3. differensial parsial-fungsi variabel banyak
DESCRIPTION
kalkulus.TRANSCRIPT
1
DEFINISI TURUNAN PARSIAL
Jika didalam f(X,Y) nilai Y ditahan agar konstan, maka f menjadi fungsi satu perubah bebas x ,Turunan semacam ini disebut turunan parsial f terhadap x dan biasanya ditulis
yx x
fyxf
),(
x
y y
fyxf
),(
animE stuDio
Jika f(x,y) nilai x dibuat konstan, maka turunan parsial terhadap y adalah
2
Contoh….
)ln(3),( 222 yxxyxyxf
xyx
yxyxfx
yxfx 2
132),(
),(22
yyx
xx2yxfy
yxfy 2
13),(
),(22
animE stuDio
3
Pada kasus gas ideal:
V
nRTp
V
nR
T
p
nV
, V
RT
n
p
vt
,2
, V
nRT
V
p
nT
animE stuDio
4
Volume ( V ) suatu gas tertentu memerlukan hubungan dengan temperaturnya (T) dan tekanannya ( P ) menurut hukum gas pV = 10 T. Jika volume gas itu diusahakan konstan 200. Berapa laju perubahan sesaat tekanan terhadap temperatur?
animE stuDio
Jawab :P = 10 T/Vdp / dT = 10 / VLaju perubahan P terhadap T jika v
konstan.Karena v = 200, maka laju perubahan p
terhadap T adalah 10/200 = 0,05
5
Diberikan fungsi maka.),,( zyxf
zyx x
fzyxf
,
),,(
zx
y y
fzyxf
,
),,(
xyz z
fzyxf
,
),,(
)!,,(),,,(),,,( zyxfzyxfzyxTentukanf zyx
zxyzxyzyxf 32),,(
animE stuDio
Turunan parsial terhadap z
Turunan parsial terhadap y
Turunan parsial terhadap x
6
TURUNAN LEBIH TINGGI
Turunan parsial fungsi f terhadap x atau y
Jika diturunkan lebih lanjut terhadap x atau y
x
y y
fyxf
),(
),( yxf x
),(),(2
2
yxfx
zyxf
x xxx
),(),(2
yxfyx
zyxf
y xyx
yx x
fyxf
),(
animE stuDio
7
Jika diturunkan lebih lanjut terhadap x atau y),( yxf y
),(),(2
2
yxfy
fyxf
y yyy
),(),(2
yxfxy
fyxf
x xyy
Pada kasus gas ideal, buktikan bahwa
nnVT
p
TV
p
22
animE stuDio
8
DIFERENSIAL TOTAL
Suatu fungsi z=f(x,y) jika didefensial secara total, akan menghasilkan
dy
y
zdx
x
zdz
xy
.........
ddd
zdc
c
zdb
b
zda
a
zdz
animE stuDio
Jika z merupakan fungsi yang mempunyai variabel lebih dari 2, z=f(a,b,c,d,…), maka.
9
Persamaan yang sering ditemukan di termodinamika
),( yxMx
z
),( yxNy
z
y
z
xx
z
y
animE stuDio
Dari sifat komulatif diferensial parsial, yaitu:
Jika dihubungkan dengan definisi diferensial total, maka:
dz = M(x,y) dx + N(x,y) dy
10
Dari sifat komulatif diferensial parsial, didapatkan bahwa.
),(),( yxNx
yxMy
animE stuDio
Hubungan tersebut merupakan Resiprositas EulerJika suatu fungsi memenuhi Resiprositas Euler, maka fungsi tersebut dikatakan diferensial eksak, dan sebaliknya.Contoh : Energi dalam U, Entalpi H, Entropi S, Energi bebas Helmholtz A, Energi bebas Gibbs G
11
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
• Relasi antara x dan y (f=(x,y)) disebut bentuk eksplisit
• Jika antar x dan y tidak berbentuk seperti itu maka dikatakan x dan y berelasi secara implisit
A. Fungsi-fungsi variabel tunggal
fungsi implisit tipe f (x,y)=0 , yaitu :
karena f (x,y) = o , maka :
animE stuDio
dyy
fdx
x
fdf
y
x
f
f
y
f
x
f
dx
dy
12
Contoh. Cari jika 134 32 xyyx
dx
dy
34
12
3
x
x
34
83
34
382
2
2
2
x
xyx
x
xxy
dx
dy
Ganti y dengan cara 4 x2y – 3 y = x3-1y (4 x2 – 3y) = x3-1
y =
Penyelesaian : df = ( 8 xy – 3 x2 ) dx + ( 4x2-3 ) dy
13
34
34
183
2
2
32
x
x
xxx
dx
dy
22
322
)34(
)1(8)34(3
x
xxxx
dx
dy
22
424
)34(
88912
x
xxxx
dx
dy
22
24
)34(
894
x
xxx
dx
dy
B. Fungsi dua variabel
fungsi 2 variabel, F (x,y,z)=0 , maka :
0
dzz
Fdy
y
Fdx
x
FdF
14
zF
dyyF
zF
dxxF
dz
Jika y konstan, maka dy bernilai nol.
