2do sem pre Álgebra 2012-i
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Problemas de ÁlgebraTRANSCRIPT
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 1 -
ÁLGEBRA
01. Grafique
2A x,y R / y x y x y 2
02. Indique la figura que mejor representa
al conjunto
2 2 2A x,y R / y x y
03. Bosquejar la gráfica del conjunto
R S si
2 3R x;y R / x y x ,x 0
2 3S x;y R / x y x ,x 0
A)
y
x
B)
y
x
-2
-2
C)
y
x
-2
2
D)
y
x 2
2
E)
y
x 2
2
A) B)
C) D)
D)
y
x
(-1;-1)
(1;1)
A)
y
x
(-1;-1)
(1;1)
B)
y
x
(-1;-1)
(1;1)
C)
y
x
(-1;-1)
(1;1)
D)
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 2 -
04. Determine la figura que mejor
representa a la región que representa
2 2 2x yA x,y R / x y 4
x y
.
05. La figura que mejor representa la
gráfica del conjunto
2 2A x,y / y 1 x , y x 2x
C)
-1 -2 1 2
1 2
A)
E)
y
x
A)
y
x
B)
y
x
C)
y
x
D)
B)
y
x
(-1;-1)
(1;1)
E) D)
2 2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 3 -
06. Dada la ecuación 2x 1 x 1 5 ,
halle la suma de soluciones A) 5 B) 6 C) 9 D) 17 E) 21
07. Dado
A x / x 1 x 2 x 3 1 ,
halle el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. n A 0;1;2
II. n A 0
III. A 2,1
A) VVV B) VFF C) VVF D) FVF E) FFF
08. Determine la suma de las raíces
racionales de 3 3 3x 1 x 1 x 2 .
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
09. Al resolver
4 4 4 42 x 3 x 2 4 x 1 3 x 2
Determine el valor de verdad de los enunciados siguientes: I. Existen dos raíces.
II. La suma de las raíces es 3
4.
III. El conjunto solución es vacio. A) VVV B) VVF C) FVV D) FFF E) FVF
10. Sean A y B son dos conjuntos
determinados por
2A x / x 9 9 x
2B x / x 2x x 3
Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. El conjunto A 1;4
II. 1 2 1 2x y x B / 4x 3x 10
III. n A B 3
A) VFV B) FFF C) VVF D) FFV E) VVV
11. Si T es un conjunto determinado por:
1 8 x 3T x / 1 1
x 4x 5
entonces la afirmación correctas es:
A) T 5;6
B) T 7;8
C) T 4;8
D) T
E) cT 5;10
12. Sean A y B dos conjuntos
determinados por
2
x 1 7 xA x / 0
x 1 3 x 1
4
2
x 1B x / x 2 3 1 x 1 x
x 1
Si Z el conjunto de los números
enteros, halle n A B Z .
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
y
x
E)
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 4 -
13. Si T es el conjunto solución de la siguiente inecuación
2
2
x 3x 4x 2 x 2 ,
x 4 x 4x
Entonces el conjunto T es
A) 1;1 B) 2;1 C) 0;2
D) 1;0 E)
14. Resolver 2 x 34 x x 1
x 7
A) x 0 B) x 1 C) x 2 D) x 2 E) 1 x 2
15. Sean A, B y C tres conjuntos
determinado por:
2
x x 3A x / 0
x 9
x
B x / 2 0x 2 4 x
C x 1 / x B A
Entonces, la suma de los elementos del conjunto C es: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
16. Halle la suma de los elementos del
conjunto
2T x / 2x 7x 3 x 2x 1 x x 3
A) -6 B) 20
3 C) -7
D) 22
3 E)
23
3
17. Halle la suma de las soluciones de la
ecuación x 1 1 x 1
1x 1 3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
18. Determine el conjunto solución
5 x 2 3x 2
A) 1 9
;4 4
B) 1 9
;4 4
C) 5 5
;2 2
D)
E) 1 9 5 5
; ; ;4 4 2 2
19. Resolver 3x 1 x 1 12 , e indique
la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación dada. A) 61 B) 74 C) 85 D) 89 E) 97
20. Resolver
2 2
2 2
2x x 3 2x x 32
2x x 3 2x x 3
A) 3
1;2
B) 3
;2
