29. la relatività dello spazio e del...

1Idee per insegnare la fisica conAmaldi L’Amaldi per i licei scientifici.blu © Zanichelli 2012

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gli

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del

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roSo

luzi

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er c

apit

olo

la relatività dello spazio e del tempo 29

DomanDe sui concetti

1 I due lampi di luce viaggiano alla stessa velo-cità, per cui giungono al sensore nello stesso istante.

2 Non cambierebbe affatto, poiché non di-pende da tale valore. L’esperimento è volto a rilevare un movimento della Terra rispetto all’etere, non a misurare la velocità della luce o effetti dipendenti dal suo valore.

3 Non potendo conoscere la direzione del ven-to d’etere, Michelson e Morley montarono l’interferometro su una vasca contenente mercurio, in modo da poterlo ruotare facil-mente. Inoltre ripeterono le misure nel corso di alcuni mesi, durante i quali la Terra si era spostata lungo la sua orbita. In questo modo poterono confrontare figure di interferenza prese in varie condizioni di allineamento, che sarebbero risultate diverse se il vento d’e-tere fosse esistito.

4 Einstein estende il principio di relatività ga-lileiana, formulato da Galilei per i fenomeni meccanici, a tutti i fenomeni fisici, in parti-colare a quelli elettromagnetici.

5 Secondo Maxwell, tale velocità vale esatta-mente c solo nel sistema di riferimento in cui l’etere è in quiete. Secondo Einstein, il valo-re è lo stesso in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

6 La risposta dipende dal sistema di riferimen-to dell’osservatore. Se l’osservatore si trova fermo sul vagone, vedrà i due raggi che arri-vano simultaneamente alle pareti. Se l’osser-vatore è fermo a terra, vedrà il raggio di luce diretto verso la parete di coda – che si muove incontro al raggio – giungere prima dell’altro raggio, che si muove verso la parete di testa.

7 No, perché altrimenti verrebbe a cadere il principio di relatività.

8 No, perché la velocità dell’oggetto è diversa

secondo i due osservatori, mentre quella del-la luce è la stessa secondo entrambi.

9 No, anche per l’osservatore O2 la sbarra

dell’altro osservatore, in moto rispetto a lui, è più corta.

10 Entrambi i ragionamenti sono corretti. La chiave della spiegazione sta nelle tre parole «nello stesso istante». La simultaneità è un concetto relativo. Quindi la chiusura della prima e quella della seconda porta, che sono due eventi simultanei secondo la persona ac-canto al garage, non avvengono allo stesso istante per l’autista dell’auto.

11 Poiché le dimensioni della circonferenza sono trasversali rispetto al moto del razzo, esse risultano invariate.

12 La componente verticale della lunghezza,

20L

, rimane invariata, mentre la componen-

te orizzontale, anch’essa 20L

quando l’asta è

a riposo, subisce una contrazione e diventa

( )γ 20L , e quindi la lunghezza dell’asta vista

dall’osservatore a terra, è

+

γ21

102

L.

13 Poiché il sistema di riferimento S ha veloci-tà

–v rispetto a S´, è sufficiente scambiare le coordinate dei due sistemi tra loro e cambia-re il segno della velocità.

29. La relatività dello spazio e del tempo



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gli

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PRoBLemi

1 ∆ = ∆ = × = ×

∆ = ∆ = × × × = ×

∆ = ∆ = × × × × = ×

60 s 1,8 10 m

60 s/min 60 min/h 24 h 2,6 10 m

60 s/min 60 min/h 24 h/d 365 d 9,5 10 m

1 110

2 213

3 315

s c t c

s c t c

s c t c

2 Un anno-luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno, quindi la distanza in chilometri è

s c t c 60 s/min 60 min/h 24 h/d 365 d/y 4,2 y 4,0 10 km13∆ = ∆ = × × × × × = × .

