Giới thiệu về thống kê

DEPOCEN

Chương 5

Ước lượng khoảng tin cậy

Các chủ đề

•Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình

(σ biết)

•Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình

(σ không biết)

•Ước lượng khoảng tin cậy cho tỉ lệ

Trung bình, µ , không biết

Tổng thể Mẫu ngẫu nhiên95% giá trị µ

nằm giữa 40 & 60.

Trung

bình = 50

Tiến trình ước lượng

Mẫu

Tham sốƯớc lượng Tổng thể

Thống kê tươngứng

Trung bình µ

Tỉ lệ p ps

Phương sai s2

Các tham số tổng thể được ước lượng

σ 2

Khác nhau µ - µ1 2

x - x 1 2

X_

__

• Cho biên độ các giá trị: Dựa trên các quan sát từ một mẫu

• Đưa ra thông tin gần gũi nhất đối với tham số chưa biết

• Xác định giới hạn xác suất.

Ước lượng khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy Thống kê mẫu

Giới hạn tin cậy dưới (Lower)

Giới hạn tin cậy trên (Upper)

Các phần tử của ước lượng khoảng tin cậy

Tham số = thống kê ± sai số

Các giới hạn tin cậy trung bình Tổng thể

±= Xµ Sai số

= Sai số = X−µ

XX

XZ

σσµ =−=

xZσ=

XZX σµ ±=

Sai số

Sai số

µ−X

90% Samples

95% Samples

σx_

Các khoảng tin cậy

xx .. σ+µσ−µ 64516451

xx σµσµ 96.196.1 +−

xx .. σµσµ 582582 +−99% Samples

nZXZX X

σσ •±=•±

X_

• Là xác suất để tham số chưa biết rơi vào trong khoảng tin cậy

• Kí hiệu (1 - α) % = độ tin cậy e.g. 90%, 95%, 99%

α Là xác suất để tham số chưa biết không rơi vào trong khoảng tin cậy

Độ tin cậy

Confidence Intervals

Khoảng tin cậy từ

(1 - α) % của khoảng chứa

µ .

α % không chứa.

1 - α α/2α/2

X_

σx_

Khoảng tin cậy & Độ tin cậy

Phân phối lấy mẫu của trung

bình

ĐếnXZX σ−

XZX σ+

µ=µ X

• Số liệu biến thiên

được đo bằng σ• Cỡ mẫu

• Độ tin cậy

(1 - α)

Intervals Extend from

© 1984-1994 T/Maker Co.

Các tác nhân ảnh hưởng đến độ rộng

của khoảng

X - Zσ to X + Z σ xx

n/XX σ=σ

Trung bình

σ không biết

Ước lượngkhoảng tin cậy

Tỉ lệ

Tổng thểHữu hạnσ biết

Các ước lượng khoảng tin cậy

• Giả sử: Độ lệch chuẩn của Tổng thể đã biết Tổng thể có phân phối chuẩn Nếu không chuẩn, sử dụng cỡ mẫu lớn

Ước lượng khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy (σ biết)

nZX /

σ•− α 2≤µ≤

nZX /

σ•+ α 2

• Giả sử: Độ lệch chuẩn của Tổng thể chưa biết Tổng thể có thê không có phân phối chuẩn

• Sử dụng phân phối t-Student

• Khoảng tin cậy:

Khoảng tin cậy (σ chưa biết)

n

StX n,/ •− −α 12

≤≤ µn

StX n,/ •+ −α 12

Zt

0

t (df = 5)

Standard Normal

t (df = 13)Bell-Shaped

Symmetric

‘Fatter’ Tails

Phân phối t-Student

• Công thức: df = Cỡ mẫu (n) -1

• Ví dụ: Bậc tự do khi n=3 là 2

X1 = 1 (or Any Number)

X2 = 2 (or Any Number)

X3 = 3 (Cannot Vary)

df = 2

degrees of freedom = n -1 = 3 -1= 2

Bậc tự do (df)

Upper Tail Area

df .25 .10 .05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

3 0.765 1.638 2.353

t0

Assume: n = 3 df = n - 1 = 2

α = .10 α /2 =.05

2.920t Values

α / 2

.05

Student’s t Table

n = 25 có = 50 và

s = 8. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tham

số µ .

≤ ≤µ. .46 69 53 30

X

Ví dụ: ước lượng khoảng tin Cậy σ chưa biết

n

StX n,/ •− −α 12 ≤µ≤

n

StX n,/ •+ −α 12

25

80639250 •− . ≤µ≤ 25

80639250 •+ .

• Giả sử: Mẫu lớn so với tổng thể:

n / N > .05

• Sử dụng hệ số tương quan của tổng thể hữu hạn

• Khoảng tin cậy của trung bình khi σ X chưa biết

X≤ ≤µ

Ước lượng cho tổng thể hữu hạn

n

StX n,/ •− −α 12

n

StX n,/ •+ −α 12

1−−•

N

nN

1−−•

N

nN

• Giả sử: Có hai biến định tính Tổng thể tuân theo phân phối nhị thức Có thể sử dụng xấp xỉ chuẩn n·p ≥ 5 & n·(1 - p) ≥ 5

• Ước lượng khoảng tin cậy

Khoảng tin cậy cho ước lượng tỉ lệ

n

)p(pZp ss

/s−•− α

12 ≤≤ p

n

)p(pZp ss

/s−•+ α

12

Một mẫu ngẫu nhiên gồm 400 người bầu cử có 32 người ủng hộ cử tri A. Tìm ước lượng

khoảng tin cậy 95% cho p.

p≤ ≤.053 .107

Ví dụ: ước lượng tỉ lệ

n

)p(pZp ss

/s−•− α

12

≤≤ pn

)p(pZp ss

/s−•+ α

12

400

0810896108

).(...

−•−400

0810896108

).(...

−•+≤≤ p