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22/Fev/2018 – Aula2

26/Fev/2018 – Aula 3

3. Leis de Newton (leis do movimento) 3.1 Conceitos básicos 3.2 Primeira lei (inércia) 3.2.1 Referenciais de inércia 3.3 Segunda lei (F=ma) 3.4 Terceira lei (reação)

1

2.1 Queda livre 2.2 Movimento 2 e 3-D 2.2.1 Vetor deslocamento 2.2.2 Vetor velocidade 2.2.3 Vetor aceleração

2.3 Lançamento de projétil 2.3.1 Independência dos movimentos 2.3.2 Forma vetorial 2.3.3 ângulo de lançamento 2.3.4 Alcance

Aula anterior

Queda livre a partir do repouso:

vx = v0x + axt = 0+ gt

x = 12axt

2 + v0xt + x0 =12gt2 +0+0

Método de resolução: 1)  Determinar o que é pedido (tempo,

distância, velocidade, aceleração,…) 2)  Desenhar o objeto nas posições inicial e

final. Definir o sistema de eixos. 3)  Selecionar as equações relevantes e

resolvê-las. Só no fim, substituir os valores dados e calcular o resultado.

4)  Verificar se o resultado tem as dimensões certas e o valor esperado.

2.1 Queda livre

2

Aula anterior

3

!ex = x = i = (1,0,0) = versor da direção +x!ey = y = j = (0,1,0) = versor da direção + y!ez = z = k = (0,0,1) = versor da direção +z

!A= Ax

!ex + Ay

!ey + Az

!ez

=!Ax +

!Ay +

!Ak

= Axx + Ay y + Az z

= (Ax ,Ay ,Az )

2.2 Movimento 2 e 3-D

Aula anterior

4

A aceleração é independente da direção da velocidade.

2.3 Lançamento de projétil

•  A resistência do ar é desprezada.

•  g = 9,80 m/s2, dirigida para baixo.

x(t) = x0 + v0xt

y(t) = y0 + v0yt −12gt2

vx = v0xvy = v0y − gt

vx2 = v0x

2

vy2 = v0y

2 − 2gΔy

5

Ângulo de lançamento: direção da velocidade inicial, relativamente à horizontal.

Exemplo: em qual destes casos a velocidade de chegada à água é maior?

vágua2 = v0

2 + 2ghvágua2 = v0

2 + 2gh

2.3.3 Ângulo de lançamento Aula anterior

6

2.3.3.1 Ângulo zero

Se o ângulo de lançamento for igual a zero, a velocidade inicial na direção de y é zero.

x0 = 0

y0 = h

x = v0 t

y = h− 12gt2

vx = v0= constante

vy = −gt

vx2 = v0

2= constante

vy2 = −2gΔy

7

2.3.3.1 Ângulo zero

Se o ângulo de lançamento for igual a zero, a trajetória é o ramo de uma parábola.

x = v0 t ⇒ t = xv0

⇒ y = h− 12g xv0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

= h− g

2v02x2

Esta equação é da forma y = a + bx2, que representa uma parábola.

O ponto de chegada ao solo pode ser encontrado fazendo y = 0:

x = v02hg

8

2.3.3.2 Ângulo diferente de zero

Se o ângulo de lançamento for diferente de zero:

x0 = 0

y0 = 0v0x = v0 cosθv0y = v0 senθ

x(t) = v0 cosθ( ) t

y(t) = v0 senθ( )− 12 gt2

vx = v0 cosθ

vy = v0 senθ − gt

vx2 = v0

2 cos2θ

vy2 = v0

2 sen2θ − 2gΔy

9


Se o ângulo de lançamento for diferente de zero, a trajetória continua a ser uma parábola.

Esta equação é da forma y = ax + bx2, que representa uma parábola.

t = xv0x

⇒ y(x) = v0yxv0x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟−12g xv0x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

=v0yv0x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟x −

g

2v0x2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟x2

y(x) = tgθ0( ) x − g

2v02 cos2θ0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟x2

x y

10


Se o ângulo de lançamento for diferente de zero, a trajetória continua a ser uma parábola.

y(x) = tgθ0( ) x − g

2v02 cos2θ0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟x2

Projétil 1

simulação

11


Simetria no movimento:

Mesmos y e |v|

Mesmos y e |v|

12

2.3.4 Alcance

Alcance é a distância percorrida na horizontal.

Como

R = x = v0xt = v0 cosθ2gv0 senθ =

v02

g2senθ cosθ( )

y(t) = v0 senθ( )− 12 gt2

y = 0 ⇒ 0 = t v0y −12gt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⇒ t = 0 ou t = 2gv0y =

2gv0 senθ

2senθ cosθ = sen2θ R = x =v02

gsen2θ

13

Para a mesma velocidade inicial, o alcance máximo verifica-se quando

dxdθ

= 0 ⇒d sen2θ( )dθ

= 0 ⇒ senθ = cosθ ⇒ θ = 45°

2.3.4 Alcance

Projétil 2

filme

14

3.1 Conceitos básicos

O que causa uma aceleração? Uma força.