3 Il tempo impiegato varia tra un minimo pari a

∆ = ∆ = ××

= ×55 10 m

2,99792458 10 m/s1,8 10 s1

19

8

2ts

c

e un massimo pari a

∆ = ∆ = ××

= ×401 10 m

2,99792458 10 m/s1,34 10 s2

29

8

3ts

c

4 ts

c

150 10 m

2,99792458 10 m/s500 s

9

8∆ = ∆ = ×

×=

5 –

2

–1 testa-coda ritorno 2 2

t t tl

V v

l

V v

lV

V v∆ = ∆ + ∆ =

++ =

2

22t

s

c

l

c∆ = ∆ =

6 Otteniamo:

∆ ∆ = = ×–2

––

2

–2,6 10 s1 2 2 2 2 2

–20t tlc

c v

l

c v

7 Otteniamo:

= ∆ ∆

=–

2–

–1

–

33 m1 2

2 2 2 2

lt t

c

c v c v

8 2 2

–

4

–

2–

2 –

–

2 1 –

–

1

21 –

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2

tl

c v

l

c v

lc

c v

tl

c v

l c v

c v

lc

c vt

=+

+ =

=

= =

b= b⊥

( ) ( )

( )( )

∆ = = b = b

≈ b

= + b

=

=

+ b

≈ +b

+ b

=

+b + b

= + b + b

≈

≈ + b

= +

= +

×

×

= + ×

⊥

t t t t t t t t

lc

c v

l

c

l

c

l

c

l

c

l

c

v

c

l

c

l

c

– –1

21 – 1 –

1

21 – 1 –

1

21 –

21 –

1

2 4

4

–

1

2 4

41

1

2 4

21 1

2

21

3

2 2

21

3

2

21

3

2

21

3

2

3,00 10 m/s

3,00 10 m/s

21

3

2

1

10

2 22 2

2 2

22

22

22

4

22

2

5 2

8 2 6



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10 No, c’è un ritardo pari a:

–

70 m 915 / 3,6 m/s

3,00 10 m/s2,0 10 s

2 2 2 8 2–13t

Lv

c v

Lv

c ( )( ) ( )∆ = ≈ =

×

×= ×

11

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

∆ = =+

= + + =+ +

=

=× × + × +

× = ×

t t tL

c v

L

c v

Lc Lv lc lv

c v

c L l v L l

c vc t–

––

–

–

–

–

3 10 m/s 304 – 50 m 300 / 3,6 m/s 304 50 m

3 10 m/s – 300 / 3,6 m/s8,5 10 s

2 2 2 2

8

8 2 2

–7

13 Una dilatazione del tempo pari a 2 comporta:

1

1 –2

3

2

3

20,87

2v c c

b= → b = → = =

14 1

1 –30

899

30

899

300,9994

2v c c

b= → b = → = =

15 15 UA 1,5 10 m/UA

3,00 10 m/s7,5 10 s 2h5

11

8

3ts

c

( )( )∆ = ∆ =

× ××

= × = ′

ovvero: alla base madre vedono i raggi alle 9:55 + 2:05 = 12:00

1 –

30,0 min

1 – 0,60037,5 min

2 2t

t∆ ′ = ∆b

= =

17 1 –2

3

5

3

5

30,752L L v c cb = → b = → = =

18 L L L L

L

L

L

v L

L

L

Lc c c

1 – – 2 –

2 –1,00 m

2,00 m2 –

1,00 m

2,00 m0,866

2b = ∆ → b = ∆ ∆

→ = ∆ ∆

=

×

=

19 1 – 50 m2L L L′ = b ≈ = (con v mille volte più piccolo di c, b2 vale circa un milionesimo)

1 – (50 m) 1 – 0,999 2,2 m2 2L L′ = b = × =

20 ts

c c

4,22 a.l.4,22 anni 4,22 y∆ = ∆ = = =

t t t t1 – 1 –1

2

3

24,22 y

3

23,65 y2

2

( )∆ = ∆ ′ b = ∆ ′

= ∆ ′ = × =

21 1 – 1 – 2,25 10 m 1 – 0,800 135 cm2 2 2 –2 2 2 2A LL L L L( ) ( )= ′ = b = b = × × =



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22 I lati del rettangolo sono:

= = =15 cm, 15 cm 1 – 9 cm2

2a b

v

c e la sua diagonale è

= +2 2d a b per cui i due angoli sono a

darctg 41 , 491 2ϕ = = ° ϕ = ° .

23 L’altezza del triangolo equilatero, nel suo sistema di riferimento, è

= 3

2h l .

Nel sistema di riferimento dell’elettrone l’altezza appare contratta, di lunghezza

′ = 3

21 –

2

2h l

v

c e quindi l’area del triangolo è

′ = ′ = = ×2

3

41 – 1,4 10 m2

2

2

–4 2Alh

lv

c.

24 Poiché la base ha la stessa misura nei due sistemi di riferimento, l’altezza nel sistema di riferimento dell’elettrone deve dimezzarsi,

′ = =3

21 –

3

4

2

2h l

v

cl

da cui si ricava

= → = = ×3

4

3

22,6 10 m/s2 2 8v c v c .

