b) no podemos hacer lo mismo, al no poder simplificar la a del denominador.

Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el divisor aparece una letra con una potencia mayor que en el dividendo. El resultado no sería un monomio pues que-daría, al restar los exponentes, un exponente negativo (recuérdese que los exponen-tes de las letras deben ser positivos).

Ejemplo: Si planteamos la división )3(:)2( 32 xaax − , el resultado sería xa 2

3

2 − . Aunque so-

lemos usar coeficientes enteros, el coeficiente 3

2− es perfectamente válido, pero no así

2−a ya que el exponente no es positivo. 1.4. POLINOMIOS 1.4.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE POLINOMIOS Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Si recordamos la suma de monomios, cuando éstos no eran semejantes, “no se podían sumar”. En realidad, lo que se obtiene en este caso es un polinomio. Ejemplo: son polinomios las expresiones siguientes:

a) 32234 34 yabyxyax ++

b) 52324 234 +−+− xxxx En el primer caso, el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio. Por tanto, tiene tres términos, cada uno con varias letras. En el segundo caso, el polinomio tiene 5 términos. Si un término sólo consta de un núme-ro, se le llama término independiente (5 en el segundo caso y no existe en el primero).



Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio. Ejemplos: 322 3 yabyx + ; 32 +x Cuando un polinomio tiene tres monomios se denomina trinomio. Ejemplos: 532 23 ++− xx ó el caso a) anterior. Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Así en el caso a), los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego el grado del polinomio es 8. En el caso b) el grado es 4. Los números que acompañan como factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman también coeficientes del polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5 respectivamente en el caso b). A las letras de los polinomios se las llama variables, aunque los más normales son los polinomios con una sola variable, que suele ser la x 1.4.2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se podrán su-mar los términos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma. (A partir de este momento trabajaremos ya sólo con polinomios con una sola letra , x , por considerar que son los más utilizados en la práctica). Ejemplo: para calcular la suma de los polinomios: )25()52324( 23234 xxxxxxx +−++−+− Basta sumar los términos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los términos del primero como está: 5234)25()52324( 23423234 +++=+−++−+− xxxxxxxxxx Aunque suele resultar más fácil indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor:

5234

25

52324

234

23

234

++++−+

+−+−

xxx

xxx

xxxx

Por tanto:

Para sumar dos o más polinomios se suman los términos semejantes de cada uno de ellos. Si en lugar de sumar dos polinomios, se tratara de restarlos, bastaría cambiar el signo a todos los términos del segundo y sumar los resultados.

Ejemplo: para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores: )25()52324( 23234 xxxxxxx +−−+−+− Se calcula la suma del primero con polinomio que resulta de cambiar de signo a todos los coeficientes del segundo: 54474)25()52324( 23423234 +−+−=−+−++−+− xxxxxxxxxxx (Observa que hemos cambiado el signo a todos los términos del polinomio sustraendo)



1.4.3. PRODUCTO DE POLINOMIOS

Para multiplicar dos polinomios, se multiplicar todos los monomios de uno de ellos por todos los del otro y luego se suman los resultados de estos productos. En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con la multiplicación de núme-ros de varias cifras, situando debajo de cada monomio resultante de las multiplica-ciones los que sean semejantes. En todo caso, hay que poner una atención especial a los productos de potencias de la misma base que aparecen al multiplicar polinomios.

Ejemplo:

En la práctica, no suele indicarse la multiplicación como en el esquema anterior, sino que suelen colocarse todos los términos seguidos y sumar después los que sean semejantes. Ejemplo:

53252325232)1)(5232( 2342323423 ++++−=+−+−+−+−=++−+− xxxxxxxxxxxxxxx IGUALDADES NOTABLES Se denominan así a algunas operaciones sencillas entre polinomios que aparecen muy frecuentemente en los cálculos. Las igualdades notables más usuales son: Cuadrado de un binomio: suma 2)( ba + o diferencia 2)( ba − Naturalmente realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por sí mismo, luego: 22222 2))·(()( bababbaababababa ++=+++=++=+ El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más dos veces el primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: 222 b2abab)(a ++=+ El cuadrado de una diferencia es muy parecido, pero cambiando el signo central: El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos dos veces el primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: 222 b2abab)(a +−=− En ambos casos se debe tener en cuenta que el primer término a también puede ser ne-gativo y, por tanto, cambiar el signo central. En la práctica, se suele considerar siempre como una suma y lo que se hace es tener en cuenta el signo que precede a cada uno de los términos. Ejemplos:

a) 22222 9124)3(3·2·2)2()32( yxyxyyxxyx ++=++=+

b) 9633)··(2)()3( 2222 +−=+−+−=+− xxxxx



Suma por diferencia: se refiere al producto de la suma de dos monomios por la diferen-cia de ellos mismos:

2222))·(( babbaabababa −=−+−=−+ Es decir, Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados: 22 bab)b)·(a(a −=−+ Otras igualdades (importantes pero menos utilizadas):

Cubo de una suma: 32233 b3abb3aab)(a +++=+

Cuadrado de un trinomio: 2bc2ac2abcbac)b(a 2222 +++++=++ Si no eres capaz de recordar las fórmulas anteriores, recuerda que una potencia la pue-des reducir a una multiplicación, por ejemplo:

1.4.4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios, en general, se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:

1º) Se ordenan los polinomios dividendo y divisor de mayor a menor grado. 2º) Se divide el primer término del dividendo, entre el primer término del divisor, dando lugar al primer término del cociente. 3º) Se multiplica dicho término del cociente por el divisor y se coloca debajo del di-videndo con el signo cambiado, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante. 4º) Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial, que será el primer resto parcial de la división. 5º) El proceso se repite hasta que el resto obtenido sea de menor grado que el di-visor.

Lo normal es que se dividan polinomios con una sola variable, x , tanto en el dividendo como en el divisor. Ejemplo:

Como se ve, se ha obtenido de cociente 14 +x y de resto 23 +− x



2-ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES 2.1. DEFINICIONES Al comparar dos expresiones algebraicas mediante el signo matemático “igual” (=), crea-mos una igualdad. Esta igualdad puede observar dos tipos de soluciones:

1ª.- Que tenga infinitas soluciones y se denomina identidad. Ejemplo: 3b = b + b + b Podemos dar cualquier valor a “b” y siempre se cumplirá la igualdad.

2ª.- Que tenga una o varias soluciones y se denomina ecuación. Ejemplo: x = 3 + 1 Solamente dando el valor 4 a “x” se cumplirá la igualdad. (Puede haber casos en los que la ecuación no tenga solución y dará igualdades del tipo 3 = 7 o 1 = 2). Resolver una ecuación es encontrar las soluciones de la misma. Comprobar una ecuación es el procedimiento que utilizamos al sustituir las letras por las soluciones obtenidas y ver si la igualdad que resulta es cierta. Es conveniente que com-pruebes todas las ecuaciones que resuelvas. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Las siguientes reglas permiten pasar de una ecuación a otra equivalente: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o expre-sión algebraica, la ecuación que resulta es equivalente a la dada. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada. 2.1.1. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN En toda ecuación se identifican unos elementos que la conforman: Términos: Son cada uno de los monomios que forman la ecuación. Miembros: Son los polinomios que se encuentran a ambos lados del signo igual. El pri-mer miembro a la izquierda del signo y el segundo a la derecha. Incógnita: Es la parte literal (habitualmente x) que es objeto del cálculo.

Primer miembro Segundo miembro 3 + )5(4 x+⋅ = x3 - 1

Término Término Término Término Las ecuaciones se clasifican según el grado del polinomio que las componen. De este modo podemos tener: Ecuaciones de primer grado: 2x -1 = x + 2 Ecuaciones de segundo grado: 2x + 3 = x2 – 5 2.1.2. PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

1. Quitar paréntesis, si los hay 2. Quitar denominadores, si los hay. (Hacer m.c.m) 3. Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro miembro. 4. Simplificar cada miembro. 5. Despejar la x. Se obtiene, así, la solución. 6. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados.



Eliminación de paréntesis. (si los hay, se eliminan antes que los denominadores) Si existen paréntesis se operan para eliminarlos, teniendo buen cuidado de ir multiplican-do los signos correspondientes. Para ello hay que tener en cuenta las reglas de los sig-nos:

Ejemplo:

11

38

32263

3)1(2)2(3

==−

=−−−=+⋅−−⋅

x

x

xx

xx

Eliminación de denominadores. Si existen denominadores se eliminarán, aplicando el procedimiento del mínimo común múltiplo (m.c.m) (recuerda que el c m.c.m se obtiene factorizando cada denominador en producto de factores primos y luego multiplicando los factores no comunes y los comunes con mayor exponente). Es decir, se halla el mínimo común múltiplo de todos los denomi-nadores y éste se divide entre cada denominador antiguo, multiplicando el resultado por su respectivo numerador. Ejemplo:

El m.c.m de los denominadores 2 y 3 es 6. Ponemos el mismo denominador en los dos miembros. Lo dividimos por cada denominador antiguo y el resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador.

A continuación eliminamos los denominares multiplicando los dos miembros por el m.c.m. En nuestro caso multiplicamos los dos miembros por 6 y nos queda:

Transposición de términos. Se adopta el criterio de dejar en un miembro los términos que posean la incógnita y se pasan al otro miembro los demás. La transposición de términos se rige por las reglas: Cualquier término que esté en un miembro sumando pasa al otro restando, y viceversa. Cualquier término que esté en un miembro multiplicando pasa al otro dividiendo, y vice-versa. Reducción de términos semejantes. Se suman los términos de uno y otro miembro. Despeje de la incógnita. Se deja la incógnita totalmente aislada y con signo positivo. Ejemplo:

31539865 −−=+− xxx Agrupo los términos con x en el primer miembro y los otros en el segundo:

83391565 −−=+− xxx



Reduzco términos semejantes: 2814 =x

Como el 14 está multiplicando a x pasa al otro miembro dividiendo:

214

28 ==x

Ejemplo:

63

2

2

1 =++− xx

Reducimos a común denominador: 6

36

6

42

6

33 =++− xx

Eliminamos denominadores (multiplicando por 6) 364233 =++− xx

75

35

355

433623

==

=−+=+

x

x

xx

Atención al quitar los denominadores cuando hay un menos delante: ¡ Cambiamos a todos los términos del numerador de signo! Ejemplo:

2

11

5

3 +−=− xx

x

51055106551010610

55

10

10

10

10

10

6 =+−=+−−−=−+−=− xxxxxxx

xxx

2.2. EL LENGUAJE ALGEBRAICO La parte realmente práctica de todos los contenidos estudiados hasta ahora, consiste en traducir problemas de la vida cotidiana a un lenguaje algebraico para poder resolverlos. En general, como ya sabemos, llamamos incógnita a la cantidad que es objeto de cálculo y la identificamos habitualmente con la letra ""x (aunque puede utilizarse cualquier letra). A esta incógnita le aplicamos las operaciones que deducimos del enunciado literal de los problemas. Ejemplo: El doble de un número: x2

La mitad de un número:2

x

De esta forma traducimos los planteamientos literales en algebraicos. 2.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Para resolver problemas mediante ecuaciones debemos seguir el siguiente proceso:

Identificar la incógnita Plantear la ecuación Resolver la ecuación Comprobar la solución Expresar con palabras la solución

Ejemplo: Si restamos 12 a un número lo reducimos a su tercera parte. Identificar la incógnita: x (el número que nos piden)

Plantear la ecuación: 3

12x

x =−



Resolver la ecuación: 18;2

36;362;363;363 ====−=− xxxxxxx

Comprobar la solución: 18 – 12 = 6 ; 6 = 6 Expresar con palabras la solución: El número pedido es el 18. En la resolución de todo problema conviene tener en cuenta las etapas: Familiarización con el problema. Antes de hacer, trata de entender. Tómate el tiempo necesario. Actúa sin prisa y con tranquilidad. Juega con los elementos del problema. Pon en claro la situación de partida, la de llegada y lo que debes lograr. Encara la situación con gusto e interés. Búsqueda de estrategias. El camino a recorrer será menos dificultoso si realizamos una buena elección de incógnitas. Es conveniente elegir las menos posibles, ya que muchas veces están relacionadas de forma sencilla unas con otras. Anota las ideas que se te ocurran. Estas estrategias te pueden ayudar: Empieza por lo fácil. Experimenta y busca regularidades. Utiliza esquemas, figuras, diagramas. Escoge una notación apropiada. Busca semejanzas con otros problemas que ya hayas resuelto. Explora la simetría de la situación. Supón el problema resuelto. Suponer que no, ¿dónde nos lleva?. Llevar adelante la estrategia. Después de la elección de las incógnitas, escribimos las ecuaciones que son las relaciones que ligan los datos y las incógnitas. Resolvemos la ecuación o sistema de ecuaciones con las técnicas y procedimientos que aquí se descri-ben. Trabaja con las ideas de la etapa anterior. Procura no mezclarlas, de una en una. Trabaja con tenacidad y decisión. Revisar el proceso y sacar consecuencias de él. Comprobamos las soluciones y ob-servamos si éstas tienen sentido en la solución descrita por el problema. Examina con detenimiento y profundidad el camino que has seguido. Trata de entender por qué las cosas han marchado. PARA SABER MÁS Si quieres ampliar conocimientos puedes acceder a los siguientes recursos: http://www.estudiantes.info/matematicas/problemas/3-eso/El-lenguaje-algebraico.htm http://www.thatquiz.org/es/previewtest?REUC5183 http://fds.oup.com/www.oup.com/word/es/12030230.doc http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ecuaciones_primer_grado/indice.htm http://www.pnte.cfnavarra.es/iesmarci/departamentos/matematicas/ejercicios/1.pdf



2.4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 2.4.1. DEFINICIÓN Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella equivalente a otra de la forma ax2+ bx + c = 0 con a ≠ 0. En estas ecuaciones es necesario que el coeficiente de x2, a, sea distinto de cero, ya que en caso contrario la ecuación sería de primer grado. Los restantes coeficientes, b y c, pueden tomar valores cualesquiera. En el caso en que b y c son distintos de cero, la ecuación se llama completa, y si b o c son cero, la ecuación se llama incompleta. 2.4.2 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCOMPLETAS Si b = 0 y c = 0, la ecuación es ax2 = 0. Dividiendo por a, obtenemos x2 = 0, y la única solución es x = 0. Ejemplo 002 2 == xx Si b = 0 , la ecuación es ax2+ c = 0. Realizamos los pasos convenientes para despejar x, obteniendo:

ax2 + c = 0 ⇔ ax2 = − c a

cx

a

cx −±=⇔−=⇔ 2

Encontraremos dos soluciones distintas si −a

c es positivo; en el caso de ser negativo,

la ecuación no tiene soluciones reales. Ejemplo :

552525253

757530753 2222 −==±====→=→=− xyxxxxxx

Si c = 0, la ecuación es ax2 + bx = 0. Sacamos factor común x, obteniendo x⋅(ax + b) = 0. Para que el producto anterior sea igual a 0, alguno de los factores debe ser 0. Esto nos conduce a las soluciones de la

ecuación, que son x = 0 y x = −a

b.

Ejemplo:

=→=→=−

=→==−=−

4

15154054

00

0)154(0154 2

xxx

xxxxxx

2.4.3 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA Fórmula para las soluciones de la ecuación

a

acbbx

2

42 −±−= Ejemplo: a=1; b=4 ; c=-21

=±−=+±−==−+2

104

2

8416402142 xxx

−=−−

=+−

72

104

32

104



Clasificación de las soluciones La expresión b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación de segundo grado y de su signo depende el número de soluciones de la misma. Si b2 − 4ac es positivo, la ecuación tiene por soluciones dos números reales distintos. Si b2 − 4ac es cero, la ecuación tiene por solución un único número real. En este caso se dice que las raíces son iguales o que la ecuación tiene raíz doble. Si b2 − 4ac es negativo, la ecuación no tiene soluciones en R (pero sí en un conjunto mayor, el conjunto C de los números complejos) Pasos para resolver una ecuación de segundo grado. 1. Si la ecuación de segundo grado es completa, aplicar la fórmula. 2. Si la ecuación de segundo grado es incompleta, resolverla sin la fórmula, sacando fac-tor común o despejando. 3. Si tiene una fisonomía complicada, arréglala:, suprime paréntesis, quita denominado-res, agrupa términos y pásalos todos al primer miembro,...Sólo cuando esté simplificada, aplica uno de los métodos anteriores. 4. Comprueba las soluciones. Y si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real. 2.5. SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse para los mismos valores de las incógnitas, llamados soluciones del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales es aquél en el que el grado de las incógnitas es uno. Un sistema de dos (tres) ecuaciones lineales con dos (tres) incógnitas, es de la forma:

=+=+

cybxa

cbyax

=++=++

=++

´´dz´´cy´´bx´´a

´dzcbýxa

dczbyax

en los que los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales. Resolver un sistema es encontrar los valores que, sustituidos en las incógnitas, cumplan todas las ecuaciones a la vez. Estos valores se llaman soluciones del sistema. Los sistemas de ecuaciones lineales, atendiendo al tipo de solución, se clasifican en: Compatibles: son los que tienen, al menos, una solución. Determinado, si posee una única solución. Indeterminado, si posee más de una solución (poseen infinitas). Incompatibles: son los que no poseen solución. Dos sistemas del mismo número de incógnitas son equivalentes si toda solución del primero verifica el segundo, y viceversa.



Dos sistemas equivalentes deben tener el mismo número de incógnitas, aunque no es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones. Los métodos de resolución de ecuaciones lineales son los de sustitución, igualación y reducción. Veamos en qué consiste cada método para un sistema lineal de dos ecuacio-nes con dos incógnitas. 2.5.1 SUSTITUCIÓN Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema y susti-tuir su expresión en la otra ecuación.

Ejemplo.

=+=−

1225

132

yx

yx

Despejamos x en la primera ecuación: 2

31 yx

+=

Al sustituir en la segunda ecuación, resulta: 1222

315 =+

+⋅ yy

, que es una ecuación con

una sola incógnita. Resolviendo la ecuación obtenemos:

11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

==−=+

=++=++=++

yyyy

yyyy

yy

Sustituyendo este valor de y en la expresión 2

31 yx

+= resulta 2

131 ⋅+=x = 2.

Solución: x = 2, y = 1. 2.5.2 IGUALACIÓN Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema e igualar las expresiones que resultan.

Ejemplo.

=+=−

1225

132

yx

yx

Despejamos x en ambas ecuaciones e igualamos.

−=→=+

+=→=−

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy −=+

Resolviendo la última ecuación, resulta:

( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==→=→−=+

→−=+→−⋅=+⋅

yyyy

yyyy

Sustituyendo este valor de y resulta: x = 2. Solución: x = 2, y = 1.



2.5.3 REDUCCIÓN Este método consiste en multiplicar una de las dos ecuaciones, o las dos por números convenientes para que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales y opuestos. Ejemplo 1:

=−−=+1153

46

yx

yx

=−−=+

1153

12183

yx

yx

Sumando ambas ecuaciones obtenemos 123

232323 −=

−==− yy Sustituyendo el valor

de y en una de las dos ecuaciones del principio, obtenemos x ; 26446 =+−=−=− xx Ejemplo 2:

=+=−

1225

132

yx

yx

=+=−

36615

264

yx

yx

219

383819 ==→= xx

Sustituyendo el valor de x en una de las ecuaciones obtenemos el de

y : 13

3413134 =

−−=−=−=− yyy

3. PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS Todo lo que acabamos de ver a lo largo del tema tiene aplicación directa en muchas si-tuaciones cotidianas que pueden resolverse traduciéndolas correctamente al lenguaje al-gebraico, de modo que pueden responder a una ecuación de primer grado, de segundo grado o a sistemas de ecuaciones.

