الرياضيات2

1431هـ ــ 1432هـ

2010م ــ 2011م

اسم الطالب : ......................................................................................

الـمــدرســـــــة : ......................................................................................

رقــــــم الإيـــــــــداع : 1427/3784

ردمك : 0 - 234 - 48 - 9960

م

20

11

-م

20

10

/هـ

14

32

-هـ

14

31

)

ةيع

يبط

ل ا

مو

علل ا

رسا

�م

(ت

رار

قمل ا

مظا

ن ي

ونثا

ل ا

ميعل

تل ا

2

ت ضيا

ريا

)م�سار العلوم الطبيعية(

Jعديل وJطوير

نـــور بنت �ضعيد عــــلي باbــــادر

لéنة المراLعة

ثامر بن حمد العي�ضى

نéوi بنت رÖL محمد ال�ضواابت�ضام بنت �ضعيد عمر من�ضي

�ضلمى بنت عبود محمد بايõيدلمــــياA بنت عبداˆ يحيى خا¿

ـم �ضـــامـي بن اأحمــــد رحيـــ

اأTضر± على الت�ضميم الØني والتعليمي

الطباعة

اأ. مد بن عبد اˆ الب�ضي�ض

مها بنت عبدالعõير القديراإيما¿ بنت عبداˆ القãمي

) م�ضار العلـوم الطبيعية (

نظام المقررات

`g1432 ``` 1431

Ω2011 ``` 2010

¢�jQدJ التع∏يـمh يـةHôالت IQاRh äQôb

Øfقت¡ا Yــ∏ــ≈ WhــÑــعــ¬ Üــتـــــاµالــ gـــòا

øس�M ≈∏Y س¡دûJ ¬تaا¶f πعéæلh ¬ي∏Y ßaاëæ∏a IôيÑc IدFاah يمة م¡مةb Qôا المقò¡ل

Sس∏æcƒا مع¬ .

اPEا لم ëfتò¡H ßØا المقa Qô« مµتÑتæا الخاUسة a« اôNB العاΩ لSÓستØادéæ∏a Iعπ مµتÑة

. ¬H ßØتëJ اæستSQمد

™bƒالتع∏يممh يةHôالت IQاRh

www.moe.gov.sa

ôjƒ£التh العامة ل∏تخ£يط IQداE’ا ™bƒم

http://www.ed.edu.sa

™bƒم…ƒfاãالتع∏يم ال IQداEا

www.hs.gov.sa

…ƒfاãالتع∏يم ال IQداE’ »fhôتµلE’د اjôÑال

[email protected]

حقو¥ الطبع والن�صر محفوXة لوزارة التربية والتعليم ـ المملكة العربية ال�صعودية

اأTضر± على التاأليف والتطوير

ègÉæª∏d áeÉ©dG IQGOE’G

ìوزارة التربية والتعليم ، 1427 هـ

فهر�صة مكتبة الملك فهد الوطنية اأثناA الن�صر

وRارة التربية والتعليم

`g1427 , انوي( - الريا�ضãريا�ضيات 2 )التعليم ال

U276¢,21 * 27�ضم

ردم∂ :9960-48-234-0

1 - الريا�ضيات -كتÖ مدر�ضية 2 - التعليم الãانوي-ال�ضعودية-

كتÖ درا�ضية اأ, العنوا¿

ديوي 510,712 1427/3784

رbم الإيدا´ : 1427/3784

ردم∂: 9960-48-234-0

اأجـمعيـن، ومن اآله و�صحبه المر�صـلين، وعلى د �صـي وال�صـلم علـى ال�صـلة و العالمين، رب الحمد

تبعهم باإح�صـان اإلى يوم الدين وبعد ...

ـيا لخطط التنمية هذا كتاب ريا�صيات ) 2 ( في نظام المقررات بالتعليم الثانوي الذي ناأمل اأن يجيA ملب

ة ومتفقا مع تطلعاتـها في اإخراج جيل قادر على مواكبة ـة ال�صـعودي الطموحة التي تعي�صـها المملكـة العربي

الع�صر ومتم�صـيvا مع النه�صة التي تحياهـا، كل ذلك وف≤ اأهداف و�صـيا�صـة التعليم فيهـا.

ة الآتية : ات على المنطلقـات العامة الريا�صيـ ولقد ا�صـتند في تنظيم محتوى ماد

ة للطالب. الحـاجات الأ�صـا�صـي

ات. طرائ≤ تعليم وتعلم الريا�صيـ

. اأ�صـاليب التفكير الريا�صي

ة. ـات ومهارات وم�صـائل ريا�صي ة البناA الريا�صي من مفهومات وم�صطلحـات وخوارزمي نوعي

ـة. ـات في الحياة العملي اأوجه ا�صـتخدامات الريا�صي

وJبرR ملمí الكتاÜ في التالي:

ة واأهداف نظام المقررات بالتعليم الثانوي، ة للماد ـات من الأهداف العام 1- النطل¥ في تنظيم منهـاج الريا�صي

با´ اأ�صـاليب وطرائ≤ ت�صـتند اإلى نظريات التعلم المختلفة. بما يتلAم وخ�صائ�ض نـمو الطلب بات

والتنظيم المنطقي التنظيم بين الجمع مع الريا�صي الـمحتوى معـالجة في الحلزوني بال تجاه الأخذ -2

. ال�صيكولوجي

3- روعي في عر�ض المو�صوعات اإبراز المفهومات والمبادÇ العلمية والنظريات ... وتمييزها وا�صـتخدامها

في مواقف تعليمية مختلفة بما يعين على تعمي≤ معناها لدى الطلب.

4- الهتمام بالبرهان الريا�صي للحقائ≤ والنظريات، ومراعاة التوازن بين المفهومات والمهارات.

5- توXيف اأ�صاليب التفكير العلمي في البحث وال�صتق�صاA والو�صول اإلى ال�صتنتاجات والقرارات وحل الم�صكلت.

≤ في ذلك بما يتف≤ 6- ال�صتمرار في تعزيز بناA المفهومات بال�صتناد اإلى معلومات الطالب ال�صابقة مع التعم

. وطبيعة المرحلة واإي�صاì كل مفهوم من خلل اأمثلة متنوعة؛ لم�صاعدة الطالب على التعلم الذاتي

مقدمة

7- اإبراز جهود علماA الريا�صيات العرب والم�صـلمين واأثرهم في بناA وتطوير العلوم الريا�صية وتطبيقاتـها.

م لـه في المواد الأخرى، وتوXيـفها من ة ببيÄة الطالب وبالمفهومات التي تقد 8- ربط المفهومات الريا�صي

دة. ة المتعد خلل التطبيقات الحياتي

9- ت�صمين المحتـوى مجمـوعة كافية من الأمثـلة والتدريبـات تعقب كل معلومة ريا�صية.

