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第2章 電腦資料表示法與數字系統

2-1 資料表示法簡介2-2 數值表示法2-3 數字系統介紹2-4 數字系統轉換方式

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2-1 資料表示法簡介

編碼系統簡介

ASCII採用8 位元表示不同的字元，不過最左邊為核對位元，故實際上僅用到7個位元表示。ASCII碼最多可以表示27＝128個不同的字元，可以表示大小英文字母、數字、符號及各種控制字元。例如ASCII碼的字母 ＂A” 編碼為1000001，字母 ＂a” 編碼為1100001：

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2-1 資料表示法簡介

後來有些電腦系統為了能夠處理更多的字元，將編碼系統擴充到8個位元，與原有的ASCII碼字元集比較之下，新的字元集有更多的圖形字元。

例如由IBM所發展的「擴展式BCD碼」（Extended Binary Coded Decimal Interchange Code, EBCDIC），原理乃採用8個位元來表示不同之字元，因此EBCDIC碼最多可表示256個不同字元，比ASCII碼多表示128個字元。例如EBCDIC編碼的'A'編碼11000001，'a'編碼為10000001。如下圖所示：

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2-1 資料表示法簡介

Unicode 碼Unicode碼的最大好處就是對於每一個字元提供了一個跨平台、語言與程式的統一數碼，它的前128個字元和ASCII碼相同，目前可支援中文、日文、韓文、希臘文…等國語言，同時可代表總數達216=65536個字元，因此您有可能在同一份文件上同時看到日文與泰文。

Unicode跟其它編碼系統不同的地方，在於字表容納的總字數。

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2-2 數值表示法

整數表示法

不帶號整數

就是正整數，並且再儲存時不帶任何符號位元。例如一個正整數是以一個位元組（8 bits）來儲存，則共能表示28=256個數字，且數字範圍為0 ~ 255。

總結來說，如果某電腦系統是以n位元來表示正整數，則可能表示的有效範圍為 0 ~ 2n-1。

帶號整數

可以表示正負整數，必須利用額外的1bit來表示符號位元，符號位元為0 表示為正數，如果是1則代表為負數，其他剩下的位元則表示此整數的數值。

對於利用n個位元來表示帶號整數的正數範圍為（0 ~ 2n-1）

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2-2 數值表示法

補數簡介

1補數系統（1´s Complement）是指如果兩數之和為1，則此兩數互為1的補數，亦即0和1互為1的補數。打算求得二進位數的補數，只需將0變成1，1變成0即可；例如011010102的1補數為100101012。

2補數系統（2´s Complement）必須事先計算出該數的1補數，再加1即可。

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2-2 數值表示法

帶號大小值法 （Sign Magnitude）帶號大小值法 (Sign Magnitude)就是以最左邊的位元來表示正負號。

例如以N位元表示一個整數，最左邊一位元代表正負號，其餘N-1位元表示該數值，則此數的變化範圍在 -2N-1-1~ +2N-1-1。例如 ±3的表示法：

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2-2 數值表示法

1 ‘s 補數法最左邊的位元同樣是表示正負號，它的正數的表示法和帶號大小值法完全相同，當表示負數時，由0變成1，而1則變成0，並得到一個二進位字串。例如我們使用8個位元來表示正負整數，那麼9=（00001001）2，則其「1 's補數」即為11110110：

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2-2 數值表示法

2‘s 補數法最左邊的位元還是符號表示位元，正數的表示法則與帶號大小值法相同，但負數的表示法是用1補數法求得，並在最後一位元上加1。基本上，「2´s補數法」的做法就是把「1´s補數法」加1即可。例如9=（00001001）2的「1´s補數」為（11110110）

2，其「2’s補數」則為（11110111）

使用「2’s 補數法」的處理流程最為簡單，而且運算上成本最低，至於末端進位，可直接捨去不需加1，並且0的正負數表示法只有一種，這也是目前電腦所採用的表示法。

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2-2 數值表示法

定點數表示法

在電腦中的小數表示法可分為定點數與浮點數表示法兩種。兩者的差別在於小數點的位置，對於正負整數而言，定點數表示法小數點位置固定在右邊，而且不會因為電腦種類的不同而有差別，例如 16.8、0.2387 等。

