2w anova stas-ques cm2 ancova manova cm2 sébas-en couette master 1 ages se gbs vvt anova à 2...
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2wANOVAANCOVAMANOVA
Sta-s-quesCM2
Sébas-enCOUETTE
Master1AGES SE GBS VVT
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ANOVAà2facteurs
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Comparaison de 2 groupes (apparié ou non)
ANOVA Corrélation Régression
Paramétrique Test de Student (apparié ou non)
ANOVA paramétrique
Corrélation de Pearson
Régression
Non paramétrique
Test de Wilcoxon (apparié ou non)
ANOVA de Kruskall-Wallis
Corrélation de Spearman ou de Kendall
________
X
Y
+ TEST DE CHI-DEUX ou TEST DE FISHER pour Tables de contingences
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ANOVAà2facteurs
Rappel:l’ANOVAà1facteur
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Rappel:l’ANOVAà1facteur
ANOVAà2facteurs
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Comparaison de 2 groupes (apparié ou non)
ANOVA Corrélation Régression
Paramétrique Test de Student (apparié ou non)
ANOVA paramétrique
Corrélation de Pearson
Régression
Non paramétrique
Test de Wilcoxon (apparié ou non)
ANOVA de Kruskall-Wallis
Corrélation de Spearman ou de Kendall
________
X Y
ANOVAà2facteurs
1varquan-/1varquali
1varquan-
2ou
plusvarq
uali ANOVAà2facteurs
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ANOVAà2facteurs
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ANOVAà2facteurs
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ANOVAà2facteurs
Exemple:
Unvi-culteurchercheàaméliorersaproduc-on.Ilapplique4traitementsdifférentsà5desescépagesetregarde,sur2années,sonrendementmoyen.
-Premierfacteurà4modalités:traitement(αi)
-Deuxièmefacteurà5modalités:cépage(βj)
-Variablequan-ta-ve:rendementmoyen(Yijk)
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ANOVAà2facteurs
Exemple:
cépageTraitement
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ANOVAà2facteurs
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ANOVAà2facteurs
Graphiquedesinterac-onstraitementsetcépages
Lerendementmoyenparcépagediffèrepartraitementetviceversa
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ANOVAà2facteurs
TestdeShapirosurlesrésidus
Bartle`surlesrésidusparfacteur
4)N>30
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ANOVAà2facteurs
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ANOVAà2facteurs
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ANOVAà2facteurs
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ANOVAà2facteurs
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Rendement
TraitementCépage
ANOVAà2facteurs
Icilesp-value<0,05donconaccepteH1.→Ainsilesfacteurscépageettraitementainsiqueleurinterac;onontuneffetsignifica-fsurlerendement.→L'effetdutraitementsurlerendementdiffèrelecépage,etviceversa.
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ANCOVA
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Modèles linéaires simples
Procédure Variable dépendante
Variable(s) independante(s)
Régression simple 1 continue 1 continue ANOVA à un facteur 1 continue 1 discrète ANOVA à facteurs multiples
1 continue 2 ou plus discrètes
ANCOVA 1 continue Au moins 1 discrète et au moins une 1 continue
Régression multiple 1 continue 2 ou plus continues
ANCOVA
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Comparaison de 2 groupes (apparié ou non)
ANOVA Corrélation Régression
Paramétrique Test de Student (apparié ou non)
ANOVA paramétrique
Corrélation de Pearson
Régression
Non paramétrique
Test de Wilcoxon (apparié ou non)
ANOVA de Kruskall-Wallis
Corrélation de Spearman ou de Kendall
________
X Y
2varquan-
1varq
uali
ANCOVA
ANCOVA
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Utilisation de l’ANCOVA
• Afin de comparer une relation entre une variable dépendante (Y) et une variable indépendante (X1) pour différents niveaux d’une variable discrète (X2)
• ex: la relation entre le poids (Y) et la taille (X1) pour différents groupes taxonomiques (oiseaux et mammifères, X2)
Taille
Mas
se
Taille
ANCOVA
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• Lorsque l’on fait ces comparaisons, on suppose que les modèles sont qualitativement similaires pour tous les niveaux de la variable discrète...
• …autrement ce serait comme comparer des pommes et des oranges!