عة في نـهاية كل وحدة، اإ�صـافة اإلى التمارين التي تلي كل ة متنـو 10- اإثراA المحتـوى بمجموعة تمـارين عام

در�ض ؛ لتثبيت الحقائ≤ والمهارات وتاأكيد ا�صتمرارية التعلم .

11 - اإدراج اأن�صطة اإثرائية با�صتخدام الحا�صب الآلي كلما اأمكن ذلك.

نها محتوى كل وحدة من الوحدات وذلك في نـهايته. 12- تلخي�ض المفهومات والنظريات ... التي ت�صم

ة لبع�ض التمارين لكل وحدة بـهدف تقويم الطالب لنف�صـه ذاتـيvا. 13- اإدراج قائمة بالإجابات النهائي

ة لكل وحدة من وحدات الكتاب في بدايتـها. 14 - اإدراج الأهداف التعليمـي

ة كلما دعت الحاجة لذلك. ة والأ�صـكال في تو�صيح المفهومات الريا�صي 15 -ال�صتعانة بالر�صوم التو�صيحي

للمناهج ة العام الإدارة من الثانوي بالتعليم المقررات نظام في الريا�صيات ة ماد منهج تو�صيف -1

بالتطويرالتربوي بوزارة التربية والتعليم.

رات الريا�صيات بدول مجل�ض التعاون لدول الخليج العربية، وبع�ض الدول العربية وغير العربية. 2- مقر

هذا ويقع الكتاب في ثلث وحدات وهي:

1- الهند�صة التحليلية. 2- القطو´ المخروطية.

3- الم�صفوفات والمحددات.

≤ هذا الكتاب الأهداف الماأمولة له. نا لنرجو التوفي≤ وال�صـداد من اˆ - تعالى - واأن يحـق و اإ ن

من وراA الق�صد.

واˆ

ا يلي: م pم Üيد حين اإعداد الكتاØضـت�oولقد ا

لæéـة التاCلي∞

IدMƒال

ا’hCل≈

ال¡æدSسة التë∏ي∏ية

مــــــــــة مقد

)1-1( معادلة الخط الم�صـتقيم

)1-2( معادلــة الدائــــرة

تعلمت في هذه الوحدة

تمارين عامة

10

16

37

54

56

IدMƒال

الãاfية

äاã∏ãالم Üسا�M

)2-1( الزاوية الموجهة وقيا�صها

)2-2( الن�صب المثلثية الفرعية للزاوية الحادة

)2-3( الدوال المثلثية ) الدوال الدائرية (

)2-4( المتطابقات المثلثية

)2-5( الدوال المثلثية لكل من المجمو´ والفر¥

)2-6( الدوال المثلثية ل�صعف الزاوية ون�صفها

)2-7( العلقة بين قيا�صات زوايا المثلث واأطوال اأ�صلعه

)2-8( بع�ض تطبيقات ح�صاب المثلثات



62

74

78

114

121

133

141

152

161

164

äدداëالمh äاaƒØسüالم

)3-1( الم�صفوفة

)3-2( جمع الم�صفوفات وطرحها و�صربها بعدد حقيقي

)3-3( �صرب الم�صفوفات

)3-4( المحددات

)3-5( المعكو�ض ال�صربى لم�صفوفة

)3-6( حل اأنظمة معادلت من الدرجة الأولى با�صتخدام المحددات

اأن�صطة اإثرائية



170

183

200

214

226

238

250

255

257

IدMƒال

الãالãة

¢ShQالد

IدMƒال

ا’hCل≈

IدMƒال IدMƒال IدMƒال IدMƒال IدMƒال IدMƒال IدMƒال IدMƒال IدMƒال IدMƒال IدMƒال

ا’hCل≈ا’hCل≈ا’hCل≈ا’hCل≈ا’hCل≈ا’hCل≈ا’hCل≈ا’hCل≈ا’hCل≈ــة sي∏ي∏ëســة التSدæ¡ال

Analytic Geometry

لمعالجة و�صـيلة هي التحليلية الهند�صـة

، ويرجع الف�صل الهند�صـة باأ�صـلوب جبري

العالم اإلى الأ�صـلوب هذا ا�صـتخدام في

التا�صـع القرن في ة قر بن ثابت العربي

بعد وتت�صح معالمه د لتتحد الميلدي؛

ذلك على يدي العالم الفرن�صـي ) رينيه

ع�صـر ال�صـابع القرن في ) ديكارت

الميلدي.

معادلة اÿط اŸ�سـتقيم

- معادلة اÿط اŸ�ستقيم

- ƒJاR… اŸ�ستقيماJh äعامدgا

- Hعد fق£ة øY م�ستقيم

(1-1)

IôـFمعادلــة الـدا (2-1)

بعد وتت�صح معالمه د لتتحد الميلدي؛

ذلك على يدي العالم الفرن�صـي ) رينيه

ع�صـر ال�صـابع القرن في ) ديكارت

مقدمة

ا’gCدا±

pIدMƒال √òg pسـةSاQد nعدH Öال£ال nøم ™bƒتj

: r¿Cا ≈∏ nY ا kQادb n¿ƒµj r¿Cا

ÌcCاH اŸ�سـتقيم اÿط معادلة Lƒjد -1

مjôW øقة.

د العbÓة ÚH م�سـتقيمÃ Úع∏ƒمية ëد oj -2

مي∏ي¡ما.

xطNh mمةƒ∏مع mق£ةf ÚH عد oÑال Öسـ�ëj -3

م�سـتقيم .

mIôFدا ô£b ∞سüf ∫ƒWh õcôد مLƒj -4

Hمع∏ƒمية معادلت¡ا العامة.

Hالæ�سـÑة mΩƒ∏مع mم�سـتقيم Vhس™ د ëد oj -5

. mمةƒ∏مع mIôFلدا

øم mIôــFلــدا ¢Sالمما معادلة Lƒjد -6

fق£ةm مع∏ƒمةY m∏ي¡ا.

ا’gCدا±

))(( ))

))((

ريا�ضيات )2(10

الوحدة الأولى

ة للهند�صـة؛ نحتاج اإلى التذكير ببع�ض الم�صطلحات والقوانين، وقبول للإلمام بالدرا�صـة الجبري

بع�ض الم�صـلمات ال�صرورية.

النقطة الهند�ضـية

ين ونرمز للنقطة هي اإحدى المفهومات التي بنـي عليها علم الهند�صـة، ونح�صل عليها بتقاطع خط

باأحد الحروف ، ب ، جـ ، �ض ، …

د ( الم�ضـتقيم ؟ كيف يتعين ) يتحد

يتعين الم�صـتقيم متى علمت اأي نقطتين عليه، اأو بمعرفة نقطة عليه وم�صـتقيم مواز له، اأو

بمعرفة نقطة عليه وم�صـتقيم عمودي عليه.