A força é uma grandeza vetorial: tem uma amplitude e um sentido.

15

A massa pode ser encarada como uma medida da

•  quantidade de matéria do objeto

•  dificuldade em mudar a velocidade do objeto

•  inércia do objeto


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Forças de contacto Forças de campo

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A inércia pode ser definida como a tendência que uma massa tem de resistir a uma aceleração.


Na figura (a), o avião move-se com uma velocidade constante, pelo que a bola não se move (no referencial do avião).

Na figura (b), o avião está a ser acelerado, pelo que a bola tende a deslocar-se (a acelerar) para a parte de trás do avião.

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Força normal: quando um objeto empurra uma superfície, esta empurra-o como reação, perpendicularmente à superfície. É uma força de contacto.

Força de fricção: para além da força normal, pode existir uma força (de fricção), paralelamente à superfície e no sentido contrário ao do movimento. É uma força de contacto.

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Força de tensão: força exercida por um fio ou uma corda, sobre um objeto. É uma força de contacto.

Peso: força da gravidade exercida sobre um objeto. É uma força de campo, de longo alcance.

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Qualquer força pode ser expressa nas suas componentes, segundo cada eixo ortogonal x, y e z.

!F = Fx

!ex + Fy

!ey + Fz

!ez

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Várias forças aplicadas num ponto de um objeto têm o mesmo efeito que a força resultante, igual à soma vetorial das várias forças.

!Fres =

!F1+!F2 +!=

"Fi

i=1

n∑

!Fres

!F∑ =!Fres

Fres y

Fres x

22


23

3.2 Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia)

Primeira Lei de Newton: se a resultante das forças que atuam numa partícula for nula, então essa partícula livre ou se move sempre em linha reta com velocidade constante (sem aceleração), ou está em repouso.

3.2.1 Referenciais de inércia

Referencial de inércia: qualquer sistema de coordenadas que esteja em repouso ou que se desloque em qualquer direção, com velocidade constante.

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Exemplo: a velocidade do passageiro, relativamente ao chão, depende dos sentidos relativos das velocidades do passageiro e do comboio.

Referencial de inércia: qualquer sistema de coordenadas que esteja em repouso ou que se desloque em qualquer direção, com velocidade constante.

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!vpassageiro, chão =!vpassageiro, comboio +

!vcomboio, chão


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Amy, Bill e Carlos medem a velocidade do corredor. Os vetores velocidade (a verde) são mostrados no referencial da Amy. Qual é a velocidade do corredor ?

A resposta depende do referencial do observador: Amy: vcorredor = 5 m/s Bill: vcorredor = 0 m/s Carlos: vcorredor =-10 m/s

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3.2 Segunda Lei de Newton

A aceleração de um objeto é proporcional à resultante das forças nele aplicadas:

A aceleração é inversamente proporcional à massa:

a∝ F

a∝ 1m

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Segunda lei de Newton: o vetor aceleração de uma partícula é proporcional ao vetor força resultante, que nela atua.

a∝ F

a∝ 1m

a = Fm

⇒!F =m !a

F⎡⎣ ⎤⎦= Newton = kg m/s2

Exemplo: uma força de 3 N provoca uma aceleração de 2 m/s2 num objeto. Qual é a massa do objeto?

m1 m1 =Fa1

= (3 N)

(2 m/s2)=1,5 kg

!F∑ =m !a

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Como a massa é positiva, a força e a aceleração têm o mesmo sentido.

!F∑ =m !a

Diagrama de forças •  separar o sistema em partes

(partículas ou pontos) •  representar as forças que

atuam em cada uma •  escolher um sistema de

coordenadas conveniente •  representar as componentes de

cada força •  aplicar as leis de Newton.

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Exemplo de um diagrama de forças

!F∑ =m !a

Diagrama de forças •  separar o sistema em partes

(partículas ou pontos) •  representar as forças que

atuam em cada uma •  escolher um sistema de

coordenadas conveniente •  representar as componentes de

cada força •  aplicar as leis de Newton.

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Exemplo O semáforo da figura tem um peso de 122 N. Está ligado a um fio que, por sua vez, liga a dois outros fixos a um suporte vertical. Calcule as tensões T1 e T2 nos dois fios de suporte.

124 C H A P T E R 5 • The Laws of Motion

F

Fg n

Figure 5.9 When one objectpushes downward on anotherobject with a force F, the normalforce n is greater than thegravitational force: n ! Fg " F.

P R O B L E M - S O LV I N G H I N T S

Applying Newton’s LawsThe following procedure is recommended when dealing with problems involvingNewton’s laws:

• Draw a simple, neat diagram of the system to help conceptualize the problem.