C) ; 1 D) 3
1;2
E) 3
\ 1;2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 5 -
21. Si el conjunto solución de
x 1 21
1 x
; es de la forma a;b ;
entonces a b , es
A) 0 B) -1 C) 1
D) 1
2 E)
3
2
22. Indique el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones:
I. a; b : a b a b a b 0
II. x : 3x 1 1 2x x
III. Si1
1 x x 0entoncesx2
A) VFV B) VVF C) FVF D) FVV E) VVV
23. Determine el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones
I. Si 3x 1 4;10 ,entonces 2x 5 1
II. Si x 3
2x 3 3;1 entonces 33x 1
III. Si 1 x 1 2
3; 1 entoncesx x 2 7
A) VFV B) FVV C) FFF D) VVV E) FFV
24. Indique el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones:
I. Si 1 x
x entonces 12 x 1
II. 2x : x 5x 6 14
3 x x 2 8 6
III. Si x 1 y 1 x z y
donde 0entonces z 1
A) VVV B) FVF C) VVF D) VFV E) FFF
25. Halle el conjunto solución de la inecuación
x 1 21
1 x
A) 0; B) 1;1 C) 1;0
D) 0;1 E) ;0
26. Halle el conjunto solución de
1x 1 2
x 1
A) 0;1 B) 1; C)
D) R \ 1 E) 1;
27. Si Z es el conjunto de los números
enteros y A es un conjunto determinado por
2 2 x 3 1A x / x 2 x 6x 6 4 x
x 3 1
Entonces el cardinal del conjunto
cA Z es
A) 5 B) 7 C) 10 D) 11 E) 13
28. Sea S el conjunto solución de la
inecuación
2
x 1 x 2S x / 0
x x 2
la
afirmación correcta es:
A) S 0; B) S 2;4
C) S R \ 1 D) S 1;
E) 0S R R
29. Halle el conjunto solución de la
siguiente inecuación x x 1 x .
A) 0;2 B) 0;
C) 1;2 D) ;2 \ 0
E) ,1 \ 0
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 6 -
30. Si x 3 entonces 1 1
mm 6 4 x
,
luego de “m” se puede afirmar:
m
A) m 1 B) 1
m2
C) m 0,1
D) m 1 E) 1
m4
31. Sea f : S una función tal que
2f 1 t; t 1 / t 1;1 .
Halle: Ran f Dom f
A) 1;2 B) 1;2 C) 0;2
D) 0;1 E) 0;2
32. Calcule el dominio de la función
2 2f x x 4
x 3
A) 3, B) ,3 C) \ 3
D) + E) \ 2,2 3
33. Halle el dominio de la función
2
x 34f x 49
x 1x 1
A) 4 3
; \ 13 4
B) 4 3
; \ 13 4
C) 4 3
;3 4
D) 3 4
; \ 14 3
E) 3 4
;4 3
34. El rango de la función f :R R
definida por: 2
f x 2 x 1 x 1
tiene la forma Ran f a, ,
entonces el valor de a es: A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
35. Para que la función f definida por
2f x x 6x k tenga dominio R,
k deberá ser un número tal que A) k 5 B) k 8 C) k 5
D) k 9 E) k 9
36. Identifique la gráfica de 2x
f xx
A) B) C)
D)
1
x
-1
y
x
y
1
1
x
-1
y
1
x
-1
y
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 7 -
E)
37. Halle el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones: I. El conjunto
f x,y / x 1,4 , y , 0
es una función.
II. El conjunto
H x y , x y / x,y es
una función. III. Si f es una función dada por
2
af x
x a
, con a 0 , entonces
Ranf 0,1 .
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVF E) FFF
38. Si f es una función lineal tal que
f m 2 y f n 5 . Halle
f m 1 n ; donde .
A) 2 5 B) 3 C) 5 3
D) 3 5 E) 3 5
39. Sea la función definida por
f x máximo x 1,2x , Dom f
encuentre su rango.
A) 0; B) 0; C) 1
;3
D) 1
:3
E) 2
;3
40. Determine el valor de “h” tal que la suma de los cuadrados de las raíces de la función cuadrática definida por:
2f x x h 2 x h 3 , sea la
menor posible. A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
41. La gráfica de la función f es la
siguiente parábola.
