2DO EXAMEN DE CLCULO DE VARIABLE COMPLEJADefinicin: Una funcin definida en un entorno de es continua en ese punto si satisface:

Observacin:

Teorema: Si son puntos de los planos , respectivamente, entonces1 si y solo si 2 si y solo si 3 si y solo si

Derivada:Sea una funcin definida en un entorno de . La derivada de en denotada por , si el lmite existe. Sea

Teorema: Si es derivable en , entonces es continua en . es continua en .Teorema (Regla de la cadena): Sea una funcin derivable en y una funcin tambin derivable en entonces la funcin es derivable en y se cumple:

Las Ecuaciones de Cauchy-Riemann:

Teorema: Sea con derivable en entonces las derivadas parciales de deben existir cumpliendo:

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ms an:

Observacin: Las ecuaciones de Cauchy-Riemann, nos ayudan a ubicar los puntos donde la funcin no es diferenciable. (Los puntos que no la satisfacen).

Observacin: Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son una condicin necesaria para la existencia de .Teorema: Sea una funcin definida en un entorno de . Si las derivadas parciales de primer orden con respecto a y son continuas en todos, los puntos de ese entorno, y adems cumplen con las ecuaciones de Cauchy- Riemann.

, entonces .De igualmente se cumple:

Funciones analticas:Definicin: Una funcin de variable es analtica en un conjunto abierto, si es derivable en todo punto de ese conjunto.Observaciones:i) Cuando la funcin es analtica en un conjunto que no es abierto, se da por entendido que la funcin es analtica en un conjunto . En particular es analtica en un punto , si es analtica en un entorno de .

ii) Si es analtica en todo el punto del plano complejo, se dice que es entera.

iii) Si no es analtica en un punto , pero es analtica en algn punto de todo entorno de se dice que es un punto singular, o una singularidad de .

Funciones armnicas:Una funcin real de dos variables se dice que es armnica en un dominio del plano si sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas y adems cumple:

Esta ecuacin recibe el nombre de Ecuacin de Laplace.Teorema:Si una funcin es analtica en un dominio D (abierto y conexo en , sus funciones componentes son armnicas en D.Definicin:Si son funciones armnicas en un dominio D y sus derivadas parciales de primer y segundo orden satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Se dice que es la armnica conjugada de .Teorema:Una funcin es analticas en un dominio D si y solo si es armnica conjugada de