=−=−−

1153

12183

yx

yx

TEMA 5: GEOMETRÍA MÓDULO TRES


1. REPASO DE GEOMETRÍA PLANA 1.1. UN POCO DE HISTORIA 1.2. PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 1.3. REPASO A LAS FIGURAS PLANAS ELEMENTALES

1.3.1 TRIÁNGULOS 1.3.2. CUADRILÁTEROS.

2. POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN 2.1. POLIEDROS

2.1.2. POLIEDROS REGULARES 2.1.3. PRISMAS 2.1.4. PIRÁMIDES

2.2. CUERPOS DE REVOLUCIÓN 2.2.1. CILINDRO 2.2.2. CONO 2.2.3. ESFERA

2.3. ÁREAS Y VOLÚMENES

1. REPASO DE GEOMETRÍA PLANA La Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. 1.1. UN POCO DE HISTORIA El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los pri-meros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica (resultados geométricos que vienen de la experiencia), que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría em-pírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axio-mas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípu-los como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángu-lo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue expuesta rigurosamente por el mate-mático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

MÓDULO TRES TEMA 5: GEOMETRÍA


1.2. PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figu-ra debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas co-nocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbi-tas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas. Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras cur-vas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproxima-ción del valor de π, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo.

1.3. REPASO A LAS FIGURAS PLANAS ELEMENTALES Antes de meternos en el estudio de los cuerpos geométricos elementales, recordemos algunas de las figuras planas que vamos a necesitar, así como sus ele-mentos, perímetro y área. Recordemos que el perímetro es la suma de la longitud de los bordes de una figura geométrica y el área es el trozo de plano que queda encerrado por el borde de una figu-ra geométrica.

FIGURA GEOMÉTRICA DEFINICIÓN CÁLCULOS VIDA COTIDIANA TRIÁNGULO

Figura geométrica que se obtiene al cortarse tres rectas mutuamen-te, resultando tres án-gulos

2

alturabaseÁrea

×=

Triángulo de emergencia



FIGURA GEOMÉTRICA DEFINICIÓN CÁLCULOS VIDA COTIDIANA CUADRADO Figura plana

cerrada for-mada por cuatro seg-mentos que se cortan formando ángulos rec-tos.

2lladoladoÁrea =×=

Tablero de ajedrez

RECTÁNGULO Paralelogramo con los cuatro ángulos inte-riores rectos y los lados con-tiguos de-siguales.

alturabaseÁrea ×=

Baldosas rectangulares

POLÍGONO REGULAR Polígono con todos los la-dos de la misma longi-tud y todos los ángulos inte-riores iguales.

2

apotemaperímetroÁrea

×=

Tuerca

CIRCUNFERENCIA

Curva plana cerrada, cu-yos puntos equidistan a otro llamado centro

rradioLongitud ⋅⋅=⋅⋅= ππ 22

Rosetón del monasterio de Armenteira, Ponteve-dra

CÍRCULO

Área o super-ficie plana contenida dentro de la circunferencia.

22 rradioÁrea ⋅=⋅= ππ

Ruedas

1.3.1 TRIÁNGULOS A la hora de clasificar los triángulos lo podemos hacer de distintas maneras: 1. Por sus lados:

Equilátero: tiene la longitud de los tres lados igual. Isósceles: tiene la longitud de dos lados iguales y una desigual. Escaleno: tiene los tres lados de distinta longitud.



2. Por sus ángulos:

Rectángulo: Tiene un ángulo recto Acutángulo: Todos sus ángulos miden menos de noventa grados. Obtusángulo: Tiene un ángulo de más de noventa grados

Otras propiedades interesantes de los triángulos son:

o La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es siempre 180º. o Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, se cumple que el cuadrado

de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

222 21 catetocatetohipotenusa +=

222 cba +=

EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. En una pirámide cuadrangular, la arista de la base mide 6 cm, y la altura, 8 cm. Calcula cuánto mide la apotema de dicha pirámide :

cmh

h

54,873

7338 222

==

=+=



2. En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de diámetro en medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué altura del suelo queda la estrella?

81517 22 =− x = 12 – 8 – 1 = 3 La estrella está a 3 m del suelo. 1.3.2. CUADRILÁTEROS Los polígonos que tienen cuatro lados se llaman cuadriláteros y se clasifican en :

1. Paralelogramos 2. Trapecios 3. Trapezoides:

CLASIFICACIÓN DE LOS

PARALELOGRAMOS TIPOS FIGURA

Dos pares de lados paralelos (a y c) (b y d)

Cuadrado a=b=c=d

Rectángulo a=c; b=d

Rombo a=b=c=d

Romboide a=c; b=d



CLASIFICACIÓN DE LOS

TRAPECIOS TIPOS FIGURA

Un par de lados paralelos (a y d)

Trapecio escaleno: Distintos medidas en los la-dos no paralelos (b c)

Trapecio isósceles: Igual medida en los lados no paralelos (b = c)

Trapecio rectangular: Un lado no paralelo perpendicu-lar a la base

Recordemos el perímetro y el área de las figuras anteriores

rombo

P = 4 · a 2

dDA

⋅=

D=diagonal mayor; d= diagonal menor

romboide

P = 2 · (a + b) A = a · h

trapecio

P = a + b + c + d 2

)(2

)(

camediana

hca

A

+=

⋅+=

a= base mayor c= base menor h= altura



2. POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN 2.1. POLIEDROS Cuando estamos andando por la calle, continuamente estamos viendo figuras geométricas.

Torres Petronas

Kuala Lampur, Malasia Torres Kio, Madrid Poliedro de la Armonía,

Leonardo Unas de las figuras que normalmente nos encontramos son los poliedros, que son cuerpos geométricos que se forman a partir de polígonos (triángulos, cuadrados, rectángulos, pentágonos,…) Todos los poliedros tienen los elementos que aparecen en el siguiente dibujo: A parte de los elementos que aparecen en el dibujo están los vértices que son los puntos donde se cortan las aristas. Otros elementos son las diagonales, que son los segmen-tos que unen dos vértices no consecutivos. Los elementos de un poliedro convexo cumplen una pro-piedad curiosa que relaciona el número de caras, el de vértices y el de aristas. Es conocido como la fórmula de Euler, según la cual “el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos”, es decir:

C+V =A+2 2.1.2. POLIEDROS REGULARES Dentro de todos los poliedros que existen, hay unos pocos (concretamente cinco) a los que se les conoce como poliedros regulares o sólidos platónicos. Estos poliedros tienen una propiedad especial: todas sus caras están formadas por polígonos regulares iguales. Debido a esta propiedad sólo cinco son los cuerpos geomé-tricos que la cumplen: el tetraedro, el cubo o hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

Tetraedro Cubo -hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro



2.1.3. PRISMAS Otro tipo de poliedros son los prismas, que tienen la peculiaridad de que sus bases son polígonos regulares iguales y las caras laterales son rectángulos. El nombre de los pris-mas depende del polígono regular de la base:

Prisma triangular Prisma hexagonal

2.1.4. PIRÁMIDES Siguiendo el análisis de los distintos poliedros llegamos al último que vamos a estu-diar a fondo: las pirámides.

Esfinge y pirámide de Keops, Giza, Egipto

Como se ve, este poliedro es conocido desde hace mucho tiempo. Las pirámides están formadas por un cara (la base), que es un polígono regular, y caras laterales que son triángulos que se unen en un vértice. Estos son sus elementos:

Las pirámides se nombran a partir del polígono regu-lar que tienen por base: si es un pentágono, se lla-mará pirámide pentagonal; si es un octógono, pirá-mide octogonal.

Pirámide pentagonal Pirámide octogonal



2.2. CUERPOS DE REVOLUCIÓN Son cuerpos geométricos cuya denominación se debe a que se obtienen al girar una figura geométrica plana. A continuación veremos los aspectos más destacables de tres de ellos: el cilindro, el cono y la esfera.

Cilindro: se obtiene al hacer girar un rectángulo sobre uno de sus lados. Cono: se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. Esfera: se obtiene al hacer girar una media circunferencia sobre el diámetro.

2.2.1. CILINDRO

CILINDROS EN EL ARTE

Es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo sobre uno de sus lados. Los elementos de un cilindro son: La altura (h): distancia entre las dos bases. La generatriz (g): segmento que une las dos bases por la superficie lateral. El radio de la base (r)

2.2.2. CONO Espacio y estética

Plaza de Europa de la Expo 92 Silos de Santa Mónica, hacienda de San Juan

de Trancoso, México

Es un cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectán-gulo sobre uno de sus catetos. Los elementos de un cono son: h: altura g: generatriz r: radio de la base



2.2.3. ESFERA

Centro cultural, Tijuana, Méjico Embarcadero, Toronto, Canadá Vista de la Tierra y la Luna desde el espacio La esfera es una de las formas que más se repite en la naturaleza (los planetas, muchas frutas y semillas, …) y es ampliamente utilizada como modelo por el hombre en muchas de sus creaciones (arquitectura, moda, deportes, balones,… ). Es un cuerpo de revolu-ción que se obtiene al girar una semicircunferencia. Sus elementos se representan en la siguiente imagen:

2.3. ÁREAS Y VOLÚMENES Hay veces que necesitamos saber la superficie de alguno de los cuerpos que hemos es-tudiado, así como la capacidad interior que tiene. Supongamos que queremos poner un deposito de agua co n forma cilíndrica, pero de la mayor capacidad posible y a precio asequib le . Para ello necesitamos calcular el área y e l vo lumen de un cilindro. Para calcular el área de los cuerpos geométricos, lo primero que tenemos que vi-sualizar es el desarrollo de cada uno. Veamos un ejemplo: El cubo es un sólido limitado por seis cuadrados iguales, también se le conoce con el nombre de hexaedro. El ortoedro es como el cubo, pero sus lados no tie-nen la misma medida. El dibujo de la de-recha representa un ortoedro; en el cubo tendríamos que los tres lados (también llamados aristas) tienen la misma longi-tud. Para calcular el volumen de un ortoedro se emplea la siguiente fórmula:

321 LadoLadoLadoVolumen ××=



Esta fórmula sirve para obtener el volumen de cualquier caja cuyas caras están formadas por rectángulos. El área total del cubo será seis veces el área del cuadrado que forma sus caras. En el caso de un ortoedro, hay que sumar el área de cada uno de los seis rectángulos que lo forman. El área lateral se obtiene sumando el área de to-das las caras, menos la superior y la inferior (las marcadas con equis en el dibujo). PRISMAS Un prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e igua-les, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base. Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

alturabaseladeáreaVolumen ×= A continuación están dibujados los prismas triangular y cuadrangular:

Si nos fijamos en el desarrollo de las figuras, veremos cómo puede calcularse el área to-tal. Para obtener el área lateral se calcula sólo el área de los rectángulos que componen el prisma (no se suman las áreas dibujadas en gris):



CILINDRO El cilindro se obtiene haciendo girar un rectángulo respecto a uno de sus lados:

El volumen del cilindro se calcula igual que el de los prismas:

alturabaseladeáreaVolumen ×= Para obtener el área total y lateral, tenemos que calcular la longitud de la circunferencia, puesto que esta es la longitud de uno de los lados del rectángulo que se obtiene al cortar la figura:

Recordando que la longitud de la circunferencia es radioL nciacircunfere ××= 1416,32

El área lateral será: alturaLÁrea nciacircunferelateral ×=

El área total se obtiene sumando al área lateral dos veces el área del círculo. PIRÁMIDE Es un poliedro limitado por una base, que puede ser un polígono cualquiera, y varias ca-ras laterales, que son triángulos con un vértice común, llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama trian-gular, cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono…



Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras latera-les son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide. El área lateral de una pirámide regular es la su-ma de las áreas de las caras laterales, es decir, la suma de las áreas de los triángulos que la for-man, cuya altura se llama apotema. Por tanto:

El área total es la suma del área anterior más la de la base. El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

CONO Es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

Su volumen se obtiene igual que en las pirámides, por la fórmula:



Para calcular el área lateral y total nos fijamos en el corte del cono siguiente:

FIGURA DESARROLLO ÁREAS Y VOLUMEN

ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO MÓDULO TRES

BLOQUE 7 TEMA 2: ECOLOGÍA Y MEDIOAMBIENTE

1. DEFINICIÓN DE ECOSISTEMA 2. FACTORES ABIÓTICOS 3. FACTORES BIÓTICOS 4. ECOSISTEMAS TERRESTRES 5. ECOSISTEMAS MARÍTIMOS 6. NIVELES TRÓFICOS 7. REPRESENTACIÓN DE LOS NIVELES TRÓFICOS 8. FLUJO DE MATERIA Y ENERGÍA 9. CAMBIOS EN LAS POBLACIONES 10. SUCESIÓN ECOLÓGICA 11. ACCIÓN HUMANA EN LOS ECOSISTEMAS

BLOQUE 8

TEMA 4: LAS FUERZAS Y SUS APLICACIONES

1. LAS FUERZAS 2. PRESIÓN 3. ESTRUCTURAS 4. MÁQUINAS

BLOQUE 9

TEMA 6: TEORÍA ATÓMICA DE LA MATERIA

1. INTRODUCCIÓN 2. TEORÍA ATÓMICA DE DALTON 3. MODELOS ATÓMICOS 4. PARTÍCULAS SUBATÓMICAS 5. PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS 6. ENLACE QUÍMICO 7. ELEMENTOS Y COMPUESTOS DE INTERÉS

TEMA 2: ECOLOGÍA Y MEDIOAMBIENTE MÓDULO TRES


1. DEFINICIÓN DE ECOSISTEMA 2. FACTORES ABIÓTICOS

2.1. FACTORES CLIMÁTICOS 2.2. FACTORES HIDROLÓGICOS 2.3. FACTORES EDÁFICOS

3. FACTORES BIÓTICOS 3.1. RELACIONES INTRAESPECÍFICAS 3.2. RELACIONES INTERESPECÍFICAS

4. ECOSISTEMAS TERRESTRES 4.1. BIOMAS DE ZONAS FRÍAS 4.2. BIOMAS DE ZONAS TEMPLADAS 4.3. BIOMAS DE ZONAS CALIENTES

5. ECOSISTEMAS MARÍTIMOS 6. NIVELES TRÓFICOS

6.1. PRODUCTORES 6.2. CONSUMIDORES 6.3. DESCOMPONEDORES

7. REPRESENTACIÓN DE LOS NIVELES TRÓFICOS 7.1. CADENA TRÓFICA 7.2. RED TRÓFICA 7.3. PIRÁMIDES TRÓFICAS

8. FLUJO DE MATERIA Y ENERGÍA 9. CAMBIOS EN LAS POBLACIONES 10. SUCESIÓN ECOLÓGICA

10.1. SUCESIÓN PRIMARIA 10.2. SUCESIÓN SECUNDARIA

11. ACCIÓN HUMANA EN LOS ECOSISTEMAS 11.1. LA CONTAMINACIÓN 11.2. LOS PROBLEMAS MEDIOAMBIENTALES 11.3. IMPACTO AMBIENTAL EN CASTILLA-LAMANCHA 11.4. ESPECIES ENDÉMICAS Y EN PELIGRO DE EXTINCIÓN 11.5. ESPACIOS NATURALES PROTEGIDOS EN CASTILLA-LA MANCHA

__________________________________________________________________________________

MÓDULO TRES TEMA 2: ECOLOGÍA Y MEDIOAMBIENTE


1. DEFINICIÓN DE ECOSISTEMA Para sobrevivir, todos los organismos necesitan relacionarse con el medio que les rodea e, inevitablemente, la vida de cada organismo afecta a la vida de los demás. El análisis de las interacciones que se producen entre todos los seres vivos y los medios que habitan es muy complejo, por lo que se recurre al estudio de unidades ambientales llamadas ecosis-temas.

ECOSISTEMA = BIOCENOSIS + BIOTOPO

• El ECOSISTEMA es el conjunto de seres vivos que ocupan un espacio natural y las relaciones que se establecen entre ellos y el medio en el que viven.

• BIOCENOSIS O COMUNIDAD es el conjunto de poblaciones que viven en un área determinada. Los individuos de la comunidad que pertenecen a una misma especie constituyen una población.

• El BIOTOPO es el lugar o medio físico ocupado por una comunidad, que se ca-racteriza por unas condiciones ambientales bien definidas.

La ECOLOGÍA es la ciencia que estudia las relaciones entre unos seres vivos y otros, así como entre ellos y el medio físico que les rodea. Su unidad de estudio es el ecosistema, formado por el biotopo y su biocenosis.

2. FACTORES ABIÓTICOS El medio ambiente (entorno de cada ser vivo) de un organismo está constituido por todos los factores o condiciones que existen en el lugar en el que habita y que influyen sobre él en algún momento de su vida. Los factores abióticos son las características fisico-químicas que posee un medio. No dependen directamente de los seres vivos, aunque su actividad puede modificarlos. Los principales factores abióticos que influyen en los seres vivos pueden clasificarse en tres categorías ambientales: factores climáticos, edáficos (del terreno o suelo) e hidrológicos. Factores climáticos

Temperatura

Afecta a la velocidad de los procesos físi-cos, químicos y biológicos. Las temperatu-ras altas, en general, son más nocivas que las bajas.

Luz Es imprescindible para los organismos foto-sintéticos y necesaria para la mayoría de los seres vivos.

Humedad

Es la proporción de vapor de agua que con-tiene un volumen de aire y está relacionada con la pluviosidad y la temperatura.



Factores edáficos

Estructura física

Depende de la: - Textura. Condicionada por el tamaño de las partículas sólidas. - Porosidad. Cantidad de espacios huecos que permiten la circulación de agua y aire. - Profundidad. Afecta a los seres vivos que utilizan el suelo como refugio.

Composición química

Está determinada por la cantidad de agua que circula a través del suelo y por las sus-tancias minerales disueltas que necesitan las plantas.

Factores hidrológicos

Temperatura Disminuye con la profundidad. Las grandes masas marinas se ven muy poco afectadas por las variaciones climáticas.

Luz En el medio acuático se distinguen dos zo-nas: la fótica o iluminada y la afótica, que carece de luz.

Gases disueltos

El oxígeno disminuye a medida que au-menta la temperatura del agua. El dióxido de carbono es utilizado para la síntesis de materia orgánica.

Salinidad La cantidad de sales disueltas es variable. Existen aguas dulces, salobres y saladas.

Los factores ambientales abióticos actúan sobre los organismos de la comunidad. 3. FACTORES BIÓTICOS Los factores bióticos son los que surgen como consecuencia de la presencia de otros seres vivos, como la lucha por el alimento o el espacio, o la ayuda mutua. En una comunidad coexisten organismos de diferentes especies entre los que se estable-cen múltiples relaciones. Estas relaciones pueden ser intraespecíficas e interespecífi-cas. 3.1. RELACIONES INTRAESPECÍFICAS Se producen entre individuos de la misma especie. Hay dos tipos: de competencia y de cooperación. a. Relaciones Intraespecíficas de Competencia

• Los individuos tienen necesidades similares y

compiten por los mismos recursos, como el alimento y el espacio.

• Esta relación contribuye a regular el tamaño de las poblaciones



b. Relaciones Intraespecíficas de Cooperación:

• Proporciona ventajas a los individuos implicados • Se pone de manifiesto fundamentalmente en la cría de

los jóvenes, la defensa contra los depredadores o la obtención de alimento.

3.2. RELACIONES INTERESPECÍFICAS Se producen entre individuos de especies diferentes. Entre ellas se encuentran: depreda-ción, mutualismo, comensalismo e inquilinismo. a. Depredación:

• Un organismo, el depredador, se alimenta de otro or-ganismo vivo, la presa.

