3.1.3k Phổ tần số của hàm tự tương quan rx(m) : Phổ tần số của hàm tự tương quan

chính là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số .

Nếu :

Thì : [3.1-42]

Hay : [3.1-43]

Đó chính là nội dung của định lý Wiener - Khintchine. Chứng minh : Trong biểu thức của hàm tương quan, khi thay nhận được hàm tự tương quan , vì thế theo [3.1-41] có :

Ví dụ 3.12 : Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số .

Giải : Sử dụng [3.1-6] và [3.1-42] tìm được :

3.2 Phổ của tín hiệu số

3.2.1 Các đặc trưng phổ của tín hiệu số Biến đổi Fourier của tín hiệu số x(n) là hàm phổ X(ej) của nó :

Từ đó xác định được :- Phổ biên độ X(ej)được tính theo [3.1-15] :

- Phổ pha () = Arg[ X(ej)] được tính theo [3.1-16] :

- Năng lượng được tính theo công thức Parseval [3.1-37] :

- Mật độ phổ năng lượng được tính theo [3.1-39] :

Hàm phổ X(ej), phổ biên độ X(ej), phổ pha (), và hàm mật độ phổ năng lượng là các đặc trưng phổ của tín hiệu số x(n).Ví dụ 3.13 : Cho tín hiệu số , hãy xác định các đặc trưng phổ của tín hiệu.Giải : Theo [3.1-6] và tính chất trễ của biến đổi Fourier có :

Hàm phổ :

Hàm phổ biên độ :

Hàm phổ pha :

Hàm mật độ phổ năng lượng :

131

Về ý nghĩa vật lý, đồ thị của hàm phổ biên độ X(ej) và hàm mật phổ năng lượng chính là bức tranh cho biết sự phân bố năng lượng của tín hiệu số x(n) trên trục tần số. Đồ thị phổ pha () cho biết quan hệ về pha giữa các thành phần tần số của phổ tín hiệu.

Phương pháp phân tích tín hiệu số x(n) dựa trên các đặc trưng phổ của nó được gọi là phương pháp tần số, hay phương pháp phân tích phổ, nó thường được sử dụng để xử lý số tín hiệu âm thanh.

3.2.2 Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T)3.2.2a Định lý lấy mẫu

Định lý lấy mẫu là cơ sở để rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà không làm mất thông tin của nó, và vì thế có thể khôi phục tín hiệu liên tục từ tín hiệu lấy mẫu.

Giáo trình lý thuyết mạch đã trình bầy và chứng minh định lý lẫy mẫu, do đó ở đây chỉ nhắc lại nội dung của định lý.

Định lý lấy mẫu : Mọi tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f fc đều hoàn toàn được xác định bởi các giá trị tức thời rời rạc của nó tại các thời điểm cách đều nhau một khoảng thời gian (tương ứng ).

Định lý lấy mẫu nêu lên hai điều kiện bắt buộc phải được đảm bảo để việc lấy mẫu không làm mất thông tin của tín hiệu liên tục :

1. Tín hiệu liên tục x(t) phải có phổ hữu hạn f fc

2. Chu kỳ lấy mẫu T phải thỏa mãn điều kiện 3.2.2b Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T)

Để thấy được bản chất vật lý của định lý lấy mẫu, chúng ta sẽ xác định quan hệ giữa hàm phổ của tín hiệu liên tục x(t) và hàm phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) tương ứng.