الم�ضتقيم

هو مجموعة غير منتهية من النقط، واأي نقطتين مختلفتين يمر بـهما م�صـتقيم وحيد. ويرمز

للم�صـتقيم المار بالنقطتين و ب بالرمز ب، واإذا انتمت نقطة اأخرى جـ - مثل - اإلى هذا

الم�صـتقيم فاإ نه يمكننا اأن نرمز له باأحد الرمزين الآخرين ب جـ ، جـ ونر�صـمه كما في ال�صـكل

.) 1-1 (

ونرمز في كثير من الحالت للم�صـتقيم بحرف واحد

فنقول الم�صـتقيم ل اأو اأو اأو ...

�صكل )1-1(

مقدمـــــــة

11 ريا�ضيات )2(

القطعة الم�ضـتقيمة

نة من النقطتين اإذا كانت ، ب نقطتين من الم�صـتقيم ب فاإن المجموعة الجزئية منه والمكو

ى قطعة م�صـتقيمة ويرمز لـها بالرمز و ب ونقاط الم�صـتقيم ب الواقعة بين هاتين النقطتين ت�صم

اأي اأن

من الوا�صح اأن كما في ال�صـكل ) 3-1 (.

ي النقطتين ، ب نهايتـي ) طرفي ( القطعة الم�صـتقيمة ن�صم

ونرمز اإلى طول القطعة الم�صـتقيمة

بالرمز

�صكل )2-1(

�صكل )3-1(

ن�ضف الم�ضـتقيم

ة من الم�صـتقيم، فاإذا كانت النقطة تقع على الم�صـتقيم ل فاإن هذه هو مجموعة جزئي

ى ن�صف م�صـتقيم. تين من ل، كل منهما ي�صم النقطة تق�صـم الم�صـتقيم اإلى مجموعتين جزئي

ي النقطة مبداأ كل من ن�صفي الم�صـتقيم ل ، واإذا انتمت نقطة ب اإلى اأحد ن�صفي ن�صم

الم�صـتقيم ل كما في ال�صـكل ) 1-2 ( فاإ ننا نرمز لن�صف الم�صـتقيم ل الذي تقع عليه ب بالإ�صافة

اإلى بالرمز ، واإذا انتمت النقطة جـ اإلى ن�صف الم�صـتقيم فاإن

نا نرمز لن�صف الم�صـتقيم ه اإذا لم تنتم النقطة اإلى ن�صف الم�صـتقيم ] ب فاإ ن في حين اأ ن

في هذه الحالة بالرمز ب ) وهو ن�صف الم�صـتقيم الذي ل ينتمي اإليه مبدوؤه (.

جـ ،

بالنظر اإلى ال�صـكل ) 1-2 ( يت�صح اأن

مقــدمـــــة



خط الأعداد الحقيقية ) المحور (

فنا عليه التالي: خط الأعداد الحقيقية هو كل م�صـتقيم عر

1 نقطة اأ�صل ) و ( تقابل العدد الحقيقي �صفر.

واحد وتقع عن يـمين و. ويمثل طول القطعة الم�صتقيمة 2 نقطة - مثل - تقابل العدد الحقيقي

وحدة الطول.

3 ا تجاه موجب هو ا تجاه النتقال من و اإلى ، وا تجاه �صـالب هو ا تجاه النتقال من اإلى و.

ي مثل هذا الم�صـتقيم محورا. ن�صم

ة . فاإذا كانت ب نقطة و في الواقع هناك تقابل ) ت ( بين نقاط خط الأعداد و مجموعة الأعداد الحقيقي

ي ت ) ب ( اإحداثي النقطة ب على هذا المحور. اإذا رمزنا لـهذا المحور بـ نا ن�صم من هذا الم�صـتقيم فاإ ن

نا نقول: اإن ت ) ب ( هو الإحداثي ال�صينـي للنقطة ب ونرمز له بالرمز ، واإذا رمزنا لـهذا المحور فاإ ن

ينا اإحداثي النقطة جـ الواقعة عليه الإحداثي ال�صادي للنقطة جـ ورمزنا لذلك بالرمز . بـ �صـم

يمكننا توجيه اأي م�صـتقيم مهما كان و�صعه بترتيب نقاطه، وذلك بقولنا اإن ب قبل جـ كما في ال�صكل ) 4-1 (

فيكون ب قبل

ا ب ، جـ على هذا الم�صـتقيم ) المحور ( تواليا.حيث ، اإحداثيـ

فاإذا كان = – 4 ، = 3 فاإن

وباإمكاننا اأن نكتب ذلك كالتالي: وحدات طول.

ة الأمر: وعام

الم�ضــــــــتوي

يق�صــــد بالم�صـتوي : ال�صـطح غيــــر المحدود الممتد في التجاهات جميعها بل حد اأو نـهاية، اأي اأ نه: مجموعة

د بمعرفة ثلث نقط مختلفة عليه وغير واقعة على ا�صـتقامة واحدة، اأو بمعرفة غير منتهية من النقط، ويتحد

نقطة منه وم�صـتقيم عمودي عليه، ونرمز للم�صـتوي بالرمز ى .

�صكل )4-1(

وحدات طول.


ي �ض اإحداثي ي العدد الحقيقي �ض اإحداثي النقطة على المحور بالإحداثي ال�ضينـي للنقطة ، ون�صم ن�صم

النقطة على المحور بالإحداثي ال�ضادي للنقطة . وهكذا نعين لكل نقطة

ـبا وحيدا ) �ض ، �ض ( من الأعداد الحقيقية ترتبط به. زوجا مرت

ا اإذا وقعت هذه النقطة على فاإذا وقعت النقطة على المحور فاإ نها ترتبط بالزوج المرتب ) �ض ، 0 (، اأم

ا النقطة و ) نقطة الأ�صل ( فاإ نها ترتبط بالزوج المرتب المحور فاإ نها ترتبط بالزوج المرتب ) 0 ، �ض (، واأم

ة يعين نقطة وحيدة من الم�صـتوي ) كيف ؟ و لماذا ؟ (. )0 ، 0(، وعلى العك�ض فاإن كل زوج مرتب من الأعداد الحقيقي

وهكذا نجد اأ نه يمكن تعريف التقابل بحيث يكون ) �ض ، �ض ( ؛ لذا يمكننا اأن

يها ونكتب : ) �ض ، �ض ( اأو = ) �ض ، �ض ( نمثل النقطة باإحداثـي

�صكل )5-1(

النظام الإحداثي للم�ضـتوي

ها نقطة اأ�صل لكل من هذين لنر�صـم في الم�صـتوي ى المحورين ، المتقاطعين في النقطة و التي نعد

المحورين، ولنفر�ض اأن وحدتي الأطوال على هذين المحورين مت�صـاويتان.