• Hay varios tipos de depredadores: Depredadores verdaderos, que matan y con-

sumen parcial o totalmente muchas presas. Ramoneadores, que consumen partes de la

presa sin llegar a matarlas. Parásitos, que viven sobre su presa, el hos-

pedador, causándole daño. b. Mutualismo, comensalismo e inquilinismo:

• Relaciones en la que ninguna de las especies que intervie-ne sale perjudicada.

• Los diferentes tipos son: Mutualismo, que reporta beneficio a los dos orga-

nismos asociados. Cuando ambos organismos no pueden vivir por separado se llama simbiosis.

Comensalismo, donde una especie se beneficia de la comida sobrante de otra que le resulta indiferente.

Inquilinismo, donde una especie se aprovecha del albergue que le ofrece la otra sin causarle ningún perjuicio.

La actividad de los organismos modifica los factores abióticos.



4. ECOSISTEMAS TERRESTRES En amplias zonas de la Tierra se repiten las mismas condiciones climáticas originando comunidades de seres vivos, de amplia distribución, denominadas biomas. Un bioma es un conjunto de ecosistemas terrestres, gobernados por condiciones climáticas similares, que comparten una vegetación característica que los define. Los biomas son grandes ecosistemas formados por comunidades de seres vivos que ocupan un espacio físico con condiciones ambientales específicas.



4.1. BIOMAS DE ZONAS FRÍAS:

Desierto frío Lluvias muy escasas Nieve permanente

Tundra

Lluvias escasas La temperatura su-

pera los 0ºC durante menos de 3 meses

Taiga

Lluvias escasas Durante el verano,

unos 4 meses, las tem-peraturas sobrepasan los 0ºC

Alta montaña

Heladas, nieve y fuertes vientos durante casi todo el año

Temperatura siem-pre fría, que varía según la latitud

4.2. BIOMAS DE ZONA TEMPLADA:

Bosque caducifolio Lluvias regulares Ambiente húmedo

Estepas y praderas

Lluvias irregulares Veranos cálidos y

lluviosos e inviernos fríos y secos

Bosque mediterrá-neo

Lluvias irregulares Veranos cálidos y

secos e inviernos sua-ves y lluviosos



4.3. BIOMAS DE ZONA CALIENTE:

Desierto cálido

Lluvias muy esca-sas

Días calurosos y noches frías

Sabana Lluvias irregulares Corta estación llu-

viosa

Bosque tropical Lluvias irregulares Larga estación llu-

viosa

Bosque ecuatorial

Lluvias muy abun-dantes y regulares

Ambiente muy hú-medo

5. ECOSISTEMAS MARINOS La distribución geográfica de los organismos en los océanos es mucho más uniforme que en los continentes y está escasamente influida por el clima. Aun así, también en los océa-nos se pueden diferenciar varias zonas, que se establecen en función de la presencia de luz, la naturaleza del fondo, las olas y mareas o las corrientes marinas. Según su distancia a la costa, se distin-guen la zona nerítica y la oceánica.

- Zona nerítica: se encuentra sobre la plataforma continental.

- Zona oceánica: está situada más allá de la plataforma continental.

Según su profundidad, se distinguen las zonas pelágica, batial y abisal.

- Zona pelágica: es la más ilumina-da, pues se encuentra entre los 0 y 200 metros de profundidad.

- Zona batial: está situada entre los 200 y 2000 metros de profundidad.

- Zona abisal: es la más profunda del océano, prácticamente en completa oscuridad.



6. NIVELES TRÓFICOS Una gran parte de las relaciones que los seres vivos establecen con su medio ambiente tiene como finalidad obtener la materia y energía que necesitan para su nutrición. Estas relaciones se denominan alimentarias o tróficas. Los distintos organismos de un ecosistema obtienen la materia y energía del medio de manera muy variada. Aquellos que lo hacen de una misma forma se agrupan en un con-junto o nivel trófico. Se pueden distinguir los siguientes niveles: 6.1. PRODUCTORES Son organismos autótrofos que fabrican su propia materia orgánica a partir de materia inorgánica. Son las plantas, las algas y las bacterias fotosintetizadoras. Fotosíntesis y respiración: La fotosíntesis es el proceso por el que se capta la energía luminosa que procede del sol y se convierte en energía química. Con esta energía el CO2, el agua y los nitratos que las plantas absorben reaccionan sintetizando las molécu-las de carbohidratos (glucosa, almidón, celulosa, etc.), lípidos (aceites, vitaminas, etc.), proteínas y ácidos nucleicos (ADN y ARN) que forman las estructuras vivas de la planta. Las plantas crecen y se desarrollan gracias a la fotosíntesis, pero respiran en los perio-dos en los que no pueden obtener energía por fotosíntesis porque no hay luz o porque tienen que mantener los estomas cerrados. En la respiración se oxidan las moléculas or-gánicas con oxígeno del aire para obtener la energía necesaria para los procesos vitales. En este proceso se consume O2 y se desprende CO2 y agua, por lo que, en cierta forma, es lo contrario de la fotosíntesis que toma CO2 y agua desprendiendo O2. Fotosíntesis y respiración La fotosíntesis se produce en los cloroplastos y su reacción global es: 6 CO2 + 6 H2O + Energía luminosa → C6H12O6 + 6 O2 La energía luminosa es captada por la clorofila de las células verdes de las plantas y utili-zada para regenerar moléculas de ATP y NADPH (Fase luminosa). En una segunda fase la energía química contenida en el ATP y el NADPH es utilizada para reducir moléculas de CO2 hasta gliceraldehido, a partir del cual se sintetizan las distintas moléculas orgáni-cas, principalmente glucosa. Con la glucosa se forma almidón, celulosa y otros carbohi-dratos esenciales en la constitución de las plantas La respiración se realiza en las mitocondrias con una reacción global: C6H12O6 + 6 O2 →6 CO2 + 6 H2O + Energía La energía desprendida en esta reacción queda almacenada en ATP y NADH que la cé-lula puede utilizar para cualquier proceso en el que necesite energía. 6.2. CONSUMIDORES Son organismos heterótrofos que se alimentan de materia orgánica viva. Existen diversos tipos:

a) Primarios: son los animales que se alimentan de plantas, llamados también herbí-voros.

b) Secundarios: se alimentan de los consumidores primarios. Son animales carnívo-ros. En algunos ecosistemas puede haber consumidores terciarios y cuaterna-rios.

Los animales obtienen la energía para su metabolismo de la oxidación de los alimentos (respiración), pero no todo lo que comen acaba siendo oxidado. Parte se desecha en las heces o en la orina y otra parte se difunde en forma de calor, etc.



La mayor parte de la energía absorbida se utiliza en el mantenimiento o se pierde a través de las heces. Sólo una pequeña parte se convierte en producción secundaria (aumento de

peso del animal o nuevas crías). Sólo una fracción insignificante de la energía puesta en juego en la bios-fera circula por las estructuras más complejas de la vida, las de los ani-males superiores. Por este motivo, las biomasas de los niveles tróficos decrecen rápi-damente a medida que aumenta el nivel. Así, por ejemplo, con 8 tone-ladas de hierba se alimenta una to-nelada de vacas, y con una tonelada de vaca se alimenta una persona de unos 48 kg.

6.3. DESCOMPONEDORES Son organismos heterótrofos que se alimentan de restos de seres vivos o sus excremen-tos y los transforman en compuestos inorgánicos. Son los hongos y muchas bacterias. Los organismos del ecosistema se clasifican, según la forma en que obtienen la materia y energía para sobrevivir, en productores, consumidores y descomponedores. 7. REPRESENTACIÓN DE LOS NIVELES TRÓFICOS Los seres vivos dependen unos de otros para su alimentación. En cierta forma, los orga-nismos de un ecosistema están encadenados por la función de “comer y ser comido”. La estructura trófica de un ecosistema se puede representar de varias formas: 7.1. CADENA TRÓFICA Una cadena trófica está formada por una serie de organismos ordenados linealmente donde cada uno se alimenta del anterior y sirve, a su vez, de alimento al siguiente.



7.2. RED TRÓFICA Es un conjunto de cadenas tróficas interconectadas que pueden establecerse en un eco-sistema.

7.3. PIRÁMIDES TRÓFICAS O ECOLÓGICAS Son formas de representación que se utilizan para mostrar cómo varían algunas caracte-rísticas de los niveles tróficos al pasar de unos a otros. Cada nivel se representa por un rectángulo, cuya base es proporcional al valor de la característica que se mida. Pueden ser de números, de biomasa y de energía. a. Pirámides de números: Representan el número de individuos que forman cada nivel. Para algunos ecosistemas, la pi-rámide puede aparecer invertida, al estar formada su base por un escaso número de individuos. b. Pirámides de biomasa: representan la biomasa de todos los organismos que forman parte de un ni-vel. La biomasa es la cantidad de “materia orgánica” que hay en un ecosistema por unidad de superficie o de volumen. Suelen ser invertidas en los ecosiste-mas acuáticos.



c. Pirámides de energía: indican la cantidad de energía existente en un nivel trófico. No pueden ser invertidas, ya que la energía que posee un nivel trófico tiene que ser siempre mayor que la existente en el nivel superior. Las cadenas, redes y pirámides tróficas son formas de representar las relaciones ali-mentarias entre los seres vivos de un ecosistema. 8. FLUJO DE MATERIA Y ENERGÍA Todo ecosistema necesita materia y energía. La energía lumínica procedente del Sol es transformada en energía química de los productores. Almacenada en forma de materia orgánica, sirve de alimento a los consumidores primarios, y estos, a su vez, son comidos por los consumidores secundarios; finalmente, todos ellos son descompuestos y transfor-mados. En este proceso existe un flujo de energía, mientras que la materia describe un ciclo a través de toda la cadena trófica. 8.1 FLUJO DE MATERIA La materia orgánica de los productores sirve de alimento a los consumidores primarios y estos, a su vez, son comidos por los consumidores secundarios. Todos estos organismos, al morir, generan restos orgánicos. Los organismos descomponedores transforman la ma-teria muerta (restos orgánicos) en compuestos inorgánicos que pueden ser reutilizados de nuevo por los productores.



8.2. FLUJO DE ENERGÍA Los productores transfor-man la energía solar en energía química. Al pasar por cada nivel trófico, parte de la energía se libera en la respiración y se cede al medio en forma de calor. Otra parte de energía pasa a los restos orgánicos del individuo cuando muere. Los descomponedores consumen los restos orgá-nicos y liberan energía en forma de calor al medio. El flujo de energía que entra en un ecosistema es unidireccional, esta no puede ser reutilizada por los seres vivos. El flujo de energía que entra en los eco-sistemas es unidireccional, mientras que la materia sigue un ciclo, de forma que no se pierde. 8.3. CICLOS DE LOS ELEMENTOS Los seres vivos están formados por elementos químicos, fundamentalmente por oxígeno, hidrógeno, carbono y nitrógeno que, en conjunto, suponen más del 95% de peso de los seres vivos. El resto es fósforo, azufre, calcio, potasio, y un largo etcétera de elementos presentes en cantidades muy pequeñas, aunque algunos de ellos muy importantes para el metabolismo. Estos elementos también se encuentran en la naturaleza no viva, acumula-dos en depósitos. Así, en la atmósfera hay O2, N2 y CO2. En el suelo H2O, nitratos, fosfa-tos y otras sales. En las rocas fosfatos, carbonatos, etc. Transferencia cíclica de los elementos: Algunos seres vivos son capaces de captarlos de los depósitos inertes en los que se acumulan. Después van transfiriéndose en las cadenas tróficas de unos seres vivos a otros, siendo sometidos a procesos químicos que los van situando en distintas moléculas. Los ciclos de los elementos mantienen una estre-cha relación con el flujo de energía en el ecosistema, ya que la energía utilizable por los organismos es la que se encuentra en enlaces químicos uniendo los elementos para for-mar las moléculas. 8.3.1. CICLO DEL CARBONO El carbono es elemento básico en la formación de las moléculas de carbohidratos, lípidos, proteínas y ácidos nucleicos, pues todas las moléculas orgánicas están formadas por ca-denas de carbonos enlazados entre sí. La principal reserva de carbono asimilable por los seres vivos es el dióxido de carbono (CO2), un gas que está presente en la atmósfera (supone un 0,03% del aire atmosférico) y la hidrosfera. Se estima que cada año se consume en los procesos de fotosíntesis un 5% de estas reservas, aproximadamente, lo que supone que la atmósfera renueve todo el CO2 cada 20 años. La vuelta de CO2 a la atmósfera se hace cuando en la respiración los seres vivos oxidan los alimentos produciendo CO2. En el conjunto de la biosfera la mayor parte de la respira-ción la hacen las raíces de las plantas y los organismos del suelo y no, como podría pare-cer, los animales más visibles.



Los seres vivos acuáticos toman el CO2 del agua. La solubilidad de este gas en el agua es muy superior a la de otros gases, como el O2 o el N2, porque reacciona con el agua formando ácido carbónico. En los ecosistemas marinos algu-nos organismos convierten par-te del CO2 que toman en

3CaCO que necesitan para for-mar sus conchas, caparazones o masas rocosas en el caso de los arrecifes. Cuando estos or-ganismos mueren, sus capara-zones se depositan en el fondo formando rocas sedimentarias calizas en las que el C queda retirado del ciclo durante miles o millones de años. Este C vol-verá lentamente al ciclo cuando se van disolviendo las rocas. El petróleo, carbón y la materia orgánica acumulados en el sue-lo son resultado de épocas en las que se ha devuelto menos CO2 a la atmósfera del que se tomaba. Así apareció el O2 en la atmósfera. Si hoy consumié-ramos todos los combustibles fósiles almacenados, el O2 desaparecería de la atmósfera. Como veremos, el ritmo cre-ciente al que estamos devolviendo CO2 a la atmósfera, por la actividad humana, es motivo de preocupación respecto al nivel de efecto invernadero que podría estar provocando, con el cambio climático consiguiente. 8.3.2. CICLO DEL NITRÓGENO Los organismos emplean el nitrógeno en la síntesis de pro-teínas, ácidos nucleicos (ADN y ARN) y otras moléculas fun-damentales del metabolismo. Su principal reserva es la at-mósfera, en donde se encuen-tra en forma de N2, pero esta molécula no puede ser utiliza-da directamente por la mayo-ría de los seres vivos (excep-tuando algunas bacterias). Esas bacterias y algas cianofí-ceas que pueden usar el N2 del aire juegan un papel muy importante en el ciclo de este elemento al hacer la fijación del nitrógeno. De esta forma



convierten el N2 en otras formas químicas (nitratos y amonio) asimilables por las plantas. El amonio (NH4

+) y el nitrato (NO3-) lo pueden tomar las plantas por las raíces y usarlo en

su metabolismo. Usan esos átomos de N para la síntesis de las proteínas y ácidos nuclei-cos. Los animales obtienen su nitrógeno al comer a las plantas o a otros animales. En el metabolismo de los compuestos nitrogenados en los animales acaba formándose ión amonio que es muy tóxico y debe ser eliminado. Esta eliminación se hace en forma de amoniaco (algunos peces y organismos acuáticos), o en forma de urea (el hombre y otros mamíferos) o en forma de ácido úrico (aves y otros animales de zonas secas). Estos compuestos van a la tierra o al agua de donde pueden tomarlos de nuevo las plantas o ser usados por algunas bacterias. Algunas bacterias convierten amoniaco en nitrito y otras transforman éste en nitrato. Una de estas bacterias (Rhizobium) se aloja en nódulos de las raíces de las leguminosas (al-falfa, alubia, etc.) y por eso esta clase de plantas son tan interesantes para hacer un abo-nado natural de los suelos. Donde existe un exceso de materia orgánica en el mantillo, en condiciones anaerobias, hay otras bacterias que producen desnitrificación, convirtiendo los compuestos de N en N2, lo que hace que se pierda de nuevo nitrógeno del ecosistema a la atmósfera. A pesar de este ciclo, el N suele ser uno de los elementos que escasean y que es factor limitante de la productividad de muchos ecosistemas. 8.3.3. CICLO DEL FÓSFORO El fósforo es un componente esencial de los organismos. Forma parte de los ácidos nu-cleicos (ADN y ARN); del ATP y de otras moléculas que tienen PO4

3- y que almacenan la energía química; de los fosfolípidos que forman las membranas celulares; y de los hue-sos y dientes de los animales. Está en pequeñas cantidades en las plantas, en propor-ciones de un 0,2%, aproximadamente. En los animales hasta el 1% de su masa puede ser fósforo. El fósforo es el principal factor limitante del creci-miento para los ecosiste-mas, ya que su ciclo está principalmente relacionado con el movimiento del fósfo-ro entre los continentes y los océanos, condicionado por el hecho de que es un elemento que no se presen-ta en forma gaseosa. En la naturaleza se acumula en yacimientos de fosfa-tos (en la corteza terres-tre o en los fondos ma-rinos), normalmente procedentes de la pre-cipitación a partir de aguas ricas en este tipo de sales. Estos yaci-mientos pueden ser movilizados por las aguas de lluvia, ríos o corrientes marinas, permitiendo así que los fosfatos sean asimila-dos por las plantas en medios terrestres o por algas en medios acuáticos; al ser consumi-das por animales herbívoros o filtradores de plancton (como ciertas variedades de peces),



respectivamente, el fósforo pasa a éstos, que lo retornan al medio en que se desarrollan a través de sus excrementos o de sus restos cuando mueren. Otra parte de los fosfatos movilizados en el medio acuático llega a tierra firme mediante las heces de aves marinas (guano), ya que éstas se alimentan de peces y retornan frecuentemente a sus nidos en tierra. En ecosistemas acuáticos, cuando las corrientes marinas suben del fondo y arrastran fós-foro del que se ha ido sedimentando a lo largo de millones de años, el plancton prolifera en la superficie y permite así que se multipliquen los bancos de peces, como ocurre en las grandes pesquerías del Gran Sol o las costas occidentales de África y América del Sur, entre otras. 9. CAMBIOS EN LAS POBLACIONES El crecimiento de una población es el aumento del número de individuos que la forman a lo largo de un periodo de tiempo; depende de la natalidad, la mortalidad, la emigración y la inmigración. Este crecimiento está condicionado por las características del ecosistema. El conjunto de factores bióticos y abióticos que limitan el aumento de las poblaciones se denomi-na resistencia ambiental. Una población con recursos ilimitados y espacio suficiente, tendría un crecimiento exponencial. Cuando esto ocurre se dice que hay una explosión poblacional. Al principio este crecimiento es lento, para luego aumentar progresivamente, pudién-dose representar gráficamente mediante una curva de crecimiento en forma de J. Es un crecimiento propio de especies que colonizan por vez primera un ecosistema o bien de aquellas que se mantienen en un laboratorio con recursos alimenticios ilimitados. Sin embargo, lo normal es que en la naturaleza existan limitaciones al crecimiento de una población, desarrollándose este de la siguiente manera: al principio el número de in-dividuos aumenta lenta y progresivamente; confor-me crecen se establece entre ellos una compe-tencia intraespecífica por los recursos disponi-bles, que irán disminu-yendo; es entonces cuan-do el crecimiento de la población se estabiliza y decimos que está en equi-librio. La gráfica que representa este tipo de crecimiento es una curva en forma de S. Cuando una población está en equilibrio, el número de individuos suele fluctuar alrededor del valor máximo, conocido como la capacidad de carga del ecosistema. Estas fluctua-ciones pueden ser irregulares o presentar ciclos periódicos. En todo caso, las interaccio-nes entre diferentes especies influyen sobre el tamaño de sus poblaciones.



