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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Disciplina: MTM151 Estatstica e Probabilidade Professor: Maria Cludia

Lista de Exerccios

1) Considerando dois eventos A e B, qual a probabilidade condicional P(A | B) se: a) A e B so eventos mutuamente excludentes. b) A e B so eventos independentes. c) A e B so dois eventos quaisquer.

Resp: a) zero b) P(A) c) P(AB)/P(B)

2) Se 8.0)( BAP , P(A)=0.5 e P(B)=x. Determine o valor de x no caso de: a) A e B serem eventos mutuamente excludentes. b) A e B serem eventos independentes.

Resp: a) 0,3 b) 0,6

3) So lanados dois dados: a) Descreva o espao amostral. b) Qual a probabilidade de se obter uma soma de pontos igual a 7? c) Qual a probabilidade de se obter soma de pontos 10 ou um par com pontos iguais? d) Qual a probabilidade de se obter produto dos pontos 6 ou 8? e) Qual a probabilidade de se obter soma 6, sabendo-se que o ponto do primeiro dado maior que o

ponto do segundo dado?

Resp: a)

)6,6()1,6(

)6,1()1,1(

E b) 1/6 c) 2/9 d) 1/6 e) 2/5

4) As probabilidades de trs jogadores (A, B, C) marcarem um "penalty" so respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. Se cada um cobrar uma nica vez, qual a probabilidade de: a) todos acertarem; b) apenas um acertar; c) todos errarem.

Resp: a) 28/75 b) 1/6 c) 1/50

5) Uma urna contm cinco bolas brancas e oito vermelhas, e delas retiramos sete bolas ao acaso, simultaneamente. Qual a probabilidade de haver, entre as bolas extradas, exatamente trs bolas brancas? Resp: 0,4079

6) Se 21

AP ; 41

BP e A e B mutuamente exclusivos, calcular:

a) )(AP c) BAP e) P BA b) )(BP d) BAP f) BAP

Resp: (a) 1/2 (b) 3/4 (c) 0 (d) 3/4 (e) 1/4 (f) 3/4

7) Um sistema composto de trs componentes, 1, 2 e 3, com confiabilidades (probabilidade de funcionar) 0,9, 0,8 e 0,7 respectivamente. O componente 1 indispensvel ao funcionamento do sistema, se 2 ou 3 no funcionam, o sistema funciona, mas com um rendimento inferior. A falha simultnea de 2 e 3 implica no no funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionam independentemente, calcular a confiabilidade do sistema (probabilidade do sistema funcionar).Resp.: 0,846

8) Um lote formado por 10 peas boas, quatro com defeitos menores e duas com defeitos graves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcular a probabilidade de que: a) ela no tenha defeitos graves; b) ela no tenha defeitos; c) ela ou seja boa, ou tenha defeitos graves. d) Se duas peas so escolhidas ao acaso, sem reposio, qual a probabilidade de que:

d.1) ambas sejam boas; d.2) ambas tenham defeitos graves; d.3) exatamente uma seja boa.

Resp: (a) 7/8 (b) 5/8 (c) 3/4 (d.1) 3/8 (d.2) 1/120 (d.3) 1/2

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9) Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitria sempre que joga. Se X jogar cinco partidas, qual a

probabilidade de: a) X vencer exatamente trs partidas; b) X vencer ao menos uma partida; c) X vencer mais da metade das partidas.

Resp: (a) 80/243 (b) 242/243 (c) 64/81

10) Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o vnculo e a instituio a que pertence dentro da UFOP, a seguinte composio:

ICEB Escola de Minas Alunos 21 39 Professores 14 26

Calcule: a) A probabilidade de um escolhido ser Aluno; b) A probabilidade de um escolhido ser Professor da Escola de Minas; c) A porcentagem dos integrantes da Escola de Minas; d) A porcentagem dos Alunos pertencentes ao ICEB; e) Se o sorteado for do ICEB, qual a probabilidade de ser Professor? f) Se o sorteado for Aluno, qual a probabilidade de ser da Escola de Minas?

Resp: (a) 0,600 (b) 0,260 (c) 0,650 (d) 0,210 (e) 0,400 (f) 0,650

11) Amostras de vidro de laboratrio esto em pacotes leves e pequenos ou pesados e grandes. Suponha que 2% e 1% da amostra embalada em pequenos e grandes pacotes, respectivamente, quebrem durante o transporte. Se 60% das amostras forem embaladas em pacotes grandes e 40% em pacotes pequenos, qual ser a proporo de amostras quebradas durante o transporte? Resp: 0,014

12) Em certo colgio, 5% dos homens e 2% das mulheres tm mais do que 1,80 m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes so homens. Se um estudante selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher? Resp: 4/19.

