2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Vairāk argumentu funkcijasParciālais un pilnais diferenciālis
VAIRĀK ARGUMENTU FUNKCIJAS DIFERENCIĀLRĒĶINI
Ja katram mainīgu lielumu x, y vērtību sakārtotam pārim (x, y)D pēc zināma likuma atbilst viena noteikta lieluma z vērtība, tad lielumu z sauc par mainīgo x un y funkciju un raksta z = f(x, y).
x, y – neatkarīgie mainīgie jeb argumenti z – atkarīgais mainīgais Funkcija – likums vai operators, kas katram
skaitļu pārim piekārto kādu reālu skaitli.
Vairāk argumentu funkcijas
tzyxTT
xyzV
R
UI
xyS
,,,
Taisnstūra laukums
Elektriskās strāvas stiprums
Paralēlskaldņa tilpums
Temperatūra t telpas punktā M(x; y; z)
Ja katram mainīgu lielumu x, y, z vērtību sakārtotam pārim (x, y, z)D pēc zināma likuma atbilst viena noteikta lieluma u vērtība, tad lielumu u sauc par mainīgo x, y, un z funkciju un raksta u = f(x, y, z).
n argumentu funkcija
u = f(x1, x2, x3, …, xn).
Ja katram kopas D, kuras elementi ir reālo skaitļu sakārtoti pāri (x, y), elementam (x, y) tiek piekārtots noteikts reāls skaitlis, tad kopa D ir definēta divu argumentu x un y funkcija f. Funkcijas f vērtību punktā (x; y) apzīmē ar f(x, y)
Kopu D sauc par funkcijas f definīcijas apgabalu, bet visu tās vērtību (ko tā iegūst kopā D) kopu sauc par funkcijas f vērtību apgabalu.
Par funkcijas z = f(x, y) līmeņlīniju sauc visu to punktu kopu, kuros šai funkcijai ir konstanta vērtība, t.i. f(x, y) = C.
C var izvēlēties patvaļīgi. Katrai funkcijai eksistē bezgalīgi daudz līmeņlīniju.
Ģeometriski līmeņlīnija ir tāda līnija, kas rodas, šķeļot virsmu z = f(x, y) ar plakni z = C.
Praktiskos pielietojumos: Ja funkcija z = f(x, y) apraksta temperatūras sadalījumu, tad
līmeņlīnijas sauc par izotermām. Ja z ir spiediens, tad līmeņlīnijas sauc par izobārām. Finansu matemātikā līmeņlīnijas sauc par izokvantām.
Izokvanta - līnija, kas savieno visus punktus ar vienādu ražošanas apjomu (visas faktoru kombinācijas, kas nodrošina vienādu ražošanas apjomu).
Līmeņlīnijas un līmeņvirsmas
Pieņem, ka funkcija z = f(x, y) ir definēta kādā Oxy plaknes apgabalā D. Apzīmē ar attālumu starp šī apgabala diviem punktiem P(x, y) un P0(x0, y0).
Funkcijas robeža
20
200 yyxxPP
Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu, kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu > , ka visiem definīcijas apgabala punktiem P(x, ), kuriem ir spēkā nevienādības 0 < < , ir spēkā nevienādība
Ja skaitlis A ir funkcijas f(x; y) robeža, kad P(x; y) P0(x0; y0), tad raksta
Funkcijas robeža
Ayxf ;
Ayxf
yyxx
);(lim0
0
Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu, kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu punkta P0(x0; y0) -apkārtni, ka visiem punktiem P(x; y) no šīs apkārtnes, izņemot varbūt pasu punktu P0 ir spēkā nevienādība
Ayxf ;
Dota divargumentu funkcija z=f(x,y).
Starpību ∆xz = f(x+∆x, y) - f(x, y) sauc par funkcijas parciālo pieaugumu pēc x.
Starpību ∆yz = f(x, y+∆y) - f(x, y) sauc par funkcijas parciālo pieaugumu pēc y.
Starpību ∆z = f(x+∆x, y+∆y) - f(x, y) sauc par funkcijas pilno pieaugumu.
Parciālie pieaugumi un pilnais pieaugums
Funkciju sauc par nepārtrauktu punktā P0(x0;y0), ja tā definēta punktā P0 un tā apkārtnē un ja bezgalīgi maziem argumentu pieaugumiem atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja
Funkcijas nepārtrauktība
0lim00
z
yx
Funkcijai f(x, y) ir jābūt definētai punkta P0 apkārtnē, ieskaitot pašu punktu P0.
Punktā P0 jāeksistē funkcijas robežai, kad P patvaļīgā veidā tiecas uz P0.
Robežai jāsakrīt ar funkcijas vērtību punktā P0.