10. SUCESIÓN ECOLÓGICA Los ecosistemas cambian a lo largo del tiempo. El proceso de transición ordenada de una comunidad a otra en un ecosistema se denomina sucesión ecológica. Hay dos tipos de sucesiones: primarias y secundarias. Los cambios que se producen en un ecosistema a lo largo del tiempo se denominan su-cesión ecológica. Es un proceso, continuo en el tiempo, en el que se va pasando de una comunidad a otra, con diferentes especies cada una de ellas, hasta que se llega a una formación que se haya en equilibrio con el medio físico y que se denomina comunidad clímax. 10.1. SUCESIÓN PRIMARIA Una sucesión se denomina primaria si se inicia en una zona que nunca ha estado coloni-zada. Por ejemplo, una zona de dunas recién formada. Primero colonizan el lugar las bacterias, hongos, musgos y líquenes, que fijan las dunas. Son especies de gran facilidad de dispersión y rápida multiplicación, que van formando el suelo. Posteriormente van apareciendo hier-bas, primero anuales y después perennes, de crecimiento más lento pero más resistentes. Van enriqueciendo el suelo, en el que existe cada vez más capa de materia orgánica. Aparecen los primeros arbustos que contribuyen a la estabilización de las dunas. Con el paso de los años, la di-versidad va en aumento. Se inicia una colonización de especies arbóreas y abundante fauna. 10.2. SUCESIÓN SECUNDARIA Una sucesión se denomina secundaria si se establece en una zona en la que previamente existía una comunidad que ha sido parcial o totalmente eliminada. Por ejemplo, un bosque que ha sufrido un in-cendio. En un incendio, sólo algunos elementos sub-terráneos y algunas semillas logran sobrevi-vir. Si el suelo no ha sido totalmente destrui-do, se inicia un proceso de regeneración. Durante los primeros años se origina un pastizal formado por plantas herbáceas. En los siguientes 10 o 15 años predominan los arbustos bajos. Los troncos quemados se descomponen y enriquecen el suelo en nutrientes. Las poblaciones anima-



les van en aumento. Posteriormente van apareciendo los grandes arbustos, en unos 30 o 35 años más. La instalación de un bosque con árboles y grandes arbustos tardará 50 ó 60 años más. La mayor protección permite la presencia de mamíferos grandes, pero aún deberá pasar otro medio siglo para que habite el bosque una comunidad con importantes ejemplares. Una sucesión no es solo un incremento en el número de especies, sino la sustitución de una comunidad por otra cada vez más compleja hasta llegar a la comunidad clímax. 11. ACCIÓN HUMANA EN LOS ECOSISTEMAS

No debemos olvidar que el equilibrio de la Tierra es fruto del equilibrio y evolución de los diferentes ecosistemas a lo largo de millones de años. El ser humano también modifica el entorno y su acción ha sido mucho más devastadora provocando alteraciones y deterio-rando el planeta significativamente. El perjuicio del ser humano sobre el planeta se en-cuentra en tres cuestiones básicas:

1ª) El constante crecimiento de la población mundial. La especie hu-mana no cuenta con un depredador que la mantenga equilibrada. Además, los avances técnicos y médicos han favorecido el aumento constante de la población conocido como explosión demográfica.

2ª) El agotamiento de los recursos como consecuencia del aumento de población y de la calidad de vida. El ser humano ha ido abusando de los recursos (naturales y energéticos) sin tener en cuenta su agota-miento, lo que ha provocado el empobreci-miento del suelo, la desaparición de bos-ques y especies, y la reducción de sus re-servas hidrográficas. Los recursos naturales pueden ser:

- renovables, se generan conti-nuadamente y, en consecuencia, no son limitados. Por ejemplo, son recur-sos renovables energía solar, la energía eólica, los que se obtienen de ani-males (lana, cuero…) y de plantas industriales (algodón, lino…), y todos aquellos que pueden estar siempre disponibles, porque proceden de una fuente de abastecimiento inagotable. Pueden ser explotados de manera in-definida siempre que la demanda no sea superior a la capacidad de regene-ración del producto)

- no renovables, son aquellos de origen geológico que tardan en regenerarse miles o millones de años y, por lo tanto, son limitados. Son el suelo, los combustibles fósiles o los minerales, cuya explotación incontrolada puede llevar a su agotamiento.



Los recursos energéticos: la mayor parte de la energía utilizada por los seres vi-vos procede del Sol. Los recursos energéticos también se dividen en dos grandes grupos: no renovables y renovables.

- renovables, son aquellas existentes en el medio natural que fluyen de forma periódica o continua y que el ser humano puede utilizar transformándolas en energías útiles. Se caracterizan por ser inagotables, siempre que el consumo no exceda la capacidad de generarse, y por ser energías no perjudiciales pa-ra el medio ambiente. En este grupo se encuentran la energía eólica, hidráu-lica, fotovoltaica, geotérmica, maremotriz y la que procede de la biomasa.

- no renovables, son las que proceden de materiales formados en lentos pro-cesos geológicos durante millones de años, por lo que su consumo a largo plazo agotará las reservas existentes. Son energías muy contaminantes para el medio, ya que su combustión produce residuos perjudiciales. Entre los re-cursos energéticos no renovables más importantes están el petróleo, el car-bón, el gas natural y el uranio.

3ª) La contaminación es el mayor impacto del ser humano sobre el planeta. Al aumentar su producción también produce más desechos que envenenan el aire, el suelo, el agua y, a la vez, perjudican nuestra salud. Por todo ello, la acción humana ha provocado la ruptura del equilibrio natural y, con ello, la destrucción de muchos hábitats naturales y consecuentemen-te la degradación de nuestro planeta.

11.1. LA CONTAMINACIÓN La civilización humana actual está basada en la produc-ción y la actividad industrial. Como consecuencia de este desarrollo se acumulan grandes cantidades de desechos y sustancias químicas que son vertidas a la biosfera, ya sean al aire, al agua o al suelo, constituyendo la contami-nación del planeta una de las asignaturas pendientes con las que tiene que enfrentarse la humanidad.

Aire. Las sustancias que contaminan nuestro aire son: los humos, ciertos gases y los metales pesa-dos. La mayoría de los humos contaminantes pro-vienen de la combustión del carbón el petróleo o el gas natural utilizados en las industrias. Entre los gases de estas combustiones se libera:

o Dióxido de carbono (CO2), en cantidades excesivas, provocando el efecto invernadero que impide que los rayos infrarrojos sean reflejados hacia el es-pacio, por lo que calienta la atmósfera y, con ella, la Tierra. Este calenta-miento de la atmósfera puede tener efectos desastrosos. Dejando aparte las consecuencias climáticas que pueda llegar a originar, con la consiguiente transformación en los ecosistemas y las cosechas, un aumento de unos po-cos grados en la temperatura de la Tierra podría ocasionar la fusión de los hielos de los casquetes polares, lo que haría que el nivel del mar ascendiera varios metros, inundando las ciudades costeras donde vive la mayor parte de la población mundial.



o Óxidos de azufre y de nitrógeno, que al reaccionar con el vapor de agua atmosférico, caen en forma de lluvia ácida, provocando la contaminación de bosques y ríos.

o También hay que citar la destrucción de la capa de ozono, debida a la

presencia en la estratosfera (25 km de altura) de clorofluorcarbonos (CFC), que son compuestos que se han utilizado en frigoríficos, aparatos de aire acondicionado y botes de aerosoles.

Agua. La contaminación del agua tiene lugar con el vertido de sustancias, como son los productos químicos industriales, los fertilizantes y los plagui-cidas. Otro gran foco de la contaminación del agua lo forman las aguas residuales urbanas, una gran parte de las cuales son vertidas a ríos o litorales sin haber sido depuradas previamente.

Suelo. La contaminación del suelo se produce por el uso de fertilizantes inorgáni-cos y de productos fitosanitarios. Éstos últimos son sustancias químicas llamadas también plaguicidas, que se usan para combatir hongos (fungicidas), insectos (in-secticidas) o malas hierbas (herbicidas) que invaden los cultivos. El DDT, insecticida ampliamente utilizado desde su introducción, por su eficacia contra los mosquitos transmisores del paludismo o la fiebre amarilla, es-tá actualmente prohibido, debido a su acumulación en la cadena trófica, con efectos nocivos en anima-les superiores.



Ruido. La vida actual de los países industrializados está invadida por el ruido, cuyos efec-tos se manifiestan afectando al propio oído y sobre el sistema nervioso. Algunos efectos

sobre la audición son la fatiga auditiva o desplazamiento temporal del umbral de audición y las pérdidas de audición múltiples. Entre los efectos sobre el sistema nervioso, destacan: la irritabilidad, cansancio o pesadillas; la alteración del sistema vegetativo (aumento respiratorio, cardíaco,...), y el bajo rendimiento por falta de concentración.

11.2. LOS PROBLEMAS MEDIOAMBIENTALES El desarrollo científico y tecnológico se asocia muy habitualmente con el deterioro del me-dioambiente. Sin embargo, no debe olvidarse que, precisamente la propia ciencia y la tec-nología ponen a nuestra disposición métodos químico-físicos que permiten reciclar y re-cuperar recursos como las aguas residuales o los residuos sólidos urbanos. Veamos, no obstante, algunos de los aspectos negativos del desarrollo tecnológico de la sociedad: la contaminación química en sus distintos aspectos. La explotación de los recursos naturales, la obtención de energía, la transformación de las materias primas en productos elaborados, su distribución y comercialización conllevan un proceso de vertido de productos químicos al medioambiente. Y esos productos producen contaminación. No todos los vertidos contaminantes han de ser peligrosos para el ecosis-tema. Así, las escombreras no son tóxicas ni dañinas, aunque sí tienen un fuerte impacto visual. Desgraciadamente la mayoría de los vertidos realizados por la industria o en los hogares contienen sustancias que no son inertes, sino muy activas y, en muchos casos, venenosas. Metales pesados, plásticos, detergentes, blanqueantes, y un sin fin de sus-tancias son vertidas sin control al aire que respiramos, a los ríos de los que tomamos el agua para beber o a las playas en las que nos bañamos. Y no sólo los afean, muchos su-ponen un grave riesgo para la flora y la fauna y, directamente o a través de la cadena ali-menticia, para los seres humanos. Las aguas son contaminadas por vertidos industriales, aguas residuales de las poblacio-nes, petróleo procedente de los vertidos accidentales y pesticidas y fertilizantes agrícolas. También el agua caliente procedente de las industrias eléctricas debe ser considerada contaminante, ya que eleva la temperatura del agua natural. Junto a los problemas oca-sionados en la flora y la fauna, la contaminación del agua puede ocasionar graves trastor-nos para la salud. Así, los nitratos, procedentes de los fertilizantes de uso agrícola, pue-den provocar enfermedades mortales en niños y muchos metales pesados ocasionan en-venenamiento crónico, ya que se acumulan en el organismo. Mientras que el agua es con-taminada por cualquier producto químico, el aire se ve afectado por los gases y humos de las industrias, hogares y medios de transporte. En muchas ciudades, la contaminación del aire por los automóviles que circulan, que liberan dióxido de carbono y monóxido de car-bono, puede ocasionar incluso la muerte de ancianos y niños. Además, accidentalmente, las industrias vierten al aire productos altamente peligrosos y nocivos. El empleo de combustibles fósiles, tanto derivados del carbón como del petróleo, vierte a la atmósfera grandes cantidades de dióxido de azufre y de diversos óxidos de nitrógeno que pueden producir el problema de la lluvia ácida, ya que, por acción de la luz solar, estos óxidos se transforman en trióxido de azufre y pentóxido de dinitrógeno que, con el agua presente en la atmósfera, se transforman en ácido sulfúrico y en ácido nítrico. Cuando, arrastrados por el agua de lluvia, caen al suelo estos ácidos, atacan las estructu-ras metálicas y de cemento humanas, produciendo también daños, a veces irreversibles, sobre las hojas y raíces de las plantas sobre las que cae la lluvia.



Junto a las anteriores acciones directas, la lluvia ácida produce la acidificación el suelo y las aguas, impidiendo el desarrollo de las plantas y matando a los animales. No todos los ecosistemas son igual de sensibles frente a la lluvia ácida. Bosques y lagos son los más afectados por la lluvia ácida, sobre todo en zonas que carecen de carbonatos. Pero en cualquier ecosistema el efecto de la lluvia ácida puede llegar a ser impredecible. El efecto invernadero es otro problema causado por la emisión de contaminantes a la atmósfera. Desde la revolución industrial, la quema de combustibles fósiles ha aumentado el vertido de dióxido de carbono a la atmósfera. De forma natural, mediante la fotosínte-sis, las plantas y árboles toman el dióxido de carbono del aire y lo transforman en hidratos de carbono liberando oxígeno en el proceso. Pero, junto con el incremento de las emisio-nes de dióxido de carbono, se ha producido una disminución en las masas forestales del planeta, de forma que las plantas no pueden tomar el dióxido de carbono del aire y éste aumenta su concentración.

El dióxido de carbono es causante del llamado efecto invernadero. La Tierra recibe su calor del Sol y, parte de él, lo emite al espacio exterior, en forma de radiación infrarroja. El dióxido de car-bono impide que esa radiación infrarroja escape al espacio, por lo que calienta la atmósfera y, con ella, la Tierra. Este calentamiento de la atmósfe-ra puede tener efectos desastrosos. Dejando aparte las consecuencias climáticas que pueda llegar a originar, con la consiguiente trans-formación en los ecosistemas y las cosechas, un aumento de unos pocos grados en la temperatu-ra de la Tierra podría ocasionar la fusión de los hielos de los casquetes polares, lo que haría que

el nivel del mar ascendiera varios metros, inundando las ciudades costeras donde vive la mayor parte de la población mundial. La capa de ozono es una región de la atmósfera, situada entre los 19 y los 48 km por encima de la superficie de la Tierra que contiene una proporción de 10 partes por millón (10ppm, es decir, en mil litros, hay un mililitro) de ozono. A nivel del suelo, esta concen-tración de ozono es peligrosa para la salud, pero a la altura a la que se encuentra es in-

dispensable para la vida en la Tierra. El Sol produce luz y radiación ultravioleta, que es la responsable del bronceado y de las quemaduras cuando, en ve-rano, nos exponemos al Sol. El ozono de la atmós-fera se encarga de absorber la radiación ultravioleta más peligrosa. Sin la capa de ozono, las peligrosas radiaciones ultravioletas llegarían en su totalidad al nivel del suelo, aumentando las enfermedades cu-táneas y los cánceres. A finales de los años 70 se descubrió que la capa de ozono estaba desapare-ciendo sobre la Antártida, lo que se conoce como agujero de ozono. Se cree que, entre otros motivos, es debido a la presencia de compuestos clorofluor-

carbonados, sustancias que se emplean como refrigerantes en neveras y aparatos de aire acondicionado y como propelentes en sprays. Liberados a la atmósfera destruyen el ozono, convirtiéndolo en oxígeno normal que no detiene los rayos ultravioletas.



Nuevas investigaciones han detectado el ‘agujero en la capa de ozono’ también sobre el ártico, los países escandinavos y Norteamérica. Su evolución es incierta, ya que podría responder a variaciones cíclicas en las que podrían estar implicados muchos otros facto-res. El petróleo, carbón y la materia orgánica acumulados en el suelo son resultado de épocas en las que se ha devuelto menos CO2 a la atmósfera del que se tomaba. Así apareció el O2 en la atmósfera. Si hoy consumiéramos todos los combustibles fósiles almacenados, el O2 desaparecería de la atmósfera. El ritmo creciente al que estamos devolviendo CO2 a la atmósfera, por la actividad humana, es motivo de preocupación para el medioambiente y el cambio climático. El Carbono es un elemento fundamental en la constitución de la materia orgánica y está sometido a un reciclado constante cuyo punto central es el dióxido de carbono (CO2). El aire atmosférico contiene sobre un 0.032% de CO2; en el mar hay una cantidad unas 50 veces mayor, generalmente en forma de bicarbonato, siendo el intercambio con la atmós-fera escaso. Todos los seres vivos participan de una forma u otra en el ciclo del carbono. Los vegeta-les capacitados para la fotosíntesis y para la quimiosíntesis, pueden sintetizar la materia orgánica reduciendo el CO2 (eliminando su oxigeno). Sin embargo, los animales, las pro-pias plantas y, en general, los seres vivos heterótrofos degradan esta materia orgánica por oxidación y producen CO2. Su presencia es pues indispensable para la vida, tanto en ecosistemas terrestres como en los acuáticos, y está garantizada por la constancia del ciclo del Carbono. La proporción de microorganismos que intervienen en el ciclo del Carbono es mayor en agua que en tierra; allí la producción de materia orgánica corre a cuenta de las algas y

cianofíceas unicelulares del fitoplancton y su degradación es llevada a cabo por eu-bacterias. El ciclo del Carbono consta de dos fases: asimilación (síntesis de la materia orgá-nica y formación de compuestos carbo-nados) y desasimilación (degradación de estas sustancias en la respiración de animales y plantas heterótrofos). El oxígeno disuelto en el agua tiene gran importancia en el ciclo del Carbono. Su presencia en forma molecular permite que

éste se desarrolle a la mayor velocidad posible. Su ausencia determina la utilización de respiración anaerobia y por lo tanto la necesidad de oxígeno combinado en forma de nitra-tos, nitritos o sulfatos. Este sistema es mucho menos eficaz ya que se acumulan muchos productos intermedios y sólo una parte de la sustancia orgánica presente se degrada has-ta CO2. A este respecto hay que tener en cuenta que algunas sustancias orgánicas naturales son inalterables en condiciones anaerobias ya que los microorganismos no pueden recurrir a la respiración intramolecular. Sería el caso de algunos hidrocarburos (que no contienen ninguna molécula de oxígeno) o de ácidos grasos superiores, carotenoides, porfirinas, etc. El ciclo del Carbono en las aguas depende también de otros factores como, por ejemplo, la presencia de compuestos de nitrógeno y fósforo.



11.3. IMPACTO AMBIENTAL EN CASTILLA LA MANCHA Pese al buen estado general del medio ambiente en Castilla La Mancha, la actividad hu-mana, de manera directa o indirecta, genera afecciones con distinto grado de incidencia y alcance sobre el medio natural, por lo que es necesario alcanzar un grado de desarrollo económico que no comprometa la conservación de los valores ambientales ni la renova-ción de los recursos naturales, lo que se define conceptualmente como desarrollo soste-nible. Nuestra región, ajena a los grandes procesos industrializadores de los años 60, ha escapado a los problemas ambientales generados por ese desarrollismo, si bien cabe mencionar el impacto generado por otras actividades como:

La inadecuada gestión de la biodiversidad y los siste-mas naturales, destacando la introducción de especies alóctonas, siendo el caso más conocido el del camalote o jacinto de agua, una planta invasora originaria de Suda-mérica, muy expansiva frente a la vegetación autóctona y que altera la dinámica biológica del medio fluvial.

La desaparición del bosque mediterráneo con la trans-formación de terrenos para la agricultura, la tala y espe-cialmente los incendios, facilitando la erosión del suelo y con ello, la desertización, comprometiendo la riqueza eco-nómica y ambiental del territorio.

La expansión y crecimiento de algunas ciudades y de las urbanizaciones que modifican las características natu-rales del paisaje, además de crear problemas de acumula-ción y eliminación de residuos.

Los usos que conllevan un consumo de agua excesivo, frente a la gestión ra-cional y de mayor eficiencia, dado el contexto de déficit hídrico y sequías en que nuestro clima se inscribe, debiendo priorizarse el ahorro, la depuración y reutiliza-ción del agua, sin olvidar la mejora de las redes de distribución, tanto para abaste-cimiento humano como para regadíos.