Determine el valor de: a b f 3
A) -4 B) -1 C) 0 D) 6 E) 12
42. Sea f :N R tal que
2
f n 1 1 f n al expresar
f n 2 en términos de f(n) se
obtiene:
A) 2
2 f n
B) 2
2f n 2 f n
C) 2
2f n 2 f n
D) 2 4
2 f n f n
E) 2 4
2 f n f n
x
y
-4
-1
y
x a 2
b f(x)
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 8 -
43. Determine el dominio de la función
x 2
f xx 1
A) ,1 2,
B) ,1 2,
C) ,1 2,
D) 1,2
E) 1,2
44. Si 2f x x 1 tiene como dominio a:
Dom f 4, 2 1,4 , determine
su rango.
A) 3,15 B) 1,0 3,15
C) 1,15 D) 4,16
E) 0,1 4,16
45. Determine el rango de la función f,
definida por: f x 1 x x
A) 0, B) 0, C) ,0
D) 1, E) ,1
46. Sea la función
x a
f x : x 4,5x b
, con rango
4,7 . Si a,b , determine a b .
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
47. Determine el dominio de la función f,
definido por
23
3 2
x 1 x 16f x
3 x x 2
A) x 3,3
B) x 3,1 1,3
C) x 3,1 2,3
D) x 3, 2 2, 2 2,3
E) x 3, 2 2,2 2,3
48. El rango de la función f definida en R
por f x min x; 2x 1 es:
A) R B) 1
R \3
C) 1
;3
D)
1;
3
E) 0,
49. Si 2xf x x 1 ,x \ 0
x ,
determine su rango.
A) Ranf R 1;1 B) Ranf 0
C) Ranf R 0;1 D) Ranf 0;1
E) Ranf R 1;2
50. Determine el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones, donde f,g :
I. Si f es impar, entonces 2f es impar.
II. Si f es par y g impar, entonces f g
es impar. III. Si f es par, entonces su rango es
simétrico. IV. Si g es impar, entonces su rango
es simétrico. Como respuesta dar el número de afirmaciones verdaderas. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
51. Indique cuántas afirmaciones son
verdaderas:
I. Si f : ,f(x) x x es una
función impar. II. g: impar, tal que
Rang 1,2
III. h : una función par e
impar a la vez.
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 9 -
IV. 2f x 1 x ,x \ 1,1 es una
función par.
V. 3x x x ,x es una
función impar. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
52. Determine el mayor valor de b para
que la función
2
3x b; x 2 f x
x 4x 2; x 2
Sea inyectiva. A) 14 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
53. Determine el rango de
2
xf x , x
x 1
.
A) 0;1 B) 1;0 C) 0
D) 1 E) 1;0;1
54. Sea f x x x x donde
0 x 2 . Si tiene como rango al
intervalo a;b ; determine a b .
A) -5 B) -3 C) 0 D) 2 E) 4
55. Sea f : M la función sobreyectiva
definida por 2
3xf x x
x 1
.
Halle el número de enteros que contiene M. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
56. Si f :R B es una función
sobreyectiva tal que f x x 2 x ,
determine el conjunto B.
A) 1,8 B) 5,10 C) 8,
D) 3,10 E) 2,
57. Determine el valor de verdad de cada una de las afirmaciones siguientes:
I. La función 1
f xx
es
decreciente.
II. Si f es creciente, entonces 1
f es
decreciente. III. Si f es par, entonces f no es impar. A) VFV B) FFF C) VVV D) VVF E) FFV
58. Sea la función real
2f x x 6x 4; x , .
Indique un intervalo donde f es creciente.
A) 1; B) 4; C) 0;
D) ,2 E) 1,5
59. Sean las funciones:
f 0,0 , 1,0 , 2,1 , 3,2 , 4,3
g x x 3,x 3,3
.
Determine “m”, si 2g f m 3
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
60. Sean f y g funciones reales tales que
las gráficas de f g y f g son
respectivamente:
halle la gráfica de f
g
y
x
2
3 1,
2 4
y
x -6
5 1,
2 4
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 10
-
61. Determine el rango de f g si
2 3x; x 0
f xx 1; x 0
f g : 2;4 R
A) 0,5 B) 0,6 C) 0,7
D) 0,8 E) R
62. Si
2x ; 0 x 3f x ; g x 3x 2; x 0;2 .
