2f anova

2010/2011 S.Spasić 1

Višefaktorska analiza varijanseVišefaktorska analiza varijanse

2010/2011 S.Spasić 2

Višefaktorska ANOVAVišefaktorska ANOVA

Ispituje se simultani uticaj dva ili više faktoraIspituje se simultani uticaj dva ili više faktora

svaki nivo jednog faktora ukršta se sa svakim svaki nivo jednog faktora ukršta se sa svakim nivoom ostalih faktora (sve kombinacije faktora)nivoom ostalih faktora (sve kombinacije faktora)

Može da se ispituje:Može da se ispituje:

uticaj individualnih faktora: ukupan uticaj jednak je uticaj individualnih faktora: ukupan uticaj jednak je zbiru pojedinačnih uticajazbiru pojedinačnih uticaja

uticaj individualnih faktora i njihova interakcija: uticaj individualnih faktora i njihova interakcija: ukupan uticaj zavisi od pojedinačnih uticaja i od ukupan uticaj zavisi od pojedinačnih uticaja i od interakcijainterakcija

2010/2011 S.Spasić 3

Primer (2 x 2 dizajn)Primer (2 x 2 dizajn)

Uticaj temperature i dužine trajanja bojenja tkanine na Uticaj temperature i dužine trajanja bojenja tkanine na intenzitet boje (meri se na skali do 50)intenzitet boje (meri se na skali do 50)

Dva faktora uticaja: temperatura i vreme (trajanje Dva faktora uticaja: temperatura i vreme (trajanje bojenja)bojenja)

Svaki faktor ima dva nivoaSvaki faktor ima dva nivoa

vremevreme (fa (fakktor B)tor B)

40 min40 min 50 min50 min

temperaturatemperatura(fa(fakktor A)tor A)

17517500CC nn == 55 nn == 55

20020000CC nn == 55 nn == 55

2010/2011 S.Spasić 4

PrimerPrimer

FaFakktor Ator A – – da li temperatura utiče na intenzitet bojeda li temperatura utiče na intenzitet boje

FaFakktor Btor B – – da li vreme (trajanje bojenja) utiče na intenzitet da li vreme (trajanje bojenja) utiče na intenzitet bojeboje

AA xx B B iinteranterakcijakcija – – da li uticaj vremena zavisi od da li uticaj vremena zavisi od temperaturetemperature

2010/2011 S.Spasić 55

Mogući rezultatiMogući rezultati

1.1. nema uticaja ispitivanih faktoranema uticaja ispitivanih faktora

2.2. uticaj samo faktora A (temperatura)uticaj samo faktora A (temperatura)

3.3. uticaj samo faktora B (vreme)uticaj samo faktora B (vreme)

4.4. uticaj i faktora A i faktora B (temperatura i vreme)uticaj i faktora A i faktora B (temperatura i vreme)

5.5. A x B interaA x B interakcijakcija

6.6. A x B interaA x B interakcija i uticaj faktorakcija i uticaj faktora A A

7.7. A x B interaA x B interakcija i uticaj faktorakcija i uticaj faktora B B

8.8. A x B interaA x B interakcijakcija i uticaj faktora A i Bi uticaj faktora A i B

2010/2011 S.Spasić 6

Scenario 1Scenario 1

Nema uticaja ispitivanih faktoraNema uticaja ispitivanih faktora

vremevreme (fa (fakktor B)tor B)srednja srednja

vrednost Avrednost A40 min40 min 50 min50 min


17517500CC 2255 2255 2525

20020000CC 2255 2255 2525

srednja vrednost Bsrednja vrednost B 2525 2525

2010/2011 S.Spasić 7


1010

2020

3030

4040

5050in

tenz

itet

boj

ein

tenz

itet

boj

e

4040 5050vremevreme

17517500C 200C 20000CC

2010/2011 S.Spasić 8


Značajan uticaj faktora A: Značajan uticaj faktora A: na višoj temperaturi se dobija jači intenzitet boje bez na višoj temperaturi se dobija jači intenzitet boje bez

obzira na dužinu trajanja bojenjaobzira na dužinu trajanja bojenja




17517500CC 2525 2525 2525

20020000CC 4455 4455 4545


2010/2011 S.Spasić 9


1010

2020

3030

4040

5050in

tenz

itet

boj

ein

tenz

itet

boj

e

4040 5050vremevreme

17517500C 200C 20000CC

2010/2011 S.Spasić 10


Značajan uticaj faktora B: Značajan uticaj faktora B: dužina trajanja bojenja značajno utiče na intenzitet dužina trajanja bojenja značajno utiče na intenzitet

boje, bez obzira na temperaturuboje, bez obzira na temperaturu




17517500CC 2525 4545 3535

20020000CC 2255 4455 3535


2010/2011 S.Spasić 11


1010

2020

3030

4040

5050in

tenz

itet

boj

ein

tenz

itet

boj

e

4040 5050vremevreme

17517500C 200C 20000CC

2010/2011 S.Spasić 12


Značajan uticaj i faktora A i faktora B: Značajan uticaj i faktora A i faktora B: na višim temperaturama se dobija jači intenzitet bojena višim temperaturama se dobija jači intenzitet boje duže bojenje daje jači intenzitet bojeduže bojenje daje jači intenzitet boje