Estas actuaciones despreocupadas por nuestro entorno han conseguido poner en peligro nuestra riqueza natural, amenazando a la extremadamente diversa flora y fauna. 11.4. ESPECIES ENDÉMICAS Y EN PELIGRO DE EXTINCIÓN La riqueza de especies que existe en un ecosistema se denomina biodiversidad, inclu-yendo la variedad genética de los individuos de la propia especie. En nuestra región se encuentran un alto número de especies amenazadas y en protegidas.

La abundancia de especies autóctonas va mermando su espacio natural por la acción humana, el empobrecimiento del terreno o los cambios climáticos que se están dan-do en el planeta. En Castilla La Mancha aún podemos



encontrar especies cuya conservación está muy amenazada a nivel mundial. En cuanto a las especies en peligro de extinción, su supervivencia depende sólo de las medidas que adoptemos y del esfuerzo humano por conservarlas. Algunas de estas es-pecies todavía perviven por los campos y bosques de Castilla La Mancha, como son el águila imperial ibérica, la cigüeña negra o el lince ibérico.

11.5. ESPACIOS NATURALES PROTEGIDOS EN CASTILLA LA MANCHA

Castilla-La Mancha es una región diversa y rica en espacios naturales. Podemos encon-trar bosques, dehesas, cañones, humedales, hoces... Es una de las zonas de Europa con mayor número de Espacios Protegidos, actualmente cuenta con una superficie superior a 320.000 hectáreas. La diferencia entre los distintos tipos de espacios naturales puede ser la gestión que se realiza de ellos, esto es, se clasifican en función de la administración que los gestiona, o por el grado de protección que tienen. Las diferencias son fundamentalmente administrativas, aunque con algún matiz: • Parque Natural: su gestión depende de cada comunidad autónoma (Consejería de

Medio Ambiente correspondiente). • Parque Nacional: básicamente es igual que el anterior tipo de especio natural, aun-

que en principio los parques nacionales están menos transformados aún por la mano del hombre, y su singularidad debe ser de interés general para la Nación por ser re-presentativo de los principales sistemas naturales españoles. En la actualidad hay en España 13 parques nacionales. a. Parques Nacionales en Castilla La Mancha:

- Cabañeros: situado en los Montes de Toledo, al noroeste de la provincia de Ciudad Real, ocupando una zona del suroeste de la provincia de Toledo.

- Tablas de Daimiel: situada geográficamente en el centro mismo de la Mancha, en la provincia de Ciudad Real.

b. Parques Naturales en Castilla La Mancha: - Alto Tajo: en el Sistema Ibérico, entre la parte sur oriental de la provincia de

Guadalajara y la nororiental de la provincia de Cuenca. - Hayedo de Tejera Negra: se encuentra en el rincón noroccidental de la provin-

cia de Guadalajara, en el extremo oriental del Sistema Central. - Los Calares del Río Mundo y de la Sima: en Sierra de Alcaraz, al suroeste de

la provincia de Albacete. - Barranco del Río Dulce: en la zona norte de la provincia de Guadalajara, for-

mando parte de las estribaciones más occidentales del Sistema Ibérico. - Lagunas de Ruidera: las lagunas se localizan en las provincias de Ciudad Real

y Albacete, en el Campo de Montiel, sobre el curso alto del Guadiana. - Serranía de Cuenca: al noroeste de la provincia de Cuenca, limitando al norte

con Guadalajara y al este con Valencia. Consta de: Serranía Alta, Serranía Baja y Campichuelo, con similares características.

TEMA 4: LAS FUERZAS Y SUS APLICACIONES MÓDULO TRES


1. LAS FUERZAS 1.1. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUERZAS 1.2. COMPOSICIÓN DE FUERZAS 1.3. LEYES DE LA DINÁMICA 1.4. EQUILIBRIO DE FUERZAS

2. PRESIÓN 2.1. PRINCIPIO DE PASCAL 2.2. PRESIÓN ATMOSFÉRICA

3. ESTRUCTURAS 3.1. TIPOS DE ESTRUCTURAS 3.2. ESFUERZOS QUE SOPORTAN LAS ESTRUCTURAS 3.3. PRINCIPALES ELEMENTOS DE LAS ESTRUCTURAS 3.4. ESTRUCTURAS TRIANGULARES

4. MÁQUINAS 4.1. LA RUEDA 4.2. LA BIELA 4.3. LAS PALANCAS

1. LAS FUERZAS Normalmente solemos asociar el concepto de fuerza a los movimientos y a lo que es pre-ciso aportar para sujetar, deformar, romper o transportar objetos de un sitio a otro. Aun-que estas nociones suelen ser correctas, conviene precisar lo que son las fuerzas, qué efectos producen y cómo se representan, si bien en este tema nos centraremos en el es-tudio de las aplicaciones técnicas del uso de las fuerzas: presión ejercida por fuerzas, es-tructuras y máquinas. La presión se aprovecha en dispositivos hidráulicos, como elevadores o prensas, cuando más que la fuerza, lo importante es cómo se distribuye a lo largo de una superficie. Las estructuras aprovechan la consecución del equilibrio entre fuerzas para así poder cons-truir edificios, puentes y muchos útiles de aplicación diaria. Las máquinas aprovechan las leyes de la dinámica para conseguir una mejor eficacia en el uso de las fuerzas. 1.1. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUERZAS Intuitivamente aceptamos que una fuerza es una propiedad o magnitud dirigida, ya que la experiencia nos demuestra, por ejemplo, que para arrastrar un mueble entre dos perso-nas, es preferible que empujen hacia el mismo lado que hacia lados diferentes; tienen que “unir sus fuerzas”. Precisamente por esto se dice que las fuerzas y otras magnitudes que necesitan una orientación, además de una intensidad, son magnitudes vectoriales. Las fuerzas se designan mediante una letra con una flechita encima (por ejemplo, la fuer-za F�

) y se representan mediante segmentos en forma de flecha llamados vectores, cu-yos elementos son los siguientes:

a) Origen o punto de aplicación. b) Dirección: es la recta sobre la que se encuen-tra el vector. Suele darse mediante un ángulo. c) Sentido: lo marca la flecha del vector; en una misma dirección puede haber dos sentidos (opuestos). d) Módulo o intensidad. Siempre es un número positivo que equivale a la longitud del vector. Para

una fuerza F�

, su módulo se representa como F�

aunque, por comodidad, suele representarse sen-

MÓDULO TRES TEMA 4: LAS FUERZAS Y SUS APLICACIONES


cillamente como F (el nombre de la fuerza, sin flechita encima). Cuando sujetamos un libro, empujamos una puerta, andamos, estiramos un muelle o pe-daleamos en la bicicleta, estamos realizando fuerzas. Como vemos, las fuerzas están presentes en nuestras vidas de forma habitual. Algunas, como las anteriores, son de con-tacto y otras son a distancia (como el peso de los cuerpos o las atracciones eléctricas). Por tanto, pueden manifestarse de distintas formas y tener orígenes diferentes, pero to-das ellas admiten esta definición:

“Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme de un cuerpo, o de causar a éste una deformación”.

Al analizar la anterior definición, vemos que las fuerzas son la consecuencia de que dos cuerpos interactúen entre sí, de modo que los efectos de la interacción pueden ser los siguientes:

a) Que se doble, deforme o rompa un cuerpo. Es lo que ocurre al estirar un muelle o cuando una viga de hierro se arquea por el peso que soporta.

b) Que el cuerpo pase de estar en reposo a moverse, o viceversa. c) Que el cuerpo no se mueva en línea recta ni a ritmo constante. Aunque parezca ex-

traño, esto significa que puede haber movimiento sin necesidad de tener que apli-car ninguna fuerza.

Independientemente de lo anterior, dado el carácter vectorial de las fuerzas, a veces ocu-rre que, aunque estén actuando varias, se anulan entre sí y no apreciamos ninguno de los efectos anteriores. Estas situaciones se denominan de estática y su estudio es muy im-portante, ya que permite diseñar edificios, puentes o barcos, de modo que estén equili-brados y sean estables. De igual modo que otras magnitudes físicas, las fuerzas pueden medirse comparándolas con una fuerza de referencia (llamada ‘unidad de fuerza’). Así, si nuestra unidad de fuerza (que podría ser, por ejemplo, el peso de una manzana) alarga a un muelle 5 centímetros y observamos que otra fuerza lo alarga 15 centímetros, entonces podríamos afirmar que

esta fuerza es 3 veces mayor que nuestra fuerza de referencia ( 35:15 = ) ; si a la intensidad de nuestra unidad de fuerza la llama-mos u, la nueva fuerza tendría una intensidad 3 u. Pero, si cada uno de nosotros eligiéramos la unidad de fuerza que se nos antoje, sería muy difícil entendernos. Para ello, los científicos se han puesto de acuerdo y han elegido el newton (N) como unidad de fuerza del llamado Sistema Internacional de Unidades (S.I). Esta unidad, cuyo nombre hace honor al científico inglés Isaac Newton, se define como la fuerza que es necesario realizar sobre un cuerpo de 1 kilogramo de masa para producirle una aceleración de 1 m/s2. Otras unidades de fuerza muy habituales son la dina (1 N = 100.000 din) y el kilogramo-fuerza (o kilopondio,1 kp =1 kgf = 9,8 N). Para medir fuerzas suelen utilizarse aparatos llamados dinamóme-tros, basados precisamente en el alargamiento de un muelle cuan-do sobre él actúa una fuerza.

1.2. COMPOSICIÓN DE FUERZAS Cuando dos o más fuerzas actúan sobre un mismo cuerpo, el resultado es el mismo que si se aplicara una fuerza, llamada fuerza resultante, que puede considerarse como la suma de todas ellas. A diferencia de la suma de los números, al sumar fuerzas no basta



con conocer su intensidad, ya que la experiencia nos demuestra que, según sea su direc-ción y su sentido, el resultado de la suma de dos fuerzas será diferente. Podemos ver en primer lugar la composición o suma de dos fuerzas; cuando haya más de dos, se va obteniendo una resultante de cada dos fuerzas, que a su vez se compone con otra de las que queden, hasta obtener la resultante de todas ellas. Al sumar dos fuerzas pueden darse tres casos:

a) Fuerzas de la misma dirección y el mismo sentido: El resultado es otra fuerza con la misma dirección y senti-do, cuyo módulo es la suma de los módulos, 21 FFFR += b) Fuerzas de la misma dirección, pero sentidos contrarios: El resultado es una fuerza de la misma dirección, cuyo sentido es el de la fuerza de mayor módulo, siendo su módulo la diferencia entre los módulos de ambas fuerzas, 21 FFFR −= c) Fuerzas de direcciones diferentes: En este caso, la resultante corresponde a la diagonal del pa-ralelogramo que puede obtenerse al trazar desde el extremo de cada fuerza una recta paralela a la otra fuerza. El módulo de la resultante puede obtenerse midiendo la longitud de la diagonal de dicho paralelogramo. Si ambas fuerzas son per-pendiculares, el módulo de la resultante puede calcularse

mediante el teorema de Pitágoras, 2

2

2

1 FFFR += Ejemplo: obtener la resultante de las fuerzas 1F

�

y 2F�

, cuyos módulos son NF 41 = y NF 32 = , en los siguientes casos:

a) Si ambas tienen la misma dirección y sentido: La resultante tiene la misma dirección y sentido que 1F

�

y 2F�

, y su módulo es NNFFFR 73421 =+=+=

b) Si ambas tienen la misma dirección y sentidos opuestos: la resultante tiene la mis-ma dirección; el sentido es el de 1F

�

y su módulo es NNFFFR 13421 =−=−=

c) Si son perpendiculares: la resultante es la diagonal del rectángulo que forman 1F�

y

2F�

, y su módulo es NNNFFFR 52534 222

2

2

1 ==+=+=



1.3. LEYES DE LA DINÁMICA Constituyen la base para el estudio de las fuerzas. Fueron enunciadas por primera vez en 1687 por el científico y matemático inglés Isaac Newton en su obra “Principios matemáticos de filosofía natural”, en la que, partiendo de los conocimientos y hallazgos de la época referidos al movimiento de los cuerpos, expuso sus descubrimientos de mecáni-ca y cálculo matemático. Las leyes o principios de la dinámica son tres y pueden resumirse así:

Primera ley (principio de inercia): todo cuerpo permanece en estado reposo o con movimiento rectilíneo y uniforme, si sobre él no actúa ninguna fuerza.

Segunda ley (ecuación fundamental de la dinámica): la relación entre la fuerza que se aplica a un cuerpo y la aceleración que experimenta es una constante lla-mada masa inercial, de modo que a más fuerza, más aceleración:

ma

F

a

F

a

F

n

n ==== ...2

2

1

1 , es decir, amF ⋅= , donde:

F : fuerza que se aplica al cuerpo a : aceleración, que indica el ritmo o tasa con la que aumenta o disminuye la velocidad de un móvil en función del tiempo. m : masa del cuerpo que recibe la acción de la fuerza, que es una medida de la inercia o tendencia a no cambiar el estado de reposo o movimiento del cuerpo. A partir de la ecuación anterior puede definirse ya la unidad de fuerza, que en el Sistema Internacional se llama newton (N) y corresponde a la fuerza que causa una aceleración de 1 m/s2 al actuar sobre un cuerpo de 1 kg de masa, por lo que 1 N = 1 kg·m/s2.

Tercera ley (principio de acción y reacción): si un cuerpo " A " ejerce una fuerza sobre otro " B ", éste ejerce sobre el primero otra fuerza de la misma dirección y módulo, pero de sentido contrario.

1.4. EQUILIBRIO DE FUERZAS

Se dice que un cuerpo está en equilibrio cuando no tiene ningún tipo de aceleración, pudiendo estar, por tanto, en reposo o con movimiento rectilíneo y uniforme. Para que esto ocurra, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en equilibrio tiene que ser nula, es decir: 054321

��

=++++ FFFFF



2. PRESIÓN Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca de-penden no sólo de su intensidad, sino también de cómo está repartida sobre la superficie del cuerpo. Así un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que penetre más en la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo impacto. Un indivi-duo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde, en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre una mayor superficie, puede caminar sin dificultad. La presión representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie considerada. Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, ma-yor será entonces la presión resultante.

La presión ejercida por una fuerza sobre la superficie de un cuerpo es el cociente entre la intensidad de la fuerza aplicada perpendicularmente en dicha superficie dada y el área de la misma.

S

FP =

La unidad de presión en el Sistema Internacional es el pascal: 1 pascal (Pa) = 1 N/m2 Ejemplo: ¿Qué presión ejercerá una fuerza de 400 N sobre una superficie cuadrada de 50 cm de lado?

mcm 5,050 = ; 22 25,05,05,0 mmS =×= ; PamNP 1600/25,0

400 2 ==

2.1. PRINCIPIO DE PASCAL El físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) demostró a partir de observa-ciones y experimentos que la presión ejercida en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo. Esta propiedad se considera el principio funda-mental de la estática de fluidos y significa que, si se aumenta la presión en la superficie libre de un recipiente que contiene agua, la presión en el fon-do ha de aumentar en la misma medida. La prensa hidráulica constituye una da las princi-pales aplicaciones del principio de Pascal y, ade-más, permite entender mejor su significado. Con-siste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferen-tes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto



con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1, la presión P1 que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido. Por tanto, será igual a la presión P2 que ejer-ce el líquido sobre el émbolo de mayor sección S2, es decir:

2

2

1

1

21 S

F

S

FPP ==

Por tanto, 1

2

1

2

F

F

S

S= , lo que significa que si, por ejemplo, la sección 2S es veinte veces ma-

yor que la 1S , la fuerza 1F aplicada sobre el émbolo pequeño se ve multiplicada por veinte en el émbolo grande. La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial. Ejemplo: en una prensa hidráulica ejercemos una fuerza de 15 N sobre una superficie de 20 dm2. Si la superficie del segundo émbolo es de 80 dm2 ¿Qué fuerza se transmitirá al segundo émbolo? 20 dm2 = 0’2 m2 80 dm2 = 0’8 m2 NNF

F60

2,0

8,015

8,02,0

152

2 =×==

Efectivamente, a una superficie cuatro veces mayor, 42,0

8,0

1

2 ==S

S, corresponde una fuerza

transmitida en esta misma proporción: 415

60

1

2 ==F

F

Una aplicación muy común de este principio son los elevadores hidráulicos de los garajes. 2.2. PRESIÓN ATMOSFÉRICA La atmósfera, que es la capa de aire que rodea a la Tierra, ejerce, como cualquier otro fluido, una presión sobre los cuerpos que están en su interior. Esta presión, llamada pre-sión atmosférica, es debida al movimiento de las moléculas del aire y a las fuerzas de atracción entre la Tierra y la masa de aire. Equivale al peso de la columna de aire que se encuentra sobre noso-tros, siendo su valor de 1,033 kg por cada centímetro cuadrado que, expresado en unidades del Sistema Inter-nacional, es 101.300 pascales. Otras unidades de presión muy utilizadas son la atmósfe-ra (atm) y el milímetro de mercurio (mmHg): 1 atm = 760 mmHg = 101.300 Pa Evangelista Torricelli (1608-1647) midió por primera vez (1643) la presión atmosférica. Para ello empleó un tubo de un metro de longitud, abierto por un extremo, y lo llenó de mercurio. Dispuso una cubeta, también con mercurio, y volcó cuidadosamente el tubo introduciendo el extremo abierto en el líquido, hasta colocarlo verticalmente. Com-probó entonces que el mercurio bajó hasta una altura de 760 mm sobre el líquido de la cubeta. Puesto que el ex-perimento se hizo al nivel del mar, decimos que la pre-



sión atmosférica normal es de 760 mm de Hg. Esta unidad se llama atmósfera y esta es la razón de las equivalencias anteriores. Hay que tener en cuenta que la presión atmosférica no es constante ni a lo largo del tiem-po (puede variar al cambiar la temperatura o la humedad del aire) ni en el espacio (es mayor a nivel del mar que en una montaña, por ejemplo). La presión atmosférica se mide con instrumen-tos denominados barómetros. El más sencillo es el barómetro de cubeta, basado en el expe-rimento de Torricelli que acabamos de estudiar. Otro barómetro es el aneroide, consistente en una cápsula hueca que tiene una de sus pare-des formadas por una membrana elástica y en cuyo interior se ha hecho parcialmente el vacío. Cuando la presión atmosférica varía, la mem-brana se dilata o contrae. En esta membrana se fija una aguja, que marca los ascensos y des-censos de la membrana en una escala gradua-da. 3. ESTRUCTURAS Se da este nombre a toda construcción destinada a soportar su propio peso y la presencia de acciones exteriores (fuerzas) sin perder las condiciones de funcionalidad para las que fue concebida ésta. Cada estructura tiene una finalidad determinada, para la que ha sido pensada, diseñada y finalmente construida, siendo estas sus principales aplicaciones:

a) Soportar peso: se engloban en este apartado aquellas estructuras cuyo fin princi-pal es el de sostener cualquier otro elemento. Son los pilares, las vigas, estante-rías, torres, patas de una mesa, etc.

b) Salvar distancias: su principal función es la de esquivar un objeto, permitir el paso por una zona peligrosa o difícil, son los puentes, las grúas, teleféricos, etc.

c) Proteger objetos: cuando son almacenados o transportados, como las cajas de embalajes, los cartones de huevos, cascos, etc.

d) Para dar rigidez a un elemento: se usan cuando se pretende proteger es el propio objeto, y no otro al que envuelve, por ejemplo en las puertas no macizas el enreja-do interior, los cartones, los cristales reforzados con estructuras metálicas, etc.



