2do_seminario geometría pre 2014-1
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Problemas de GeometríaTRANSCRIPT
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 2do Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -
GEOMETRÍA
01. Indique el valor de las siguientes proposiciones: I. En toda circunferencia, los arcos
comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.
II. Si un trapecio se encuentra inscrito en una circunferencia, a los lados no paralelos le corresponden arcos congruentes.
III. Si un cuadrilátero se encuentra inscrito en una circunferencia y a dos lados opuestos les corresponden arcos congruentes, entonces el cuadrilátero tiene dos lados paralelos.
A) FVV B) VFV C) VVV D) FFV E) VFF
02. En un triángulo ABC, la longitud del
radio de la circunferencia inscrita al triángulo es ru, y la longitud del radio de la circunferencia exinscrita relativa
al lado BC es rau. Entonces, la longitud (en u) de la flecha o sagita de
la cuerda BC es
A) ar r B) a
a
r r
r r C) a
a
2 r r
r r
D) ar r
2
E) ar r
2
03. En una circunferencia C se trazan las
cuerdas AD y BE perpendiculares en
H, en el arco BD se ubica C tal que
AB DC F . Si HE BH u, entonces la longitud de la cuerda
BC (en u) es
A) B) 2 C) 3
D) 2
3 E)
4
04. Los radios de dos circunferencias
miden 9 cm y 12 cm. Si la distancia entre los centros es 15 cm, entonces las circunferencias son A) Tangentes interiores B) Tangentes exteriores C) Exteriores D) Interiores E) Ortogonales
05. En el triángulo ABC, la circunferencia
exinscrita relativa al lado BC , tiene
longitud de radio 18 cm y m A 74 . Entonces aproximadamente, el perímetro (en cm) del triángulo ABC es A) 36 B) 72 C) 64 D) 48 E) 96
06. En la figura O1 y O2 son centros de las circunferencias y los puntos A y C son puntos de tangencia tal que
mAP 2mPM y mCQ 2mQN . Si
AB BC entonces la longitud de
PQ es
A) 2
B) C) 3
D) 2 E) 2
3
O1 O2 M N
P Q
A B C
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CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 2 -
07. En la figura, AB = a u, CM + ND = b u; A, B, C, D, P, Q y F son puntos de tangencia. Entonces el radio (en u) de la circunferencia menor.
A) a b
2
B)
a b
3
C)
a b
2
D) a b
4
E) a – b
08. En un triángulo rectángulo ABC (recto
en B) se inscribe una circunferencia C
tangente al lado BC en E. Se ubican
los puntos M en BC y N en AC de
manera que MN es tangente a C y
perpendicular a AC . Luego se inscribe una circunferencia en el
triángulo MNC tal que tangente a MC en el punto F, si EF = a, entonces MN es
A) a
3 B)
a
2 C)
3a
4
D) a E) 3a
2
09. En un hexágono convexo ABCDEF se
cumple: m ABC m ACD m ADE m AEF 90 y AB BC CD DE EF 26u AF .
Entonces la suma de las longitudes (en u) de los inradios de los triángulos ABC, ACD, ADE y AEF es
A) 6 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13
10. En la figura, las circunferencias son tangentes exteriores dos a dos. Si AP PB BC CD DQ QE au ,
AB BD DE bu , entonces la suma
(en u) de los inradios de los triángulos APB, BCD y DQE es
A) a b
2
B)
a b
2
C)
a b
3
D) a b
3
E) a – b
11. En un cuadrilátero ABCD circunscrito
a una circunferencia, sus diagonales se intersecan perpendicularmente en el punto O. Si los inradios de los triángulos AOB, BOC y COD miden r1, r2 y r3 respectivamente, entonces el inradio del triángulo AOD es
A) 1 2 3r r r B) 1 3 2r r r
C) 1 2 3r r r D) 2 3 1r r r
E) 1 2 3r r r
2
12. C es la circunferencia inscrita en un
triángulo ABC tal que AB 10 u y
BC 6u . Se traza el segmento DE
tangente a C (D AB y E AC ) de
manera que AE EC . Si m DAC 48 y m DEA 66
entonces la longitud (en u) del
segmento DE mide
A
F
E Q
P
B
D C
C M N D
F P
Q
A
B
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CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 3 -
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
13. Se tienen dos circunferencias
exteriores C1 y C2; se trazan MN y PQ
tangentes a C 1 y C2 (M y P en