4 ; 3 x 6
Calcule f g x .
A) 2f g x x 3x 2; x 0;2
B) 2f g x x x 1; x 0;2
C) 2f g x x x 2; x 0,6
D) 2f g x x 3x 2; x 0;2
E) 2f g x x ; x 3;6
63. Sean las funciones reales
2f x x 7x 12 y
7 11
g 1,0 , ,1 , 0,3 , ,10 , 4,52 3
.
Halle el mínimo valor de Ran f g
A) 2 3 3 B) 5 C) 24
D) 2 5 E) 4
64. Sea
2x 1; x 1f x , g 0;3 , 1,4 , 2;3
x 1; x 1
Determine la suma de elementos del
rango de 2f f.g
f
A) -6 B) -2 C) -1 D) 0 E) 2
65. Determine el máximo valor de f g
f g
si
se conoce:
f 1;0 , 0;1 , 2;3 , 3;2
g 1;3 , 2;1 , 3;2 , 5;3
x
y
B)
1
2
2 -1
y
x
C)
2
D)
x
y
1
2
E)
y
x
x
y
A)
1
2
2
(-3,6)
(3,6)
2 -2
4
y
x
g(x)
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 11
-
A) 13
11 B)
5
3 C) 2
D) 7
3 E) 3
66. Sean
g 2,4 , 3,5 , 4,6 , 6,8
h 3,1 , 4,5 , 6,7 , 7,2
halle una función f tal que h f g
A) 5,1 , 6,5 , 7,8
B) 5,1 , 6,5 , 8,7
C) 2,3 , 8,2 , 0,1
D) 1,6 , 4,3 , 6,8
E) 6,2 , 8,4 , 7,1
67. Dadas las funciones
f 2;4 , 0;3 , 1;1 , 3;5 , 6;9
g 1; 2 , 3,2 , 8,0 , 9,4 , 16,1 , 20,3
Determine la suma de los valores de
h x f g x x; x Dom f g I
A) -21 B) -30 C) -32 D) -40 E) -43
68. Si 2010
f : 0; R / f x 2f 3xx
.
Determine A, si además:
2
Ax Af f x x
xA x
A) 0 B) 1 C) 2010 D) 4020 E) 6030
69. Si 2f x 4 x x , 8 x 2 y
g x 1 x, 4 x 0 , entonces
Dom f g es
A) 3; 1 B) 2;0 C) 3;0
D) 8, 1 E) 1, 5
70. Sean las funciones definidas mediante las reglas
f x x 2 y
g: ,0 R / g x 1 2x .
Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. 1
Dom f g ,02
II. (f g) x 1 2x
III. Ran f g 0,2
A) VVV B) VFV C) VVF D) VFF E) FVV
71. Si
2
2
f x 2x x , Dom f 1;10 .
g x x ; x 8;8
Determine Dom g f .
A) 0;4 B) 1;4 C) 2;4
D) 3;4 E) 1;3
72. Determine cuántas afirmaciones son
correctas: I. Si f;g : son funciones
pares, entonces f g es par.
II. Si f;g : son funciones y
f g es par, entonces f y g son
pares. III. Si f : es una función par,
entonces f f es par. IV. Si f : es una función impar
y par, entonces f 0 (función
nula) A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
73. Indique el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones:
I. 2f : / f x x 2x 1, x 1 ,
es inyectiva.
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 12
-
II. 1
f x x 1 1, x 6, 3 2, 12
,
no es inyectiva.
III. 1
f : 2,3 1, ,f xx 2
, es
sobreyectiva.
A) FVV B) FFV C) VVF D) VVV E) FFF
74. Determine B para que : 2,6f B ,
1( ) 1
2f x x sea biyectiva, si
A) 2,6 B) 2;4 C) 2;4
D) R E) 0,4
75. Sean f,g : funciones,
determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. Si f es creciente, entonces f es
inyectiva. II. Si f y g son inyectivas, entonces
f g es inyectiva.
