等質量3体8の字コレオグラフィーのモースインデックスの計算

福田宏，藤原俊朗，尾崎浩司

北里大学一般教育部，東海大学理学部

(2017.9.7 9:30-9:50武蔵野大学有明キャンパスF会場)

1

目次

斉次ポテンシャル −1/𝑟𝑎

Lenard Jones(LJ)ポテンシャル −1/𝑟6 + 1/𝑟12

(原子-原子の相互作用のモデルポテンシャル)

のもとでの等質量3体8の字解のモースインデックスの数値計算

1. 等質量3体8の字解

2. モースインデックス

3. 斉次ポテンシャル8の字解のモースインデックス

4. Simóの8の字周期解

5. LJポテンシャル8の字解のモースインデックス

6. Discussions

2

等質量3体8の字解

3

斉次ポテンシャル等質量3体8の解

Moore (1993)が数値的に発見し

Chenciner and Montgomery (2000)が存在証明した

3体8の解

a=1 (Newtonian Gravity)

𝑢 𝑟 = −1

𝑟

4

a=6

𝑢 𝑟 = −1

𝑟6

5

Lenard-Jones(LJ)ポテンシャル等質量3体8の解

Inhomogeneous potential

𝑢 𝑟 = −1

𝑟6+

1

𝑟12

6

−1/𝑟6の8の字解と殆ど同じ

Lenard-Jones(LJ)ポテンシャル等質量3体8の解

Inhomogeneous potential

𝑢 𝑟 = −1

𝑟6+

1

𝑟12

7

−1/𝑟6の8の字解と殆ど同じ

しかし，スケーラブルではない。

𝑥𝑚 = 3.0

𝑥𝑚

𝑇 = 235.38

8

𝑥𝑚 = 2.8

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 175.11

9

𝑥𝑚 = 2.6

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 127.28

10

𝑥𝑚 = 2.4

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 90.05

11

𝑥𝑚 = 2.2

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 61.75

12

𝑥𝑚 = 2.0

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 40.84

13

𝑥𝑚 = 1.8

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 25.97

14

𝑥𝑚 = 1.6

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 15.99

15

𝑥𝑚 = 1.4

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

最小周期𝑇𝑚= 14.48

16

𝑥𝑚 = 1.36237

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 15.30

17

𝑥𝑚 = 1.4

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 22.33

18

𝑥𝑚 = 1.6

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 33.36

19

𝑥𝑚 = 1.8

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 49.01

20

𝑥𝑚 = 2.0

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 70.21

21

𝑥𝑚 = 2.2

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

𝑇 = 133.71

22

𝑥𝑚 = 2.6

周期𝑇と作用𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑞

Figure-eight choreographies of the equal mass three-body problem with Lennard-Jones-type potentials, Hiroshi Fukuda, Toshiaki Fujiwara, Hiroshi Ozaki, J. Phys. A: Math. Theor. 50, 105202 (2017).

モースインデックス

23

作用𝑆 𝑞 の第𝑘変分

周期𝑇のコレオグラフィー𝑞 𝑡 の作用

𝑆 𝑞 = න0

𝑇

𝐿 𝑞, ሶ𝑞 𝑑𝑡

𝑆 𝑞 の第𝑘変分

𝑆 𝑞 + ℎ𝛿𝑞 = 𝑆 0 + ℎ𝑆 1 +ℎ2

2𝑆 2 +⋯

24

Lagrangian

𝑞 𝑡 は運動方程式の解なので第一変分𝑆(1)は0。作用𝑆 𝑞 の臨界点(critical point)

第二変分𝑆(2)

𝑆(2) = න0

𝑇

𝑑𝑡(𝛿𝑞𝜕

𝜕𝑞+ ሶ𝛿𝑞

𝜕

𝜕 ሶ𝑞)2 𝐿

は，

= න0

𝑇

𝑑𝑡 𝛿𝑞∗(−𝑑2

𝑑𝑡2−𝜕2𝐿

𝜕𝑞2)𝛿𝑞

と書けるので𝛿𝑞を固有値問題

(−𝑑2

𝑑𝑡2−𝜕2𝐿

𝜕𝑞2)𝜓 = 𝜆𝜓

の固有関数にとれば，

𝑆(2) = 𝜆.

