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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I SEMINARIO Nº 02

GEOMETRÍA CUADRILÁTEROS

01. Indicar la (s) proposición (es) verdadera (s). I. Todo paralelogramo equilátero es

un cuadrado. II. Si las diagonales de un

cuadrilátero son perpendiculares entre si, el cuadrilátero es un rombo.

III. Si un paralelogramo es un rectángulo, entonces el rectángulo es un paralelogramo.

A) Solo I y II B) Solo II y III C) Solo I D) Solo III E) I, II y III

02. Se tiene el trapecio ABCD, AB//CD,

en CD se ubica el punto medio F, { }AF BD E∩ = , además { }BC .

Si AF G∩ =

AE 4= , EF 3= . Calcule FG. A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 28

03. En un paralelogramo ABCD, AB a= ,

BC b= , sea M un punto de AC , se trazan ME AB⊥ , MF AD⊥ ( E AB∈ y F AD∈ ) siendo ME c= . Halle MF.

A) acb B) bc

a C) abc

D) a b c3

+ + E) 2 2a b c+ − 2

04. Se tiene el cuadrado ABCD, se ubica

R punto medio de AD , AF es

perpendicular a ( )BR BR∈ , calcule la distancia del centro del cuadrado al segmento BR.

05. En un trapecio ABCD, BC // AD , ADBC < . Se ubica M punto medio de

AB . Las distancias de B y D a CA son 8 y 10. Calcule la distancia del punto medio de MD a AC . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7

06. En un paralelogramo ABCD, por el

vértice A se traza una recta que intersecta a la prolongación del lado DC en el punto N. La altura DH (H AB)∈ del paralelogramo intersecta a AN en el punto M. Si m DAN∠ = 2m BAN∠ y 18 uBC = , entonces la longitud (en u) de MN es A) 18 B) 27 C) 36 D) 48 E) 56

07. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Si las diagonales de un cuadrilátero

convexo son perpendiculares y congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

II. Si las diagonales de un trapecio son congruentes, entonces el trapecio es isósceles.

III. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

A) VVV B) VFV C) FVF D) FVV E) FFF

08. En un trapecio ABCD (A // CD) , las

bisectrices interiores de los ángulos A y D se intersectan en el punto P y las bisectrices interiores de los ángulos C y B se intersectan en el punto Q. Si

15 u

B

AD BCF

A) 1 AF3

B) 1 A

+ = + = y 12 u , entonces la longitud (en u) de

AB CDPQ es

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 3

F4

C) 2 AF3

D) 1 AF2

E) 3 A F4

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -


09. En un trapecio ABCD (AB / /CD) , M y N son puntos medios BD y AC . Si

, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de

AB CD+ =

AM y BN es

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

10. Indique el valor verdad de las

siguientes proposiciones: I. Si los lados opuestos de un

cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y congruentes a la vez, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

III. Ningún polígono tiene 3 vértices colineales.

A) FFF B) VFV C) VFF D) FVV E) VVV

11. En un triángulo ABC, sus lados miden

AB 13u= , BC=12u y AC=7u. Desde el vértice B, se trazan las perpendiculares BP y BQ a las bisectrices de los ángulos BAC y BCA, respectivamente. Entonces, la longitud (en u) de PQ es A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12


siguientes proposiciones: I. Un cuadrilátero convexo es un

trapecio isósceles si y solo sí sus diagonales son congruentes.

II. Un cuadrilátero convexo no es un paralelogramo si y solo sí sus diagonales no se bisecan.

III. Un cuadrilátero convexo es un trapezoide simétrico.

A) VVV B) FVV C) FVF D) VFV E) FFF


siguientes proposiciones: I. Un trapezoide simétrico es un

polígono convexo. II. Si las diagonales de un cuadrilátero

se bisecan, entonces dicho cuadrilátero es un paralelogramo.

III. Si en un trapezoide convexo se unen los puntos medios de dos lados opuestos con los puntos medios de las diagonales, se forma un paralelogramo.

IV. Al unir en forma consecutiva los puntos medios de los cuatro lados de un trapecio isósceles se forma un rombo.

A) FVFV B) VVVV C) FVVV D) FFVV E) VVFF

14. Indicar la (s) proposición (es)

verdadera (s). I. Un trapecio es inscriptible. II. El cuadrilátero cuyos vértices son 2

vértices de un triángulo y los pies de las alturas trazadas desde dichos vértices, es un cuadrilátero inscriptible.