�صنق�صر اهتمامنا على الحالة التي يكون فيها المحوران ، متعامدين وذلك لتب�صـيط ح�صـاب الأبعاد

بين النقط با�صـتخدام نظرية فيثاغورث كما في �صـكل ) 5-1 (.

اإذا كانت نقطة من ى ، ول تقع على اأي من المحورين اأو فاإ نه يوجد م�صـتقيم وحيد يوازي

محور ال�صادات ويقطع محور ال�صينات في النقطة ، ويوجد كذلك م�صـتقيم وحيد اآخر يوازي

محور ال�صينات ويقطع محور ال�صادات في النقطة .




زة "وهي طريقة ت�صتخدم لكتابة مجموعة ما ى الطريقة التي ا�صتخدمناها لكتابة المجموعات "طريقة كتابة المجموعة بال�صفة الممي )1( ت�صم

زة كالتالي: ز عنا�صرها ، فمثل : يمكن كتابتها بال�صفة الممي نة تمي ة معي متى وجدت خا�صي

وتقراأ :

ت�صاوي مجموعة كل �ض حيث �ض عدد كلي مح�صور بين 1 ، 7

ما يلي: )1(

ومن ثم يمكننا اأن نكتب

1

2 وذلك يعنـي اأن مجموعة نقط الم�صـتوي التي يكون

الإحداثي ال�صادي لكل منها هو �صفر اأي وهي

تمثل مجموعة نقط المحور والذي معادلته : �ض = 0

3 وذلك يعنـي اأن مجموعة نقط الم�صـتوي التي يكون الإحداثي

ال�صينـي لكل منها هو �صفر اأي ) �ض = 0 ( وهي

تمثل مجموعة نقط المحور والذي معادلته : �ض = 0

وتجدر الإ�صـارة هنا اإلى اأن ) �ض ، �ض ( : �ض = ه ، تمثل مجموعة نقاط

الم�صـتقيم الموازي للمحور والذي معادلته : �ض = ه .

وبالمثل تمثل مجموعة نقاط الم�صـتقيم

الموازي للمحور و الذي معادلته : �ض = د.

وفيما يلي بع�ض القوانين التي �ضـبقت درا�ضـتها؛ للإفادة منها في الدرا�ضـة المقبلة.

اإذا كانت ) ( ، ب ) ( نقطتين في الم�صـتوي الإحداثي فاإن :

1 منت�صف القطعة الم�صـتقيمة


ات ال�صـينية ات ال�صادية اإلى ت¨ير الإحداثيـ

اأي اأن ميل الم�صـتقيم هو الن�صـبة بين ت¨ير الإحداثيـ

ك من نقطة اإلى اأخرى على هذا الم�صـتقيم. عند التحر

وباخت�صار نكتب : م = حيث

ولما لمعادلة الم�صـتقيم بدللة الميل م والجزA المقطو´ من محور ال�صادات د اأهمية خا�صة؛ لذا

نختتم هذا البند بالتذكير بـها وهي :

Uض = م �ض + د

2 طول القطعة الم�صـتقيمة ) البعد بين النقطتين ، ب ( هو :

3 ميل الم�صـتقيم ب والذي يرمز له بالرمز م =


فرق اإلحداثيات الصادية

فرق اإلحداثيات السينية



معادلة الخط الم�سـتقيم 1-1

�صكل )6-1(

16

كما في ال�ضكل ) 1 - 6 (

كما في ال�ضكل ) 1 - 6 (


نا بعد ق�صـمة طرفي المعادلة على ب نح�صل على اإذا كانت ب ≠ 0 في المعادلة ) 1-1 ( فاإ ن

وهي على ال�صورة ) 4-1 (

ى المعادلة القيا�ضـية للم�ضـتقيم، حيث م ميل الم�صـتقيم، د الجزA المقطو´ من محور والتي ت�صم

ال�صادات.

نتيéة )1-1(

1 التمثيل البياني لمعادلة الدرجة الأولى في مت¨يرين هو خط م�صـتقيم، لذا فاإن المعادلة �ض + ب �ض + جـ = 0

ـية في المت¨يرين �ض ، �ض. ى هذه المعادلة اأحيانا المعادلة الخط ة للم�صـتقيم، وت�صم تعد المعادلة العام

ة لمعادلة الم�صـتقيم حيث ب ≠ 0 يكون الميل م = 2 في ال�صورة العام

ف، ونقول: اإن الم�صتقيم ل ميل له، اأو اإنه م�صتقيم اأ نه في حالة ب = 0 فاإن ميل الم�صتقيم يكون غير معر

غير مائل، وفي هذه الحالة تكون معادلة الم�صتقيم على ال�صورة ) 1-2 ( ويكون الم�صتقيم موازيا للمحور

. ال�صادي

ßلح

الحل

مãا∫ )1-1 (

اأوLد ميل كلx من الم�ضـتقيمات التالية:

3 �ض + 2 �ض – 5 = 0 3 �ض = 4 �ض + 2

ة �ض + ب �ض + جـ = 0 المعادلة 3 �ض + 2 �ض – 5 = 0 على ال�صورة العام

لإيجاد الميل يكون من الأ�صهل و�صع المعادلة 3�ض = 4�ض + 2 على ال�صورة القيا�صـية �ض = م �ض + د

3 �ض = 4 �ض + 2

معادلة الخط الم�ضتقيم

17

Ω

Ω



ةl وgي كالتالي: للمعادلة القيا�ضـية للم�ضـتقيم ∫ : Uض = م �ض + د حالتl خاUض

mي معادلة م�ضـتقيمgض = د , وU íضب�oJ ا كا¿ م = 0 فاإ¿ معادلة الم�ضـتقيمPالحالة الأولى : اإ

, اأي اأ¿ الم�ضـتقيم الأفقي ميل¬ ي�ضـاوي UضØرا. يواRي المحور ال�ضينـي

) ÆراØبينما الم�ضتقيم �ض = 3 ميل¬ ........ ) اأكمل ال .......... ƒg 3 = Uض الم�ضتقيم • ميل

الحالة الãانية : اإPا كا¿ د = 0 فاإ¿ معادلة الم�ضتقيم ∫ oJ�ضبU íض = م �ض , وgي معادلة

م�ضتقيمm يمر بنقطة الأUضل وميل¬ م.