25

モースインデックス 𝑁

負固有値の数，つまり𝑆(2)を負にする独立な関数の数

26

Positive mode

Negative mode

𝑞

𝜆 > 0

𝜆 < 0

数値計算

𝜓 𝑡 を𝑀項のフーリエ級で展開して;

𝜓𝑖 𝑡 =

𝑘=0

𝑀−1

𝑐𝑖𝑘𝜙𝑘(𝑡) ,

𝜙0 =1

2, 𝜙2𝑘−1 = sin 𝑘𝜔𝑡 , 𝜙2𝑘 = cos 𝑘𝜔𝑡,

6𝑀 × 6𝑀の実対称行列の固有値問題にして解く。

𝐵𝑐 = λ𝑐, 𝐵𝑖𝑘,𝑗𝑙 =𝑇𝜔2

2

𝑘 + 1

2

2

𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 −න0

𝑇

𝑑𝑡𝜙𝑘(𝑡)𝜕2𝐿

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑗𝜙𝑙(𝑡)

𝑀 = 81(重力(𝑎 = 1)8の字解)～6401 (メモリー限界).

（参考）柴山允瑠，天体力学N体力学研究会集録(2010)

27

斉次ポテンシャル8の字解のモースインデックス

28

固有値の昇順に，20個の固有関数

負固有値2つ

Morse Index

N=2

𝑎 = 1 8の字解の固有モード

29

負固有値2つ

青: 8の字軌道（粒子0の軌道） 𝒒0 𝑡

他: 変分した粒子𝑖 = 0,1,2の軌道 𝒒𝑖 𝑡 + ℎ𝝍𝑖 𝑡

変分された軌道が3つに分裂：non-choreographicな軌道

固有値は2重に縮退

30

non-choreographicモードは2重に縮退し，

choreographicモードは縮退しない。

Non-choreographic, Choreographicモード

31

Choreographic, 8の字choreographic

変分関数をChoreographic に限定したMorse index 𝑁𝑐 = 0

変分関数を8の字対称Choreographic に限定したMorse index𝑁𝑒 = 0

変分関数を限定しないMorse index𝑁 = 2

32

ゼロモード

33

並進と回転

時間(エネルギー保存) 回転(角運動量保存)

x方向, y方向の並進(運動量保存)

𝑆 𝑞 + ℎ𝛿𝑞 = 𝑆(𝑞)なので መ𝑆(2) 𝑞 = 𝜆 = 0

34

𝜓0 = 𝜓1 = 𝜓2 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 = sin 𝑘𝜔𝑡 , cos 𝑘𝜔𝑡

Trivialモード𝜆 = (2𝜋𝑘

𝑇)2

35

まとめ：5種類のモード

36

Choreographic

trivial

non-choreographic zero

8の字Choreographic

斉次ポテンシャルのモースインデックス

For 𝑢 𝑟 = −1

𝑟𝑎

𝑁 = ൞4 0 ≤ 𝑎 < 0.9972 (0.997 < 𝑎 < 1.342)

0 1.342 < 𝑎

𝑁𝑐 = 0 0 ≤ 𝑎

𝑁𝑒 = 0 0 ≤ 𝑎

37

Simóの8の字周期解

38

Non-choreographicモード

39

非対称なモードには解が対応している？

（3月の東工大での研究会で，矢ヶ崎先生）

40

SimóのH軌道(2000)

SimóのH軌道(8の字周期解)