3.1. TIPOS DE ESTRUCTURAS Las estructuras pueden clasificarse de diferentes formas, atendiendo a distintos criterios:

a) Por su origen, las estructuras pueden ser naturales y artificiales. • Naturales, como el esqueleto, el tronco de un árbol, los corales marinos, las estalagmitas y estalactitas, etc. • Artificiales, es decir, todas aquellas que ha construido el hombre.

b) Por su movilidad, las estructuras pueden ser móviles o fijas. • Móviles, es decir, las que se pueden desplazar, que son articuladas, como puede ser el esqueleto, un puente levadizo, una bisagra, una biela, una rue-da, la estructura que sustenta un coche de caballos o un motor de combus-tión. • Fijas, que son las que no pueden sufrir desplazamientos o estos son mí-nimos. Son, por ejemplo, los pilares, torretas, vigas, puentes.

3.2. ESFUERZOS QUE SOPORTAN LAS ESTRUCTURAS Al construir una estructura se necesita tanto un diseño adecuado como unos elementos que sean capaces de soportar las fuerzas, cargas y acciones a las que va a estar someti-da. Los tipos de esfuerzos que deben soportar los diferentes elementos de las estructuras pueden ser de tracción, compresión, cizalla, flexión o torsión:

Tracción: hace que se separen entre sí las distintas partículas que componen una

pieza, tendiendo a alargarla. Por ejemplo, cuando se cuelga de una cadena una lám-para, la cadena queda sometida a un esfuerzo de tracción, tendiendo a aumentar su longitud.

Compresión: hace que se aproximen las diferentes partículas de un material, tendien-do a producir acortamientos o aplastamientos. Cuando nos sentamos en una silla, so-metemos a las patas a un esfuerzo de compresión, con lo que tiende a disminuir su al-tura.

Cizalla o cortadura: se produce cuando se aplican fuerzas perpendiculares a la pieza, haciendo que las partículas del material tiendan a resbalar o desplazarse las unas so-bre las otras. Al cortar con unas tijeras un papel estamos provocando que unas partí-



culas tiendan a deslizarse sobre otras. Los puntos sobre los que apoyan las vigas es-tán sometidos a esfuerzo de cizalla.

Flexión: es una combinación de compresión y de tracción. Mientras que las fibras su-periores de la pieza sometida a un esfuerzo de flexión se alargan, las inferiores se acortan, o viceversa. Al saltar en la tabla del trampolín de una piscina, la tabla se fle-xiona. También se flexiona un panel de una estantería cuando se carga de libros o la barra donde se cuelgan las perchas en los armarios.

Torsión: las fuerzas de torsión son las que hacen que una pieza tienda a retorcerse sobre su eje central. Están sometidos a esfuerzos de torsión los ejes, las manivelas y los cigüeñales.

3.3. PRINCIPALES ELEMENTOS DE LAS ESTRUCTURAS

Pilares, postes y columnas: son barras apoyadas verticalmente, que sirven para so-

portar cargas o el peso de otras partes de la estructura. Los principales esfuerzos a los que están sometidas son los de compresión y pandeo. Pueden estar construidos con materiales muy variados, como madera, hormigón armado, acero, ladrillos, mármol, etc. Tienen formas geométricas regulares (sección cuadrada o rectangular), aunque las columnas suelen ser de sección circular.

Vigas y viguetas: son piezas o barras horizontales, con una determinada forma en función del esfuerzo que soporten. Forman parte de los forjados de las construcciones. Están sometidas a esfuerzos de flexión.

Forjado: es la estructura horizontal (o con una pequeña inclinación), formada por el conjunto vigas, viguetas, bovedillas, hormigón y solería, que nos sirve de techo (si hay una planta superior), y de suelo.

Cimientos: es el elemento encargado de soportar y repartir en la tierra todo el peso de la estructura, impidiendo que ésta sufra movimientos importantes. Normalmente sopor-ta esfuerzos de compresión. Los materiales de los que se compone son hormigón armado, hierro, acero, etc. Las cimentaciones pueden ser de muchos tipos (planas, profundas, con pilotes...) y tienen partes diferenciadas (zapatas, pozos, pilotes, banca-das,...), que no veremos aquí.

Tirantes: son elementos constructivos sometidos principalmente a esfuerzos de trac-ción. Según las aplicaciones, reciben también nombres como riostra, cable, tornapun-ta o tensor. Pueden estar hechos con materiales diversos, como cuerdas, cables de acero, cadenas, listones de madera...

Arcos: son elementos muy empleados en las estructuras para dar solidez (y salvar distancias).



3.4. ESTRUCTURAS TRIANGULARES Existen muchas estructuras que están formadas a base de triángulos unidos entre sí. Este tipo de estructuras, que adquieren una gran rigidez, tienen infinidad de aplicaciones. El triángulo es el único polígono que no se deforma cuando actúa sobre él una fuerza. Al aplicar una fuerza de compresión sobre uno cualquiera de los vértices de un triángulo formado por tres vigas, automáticamente las dos vigas que parten de dicho vértice que-

dan sometidas a dicha fuerza de compresión, mientras que la tercera quedará sometida a un esfuerzo de tracción. Cual-quier otra forma geométrica que adopten los elementos de una estructura no será rígida o estable hasta que no se trian-gule.

En este sentido, podemos observar có-mo las estanterías metálicas desmonta-bles llevan para su ensamblado unas escuadras o triángulos, que servirá como elemento estabilizador al atornillarse en los vértices correspondientes. Análogamente, en los andamios de la construcción se utilizan tirantes en forma de aspa, que triangulan la estructura global y le confieren rigidez. A continuación puedes observar cómo se pueden convertir en estructuras rígidas un cua-drado y un pentágono:

A base de triangulación se han conseguido vigas de una gran longitud y resistencia, que se llaman vigas reticuladas o arrios-tradas; se emplean profusamente en la construcción de grandes edificaciones que necesitan am-plias zonas voladas y sin pilares, así como en la de puentes de una gran luz. Estos triángulos se denominan cerchas.



Sin duda la estructura reticulada más famosa del mundo es la torre Eiffel, proyectada por el ingeniero civil francés Alexandre Gustave Eiffel para la Exposición Universal de París de 1889. El edificio, sin su moderna antena de tele-comunicaciones, mide unos 300 m de altura. La base con-siste en cuatro enormes arcos que descansan sobre cua-tro pilares situados en los vértices de un rectángulo. A medida que la torre se eleva, los pilares se giran hacia el interior, hasta unirse en un solo elemento articulado. Cuenta con escaleras y ascensores (elevadores), y en su recorrido se alzan tres plataformas a distintos niveles, ca-da una con un mirador, y la primera, además, con un res-taurante. Para su construcción se emplearon unas 6.300 toneladas de hierro. Cerca del extremo de la torre se si-túan una estación meteorológica, una estación de radio, una antena de transmisión para la televisión y unas habi-taciones en las que vivió el propio Eiffel. 4. MÁQUINAS Las máquinas son dispositivos que aprovechan las fuerzas para conseguir cambiar su dirección, intensidad o el efecto que produce con el objeto de realizar un trabajo mecáni-co, teniendo en cuenta que ha de cumplirse en ellas el principio de conservación de la energía: “la energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma”. En muchas ocasiones es preciso transmitir el movimiento de unos elementos a otros para poder conseguir una finalidad. Esto se observa sobre todo en máquinas en las que se emplea una fuerza inicial para transformarla en movimiento y transmitir ese movimiento a otros elementos, consiguiendo el efecto deseado. Ejemplos muy habituales de este tipo de máquinas son la bicicleta, el automóvil o los ascensores. Las principales máquinas simples son la palanca, la polea y el plano inclinado, aun-que también pueden considerarse máquinas simples algunos elementos de transmisión o transformación de movimientos, como la rueda y la biela. Los operadores mecánicos son los elementos de transmisión y transformación del mo-vimiento. Los principales son la rueda, la biela y las palancas. 4.1. LA RUEDA La rueda es un disco con un orificio central por el que penetra un eje que le guía en el movimiento y le sirve de sustento. La parte operativa de la rueda es la periferia del disco, que se recubre con materiales o terminaciones de diversos tipos con el fin de adaptarla a la utilidad correspondiente. Algunas de las ruedas más empleadas son: Rueda dentada, empleada principalmente para la transmisión del movimiento giratorio

entre ejes. Rueda de transporte, empleada para reducir el rozamiento con el suelo. De ellas, las

de cámara de aire son de las más utilizadas. Polea, muy empleada tanto para la transmisión de movimientos como para la reduc-

ción del esfuerzo al elevar o mover pesos. Turbinas (rueda de palas), empleadas para la obtención de un movimiento giratorio a

partir del movimiento de un fluido (agua, aire, aceite...)



De las ruedas anteriores, las más empleadas para transmitir movimiento son las ruedas dentadas y las poleas. En ambas se establece la denominada relación de transmisión (i) del sistema, que es una proporción entre el número de dientes (ruedas dentadas) o el diámetro (poleas) que nos facilita el cálculo del número de vueltas que dará el elemento arrastrado en función de las que dé el elemento motor.

Ruedas dentadas Poleas

2

1

N

Ni =

2

1

D

Di =

N1: número de dientes de la rueda motor N2: número de dientes de la rueda arrastrada

D1: diámetro de la polea motor D2: diámetro de la polea arrastrada

Para que el recorrido en los elementos de transmisión sea el mismo, la relación entre las

velocidades de giro es la inversa que la relación de transmisión: i=1

2

ωω

Ejemplo 1: Tenemos un conjunto de dos poleas, teniendo la polea motor 25 cm de diáme-tro y la arrastrada 12’5 cm. Si la motor da 140 rpm (vueltas o revoluciones por minuto), ¿Cuántas dará la arrastrada?

;25,12

25

2

1 ===D

Di rpmrpmii 280140212

1

2 =×=⋅== ωωωω

Ejemplo 2: Una rueda dentada de 120 dientes que lleva una velocidad de 200 rpm, arras-tra a otra, de modo que entre ellas la relación de transmisión es 0,75.

a) ¿Cuántos dientes tendrá la rueda arrastrada? b) ¿Cuántas rpm dará la arrastrada?

El número de dientes de la rueda arrastrada se obtiene a partir de la relación de transmi-

sión: dientesNN

16075,0

12012075,0 2

2

===

La velocidad de la rueda arrastrada puede obtenerse sabiendo que la relación de veloci-dades está en relación inversa a la de transmisión:

rpmrpmii 15020075,012

1

2 =×=⋅== ωωωω



4.2. LA BIELA Consiste en una barra rígida diseñada para establecer uniones articuladas en sus extre-mos. Permite la unión de dos operadores transformando el movimiento rotativo de uno (manivela, excéntrica, cigüeñal ...) en el lineal alternativo del otro (émbolo ...), o viceversa. Desde el punto de vista técnico se distinguen tres partes básicas: cabeza, pie y cuerpo. • La cabeza de biela es el extremo que realiza el movimiento rotativo. Está unida mediante una articulación a un operador excéntrico (excéntrica, manivela, cigüeñal ...) dotado de movimiento giratorio. • El pie de biela es el extremo que realiza el movimiento alternativo . El hecho de que sue-la estar unida a otros elementos (normalmente un émbolo ) hace que también necesite de un sistema de unión articulado. • El cuerpo de biela es la parte que une la cabeza con el pie . Está sometida a esfuerzos de tracción y compresión y su forma depende de las características de la máquina a la que pertenezca.

Un ejemplo muy sencillo de una biela es el movimiento que reali-zan las piernas de un ciclista. El movimiento lineal de las piernas al subir y bajar se transforma en giratorio en la manivela que for-ma el pedal de la bicicleta. 4.3. LAS PALANCAS Desde el punto de vista técnico, la palanca es una barra rígida que oscila sobre un punto de apoyo (fulcro) debido a la acción de dos fuerzas contrapuestas (potencia y resistencia). Al emplear la palanca para vencer fuerzas, podemos considerar en ella cuatro elementos importantes:

a) Potencia (P): es la fuerza que tenemos que apli-car. b) Resistencia (R): es la fuerza que tenemos que vencer; es la que debe vencer la palanca como consecuencia de haber aplicado la potencia. c) Brazo de potencia (BP): es la distancia entre el punto en el que aplicamos la potencia y el punto de apoyo (fulcro). d) Brazo de resistencia (BR): es la distancia entre el punto en el que aplicamos la resistencia y el punto de apoyo (fulcro). La ecuación que nos permite calcular la fuerza que necesitaremos para mover una resistencia en concreto se basa en que el producto de la potencia y la resistencia por sus brazos correspondientes deben ser iguales:

BRRBPP ×=×



Ejemplo: ¿Qué fuerza deberemos realizar para vencer una resistencia de 200 N, situada a 20 cm del punto de apoyo, si usamos una palanca de 70 cm de longitud? P=? R=200 N BR = 20 cm = 0,2 m BP = 70 – 20 cm = 50 cm = 0,5 m

NNBM

BRRPBRRBPP 80

5,0

2,0200 =×=×=×=×

Según la combinación de los puntos de aplicación de potencia y resistencia y la posición del fulcro se pueden obtener tres tipos de palancas:

a) Palanca de primer género: se obtiene cuando colocamos el fulcro entre la po-tencia y la resistencia. Como ejemplos clásicos, podemos citar la pata de cabra de motos o bici-cletas, el balancín, los alicates o la balanza ro-mana. b) Palanca de segundo género: se obtiene cuando colocamos la resistencia entre la poten-cia y el fulcro. Según esto el brazo de resistencia siempre será menor que el de potencia, por lo que el esfuerzo (potencia) será menor que la carga (resistencia). Como ejemplos, se pueden citar el cascanueces, la carretilla o el taladro de hojas de papel. c) Palanca de tercer género: se obtiene cuando ejercemos la potencia entre el fulcro y la resis-tencia. Esto trae consigo que el brazo de resis-tencia siempre sea mayor que el de potencia, por lo que el esfuerzo siempre será mayor que la carga (caso contrario al caso de la palanca de segundo grado). Ejemplos típicos de este tipo de palanca son las pinzas de depilar, las paletas y la caña de pescar. A este tipo también pertenece el sistema motriz del esqueleto de los mamíferos.

TEMA 6: TEORÍA ATÓMICA DE LA MATERIA MÓDULO TRES


1. INTRODUCCIÓN 2. TEORÍA ATÓMICA DE DALTON 3. MODELOS ATÓMICOS 4. PARTÍCULAS SUBATÓMICAS 5. PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS 6. ENLACE QUÍMICO 7. ELEMENTOS Y COMPUESTOS DE INTERÉS

MÓDULO TRES TEMA 6: TEORÍA ATÓMICA DE LA MATERIA


1. INTRODUCCIÓN Comprender cómo es la materia y el porqué de su comportamiento ha sido siempre un tema de interés para la especie humana, ya que tiene una faceta práctica que consiste en poder manejar y modificar las sustancias para poder fabricar diferentes materiales. Ejem-plos de ello son el desarrollo de las técnicas de conservación de alimentos, la metalurgia, la obtención de esencias y perfumes o incluso los métodos de embalsamamiento y momi-ficación. Por tanto, no debe extrañarnos que desde la antigüedad se haya tratado de proponer dife-rentes explicaciones de cómo es la materia. Así, en la Grecia del siglo VI a.C. los grandes filósofos de la época explicaron la naturale-za de la materia aceptando la existencia de un principio permanente, origen de todo: Ta-les de Mileto (624-565 a.C.) propuso que era el agua; Anaxímenes (585-524 a.C.) propu-so el aire y Heráclito de Éfeso (540-475 a.C.) creyó que sería el fuego. Finalmente, Empédocles de Agriento (500-430 a.C.) reunió las ideas de sus antecesores y desarrolló una nueva teoría, añadiendo la Tierra co-mo un nuevo principio. Es la llamada Teoría de los cuatro elementos, que ya no sugiere la existencia de un principio único, sino que plantea la posibilidad de que los cuatro elementos (agua, aire, fuego y tierra) mediante dos cualidades (calor y sequedad) y sus contrapuestas (frío y humedad) darían lugar a todas las formas de materia que nos rodea. En realidad, los cuatro elementos no eran más que la generaliza-ción y representación de la observación cotidiana, pues un cuerpo es sólido (“tierra”), líquido (“agua”) o gaseoso (“aire”), o bien se encuentra en estado de incandescencia (“fuego”). La teoría de los cuatro elementos fue aceptada por Aristóteles de Estágira (384-322 a.C.), el más grande pensador griego e infatigable escritor, aunque defendió la existencia de un quinto elemento, el éter, asociado a la invariabilidad; por ello, las estrellas, los pla-netas y los dioses (por ser considerados todos ellos inmutables e inmortales) estarían formados por éter. Dada la autoridad intelectual de Aristóteles, no es de extrañar que la teoría de los cuatro elementos perdurase casi dos mil años. Precisamente la atractiva posibilidad de poder extraer y purificar el quinto elemento a par-tir de materiales terrestres, condujo a una rama hermética del conocimiento llamada Al-

quimia (término que significa “tratado de los metales”), precursora de la actual Química. Aunque originalmente la Alquimia recogió el conocimiento práctico para la obtención de todo tipo de sustancias, posteriormente derivó hacia la magia y la superchería, alejándose defi-nitivamente del planteamiento científico que siempre debe estar sometido a continua revisión a través de la experimentación y el razonamiento.

Sin embargo, debe tenerse en cuenta que científicos tan afamados como Newton, Dalton o Lavoisier posiblemente partieron de concepciones alquimistas, ya que en su época el conocimiento de la Naturaleza estaba ligado a esta disciplina. La Alquimia sobrevivió prácticamente durante 2000 años, hasta que fue remplazada por la Ciencia moderna en el siglo XIX. Por la misma época en la que triunfaba en Grecia la teoría de los cuatro elementos, Leu-cipo y su discípulo Demócrito de Abdera (460-370 a. J.C.) , propusieron la discontinuidad



de la materia, formada por átomos (partículas indivisibles y eternas) que se mueven gra-cias a la existencia del vacío entre unos y otros. Estos átomos serían todos de la misma naturaleza, pero diferirían en la forma, la magnitud y el orden en que están colocados en el cuerpo. El atomismo de Demócrito, expuesto en forma brillante en el poema “De Rerum Natura” del romano Lucrecio, está construido totalmente por conceptos filosóficos. Pese a que sus ideas eran equiparables a las de las teorías modernas, sus seguidores no consiguieron convencer a sus contemporáneos, especialmente porque el conocimiento en la Grecia Clásica despreciaba la experimentación como vía de demostración de las hipótesis. Por todo ello, el atomismo no se vuelve a plantear hasta que lo recupera Boyle en 1677 y lo desarrolla Dalton en 1803 como resultado de observaciones científicas. Para comprender mejor la transición al moderno atomismo, hay que tener en cuenta que tradicionalmente la Química se había limitado a describir las reacciones químicas que se producían entre las distintas sustancias. En la segunda mitad del siglo XVIII, el químico francés Antoine de Lavoisier, comenzó a emplear la balanza para determinar la masa de las sustancias que intervenían en las reacciones químicas. De este modo surgió la quími-ca moderna, que permitió establecer las llamadas leyes ponderales de la reacción quími-ca, referidas a las cantidades de los reactivos y productos que intervienen en las reaccio-nes químicas y descubiertas por la repetición de muchas experiencias de laboratorio. Las leyes ponderales son las siguientes: 1ª) Conservación de la masa (Ley de Lavoisier): en todo proceso quí-mico, la suma de la masa de todas las sustancias que intervienen per-manece constante en el transcurso de la misma. Ejemplo: Si quemamos 1 kg de leña, parece que esta ley no se cumple; sin embargo, si sumá-ramos al kg de leña la cantidad de oxígeno que se gasta al quemarla, coincidiría con la suma de la masa de las cenizas y la del humo produci-do (¡Ojo, que tiene masa!). 2ª) Proporciones definidas (Ley de Proust): Cuando dos o más sustan-cias reaccionan químicamente para dar un determinado producto, siem-pre lo hacen en una relación en masa constante. Ejemplo: Cuando el oxígeno y el hidrógeno reaccionan para dar agua, siempre lo hacen en una proporción en masa de 8 gramos de oxígeno por cada gramo de hidrógeno. 3ª) Proporciones múltiples (Ley de Dalton): Si dos o más sustancias pueden producir más de un producto de reacción, las proporciones en masa con las que reaccionan guardan relaciones numéricas sencillas (1:2, 2:3, ...). Ejemplo: siguiendo con el ejemplo del oxígeno y el hidró-geno, resulta que en ciertas condiciones pueden formar agua oxigenada, en cuyo caso, la proporción en masa con la que reaccionan es de 16 gramos de oxígeno por cada gramo de hidrógeno, es decir, ¡justo el do-ble que cuando se forma agua (proporción 2:1)! 4ª) Volúmenes de combinación (Ley de Gay-Lussac): Cuando en una reacción química intervienen sustancias en estado gaseoso, los volúmenes que reaccionan de éstas guar-dan una relación numérica sencilla cuando se miden en las mismas condiciones de pre-sión y temperatura. Ejemplo: En la reacción del oxígeno con el hidrógeno para dar agua, se observa experimentalmente que por cada litro de oxígeno reaccionan dos de hidrógeno (medidos a igual presión y temperatura).