C 1; N y Q en C2). Luego en MN se
ubican los puntos A y D; y en PQ los
puntos B y C tal que AB y CD son
tangentes a C1 y C2 respectivamente y
el cuadrilátero ABCD es circunscrito a una circunferencia. Si PB CQ ,
entonces la longitud de AD es
A) 2
B) C) 2
D) 3
2 E) 4
14. En un cuadrilátero ABCD circunscrito
a una circunferencia AB 7k y BC k . Si m ADC 90 y
m ACD 60 , entonces la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ADC es A) k B) 3k C) 4k
D) 2 k E) 3 k
15. En un cuadrilátero ABCD,
m BAD 90 , BC es perpendicular a
CD y BC CD . Se ubica F en AD de manera que FBCD es un cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia y se traza CQ
perpendicular a FD , de manera que FQ a y CQ QD b . Entonces la
longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo BAF es
A) b – a B) 2b – a C) a b
2
D) ab E) ab
a b
16. En la figura ABCD es un cuadrilátero y las circunferencias están inscritos en los polígonos ABCP y DPC. Si se cumple: BC AP AB CD 1 , entonces x aproximadamente es
A) 14 B) 53 C) 37 D) 45 E) 16
17. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todo paralelogramo es exinscrito
a una circunferencia. II. Todo trapezoide simétrico es
exinscriptible. III. Todo cuadrilátero de diagonales
perpendiculares es exinscriptible. IV. En todo cuadrilátero exinscrito a
una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.
A) VFFV B) VVVV C) FVFV D) FVVF E) FVVV
18. Un cuadrilátero ABCD es exinscrito a una circunferencia C tal que
BC AD M , AB DC N . Si el perímetro del triángulo ABM es 27 cm, entonces el perímetro (en cm) del triángulo ADN es A) 13,5 B) 20,0 C) 27,0 D) 36,0 E) 54,0
A D
C
B
P
x
1
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19. En un triángulo ABC se traza la
ceviana BD tal que AD BC . Si m BCA 20 y m BAC 30 ,
entonces m DBC es
A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25
20. En la figura mostrada O es el centro
de la circunferencia NQ QP . Si m ONM 70 , entonces el valor de x
es
A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 60
21. En un triángulo ABC, m ABC 96 y m BCA 30 . Si se traza la ceviana
AQ tal que AB QC , entonces la medida del ángulo QAC es A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30
22. En una circunferencia inscribe el triángulo equilátero ABC. Se ubica el
punto M en el arco BC . Demuestre
que AM BM MC
23. En un triángulo ABC, la recta
mediatriz del lado AC intercepta en la circunferencia circunscrita al triángulo en el punto M. La prolongación de la
cuerda MB intercepta a la
prolongación del lado AC en el punto
E. Demuestre que BE es la bisectriz exterior del triángulo ABC.
24. Dos circunferencias C1 y C2 de centros
O1 y O2 respectivamente se intersectan en los puntos M y N. Por M se traza una secante que intersecta a C1 en A y C2 en B, además C1 y C2
intersectan a 1 2O O en P y Q si
mAM mMB ; entonces la medida
del ángulo PNQ es
A) 904
B) 45
4
C) 90
4
D) 454
E) 135
2
25. Dos circunferencias C1 y C2 se
interceptan en P y Q, se traza la
cuerda AQ de C1; cuya prolongación
intercepta a C2 en el punto B. Sí
la mAQ mQB 100 ,entonces la
ángulo que determinan las rectas tangentes trazadas aC1 y C2 por el
punto P mide: A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100
26. Dos circunferencias C1 y C2 se
interceptan en A y B, por el punto A se traza la recta secante C – A – D y
las rectas tangentes AT y AQ a las
circunferencias C2 y C1
respectivamente, si la m TAQ , entonces lam CBD es
A) 45 B) 90 C) 90
D) 180 E) 180 2
27. De la figura: A, B y T son puntos de
tangencias, sí la m EF 110 y la
m ATB 70 ,entonces lamCTDes
x M P
O
N Q
F
E D
C
T
B
A
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A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
28. Se tienen dos circunferencias concéntricas, se trazan las cuerdas
AB , PQ y PT en la circunferencia
mayor tangentes a la circunferencia
menor, sí m QT 100 , entonces la
medida del ángulo que determinan