III. Si en una circunferencia se trazan 2 cuerdas congruentes y secantes, entonces los extremos de dichas cuerdas son los vértices de un trapecio isósceles.

A) I, II y III B) II y III C) I y II D) I y III E) Solo III


siguientes proposiciones: I. Las diagonales del rombo son

bisectrices de sus ángulos. II. Si las diagonales de un cuadrilátero

se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.



III. La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.

IV. Las diagonales de un rectángulo son congruentes.

A) VVVV B) VVVF C) VVFF D) VFFF E) FFFF


siguientes proposiciones: I. Si en un cuadrilátero las bisectrices

de los ángulos opuestos son paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

II. En un trapecio una diagonal puede bisecar a la otra diagonal.

III. Si en un polígono regular todas sus diagonales son congruentes, entonces el polígono es un cuadrado.

A) FFF B) VVV C) VFF D) VFV E) FFV

17. En el cuadrilátero convexo ABCD,

, AB = BC, y la mediatriz de

m ABC 90∠ =m CAD 30∠ = BC contiene a D. Calcular m ACD∠ . A) 10 B) 12 C) 15 D) 17,5 E) 18

18. Sea ABCD un cuadrado y L una recta

exterior que contiene al vértice D, las distancias de A y C a la recta son a y c. Se ubican M y N puntos medios de AB y BC. Hallar la distancia del punto medio de MN a la recta L.

A) (3 a c8

+ ) B) ( )3 a c4

+

C) ( )3 a c2

+ D) a + c

E) ( )2 a c3

+

19. En un rectángulo KLMN, se traza KH perpendicular a NL . Las bisectrices de los ángulos HKL y NLM se interceptan en Q, luego se traza QR perpendicular a NM . Si LM = 18 y QR = 5, entonces la longitud de HL es A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26

20. Se tiene un trapecio ABCD

( )BC // AD y una recta L no secante al trapecio. Se trazan las perpendiculares AA ' , BB ' , CC' y DD' hacia L tal que AA ' BB' CC' DD' k+ + + = ; entonces la distancia del punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio ABCD es

A) k8

B) k6

C) k4

D) k3

E) k2

21. Sea el trapecio ABCD ( BC // AD )

P BD∈ tal que AB PD≅ , m BAD m CPD∠ = ∠ = θ ( )90θ > , m PCD 1m PCB 2∠

=∠

. Halle m PCD∠ .

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

22. En un cuadrilátero convexo ABCD, la

recta que pasa por los puntos medios M y N de AC y BD intercepta a la prolongación de DA en E, a la paralela de AD trazada por C en F y a AB en P. Si CF = 8 y EP = PN, entonces la longitud de ED es A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 32



23. En la figura AF = a, AD = b; calcule PE.

A) a + b B) ab C) 2aba b+

D) a b2+ E) ( )3 a b

2+

24. En un paralelogramo ABCD, AB = a y

BC = b (a > b). Determine la longitud de la diagonal del cuadrilátero que se obtiene trazando las bisectrices. A) 2a – b B) 2b – a

C) a – b D) 2a b2+

E) 2b a2+

25. Los lados consecutivos de un

romboide miden a y b (a > b). Se trazan las bisectrices exteriores formando un nuevo cuadrilátero, calcule la longitud de una de las diagonales del nuevo cuadrilátero.

A) a b2+ B) a + b

C) 2 (a + b) D) a + 2b E) ( )a b 2+

26. Demostrar que en todo rombo la

longitud del lado es la media aritmética de las longitudes de las proyecciones de las diagonales sobre uno de sus lados.

CIRCUNFERENCIA 27. Se tiene el rectángulo ABCD, en AD

se ubica un punto F de manera que en el cuadrilátero ABCF se encuentra inscrita una circunferencia de

diámetro cuya longitud es 2R, en el triángulo FDC se inscribe la circunferencia de diámetro con longitud 2r. Calcule E = 2R – r.

A) 1 AF2

B) 3 AF4

C) 4 AF5

D) AF E) 3 AF2

28. ABCD es un cuadrilátero de perímetro 2p circunscrito a una circunferencia. Se construyen los triángulos rectángulos BFC y AGD rectos en F y G, respectivamente, y exteriores al cuadrilátero. Si BF+FC+AG+GD=K, calcule la suma de longitudes de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos rectángulos.