X1
Y Modèles qualitativement différents
Y Modèles qualitativement similaires
Utilisation de l’ANCOVA
ANCOVA
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Le modèle de la régression simple
• Le modèle de la régression:
• toutes les régressions simples sont décrites par 2 paramètres: l’ordonnée à l’origine (a) et la pente (b)
Y a bX ei i i= + +
X ΔX
ΔY
b = ΔY/ΔX (pente)
a(ordonnée
à l’origine)
ei
Xi
Yi
Observées Prédites
ANCOVA
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X1
Y a diffèrent même b
X1
Y a & b diffèrent
X1
Y même a, même b
X1
Y même a,différents b
ANCOVA
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• Le modèle complet
• βi est la pente de la régression de Y sur X1 estimée pour le niveau i de la variable discrète X2
• αi est la différence entre les moyennes de la variable discrète X2 pour chaque niveau i et la moyenne générale.
Le modèle complet
Y X Xij i i ij i ij= + + − +µ α β ε( )
Niveau 1 de la variable X2 Niveau 2 de la variable X2
µ
Y1
Y2
X1 X 2
α1
ε1 j
X j1
X Xj1 1−
α 2
β1 β 2
ANCOVA
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Le modèle complet
• Pour le modèle complet contenant 2 variables indépendantes, on a 3 hypothèses nulles:
0:constante,:
, les pour tous 0:
03
02
01
==
=
=
ββ
β
α
i
i
i
HH
iH
Niveau 1 de la variable X2 Niveau 2 de la variable X2
µ
Y1
Y2
X1 X 2
α1
ε1 j
X j1
X Xj1 1−
α 2
β1 β 2hypothèses nulles
ANCOVA
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HH constanteH
i
i
i
01
02
03
0
0
: ,::
α
β
β β
=
=
= =
,
HH constanteH
i
i
i
01
02
03
0
0
: ,::
α
β
β β
=
=
= =
,
HH constanteH
i
i
i
01
02
03
0
0
: ,::
α
β
β β
=
=
= =
, Y
Y
Y
Le modèle complet
ANCOVA
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Conditions d’application
• Les résidus sont indépendants et distribués normalement
• La variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable discontinue (homoscedasticité)
• pas d’erreur sur les variables indépendantes
Le modèle complet
ANCOVA
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• Ajuster le modèle complet, tester la différence entre les pentes
• Si H02 est rejetée, faire des régressions séparées pour chaque niveau de la variable catégorique
• Si H02 est acceptée, ajuster le modèle d’ ANCOVA.
Niveau 1 de la variable X2 Niveau 2 de la variable X2
X1
Y
ANCOVA Régressions
séparées
H02 acceptée H02 rejetéee
H i02:β = constante
Le modèle complet
ANCOVA
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Exemple
• Q1: la pente de la régression de LFKL sur LAGE est la même pour les deux sexes?
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7LAGE
1.5
1.6
1.7
1.8
LFKL
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8LAGE
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
LFKL
Femelles
Mâles
age, sexe et longueur de l’esturgeon
Le modèle complet
ANCOVA
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SEX$*LAGE 0.000 1 0.000 0.337 0.563
Conclusion 1: la pente est la même pour les deux sexes (accepter H02 ) p(SEX$*LAGE) > 0.05
Q2: l’ordonnée à l’origine est-elle la même?
Exemple Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: 0.835 Squared multiple R: 0.697
Analysis of Variance
Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P
LAGE 0.143 1 0.143 176.650 0.000SEX$ 0.000 1 0.000 0.504 0.479
Error 0.071 88 0.001
Le modèle complet
ANCOVA
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• Le modèle:
• β est la pente de la régression de Y sur X1 regroupée pour tous les niveaux de la variable catégorique X2.