AT y QB es
A) 40 B) 45 C) 55 D) 60 E) 65
29. En un triángulo ABC, O, I y H son el circuncentro, el incentro y ortocentro respectivamente, si m BAC 32 y
m ACB 88 , entonces m OIH es
A) 148 B) 150 C) 152 D) 154 E) 156
30. ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Se trazan
AQ BD , CR BD , BE AC y
DP AC , estando Q, P, R y E sobre las diagonales. Si
2 m EQR 3 m EPR 200
entonces m BC es
A) 70 B) 80 C) 50 D) 40 E) 100
31. En un triángulo ABC se traza la altura
BF ; luego se trazan FM y FN
perpendicular a los lados AB y BC , respectivamente si m NAM ,
entonces m MCN es
A) 2 B) C) 2
D) 2
3
E)
3
5
32. En un triángulo ABC se traza la altura
BH y en BH se ubica el punto M. Si
m BAM 2m MAC y m HBC 30 m MAC ; entonces la
medida del ángulo MCB es A) 15 B) 30 C) 36 D) 45 E) 48
33. En un triángulo ABC; se trazan las
cevianas AD y CE tales que se intersectan en el punto P y en el interior del triángulo APC se ubica el
punto I tal que AD y AI trisecan al
ángulo BAC; del mismo modo CE y
CI al ángulo ACB. Si m ABC 45 , entonces la medida del ángulo EID es A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90
34. En un cuadrilátero convexo ABCD, m ADB 2m ACB 60 . Si
m ABD 2m ACD 34 , entonces las diagonales determinan un ángulo que mide A) 72 B) 74 C) 75 D) 76 E) 77
35. Los puntos A, B, C y D constituyen una cuaterna armónica, si A – B – C,
B – C – D y AB AD
BC CD , entonces
demuestre que 2 1 1
AC AB AD
36. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A; B; C y D tal que BC es media proporcional entre los
segmentos AB y CD . Si la razón de
los segmentos AB y CD es k entonces la razón de los segmentos
AC y BD es
A) k B) k
2 C) k
D) 1
k E)
1
k
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37. En un triángulo ABC, se dibuja el
rombo BDEF (D en BC , E en AC y F
en AB ). Si AB c y BC a , entonces la longitud del lado del rombo es
A) a c
ac
B)
a c
2
C)
ac
a c
D) 2ac
a c E)
a c
2ac
38. En un triángulo ABC se trazan las
cevianas AD y BE que se intersecan en el punto O, por D se traza una
paralela a BE que intercepta a AC en F. Si AF FC , BD 6u , CD 9u y
OD 8u , entonces AO (en u) es
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9
39. C1 y C2 son dos circunferencias tangentes exteriores en el punto B; A
y P son puntos tales que 1A C y
2AB C Q , 1P C y
2PB C D . Si AB 15 cm ,
BQ 9 cm y PB 12 cm , entonces
BD (en cm) es A) 7,2 B) 8,4 C) 6 D) 9,6 E) 6,4
40. Dos circunferencias C1 y C2 son
tangentes interiores en el punto A; en
C1 se traza la cuerda CQ tangente a
C2 en el punto P tal que
AP CQ T y 2AC B C ;
luego se traza la recta DT tangente a
C1 en el punto T D AC . Si AC a
y CD b , entonces la longitud de BC es
A) ab B) a b
2
C)
ab
a b
D) 2ab
a b E) 2 2a b
41. En un triángulo ABC, se traza
MN // AC (M en AB y N en BC )
luego MQ // AN (Q en BN ). Si QN 5 cm y NC 8 cm , entonces la
longitud (en cm) de BQ es
A) 7 B) 8 C) 25
3
D) 27
4 E)
29
3
42. En un triángulo ABC, se trazan las
cevianas AD, BF y CE de manera que BD 2CD , AE 2BE y CF 2AF . Si
CE BF P , AD BF Q y
usando solamente el teorema de Thales, entonces la relación entre BP, PQ y QF es
A) BP PQ QF
2 1 3
B) 15
BP PQ QF7
C) BP PQ QF
1 3 2
D) BP PQ QF
5 4 3
E) BP = PQ = 3QF
43. En una circunferencia de centro O se trazan los diámetros perpendiculares
AB y CD . La cuerda AP intercepta al
radio OC en M tal que MC 3MO . Si
la cuerda PD intercepta a OB en F y OB 10 cm , entonces la longitud
(en cm) de OF es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
44. En un triángulo MNP, se traza la
bisectriz interior NQ Q MP , luego
se traza QS // MN S NH . Si
QS 2 u , QM 5 u y MP 8u ,
entonces la suma de las longitudes
(en u) de los lados MN y NP es
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A) 6,5 B) 7,0 C) 8,0 D) 8,53 E) 9,0
45. En un trapecio ABCD isósceles
AB // CD se inscribe una
circunferencia. En la prolongación del
lado AD se ubica el punto M. Por M se traza una recta tangente a la circunferencia, dicha recta intercepta