17517500CC 2525 4545 3535

20020000CC 3355 5555 5050


2010/2011 S.Spasić 13


1010

2020

3030

4040

5050

inte

nzite

t b

oje

inte

nzite

t b

oje

4040 5050vremevreme

17517500C 200C 20000CC

6060

2010/2011 S.Spasić 14


Značajna interakcija faktora A i B: Značajna interakcija faktora A i B: jači intenzitet boje se dobija na nižoj temperaturi i jači intenzitet boje se dobija na nižoj temperaturi i

sa dužim vremenom i sa dužim vremenom i na višoj temperaturi i sa kraćim vremenomna višoj temperaturi i sa kraćim vremenom




17517500CC 2525 4545 3030

20020000CC 4455 2255 3030


2010/2011 S.Spasić 15


1010

2020

3030

4040

5050in

tenz

itet

boj

ein

tenz

itet

boj

e

4040 5050vremevreme

17517500C 200C 20000CC

2010/2011 S.Spasić 16

Logika dvofaktorske ANOVELogika dvofaktorske ANOVE

SKSKtottot

SKSKugug

SKSKigig

VVostatak (greška)ostatak (greška)

VVredoviredovi

VVkolonekolone

VVred x kolred x kol

SKSKredoviredovi

SKSKkolonekolone

SKSKred x kolred x kol

2010/2011 S.Spasić 17

2F - ANOVA - izrazi za izračunavanje2F - ANOVA - izrazi za izračunavanje

koloneSK

S6.

S

redoviigainterakcij

jk

2jk

2k

22k

1k

21k

kolone

ri

2ir

2r

22r

1r

21r

redovi

SKSKSK7.

Cn

Σx....

n

Σx

n

ΣxK

Cn

Σx....

n

Σx

n

ΣxK5.

2010/2011 S.Spasić 18

2F - ANOVA2F - ANOVA

ostatak

erakcijaintainterakcij

ostatak

kolonekol

ostatak

redovired V

VF

V

VF

V

VF

IIzvor varijacijezvor varijacije dfdf SKSK VV

redoviredovi r r -- 11 SKSKredoviredovi SKSKredred / (r / (r --1)1)

kolonekolone k k -- 11 SKSKkolonekolone SKSKkolonekolone / (k/ (k--1)1)

interakcijainterakcija (r(r--1)(k1)(k--1)1) SKSKinterakcijainterakcija SKSKinterakcijainterakcija / / (r(r--1)(k1)(k--1)1)

ostatak (greostatak (grešška)ka) NN--rkrk SKSKugug SKSKugug / (N/ (N--rk)rk)

ukupnoukupno NN--11 SKSKukupnoukupno --


redoviredovi r r -- 11 SKSKredoviredovi SKSKredred / (r / (r --1)1)

kolonekolone k k -- 11 SKSKkolonekolone SKSKkolonekolone / (k/ (k--1)1)

interakcijainterakcija (r(r--1)(k1)(k--1)1) SKSKinterakcijainterakcija SKSKinterakcijainterakcija / / (r(r--1)(k1)(k--1)1)

ostatak (greostatak (grešška)ka) NN--rkrk SKSKugug SKSKugug / (N/ (N--rk)rk)

ukupnoukupno NN--11 SKSKukupnoukupno --

2010/2011 S.Spasić 19

Primer (2 x 2 dizajn)Primer (2 x 2 dizajn)

Uticaj temperature i dužine trajanja bojenja tkanine na Uticaj temperature i dužine trajanja bojenja tkanine na intenzitet boje (meri se na skali do 50)intenzitet boje (meri se na skali do 50)

Dva faktora uticaja: temperatura i vreme (trajanje Dva faktora uticaja: temperatura i vreme (trajanje bojenja)bojenja)

Svaki faktor ima dva nivoaSvaki faktor ima dva nivoa

vremevreme (fa (fakktor B)tor B)

40 min40 min 50 min50 min


17517500CC nn == 55 nn == 55

20020000CC nn == 55 nn == 55

2010/2011 S.Spasić 20

Primer 1Primer 1

vreme

40 min 50 min

1750C n = 5

x = 24,8 n = 5

x = 54,4 n = 10

x = 39,5 t0C

2000C n = 5

x = 55,8 n = 5

x = 45,6 n = 10

x = 50,7

n = 10

x = 40,3 n = 10

x = 50,0

vreme

40 min 50 min

24 56

26 53

23 54

24 55

1750C

27 54

57 44

57 46

55 45

54 47

t0C

2000C

56 46

2010/2011 S.Spasić 21

PrikazivanjePrikazivanje

0

10

20

30

40

50

60

40 min 50 min

175 C 200 C

0

10

20

30

40

50

60

175 C 200 C

40 min 50 min

40 min50 min

175 C

200 C

0

10

20

30

40

50

60

vreme

tem

pera

tura

175 C 200 C

2010/2011 S.Spasić 22

PrimerPrimer

1010

2020

3030

4040

5050

inte

nzite

t b

oje

inte

nzite

t b

oje

4040 5050vremevreme

17517500C 200C 20000CC

6060

Interakcija faktora A x B i uticaj faktora A (?) i faktora Interakcija faktora A x B i uticaj faktora A (?) i faktora B (?)B (?)