25 –

1 –

1,00 10 m – –0,700 3,00 10 m/s 5,00 10 s

1 – 0,700287 km

10,0 km

1,00 km

– /

1 –

5,00 10 s – –0,700 3,00 10 m/s 1,00 10 m 3,00 10 m/s

1 – 0,700

1,03 10 s

2

5 8 –4

2

2

2

–4 8 5 8 2

2

–3

xx vt

y y

z z

tt v x c

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

′ =b

=× × × × ×

=

′ = =

′ = =

′ =b

=× × × × × × ×

=

= ×

−

27 Rispetto a S, S′ si muove verso sinistra e quindi la sua velocità risulta pari a –0,60c.

–

1 –

8,0 10 m – –0,60 3,00 10 m/s 1,5 10 s

1 – 0,604,4 m

– /

1 –

1,5 10 s – –0,60 3,00 10 m/s 8,0 10 m 3,00 10 m/s

1 – 0,6021 ns

2

–1 8 –8

2

2

2

–8 8 –1 8 –2

2

xx vt

tt v x c

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

′ =b

=× × × × ×

=

′ =b

=× × × × × × ×

=



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28 v

c

c

c

x x vt

t tc

x

x ct

x

t

–3 / 4–

3

4–0,75

1

1 –

1

1 – –3 / 41,51

– 1,51 3,0 m 4,5 m

– 1,512 0 ––0,75

3,00 10 m/s3,0 m 1,1 10 s

4

5

4

53,00 10 m/s 0,30 10 s 72 m

1,51 72 m3

43,00 10 m/s 0,30 10 s 2,1 10 m

1,51 0,30 10 s3

4

72 m

3,00 10 m/s0,73 s

2 2

1 1 1

1 1 1 8

–8

2 28 –6

28 –6 2

2–6

8

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

b = = = =

γ =b

= =

′ = γ = × =

′ = γ b

= ×

××

= ×

= = × × × =

′ = × + × × ×

= ×

′ = × × +×

= µ

72 m – 3,0 m

0,30 10 s2,3 10 m/s

2,1 10 m – 4,5 m

0,73 10 s – 1,1 10 s2,9 10 m/s

–6

8

2

–6 –8

8

ux

t

ux

t

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

= ∆∆

=×

= ×

′ = ∆ ′∆ ′

=×

× ×= ×

Le trasformazioni di Galileo.

PRoBLemi geneRaLi

1 Il braccio trasversale.

( )( )

( )

∆ ∆ = =

≅

≅ +

= ≅

∆ ∆ =× ×

×= ×

t tlc

c v

l

c v

l

c v

c

c v c

l

c v c

v

c

lv

c v c

lv

c

t t

–2

––

2

–

2

– 1 – /– 1

2

1 – /1

2– 1

1 – /

Quindi –11,0 m 2,98 10 m/s

3,00 10 m/s3,62 10 s

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

2

3 2 2

2

3

1 2

4 2

8 3–16

2 Coordinate dell’evento in S′

( )

( )

′ = γ

′ = γ b

′ = γ

′ = γ b

x x vt

t tc

x

x x vt

t tc

x

–

–

–

–

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2



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( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

′ = γ b

= ′ = γ b

′

b = b → = b

b = → = = × × ××

= × =

γ =b

= =

′ = γ = × + ×

× ×

= ×

′ = γ b

= × +

× ×

× ×

= ×

′ = γ = × + ×

× ×

= ×

′ = γ b

= ×

t tc

x t tc

x S

cx t

cx t t

cx x

ct t

x xv c

t t

x x

c

x x vt

t tc

x

x x vt

t tc

x

– – perché in gli eventi sono simultanei

t – – – –

–

–

–

–3,00 10 m/s

1,0 10 s

–6 10 m–1,5 10

m

s–

2

1

1 –

1

1 – –1 / 2

2 3

3

–2 3

36,0 10 m

3,00 10 m/s

22,0 10 s 1,0 10 m

–2 3

32,0 10 s

1

2 3,00 10 m/s6,0 10 m 3,5 10 s

–2 3

312 10 m

3,00 10 m/s

21,0 10 s 1,6 10 m

– 3,5 10 s

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2

1 2

2 1 2

1 2

8 2–4

4

8

2 2

1 1 14

8–4 5

1 1 1–4

8

4 –4

2 2 24

8–4 5

2 2 2–4

Se i due eventi si verificano nella stessa posizione deve essere:

x x

x vt x vt

x vt x vt x x v t t vx x

t tc

– –

– – – ––

–

–6 10 m

1,0 10 s–6 10 m/s

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2 1 21 2

1 2

4

–4

8

( ) ( )

( ) ( )

′′= ′′

γ = γ

= → = → = = ××

= × >

Quindi è impossibile, poiché non è accettabile un valore della velocità superiore a c.