الحالةالãالãة : اإPا كانت Jق™ على الم�ضـتقيم ∫ فاإ ن¬ يمكن كتابة معادلة

∫ على ال�ضورة : ) 5-1 (

) 6-1 (

وبــرgــانــهــــــا:

≤ المعادلة القيا�ضـية بما اأ¿ Jق™ على ∫ , اإPا النقطة Jحق

بطرòg ì√ المعادلة من المعادلة القيا�ضـية نح�ضل على :

ى òg√ المعادلة معادلة الم�سـتقيم حيå ) �ض , Uض ( نقطةl اختياريةl من الم�ضتقيم ∫ , وoJ�ضم

.¬æم mق£ةfh ¬∏د’لة ميH

)1-1( ÖدريJ

اأوجد ميل الم�صـتقيم : �ض – 5=

حــــــالت خــاUضــــــة


ه الحالة الرابعة : اإذا كانت النقطتان ، واقعتين على ل فاإن

يمكن كتابة معادلة ل على ال�صورة ) 1- 7 (

وبرهانـها:

بما اأن نقطة على ل اإذا يمكن كتابة معادلة ل على ال�صورة

وبما اأن ، نقطتان على ل فاإن ميله هو :

من ، ن�صـتنتج اأن

ى المعادلة على هذه ال�صورة معادلة الم�صـتقيم بدللة نقطتين عليه. ت�صم

ه اإذا كان فاإن الم�صـتقيم ل يوازي المحور ال�صادي وتكون معادلته لحظ اأ ن

الحالة الخام�صـة: اإذا كان الم�صـتقيم ل يقطع محور ال�صـينات عند ) ه ، 0 ( ومحور ال�صادات

عند )0، د(

فاإ نه يمكن كتابة معادلة ل على ال�صورة

وبرهانـها:

بما اأن الم�صـتقيم ل يمر بالنقطتين ) ه ، 0 ( ، )0، د( كما في ال�صـكل ) 1-7 ( اأو ) 8-1 (.

)(

�صكل )7-1(

)(

معادلة الخط الم�ضتقيم

19



الحل

مãا∫ )2-1 (

اأوLد معادلة الم�ضـتقيم الòي ميل¬ ي�ضـاوي – 4 ويمر بالنقطة ) – 3 , 5 (.

معادلة الم�صـتقيم بدللة ميله والجزA المقطو´ من محور ال�صادات هي �ض = م �ض + د

وحيث اإن : م = – 4 اإذا �ض = – 4 �ض + د

≤ معادلته. وبما اأن النقطة ) – 3 ، 5 ( تقع على الم�صـتقيم فهي تحق

اإذا 5 = – 4 × ) – 3 ( + د د = – 7

فتكون معادلة الم�صـتقيم المطلوبة هي : �ض = – 4 �ض – 7

iاأخر mالحل بطريقة

معادلة الم�صـتقيم بدللة ميله ونقطة منه هي :

وحيث :

) اأكمل الحل (

اإذا

بالتعوي�ض عن الميل في المعادلة القيا�صـية �ض = م �ض + د ينتج اأن

وبالق�صـمة على د حيث د≠0 ينتج اأن :

Aالمقطو´ من المحور والجز Aى هذه المعادلة معادلة الم�صـتقيم بدللة الجز ت�صم

المقطو´ من المحور .

ة �ض + ب �ض + جـ = 0 يمكن ـية ب�صورتـها العام م ن�صـتطيع القول : اإن المعادلة الخط مما تقد

ا�صـتخدامها لتمثيل الم�صـتقيم في اأو�صاعه جميعها، واإن المعادلة القيا�صـية �ض = م �ض + د يمكن

الم�صـتقيم موازيا التي يكون فيها الم�صـتقيم في جميع الحالت عدا الحالة لتمثيل ا�صـتخدامها

، فعندها ن�صـتخدم المعادلة للمحور ال�صادي


معادلة الخط الم�ستقيم

مãال )3-1 (

مãال )4-1 (

الحل

.3 t2 ومقطعه ال�سادي tاأوجد معادلة الم�سـتقيم الذي مقطعه ال�سينـي

معادلة الم�سـتقيم بدللة مقطعيه من محوري الإحداثيات هي :

بما اأن ه = 2 ، د = 3

اإذا معادلة الم�سـتقيم المطلوبة :

)2-1( Öتدري

اأوجد طولي المقطعين من المحورين للم�ستقيم : 2�ص – 4 �ص – 8 = 0

الحل

اأوجد معادلة الم�سـتقيم المار بالنقطتين ) 2 ، 2 ( ، )- 2 ، 6 (.

بالتعوي�س بالنقطتين ) 2 ، 2 ( ، )- 2 ، 6 ( في المعادلة

ينتè اأن :



ل - الم�سـتقيمات المتوازية اأو

اإن البعد بين م�سـتقيمين متوازيين ثابت، ولكن هل هناك عالقة بين ميليهما ؟

لالإجابة عن ذلك دعنا نر�سـم م�سـتقيمين متوازيين غير راأ�سـيين ، كما في ال�سـكل ) 9-1 (

ولناأخذ اأي نقطتين تقعان على مثال ) 0 ، 3 ( ، ) – 3 ، 0 (

فيكون ميل الم�ستقيم

وبالمثل؛ لناأخذ اأي نقطتين تقعان على ، مثال ) 0 ، 0 ( ، ) 2 ، 2 (

نجد اأن ميل الم�ستقيم

نالحظ اأن ميل الم�سـتقيم = ميل الم�سـتقيم

توازي الم�سـتقيمات وتعامدها

�سكل )9-1(



وباأخذ اأزواج اأخرى من الم�سـتقيمات المتوازية ن�سل

اإلى النتيجة ذاتـها، وعلى العك�س نجد اأن الم�سـتقيمين

لـهما الميل نف�سه اأي اأن

وعند تمثيل كلx من ، بيانيا نجد اأن ⁄ ⁄

كما في ال�سـكل ) 11-1 (.

ا اإذا كان الم�سـتقيمان المتوازيان راأ�سـيين كما في اأم

ال�سـكل ) 1-10 ( فيكون كلw من الم�سـتقيمين يوازي

ف. محور ال�سادات، وميله غير معر

�سكل )10-1(

�سكل )11-1(

اإذا كانت معادلة الم�سـتقيم هي ، ومعادلة الم�سـتقيم هي

فاإن

ويمكن تعميم ما �سـب≤ بالن¶رية التالية:

ن¶رية )1-1(



مãال )1- 5 (

الحل

عين الم�سـتقيمات المتوازية من بين الم�سـتقيمات الBتية:

نوجد ميل كلx من الم�سـتقيمات:

فيكون لأن

مãال )1- 6 (

الحل

اأوجد معادلة الم�سـتقيم المار بالنقطة ) – 1 ، 3 ( والموازي للم�سـتقيم 3 �ص + �ص – 5 = 0

ميل الم�ستقيم المعطى معادلته

اإذا ميل الم�سـتقيم المطلوب معادلته هو م = – 3 ؛ لأن الم�سـتقيمين متوازيان.