2010/2011 S.Spasić 23

2F-ANOVA - izračunavanje2F-ANOVA - izračunavanje

2010/2011 S.Spasić 24

PrimerPrimerIIzvor varijacijezvor varijacije dfdf SKSK VV

redoviredovi 11 616,05616,05 616,05616,05

kolonekolone 11 470,45470,45 470,45470,45

interakcijainterakcija 11 1980,051980,05 1980,051980,05

ostatak (greostatak (grešška)ka) 1616 28,028,0 1,751,75

ukupnoukupno 1919 3094,553094,55 --


redoviredovi 11 616,05616,05 616,05616,05

kolonekolone 11 470,45470,45 470,45470,45

interakcijainterakcija 11 1980,051980,05 1980,051980,05

ostatak (greostatak (grešška)ka) 1616 28,028,0 1,751,75

ukupnoukupno 1919 3094,553094,55 --

49,4F113175,1

05,1980F

26975,1

45,470F352

75,1

05,616F

V

VF

V

VF

V

VF

16,1ainterakcij

kolred

ostatak

erakcijaintainterakcij

ostatak

kolonekol

ostatak

redovired

2010/2011 S.Spasić 25

Primer 1 – Tukey test za interakcijePrimer 1 – Tukey test za interakcije

Tukey test za razliku između interakcija:Tukey test za razliku između interakcija:

varijansa „ostatak“ = varijansa „within“varijansa „ostatak“ = varijansa „within“ n = broj podataka u jednoj grupi (polje u kome se ukrštaju red i n = broj podataka u jednoj grupi (polje u kome se ukrštaju red i

kolona) = 5kolona) = 5 Q iz tabele za:Q iz tabele za:

ukupan broj grupa: 2 grupe po redovima + 2 grupe po ukupan broj grupa: 2 grupe po redovima + 2 grupe po kolonama = 4 grupe i kolonama = 4 grupe i

φ = 16 (broj stepena slobode za varijansu „ostatak“)φ = 16 (broj stepena slobode za varijansu „ostatak“) Q = 4,05Q = 4,05

D = 0,5916 x 4,05 = 2,396D = 0,5916 x 4,05 = 2,396

5916,0 5

1,75

n

ostatak"" varijansa = Sx

2010/2011 S.Spasić 26

Primer 1 – Tukey test za interakcijePrimer 1 – Tukey test za interakcije

Efekat temperature u zavisnosti od dužine bojenjaEfekat temperature u zavisnosti od dužine bojenja

ZZaključak: aključak: Dužina trajanja bojenja značajno pozitivno utiče na nižoj Dužina trajanja bojenja značajno pozitivno utiče na nižoj temperaturi, a značajno negativno na višoj temperaturitemperaturi, a značajno negativno na višoj temperaturi

Efekat dužine bojenja u zavisnosti od temperatureEfekat dužine bojenja u zavisnosti od temperature

ZZaključak: aključak: Viša temperatura značajno pozitivno utiče kod kraćeg Viša temperatura značajno pozitivno utiče kod kraćeg trajanja bojenja, a značajno negativno kod dužeg trajanja bojenjatrajanja bojenja, a značajno negativno kod dužeg trajanja bojenja

40 min, 1750C : 40 min, 2000C, 24,8 – 55,8 = -31,0 31,0 > 2,40 p < 0,05

50 min, 1750C : 50 min, 2000C 54,4 – 45,6 = 8,8 8,8 > 2,40 p < 0,05

2010/2011 S.Spasić 27

Dvofaktorska ANOVA u MS Excel-uDvofaktorska ANOVA u MS Excel-u

temperatura 40 min 50 min

175 24 56

175 26 53

175 23 54

175 24 55

175 27 54

200 57 44

200 57 46

200 55 45

200 54 47

200 56 46

2010/2011 S.Spasić 28

Dvofaktorska ANOVA u MS Excel-uDvofaktorska ANOVA u MS Excel-u

ToolsTools Data AnalysisData Analysis Anova:Two-Factor With ReplicationAnova:Two-Factor With Replication Input Y-rangeInput Y-range: obeležiti sve grupe zajedno sa nazivima: obeležiti sve grupe zajedno sa nazivima

Rows per sample:Rows per sample: 5 (broj podataka u grupi) 5 (broj podataka u grupi)

označiti polje označiti polje Output range Output range i postaviti kursor na polje u i postaviti kursor na polje u Worksheetu gde treba da se pojavi izveštajWorksheetu gde treba da se pojavi izveštaj

OKOK

2010/2011 S.Spasić 29

Izveštaj u MS Excel-uIzveštaj u MS Excel-uAnova: Two-Factor With Replication

SUMMARY 40 min 50 min Total175

Count 5 5 10Sum 124 272 396Average 24,8 54,4 39,6Variance 2,7 1,3 245,1556

200

Count 5 5 10Sum 279 228 507Average 55,8 45,6 50,7Variance 1,7 1,3 30,23333

Total

Count 10 10Sum 403 500Average 40,3 50Variance 268,9 22,66667

ANOVASource of Variation SS df MS F P-value F critSample 616,05 1 616,05 352,029 2,56E-12 4,494Columns 470,45 1 470,45 268,829 2E-11 4,494Interaction 1980,05 1 1980,05 1131,457 2,82E-16 4,494Within 28 16 1,75

Total 3094,55 19

2010/2011 S.Spasić 30

Dvofaktorska ANOVA u SPSS-uDvofaktorska ANOVA u SPSS-utemperatura vreme

intenzitet boje

175 40 24

175 40 26

175 40 23

175 40 24

175 40 27

200 40 57

200 40 57

200 40 55

200 40 54

200 40 56

175 50 56

175 50 53

175 50 54

175 50 55

175 50 54

200 50 44

200 50 46

200 50 45

200 50 47

200 50 46

2010/2011 S.Spasić 31

Dvofaktorska ANOVA u SPSS-uDvofaktorska ANOVA u SPSS-u

Podaci se unose u jednu kolonu sa oznakama grupa u Podaci se unose u jednu kolonu sa oznakama grupa u susednim kolonamasusednim kolonama