z
Fx
F
x
z
y
Jika x konstan, maka dx bernilai nol.
z
F
y
F
y
z
x
Persamaan Van Der Waals
RTbVV
ap
2
15
Penurunan fungsi implisit
Contoh:
xyx 423
2cos23 xyxyy
134 32 xyyx
animE stuDio
16
C. Manfaat hubungan antar turunan parsial
dyy
zdx
x
zdz
jika z = f ( x,y ) memiliki differensial total dz :
Untuk z yang konstan, maka dz bernilai nol. Persamaannya adalah :
x
y
z
y
z
x
z
x
y
Aplikasinya contohnya adalah : CHAIN RULE
1
xyz y
z
z
x
x
y
df= -SdT-pdV >>> F = F (T,V)
17
Perubahan Variable
Z= f(u,v)U= f(x,y)V= f(x,y)
Turunan z terhadap x
Turunan z terhadap y
animE stuDio
dz
dvx
dv
dz
dx
dux
du
dz
dx
dz
dy
dvx
dv
dz
dy
dux
du
dz
dy
dz
18
Turunan Energi dalam terhadap temperatur
animE stuDio
PTvp dT
dV
dV
VTdU
dT
VTdU
dT
PTdU
),(),(),(
H= U + PV
PdT
dHCp
PdT
PVUdCp
)(
PP dT
PVd
dT
dUCp
)(
dT
VdP
dT
dVP
dT
dUCp
PP
PP dT
dVP
dT
dUCp
PP
P T
VPC
T
U
19animE stuDio
PTV
PP T
V
V
UC
T
VPC
PTVP T
VP
V
UCC
Karena gaya antarmolekul gas diabaikan maka energi dalam tidak bergantung pada volume, sehingga (dU/dV) bernilai 0 dan
Cp = Cv + R
VV T
UC
20
TRANSFORMASI LEGENDRE DAN RELASI MAXWELL
Persamaan Transformasi Legendre.
Jika f merupakan fungsi dari n variable x1, x2, …., xn, maka
nn
dxx
fdx
x
fdx
x
fdf
......22
11
animE stuDio
21
Jika…
11
xx
ffg
11
11
xx
fddx
x
fdfdg
nn
dxx
fdx
x
fdx
x
fx
x
fddg
.......33
22
11
animE stuDio
Persamaan tersebut dinamakan Transformasi Legendre
Maka diferensial totalnya adalah…..
22
PERSAMAAN TERMODINAMIKAdU = TdS – PdVApabila U adalah fungsi S dan V , U = f (S,V), diferensial totalnya.
dVV
UdS
S
UdU
SV
SV V
Udanp
S
UT
animE stuDio
Jika kedua persamaan tersebut dihubungkan, didapatkan.
23
Sifat komposit sistem dan turunannya
animE stuDio
H = U + pV → dH = dU + pdV + Vdp → dH = Tds + Vdp
A = U – TS → dA = dU – TdS – SdT → dA = - SdT – pdV
G = U + pV – TS → dG = dU + pdV + Vdp – TdS –SdT → dG = - SdT + Vdp
24
APLIKASI TRANSFORMASI LEGENDRE
H = U + PV
Apabila H merupakan fungsi dari S dan p, maka H =f(S,p)
dH = TdS + VdpdH = TdS + Vdp
dpp
HdS
S
HdH
Sp
animE stuDio
25
Dengan cara yang sama, didapatkan:
dTT
AdV
V
AdA
VT
dTT
Gdp
p
GdG
pT
animE stuDio
dG = VdP – SdT
dA = - pdV – SdT
26
HUBUNGAN MAXWELL
Untuk memperoleh hubungan Maxwell diterapkan hubungan pertukaran Euler, yaitu :
dU = TdS – pdVSS V
U
SS
U
V
dVV
UdS
S
UdU
sv
vS
UT
sV
Up
SV
U
S
U
VV
T
vss
2
VS
U
V
Ux
SS
p
sVV
2vs S
p
V
T
animE stuDio
27
Hubungan Maxwell lain
dH = TdS + Vdp >>>
dA = -SdT – pdV>>>
dG = VdP – SdT>>>
psS
V
p
T
VT T
P
V
S
TsS
V
p
T
animE stuDio