a CD en P, a BC en Q y a la
prolongación de AB en N, respectivamente. Si MP a y PQ b
(a > b) entonces la longitud de QN es
A) b a b
a b
B)
b a b
a b
C) a a b
a b
D)
a a b
a b
E) 2ab
a b
46. ABC es un triángulo acutángulo se
trazan las bisectrices BD y AE interceptándose en I. Si BI 5 u ,
ID 3 u y AC 9 u , entonces el
perímetro (en u) del triángulo ABC es A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 30
47. En un triángulo ABC, sus lados AB ,
BC y AC están en progresión aritmética, en dicho triángulo se
trazan las bisectrices AM , BN y CF
( M BC , N AC y F AB ), que
concurren en I; Q AI , D CI ;
NQ // CI , ND // AI , luego BQ y BD
intersectan a IF e IM en P y E. Indique cual de las proposiciones son verdaderas:
I. PE // QD II. BP = (2PQ) III. BP = 3(PQ) A) Solo III B) I y II C) I y III D) I, II y III E) Solo II
48. En un triángulo ABC se traza la
bisectriz interior BD y la ceviana AE
que biseca a BD . Si EC 3 u y
BE 1u , entonces AB (en u) es
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
49. En un triángulo ABC se trazan las
medianas CN y BM las que se intersecan en G; luego se ubica D en
BG tal que BD 2DG y
AD CN E ,si CG a , entonces EG es
A) 3a
4 B)
2a
3 C)
a
2
D) a
3 E)
a
4
50. En un triángulo ABC, BC a , AC b
y AB c se trazan las bisectrices
interiores CD y AE tal que la
prolongación de DE intersecta a la
prolongación de AC en F. Entonces CF es
A) ac
a b c B)
ab
c b
C) abc
a b D)
ab
c a
E) bc
a b c
51. Enuncie y demuestre el teorema de
Ceva.
52. En un triángulo ABC se trazan las
cevianas AD ; BE y CF concurrentes en el punto P, tales que
AP EF Q ; CP ED T y
BQ AE M .Si AM 3 u y
ME 2 u ,entonces la longitud (en u)
del segmento CE es A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
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53. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Dado el triángulo ABC acutángulo
se trazan las alturas AD y CF, entonces los triángulos ABC y DBF son semejantes.
II. Dado el cuadrilátero ABCD,
BC // AD , AB es la altura y AC
es perpendicular a BD , entonces los triángulos CBA y BAD son semejantes.
III. Dado el cuadrilátero ABPQ inscrito en una circunferencia de manera
que AB BPQ , BP AQ C ,
entonces los triángulos ABP y CBA son semejantes.
A) VVV B) VFV C) FFF D) VFF E) FFV
54. En la figura se muestra el triángulo QMN. Si MQ n y NQ m , entonces
el perímetro del cuadrado que limita la región sombreada es
A) 4m
m n B)
2mn
m n C)
4mn
m n
D) 4n
m n E)
mn
m n
55. En la figura mostrada el triángulo ABC
es isósceles, AB BC , AM , MN y
AC son tangentes a la semicircunferencia. Si AM a y
NC b , entonces AC es
A) a b B) 2 a b
C) 3 a b D) 4 a b
E) 5 a b
56. En un triángulo ABC, G es el
baricentro y L es la recta secante a
lado AC trazada desde B, si A y C distan de la recta L en 2 m y 8 m, entonces la distancia (en m) de G a L es
A) 1
2 B) 1 C)
3
2
D) 2 E) 5
2
57. En un triángulo ABC, AB = BC = 6 cm
y AC = 8 cm. P y Q son puntos tales
que P AB y Q BC . Si PQ // AC y
PQ es tangente a la circunferencia inscrita, entonces PQ (en cm) es A) 2,4 B) 1,5 C) 1,6 D) 1,8 E) 2,5
58. En la figura, AB es diámetro, P y Q son excentros de los triángulos AHC y CHB. Si PM a y QN b , entonces
CH es
A C
M
N
B
Q N
M
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A) ab B) 2 ab C) 2ab
D) ab
2 E)
ab
a b
59. En un triángulo MNP, MN NP ;
1MN , 2NP . Se traza la bisectriz
exterior NQ Q MP . Si R es un
punto tal que R MN y QR // NP entonces QR es
A) 1 2
1 2 B) 1 2
1 2
C) 1 2
1 22 D)
1 1 2
2
E) 2 1 2
1 2
60. En una semicircunferencia de
diámetro AB y centro O, una recta
secante intersecta al arco AB en los puntos E y D. Luego se trazan
EF AB y DG AB . Si BG 1cm y
FG 8 cm , entonces la distancia
(en cm) de B a la recta ED es
A) 2 3 B) 3 C) 3,5
D) 4 E) 5 2
61. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones: I. Todos los triángulos equiláteros
son semejantes.