• αi est la différence entre la moyenne pour chaque niveau i et la moyenne générale
Y X Xij i ij i ij= + + − +µ α β ε( )µ
Y1
Y2
X1 X 2
α1
ε1 j
X j1
X Xj1 1−
α 2
β
€
Ù β int ra =
( (xij − x i)(yij − y i)j∑
i∑
( (xij − x i)2
j∑
i∑
Le modèle additif
ANCOVA
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¡ PouruneANCOVAavec2variablesindépendantes,deuxhypothèsesnulles:
H pour tous les iH
i
i
01
02
00
: ,: α
β β
=
= =
Niveau 1 de la variable X2 Niveau 2 de la variable X2
µ
Y1
Y2
X1 X 2
α1
ε1 j
X j1
X Xj1 1−
α 2
β
Le modèle additif
hypothèses nulles
ANCOVA
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H pour tous les iH
i
i
01
02
00
: ,: α
β β
=
= =
H pour tous les iH
i
i
01
02
00
: ,: α
β β
=
= =
Y
Y
Y
H pour tous les iH
i
i
01
02
00
: ,: α
β β
=
= =
Le modèle additif
ANCOVA
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Conditions d’application du modèle additif
• les résidus sont indépendants et distribués normalement
• la variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable catégorique (homoscedasticité)
• les pentes des régressions de Y sur X sont les mêmes pour tous les niveaux de la variable catégorique (ce n’est pas une condition d’application du modèle complet!!)
Le modèle additif
ANCOVA
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Procédure
Niveau 1 de la variable X2 Niveau 2 de la variable X2
X1
Y
Régression commune
Régressions séparées
H01 acceptée H01 rejetée
¡ Ajusterlemodèled’ANCOVA,tester:
¡ SiH01estrejetée,séparerlesrégressionspourchaqueniveaudelavariablediscon-nue
¡ SiH01estacceptée,ajusterunerégressioncommune.
0 :01 =iH α
Le modèle additif
ANCOVA
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Exemple
Conclusion 2: Ordonnée à l’origine est la même pour les deux sexes. H01 est acceptée. p(SEX$ > .05),
le meilleur modèle est la régression commune. la réduction du R2 est négligeable (.697 to .696).
Le modèle additif
LAGE 0.143 1 0.143 178.163 0.000
Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: 0.834 Squared multiple R: 0.696 Analysis of Variance
Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P
SEX$ 0.001 1 0.001 1.851 0.177
Error 0.072 89 0.001
ANCOVA
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Le modèle à droites confondues
¡ Lemodèle:
¡ βestlapentedelarégressiondeYsurX1,regroupéepourtouslesniveauxdelavariablediscrèteX2.
¡ estlamoyennegroupéedeX1.X
Niveau 1 de la variable X2 Niveau 2 de la variable X2
α
X
ε1 j
X j1
X Xj1 −
βµ Y X Xij i ij i ij= + + − +µ α β ε( )
ANCOVA
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¡ Onadeuxhypothèsesnullespourlarégressioncommune:
HH01
02
0: ,: .α
β
=
= 0
Le modèle à droites confondues
hypothèses nulles
Niveau 1 de la variable X2 Niveau 2 de la variable X2
α
X
ε1 j
X j1
X Xj1 −
βµ
ANCOVA
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1.211 0.031 0.0 . 39.191 0.000LAGE 0.336 0.024 0.830 1.000 14.144 0.000
Exemple
Le modèle à droites confondues
Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: 0.830 Squared multiple R: 0.690
Adjusted squared multiple R: 0.686 Standard error of estimate: 0.029 Effect Coefficient Std Error Std Coef Tolerance t P(2 Tail) CONSTANT
ANCOVA
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Conditions d’application du modèle à droites confondues
• Les résidus sont indépendants et distribués normalement
• la variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable discrète (homoscédasticité)
Le modèle à droites confondues
ANCOVA
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Conclusion
• Aller du modèle complexe au modèle simple
• Donc choisir a priori les variables explicatives
ANCOVA
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MANOVA
![Page 45: 2w ANOVA Stas-ques CM2 ANCOVA MANOVA CM2 Sébas-en COUETTE Master 1 AGES SE GBS VVT ANOVA à 2 facteurs Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression Paramétrique](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051723/5aaf93877f8b9a22118d62c7/html5/thumbnails/45.jpg)
Comparaison de 2 groupes (apparié ou non)
ANOVA Corrélation Régression
Paramétrique Test de Student (apparié ou non)
ANOVA paramétrique
Corrélation de Pearson
Régression
Non paramétrique
Test de Wilcoxon (apparié ou non)
ANOVA de Kruskall-Wallis
Corrélation de Spearman ou de Kendall
________
X Y
Plusieursvariablesindépendantes
Plusieursv
ariablesdép
endantes
MANOVA
MANOVA
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Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes
MANOVA
Variableindépendante
Varia
bledé
pend
ante
2groupes
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Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes
MANOVA
Variableindépendante
Varia
bledé
pend
ante
2groupes
![Page 48: 2w ANOVA Stas-ques CM2 ANCOVA MANOVA CM2 Sébas-en COUETTE Master 1 AGES SE GBS VVT ANOVA à 2 facteurs Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression Paramétrique](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051723/5aaf93877f8b9a22118d62c7/html5/thumbnails/48.jpg)
Avantage de la MANOVA, contrôler l’erreur de type I Un des protocole possible, tester l’effet « groupe » sur l’ensemble des VD. Si l’effet est significatif, examiner les variables ANOVA par ANOVA
MANOVA
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Exemple: Variables mesurées sur des poissons provenant de sites différents. Les variables sont elles conjointement affectées par le fait d’appartenir a l’un ou l’autre site.