• Categorize the problem: if any acceleration component is zero, the particle isin equilibrium in this direction and !F ! 0. If not, the particle is undergoingan acceleration, the problem is one of nonequilibrium in this direction, and!F ! ma.

• Analyze the problem by isolating the object whose motion is beinganalyzed. Draw a free-body diagram for this object. For systems containingmore than one object, draw separate free-body diagrams for each object.Do not include in the free-body diagram forces exerted by the object on itssurroundings.

• Establish convenient coordinate axes for each object and find thecomponents of the forces along these axes. Apply Newton’s second law, !F ! ma, in component form. Check your dimensions to make sure that allterms have units of force.

• Solve the component equations for the unknowns. Remember that you musthave as many independent equations as you have unknowns to obtain acomplete solution.

• Finalize by making sure your results are consistent with the free-body diagram.Also check the predictions of your solutions for extreme values of thevariables. By doing so, you can often detect errors in your results.

Example 5.4 A Traffic Light at Rest

A traffic light weighing 122 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support, as in Figure 5.10a. Theupper cables make angles of 37.0° and 53.0° with the hori-zontal. These upper cables are not as strong as the verticalcable, and will break if the tension in them exceeds 100 N.Will the traffic light remain hanging in this situation, or willone of the cables break?

Solution We conceptualize the problem by inspecting thedrawing in Figure 5.10a. Let us assume that the cables donot break so that there is no acceleration of any sort in thisproblem in any direction. This allows us to categorize theproblem as one of equilibrium. Because the acceleration ofthe system is zero, we know that the net force on the lightand the net force on the knot are both zero. To analyze the

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.10 (Example 5.4) (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagramfor the traffic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

124 C H A P T E R 5 • The Laws of Motion

F

Fg n

Figure 5.9 When one objectpushes downward on anotherobject with a force F, the normalforce n is greater than thegravitational force: n ! Fg " F.

P R O B L E M - S O LV I N G H I N T S

Applying Newton’s LawsThe following procedure is recommended when dealing with problems involvingNewton’s laws:

• Draw a simple, neat diagram of the system to help conceptualize the problem.

• Categorize the problem: if any acceleration component is zero, the particle isin equilibrium in this direction and !F ! 0. If not, the particle is undergoingan acceleration, the problem is one of nonequilibrium in this direction, and!F ! ma.

• Analyze the problem by isolating the object whose motion is beinganalyzed. Draw a free-body diagram for this object. For systems containingmore than one object, draw separate free-body diagrams for each object.Do not include in the free-body diagram forces exerted by the object on itssurroundings.

• Establish convenient coordinate axes for each object and find thecomponents of the forces along these axes. Apply Newton’s second law, !F ! ma, in component form. Check your dimensions to make sure that allterms have units of force.

• Solve the component equations for the unknowns. Remember that you musthave as many independent equations as you have unknowns to obtain acomplete solution.

• Finalize by making sure your results are consistent with the free-body diagram.Also check the predictions of your solutions for extreme values of thevariables. By doing so, you can often detect errors in your results.

Example 5.4 A Traffic Light at Rest

A traffic light weighing 122 N hangs from a cable tied to twoother cables fastened to a support, as in Figure 5.10a. Theupper cables make angles of 37.0° and 53.0° with the hori-zontal. These upper cables are not as strong as the verticalcable, and will break if the tension in them exceeds 100 N.Will the traffic light remain hanging in this situation, or willone of the cables break?

Solution We conceptualize the problem by inspecting thedrawing in Figure 5.10a. Let us assume that the cables donot break so that there is no acceleration of any sort in thisproblem in any direction. This allows us to categorize theproblem as one of equilibrium. Because the acceleration ofthe system is zero, we know that the net force on the lightand the net force on the knot are both zero. To analyze the

T2T1

T3

53.0°37.0°

(a)

T3

53.0°37.0° x

T2

T1

yT3

Fg

(b) (c)

Figure 5.10 (Example 5.4) (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagramfor the traffic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined.

⇒ Fx∑ = 0 , Fy∑ = 0Equilíbrio

Fx∑ = −T1cos37°+T2 cos53° = 0

Fy∑ =T1sen37°+T2 sen53°−T3= 0

T1 = 73,4NT2 = 97,4N

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3.3 Terceira Lei de Newton

Terceira lei de Newton: se uma partícula exercer noutra uma força então a segunda partícula exerce na primeira uma força , de igual módulo e de sentido contrário:

!F ,!

R

!F = −

!R

33


Exemplos

34


Exemplo: puxar uma corda

A corda, presa à parede, é puxada com uma força de 100 N.

A corda é puxada, em sentidos opostos, com duas forças de 100 N cada.

1 2

Qual é a maior tensão?

a. T1>T2 b. T1=T2 c. T1<T2

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