وحيث اأن معادلة الم�سـتقيم بدللة ميله ونقطة منه هي :

فاإن معادلة الم�سـتقيم المطلوبة هي :



ولإيجاد ميل الم�سـتقيم ناأخذ اأي نقطتين عليه مثل ) 1 ، 0 ( ، ) 5 ، 2 (.

فنجد اأن ميل الم�ستقيم

وبالمثل ناأخذ اأي نقطتين على الم�سـتقيم مثل ) 1 ، 0 ( ، ) 0 ، 2 (

فنجد اأن ميل الم�ستقيم

اأن ميل × ميل

وباأخذ اأزواج اأخرى من الم�سـتقيمات المتعامدة ن�سل اإلى النتيجة ذاتـها. وعلى العك�س فالم�سـتقيمان

اللذان حا�سل �سرب ميليهما

هما م�ستقيمان متعامدان كما في ال�سكل ) 13-1 (

ثانيا - الم�سـتقيمات المتعامـدة

الحظ

�سكل )12-1(

�سكل )13-1(

والآن ماذا عن الم�سـتقيمين المتعامدين ، هل

هناك عالقة بين ميليهما ؟

في ال�سـكل ) 1-12 ( ، م�سـتقيمان

متعامدان ونقطة تقاطعهما ) 1 ، 0 (.

فيما �سـبق وجدنا اأن ⁄ ⁄ ميل = ميل اأو ، راأ�سـيان .



اإذا كان الم�سـتقيمان ، يمثالن المعادلتين :

،Öعلى الترتي

فاإن

ويمكن تعميم ما �سـب≤ بالن¶رية التالية:

، ويكون الم�سـتقيم العمودي عليه موازيا اإذا كان لي�س له ميل فاإنه يكون موازيا المحور ال�سادي

. واإذا كان ميل �سفرا فاإنه لي�س لــp ميل فهو عموديw على المحور ال�سينـي اأي المحور ال�سينـي

مواز للمحور ال�سادي .

مãال )1- 7 (

الحل

عين الم�سـتقيمات المتعامدة من بين الم�سـتقيمات الBتية:

باإيجاد ميل كلx من الم�سـتقيمات نجد اأن :

فيكون ؛ لأن لحظ اأن هو مقلوب باإ�سارة

م¨ايرة

)1-1(

ن¶رية )2-1(



مãال )1- 8 (

الحل

)3-1( Öتدري

xاإذا كانت ) 3 ، 2 ( ، ب ) 5 ، �س ( ، جـ ) 2 ، 1 ( ، د) 3 ، –2 ( فاأوجد قيمة �س في كل

من الحالتين :

الم�سـتقيم ب ⁄ ⁄ الم�سـتقيم جـ د الم�سـتقيم ب الم�سـتقيم جـ د

اأوجد معادلة الم�سـتقيم الذي يمرt بالنقطة وعمودي على الم�سـتقيم المار بالنقطتين :

ميل الم�ستقيم :

ميل الم�ستقيم هو

بما اأن الم�سـتقيمين متعامدان.

اإذا ميل الم�سـتقيم المطلوب معادلته هو ؛ لأن

معادلة الم�سـتقيم بدللة ميله ونقطة منه هي :

معادلة الم�سـتقيم المطلوبة هي :



مãال )1- 9 (

الحل

اأثبت اأن الم�سـتقيم الوا�سل بين منت�سفي �سلعين في مãلå يوازي ال†سلع الãالå م�ستخدما مف¡ومات

ال¡ند�سـة التحليلية.

،Öو�س المثلث هي ، ب ، جـ كما نفر�س اأن د ، ه منت�سفا على الترتيDنفر�س اأن رو

واأن اإحداثـيات النقا• ، ب ، جـ كما هي مبينة على ال�سـكل ) 14-1 (.

من قانون منت�س∞ القطعة الم�سـتقيمة نجد اأن

ميل

) بعد �سرب كل من الب�س§ والمقام في 2(

حيث

= ميل ب جـ ) وهو المطلوب (

اإذا ميل د = ميل ب د ب .

�سكل )14-1(

المطلوب : اإثبات اأن

د هـ // ب جـ

اأي اأن : ميل دهـ = ميل ب جـ

الإثبات :



مãال )1- 10 (

الحل

اأثبت اأن النقط ) 0 ، 1 ( ، ب ) – 1 ، 2 ( ، جـ ) 3 ، 4 ( هي روDو�ص مãلb åاFم الõاوية في .

المطلوب اإثبات اأن المثلث ب جـ قاFم الزاوية في اأي اأن ب جـ .

ميل

ميل

بما اأن : ميل ب × ميل جـ = –1 × 1 = –1

اإذا المثلث قاFم الزاوية في



مãال )1- 11 (

الــحل

ليكن ل م�سـتقيما معادلته �ص + 2 �ص = 2، اأوجد بعد النقطة ه ) 1 ، 3 ( عن الم�سـتقيم ل .

�سكل )16-1(

ف بعد النقطة عن الم�سـتقيم ل الذي ل يمر بـها باأ نه: طول العمود النازل من على ل اأي : | | نعر


في حالة يكون بعد عن م�ساويا .........................)اأكمل(

بعد نقطة عن م�ستقيم

�سكل )15-1(



نر�سـم من ه عمودا على الم�سـتقيم ل فيقطعه في د كما في ال�سـكل ) 1-16 (. في�سبح المطلوب اإيجاد

ل - باإيجاد معادلة الم�سـتقيم ه د ؛ لذا يلزمنا معرفة اإحداثيي النقطة د. ولذلك نقوم - اأو

بما اأن معادلة الم�سـتقيم ل هي �س + 2 �ص = 2

اإذا ميل الم�سـتقيم ل =

وحيث اإن ه د ل فاإن ميل ه د = 2

بما اأن ه د يمر بالنقطة ) 1 ، 3 ( فتكون معادلته هي :

�ص – 3 = 2 ) �ص – 1 (

�ص – 3 = 2 �ص – 2

2�ص – �ص = – 1

ن من المعادلتين و ثانيا : نقوم بحل النظام المكو

ب�سرب طرفي المعادلة في العدد 2 نح�سل على : 4 �ص – 2 �ص = – 2

وبجمع المعادلتين و نح�سل على 5 �ص = 0 �ص = 0

وبالتعوي�س في المعادلة

عن قيمة �س نجد اأن

اإذا النقطة د هي ) 0 ، 1 ( .

واأخيرا ومن قانون طول القطعة الم�سـتقيمة ) البعد بين نقطتين ( فاإن :

وحدة طول.