Analyze, General Linear Model, UnivariateAnalyze, General Linear Model, Univariate Dependent variableDependent variable: intenzitet boje: intenzitet boje Fixed FactorsFixed Factors: temperatura, vreme: temperatura, vreme Options: Descriptive statisticsOptions: Descriptive statistics ContinueContinue Plots: Plots:

temperatura : horizontal axistemperatura : horizontal axis vreme : separate linesvreme : separate lines

ContinueContinue OKOK

2010/2011 S.Spasić 32

Izveštaj u SPSS-uIzveštaj u SPSS-u

2010/2011 S.Spasić 33

Primer 2Primer 2

Ispitivan je efekat četiri vrste Ispitivan je efekat četiri vrste toksičnih supstanci (A, B, C toksičnih supstanci (A, B, C i D) koje su primenjivane na i D) koje su primenjivane na tri različita načina (1, 2 i 3).tri različita načina (1, 2 i 3).

Svaka grupa ima 4 životinje.Svaka grupa ima 4 životinje.

Mereno je vreme Mereno je vreme preživljavanja (u satima) preživljavanja (u satima)

vrsta otrova način primene A B C D

3,1 8,2 4,6 4,5

4,5 11 4,5 7,1

4,6 8,8 6,3 6,6 1

4,3 7,2 7,6 6,2

3,6 9,2 4,4 5,6

2,9 6,1 3,5 10,2

4 4,9 3,1 7,1 2

2,3 12,4 4 6,6

2,2 3 2,3 3

2,1 3,7 2,5 3,6

1,8 3,8 2,4 3,1 3

2,3 2,9 2,2 3,3

2010/2011 S.Spasić 34

Primer 2Primer 2

AB

CD

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9vr

eme

pre

živl

java

nja

vrsta otrova nači

n pr

imen

e

3 2 1

2010/2011 S.Spasić 35

Primer 2 – u MS ExceluPrimer 2 – u MS Excelu

Anova: Two-Factor With Replication

SUMMARY A B C D Total1

Count 4 4 4 4 16Sum 16,5 35,2 23 24,4 99,1Average 4,125 8,800 5,750 6,100 6,194Variance 0,482 2,587 2,203 1,273 4,317

2

Count 4 4 4 4 16Sum 12,8 32,6 15 29,5 89,9Average 3,200 8,150 3,750 7,375 5,619Variance 0,567 11,310 0,323 3,936 8,250

3

Count 4 4 4 4 16Sum 8,4 13,4 9,4 13 44,2Average 2,100 3,350 2,350 3,250 2,763Variance 0,047 0,217 0,017 0,070 0,388

Total

Count 12 12 12 12Sum 37,7 81,2 47,4 66,9Average 3,142 6,767 3,950 5,575Variance 1,046 10,293 2,817 4,684

2010/2011 S.Spasić 36

Primer 2 – u MS ExceluPrimer 2 – u MS Excelu

ANOVASource of Variation SS df MS F P-value F crit

Sample 108,06542 2 54,032708 28,1522 4,36E-08 3,259Columns 95,12833 3 31,709444 16,5213 6,47E-07 2,866Interaction 30,08792 6 5,0146528 2,6127 0,033149 2,364Within 69,09500 36 1,9193056

Total 302,37667 47

Tukey test:• za kolone: vrsta toksične supstance• za redove: način primene• za interakcije: vrsta supstance x način primene

2010/2011 S.Spasić 37

Primer 2 – Tukey testPrimer 2 – Tukey test

a. Tukey test za razliku između vrste toksičnih supstanci a. Tukey test za razliku između vrste toksičnih supstanci (kolone):(kolone):

D = SD = Sxx ∙ Q∙ Q

varijansa „ostatak“ = varijansa „within“varijansa „ostatak“ = varijansa „within“ m = ukupan broj podataka u jednoj kolonim = ukupan broj podataka u jednoj koloni = 12 = 12 Q iz tabele za:Q iz tabele za:

ukupan broj grupa: 3 grupe po redovima + 4 grupe po ukupan broj grupa: 3 grupe po redovima + 4 grupe po kolonama = 7 grupa i kolonama = 7 grupa i

φ = 36 (broj stepena slobode za varijansu „ostatak“)φ = 36 (broj stepena slobode za varijansu „ostatak“) Q = 4,42.Q = 4,42.

D = 0,3999 x 4,42 = 1,77D = 0,3999 x 4,42 = 1,77

3999,012

9193,1

m


2010/2011 S.Spasić 38


Značajna je razlika između toksičnih supstanci A i B, A i D, kao i B i C.Značajna je razlika između toksičnih supstanci A i B, A i D, kao i B i C.