2. TEORÍA ATÓMICA DE DALTON Aunque la teoría atómica moderna se propuso con posterioridad al descubrimiento de las leyes ponderales, éstas confirman la teoría atómica y pueden ser perfectamente justifica-das mediante ella. Las leyes de Proust y Lavoisier, así como sus propios estudios sobre los gases, llevaron a Dalton a enunciar su teoría atómica, que se basa en cuatro postulados:

1. Los elementos químicos están formados por partículas indivisibles llamadas átomos. 2. Todos los átomos de un elemento son iguales entre sí, tienen la misma forma, tamaño, masa y cualquier otra propiedad. 3. Los átomos de elementos diferentes son distintos y tienen distintas propiedades 4. En una reacción química los átomos mantienen su identidad; no pueden ser des-truidos ni rotos.

Con esta teoría, Dalton pudo explicar las leyes ponderales enunciadas anteriormente:

Ley de conservación de la masa:

Puesto que los átomos son indestructibles, en una reacción química el número y la clase de los átomos será la misma, tanto antes como después de la reacción, por lo que la ma-sa no se modificará.

Ley de las proporciones definidas:

Si una sustancia se forma por la unión de dos átomos A y uno B, la proporción entre los elementos A y B será la exis-tente entre dos átomos A y uno B.

Si aparecen 10 átomos de A, habrá 5 de B y la proporción será la misma.

Ley de las proporciones múltiples:

Supongamos que los elementos A y B forman dos com-puestos: uno formado por una átomo de cada clase y otro por dos átomos del elemento A y tres del elemento B.

Con seis átomos de B, que consideraremos una cantidad fija, se combinan, en el pri-mer compuesto seis átomos de A; en el segundo compuesto los seis átomos de B se combinan con cuatro de A. La proporción será 6:4 o 3:2, una relación de números na-turales sencillos Ley de volúmenes de combinación: para justificarla hay que admitir la hipótesis de

Avogadro: “volúmenes iguales de cualquier gas, en las mismas condiciones de presión y temperatura, contienen el mismo número de moléculas”. Esto es fácil-mente comprensible, si se tiene en cuenta que, dado el extremadamente pequeño tamaño de las moléculas, el espacio que ocupan en forma gaseosa es práctica-mente despreciable frente al volumen del gas. Por tanto, para cierto volumen de gas, no importa qué moléculas lo están ocupando. De todo ello se deduce que, cuando intervienen gases en una reacción química, como tienen que hacerlo en una proporción de átomos fija, la relación en volúmenes también lo será.

La teoría atómica de Dalton se fue confirmando a lo largo del siglo XIX y permitió identifi-car y caracterizar muchas sustancias desconocidas hasta entonces, de modo que parecía



que se había conseguido dar una explicación correcta de cómo es la materia. Sin embar-go, el descubrimiento del electrón a finales del siglo XIX, iba en contra de la teoría atómi-ca, ya que demostraba que los átomos no eran indivisibles. Aunque se les siguió llamando así, era preciso conocer algo más sobre ellos, y se elaboraron nuevas teorías que permi-tieran explicar los hechos observados en el comportamiento de la materia. 3. MODELOS ATÓMICOS El descubridor de los electrones, J.J. Thomson, propuso un primer modelo de átomo con partículas en su interior, suponiendo una estructura atómica similar a la de un pastel con pasas: el átomo sería como una esfera espon-josa con carga positiva en la que se incrustarían los electrones, tantos como fueran necesarios para compensar su carga y que el átomo resultara eléctri-camente neutro. Ernest Rutherford puso a prueba este modelo realizando una serie de experiencias en las que bombardeaba una lámina muy delgada de oro con partículas α (“alfa”), que tienen carga positiva y son radiactivas (hoy sabemos que son núcleos de helio). Si el modelo atómico de Thomson se correspondía con la realidad, las partículas α atravesarían los átomos sin alterar su trayectoria.

Rutherford observó que, aunque la mayo-ría de las partículas α atravesaban la lá-mina como predecía la teoría, unas pocas rebotaban y salían hacia atrás (una de cada diez mil). Según las palabras del propio Rutherford: “Es tan sorprendente, como si al disparar balas de 15 pulgadas contra una hoja de papel, algunas rebota-sen.”

Para explicar esta experiencia, Rutherford propuso un modelo atómico nuclear, según el cual casi toda la masa y la carga eléctrica positiva del átomo esta-ría concentrada en su centro (núcleo del átomo), en un espacio muy pequeño respecto al tamaño total del átomo; los electrones girarían alrededor del núcleo, a una gran distancia de éste y en número suficiente como para compensar la carga eléctrica positi-va, constituyendo la corteza del átomo. Entre medias no habría nada: ¡la materia estaría prácticamente vacía!. Por tanto, el modelo nuclear de Rutherford considera al átomo como un sistema planetario en miniatura, en el que la posición del núcleo es equivalente a la del sol, y la de los electrones, a la de los planetas. Según los cálcu-los que se deducen del experimento que condujo a este modelo, el átomo tendría un tamaño de unos 10-10 metros y el núcleo de 10-14 metros (10.000 veces menor). Esto significa que, si un átomo fuera del tamaño de una plaza de toros, sus electrones girarían por su periferia y toda su masa se concentraría en una canica situada en el centro de la plaza. Pese a que el modelo atómico de Rutherford suponía un gran avance en el conocimiento de la constitución de la materia, era incapaz de explicar porqué los átomos se unen entre sí y el comportamiento químico que muestran; además, los átomos deberían ser inesta-bles, ya que los electrones del modelo atómico de Rutherford deberían ir emitiendo ener-



gía y, por tanto, acabarían cayendo sobre el núcleo, cosa que la experiencia demuestra que no ocurre, pues la materia se manifiesta estable. Tampoco podía explicar los espec-

tros atómicos, que están relacionados con el color de la luz que emite un elemento químico al ser

calentado. A diferencia de lo que ocurre con la luz blanca procedente del sol que, al ha-cerla pasar a través de un prisma de vidrio, se descompone en bandas continuas de colo-res (el arco iris), cuando se descompone la luz que desprende un elemento previamente calentado, queda descompuesta en unas pocas líneas de colores que son característicos (espectro atómico, que es como la “huella dactilar” del elemento). Para solucionar los problemas que presentaba el modelo atómico de Rutherford, el físico danés Niels Bohr propuso un nuevo modelo atómico basado en estos cuatro postulados:

1. El átomo está formado por un núcleo, con carga positiva y que contiene la mayor parte de la masa del átomo, y una corteza en la que se mueven los electrones. La mayor parte del átomo está formado por espacio vacío. El tamaño del núcleo, que contiene casi toda su masa y toda su carga positiva, es miles de veces menor que el átomo. 2. Los electrones se mueven en órbitas circulares alrededor del núcleo atómico, de forma que la fuerza con la que lo atrae el núcleo atómico, por atracción electrostáti-ca, es igual a la fuerza centrífuga, debida al giro. 3. Sólo son posibles aquellas órbitas en las que el giro del electrón alrededor del núcleo es estable, de modo que en ellas el electrón no emite ni absorbe energía de manera espontánea. 4. El paso de una órbita a otra supone la absorción o emisión de radiación. El áto-mo sólo absorberá o emitirá la radiación justa para pasar de una órbita a otra.

Las órbitas de los electrones son estables y el electrón permanece en ellas sin emitir ni absorber energía. El paso de una órbita a otra más alejada del núcleo sólo es posible cuando el electrón absorbe justamente la diferencia de energía entre ambas órbitas. Por el contrario, para pasar de una órbita a otra más cercana al núcleo, el electrón debe emitir la energía correspondiente a la diferencia de energía entre las órbitas. Esta es la razón de que los espectros atómicos estén formados por líneas discretas, ya que corresponden a las diferencias de energía entre las órbitas de los electrones.

El modelo atómico de Bohr llega a la conclusión de que, para que se alcance la máxima estabilidad, los electrones de los átomos se colocan en diferentes órbitas según una serie de normas:

1ª) Sólo son posibles determinadas órbitas, de modo que no puede haber electro-nes girando a cualquier distancia alrededor del núcleo. 2ª) A medida que las órbitas se alejan del núcleo caben en ellas más electrones, de modo que el número máximo de electrones que caben en cada órbita viene dado por la expresión 22n , donde n es el número de órbita contada desde el núcleo.



Así, en la primera órbita ( 2=n ) caben 212 2 =⋅ electrones; en la segunda órbita ca-ben 84222 2 =⋅=⋅ electrones, ... 3ª) En la última órbita nunca puede haber más de ocho electrones, de modo que los átomos que tienen ocho electrones en la última órbita utilizada presentan la má-xima estabilidad (como los gases nobles). 4ª) La experiencia demuestra que los átomos que no tienen ocho electrones en la última órbita utilizada, tienden a conseguirlos, ganando, perdiendo o compartiendo electrones (“regla del octeto”).

Por tanto, el modelo atómico de Bohr sí justifica las uniones entre átomos, explica los comportamientos químicos de los mismos y los espectros atómicos. Aunque posterior-mente fue mejorado por el físico alemán Sommerfeld, contemplando la posibilidad de órbitas elípticas, seguía siendo un modelo con muchas limitaciones, ya que por las carac-terísticas de los electrones, no parece que tenga sentido hablar de órbitas para los elec-trones en su movimiento alrededor del núcleo ya que, según el principio de incertidum-bre de Heisenberg, es imposible conocer simultáneamente y con precisión la velocidad y la posición de una partícula. Por ello se desarrolló el llamado modelo atómico cuántico o modelo de orbitales, en el que el electrón está caracterizado por una ecuación llamada función de ondas, que describe la probabilidad de encontrarlo en un determinado lugar del espacio. Los orbitales atómicos son las representaciones gráficas de estas funcio-nes, por lo que son zonas alrededor del núcleo del átomo donde la probabilidad de encon-trar al electrón es máxima. Los orbitales se designan por letras, que se refieren a su forma y, en la práctica, vienen a ampliar y justificar el modelo de Bohr, pero permiten explicar más propiedades de los átomos y sus uniones: justifica plenamente la distribución de los átomos en el Sistema Periódico, la geometría de moléculas, el enlace químico, etc. En este modelo, los electrones se distribuyen en los diferentes orbitales atómicos, de mo-do que en cada orbital caben dos electrones con espín opuesto (giro de rotación). En ca-da nivel energético (equivalente a las órbitas de Bohr) puede haber diferentes tipos de orbitales con formas y tamaños también diferentes. En el nivel 1 sólo hay un orbital esféri-co (llamado 1s). En el nivel 2 hay un orbital esférico (llamado 2s) y tres orbitales bilobula-dos (llamados orbitales 2p). En el nivel 3 hay un orbital esférico (3s), tres bilobulados (3p) y cinco tetralobulados (llamados orbitales 3d). En el nivel 4 hay un orbital esférico (4s), tres bilobulados (4p), cinco tetralobulados (4d) y siete hexalobulados (4f). Estas son las representaciones habituales para los orbitales s (esféricos), p (bilobulados) y d (tetralobulados):



La configuración electrónica de un elemento es la distribución de sus electrones en los distintos orbitales (o en las órbitas de Bohr) y permiten deducir el comportamiento químico de un átomo, de modo que son los electrones de la última órbita o nivel energético ocupa-do los que determinan este comportamiento. Por ello se llaman capa y electrones de valencia. De esos electrones dependen las propiedades químicas de las sustancias. Veamos algunos ejemplos con el modelo de Bohr (las órbitas o capas se llaman K, L, M, N, ..., respectivamente para la 1ª, 2ª, 3ª, 4ª, ...):

Elemento nº de electrones configuración K L M N

Carbono 6 2 4 -- -- Fósforo 15 2 8 5 -- Argón 18 2 8 8 -- Cinc 30 2 8 18 2 Cloro 17 2 8 7 --

4. PARTÍCULAS SUBATÓMICAS Acelerando protones y electrones a velocidades próximas a las de la luz y haciéndoles colisionar, los físicos han podido determinar más de un centenar de partículas subatómicas: gluones, quarks, mesones π, mesones μ, partículas Σ... son sólo una muestra. Pero en Química, sólo son importantes los protones, con carga eléc-trica positiva, los electrones, con carga eléctrica negativa, y los neu-trones, sin carga eléctrica. Sus principales propiedades son estas:

protón (p+) neutrón (no) electrón (e-)

carga +1,602·10-19 C 0 C -1,602·10-19 C

+1 e 0 e -1 e

masa 1,6726·10-27 kg 1,6750·10-27 kg 9,1096·10-31 kg

1,007 uma 1,009 uma 1836

1 uma

Para identificar los diferentes tipos de átomos, con las partículas que contienen, se utiliza

la siguiente representación: qA

ZX± , donde:

X: es el símbolo del elemento químico (una o dos letras). q± : es la carga eléctrica de la especie química, positiva o negativa, según falten o

sobren electrones, teniendo así cationes (+) o aniones (-), respectivamente. Número atómico (Z): es el número de protones que tiene el núcleo. En un átomo neutro coincide con el número de electrones. En iones (átomos a los que les sobra o falta electrones), el número de electrones se calcula restando su carga eléctrica al número atómico: nº electrones = Z – q Cada elemento queda identificado por su número atómico. Si dos átomos tienen el mismo número atómico, son átomos del mismo elemento. Si, por el contrario, los átomos tienen distinto número atómico, pertenecen a dos elementos distintos. Número másico (A): es el número de partículas que contiene el núcleo del átomo (protones más neutrones). Como la masa de los electrones es muy pequeña, com-parada con la de los protones y los neutrones, la masa de un átomo coincide prác-ticamente con la de su núcleo (la suma de las masas de protones y neutrones). Por



esto el número total de protones y neutrones de un átomo (la suma) recibe el nom-bre de número másico. Si conocemos el número atómico (Z) y el número másico (A) de cualquier átomo, podemos averiguar rápidamente el número de protones, neutrones y electrones de dicho átomo, ya que el número de neutrones (N) será la diferencia entre el número másico y el número atómico, N = A – Z Ejemplos: Al27

13 : es un átomo del elemento aluminio (Al), cuyo número atómico (Z) es 13 y cuyo número másico (A) es igual a 27. De aquí podemos deducir que en su núcleo hay 13 protones y 14 neutrones (27-13). Además, si este átomo es eléctricamente neutro tendrá exactamente 13 electrones.

-331

15 P : es un anión (con 3 cargas negativas) del elemento fósforo (P), cuyo número atómico (Z) es 15 y cuyo número másico (A) es igual a 31. De aquí podemos dedu-cir que en su núcleo hay 15 protones y 16 neutrones (31-15). Como esta especie tiene tres cargas negativas, tendrá en la corteza tres electrones de más que proto-nes, es decir, 18 electrones.

Los átomos de elementos distintos se diferencian en que tienen distinto número de proto-nes en el núcleo (distinto Z). Pero, aunque todos los átomos de un mismo elemento tie-nen el mismo número de protones en el núcleo (igual Z), no tienen porqué ser exactamen-te iguales, ya que pueden tener distinto número de neutrones (distinto A). Se denomina isótopos a los átomos de un mismo elemento (igual Z) que tienen diferente número de neutrones (distinto A). Ejemplo: el número atómico del carbono es Z = 6, por lo que posee seis protones (y seis electrones, claro). La mayor parte de los átomos de carbono tienen normalmente 6 neu-trones, pero se han encontrado átomos de carbono con un número de neutrones distinto:

ISÓTOPO Z A p+ no e- Carbono-12 6 12 6 6 6 Carbono-13 6 13 6 7 6 Carbono-14 6 14 6 8 6

El carbono-13 es muy importante en medicina, ya que se emplea en algunas técnicas de diagnóstico; el carbono-14 se usa para conocer la antigüedad de los objetos históricos o prehistóricos. Todos los isótopos tienen las mismas propiedades químicas, solamente se diferencian en que unos son un poco más pesados que otros. Muchos isótopos pueden desintegrarse espontáneamente emitiendo energía. Son los lla-mados isótopos radioactivos. La radiactividad es una propiedad de los isótopos que son “inestables”. Los núcleos de estos elementos emiten partículas y radiaciones hasta que se estabilizan. De esta forma, los núcleos de estos átomos pueden llegar a convertirse en núcleos de otros elementos, menos pesados. Los tipos de radiación que pueden ser emitidos son:

• Radiación alfa, α: son partículas poco penetrantes formadas por dos neutrones y dos protones (núcleos de helio, 24

2 He+ ). • Radiación beta, β: son electrones que se desplazan a gran velocidad y tienen mayor poder de penetración que las α, pudiendo atravesar láminas de aluminio de algunos milímetros de espesor. • Rayos gamma, γ: son ondas electromagnéticas de gran energía y un gran poder de penetración. Para detenerlas se necesitan gruesas capas de plomo u hormigón.



Los isótopos radiactivos tienen importantes aplicaciones, como en medicina, tanto en téc-nicas diagnósticas –se suelen utilizar rayos gamma- como con fines terapéuticos. En ambos casos, la cantidad de radiación utilizada debe ser controlada para evitar que dañe células y tejidos sanos, aunque cuando se utilizan en la terapia de alguna enferme-dad –para destruir células dañadas- la cantidad es mayor que cuando se emplean para diagnóstico. Algunos isótopos radiactivos utilizados para el diagnóstico son el yodo-123 y el tecnecio-99; el cobalto-60 y el yodo-131 son algunos de los más utilizados en la terapia del cáncer. También algunos isótopos son útiles en otro tipo de aplicaciones, como el carbono-14, que permite averiguar la antigüedad de restos históricos y, por tanto, muy usado en ar-queología. 5. PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN DE LOS ELEMENTOS QUÍMICOS Para identificar los elementos y compuestos químicos, los elementos se representan me-diante símbolos químicos, en lugar de sus nombres completos. La mayoría de los sím-bolos químicos derivan de las letras del nombre en latín del elemento. La primera letra del símbolo se escribe con mayúscula, y la segunda (si la hay) con minúscula. Los símbolos de algunos elementos conocidos desde la antigüedad, proceden normalmente de sus nombres en latín. Por ejemplo, Cu de cuprum (cobre), Ag de argentum (plata), Au de au-rum (oro) y Fe de ferrum (hierro). Este conjunto de símbolos que denomina a los elemen-tos químicos es universal. Algunos elementos frecuentes y sus símbolos son: carbono (C), oxígeno (O), nitrógeno (N), hidrógeno (H), cloro (Cl), azufre (S), magnesio (Mg), Aluminio (Al), Cobre (Cu), argón (Ar), oro (Au), plata (Ag), hierro (Fe). La tabla periódica o sistema periódico de los elementos es un modo de clasificar todos los elementos químicos según sus propiedades y también según su configuración electró-nica, ya que ambas están muy relacionadas. Está organizada en 7 filas horizontales (lla-madas períodos) y 18 columnas verticales (llamadas grupos), de modo que los elemen-tos con propiedades químicas semejantes, se encuentren situados cerca uno de otro.