A) K p2− B) K C) p− K p

2+

D) Kp

2− E) pK

2+

29. Desde un punto P exterior a una

circunferencia de centro O se trazan las tangentes PA y PB, y además una recta PQ exterior a la circunferencia. Se traza OF perpendicular a

( )PQ F PQ∈ que interseca a BA en E; OE a= y . Calcule la longitud del radio de la circunferencia.

EF b=

A) ( )a a b+ B) aba b+

C) ab D) b(a b)+ E) 2 ab

30. En un triángulo ABC recto en B, se

trazan la altura BH y la mediana BM relativo a la hipotenusa. Si

m BCA 15∠ = y AC ( 3 1)u= + entonces la longitud (en u) del radio de la circunferencia inscrita al triángulo BHM es A) 0,45 B) 0,75 C) 0,15 D) 0,35 E) 0,25

A N

P

M

Q

F D

E



31. Dos circunferencias congruentes contenidas en el mismo plano, no pueden tener solamente el siguiente número de tangentes comunes: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

32. En una circunferencia de centro A y

radio R, se ubica un punto B. Luego con centro en B se traza una circunferencia secante a la primera circunferencia. Una cuerda EF de la primera circunferencia al prolongarse es tangente en Q a la otra circunferencia. Si ( ) ( )BE BF K= , calcule el radio de la circunferencia de centro B.

A) K4R

B) K2R

C) KR

D) 2KR

E) 4KR

33. Dos circunferencias congruentes de

centros A y B son tangentes exteriores, hallar la medida del ángulo que forman las tangentes trazadas desde A y B a las circunferencias. A) 90 B) 95 C) 100 D) 110 E) 120

34. Se tiene un triángulo isósceles KLM

( )LK LM≅ , se ubican los puntos P y Q en los lados LK y LM de modo que

. Si el radio de la circunferencia inscrita al triángulo PLQ es r, además KQ = y

m KPQ 90∠ =

2PQ2

= , entonces QM es

A) 3 r2

B) 1 r3

C) 2 r3

D) 2r E) 3r 35. Halle la longitud de la hipotenusa de

un triángulo rectángulo, cuya suma de las longitudes de los exradios relativos a los catetos es A.

A) A4

B) A3

C) A2

D) A E) 3A2

36. En un rombo ABCD se inscribe una

circunferencia C y en las prolongaciones de CB y CD se ubican los puntos E y F respectivamente de manera que EF sea tangente a C. EF intercepta a AB y AD en M y N en ese orden. Si la diferencia de los semiperímetros de los triángulos EFC y AMN es 8u, entonces EF (en u) es A) 7 B) 7,1 C) 8 D) 8,1 E) 9

37. A, B, C, D, E, y F son puntos de

tangencia. Halle x + y + z. A) 360 B) 300 C) 240 D) 180 E) 120

38. En un triángulo ABC recto en B, se

traza la circunferencia inscrita que determina los puntos de tangencia M, N y Q en AB, AC y BC respecti-vamente. Se traza QS ⊥MN , siendo m BAC 50∠ = . Halle m MBS∠ . A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

B A

xº Cyº

F zº

DE



39. En una circunferencia se inscriben los triángulos ABC y EBF

, de manera que m ABC m EBF∠ > ∠EF// AC . Sea P BE∈ , se trazan PM⊥ AB , ( )M AB∈ PN⊥BC , ( )N BC∈

MN BF∩ = φ . Entonces, es verdadero que I. los ángulos ABE y FBC, son

congruentes. II. m MPB m MNB∠ = ∠III. BF y MN son perpendiculares entre

sí. A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Solo I

40. Las circunferencias de centros O1 y

O2 son secantes; P y Q son puntos de tangencia α . Halle

. m AMB∠ =

m ENF∠

A) 90 B) 90 2α− C) α

D) 180 E) − α 90 2α+

41. En la figura A y B son puntos de

tangencia, EB // AP , AF //PB y m APB∠ = α . Halle mEF.

A) 90 − α B) 3 180α −

C) 2 90α − D) 2α

E) α

42. En una circunferencia se trazan dos

cuerdas AB y CD perpendiculares entre sí. Las tangentes trazadas a la circunferencia en B y C se intersecan en F; m BFC∠ = θ . Calcule: m ABD∠

A) 902θ

− B) 180 − θ

C) 2θ D) θ − 90

E) θ 43. En un triángulo ABC, se traza la

circunferencia ζ que contiene los puntos medios de los tres lados. Si B∈ζ , entonces la m ABC∠ es A) 75 B) 80 C) 90 D) 120 E) 135 M