vrsta toksične supstance

SUMMARY A B C D

Total

Count 12 12 12 12

Average 3,14 6,77 3,95 5,58

A : B 3,14 – 6,77 = -3,63 3,63 > 1,77 p < 0,05

A : C 3,14 – 3,95 = -0,81 0,81 < 1,77 p > 0,05

A : D 3,14 – 5,58 = -2,44 2,44 > 1,77 p < 0,05

B : C 6,77 – 3,95 = 2,82 2,82 > 1,77 p < 0,05

B : D 6,77 – 5,58 = 1,19 1,19 < 1,77 p > 0,05

C : D 3,95 – 5,58 = -1,63 1,63 < 1,77 p > 0,05

2010/2011 S.Spasić 39


b. Tukey test za razliku između načina primene toksične b. Tukey test za razliku između načina primene toksične supstance (redovi):supstance (redovi):

varijansa „ostatak“ = varijansa „within“varijansa „ostatak“ = varijansa „within“ k = ukupan broj podataka u jednom redu = 16k = ukupan broj podataka u jednom redu = 16

Q = 4,42 - ista kao kod poređenja srednjih vrednosti u kolonama Q = 4,42 - ista kao kod poređenja srednjih vrednosti u kolonama

D = 0,3463 x 4,42 = 1,53D = 0,3463 x 4,42 = 1,53

0,346316

1,9193

k


2010/2011 S.Spasić 40


Značajna je razlika između načina primene 1 i 3, kao i između 2 i 3.Značajna je razlika između načina primene 1 i 3, kao i između 2 i 3.

months

SUMMARY 1 2 3

Total

Count 16 16 16

Average 6,19 5,62 2,76

1 : 2 6,19 – 5,62 = 0,57 0,57 < 1,53 p > 0,05

1 : 3 6,19 – 2,76 = 3,43 3,43 > 1,53 p < 0,05

2 : 3 5,62 – 2,76 = 2,86 2,86 > 1,53 p < 0,05

2010/2011 S.Spasić 41


c. Tukey test za razliku između interakcija:c. Tukey test za razliku između interakcija:

varijansa „ostatak“ = varijansa „within“varijansa „ostatak“ = varijansa „within“ n = broj podatak u jednoj grupi (polje u kome se n = broj podatak u jednoj grupi (polje u kome se

ukrštaju red i kolona) = 4ukrštaju red i kolona) = 4 Q = 4,42 - ista kao kod poređenja srednjih vrednosti u Q = 4,42 - ista kao kod poređenja srednjih vrednosti u

kolonama kolonama

D = 0,6927 x 4,42 = 3,06D = 0,6927 x 4,42 = 3,06

6927,0 4

1,9193

n


2010/2011 S.Spasić 42


Toksični efekat ispitivanih supstanci u zavisnosti od načina primeneToksični efekat ispitivanih supstanci u zavisnosti od načina primene

ZZaključak:aključak: Način primene 3 daje značajno kraće Način primene 3 daje značajno kraće preživljavanje kod supstance B i delimično kod supstance C i preživljavanje kod supstance B i delimično kod supstance C i DD.

A1 : A2 4,125 – 3,200 = 0,925 < 3,06 p > 0,05 B1 : B2 8,800 – 8,150 = 0,65 < 3,06 p > 0,05 C1 : C2 5,750 – 3,750 = 2,000 < 3,06 p > 0,05 D1 : D2 6,100 – 7,375 = 1,275 < 3,06 p > 0,05

A1 : A3 4,125 – 2,100 = 2,025 < 3,06 p > 0,05 B1 : B3 8,800 – 3,350 = 5,450 > 3,06 p < 0,05 C1 : C3 5,750 – 2,350 = 3,400 >3,06 p < 0,05 D1 : D3 6,100 – 3,250 = 2,850 < 3,06 p > 0,05

A2 : A3 3,200 – 2,100 = 1,100 < 3,06 p > 0,05 B2 : B3 8,150 – 3,350 = 4,800 > 3,06 p < 0,05 C2 : C3 3,750 – 2,350 = 1,400 < 3,06 p > 0,05 D2 : D3 7,375 – 3,250 = 4,125 > 3,06 p < 0,05

2010/2011 S.Spasić 43


Toksični efekat različitih supstanci kod istih načina primeneToksični efekat različitih supstanci kod istih načina primene

Toksični efekat supstanci A i B se značajno razlikuje kod načina Toksični efekat supstanci A i B se značajno razlikuje kod načina primene 1 i 2; značajno je kraće preživljavanje kod supstance A. primene 1 i 2; značajno je kraće preživljavanje kod supstance A.

Toksični efekat supstanci A i D se značajno razlikuje kod načina Toksični efekat supstanci A i D se značajno razlikuje kod načina primene 2; značajno je kraće preživljavanje kod supstance A. primene 2; značajno je kraće preživljavanje kod supstance A.

A1 : B1 4,125 – 8,800 = -4,675 > 3,06 p < 0,05 A2 : B2 3,200 – 8,150 = -4,950 > 3,06 p < 0,05 A3 : B3 2,100 – 3,350 = -1,250 < 3,06 p > 0,05

A1 : C1 4,125 – 5,750 = -1,625 < 3,06 p > 0,05 A2 : C2 3,200 – 3,750 = -0,550 < 3,06 p > 0,05 A3 : C3 2,100 – 2,350 = -0,250 < 3,06 p > 0,05

A1 : D1 4,125 – 6,100 = -1,975 < 3,06 p > 0,05 A2 : D2 3,200 – 7,375 = -4,175 > 3,06 p < 0,05 A3 : D3 2,100 – 3,250 = -1,150 < 3,06 p > 0,05

2010/2011 S.Spasić 44


Toksični efekat supstance B i C, kao i C i D značajno se razlikuje Toksični efekat supstance B i C, kao i C i D značajno se razlikuje kod načina primene 2; značajno je kraće preživljavanje kod kod načina primene 2; značajno je kraće preživljavanje kod supstance C.supstance C.