Funkcija ir nepārtraukta, ja izpildās sekojoši nosacījumi
Hiperboliskais cilindrs
x^2/a^2-y^2/b^2=1
Funkciju z = f(x, y) sauc par diferencējamu punktā P(x; y), ja tās pilno pieaugumu z var uzrakstīt:
z = Ax + By + (x, y), kur x, y ir argumentu x un y pieaugumi punkta P apkārtnē A, B – izteiksmes, kas nav atkarīgas no argumentu
pieaugumiem x un y, bet (x, y) ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija.
Ax + By – funkcijas z = f(x, y) pilnā pieauguma galvenā
lineārā daļa, kuru sauc par funkcijas pilno diferenciāli.
dz = Ax + By
Pilnais diferenciālis
z = (x + x)(y +y)2 - x2y2 =
= (x + x)(y2 + 2yy + (y)2) - x2y2 =
= xy2 + 2xyy + x(y)2 + y2x + 2yxy + x(y)2 - x2y2 =
= 2xyy + x(y)2 + y2x + 2yxy + x(y)2 =
= 2xyy +y2x + x(y)2 + + 2yxy + x(y)2
2xyy + y2x – lineāra attiecība pret argumenta pieaugumiem x un y, funkcijas pilnais pieaugums.
x(y)2 + 2yxy + x(y)2 - nelineāra attiecība pret argumenta pieaugumiem x un y, augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija salīdzinājumā ar lineāro locekli.
z = xy2
Divu argumentu funkcijas pilnais diferenciālis ir vienāds ar funkcijas parciālo atvasinājumu un attiecīgo argumentu diferenciāļu reizinājumu summu
z = xy2
dyy
zdxx
zdz
2yx
z
xyz
2
xydydxydz 22
Vispārināts divargumentu funkcijas pilnais diferenciālis.
Vairākargumentu funkcijas pilnais diferenciālis
dzz
udyy
udxx
udu
),,( zyxzz
uy
y
ux
x
uu
Dota divargumentu funkcija
z = f(u,v) Argumenti u un v ir
neatkarīgā mainīgā x funkcijas
u = u(x) un v = v(x)
Dota divargumentu funkcija
Argumenti u un v ir neatkarīgā mainīgā x funkcijas
Saliktas funkcijas atvasināšana
xtgxz sin
xvuntgxu sin
Funkcijām eksistē atvasinājums punktā x, bet divargumentu funkcija z = f(u,v) ir diferencējama punktā P(u, v)
vuyv
zx
u
zz
,
(u, v) – bezgalīgi maza funkcija, kad u 0 un v 0
vuyv
zx
u
zz
xxxx
,limlimlimlim0000
dx
dv
v
z
dx
du
u
z
dx
dz
xtgxz sin
xvuntgxu sin
dx
dv
v
z
dx
du
u
z
dx
dz
vuz
xtgxtgxx
tgxx
xuux
vu
xuutgxvu
dx
dvu
dx
duu
dx
dz
xx
vv
vv
vv
uv
coslncos
1sin
coslncos
1
sinln
sin2
1sin
21
1
Apslēptu funkciju atvasinājumi
0,,01222 zyxFzyx
Ja funkcija F(x, y, z) un tās parciālie atvasinājumi F’x(x, y, z),F’y(x, y, z) un F’z(x, y, z) ir definēti un nepārtraukti kāda punkta P0(x0; y0; z0) apkārtnē, un pie tam F(x0, y0; z0) = 0, bet F’y(x0, y0; z0) ≠ 0, tad punkta P0(x0; y0; z0) apkārtnē vienādojums F(x, y; z) = 0 definē vienu vienīgu apslēptu funkciju z = z(x, y), kura ir nepārtraukta un diferencējama kādā apgabalā, kas satur punktu (x0, y0), turklāt ir spēkā vienādība z(x0, y0) = z0.
Apslēptu funkciju atvasinājumi
0,0122 yxFyx
Ja funkcija F(x, y) un tās parciālie atvasinājumi F’x(x, y) un F’y(x, y) ir definēti un nepārtraukti kāda punkta P0(x0; y0) apkārtnē, un pie tam F(x0, y0) = 0, bet F’y(x0, y0) ≠ 0, tad punkta P0(x0; y0) apkārtnē vienādojums F(x, y) = 0 definē vienu vienīgu apslēptu funkciju y = y(x), kura ir nepārtraukta un diferencējama kādā intervālā, kas satur punktu x0, turklāt ir spēkā vienādība y(x0) = y0.
0),( yxF
0, xyxF
0
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
0
dx
dy
y
F
x
F
yFxF
ydx
dy
Noteikt atvasinājumu apslēptai funkcijai.dx
dy
0 xyee xy
xey
Fye
x
F yx
xe
ye
xe
ye
dx
dyy
x
y
x
yFxF
ydx
dy
Noteikt parciālos atvasinājumus funkcijai z = f(x, y).
052 zyxe z
12 2
ze
z
Fx
y
Fxy
x
F
11
2 2
zz e
x
y
z
e
xy
x
z
Par virsmas pieskarplakni punktā M0 sauc plakni, kurā atrodas visas caur punktu M0 uz virsmas vilktu līniju pieskares šajā punktā.