El orden de los elementos en la tabla viene dado por su número atómico, Z, que es el nú-mero de protones del elemento (en un átomo neutro coincide con el número de electro-nes). En última instancia, por tanto, la configuración electrónica de los elementos es la que ordena la tabla periódica. No todos los períodos y grupos de la tabla periódica contienen el mismo número de ele-mentos. Así, el primer periodo tiene sólo dos elementos, el segundo y tercer periodos tie-



nen ocho elementos, el cuarto y quinto periodos tienen dieciocho, el sexto periodo tiene treinta y dos elementos, y el séptimo no tiene los treinta y dos elementos porque está incompleto. Estos dos últimos periodos tienen catorce elementos separados, para no alargar demasiado la tabla y facilitar su trabajo con ella. El periodo que ocupa un elemento coincide con la última capa electrónica que utiliza para colocar sus electrones. Es decir, un elemento con cinco capas electrónicas, estará en el quinto periodo. Los grupos de la tabla periódica están numerados desde el número 1 al 18, aunque todavía se utiliza la representación tradicional en la que se designan con números roma-nos (del I al VII, con la serie A de elementos representativos y la B de elementos de tran-sición). Los elementos situados en las dos filas fuera de la tabla pertenecen al grupo 3. Todos los elementos de un mismo grupo tienen el mismo número de electrones en su úl-tima o últimas capas, por lo que sus propiedades químicas son similares.

Según la regla del octeto, los átomos tienden a tener en su última capa 8 electrones. Pero sólo unos pocos tienen su configuración electrónica de esa forma: los gases nobles o inertes, llamados así porque no reaccionan con ningún otro elemento. Metales y no metales Metales: son elementos químicos que en su última capa electrónica tienen pocos electro-nes (en general, 1 o 2), por lo que tienen tendencia a perderlos. De este modo, quedan cargados positivamente y se convierten en iones positivos o cationes. La mayoría de los elementos químicos son metales. Son elementos metálicos el hierro (Fe), que tiene dos electrones en su última capa (la cuarta); el sodio (Na), con un electrón en su última capa (la tercera), el cobre (Cu), con dos electrones en la última capa (la cuarta) o el oro (Au), con dos electrones en la última capa (la sexta).



Las principales propiedades de los metales son: • Casi todos son sólidos a temperatura ambiente (excepto el mercurio, Hg). • Son buenos conductores del calor y de la electricidad.

No metales: son elementos químicos que en su última capa casi tienen 8 electrones, por lo que tienden a quitar electrones a otros átomos, consiguiendo así 8 electrones en su última capa electrónica. De este modo, quedan cargados negativamente y se convierten en iones negativos o aniones. Son no metales el nitrógeno (N), con cinco electrones en su última capa (la segunda), el oxígeno (O), con seis electrones en su última capa (la se-gunda), el flúor (F), con siete electrones en su última capa (la segunda), el cloro (Cl), con siete electrones en su última capa (la tercera) o el fósforo (P), con cinco electrones en su última capa (la tercera). Las principales propiedades de los no metales son:

• La mayoría son líquidos o gases a temperatura ambiente. • Son malos conductores del calor y de la electricidad.

Los metales están situados a la izquierda de la tabla periódica, mientras que los no meta-les están a la derecha de la misma. Masas atómicas Habrás observado que en la tabla periódica, además de colocar los elementos químicos con su símbolo, suelen aparecer una serie de datos de cada elemento, como su número atómico, puntos de fusión y ebullición, densidad, masa atómica, etc. Pues bien, la masa atómica es un dato muy importante, ya que permite comparar la masa de unos átomos respecto de otros y, aplicando después las leyes de las reacciones químicas, permiten hacer cálculos de suma utilidad cuando hay que fabricar una determinada sustancia. Cuando los químicos aceptaron la teoría atómica en el siglo XIX, todos los cálculos indi-caban que, de los elementos conocidos en aquélla época, los átomos más ligeros eran los de hidrógeno, de modo que calcularon que los de oxígeno eran unas 16 veces más pesados, los de carbono unas 12 veces más, los de hierro unas 56 veces más…Aunque no sabían exactamente qué masa tenía un átomo de hidrógeno, se podía establecer cuántas veces más pesado que éste era cada uno de los átomos del resto de los elemen-tos conocidos y de los que se iban descubriendo, permitiendo asignarles una masa a cada uno de ellos, por comparación con la masa del átomo del hidrógeno. Ahora bien, como posteriormente se descubrió la existencia de isótopos de los elementos (recuerda, átomos del mismo elemento, pero de masas diferentes) la definición inicial se revisó y se tomó como referencia (por cuestiones prácticas) la masa del isótopo carbono-12, al que se asignó una masa de 12 uma (unidades de masa atómica). Como el isótopo más abundan-te del hidrógeno es el hidrógeno-1 y el del carbono el carbono-12, las masas de estos elementos son, aproximadamente, 1 y 12, respectivamente. Cuando se pudo calcular a cuánto equivalía la unidad de masa atómica, se encontró un valor extraordinariamente pequeño: g101,66 uma1 -24×= . Evidentemente, no existe ningu-na balanza de precisión que sea capaz de medir la masa de un átomo aislado (claro que tampoco es normal encontrar un átomo aislado). Para que te hagas una idea de esta can-tidad, si la masa atómica del hidrógeno es 1 uma, significa que, para conseguir 1 gramo con átomos de hidrógeno, serían necesarios 23-24 10022,6101,66:1 ×=× átomos de hidró-geno, es decir ¡¡602.200 trillones de átomos de hidrógeno!! Esta cifra tan inmensa se llama Número de Avogadro, 23

A 10022,6N ×= , que permite establecer en química el con-cepto de mol, como la cantidad de sustancia que contiene el Número de Avogadro de átomos (o de moléculas), lo que significa que la cifra que corresponde a la masa de un átomo expresada en uma es la misma que la de un mol de átomos de esa sustancia ex-presada en gramos. Por eso, las masas que aparecen en la tabla periódica no llevan uni-



dades, porque si se refieren a un átomo serán uma, pero si se refieren a un mol de áto-mos, serán gramos. Por eso es más correcto llamarlas masas atómicas relativas. Por tanto, si la masa atómica relativa del cloro es 35,5, significa que la masa de un átomo de cloro será 35,5 uma, pero la de un mol de átomos de cloro será 35,5 gramos. El concepto de mol de sustancia es muy práctico en química, ya que permite “contar” átomos con la balanza: sabiendo el peso de sustancia puede saberse cuántos átomos hay. A partir de los datos de las masas atómicas relativas se pueden calcular muy fácilmente las masas moleculares o masas molares, M, que corresponderá a la suma de las masas de todos los átomos presentes en la fórmula química del compuesto. Ejemplo 1: sabiendo que las masas atómicas relativas del hidrógeno y del oxígeno son, respectivamente, 1 y 16, calcula la masa molar agua, cuya fórmula química es OH 2

Como en cada molécula de agua hay dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno, la masa molar del agua será M = 181612 =+× , es decir, un mol de agua son 18

gramos de esta sustancia y contiene 2310022,6 × moléculas de agua.

Ejemplo 2: sabiendo que las masas atómicas relativas del nitrógeno, del oxígeno y del potasio son, respectivamente, 14, 16 y 39, calcula la masa molar nitrato de potasio, cuya fórmula química es 3KNO

Como en cada molécula de nitrato de potasio hay un átomo de potasio, otro de ni-

trógeno y tres de oxígeno, la masa molar del 3KNO será M = 1011631439 =×++ , es

decir, un mol nitrato de potasio son 101 gramos de esta sustancia y contiene 2310022,6 × moléculas de 3KNO .

En la práctica, el concepto de masa molar suele utilizarse para conocer cuántos moles ( n ) de sustancia hay en cierta cantidad de sustancia, ya que bastará con dividir la masa de sustancia en gramos ( m ) entre la masa molar ( M ):

molarMasa

gciasusdemasamolesdenúmero

)(tan= o, más abreviadamente M

mn =

Ejemplo: calcula cuántos moles hay en 60 gramos de agua En el anterior ejemplo ya calculamos la masa molar del agua (M = 18), por lo que los moles de esta sustancia que hay en 60 gramos será:

molesmolesM

mn 33,3

18

60 ===

6. ENLACE QUÍMICO Salvo en el caso de los gases nobles, cuyos átomos permanecen normalmente aislados, los átomos de los elementos tienden a unirse unos a otros para formar moléculas. De esta manera se construyen todas las sustancias: agua, madera, metales,... Los átomos de los elementos tienden a rodearse de ocho electrones en su capa o nivel más externo para adquirir la máxima estabilidad. Este comportamiento se conoce como regla del octeto. Los átomos de los elementos tienden a ganar, perder o compartir electrones para alcan-zar los ocho electrones en su última capa (o sólo dos si su nivel más externo es el pri-mero). Esto es lo que hace que los átomos tiendan a unirse entre sí, produciéndose el llamado enlace químico, que puede producirse de diferentes formas, según las caracte-rísticas de los átomos que se unen, siendo los enlaces más característicos el iónico, el covalente y el metálico.



Enlace iónico: se produce entre metales y no metales, ya que los metales tienen tenden-cia a perder electrones (su última capa tiene muy pocos electrones), mientras que los no metales tienen tendencia a capturarlos. Cuando un átomo de un metal y el de un no metal se acercan, el átomo del metal cederá uno o varios electrones al átomo no metálico, for-mándose los correspondientes iones (catión metálico y anión no metálico) que, por ser de cargas eléctricas de signos contrarios, quedarán unidos por una intensa fuerza electrostá-tica. Por ejemplo, si se enfrentan un átomo de flúor (Z= 9), que tiene 7 electrones en su última capa (le falta sólo uno para “completarla”) y un átomo de sodio (Z=11), que en su última capa tiene sólo un electrón, el sodio cede al cloro el electrón que tiene en su capa de va-lencia, con lo que ambos quedan con 8 electrones en la última capa.

El flúor queda cargado negativamente (F-) y el sodio, positivamente (Na+). Como las car-gas de distinto signo se atraen, los cationes y aniones formados se unirán atraídos por sus cargas: se ha formado un enlace iónico. La característica fundamental de este enlace, por tanto, es que se produce un intercambio de electrones entre los átomos (uno da un electrón y el otro lo coge), for-mándose iones de distinto signo que se atraen. Como este hecho tiene lugar en otros muchos átomos de cada elemento, los iones formados se colocan ordenadamen-te constituyendo redes cristalinas. Al ser muy intensa y de gran alcance la fuerza eléctrica, las sustancias que se forman mediante enlace iónico serán sólidos duros de elevado punto de fusión, pero frágiles porque, si son golpeados, los iones se moverán un poco de su posición y quedarán enfrentados iones de igual carga que, por repelerse, harán que el cristal iónico se rompa. Como en estado sólido no tienen cargas eléctricas libres, serán aislantes de la electrici-dad, aunque sí conducirán la electricidad cuando se funden o cuando se disuelven en agua, ya que en ambas situaciones quedan sueltos los iones. Enlace covalente: se produce entre elementos no metálicos, ya que cuando están próxi-mos átomos muy electronegativos (con tendencia a formar aniones), ninguno de ellos tiende a ceder electrones. Una manera de adquirir la configuración de gas noble en su última capa es permanecer juntos compartiendo electrones, formándose así un enlace covalente, en el que los átomos se unen dos a dos, compartiendo dos, cuatro o seis elec-trones, recibiendo el nombre de enlace simple, enlace doble o enlace triple, respectiva-mente. Cuanto mayor sea el número de electrones compartidos, mayor será la fortaleza del enlace. Para representar el enlace covalente, se suelen utilizar las llamadas estructuras de Le-wis, que son representaciones en las que se escribe el símbolo del elemento y alrededor de él sus electrones de valencia (última capa).



En el ejemplo podemos ver cómo a cada uno de los átomos de flúor le falta un electrón para tener 8 en su capa de valencia (sólo se ha representado la última capa). Para con-seguirlo, comparten un par de electrones (procedentes uno de cada átomo), con lo que consiguen la estructura de gas noble. Los electrones compartidos son los que forman el enlace, aunque, para simplificar la escritura, los electrones de enlace se representan por una raya entre ambos átomos:

Cuando los átomos se unen mediante este tipo de enlace, aparecen unas nuevas entida-des, formadas por los átomos unidos, que se denominan moléculas. Las moléculas (y las sustancias que estas forman) se representan habitualmente median-te fórmulas químicas. En una fórmula química, se escriben los símbolos de los elemen-tos que forman la molécula, añadiendo números que indican el número de átomos de ca-da elemento que intervienen. Así, en los ejemplos que aparecen más arriba, las fórmulas de cada sustancia serían:

Flúor: F2 Oxígeno: O2 Agua: H2O

Dos átomos de flúor Dos átomos de oxígeno Dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno

En el enlace covalente, aunque los átomos se unen unos a otros muy intensamente, no ocurre lo mismo con las moléculas, que apenas se unen entre sí, por lo que se pueden separar con facilidad. Por tanto, los compuestos formados por enlace covalente se carac-terizan por tener puntos de fusión y ebullición bajos, de modo que suelen ser gases o só-lidos blandos a temperatura ambiente.

En el agua y en el etano, los áto-mos se unen mediante enlaces simples

En el etileno y el dióxido de car-bono, se forman enlaces dobles (se comparten dos parejas de electro-nes)

En el cianuro de hidrógeno (HCN) y en el acetileno (C2H2) se for-man enlaces triples

Sin embargo, hay una variedad de compuestos covalentes en los que cada átomo se une a varios (iguales o diferentes) formando una especie de molécula gigante, similar a los cristales iónicos, pero con fuerzas entre átomos mucho más intensas y difíciles de romper. Se denominan cris-tales covalentes y se carac-terizan por ser sólidos de puntos de fusión muy altos, muy duros, muy difíciles de disolver y no conducen la corriente eléctrica de ningu-na manera. A esta categoría pertenece el diamante y el dióxido de silicio (SiO2), que cons-tituye la arena. El diamante, que es la sustancia más dura que existe, está formada por



átomos de carbono, de modo que cada uno de ellos está unido a otros cuatro mediante enlaces sencillos. Enlace metálico: como su nombre indica, se produce entre átomos de metales que, al tener pocos electrones en su última capa, tienen tendencia a liberarlos; no hay átomos no

metálicos, los metales liberan sus electrones y forman una estructura de cationes, rodeados por una nube de electrones que mantienen unidos los cationes, es decir, los electrones son com-partidos por todos los núcleos. Cuantos más electrones haya en la nube (cuan-to más a la derecha de la tabla se encuentre el metal), más fuerza tendrá el enlace metálico. Los metales serán duros, tanto más cuanto más a la derecha se la tabla se sitúe el metal; como no hay aniones, no se romperán con facilidad (son tenaces). La existencia de la nube de elec-trones hace que puedan conducir la electricidad, que es la propiedad más característica de los

metales y de los compuestos con enlace metálico: son buenos conductores del calor y la electricidad. 7. ELEMENTOS Y COMPUESTOS DE INTERÉS Algunos elementos químicos, como el carbono (C), el hidrógeno (H), el oxígeno (O), el nitrógeno (N), el fósforo (P) y el azufre (S) tienen gran importancia para los seres vivos y reciben el nombre de bioelementos; muchos de ellos también están presentes en el mun-do inorgánico y son utilizados en diferentes aplicaciones. Otros elementos menos abun-dantes, pero también importantes, son el cloro (Cl) , el yodo (I), el calcio (Ca), el sodio (Na), el potasio (K), el magnesio (Mg), el hierro (Fe), el aluminio (Al).

El carbono (C) forma parte de todas las células de los seres vivos.

El hidrógeno (H) es el elemento químico más sencillo y abundante, que forma parte del agua (H2O) y de todos los compuestos orgánicos.

El oxigeno (O) interviene en la respiración de todos los seres vivos y hace po-

sible la vida en nuestro planeta.

El calcio (Ca) es fundamental para el desarrollo de los huesos y les proporciona solidez y resistencia.

El sodio (Na), el potasio (K) y el cloro (Cl) son indispensables para el funcio-

namiento de las células nerviosas.

El yodo (I) regula importantes funciones en los seres vivos. A pesar de que se necesita en cantidades muy pequeñas, su ausencia puede alterar el funciona-miento de todo el organismo.

El hierro (Fe), metal de gran importancia industrial para la fabricación de dife-

rentes utensilios.



El aluminio (Al), usado en la fabricación de utensilios de cocina, así como en arquitectura y aeronáutica.

Según su naturaleza, los compuestos químicos se pueden clasificar en óxidos, hidruros, hidróxidos, ácidos y sales, además de todo el conjunto de los compuestos orgánicos, ba-sados en el carbono. Algunos de los de más importancia para los seres vivos o por sus aplicaciones son: Óxidos:

Agua (H2O): es esencial para la vida.

Dióxido de carbono (CO2): es un gas que se origina en todas las combustio-nes y en la respiración de los seres vivos. Se encuentra en la atmósfera y es captado por las plantas para la realización de la fotosíntesis. Disuelto en agua, forma un hipotético ácido carbónico (H2CO3), presente en todas las bebidas carbónicas.

Agua oxigenada o peróxido de hidrógeno (H2O2): desinfectante y blan-

queante. Hidruros:

Amoniaco (NH3): se emplea para fabricar abonos.

Metano (CH4): es el principal componente del gas natural. Hidróxidos:

Hidróxido de sodio (NaOH): también llamado "sosa cáustica", es un sólido muy corrosivo y peligroso que se disuelve muy bien en el agua, pudiendo pro-ducir quemaduras en la piel.

Hidróxido de potasio (KOH): es un sólido muy soluble en agua y tan peligroso como el anterior. También se llama "potasa".

Ácidos:

Ácido clorhídrico (HCl): es un ácido fuerte, muy utilizado en los laboratorios.

Ácido sulfúrico (H2SO4): es un ácido fuerte, muy importante en los laboratorios y en la industria, que forma unas sales llamadas sulfatos.

Sales:

Cloruro de sodio (NaCl): de ella se obtiene el cloro y el sodio; es la sal común. Hipoclorito de sodio (NaClO): es el principal componente de la lejía; se em-

plea como desinfectante y blanqueante. Los compuestos químicos presentes en los seres vivos se llaman principios inmediatos y constituyen las biomoléculas; los que contienen carbono e hidrógeno se llaman princi-pios inmediatos orgánicos, entre los que destacan los glúcidos (como la glucosa, C6H12O6, que sintetizan los organismos autótrofos en la fotosíntesis a partir de CO2 y H2O), los lípidos, las proteínas y los ácidos nucleicos (ADN y ARN).

3-libro módulo tres del Ámbito científico-tecnológico...

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