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2-2 數值表示法

浮點數表示法

是數學常見的科學符號表示法，浮點數表示法的小數點位置則取決於精確度及數值而定，另外不同電腦型態的浮點數表示法也有所不同。想要表示電腦內部的浮點數必須先以正規化（Normalized Form）為其優先步驟。假設一數N 能化成以下格式：

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2-3 數字系統介紹

二進位系統

是在這個系統下只有0與1兩種符號，以2為基數，並且逢2 進位，在此系統中，任何數字都必須以0或1來表示。例如十進位系統的3，在二進位系統則表示為112。

十進位系統

是人類最常使用的數字系統，以10 為基數且逢十進位，其基本符號有0、1、2、3、4...8、9 共10 種，例如9876、12345、534 都是10 進位系統的表示法。

310=1*21+1*20=112

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2-3 數字系統介紹

八進位系統

是以8為基數，基本符號為0，1，2，3，4，5，6，7，並且逢8進位的數字系統。例如十進位系統的87，在八進位系統中可以表示為1278。

十六進位系統

是一套以16為基數，而且逢十六進位的數字系統，其基本組成符號為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F共十六種。其中A代表十進位的10，B代表11，C代表12，D代表13，E代表14，F代表15：

1278=1*82+2*81+7=64+16+7=8710

A1816=10*162+1*161+8*160=258410

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2-4 數字系統轉換方式

非十進位轉成十進位

「非十進位轉成十進位」的基本原則是將整數與小數分開處理。例如二進位轉換成十進位，可將整數部份以2進位數值乘上相對的2正次方值，例如二進位整數右邊第一位的值乘以20，往左算起第二位的值乘以21，依此類推，最後再加總起來。

至於小數的部份，則以2進位數值乘上相對的2 負次方值，例如小數點右邊第一位的值乘以2-1，往右算起第二位的值乘以2-2，依此類推，最後再加總起來。

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2-4 數字系統轉換方式

0.112=1*2-1+1*2-2=0.5+0.25=0.751011.1012=1*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=3.87510

128=1*81+2*80=1010163.78=1*82+6*81+3*80+7*8-1=115.87510

A1D16=A*162+1*161+D*160=10*162+1*16+13=258910

AC.216 =A*161 + C * 16 0 + 2 * 16 - 1=10*161+12+0.125

=172.12510

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2-4 數字系統轉換方式

十進位轉換成非十進位(1)

(1). 十進位轉換成二進位6310=1111112

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2-4 數字系統轉換方式

(0.625)10=(0.101)2

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2-4 數字系統轉換方式

(12.75)10＝(12)10＋(0.75)10其中(12)10＝11002 (0.75)10＝(0.11)2

所以(12.75) 10＝(12) 10＋(0.75) 10＝11002＋0.11＝1100.112

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2-4 數字系統轉換方式

十進位轉換成非十進位(2)

(2). 十進位轉換成八進位6310＝(77)8

(0.75)10＝(0.6)8

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2-4 數字系統轉換方式

十進位轉換成非十進位(3)

(3). 十進位轉換成十六進位(63)10＝(3F)16

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2-4 數字系統轉換方式

(0.62890625)10＝(0.A1)16

120.510＝(120)10＋(0.5)10其中 (120)10＝(78)16 (0.5)10＝(0.8)16

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2-4 數字系統轉換方式

非十進位轉換成非十進位(1)

例如我們將 (156)8 轉換成2進位與16進位：(156)8＝1×82＋5×81＋6＝11010

再分別轉成十六進位及二進位

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2-4 數字系統轉換方式

非十進位轉換成非十進位(2)

(1). 二進位→八進位例如將10101110111011.01010112換算成八進位：10,101,110,111,011.010,101,1

依上述原則補0，3個3個一組

分別轉換或8進位→ 25673.254

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2-4 數字系統轉換方式

非十進位轉換成非十進位(3)

(2). 二進位→十六進位例如將10101110111011.01010112換算成十六進位：10,1011,1011,1011,0101,011

依上述原則補0，每4個一組

→ 2BBB.5616