Kod načina primene 1 se takođe razlikuje i toksični efekat Kod načina primene 1 se takođe razlikuje i toksični efekat supstanci C i D; značajno je kraće preživljavanje kod supstance C.supstanci C i D; značajno je kraće preživljavanje kod supstance C.

Toksični efekat različitih supstanci kod istih načina primeneToksični efekat različitih supstanci kod istih načina primene

B1 : C1 8,800 – 5,750 = 3,050 < 3,06 p > 0,05 B2 : C2 8,150 – 3,750 = 4,400 > 3,06 p < 0,05 B3 : C3 3,350 – 2,350 = 1,000 < 3,06 p > 0,05

B1 : D1 8,800 – 6,100 = 2,700 < 3,06 p > 0,05 B2 : D2 8,150 – 7,375 = 0,775 < 3,06 p > 0,05 B3 : D3 3,350 – 3,250 = 0,100 < 3,06 p > 0,05

C1 : D1 5,750 – 6,100 = -3,897 > 3,06 p < 0,05 C2 : D2 3,750 – 7,375 = -3,625 > 3,06 p < 0,05 C3 : D3 2,350 – 3,250 = 0,900 < 3,06 p > 0,05

2010/2011 S.Spasić 45

Dvofaktorska ANOVA bez ponavljanja – Primer 3Dvofaktorska ANOVA bez ponavljanja – Primer 3

Vrsta otrova

A B C D

1 4,12 8,80 5,75 6,10 n = 4 6,19

2 3,20 8,15 3,75 7,37 n = 4 5,62

način primene

3 2,10 3,35 2,35 3,25 n = 4 2,76

n = 3 3,14

n = 3 6,77

n = 3 3,95

n = 3 5,57

2010/2011 S.Spasić 46

Primer 3 - izračunavanjePrimer 3 - izračunavanje

5151,779209,239954,263026,58SK

7921,231437,2839358,306C3

72,1685,1130,2042,9SK

9954,261437,2831391,310C4

05,1147,2277,24SK

3026,581437,2834463,341CxSK

1437,28312

29,58

N

)x(C

ostatak

2222

kol

222

red

2tot

22

2010/2011 S.Spasić 47

Primer 3 – krajnja tabelaPrimer 3 – krajnja tabela


redoviredovi r - 1r - 1 SKSKredoviredovi SKSKredred / (r -1) / (r -1)

kolonekolone k - 1k - 1 SKSKkolonekolone SKSKkolonekolone / (k-1) / (k-1)

ostatak (greška)ostatak (greška) (r-1)(k-1)(r-1)(k-1) SKSKostatakostatak SKSKostatakostatak / (r-1)(k-1) / (r-1)(k-1)

ukupnoukupno N-1N-1 SKSKukupnoukupno --

2010/2011 S.Spasić 48

Primer 3 – krajnja tabelaPrimer 3 – krajnja tabela


redoviredovi 22 26,995426,9954 13,497713,4977

kolonekolone 33 23,792123,7921 7,93077,9307

ostatak (greška)ostatak (greška) 66 7,51517,5151 1,25251,2525

ukupnoukupno 1111 58,302658,3026 --

76,4F332,62525,1

9307,7F

V

VF

14,5F777,102525,1

4977,13F

V

VF

6,3kolostatak

kolonekol

6,2redostatak

redovired

2010/2011 S.Spasić 49


a. Tukey-Snedecor test za razliku između vrsta otrova a. Tukey-Snedecor test za razliku između vrsta otrova (kolone):(kolone):

n = 3n = 3 - broj podataka u jednoj koloni - broj podataka u jednoj koloni

Q iz tabele za Q iz tabele za m = 4m = 4 (broj kolona) i (broj kolona) i φ = 6φ = 6 (broj stepena (broj stepena slobode za varijansu Error) slobode za varijansu Error)

Q = 4,90Q = 4,90

D = 0,646 x 4,90 = 3,16D = 0,646 x 4,90 = 3,16

0,646 = 0,4175 = 3

1,2525 =Sx

2010/2011 S.Spasić 50


a. Tukey-Snedecor test za razliku između vrsta otrova a. Tukey-Snedecor test za razliku između vrsta otrova (kolone):(kolone):

A : B 3,14 – 6,77 = - 3,63 > 3,16 p < 0,05 A : C 3,14 – 3,95 = - 0,81 < 3,16 p > 0,05 A : D 3,14 – 5,57 = - 2,43 < 3,16 p > 0,05 B : C 6,77 – 3,95 = 2,82 < 3,16 p > 0,05 B : D 6,77 – 5,57 = 1,20 < 3,16 p > 0,05 C : D 3,95 – 5,57 = - 1,62 < 3,16 p > 0,05

Značajno se razlikuju vrednosti koje se dobijaju Značajno se razlikuju vrednosti koje se dobijaju primenom toksičnih supstanici A i B.primenom toksičnih supstanici A i B.

2010/2011 S.Spasić 51


b. Tukey-Snedecor test za razliku između načina primene b. Tukey-Snedecor test za razliku između načina primene (redovi):(redovi):

n = 4n = 4 - broj podataka u jednom redu - broj podataka u jednom redu

Q iz tabele za Q iz tabele za k = 3k = 3 (broj redova) i (broj redova) i φ = 6φ = 6 Q = 4,34. Q = 4,34.