41

SimóのH軌道(2000)：

• 3粒子が僅かにずれた3つの8の字軌道を周期運動

• 1つ軌道は原点を通り，

•全体は横軸，縦軸に対して対称（横軸に対する反転で2つの軌道は入れ替わる）

（SimóはH1,H2,H3軌道と名付けているが粒子番号を付け替えた同じものなのでここではH3をH軌道と呼ぶ)

𝑞 + ℎ𝜓(Θ), 𝜓(Θ) = cosΘ𝜓(7) + sinΘ𝜓(8), ℎ = 0.28375

SimóのH軌道𝑞(𝐻)と殆ど一致，差の時間平均 < 10−7

42

固有空間での作用𝑆(𝑞 + ℎ cosΘ𝜓(7) + ℎ sinΘ𝜓(8))

43

ℎ cosΘ

ℎsinΘ

極小: 𝑞

𝑆(2) = 𝜆=0.00027>0

極大: 𝑞(𝐻)粒子番号の巡回置換

粒子番号の巡回置換で不変

ℎ = 0.28375 ≅6Δ𝑆

𝜆（3次式を仮定した値）

Lenard Jonesポテンシャル８の字解のモースインデックス

44

LJ 8の字解のモースインデックス

45

LJ 8の字解のモースインデックス

46

0から単調増加T=Tmで1増え

12,4,1へ単調増加

オイラー標数𝜒𝑒 = σ𝑝(−1)𝑁𝑒(𝑝)= 0

47

解なし，𝜒𝑒 = 0(Sbanoの定理)

𝜒𝑒 = (−1)0+(−1)1= 0

分岐点近くで他の枝の解を見る

• Sの大きな枝の解から，Sの小さな枝の解が負の8の字対称choreographicモードに，

• Sの小さな枝の解から，Sの大きな枝の解が正の8の字対称choreographicモードに

•見えるはず。

48

49

𝑆(𝑞 + ℎ𝛿𝑞)

ℎ𝑞 + ℎ𝛿𝑞

Sの大きな枝の解のモード

Sの大きな枝の解のモード

𝑇 = 𝑇𝑚でモースインデックスが1変化

50

それゆえ，モースインデックス（極大モードの数）が𝑇 = 𝑇𝑚で1減る。

𝑆の大きな枝の解は，近くに𝑆の小さな枝の解をもつので，極大モードを持たねばならない。

𝑆の大きな枝の解を𝑇𝑚まで追っていくと，𝑇 = 𝑇𝑚で極大が極小に入れ替わる。

モードの相関

LJポテンシャル𝑇 = 16.4のモード

𝑇を少しづつ変化させモードの対応（相関）を観察できる。

𝑇 → ∞で−1/𝑟6斉次ポテンシャルのモードに対応がつくので斉次ポテンシャルの次数𝑎も含む相関図を作ることができる。

51

モードはパラメタ𝑇, 𝑎を通じてつながっている。

52

𝑎 = 1

𝑇 = 16.4

Discussions

53

Simó H解の行方

• SimóのH解はポテンシャルの次数を変化させるとどうなるか。

•次数𝑎 = 0.997でH解に対応するモードは符号を変える。

•固有値が負になる𝑎 = 0.994で固有空間の等高線図には極小値が見える。

54

オイラー標数𝜒(𝑎) = σ𝑝(−1)𝑁(𝑝)

を数えると，

• 𝑎 = 1では，𝑁 1 = 2で，3つのH解に対応する臨界点があるので，𝜒(𝑎) =偶数

• 𝑎 = 0.994に3つの臨界点がないと，𝜒 𝑎 = (−1)𝑁 0.994 = 1となりオイラー標数が変化する。

固有モードの等高線図と，オイラー標数から，SimoのH解は𝑎 <0.997でも存在すると予想される。

55

非対称H解

• SimóのH解に対応するモードの他に，負のNon-choreographicモードがある。それに対応する解は存在するか。

• その解は，モードの対称性から， SimoのH解より対称性いだろう。

56

今後

• LJポテンシャルの多彩な8の字解のモースインデックス

• SimóのH解の追跡，非対称H解の探索

57