Par virsmas normāli punktā M0 sauc taisni, kas vilkta caur šo punktu perpendikulāri pieskarplaknei.
Virsmas pieskarplakne un normāle
Vienādojums plaknei, kas iet caur punktu M0(x0; y0; z0) un ir perpendikulāra vektoram n(A; B; C).
Vienādojumi, kas nosaka taisni, kas iet caur punktu M0(x0; y0; z0) un ir paralēla vektoram n(A; B; C).
0000 zzCyyBxxA
C
zz
B
yy
A
xx 000
Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0) normāles vektora koordinātas ir
Pieskarplaknes vienādojums
z
zyxFC
y
zyxFB
x
zyxFA
000000000 ;;;;;;
000000000 ;;;;;; zyxFCzyxFBzyxFA zyx
0000 zzCyyBxxA
0;;;;;; 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx
Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0) normāles vektora koordinātas ir
Normāles vienādojums
C
zz
B
yy
A
xx 000
z
zyxFC
y
zyxFB
x
zyxFA
000000000 ;;;;;;
000000000 ;;;;;; zyxFCzyxFBzyxFA zyx
000
0
000
0
000
0
;;;;;; zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
z = f(x, y) – divargumentu funkcija
Augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi
yxfy
zyxf
x
zyx ,,
Pirmās kārtas
parciālie atvasinājumi
y
z
yyxf
y
z
y
z
xyxf
xy
zx
z
yyxf
yx
zx
z
xyxf
x
z
yy
yx
xy
xx
,
,
,
,
2
2
2
2
2
2
Otrās kārtas parciālie atvasinājumi
323 yyxz
Ja funkcijai z = f(x, y) punktā P(x; y) eksistē nepārtraukti otrās kārtas jauktie atvasinājumi, tad tie ir vienādi.
xy
z
yx
z
22
Par otrās kārtas pilno diferenciāli sauc diferenciāli no pirmās kārtas pilnā diferenciāļa.
Par n-tās kārtas pilno diferenciāli sauc pilno diferenciāli no (n - 1)-ās kārtas pilnā diferenciāļa.
zddzd
dzdzd
nn 1
2
22
222
2
22 2 dy
y
zdxdyyx
zdx
x
zzd
Ja punktā P0(x0; y0) funkcijai f(x, y) ir ekstrēms un šajā punktā eksistē pirmās kārtas parciālie atvasinājumi, tad tie ir vienādi ar 0.
Oxy plaknes punktus, kuros funkcijas z=f(x, y) pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, sauc par stacionārajiem punktiem, kurus atrod, atrisinot sistēmu
Vairākargumentu funkciju ekstrēmi
0,0, 0000 yxfyxf yx
0,
0,
yxf
yxf
y
x
Punktus, kuros pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē, sauc par kritiskajiem punktiem.
Ne katrā kritiskajā punktā ir ekstrēms!
Stacionārajā punktā P0(x0; y0) aprēķina otrās kārtas atvasinājumu vērtības A, B, C un diskriminantu .
2
002
002
200
2 ;;;
y
yxfC
yy
yxfB
x
yxfA
2BAC Ja > 0, tad funkcijai f(x, y) stacionārajā punktā P0(x0; y0) ir ekstrēms.
Ja A < 0, tas ir maksimums.Ja A > 0, tas ir minimums.
Ja = 0, tad jāizpilda papildus pētījumi.Ja < 0, tad funkcijai f(x, y) stacionārajā punktā P0(x0; y0) ir ekstrēma nav.
Ja diferencējamai funkcijai f(x1, x2, … , xn) = f(P) punktā P0 ir ekstrēms, tad tās pirmās kārtas parciālie atvasinājumi šai punktā ir vienādi ar nulli.
Vairākargumentu funkciju ekstrēmi
0...00 000 21 PfPfPf
nxxx
zyxxyzyxu 2222
221212
zz
uxy
y
uyx
x
u
022
012
012
z
xy
yx Stacionārs punkts ir P0 (1; -1; 1)
Ja stacionārajā punktā P0(x10; x20; …, xn0) visām pēc absolūtās vērtības pietiekami mazām argumentu pieaugumu vērtībām funkcijas f(x1, x2, …, xn) otrās kārtas diferenciālim ir spēkā nevienādība 2f(P0) > 0, tad šajā punktā ir minimums, ja 2f(P0) < 0, tad – maksimums.
001
222
222
2
2
2
2
2
2
zy
u
zx
u
yx
u
z
uy
u
x
u
zyzy
uzx
zx
uyx
yx
uz
z
uy
y
ux
x
uud
222
22
22
2
22
2
22 222
yxzyxud 2222 2222
02222 2222 zyyxxud
Punktā P0 (1; -1; 1)funkcijai ir minimums