III. Si f g I (I: función identidad en
), entonces g es inyectiva y f es sobreyectiva.
A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) VFF
76. Sean f, g, h : , determine
cuántas afirmaciones son verdaderas: I. Si f g es inyectiva, entonces g es
inyectiva. II. Si f es impar y g par, entonces
f g es impar.
III. Si f es creciente y g decreciente, entonces f g es decreciente.
IV. Si f h g h , entonces f g .
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
77. Halle la función afín f : a;b 0;1 ,
con a b tal que f sea biyectiva y creciente.
A) x b
f xb a
B)
x bf x
a b
C) x a
f xb a
D)
axf x
b a
E) bx a
f xb a
78. Sean f y g dos funciones biyectivas
f : 2,3 A / f x 2 3x
2g : A B / g x
x 2
Determine B.
A) 2
,15
B) 5
1,2
C) 5
, 12
D) 2
1,5
E)
21;
5
79. Sea la función
2f x 3x x 7; x 2;3
. Halle
la función inversa f x .
A) 23x x 56
f x8
B) 23x x 28
f x4
C) 23x x 56
f x8
D) 23x x 28
f x8
E) 23x x 42
f x6
80. Determine el valor de verdad de los
siguientes enunciados:
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 13
-
I. Si f :R R tiene inversa,
entonces g x f x x ,x R
también tiene inversa.
II. Si f x x x ,x. R , entonces
existe f x .
III. Si f x x x , x R , entonces f
tiene inversa. A) VVF B) VFV C) FVV D) FFF E) VVV
81. Dada la función
21 x
f xx
;
x 2; 1 . Halle la función f .
A) 2
1 5f x ; ;5
2x 1
B) 2
xf x ; 1;3
1 x
C) 2
2xf x ; 0;2
1 x
D) 2f x 1 x ; 1,2
E) 2
1 5f x ; 2,
2x 1
82. Dadas las funciones
8f x , x 0,4 \ 2
x 2 ,
2
x 3 ,1 x 5g x
x 3, 6 x 1
Halle la composición f g .
A) 1,4 B) 4,1
C) 4, 1 D) 1,4
E) 1, 4
83. Sea f : / f x x 10 Sgn x .
Determine la función inversa de f. Indique el valor de verdad de las proposiciones:
I. Dom f
II. Ran f Dom f
III.
x; x 0
9
xf x ; x 0
10
x; x 0
11
A) VVV B) VVF C) VFF D) FVF E) FFF
84. Dadas las siguientes funciones
2 bf x x bx b, x , b 0
2
g x x b
h x c x 1 .
Halle b c tal que f g h
A) 2 B) 1| C) 0
D) 1 E) 2 85. Halle el valor de verdad de las
siguientes afirmaciones:
I. 2
: f xx
es una
función acotada. II. Si f es una función biyectiva,
entonces f es acotada. III. Si f es acotada y g una función
cualquiera definidas en todo R, entonces f g es acotada.
A) VVV B) VFF C) VFV D) FFV E) FFF
86. Sea 2x 3
f x , x 1x 1
, dar el
valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 02
CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 14
-
I. f x es acotada.
II. f x es biyectiva.
III. f x es creciente.
A) VVV B) FFF C) FVV D) VFF E) FVF
87. Dada la función 2
1f x
3x x 1
;
determine el menor valor positivo “k”
tal que f x k
A) 31
11 B)
29
11 C)
27
11
D) 17
11 E)
12
11
88. Sea f : determine la verdad
(V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. Si f es creciente, entonces f no es
acotada.
II. Si f es acotada, entonces f es
acotada. III. Si f es acotada, f f es una
función acotada. A) VVV B) FVV C) FVF D) FFF E) FFV
89. Si la magnitud A es directamente
proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a C. ¿En qué fracción de su valor, aumenta A;
si B y C aumentan en 2
3 y
1
4 de su
valor respectivamente?
A) 11
9 B)
1
3 C)
11
20
D) 1
15 E)
16
15
90. Sean los conjuntos:
A x,y / y es directamente
proporcional a 3x
B x,y / y es inversamente
proporcional a x
Además se sabe que: (2,24) y (a, 192) pertenecen a A. (81,4) y (b, 12) pertenecen a B. Halle a b . A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14