III OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMTICA1

2do. de Secundaria

INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADA CRUZ SACO

En (1) : BB

6 30 4 20

En (2) : C 20 04. Resolucin:

3

3

3

4 4 8 32 16 27 13 13 13 =39 17 17 17 8 = x

x 34

05. Resolucin:

5

9

1

225

15

75

3

25

45 1 5 6

06. Resolucin:Todos los nmeros deben sumar:

12 131 2 3 12 782

Cada lado suma: 22 los 4 lados suman:22 4 88

El exceso: 88 78 10 x y

w z

x y z w 10

07. Resolucin:Sean los nmeros: abc,acb,bac,cab,cba,bca

abc + acb bac bca cab cba3108N

2 a b c 14 2cif N 3 1 0 8

cif N 12

01. Resolucin:Por el mtodo de HORNER:

1 4 2 -a 3 b2 8 -4 20 -10-1 32-2a a-16

4 10 (16-a) (25-2a) (a+b-16)

Por ser divisible:25 25 2a 0 a2

a b 16 0 a b 16

02. Resolucin:De la condicin

x y 60 x y 60 1

rad 1z rad 60 z 23 3

g g

g 10 200x y z 60 609 3

Luego: 200x y z

3 ; pero como

1 1 200z x y3 3 3

199 x y 33

Resolviendo (1) y (3)

379 19 1x ; y ; z6 6 3

03. Resolucin:

AB

C

AB

C

a

A

B

r 4m30

r 6m

Se observa: B B A Ar r 1

Adems: B C 2

Rpta: A

Rpta: A

Rpta: E

Rpta: D

Rpta: A

Rpta: A

Rpta: B

2INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADA CRUZ SACO2do. de Secundaria

III OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMTICA TALENTOS CRUZ SACO 2010

08. Resolucin: Si los nmeros suman 25, podemos lla-mar a uno 12,5 x y al otro 12,5 x ; en-tonces su producto ser: 2 212,5 x , ex-presin que tomar su mximo valor cuan-do se le reste lo menos posible, es decir,cuando 2x sea mnimo, lo cul ocurre cuan-do x = 0. Producto mximo = 212,5 0 156,25 Del argumento anterior se deduce la si-guiente propiedad:Si la suma de dos nmeros es constante,su producto ser mximo cuando estossean iguales.

09. Resolucin: Si el lado mayor mide 7, el mayor de loslados restantes puede medir, por existen-cia de tringulos7 , 6 ,5 42 lado

4567

3 lado45 4 36 5 4 3 27 6 5 4 3 2 1

# s 1357

En total hay : 1 3 5 7 16tringulos.

10. Resolucin:Por induccin:

3

3

3

1 2 3 2 2 2 3 4 3 3 3 4 5 4 4

3 984 985 986 985 985

cif 9 8 5 22 11. Resolucin:

Para que los conjuntos sean iguales de-ben tener los mismos elementos, luego:Si A = B a 2 8 a a 3 Los elementos de A son 5;4Si A=D b 2 5 b 3 Finalmente en el conjunto C:b 1 4 c 1 5

c 4

a b c 10

12. Resolucin:A partir de la relacin dada:

9mab7cd 7607

7 m ; m 9 7 < m < 9

m = 8

Para calcular a, b, c el numeral 97607debe convertirse al sistema octanario.

3 2

97607 7 9 6 9 0 9 7 5596 Base 10

5596 86994 8

873 8107 8

12

Entonces: 9 87607 12734Comparando:

8 8ab7cd 12734

a 1 ; b 2 ; c 3 ; d 4

a b c d m 18 13. Resolucin:

Sea el # telefnico: abccbaDel enunciado:

2

11

a 11 b 11 c 985 a 11 11b c 985 abc 985

Expresando 985 en base 11 por divisio-nes sucesivas.

11985 816

11 11

a 8abc 816 b 1

c 6

Entonces:abccba 816618

14. Resolucin:a c 7b d 8 y b - d = 56

a b c d 585 a c 7b d 8

a c b d 7 8

b d 8

Reemplazando: 585 15b d 8

Rpta: E

Rpta: C

Rpta: E

Rpta: B

Rpta: D

Rpta: B

III OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMTICA3

2do. de Secundaria

INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADA CRUZ SACO

Despejando dato: b 184b d 312b d 56 d 128

Reemplazando en la proporcin:a 7

184 8 ; a = 161

c 7128 8

; c = 112

15. Resolucin :Segn los datos:

M.C.M. A;B 2AAM.C.D A;B3

Por propiedad:A AB 2A

32A B3

Tambin:A B 145

2AA 1453

A 435

16. Resolucin:

a nx

b

pmc

A B

C

c b p 320a n b 220a m c 260

2 a b c m n p 800 2 320 m n p 800 m n p 160

Dato: a b c m n p x 500320 160

x=20

17. Resolucin:Multiplicando n veces por 8 a 300 setendr:

nP 300 8 8 8 8 300 8"n"veces

De donde se tiene:2 2 3nP 2 3 5 2

Reduciendo: 3n 2 1 2Descomposicin cannica

P 2 3 5

Por dato:

CD P 1263n 3 3 3n 1 126

n 618. Resolucin:

o o

o o

o o

N 7 6 N 7 1

N 11 10 N 11 1

N 13 12 N 13 1

o

oN MCM 7,11,13 1

N 1001 1 N 1001k 1

k mnimo k 1

N 1001 1N 1000

19. Resolucin: m n 12a89 81m 6mp

9 m ; m n ; n 12

Luego vinculando desigualdades:9 < m < n