13) Apenas uma em cada dez pessoas de uma populao tem tuberculose. Das pessoas que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que no tem tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da populao selecionada ao acaso e o teste Y aplicado. Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste? Resp: 8/35.

14) Consumidores so usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95% dos produtos altamente aprovados recebiam boas crticas, 60% dos produtos moderadamente aprovados recebiam boas crticas e 10% dos produtos ruins recebiam boas crticas. Alm disso, 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% tinham sido moderadamente aprovados e 25% tinham sido produtos ruins. a) Qual a probabilidade de que um produto atinja uma boa crtica? b) Se um novo projeto atingir uma boa reviso, qual ser a probabilidade de que ele se torne um produto

altamente aprovado? c) Se um produto no atingir uma boa reviso, qual ser a probabilidade de que ele se torne um produto

altamente aprovado? Resp: (a) 0,615 (b) 0,618 (c) 0,052

15) Em certa regio, 40% dos produtores de gusa distribuem sua produo em indstrias siderrgicas locais, por outro lado, 70% no cumprem as exigncias de reflorestamento previstas por lei. Dentre os que comercializam seu produto na prpria regio, 15% desenvolvem processos satisfatrios de reflorestamento. Escolhendo-se aleatoriamente uma empresa, encontre a probabilidade dela: a) no distribuir sua produo em indstrias siderrgicas locais e no desenvolver processos

satisfatrios de reflorestamento; b) no desenvolver processos satisfatrios de reflorestamento, dado que comercializa sua produo em

indstrias siderrgicas locais. Resp.: (a) 0,36 (b) 0,85

16) Antes de projetar um tnel atravs de uma regio rochosa feita uma explorao geolgica para investigar superfcies em potencial onde pode ocorrer deslocamento. Por razes econmicas, apenas pores de extrato podem ser exploradas. Alm disto, as medies obtidas esto sujeitas a erros, ou seja, os instrumentos de medio no so perfeitamente confiveis. Assim, o gelogo pode somente concluir que a condio da rocha pode ser fortemente fissurada (FF), moderadamente fissurada (MF) ou levemente fissurada (LF), com probabilidades iguais a 0,1; 0,1 e 0,8, respectivamente. Baseando-se nesta informao, um engenheiro projeta o tnel e estima que se a condio da rocha for LF, a probabilidade do projeto no falhar (confiabilidade do projeto) de 0,999. Contudo, se a condio da rocha for MF, a probabilidade de falha ir dobrar e se a condio for FF, a probabilidade de falha ser 10 vezes que aquela da condio LF.

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a) Determine a probabilidade de que o tnel proposto no projeto no falhe; b) Se o tnel ruir (falhar), qual a probabilidade de que a rocha seja do tipo LF?

Resp.: (a) 0,998 (b) 0,40

17) O tempo, em minutos, de digitao de um texto por secretrias experientes uma varivel aleatria contnua X, sua densidade apresentada a seguir.

. ,0

;62 ,20/3;20 ,5/1

)(

ccxse

xsexf

Determine: a) A funo de distribuio acumulada de X b) P(x3) e P(1

4

d) P(X 2); P(3 X 8); P(X>1), utilizando a funo definida no item (c).

Resp.a) 1/25; b) 5/3, 475/18; c)

10,1

105,152

50

50,50

0,0

)( 2

2

x

xxx

xxx

xF ;d) 2/25; 0,74; 49/50

23) Dados histricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor apresentam algum tipo de

defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de: a) Haver algum item com defeito; b) Haver exatamente dois itens defeituosos; c) Haver mais de dois itens defeituosos; d) Qual o nmero esperado de itens defeituosos no lote?

Resp: (a) 0,6415 (b) 0,1887 (c) 0,0754 (d) 1

24) Uma faculdade descobriu que 20% de seus estudantes retiram-se sem completar o curso introdutrio de estatstica. Considere que 20 estudantes tenham se registrado para o curso este semestre. a) Neste exerccio, estamos trabalhando com amostra ou populao? Por qu? b) Qual a probabilidade de que dois ou menos se retiraro? c) Qual a probabilidade de que exatamente quatros se retiraro? d) Qual a probabilidade de que mais de trs se retiraro? e) Qual o valor esperado de alunos que se retiraram?

Resp: (a) Populao, pois estamos com todos os alunos da turma em estudo (b) 0,2061 (c) 0,2182 (d) 0,5885 (e) 4

25) Uma editora apresenta a probabilidade de se encontrar uma pgina editada com erro igual a 0,8%. Em um livro de 500 pginas, determinar a probabilidade de se encontrar no mximo 4 pginas com erro.