MANOVA
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Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes
MANOVA
Variableindépendante
Varia
blesdép
endantes
Pasdedifférencesignifica-ve
![Page 51: 2w ANOVA Stas-ques CM2 ANCOVA MANOVA CM2 Sébas-en COUETTE Master 1 AGES SE GBS VVT ANOVA à 2 facteurs Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression Paramétrique](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051723/5aaf93877f8b9a22118d62c7/html5/thumbnails/51.jpg)
Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes
MANOVA
Variableindépendante
Varia
blesdép
endantes
Effetsignifica-f
![Page 52: 2w ANOVA Stas-ques CM2 ANCOVA MANOVA CM2 Sébas-en COUETTE Master 1 AGES SE GBS VVT ANOVA à 2 facteurs Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression Paramétrique](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051723/5aaf93877f8b9a22118d62c7/html5/thumbnails/52.jpg)
Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes
MANOVA
Variableindépendante
Varia
blesdép
endantes
Effetsignifica-fVecteurdesmoyennes
![Page 53: 2w ANOVA Stas-ques CM2 ANCOVA MANOVA CM2 Sébas-en COUETTE Master 1 AGES SE GBS VVT ANOVA à 2 facteurs Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression Paramétrique](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051723/5aaf93877f8b9a22118d62c7/html5/thumbnails/53.jpg)
MANOVA
Pré-requis de la MANOVA: Très similaires à ceux de l’ANOVA - Normalité multivariée - Homogénéité des matrices de covariances (test M de Box) - Indépendance des observations - Linéarité Relation linéaire entre les variables dépendantes
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MANOVA
Limitation des MANOVA: - Outliers Comme pour l’ANOVA les observations extrêmes affectent beaucoup le modèle - Multicolinéarité et singularité Une grande corrélation entre les variables dépendantes impliquent de la redondance
![Page 55: 2w ANOVA Stas-ques CM2 ANCOVA MANOVA CM2 Sébas-en COUETTE Master 1 AGES SE GBS VVT ANOVA à 2 facteurs Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression Paramétrique](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051723/5aaf93877f8b9a22118d62c7/html5/thumbnails/55.jpg)
MANOVA
Décomposition de la variance On cherche une difference multivariée entre les groupes. Cela signifie que les vecteurs des moyennes de variables sont differents selon les groupes. La décomposition de la variance s’ecrit: T = W + B
Sommedescarrésetcarréscroisésintragroupe
Sommedescarrésetcarréscroisésintergroupe
Sommedescarrésetcarréscroiséstotaux
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MANOVA
Décomposition de la variance De cette décomposition de la variance on en tire la statistique λ λ = W = W
T
λ suis une distribution connue aux degrés de liberté choisis. On a donc une valeur de λ seuil et un λ observé. On tombe dans la logique d’un test.
W + B
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(m1<-manova(cbind(y1,y2)~group,manova.data))Call:manova(cbind(y1,y2)~group,manova.data)Terms:groupResidualsresp161.8666714.80000resp219.059.20Df29Residualstandarderror:1.2823591.01105Es-matedeffectsmaybeunbalanced>summary(m1,test="Wilks")DfWilksapproxFnumDfdenDfPr(>F)group20.08979.35754160.0004271Residuals9
MANOVA
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1varquan-2ou
plusvarq
uali
ANOVAà2facteurs
Plusieursvariablesindépendantes
Plusieursv
ariablesdép
endantes
MANOVA
2varquan-
1varq
uali ANCOVA