2.8 a derivada como uma função
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7/25/2019 2.8 a Derivada Como Uma Funo
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2 Limites e Derivadas
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2.8A Derivada como uma
Funo
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Na seo precedente consideramos a derivada de umafuno f em um nmero fixo a:
Aqui mudamos nosso ponto de vista e deixamos o nmero
a variar. Se substituirmos a na Equao 1 por uma varivel
x, obtemos
A Derivada como uma Funo
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A Derivada como uma Funo
Dado qualquer nmerox para o qual esse limite exista,
atribumos ax o nmero f(x). Assim, podemos considerar f
como a nova funo, chamada derivada de f e definida
pela Equao 2. Sabemos que o valor de f emx, f(x),
podem ser interpretado geometricamente como a
inclinao da reta tangente ao grfico de fno ponto (x, f(x)).
A funo f denominada derivada de f,pois foi "derivada
a partir de fpela operao-limite na Equao 2.
O domnio de f o conjunto {x|f(x) existe} e pode ser
menor que o domnio de f.
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Exemplo 1
O grfico de uma funo f ilustrado na Figura 1. Use-o
para esboar o grfico da derivada f.
Figura 1
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Exemplo 1Soluo
Podemos estimar o valor da derivada para qualquer valor
dextraando a tangente no ponto (x, f(x)) e estimando sua
inclinao. Por exemplo, parax = 5 traamos a tangente
em Pna Figura 2(a) e estimamos sua inclinao comocerca de , ento f(5) 1,5.
Figura 2(a)
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Exemplo 1Soluo
Isso nos permite desenhar o ponto P(5, 1,5) sobre o
grfico de f diretamente abaixo de P. Repetindo esse
procedimento em vrios pontos, obteremos o grfico
ilustrado na Figura 2(b).
Figura 2(b)
continuao
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Exemplo 1Soluo
Observe que as tangentes emA, Be Cso horizontais;
logo, ali a derivada 0 e o grfico de f cruza o eixoxnos
pontosA, B e C, diretamente abaixo deA, Be C. EntreA
e B,as tangentes tm inclinao positiva; logo f(x) positiva ali. Mas entre B e Cas tangentes tm inclinao
negativa; logo, f(x) l negativa.
continuao
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A Derivada como uma Funo
Quandoxestiver prximo de 0, estar prximo a 0,
logo, f(x) = 1/(2 ) muito grande, e isso corresponde a
retas tangentes ngremes prximas de j(x) na Figura 4(a) e
os grandes valores de f(x) logo direita de 0 na Figura
4(b).
Figura 4
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A Derivada como uma Funo
Quandoxfor grande, f(x) ser muito pequena, o que
corresponde ao achatamento das retas tangentes no
extremo direito do grfico de fe assntota horizontal do
grfico de f.
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Outras Notaes
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Outras Notaes
Se usarmos a notao tradicional y= f(x) para indicar que
a varivel independente xe a varivel dependente y,
ento algumas notaes alternativas para a derivada so
as seguintes:
Os smbolos De d/dxso chamados operadores
diferenciais,pois indicam a operao de diferenciao,
que o processo de clculo de uma derivada.
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Outras Notaes
O smbolo dy/dx, introduzido por Leibniz, no deve ser
encarado como um quociente (por ora); trata-se
simplesmente de um sinnimo para f(x). Todavia, essa
notao muito til e proveitosa, especialmente quandousada em conjunto com a notao de incremento.
Podemos reescrever a definio de derivada como
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Outras Notaes
Para indicar o valor de uma derivada dy/dxna notao de
Leibniz em um nmero especfico a, usamos a notao
que um sinnimo para f(a).
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Onde a funo f(x) = |x| diferencivel?
Soluo: Sex> 0, ento |x| =xpodemos escolher h
suficientemente pequeno suficiente para quex+ h> 0 e
portanto |x+ h| =x+ h. Consequentemente, parax> 0,
temos
e, dessa forma, f diferencivel para qualquerx> 0.
Exemplo 5
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Analogamente, parax< 0 temos |x| =xe podemosescolher hsuficientemente pequeno para quex +h< 0, e
assim |x+ h| =(x+ h). Portanto, parax< 0,
e, dessa forma, f diferencivel para qualquerx< 0.
Exemplo 5Soluocontinuao
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Parax= 0 devemos averiguar
Vamos calcular os limites esquerda e direita:
Exemplo 5Soluocontinuao
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Uma vez que esses limites so diferentes, f(0)no existe.
Logo, f diferencivel para todox, exceto 0.
Uma frmula para f dada por
e seu grfico est ilustrado na
Figura 5(b).
Exemplo 5Soluo
Figura 5(b)
y= f (x)
continuao
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O fato de que f(0)no existe est refletido
geometricamente no fato de que a curva y= |x| no tem
reta tangente em (0, 0). [Veja a Figura 5(a).]