Resp.: 0,6288

26) Num determinado processo de fabricao, 10% das peas so consideradas defeituosas. As peas so acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma: a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peas defeituosas numa caixa? b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peas defeituosas numa caixa? c) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma pea defeituosa, qual o

valor esperado de multa, num total de 1000 caixas? Resp.: (a) 0,0081 (b) 0,0815 (c) R$4095,00

27) O fluxo de carros que passam em determinado pedgio de 1,7 carros/minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente 2 carros em 2 minutos?

Resp.: 0,1929

28) Na explorao de petrleo, a probabilidade de sucesso no Mar do Norte de um em quinhentas perfuraes. Qual a probabilidade de encontrar no mximo 8 poos produtivos em 1000 exploraes? Resp.: 0,9998

29) Uma fbrica produz vlvulas, das quais 20% so defeituosas. As vlvulas so vendidas em caixas com 10 peas. Se a caixa no tiver nenhuma vlvula defeituosa, seu preo de venda de R$10,00; tendo uma, o preo de R$8,00; duas ou trs, o preo de R$6,00; mais que trs, o preo de R$2,00. Qual o preo mdio de venda de uma caixa? Resp.: R$6,48.

30) Em um experimento com traador radioativo, foram observados, em mdia, 4,4 cintilaes por segundo. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma cintilao ocorra em um intervalo de tempo de 4 minutos. Resp. 1

31) Para evitar se detido pela alfndega, um turista colocou 6 cpsulas de narctico num vidro contendo 9 plulas de vitaminas, que a elas se assemelham. Se o funcionrio da alfndega seleciona 3 plulas ao acaso, sem reposio, qual a probabilidade de que o turista seja preso por porte ilegal de narctico? Resp.: 0,8154

32) Uma fbrica de pneus verificou que, ao testar seus pneus nas pistas, havia em mdia um estouro de pneu a cada 5000 km. a) Qual a probabilidade de que num teste de 3000 km haja no mximo um pneu estourado? b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu?

Resp: (a) 0,8781 (b) 0,2019

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33) Suponha que a mquina I produz por dia o dobro de peas que so produzidas pela mquina II. Se a pea produzida por I, a probabilidade dela ser defeituosa de 0,03. Se produzida por II, a probabilidade de ser defeituosa de 0,09. Admita que a produo diria das duas mquinas misturada, formando a populao total das peas. Uma amostra aleatria de 10 peas sorteada da populao total. Qual ser a probabilidade de que essa amostra contenha: a) duas peas defeituosas? b) Trs ou mais peas defeituosas?

Resp.: (a) 0,0746 (b) 0,0115

34) A mdia de artigos com algum tipo de falha de fabricao em uma hora 3. Qual a probabilidade de: a) Ter algum artigo com falha em 60 minutos b) Ter trs artigos com falha em 20 minutos? c) Ter no mnimo dois artigos com falha em 30 minutos? d) Ter nenhum artigo com falha durante 45 minutos? e) Ter no mximo um artigo com falha em 80 minutos?

Resp: (a) 0,0498 (b) 0,0613 (c) 0,4423 (d) 0,1054 (e) 0,0916

35) A probabilidade de lmpada se queimar ao ser ligada 0,01. Numa instalao com 1000 lmpadas, qual a probabilidade de no mnimo 3 lmpadas se queimarem ao serem ligads? Resp: 0,9972

36) Um carregamento de 80 alarmes contra incndio contm 4 defeituosos. Se 3 alarmes so escolhidos aleatoriamente, sem reposio, e despachados para um fregus, qual a probabilidade de que o fregus receba exatamente um alarme defeituoso? Resp.: Hiper. 0,1388 ou Bin 0,1354

37) Considere uma varivel aleatria W com distribuio N(0,1). Determine as seguintes probabilidades: a) P(W>1,84) b) P(Wx)=0,945 b) P(Tx)=0,264 d) P(T>-x)=0,145 e) P(x < T < 1,95)=0,78

Resp: (a) -1,5982 (b) 0,6903 (c) 0,6311 (d) -1,0581 (e) -0,8618

39) Os pesos de 500 malas so normalmente distribudos com mdia de 66,2kg e desvio-padro de 4,3kg. Determine o nmero de malas que pesam: a) menos que 66,2 kg; b) entre 63 e 68 kg; c) menos de 70 kg; d) mais de 60 kg.

