Materijal za vebe iz predmeta UPRAVLJANJE TEHNIKIM SISTEMIMA 73

Asistenti: Laslo Tarjan, Nikola uki Fakultet tehnikih nauka, 2013/2014

Laplasove transformacije

U analizi i sintezi dinamikih sistema uopte, pojavljuje se problem reavanja diferencijalnih jednaina. Analiza ponaanja linearnih dinamikih sistema sa koncentrisanim i vremenski nepromenljivimparametrima se svodi na problem reavanja odgovarajueg sistema linearnih diferencijalnih jednaina sa konstantnim koeficijentima. Reavanje ovih jednaina se pojednostavljuje primenom Laplasove transformacije (eng. Laplace).

Laplasova transformacija nam omoguava da komplikovane diferencijalne i integralne jednaine predstavimo, jednostavnijim i lakim za manipulaciju, algebarskim jednainama.

Laplasova transformacija signala (funkcije) f(t)je funkcija F(s) = L(f(t)) definisina kao:

dtfeF tsts 0 gde je s=j kompleksna promenljiva.

Laplasova transformacija se ne moe odrediti za sve funkcije (npr. , ), ali se takve funkcije retko susreu u teoriji i praksi, i njihovo razmatranje nije od posebnog znaaja.

Za neke funkcije koje se esto koriste mogue je njihovu Laplasovu transformaciju odrediti iz Tablice Laplasovih transformacija. Za kreiranje modela sistema koristie se samo funkcije takvog oblika koje se mogu nai u tablici Laplasovih transformacija.

Materijal za vebe iz predmeta UPRAVLJANJE TEHNIKIM SISTEMIMA 74

Asistenti: Laslo Tarjan, Nikola uki Fakultet tehnikih nauka, 2013/2014

Tablica Laplasovih transformacija

Vremenski domen Kompleksni domen 1. f(t) F(s) 2. )()( 21 tbftaf )()( 21 sbFsaF 3. f(at) 0),/(1 aasFa

4. f(n)(t) snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f1(0)-...-fn-1(0) 5. -tf(t) F(s) 6. t2f(t) F(s) 7. (-1)ntnf(t) F(n)(s)

8. t duuf0

)( )(1 sFs

9. t tgtfduutguf0

)(*)()()( )()( sGsF 10. 1 1/s

11. tn ,...2,1,!1 ns

nn

12. t 1,11 vsv

13. eat as

1

14. tneat ,...2,1,!

1 nasn

n

15. tveat

1,1

1

vas v

16. sin(at) 22 asa

17. cos(at) 22 ass

18. ebtsin(at) 22 absa

19. f(t-a); t>a e-asF(s), a>0 20. eatf(t) F(s-a)

21. ebtcos(at) 22 absbs

22. sh(at) 22 asa

23. ch(at) 22 ass

24. tsin(at) 222

asas

25. tcos(at) 2222

asas

Materijal za vebe iz predmeta UPRAVLJANJE TEHNIKIM SISTEMIMA 75

Asistenti: Laslo Tarjan, Nikola uki Fakultet tehnikih nauka, 2013/2014

Zadaci iz Laplasovih tranformacija 1) Nai Laplasovu transformaciju od sledee jednaine:

0 Nakon smena iz tabele Laplasovih transformacija (smene pod brojevima 2 i 3) dobija se sledea jednaina:

0

2) Nai Laplasovu transformaciju od sledee jednaine:

4 sin2 3 0

Nakon smena iz tabele Laplasovih transformacija (smene pod brojevima 2, 13 i 16) dobija se sledea jednaina:

4 2 4 3 1

7 0

8 4

3 7 0

3) Nai Laplasovu transformaciju od sledee jednaine, ukoliko su poetni uslovi: 0.

0

Nakon smene iz tabele Laplasove transformacija (smena 4) dobija se:

0

Posle uvrtavanja poetnih uslova, dobija se jednaina:

0

4) Nai Laplasovu transformaciju od sledee jednaine, ukoliko su poetni uslovi: 0.

3 2 4 12

Upotrebom smena (broj 2, 4, 11 i 13) iz tabele Laplasovih transformacija dobija se:

Materijal za vebe iz predmeta UPRAVLJANJE TEHNIKIM SISTEMIMA 76

Asistenti: Laslo Tarjan, Nikola uki Fakultet tehnikih nauka, 2013/2014

0 0 3 0 2 4 12

1

Posle uvrtavanja poetnih uslova, dobija se jednaina:

3 2 4 12

1