II. Todos los rectángulos son semejantes.
III. Todas las circunferencias son semejantes.
A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FVF
62. En un triángulo ABC; m BAC 90 y
m ACB 30 . Se traza la ceviana BQ
tal que AB QC ; entonces la medida del ángulo ABQ es A) 24 B) 30 C) 36 D) 37 E) 48
63. En un triángulo acutángulo MNP, se
traza la altura NQ . Si la prolongación
de NQ intercepta a la circunferencia circunscrita al triángulo MNP en el punto S. Si H es el ortocentro y C es el circuncentro entonces:
m MNQ HQ
m CNP QS
es
A) 0 B) 1 C) 2
D) 1
2 E)
3
2
64. En el triángulo ABC, AB 2 u y
BC 3 u . Si m ABC 60 , entonces
la distancia (en u) del circuncentro al baricentro es
A) 2
3 B)
3
2 C)
1
2
D) 1
3 E)
1
4
65. En un triángulo ABC, m ABC 60 ,
se traza la recta de Euler que
intersecta a AB y BC en los puntos M y N. Demuestre que el triángulo MBN es equilátero.
66. En un triángulo acutángulo ABC, H es
el ortocentro, si HB AC y HB entonces la longitud del radio de la circunferencia de Euler mide
A B
C
M N
H
P
Q
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A) 2
B) 3
C) 22
D) 24
E) 23
67. En un triángulo ABC, obtuso en B, su
ortocentro es H y su circuncentro es O. Si BH OC , entonces la medida del ángulo que determina la recta de
Euler con el lado BC es A) 30 B) 45 C) 60 D) 72 E) 75
68. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro H y circuncentro O,
trazamos la altura AM , si m BHM 37 , la distancia del centro de la circunferencia de los nueve
puntos a AC es 5 u y a BH es 4 u, entonces AC (en u) es A) 22 B) 20 C) 19 D) 18 E) 16
69. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y la altura relativa a ella miden 25 u y 12 u respectivamente. Entonces la suma de las distancias (en u) del pie de la altura mencionada a los catetos es A) 15,6 B) 15,8 C) 16,2 D) 16,4 E) 16,8
70. En un trapecio ABCD BC // AD , se
trazan las bisectrices de los vértices C y D que se intersectan en el punto E. Si EC 3 u y ED 4 u , entonces la
altura (en u) del trapecio es
A) 20
5 B)
22
5 C)
24
5
D) 26
5 E)
28
5
71. En un triángulo ABC recto en B, se
traza la altura BH . Por el punto H se
trazan las perpendiculares HM y HN
a los catetos AB y BC , respectivamente. Si AM m y CN n ,
entonces la longitud de AC es
A) 2/3 2/3 2/3AC m n
B) AC mn
C) AC 2 mn
D) mn
ACm n
E) 1/3
2/3 2/3AC m n
72. En un triángulo rectángulo ABC se
trazan la altura BH y las bisectrices
interiores AM y CN que intersectan a
la altura BH en E y F. Si
2AM ME 2 m y 2CN FN 2n ;
entonces la longitud de EF es A) 2m – n B) m – 2n C) m – n
D) m n
2
E)
m n
2
73. En un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, se traza la altura BH. Si el producto de la hipotenusa por la distancia del punto H a los catetos del triángulo ABC es 27 000 u3, entonces BH (en u) es A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
74. En un cuadrado ABCD se traza
MN AD (M en BC , N en AD ), MN intersecta a la semicircunferencia de
diámetro AD en el punto E si AE a
y la distancia de B al segmento AM es b, entonces AM es
A) 2a
b B)
a b
2
C) ab
D) 2b
a E)
2a
b
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CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 11 -
75. En la figura mostrada, las circunferencias son tangentes exteriores. A, B, C y D son puntos de tangencia. Si los radios de las circunferencias miden a y b, entonces AO es
A) 2ab
2 2ab a b
B) 2ab
2 2ab a b
C) 2ab
a b ab
D) a b 2 ab
E) 2ab
a b
76. En un triángulo ABC recto en B, se
traza la altura BH y la bisectriz AF que se interceptan en Q. Si
2AF QF 24 u , entonces BQ (en u)
es
A) 2 B) 2 3 C) 6
D) 3 E) 4
77. En la figura mostrada, O es el centro de la semicircunferencia y T es punto
de tangencia. Si 2AB BC 16 u ,
entonces BD (en u) es
A) 3 B) 4 C) 2 2
D) 4 2 E) 3 2
78. En un cuadrante AOB AO OB ,
considerando como centro B se traza una circunferencia que intercepta a
OB en F. Desde A y O se trazan las
tangentes AQ y OP a dicha circunferencia (P y Q son puntos de tangencia). Si AQ a y OP b ,
entonces BF es
A) 2 2a b B) 2 2a 2b
C) 2 2a 2b D) 2 22a b
E) 2 22a b
79. En un triángulo rectángulo ABC se
traza la altura BH . Si los inradios de los triángulos AHB, BHC y ABC,
miden respectivamente 1r , 2r y 3r ,
demuestre que 2 2 23 1 2r r r .