P 44. Dos circunferencias 2y1ζ ζ son congruentes y secantes, siendo los puntos de intersección A y B. Los puntos 1 2O son sus respectivos centros y

O y

1 2O O es el radio de cada una de las circunferencias. En la circunferencia 2ζ se traza el radio

2O M perpendicular a 2 1O O (M está más cerca de A que de B). La prolongación 1MO intercepta a la circunferencia 1ζ en el punto P. Entonces, la medida del ángulo que forman las prolongaciones de

2y AO es

O1 O2 E

N

Q

B

F A

αº A

Q

PBA) 30 B) 36 C) 45 D) 60 E) 52,5

45. En dos circunferencias congruentes,

tangentes exteriores, 1L es una recta tangente a una de ellas y contiene al

E

F

B

P



centro de la otra. Si 2L es una recta tangente común exterior a las circunferencias, entonces el ángulo agudo determinado por 1L y 2L mide A) 9 B) 15 C) 22,5 D) 30 E) 45

46. En un triángulo ABC se traza la

circunferencia inscrita y otra circunferencia menor secante a la primera y tangente a los lados BC y AC sea , entonces la medida del menor ángulo formado por la bisectriz del ángulo A y la recta que contiene a la cuerda común a las circunferencias es

m ABC∠ = α

A) 902α

− B) 45 − α C) 2α

D) 902α

+ E) α

47. En un triángulo rectángulo KLM recto en L, se traza la bisectriz interior LN, luego, por el punto N se traza una perpendicular al lado KM que intercepta a la prolongación de KL en P, entonces m NPM∠ es A) 15 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

48. En la figura se muestra una circunferencia de centro O. Si la medida del arco APD es 150 y la medida del ángulo AQB es 20, calcular m ABP∠ .

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60

49. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC es tangente a los catetos AB y BC en los puntos D y E, y a la hipotenusa AC en el punto F. Si m BAC 70∠ = , halle la medida del ángulo FDE. A) 30 B) 40 C) 60 D) 70 E) 80

50. Dos circunferencias C1 y C2 (C1 > C2)

son tangente exteriores en T, y la recta que pasa por los centros intercepta a C1 en M y a C2 en N. Si PQ es la tangente común exterior ( )1 2∈C . Calcule la medida

del ángulo que determinan MP y NQ .

P y Q∈C

A) 75 B) 80 C) 85 D) 90 E) 100

51. Una circunferencia de centro O

inscrita en un triángulo ABC determina los puntos de tangencia P, Q y R en AB , BC y AC respectivamente, la prolongación de AO intercepta a QR en T. Si m ATR∠ = β , entonces la m ABC∠ es A) 45 + β B) 60 + β C) β D) 2β E) 90 −β

52. Dos circunferencias C1 y C2 son

tangentes interiores en el punto T. En la circunferencia mayor C2 se traza la cuerda MN tangente a C1 en el punto P. Si mMT y mTN= α = θ . Entonces m MPT∠ es

A) 902

α − θ− B) 90

4α − θ

+

C) 452

α − θ− D) 45

2α − θ

+

E) 903

α − θ+

A

O

D

P

Q

20º

Bxº



53. Se tiene dos circunferencias C1 y C2 tangentes exteriores en N, por un punto L exterior a las dos circunferencias se trazan los rayos tangentes y LMLK ( )1 2L∈ . Si m K θ , entonces la menor medida que determinan

K C y M∈ LM∠ =

KN y NM es

A) 34φ B) 2

3φ C) φ

D) 2φ E)

3φ

54. Una circunferencia C intercepta a una

semicircunferencia de centro O y diámetro AB en A y P, por un punto Q del arco PB , se trazan las rectas secantes a la circunferencia QPM y QEN ( )E y N∈C , la cuerda AF de la circunferencia y las rectas OM y QN se interceptan en un punto de la semicircunferencia. Si mM y N 60=mNA 80= , entonces la mFE es A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

55. Una circunferencia de centro O está

inscrita en un triángulo ABC y es tangente a los lados AB y BC en los puntos P y Q. La prolongación de AO intercepta a PQ en el punto M. Si

entonces la m BAC 54∠ = m ACM∠ es A) 45 B) 47 C) 53 D) 57 E) 63

56. En un triángulo ABC recto en B de

incentro I, M es el punto medio de AC . Si el cuadrilátero BIMA es inscriptible, entonces la m BAI∠ es A) 15 B) 30 C) 37

D) 532

E) 60

57. Desde un punto P se trazan la tangente PA y la secante PCD a una circunferencia C de centro O, donde A es el punto de tangencia, C y D los puntos de intersección de la secante con C. Si { }PO N∩ =C , PN = NO y M es punto medio de CD ; calcule m PMA∠ . A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 80


verdadera (s). I. En una circunferencia, si el

diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces divide a la cuerda y al arco que subtiende en partes congruentes respectivamente.