Exemplo 5Soluo
Figura 5(a)
y= f(x) = |x|
continuao
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2020
Tanto a continuidade como a diferenciabilidade so
propriedades desejveis em uma funo. O seguinte
teorema mostra como essas propriedades esto
relacionadas.
Observao:A recproca do Teorema 4 falsa, isto , h
funes que so contnuas, mas no so diferenciveis.
Outras Notaes
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Como uma Funo Pode No
Ser Diferencivel?
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Vimos que a funo y= |x| do Exemplo 5 no diferencivel em 0, e a Figura 5(a) mostra que emx= 0 a
curva muda abruptamente de direo.
Em geral, se o grfico de umafuno ftiver uma quina ou uma
dobra, ento o grfico de fno ter
tangente nesse ponto e fno ser
diferencivel ali. (Ao tentarcalcular f(a), vamos descobrir que
os limites esquerda e direita so diferentes).
Como uma Funo Pode No Ser
Diferencivel?
Figura 5(a)
y= f(x) = |x|
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O Teorema 4 nos d outra forma de uma funo deixar de
ter uma derivada. Ele afirma que se no for contnua em a,
ento fno diferencivel em a. Ento, em qualquer
descontinuidade (por exemplo, uma descontinuidade de
salto) fdeixa de ser diferencivel.
Uma terceira possibilidade surge quando a curva tem uma
reta tangente vertical quandox= a; isto , f contnua
em ae
Como uma Funo Pode No Ser
Diferencivel?
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Isso significa que a reta tangente fica cada vez mais
ngreme quandox a.A Figura 6 mostra uma forma de
isso acontecer, e a Figura 7(c), outra.
Figura 6
Como uma Funo Pode No Ser
Diferencivel?
Figura 7(c)
Uma tangente vertical
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A Figura 7 ilustra as trs possibilidades discutidas.
Figura 7
Trs maneiras de fno ser diferencivel em a
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Diferencivel?
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Derivadas de Ordem Superior
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Se ffor uma funo diferencivel, ento sua derivada f
tambm uma funo, de modo que f pode ter sua
prpria derivada, denotada por (f) = f. Esta nova funo
f chamada de segunda derivada de f pois a derivada
de ordem dois de f.
Usando a notao de Leibniz, escrevemos a segunda
derivada de y= f
(x) como
Derivadas de Ordem Superior
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Se f(x) =x3x, encontre e interprete f(x).
Soluo:A primeira derivada de f(x) =x3x f(x) = 3x21.
Assim, a segunda derivada
Exemplo 6
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Os grficos de f, f e f so mostrados na Figura 10.
Exemplo 6Soluo
Figura 10
continuao
.
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Podemos interpretar f(x) como a inclinao da curva
y= f(x) no ponto (x, f(x)). Em outras palavras, a taxa de
variao da inclinao da curva original y= f(x).
Observe pela Figura 10 que f(x) negativa quando
y= f(x) tem inclinao negativa e positiva quando y= f(x)
tem inclinao positiva. Assim, os grficos servem como
verificao de nossos clculos.
Exemplo 6Soluocontinuao
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Em geral, podemos interpretar uma segunda derivada
como uma taxa de variao de uma taxa de variao. O
exemplo mais familiar disso a acelerao, que definida
desta maneira:
Se s= s(t) for a funo posio de um objeto que se move
em uma reta, sabemos que sua primeira derivada
representa a velocidade v
(t) do objeto como uma funodo tempo:
v(t) = s(t) =
Derivadas de Ordem Superior
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A taxa instantnea de variao da velocidade com relao
ao tempo chamada acelerao a(t)do objeto. Assim, a
funo acelerao a derivada da funo velocidade e,
portanto, a segunda derivada da funo posio:
a(t) = v(t) = s(t)
ou, na notao de Leibniz,
Derivadas de Ordem Superior
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A terceira derivada f(ou derivada de terceira ordem) a
derivada da segunda derivada: f = (f). Assim, f(x) pode
ser interpretada como a inclinao da curva y= f(x) ou
como a taxa de variao f(x). Se y= f(x), ento as
notaes alternativas so
Derivadas de Ordem Superior
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O processo pode continuar. A quarta derivadaj (ou
derivada de quarta ordem) usualmente denotada por f(4).
Em geral, a n-sima derivada de f denotada porf(n)e
obtida a partir de f,derivado n vezes. Se y= f(x),
escrevemos
Derivadas de Ordem Superior
.
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Podemos interpretar fisicamente a terceira derivada no
caso em que a funo a funo posio s =s(t) de um
objeto que se move ao longo de uma reta. Como s = (s)
= a, a terceira derivada da funo posio a derivada da
funo acelerao e chamadajerk:
Derivadas de Ordem Superior
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Assim, ojerkj a taxa de variao da acelerao. O
nome adequado (jerk, em portugus, significa solavanco,
sacudida), pois um jerk grande significa uma variao
sbita na acelerao, o que causa um movimento abruptoem um veculo.
Derivadas de Ordem Superior