80. Según el gráfico, demuestre que
2 2 2a b c
O D C
B
A
T
10 30
40 30 20
a b
c
A
D
B
C O
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81. En el interior del cuarto de círculo OAB, de centro O, se trazan dos
semicircunferencias de diámetros OA
y OB . Si OA OB 2a , entonces el
radio de la circunferencia tangente al arco AB y a las citadas semicircunferencias, mide
A) 2a 6 3 2
17
B)
2a 6 3 2
14
C) 2a 4 5
17
D)
2a 5 2 2
17
E) 2a 6 3 2
14
82. En un triángulo acutángulo ABC se
trazan las alturas AH y CN . Si
1AB.AN y 2CB.CH , entonces
AC es
A) 1 2 B) 2 21 2
C) 1 2
2 21 2
D) 2 21 2
E) 1 2
83. Se tiene una hilera A, B y C con
diámetros AB y AC se trazan a un mismo lado de la hilera dos semicircunferencias, AB = 2a, BC = b, con centro en C y radio CB se traza el
arco BP, P AC . Entonces la longitud de radio de la circunferencia inscrita en el triángulo curvilíneo ABP es
A)
2 2
ab a b
2a b 2ab
B)
2ab
a b
C) 1
ab2
D) 2
a b
E) a b
2
84. En un cuadrado ABCD se inscribe
una circunferencia y con centro en D
se traza el arco AC que la intercepta
en P y Q. Si 4AB 8 5 2 u
7 .
Calcule la longitud (en u) de la flecha
comprendida entre PQ y AC es
A) 1
2 B)
3
2 C) 1
D) 1
4 E)
5
4
85. En un cuadrilátero convexo
ABCD, AB CD , AD 8k ,
BD k 34 y BC 6k . Si
m BDA m BAD m BDC , entonces AB es
A) 3k
2 B) 4k C)
9k
2
D) 5k E) 11k
2
86. Se tiene una hilera A, B y C; a un
mismo lado de la hilera se trazan las semicircunferencias de diámetros de AB y AC de manera que AB = BC = R, se traza una circunferencia de centro Q tangente al segmento BC y a los arcos AB y AC. Entonces la longitud del radio de la circunferencia tangente a la circunferencia de centro Q y de los arcos AB y AC es
A) 4
R9
B) 1
R3
C) 4
R17
D) 5
R17
E) 5
R9
87. En un triángulo ABC, AB 9 u ,
BC 13 u y la mediana BM es
congruente con el lado AC . Entonces la distancia (en u) del baricentro al
lado AC es
A) 3 B) 2 C) 3
D) 3 7
2 E)
414
5
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88. En un cuadrilátero convexo, ABCD, M
es punto medio de AC y N punto
medio de BD . Demuestre que 2 2 2 2 2 2 2AB BC CD AD AC BD 4MN
89. En un heptágono regular ABCDEFG,
se cumple 1 1 1
uBF CE 2
. Entonces
la longitud (en u) del segmento que tiene por extremos los puntos medios
de CF y BD es
A) 2 B) 2 C) 1,5
D) 1 E) 0,5
90. En un cuadrilátero ABCD, los ángulos B y D son rectos; AC 17 u y
BD 15 u . Entonces la longitud (en u)
del segmento que une los puntos medios de las diagonales es
A) 2 B) 3 C) 3
D) 4 E) 5