Resp: (a) 0,5; 250 malas (b) 0,4332; 217 malas (c) 0,8106; 405 malas (d) 0,9251; 463 malas

40) Para a populao masculina de uma determinada cidade, com idade entre 18 e 74 anos, a presso sistlica tem distribuio aproximadamente gaussiana com mdia 129 mmHg e desvio padro 19,8 mmHg. Tem-se ainda que, nveis pressricos menores que 130 (sistlica) / 85 (diastlica) mmHg so considerados normais. a) Qual a probabilidade de um homem dessa populao possuir presso sistlica normal? b) Selecionando-se ao acaso 1000 homens dessa populao, quantos seriam diagnosticados com

hipertenso moderada (presso sistlica entre 160 e 179 mmHg)? Resp: (a) 0,5201 (b) 53

41) Sabe-se que para adultos do sexo masculino, com boa sade, numa certa populao, a temperatura corporal segue uma distribuio Normal com mdia 36,8 graus e desvio-padro 0,15 graus. a) Qual a varivel de interesse? Classifique-a. b) Se considerarmos 1000 dessas pessoas, quantas se esperariam com temperatura entre 36,8 e 37,2

graus? c) Qual a temperatura corporal que excedida com probabilidade 20%?

Resp: (a) varivel quantitativa contnua (b) 496 (c) 36,93

42) Um bom indicador do nvel de intoxicao por benzeno a quantidade de fenol encontrada na urina. A quantidade de fenol na urina de moradores de certa regio segue, aproximadamente, uma distribuio

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normal de mdia 6 mg/L e desvio padro 2 mg/L. Considere as seguintes definies em termos da varivel quantidade de fenol na urina: i. Define-se como valor de referncia a quantidade de fenol tal que 90% da populao tm quantidade de fenol maior ou igual a esse valor; ii. Uma pessoa considerada atpica se a quantidade de fenol em sua urina for superior a 9mg/l ou inferior a 3 mg/L. a) Sorteado um morador ao acaso, qual a probabilidade de ser atpico? b) Qual o valor de referncia da populao?

Resp: (a) 0,1336 (b) 3,44

43) Uma mquina de encher garrafas de refrigerantes est regulada para que o volume mdio de lquido em cada garrafa seja de 1000 cm 3 e o desvio padro de 10 cm 3 . Pode-se admitir que a distribuio da varivel volume seja normal. a) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de lquido menor que 990 cm 3 ? b) Qual a porcentagem das garrafas em que o volume lquido no se desvia da mdia em mais que

dois desvios padres? c) O que acontecer com a porcentagem do item (b) se a mquina for regulada de forma que a mdia

seja 1200 cm 3 e o desvio padro 20 cm 3 ? Compare a porcentagem obtida com a do item (b) e comente.

Resp: (a) 15,87% (b) 95,46% (c)

44) Um teste de aptido feito pelos pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma srie de operaes seja realizada em uma rpida sucesso. Suponha que o tempo necessrio para completar o teste seja distribudo normalmente com mdia de 90 minutos e desvio padro 20 minutos.

a) Para passar no teste, o candidato deve complet-lo em menos de 80 minutos. Considerando 65 candidatos, quantos so esperados passar?

b) Se os 5% melhores candidatos sero alocados em aeronaves maiores, em no mximo quantos minutos um candidato deve concluir o teste de aptido para obter esta posio.

Resp: (a) 20 candidatos (b) 57,10 minutos

45) O dimetro interno de um anel de pisto uma varivel aleatria com distribuio N(10 cm; 0,03 cm). Um anel considerado defeituoso quando seu dimetro interno maior que 10,03 cm ou menor que 9,97 cm. Os anis considerados perfeitos so vendidos com um lucro de R$10,00 cada, enquanto que os anis defeituosos so vendidos para utilizao em uma outra atividade, dando um lucro de R$3,00 cada. Qual o lucro mdio por anel de pisto? Resp.: R$7,78

46) Em uma distribuio normal, a probabilidade de valores de X abaixo de 25 0,82, e a probabilidade de valores de X acima de 20 0,70. Determine a probabilidade de valores de X acima de 22. Resp.: 0,4801

47) O tempo mdio de durao de um motor eltrico de 6 anos, com desvio padro de 2 anos. Se a durao desse motor pode ser considerada uma v.a. normal e se o motor estiver garantido, quanto tempo deve valer a garantia para que 15% dos motores falhem antes de expirar a garantia? Resp.: 3,92 anos.

48) A perda de peso por evaporao de certo produto uma varivel aleatria com distribuio N(6,54 g, 1,3 g). a) Qual a probabilidade do produto apresentar perda de peso por evaporao maior que 8g? b) Sorteiam-se quatro produtos de um lote. Qual a probabilidade de que ao menos dois produtos

mostrem uma perda de peso por evaporao maior que 8g? (Dica: considere uma nova varivel aleatria Y, Y = nmero de produtos com perda de peso maior que 8g. Cada produto pode ter perda maior que 8 (sucesso) ou menor ou igual a 8g (fracasso). Voc dever calcular a P(Y 2)).

Resp.: (a) 0,1314 (b) 0,0863

Bom Trabalho!