ة في المثال ال�سـابق ) 1-11 ( اإذا ا�سـتبدلنا معادلة الم�ستقيم ل )وهي : �س + 2 �ص = 2 (بالمعادلة العام

للم�سـتقيم وهي �س + ب �س + جـ = 0 ، والنقطة هـ )1 ، 3( بالنقطة ،

واتبعنا خطوات الحل ال�سـابق نف�سـها، فاإ ننا ن�سل اإلى القانون التالي والذي يعرف بقانون بعد نقطة عن

م�سـتقيم.

32(2) äÉ«°VÉjQ

≈dhC’G IóMƒdG

(12 -1) ∫Éãe

πëdG

. kIô`°TÉÑe ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG uπëd ¿ƒfÉ≤dG Gòg ΩGóîà`°SG øµªjh

IQƒ°üdG ≈∏Y ∫ º```«≤à`°ùªdG ádOÉ©e ™°†f 2 = ¢```U 2 + ¢S : ∫ º«≤à`°ùªdG ø```Y ( 3 , 1 ) g á```£≤ædG ó```© oH OÉ```éjEÓa

2 – = `L , 2 = Ü , 1 = ¿ƒµj h 0 = 2 – ¢U 2 + ¢S : ∫ ádOÉ©e íÑ°üoàa 0 = `L + ¢U Ü + ¢S

º«≤à`°ùªdG øY ( 3 , 1 ) g á£≤ædG ó©oH G kPEG

0 = 4 + ¢U 4 – ¢S 3 : ∫ º«≤à`°ùªdG øY ( 1 , 5 – ) g á£≤ædG ó©oH óLhCG

0 = 4 + ¢U 4 – ¢S 3 : ∫ º«≤à`°ùªdG ádOÉ©e

: ¿ƒµj mº«≤à`°ùe øY má£≤f ó©oH ¿ƒfÉb ≥«Ñ£àHh , 4 = `L , 4 – = Ü , 3 = G kPEG

º«≤à`°ùªdG øY g á£≤ædG ó©oH

0 = `L + ¢U Ü + ¢S ¬àdOÉ©e …òdG ∫ º«≤à`°ùªdG øY á£≤ædG ó©oH

ádÉM »ah , …hÉ`°ùj

…hÉ`°ùj ∫ º«≤à`°ùªdG øY Égó©oH s¿EÉa



مãال )1- 13 (

الحل

: åحي 2 ، ل

1اأوجد البعد بين الم�سـتقيمين المتوازيين ل

ن اأي نقطة من البعد بين م�سـتقيمين متوازيين هو بعد اأي نقطة من اأحدهما عن الم�سـتقيم الآخر، لذا نعي

اأحد الم�سـتقيمين وليكن ، وذلك بالتعوي�س عن �س = 0 ) مثال( في معادلته فنجد اأن :

�ص – 0 + 3 = 0 �ص = – 3

اإذا النقطة ) – 3 ، 0 ( انظر ال�سكل ) 17-1 (.

نوجد بعد النقطـة ) – 3 ، 0 ( عن : �س – 3 �ص – 4 = 0 ، و ذلك من قانون بعد نقطة عن م�سـتقيم

حيث = 1 ، ب = – 3 ، جـ = – 4

فيكون البعد بين المتوازيين ) بعد النقطة ) – 3 ، 0 ( عن ( ي�ساوي :

�سكل )17-1(

34(2) äÉ«°VÉjQ

≈dhC’G IóMƒdG

.2 – É kjhÉ`°ùe 0 = 4 + ¢U ∑ – ¢S 6 º«≤à`°ùªdG π«e ¿ƒµj å«ëH ∑ O uóM

. Év«≤aCG 2 + ¢S ( 1 + ) = ¢U º«≤à°ùªdG π©éJ »àdG áª«b óLhCG

2

»c ( Ü ) áªFÉ≤dG »``à ¬```Ñ`°SÉæj É```ªH ( ) á```ªFÉ≤dG »``à mº```«≤à`°ùe sπc ¿ô```≤àd ;( 18-1 ) πµ````°ûdG Ωó```îà`°SG

: máë«ë°U mIQÉÑY ≈∏Y π°üëJ

1

3

:á«JB’G äÉª«≤à`°ùªdG ø«H øe IóeÉ©àªdG äÉª«≤à`°ùªdGh ájRGƒàªdG äÉª«≤à`°ùªdG øu«Y 4

ø«à£≤ædÉH tQÉªdG º«≤à`°ùªdG

(18-1) πµ°T

»`°SCGQ

Ö`Lƒe ¬`∏«e

ôØ°U = ¬`∏«e

2 = ¬`∏«e

2 – = ¬`∏«e

»c ( Ü ) áªFÉ≤dG »``à ¬```Ñ`°SÉæj É```ªH ( ) á```ªFÉ≤dG »``à mº```«≤à`°ùe sπc ¿ô```≤àd ;( 18-1 ) πµ````°ûdG Ωó```îà`°SG

: máë«ë°U mIQÉÑY ≈∏Y π°üëJ

»c ( Ü ) áªFÉ≤dG »``à ¬```Ñ`°SÉæj É```ªH ( ) á```ªFÉ≤dG »``à mº```«≤à`°ùe sπc ¿ô```≤àd ;(

(1-1) ø`jQÉ`ªJ



حا اإجابتك بالر�سـم : في الفقرات التالية اأوجد معادلة الم�سـتقيم ل مو�س 5

د

ل يمر بالنقطة ) – 2 ، 5 ( وميلـه – 2.

ل يوازي الم�سـتقيم �س + �س = 1 ويقطع المحور ال�سادي في ) 0 ، 3 (.

ل يتقاطع مع المحاور الإحداثـية في ) – 3 ، 0 ( ، ) 0 ، 5 (.

ل يوازي الم�سـتقيم 2 �ص – 3 �ص = 6 ويمر بالنقطة ) 7 ، 2 (.

اأوجد معادلة الم�سـتقيم الذي يمر بالنقطة ) 1 ، 3 ( ويوازي الم�سـتقيم 3 �ص + �ص – 5= 0

اأوجد معادلة الم�سـتقيم الذي يمر بالنقطة ) 0 ، 4 ( ويكون عموديا علـى الم�سـتقيم

6

7

ف العمودي لكل من: اأوجد معادلة المن�س 8

القطعة الم�سـتقيمة حيث ) 3 ، 4 ( ، ب ) 5 ، – 1 (.

القطعة الم�سـتقيمة حيث جـ ) 2 ، – 1 ( ، د ) – 3 ، 1 (.

ا يلي : اإذا كانت ) 2 ، 4 ( ، ب ) – 2 ، 1 ( فاأوجد كال مـم 9

معادلة الم�سـتقيم ب.

معادلة الم�سـتقيم العمودي على ب والمار بالنقطة .

معادلة الم�سـتقيم الذي يوازي ب ويمر بالنقطة ) 3 ، – 1 (.