3 ∆ ′ = ∆b

= ∆ →b

= → b =

= → = ±t

tt v c

1 –110%

1

1 –1,10 1 –

1

1,100,417 0,417

2 2

2

x x

x

x x

x

v c

–0,1

– /0,1 1 –

10,1 0,9

10,81 1 –

1 – 0,81 0,436 0,436

2∆ ∆ ′∆

= → ∆ ∆ γ∆

= →γ

= → =γ

→ = b

→ b = ± = ± → = ±

4 Nel sistema di riferimento dell’automobile, in moto con velocità 3

2

c rispetto al tunnel, il tunnel è lungo:

Ll 50 m

1 –

50 m

1 – 3 / 425 m

2=

γ=

b= = .

Quindi:

25 m

3

23,00 10 m/s

9,6 10 s8

–8tL

v ( )= =

× ×= × .



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5 Le due componenti dell’asta sono

sen 45 , cos 4500L L L

Ly x

( ) ( )= ° =γ

°

per cui l’angolo di inclinazione dell’asta rispetto al suolo, misurata dall’osservatore a terra, è

L

Ly

x

tg tg 451

1 – 0,61,25 51

2( )( )ϕ = = γ ° = γ = = → ϕ = °.

6 150 m

3,00 10 m/s5,0 10 s1 8

–7tL

c∆ = =

×= ×

– – 0,6 0,4

150 m

0,4 3,00 10 m/s1 10 s2 8

–6tL

v

L

c v

L

c c

L

c ( )∆ =∆

= = = =× ×

= ×

3 10 m22s c t∆ = ∆ = ×

7 La lunghezza del diametro perpendicolare al moto, come quella di ogni corda perpendicola-re al moto, non è cambiata. Invece le corde parallele alla direzione del moto si contraggono. Po-sto un sistema di riferimento cartesiano sull’oggetto, con origine nel suo centro, siano x

1 = x > 0 e

x2 = – x

1 = –x < 0 le ascisse di due punti della circonferenza con la stessa ordinata y. La lunghezza

della corda che unisce i due punti nel sistema dell’oggetto è – 2 2 –1 2

2 2x x x r y= =

Nel sistema di riferimento dell’osservatore a terra si verifica la contrazione di questa lunghezza:

′ ′ = ′ = → ′

=x x x r yv

c

x

v

c

r y– 2 2 – 1 –

1 –

–1 22 2

2

2

2

22 2

che è l’equazione di un’ellisse i cui assi sono

2 2 64 cm, 2 2 1 – 48 cm2

2b r a r

v

c= = = =

8 Indicata con x la direzione del moto risulta

t

tv

cx

v

c

tx

ct

tv

cx

v

c

tx

c

xx v t

v

c

x v t xx vt

v

c

x vt

–

1 –

– ,–

1 –

–

–

1 –

– ,–

1 –

–

2

2

2

2

2 2( ) ( )

′′ =′ ′ ′

′

= ′γ ′ ′b′

′ =

= γ b

′′ =′ ′ ′

′

= ′γ ′ ′ ′ ′ =

= γ

Da queste equazioni si ricava

x x v t x vt v tx

cx v v t

t tx

ct

x

c cx vt t

cx

– – – – 1 – ,

– – – – 1 – .

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

′′ = ′γ ′ ′ ′ = ′γ γ ′γ b

= γ ′γ +b ′b + ′

′′ = ′γ ′ ′b′

= ′γ γ b

′b γ

= γ ′γ +b ′b b+ ′b

Le coordinate y e z non subiscono variazioni.



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9 A partire dalle trasformazioni di Lorentz

t

tv

cx

v

c

tx

c

xx vt

v

c

x vt

–

1 –

– e

–

1 –

– ,

2

2

2( )

′ =

= γ b

′ =

= γ

si ricava

x v t x x x

xx x v t

tx

ct t t

v

cx

– 1 – ,

1 – .

2 2

2

2

( )

( )

( )′+ ′ ′ = γ b = γ b =γ

→ = γ ′+ ′ ′

′+ ′b ′ = γ b → = γ ′+ ′ ′

Le coordinate y e z non subiscono variazioni.

29. la relatività dello spazio e del...

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