§3-3 晶格振动量子化与声子

问题的提出： 在简谐近似下，晶体中存在 3NS 个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这 3NS 个简谐格波共同决定，那么， 晶格振动的系统能量是否可表示成3NS 个独立谐振子能量之和？

2 2

一、晶格振动和谐振子 1 ．系统能量的普遍表示 一维单原子链中，平衡时距原点为 na

的原子， t 时刻的绝对位移是 q 所有可能的 N 个值的特解的线性叠加：

tqnai

qqn eAtU ＝

iqna

qq etA＝

其中 Aq （ t ）＝ Aqe-iωt 。按经典力学

系统的总能量为动能和势能之和：

nnn

nn UUUmWTE 2

1

2

22

1 ＝＝

该表示式中有（ Un+1×Un ）的交叉项存在，对建立物理模型和数学处理都带来困难。用坐标变换的方法

消去交叉项。

2 ．坐标变换（变量置换） 设

q

iqnaqn etQ

NmtU

1＝

（ 3 － 51 ）

式中 Qq(t) 称为简正坐标，容易证明：

（ 3 － 52 ）

',

i q q na

q qn

e N ’＝

',

i n n qa

n nq

e N ’＝

证明要点： q=q’ 时，显然成立； q≠q’ 时，为等比级数求和，即可证。

由式（ 3 － 51 ），（ 3 － 52 ）可得

q

iqnaqn etQ

NmtU

1＝

iqna

nnq etU

N

mtQ ＝

iqna

nnq etU

N

mtQ ＝

（ 3 － 51’ ）

（ 3 － 53’ ）

（ 3 － 53 ）

3 ．系统能量的重新表示

     

由式（ 3 － 51 ）～（ 3 － 53’ ）可得系统势能

qqq

q QQW 2

2

1 ＝

22

2

1q

qq Q (3-54’)

式中 ω2q = 2

sin4 2 qa

m

不含交叉项了。（请同学们自行推导）

类似地，系统的动能也可写为

n

nUmT2

2

1＝

qqQ

2

2

1＝

于是系统总能量可写成不含交叉项的标准式：

q qqqqq EQQE ＝＋＝

222

2

1 (3-56)

复习：经典谐振子能量 E ＝ T ＋ W ＝ m + kx2 ,

所以（ 3 － 56 ）式相当于 m=1, k=ωq2 的

以 Qq 为自变量的谐振子能量。 可见由 N 个原子组成的一维单原子晶体有 N个格波，其晶格振动能量可看成 N 个谐振子的能量之和。

2x2

1

2

1

二 、能量量子和声子 （量子力学修正） 把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。量子力学告诉我们，频率为的谐振子，其能量为

nEn 2

1＝ n=0,1,2……

（ 3 － 57 ）

这表明谐振子处于不连续的能量状态。

当 n ＝ 0 时，它处于基态， E0 ＝ , 称为零点能。

相邻状态的能量差为 , 它是谐振子的能量量子，称它为声子，正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。

2

1

3NS 个格波与 3NS 个量子谐振子一一对应

因此式（ 3 － 57 ）也是一个频率为 ω 的格波的能量。

频率为 ωi(q) 的格波被激发的程度，用该格波所具有的能量为 ωi (q) 的声子数 n 的多少来表征。

1. 声子是玻色子

一个模式可以被多个相同的声子占据，ω 和 q 相同的声子不可区分，自旋为零。满足玻色统计。 除碰撞外，不考虑它们之间的相互作用，则可视为近独立子系，则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。

讨论

2. 平衡态声子是非定域的对等温平衡态，格波是非定域的，声子属于格波，所以声子也是非定域的，它属于整个晶体 .

粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量守恒。

3. 声子是一种准粒子

4. 准动量选择定则

不具有通常意义下的动量，常把 q 称为声子的准动量。准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢 Gh

ω(q)= ω(q+ Gh)

例 : 二声子作用q1 ＋ q2 ＝ q3 ＋ Gh 简写成： q1 ＋ q2 ＝ q3 ＋ Gh

各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？ 由于声子间相互作用很弱，除了碰撞外，可不考虑它们之间的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色－爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。

三 . 平均声子数

在确定的温度 T 下，频率均为ω的 N个格波的平均能量

N

N nnn

＝

其中： N— 频率为ω的格波总数， （并不是晶体的格波总数） Nn—频率为 ω，能量为 En(即声子数为 n)的格波数，能量为 的声子在同 ω的格波间均可存在，某

一 ω的格波具有声子数 n 的状态，满足一定的几率分布。可理解为声子在格波间可跳跃。

Nn/N ：温度为 T、频率为ω、能量为 En(即n 为某确定值 )的格波出现的几率，由玻尔兹曼统计

其中：分母为配分函数 gn ：能量为 En 的相格数，即能量 En 的简并度。 设： gn ＝ 1

KTEn

n

KTEn

nn

n

eg

eNgN

＝

0

0

n

KTE

KTE

nn

n

n

e

eEE ＝

0

0

n

KTE

KTE

nn

n

n

e

eEE ＝

nEn 2

1＝其中，由（ 3 － 57 ）

KT

KT

n

KTn

n

KTn

e

e

e

en

2

2

0

0

2

1

＋＝

)(ln0

0

2

0

2

n

KT

n

n

KT

nn

KT

n

eT

e

KTe

TKT

＝＝

因为

02

0

2

)1

)((n

KT

n

n

KT

ne

TK

n

e

KT

＝

0

0

n

KT

nn

KT

n

e

en

＝

0

0

1

2

n KT

n

n KT

n

n e

e

＝ ＋

• 利用等比级数求和公式、求导、整理可得

E 2

1 ＋ kBT2

（ 3 － 58 ）

1)exp(

1

2

1

TkE

B

＋＝

）（ n2

1（ 3 － 58‘)

n=0 B

n[ln exp( ]

kT T

）

其中

意义： 频率为ω的格波温度为 T时的平均声子数。 当 ＝ k

BT 时， ≈ 0.6, 定性地讲，此格波已

激发，以此为界，温度为 T 时，只有 ω≤kBT 的格

波才能被激发。

1exp

1),(

－＝

Tk

Tn

B

（ 3 － 59)

n