II. En una circunferencia, si dos cuerdas son paralelas, entonces los arcos comprendidos entre las cuerdas son congruentes.

III. Todo trapecio es inscriptible en una circunferencia.

A) Solo I y III B) Solo I y II C) I, II y III D) Solo II y III E) Solo III

59. Los diámetros de dos circunferencias

situados en un mismo plano miden 2

3 2− y 4

5 3+ respectivamente,

el segmento que une los centros de las circunferencias mide 5 2 1+ + . Entonces, las circunferencias son A) exteriores. B) tangentes exteriores. C) secantes. D) tangentes interiores. E) interiores.



60. Se tiene el pentágono convexo AMNCD, en la diagonal AC se ubica el punto B y se trazan dos circunferencias de diámetros AB y BC de manera que MN es una tangente común exterior a dichas circunferencias (M y N son puntos de tangencia). Si la medida del ángulo exterior en A es el triple de la medida del ángulo DAC y la medida del ángulo exterior en C es el triple de la medida del ángulo DCA, entonces la m∠ADC es A) 100 B) 112,5 C) 120 D) 122,5 E) 125


verdadera (s) I. En AB y BC no colineales

( )AB BC> se ubican los puntos P y Q respectivamente de manera que AP CQ= ; entonces PQ es paralelo a CA .

II. Una circunferencia está inscrita en un triángulo ABC, tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos P, Q y R respectivamente; entonces las cevianas AQ , BR y CP concurren en un punto.

III. Sean las cuerdas AB y CD no paralelas de una circunferencia. Entonces las mediatrices de AB y CD pasan por el centro de la circunferencia.

A) Solo I B) Solo II y III C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguno

62. Dos circunferencias de radios r u y 2r

u son tangentes exteriores, una tangente común exterior a dichas circunferencias determina los puntos de tangencia P y Q. Halle (en u) PQ.

A) r 2 B) 3r C) 2 2r D) 6r E) r 5

63. ABCD es un cuadrilátero inscrito en

una circunferencia de manera que AD es diámetro. Si AB a= , BC b= , CD c= y AD d= , entonces ( )2 2 2 2d d a b c− − − es igual a

A) abc4

B) abc2

C) abc

D) 2abc E) 4abc 64. Indique el valor verdad de las

siguientes proposiciones: I. En una circunferencia, a arcos

congruentes le corresponden cuerdas congruentes.

II. En una circunferencia, todo diámetro que biseca a una cuerda, es perpendicular a dicha cuerda.

III. En una circunferencia, si las distancias del centro a dos cuerdas de la circunferencia son iguales, entonces dichas cuerdas son paralelas.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Solo I y II

65. Se tiene el pentágono ABCDE inscrito

en una circunferencia, AC es perpendicular a BD , mAB 100º= . Calcule m CED∠ . A) 20º B) 25º C) 40º D) 50º E) 75º

66. Determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Si A, B, C y D son puntos

consecutivos de una circunferencia, tal que AB CD≅ y BC AD,< entonces ABCD es un trapecio isósceles.

II. Si y son dos circunferencias congruentes en donde

1C 2C

{ }1 2 A, B∩ =C C , 1P ,∈C 2Q ,∈C



tal que P y Q no pertenecen a una misma circunferencia, AP AQ≅ y

, entonces .

T BA∈m PAT m QAT∠ = ∠

III. Si ABCD es un cuadrilátero convexo y m C entonces ABCD no es un cuadrilátero inscriptible.

AD m CBD,∠ ≠ ∠

A) VFV B) VVF C) FVV D) VVV E) FVF

67. En un triángulo ABC se trazan las

alturas BH y CF , sea M punto medio de BC . Si m entonces la

es BAC 40,∠ =

m FMH∠A) 60 B) 80 C) 90 D) 100 E) 110

68. Se tienen dos circunferencias de

radios r y R tangentes exteriormente en el punto T (r < R). Desde un punto exterior B se trazan las tangentes comunes BQA y BPE (Q, A, P y E puntos de tangencia). La prolongación de PT interseca a la circunferencia mayor en M. Si

= , hallar m MEA∠ . m ABE 40∠A) 15 B) 18 C) 20 D) 22 E) 32

PROPORCIONALIDAD 69. En la figura, BR = RP y QM = MC.