Xét tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f < fc (hay < c ), quan hệ giữa x(t) và phổ của nó là cặp tích phân Fourier :

Biến đổi Fourier thuận : [3.2-1]

Biến đổi Fourier ngược : [3.2-2]

Khi rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) với chu kỳ lấy mẫu T, nhận được tín hiệu lấy mẫu x(n.T). Quan hệ giữa x(n.T) và hàm phổ X(ej) của nó là cặp biến đổi Fourier của tín hiệu số [3.1-23] và [3.1-24] , khi thay biến n bằng biến n.T :

Biến đổi Fourier thuận : [3.2-3]

Biến đổi Fourier ngược : [3.2-4]

Khi thực hiện rời rạc hóa tín kiệu liên tục x(t) theo định lý lấy mẫu thì ,

nên có thể viết lại [3.2-2] dưới dạng :

[3.2-5]

Khi đó, giá trị của x(n.T) tại thời điểm n = k được xác định là :

Biểu thức trên nhận được do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ejnT.Khi cho k biến thiên từ - đến + nhận được :

Hay : [3.2-6]

Nhân và chia [3.2-6] cho chu kỳ lấy mẫu T, đồng thời đổi thứ tự của dấu tổng và dấu tích phân, nhận được biểu thức :

132

[3.2-7]

So sánh biểu thức dưới dấu tích phân của [3.2-7] và [3.2-4] nhận được :

[3.2-8]

Biểu thức [3.2-8] cho thấy, hàm phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) là hàm tuần hoàn

của biến tần số góc với chu kỳ T = 2/T , và là tổng vô số các hàm phổ của tín hiệu liên tục x(t).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn và chu kỳ lấy mẫu T thỏa mãn điều kiện của định lý lấy mẫu : T /c , thì phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có chu kỳ T 2c . Khi

đó, phổ X(ej) là tổng của các phổ hữu hạn tách biệt nhau như trên các đồ thị hình 3.4 và hình 3.5, nên ứng với mỗi giá trị của k , phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có dạng đúng với phổ của

tín hiệu liên tục x(t) nhưng biên độ bị giảm T lần : . Vì thế, khi cho tín hiệu lấy

mẫu x(n.T) đi qua bộ lọc thông thấp để lấy thành phần phổ của X(ej) ứng với k = 0, sẽ nhận được đúng phổ , do đó khôi phục được tín hiệu liên tục x(t).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn, nhưng chu kỳ lấy mẫu không thoả mãn điều kiện của định lý lấy mẫu : T > /c , thì phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ có chu kỳ T

< 2c . Khi đó phổ X(ej) là tổng của các phổ hữu hạn có các biên tần trùm lên nhau như

trên hình 3.5. Sự trùm phổ làm cho X(ej) bị méo dạng so với phổ của tín hiệu liên tục x(t), vì thế không thể khôi phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ không hữu hạn như trên hình 3.6 , thì chắc chắn xẩy ra hiện tượng trùm phổ, nên phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ không thể có dạng giống với phổ của tín hiệu liên tục x(t), do đó không thể khôi phục được tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

Như vậy, bản chất vật lý của việc rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) mà không làm mất thông tin trong nó là ở chỗ, khi đảm bảo các điều kiện của định lý lấy mẫu thì tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có phổ X(ej) tuần hoàn, và mỗi chu kỳ của phổ X(ej) hoàn toàn giống với phổ của tín hiệu liên tục x(t), do đó thông tin của tín hiệu liên tục x(t) được bảo toàn trong tín hiệu lấy mẫu x(n.T).

Như vậy, khi được rời rạc hóa theo đúng điều kiện của định lý lấy mẫu, thì độ rộng phổ của một chu kỳ phổ tín hiệu số đúng bằng độ rộng phổ của tín hiệu liên tục. Do đó, để không gây méo tín hiệu số thì dải thông của hệ xử lý số phải độ rộng phổ của tín hiệu liên tục tương ứng.

Hình 3.2 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổ hữu hạn : | | < c.

Hình 3.3 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T = /c thì T = 2c.

Hình 3.4 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T < /c thì T > 2c.

133

)(X

- c c

- c c

X(ej)

X(ej)

- c c

X(ej)

c- c

X(ej)

Hình 3.5 : Phổ X(ej) của tín hiệu lấy mẫu, khi T > /c thì T < 2c.

Hình 3.6 : Tín hiệu liên tục x(t), có phổ vô hạn.

134

)(X