D = 0,5596 x 4,34 = 2,43D = 0,5596 x 4,34 = 2,43

,55960 = 3131 = 4

1,2525 =Sx

2010/2011 S.Spasić 52


Značajno se razlikuju vrednosti koje se dobijaju načinom Značajno se razlikuju vrednosti koje se dobijaju načinom primene 1 i 3, kao 2 i 3.primene 1 i 3, kao 2 i 3.

1 : 2 6,19 – 5,62 = 0,57 0,57 < 2,43 p > 0,05

1 : 3 6,19 – 2,76 = 3,43 3,43 > 2,43 p < 0,05

2 : 3 5,62 – 2,76 = 2,86 2,86 > 2,43 p < 0,05

2010/2011 S.Spasić 53

Primer 4 – za vežbanje na časuPrimer 4 – za vežbanje na časuDecomposition of leaf packs was measured (in terms of weight loss of the leaf Decomposition of leaf packs was measured (in terms of weight loss of the leaf packs) in four different environments after 1, 2 and 3 months of exposure. packs) in four different environments after 1, 2 and 3 months of exposure.

months

enviroment 1 2 3

A 1,09 1,35 1,59

A 1,06 1,53 1,41

A 1,12 1,45 1,52

B 1,16 1,35 2,18

B 1,03 1,42 1,97

B 1,07 1,53 2,05

C 1,01 1,63 1,6

C 1,04 1,51 1,72

C 1,08 1,59 1,65

D 0,91 1,66 1,73

D 1,03 1,88 1,76

D 0,98 1,75 1,85

2010/2011 S.Spasić 54

Primer 4Primer 4

Anova: Two-Factor With Replication

SUMMARY 1 2 3 TotalA

Count 3 3 3 9Sum 3,27 4,33 4,52 12,12Average 1,090 1,443 1,507 1,347Variance 0,001 0,008 0,008 0,042

BCount 3 3 3 9Sum 3,26 4,3 6,2 13,76Average 1,087 1,433 2,067 1,529Variance 0,004 0,008 0,011 0,191

CCount 3 3 3 9Sum 3,13 4,73 4,97 12,83Average 1,043 1,577 1,657 1,426Variance 0,001 0,004 0,004 0,086

DCount 3 3 3 9Sum 2,92 5,29 5,34 13,55Average 0,973 1,763 1,780 1,506Variance 0,004 0,012 0,004 0,164

Total

Count 12 12 12Sum 12,58 18,65 21,03Average 1,048 1,554 1,753Variance 0,004 0,025 0,051

ANOVASource of Variation SS df MS F P-value F critSample 0,185167 3 0,061722 10,652 0,000121 3,009Columns 3,164217 2 1,582108 273,039 3,1E-17 3,403Interaction 0,562050 6 0,093675 16,166 2,25E-07 2,508Within 0,139067 24 0,005794

Total 4,0505 35

2010/2011 S.Spasić 55


a. Tukey test za razliku između meseci (kolone):a. Tukey test za razliku između meseci (kolone): D = SD = Sxx ∙ Q∙ Q

varijansa „ostatak“ = varijansa „within“varijansa „ostatak“ = varijansa „within“ m = ukupan broj podataka u jednoj kolonim = ukupan broj podataka u jednoj koloni = 12 = 12 Q iz tabele za:Q iz tabele za:

ukupan broj grupa: 4 grupe po redovima + 3 grupe po ukupan broj grupa: 4 grupe po redovima + 3 grupe po kolonama = 7 grupa i kolonama = 7 grupa i

φ = 24 (broj stepena slobode za varijansu „ostatak“)φ = 24 (broj stepena slobode za varijansu „ostatak“) Q = 4,54.Q = 4,54.

D = 0,0,02197 x 4,54 = 0,0997 = 0,1D = 0,0,02197 x 4,54 = 0,0997 = 0,1

02197,012

005794,0

m


2010/2011 S.Spasić 56


Značajna je razlika između meseca 1 i 2, 1 i 3 i 2 i 3.Značajna je razlika između meseca 1 i 2, 1 i 3 i 2 i 3.

months

SUMMARY 1 2 3

Total

Count 12 12 12

Average 1,048 1,554 1,753

1 : 2 1,048 – 1,554 = -0,506 0,506 > 0,1 p < 0,05

1 : 3 1,048 – 1,753 = -0,705 0,705 > 0,1 p < 0,05

2 : 3 1,554 – 1,753 = -0,199 0,199 > 0,1 p < 0,05

2010/2011 S.Spasić 57


b. Tukey test za razliku između tipova okruženja (redovi):b. Tukey test za razliku između tipova okruženja (redovi):

varijansa „ostatak“ = varijansa „within“varijansa „ostatak“ = varijansa „within“ k = ukupan broj podataka u jednom redu = 9k = ukupan broj podataka u jednom redu = 9

Q = 4,54 - ista kao kod poređenja srednjih vrednosti u kolonama Q = 4,54 - ista kao kod poređenja srednjih vrednosti u kolonama

D = 0,02537 x 4,54 = 0,115D = 0,02537 x 4,54 = 0,115

0,025379

0,005794

k


2010/2011 S.Spasić 58


Značajna je razlika između vrste okruženja A i B i između A i D.Značajna je razlika između vrste okruženja A i B i između A i D.