Hallar x A) 60 B) 40 C) 50 D) 30 E) 35

70. Se tiene el triángulo ABC, AB BC> , AB c= , BC a= , se traza la bisectriz exterior ( ) , luego se traza BP, P AC∈

PQ //BC (Q AB)∈ . Halle: PQ

A) ac B) 2acc a−

C) aca c+

D) acc a−

E) 2acc a+


bisectrices interiores AD , BE y CF concurrentes en I. Entonces BF BD xAF CD+ = donde x +∈ , luego:

A) B) x 1 C) x = 1 x 1> <

D) x = 0 E) 1 3x2 4< <

72. Se tiene el triángulo ABC, AB 9= ,

BC 4= , AC 6= ; en la prolongación de CB se ubica un punto E; en la prolongación de AB se ubica un punto D; las prolongaciones de ED y AC se intersecan en Q; BD 6= y BE 8= . Halle CQ.

A) 329

B) 2 C) 3

D) 9 E) 11 73. Indique el valor verdad de las

siguientes proposiciones: I. Si en un triángulo ABC, BD es una

bisectriz exterior (D en la prolongación de AC ), entonces BC < AB.

II. Existe un triángulo en el cual su incentro biseca a una bisectriz interior.

III. Si en un triángulo ABC la mediana BM y las cevianas AP y CQ son concurrentes, entonces QP // AC.

A) VFF B) FFV C) VVV D) VFV E) VVF

B

P C

R Q xº

M 40º

A



74. En un triángulo MNP, I es el incentro y E es el excentro relativo al lado NP. Si MN = a unidades, IE = d unidades, MI = b unidades, entonces MP (en unidades) es

A) ( )d d b2b+ B)

( )d d bb+ C)

( )b b d2a+

D) ( )b b d

a+ E)

( )a b db+

75. ABCD, DEFG son cuadrados

MC = 2u, CF = 6u. Hallar QM

A) 0,5u B) 1u C) 1,5u D) 2u E) 2,5u

76. En un triángulo ABC, se ubican los

puntos P y Q en el lado AC y el punto M en el lado AB tal que BQ // MP y MQ // BC si PC = 9u y AP = 3u. Entonces la longitud de AQ es A) 3u B) 4u C) 5u D) 6u E) 7u


cevianas interiores AM , CN y BP concurrentes. La prolongación de NM , intercepta a la prolongación del lado AC en el punto Q.

Entonces ( ) ( )( ) (

78. Se tiene el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF de manera que AF = BC, si AB = c y CF = b. Calcule BC

A) bc B) 2 bc C) bcb c+

D) 2bcb c−

E) 2bcb c+

79. Dado el paralelogramo ABCD, se

ubica el punto R en la prolongación del lado DC ; { }AR BC Q∩ = ,

{ }AR BD P∩ = . Si AP = 4u y PQ = 3u, halle QR (en u).

A) 23

B) 73

C) 53

D) 83

E) 103

A D Q

80. Se tiene el triángulo ABC, se traza la

bisectriz interior CM, si BC=a, AC=b y AB=c. Calcule BM

A) 2aca b+

B) aba c+

C) a bbc+

D) a cac+ E) ac

a b+

81. En un triángulo ABC, BD es bisectriz

interior, BM es mediana e I es incentro { }AI BM P∩ = ,

{ }CI BM Q∩ = , BI 3ID 2

= , BP = 6,

QM = 4. Halle PQ A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

82. En un triángulo ABC, se traza la

bisectriz interior BP , se traza la bisectriz exterior BQ, ( )Q AC∈ F AB∈ , FC //BQ ,

{ }BP FC R∩ = hallar AP.BR. A) 2AQ . PR B) AQ . PR C) 3AQ . PR D) AQ . BA E) 2AQ . AB

E

)AP CQAQ PC

es

A) 14

B) 13

C) 12

D) 1 E) 32

F G

C B

M



83. En la figura: L1 // L2 // L3 y L4 // L5, AB = DE = 3, IG = 5, EF = 6, HG = 3IE. Calcule CD – BC

A) 2 B) 1,5 C) 2,4 D) 1,8 E) 2,2

84. Si: MN = p y NP = m, entonces el

perímetro del cuadrado sombreado es

A) 4pmp m+

B) ( )pm

4 p m+ C) 4pm

p 2m+

D) 4pmm 2p+

E) pmp m+

85. Sea el triángulo ABC, D AC∈ tal que

AD = DC, E AD∈ tal que EF //DB , , F CB∈ { }AB EF : T∩ . Si BF = 6,

AT = 4 y BC = 9. Halle BT. A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

86. En el gráfico mostrado: ABCD es un

paralelogramo, PQ = 3u, QR = 4u y RD = 3AR. Calcule RS ( en m).

A) 5,4 B) 5,6 C) 5,8 D) 6,0 E) 6,2

SEMEJANZA 87. Se tiene el triángulo ABC, AB c= ,

BC a= , AC b= . Por el incentro I se traza IQ paralela al lado AB , que interseca al lado AC en Q. Calcule: QC.

A) (a b)aa b c

++ +

B) (a c)ba b c

++ +

C) (a c)ca b c

++ +

D) ( )b b c

a b c+

+ + E) b(a b)

a b c+

+ + 88. En un triángulo ABC, se trazan las

bisectrices interiores AD , BE y CF . Si I es el incentro del triángulo,

entonces I I ID E FAD BE CF

+ + es igual a

A) 1 B) 2 C) 23

D) 34

E) 3

89. Dado el triángulo ABC, H es el

ortocentro y M es el punto medio de AC, el circunradio del triángulo ABC mide R. Encuentre la distancia de M al punto medio del segmento BH.

A) 5 R6

B) 3 R4

C) 3 R2

D) R E) 1R2

B P C

Q

A R D

S

B

C L1

L2

A

D I E

L3 H F

L4 L5 G

M

N P



90. En un triángulo ABC; la m A ; la m ; sean: H el ortocentro y O el circuncentro del triángulo ABC. Halle: m HBO∠

CB 20∠ =ABC 40∠ =

A) 50 B) 60 C) 70 D) 100 E) 120


siguientes proposiciones: I. Sean A y B dos puntos de una

circunferencia de centro O; L es la recta que contiene a los puntos medios de la cuerda AB y el arco AB, luego: O L∈ .

II. En todo triángulo: el ortocentro, incentro y baricentro son puntos de una misma recta.

III. Todo trapecio es inscriptible. A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) Sólo III

92. En un triángulo ABC, H es el

ortocentro; . Halle la longitud del radio de la circunferencia de Euler (circunferencia de los nueve puntos)

BH AC b= =

A) b 24

B) b 22

C) b2

D) b 32

E) b 66

93. Diga el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Dos triángulos rectángulos son

semejantes si tienen un ángulo agudo congruente.

II. Una recta secante a un triángulo y paralela a uno de los lados, determina un triángulo semejante al anterior.

III. Toda recta perpendicular a la hipotenusa de un triángulo determina dos triángulos semejantes.

A) VFF B) VFV C) FVV D) FFV E) VVF

94. BCA es un triángulo rectángulo, BC=a y AC=b, BCFJ y ACDE son cuadrados. Calcular MN.

A) 2 2a b4+ B) ab 2

a b+ C) ab

D) 2a b+ 2 E) 2a b

ab+

95. Un triángulo ABC está inscrito en una

circunferencia de radio R desde M, un punto interior al triángulo, se traza ME y MF perpendiculares a AB y BC . Demostrar que AC.BM=2R.EF

96. En un sector circular AOB de centro

O y radio R, se inscribe una circunferencia de radio r. Calcular la longitud de la cuerda AB.

A) 2RrR r−

B) RrR r−

C) 3RrR r−

D) 4RrR r−

E) R rR r+−

97. En un triángulo ABC, por el baricentro G se traza una recta secante que intersecta a los lados AB y BC , si las distancias trazadas desde los vértices A y C a dicha recta son 16cm y 9cm. Calcule la distancia (en cm) trazada desde el vértice B a dicha recta. A) 16 B) 18 C) 24 D) 25 E) 34

98. Dos circunferencias secantes C1 y C2 de centros O y A cuyos radios miden R y r (R > r) respectivamente, están

J B

CF N A

ED

M



ubicadas de modo que 1A C∈ . En la circunferencia C1 se traza la cuerda MN, tal que la recta MN es tangente en B a la circunferencia C2. Calcule el valor de (AM)(AN)

A) 2Rr B) Rr3

C) 4 Rr3

D) 5 Rr3

E) 7 Rr3

99. En un triángulo ABC, I es el incentro y

E es el excentro relativo a BC . Si AB = 6u y AC = 10u y AI = 5u, calcular IE A) 9u B) 8u C) 7u D) 10u E) 12u