months

SUMMARY A B C D

Total

Count 9 9 9 9

Average 1,347 1,529 1,426 1,506

A : B 1,347 – 1,529 = -0,182 0,182 > 0,115 p < 0,05

A : C 1,347 – 1,426 = -0,079 0,079 < 0,115 p > 0,05

A : D 1,347 – 1,506 = -0,159 0,159 > 0,115 p < 0,05

B : C 1,529 – 1,426 = 0,103 0,103 < 0,115 p > 0,05

B : D 1,529 – 1,506 = 0,023 0,023 < 0,115 p > 0,05

C : D 1,426 – 1,506 = -0,080 0,080 < 0,115 p > 0,05

2010/2011 S.Spasić 59


c. Tukey test za razliku između interakcija:c. Tukey test za razliku između interakcija:

varijansa „ostatak“ = varijansa „within“varijansa „ostatak“ = varijansa „within“ n = broj podatak u jednoj grupi (polje u kome se n = broj podatak u jednoj grupi (polje u kome se

ukrštaju red i kolona) = 3ukrštaju red i kolona) = 3 Q = 4,54 - ista kao kod poređenja srednjih vrednosti u Q = 4,54 - ista kao kod poređenja srednjih vrednosti u

kolonama i redovimakolonama i redovima

D = 0,04374 x 4,54 = 0,199D = 0,04374 x 4,54 = 0,199

04374,0 3

0,00574

n


2010/2011 S.Spasić 60


Efekat vremena (meseci) u zavisnosti od tipova okruženjaEfekat vremena (meseci) u zavisnosti od tipova okruženja

ZZaključak:aključak: kod svih tipova okruženja značajno se razlikuju vrednosti kod svih tipova okruženja značajno se razlikuju vrednosti između drugog i prvog i trećeg i prvog meseca.između drugog i prvog i trećeg i prvog meseca.

Kod tipa B, razlikuju se vrednosti i između drugog i trećeg meseca.Kod tipa B, razlikuju se vrednosti i između drugog i trećeg meseca.

A1 : A2 1,090 – 1,443 = - 0,353 > 0,199 p < 0,05 B1 : B2 1,087 – 1,433 = - 0,346 > 0,199 p < 0,05 C1 : C2 1,043 – 1,577 = - 0534 > 0,199 p < 0,05 D1 : D2 0,973 – 1,763 = - 0,790 > 0,199 p < 0,05

A1 : A3 1,090 – 1,507 = - 0,417 > 0,199 p < 0,05 B1 : B3 1,087 – 2,067 = - 0,980 > 0,199 p < 0,05 C1 : C3 1,043 – 1,657 = - 0,614 > 0,199 p < 0,05 D1 : D3 0,973 – 1,780 = - 0,807 > 0,199 p < 0,05

A2 : A3 1,443 – 1,507 = - 0,064 < 0,199 p > 0,05 B2 : B3 1,433 – 2,067 = - 0,634 > 0,199 p > 0,05 C2 : C3 1,577 – 1,657 = - 0,080 < 0,199 p > 0,05 D2 : D3 1,763 – 1,780 = - 0,017 < 0,199 p > 0,05

2010/2011 S.Spasić 61


Efekat tipova okruženja u zavisnosti od vremena (meseci)Efekat tipova okruženja u zavisnosti od vremena (meseci)

U trećem mesecu se razlikuju vrednosti između okruženja A i B, U trećem mesecu se razlikuju vrednosti između okruženja A i B, kao i A i D, a u drugom mesecu između okruženja A i D.kao i A i D, a u drugom mesecu između okruženja A i D.

A1 : B1 1,090 – 1,087 = 0,003 < 0,199 p > 0,05 A2 : B2 1,443 – 1,433 = 0,010 < 0,199 p > 0,05 A3 : B3 1,507 – 1,067 = 0,440 > 0,199 p < 0,05

A1 : C1 1,090 – 1,043 = 0,047 < 0,199 p > 0,05 A2 : C2 1,443 – 1,577 = - 0,134 < 0,199 p > 0,05 A3 : C3 1,507 – 1,657 = - 0,150 < 0,199 p > 0,05

A1 : D1 1,090 – 0,973 = 0,117 < 0,199 p > 0,05 A2 : D2 1,443 – 1,763 = - 0,320 > 0,199 p < 0,05 A3 : D3 1,507 – 1,780 = - 0,273 > 0,199 p < 0,05

2010/2011 S.Spasić 62


U trećem mesecu se razlikuju vrednosti između okruženja B i C, U trećem mesecu se razlikuju vrednosti između okruženja B i C, kao i B i D, a u drugom mesecu između okruženja B i D.kao i B i D, a u drugom mesecu između okruženja B i D.

Efekat tipova okruženja u zavisnosti od vremena (meseci)Efekat tipova okruženja u zavisnosti od vremena (meseci)

B1 : C1 1.087 – 1.043 = 0.044 < 0,199 p > 0,05 B2 : C2 1.433 – 1.577 = - 0.144 < 0,199 p > 0,05 B3 : C3 1.067 – 1.657 = - 0.590 > 0,199 p < 0,05

B1 : D1 1.087 – 0.973 = 0.114 < 0,199 p > 0,05 B2 : D2 1.433 – 1.763 = - 0.330 > 0,199 p < 0,05 B3 : D3 1.067 – 1.780 = - 0.713 > 0,199 p < 0,05

C1 : D1 1.043 – 0.973 = 0.070 < 0,199 p > 0,05 C2 : D2 1.577 – 1.763 = - 0.183 < 0,199 p > 0,05 C3 : D3 1.657 – 1.780 = - 0.123 < 0,199 p > 0,05

2f anova

Documents