100. Dos circunferencias congruentes y

tangentes exteriores cuyos radios miden 2cm, están inscritas en un triángulo ABC de modo que ambas circunferencias son tangentes al lado AC y a los lados AB y BC respectivamente. Si AC = 16u. Calcule la longitud del inradio del triángulo ABC. (en u)

A) 52

B) 3 C) 83

D) 72

E) 92

101. En una circunferencia se tiene el

ángulo ABC inscrito, por el vértice B se traza la recta tangente L a la circunferencia por el punto medio M de BC se traza una recta paralela a L que intersecta a AB en N. Si BN = 3m y NA = 8m. Calcular BC (en m) A) 65 B) 66 C) 55 D) 67 E) 63

102. Se tiene el paralelogramo ABCD, en

AD y CD se ubican los puntos

medios E y F respectivamente, los segmentos AF y BE se intersectan

en el punto Q. Calcule QEBQ

.

A) 13

B) 12

C) 15

D) 14

E) 18

103. En un triángulo acutángulo ABC el

lado AC mide 48cm y el radio de la circunferencia circunscrita 25cm, sea F un punto de AB, BF = 6cm. Halle la distancia de F a BC (en cm). A) 5,76 B) 5,72 C) 5,48 D) 5,92 E) 5,84

104. Desde un punto P exterior a una

circunferencia se trazan las secantes PMA y PQS además el diámetro AB . Si PM = a y MA = b. Indique cuáles de los siguientes datos son suficientes para hallar la longitud de AS. I. Longitud del radio de la

circunferencia. II. AB es perpendicular a QS .

A) Solo I B) Solo II C) I y II D) I ó II E) No hay datos Suficientes

105. Sea P y Q punto de los catetos AB y

BC de un triángulo rectángulo ABC, PQ // AC , { }AP CQ 0∩ = ,

{ }PQ BO M∩ = , PQ=1u y AC=10u, halle OM.

A) 67

B) 23

C) 49

D) 35

E) 34

106. Dado el triángulo ABC la bisectriz

exterior del ángulo B intersecta a la



prolongación de AC en R, la mediatriz de BR intersecta a CR en Q, si: AC = 5u y CQ = 4u, halle QR (en u). A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

107. Por un punto T, exterior a una

circunferencia, se traza la tangente TA y la secante TBC, si AB = 6u, BC = 7u y AC = 8u, calcule la longitud de la tangente TA . A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18

108. Dado el triángulo ABC,

, AB = c, BC = a y AC = b. Demostrar que a2 = c2 + bc m BAC 2m BCA∠ = ∠

109. En un paralelogramo PQRS, el punto

N es el punto medio de RS y { }QN PR M∩ = . Luego se traza

MT //PS ( )T RS∈ . Si PS = 18u, entonces la longitud de MT es A) 4u B) 5u C) 6u D) 4,5u E) 7u

110. En la figura mostrada: P, Q y T son

puntos de tangencia y los segmentos AT y TB son los diámetros de las semicircunferencias. Si AT = 2a y TB = 2b, entonces la distancia del punto T al segmento PQ es

A) 2 ab B) 2aba b+

C) aba b+

D) ab E) 3 ab

111. En un trapecio ABCD sus bases miden AD = a y BC = b. Sean F y J puntos de AB y CD tales que: FJ // AD . Si: FB = m; FA = n.

Demostrar: ma nbFJm n+

=+

112. En un rectángulo ABCD, AB = 40u y

BC = 20u. En el lado CD se ubica el punto M, ¿a qué distancia del vértice D debe estar el punto M para que la diagonal AC sea la bisectriz del

BAM∠ ? A) 25u B) 15u C) 20u D) 10u E) 30u

113. En un triángulo ABC, se ubica el

incentro I, por I se traza una recta secante que interseca a los lados AB y AC en M y N respectivamente. Si m INA 60∠ = , MI / IN 3= . Halle la medida del ángulo BAC. A) 60 B) 75 C) 90 D) 120 E) Hay dos respuestas

114. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Dos cuadriláteros convexos, de

ángulos congruentes, son semejantes.

II. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos miden 90º, cada uno. Entonces, una de las diagonales es el diámetro de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero.

P Q

O’ O A BT

III. Si en un cuadrilátero convexo, la suma de las longitudes de dos lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados, entonces las bisectrices interiores del cuadrilátero son concurrentes.

A) I, II y III B) Sólo III C) I y II D) II y III E) Sólo I


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