اإذا كانت ) 2 ، 4 ( ، ب ) – 1 ، 2 ( ، جـ ) – 3 ، 3 ( ، د) 0 ، 5 ( فاأثبت اأن ال�سـكل ب جـ د

متوازي اأ�سالع.

10

�ص + 2 �ص + 11= 0



اإذا كان الم�سـتقيم �ص = 5 يقطع المحور ال�سينـي في نقطة ، والم�سـتقيم �ص = 3 يقطع المحور ال�سادي

ا يلي : في نقطة ب، فاأوجد كال مـم

11

معادلة الم�سـتقيم ب.

معادلة الم�سـتقيم العمودي على ب والمار في نقطة الأ�سل.

اأوجد بعد نقطة الأ�سل عن كل من الم�سـتقيم �ص = 3 ، الم�سـتقيم �ص = – 5 ، الم�ستقيم �ص = �ص 12

اأوجد بعد النقطة ) 4 ، 5 ( عن الم�سـتقيم الذي معادلته 5 �ص – 12 �ص – 12 = 0 13

اأوجد بعد النقطة ) – 1 ، – 3 ( عن الم�سـتقيم الذي معادلته 3 �ص + 4 �ص = – 6. 14

اأوجد بعد النقطة ) 4 ، 4 ( عن الم�سـتقيم المار بنقطة الأ�سل وميله . 15

اأوجد بعد النقطة ) 0 ، – 3 ( عن الم�سـتقيم الذي مقطعه ال�سيني –4 ومقطعه ال�سادي 2 . 16

اأوجد البعد بين الم�سـتقيمين المتوازيين 17

اأوجد طول العمود النازل من النقطة ) 1 ، 2 ( على الم�سـتقيم 5 �ص – �ص + 23 = 0 18


معادلة الداFرة

Iô``FGó``dG á````dOÉ©e 2-1

تعريف ) 1- 1(

الداFرة هي مجموعة نق§ الم�سـتوي المت�سـاوية الـبعد عن نقطة ثابتة في الم�سـتوي.

لتكن نقطة ثابتة في الم�سـتوي ى ، عددا حقيقيا موجبا ، اإن مجموعة نق§ الم�سـتوي التي تبعد

ى داFرة، انظر �سـكل ) 19-1 ( كلw منها عن مقدارا ثابتا ي�سـاوي ت�سم

وتكون الداFرة =

ى ى مركز الداFرة، ون�سـتîدم الرمز ) ( للدللة على الداFرة التي مركزها م. وت�سم ت�سم

ى العدد الموجÖ طول ن�س∞ قطر الداFرة القطعة ن�س∞ قطر الداFرة، وي�سم

ويرمز له اأحيانا بالـرمـز . كما ن�سـتîدم الرمز ؛ للدللة على الداFرة التي

مركزها م وطول ن�س∞ قطرها .

�سكل )19-1(




نتيéة )2-1(

معادلة الداFرة التي مركزها ) ، ب ( = ) 0 ، 0 ( وطول ن�س∞ قطرها هي:

�سكل )20-1(

في الم�سـتوي الإحداثي ؛ لإيجاد معادلة الداFرة التي طول ن�س∞ قطرهـا ، ومركزها النقطة

ة واقعة على هذ√ الداFرة ولتكن ) �س ، �س ( يكفي اأن نوجد العالقة بين اإحداثيـي اأي نقطة اختياري


با�سـتîدام قانون البعد بين النقطتين ، نجد اأن

ولكن

ى المعادلة القيا�سـية للداFرة. وهذ√ هي معادلة الداFرة المطلوبة وت�سم

معادلة الداFرة التي مركزها هي

ن¶رية )3-1(



نتيéة )3-1(

مãال )1- 14(

الحل

مãال )1- 15(

الحل

المعادلة جـ لـ¡ا ثالç حالت تبعـا لقيمة جـ :

1 اإذا كانت جـ >0 فاإن المعادلة تمثل داFرة.

2 اإذا كانت جـ = 0 فاإن المعادلة تمثل مجموعة ذات عن�سر واحد ) ، ب ( وفي هذ√ الحالة

توDول الداFرة اإلى نقطة ) ، ب (.

ع العدد الحقيقي ل يكون �سـالبا. 3 اإذا كانت جـ < 0 فاإن المعادلة تمثل المجموعة ؛ لأن مرب

اكتÖ معادلة الداFرة التي مركõها نقطة الأ�سل وطول ن�سف bطرها الوحدة.

بتطبيق النتيجة ) 1-2 ( نكتÖ مبا�سـرة

ى هذ√ الداFرة داFرة الوحدة و�سـتكون لـها اأهمية في درا�سـتنا الالحقة باإذن اˆ تعالى. ت�سم

اكتÖ معادلة الداFرة التي مركõها ) –1 ، 2 ( وطول ن�سف bطرها 3 وحدات طول.

ة لمعادلة الداFرة : بالتعوي�س عن = – 1 ، ب = 2 ، = 3 في ال�سورة القيا�سـي

تكون المعادلة المطلوبة هي :



)4-1( Öتدري

اأوجد معادلة الداFرة التي مركزها ) –3 ، –4 ( وطول ن�س∞ قطرها

مãال )1- 16(

الحل

مãال )1- 17(

الـحل

ة لمعادلة الداFرة وهي نقارن هذ√ المعادلة بال�سورة القيا�سـي

فنجد اأن

وحدة طول .

اأوجد مركõ وطول ن�سف bطر الداFرة التي معادلت¡ا

اأوجد معادلة الداFرة التي مركõها ) –2 ، 5 ( وتمرt بالنقطة ) 3 ، 5 (.

نوجد طول ن�س∞ قطر الداFرة با�سـتîدام قانون البعد بين نقطتين.

طول ن�س∞ القطر

بالتعوي�س في المعادلة القيا�سـية ) 9-1 (

تكون معادلة الداFرة المطلوبة هي :


معادلة الــدائـــرة

)5-1( ÖدريJ

: ÆراØاأكمل ال

، .................................................... Éهõcôe ¿وµj : É¡àdدÉ©e يàdG IôFGódG

وطول ن�سف قطرها ......................................................... وحدة طول

ع للمعادلة نح�سل على : با�سـتخدام طريقة اإكمال المرب

ة وا�سـتنادا اإلى النتيجة ) 1-3 ( نجد اأن : وهي معادلة الدائرة على ال�سورة القيا�سـي

) Ü ، ( اإذا كان فاإن المعادلة تمثل دائرة مركزها )1

وطول ن�سف قطرها العدد

.) Ü ، ( اإذا كان فاإن المعادلة تمثل النقطة )2

3( اإذا كان فاإن المعادلة تمثل المجموعـة .

ádدÉ©ªdG

تمثل دائرة اأو نقطة واحدة اأو مجموعة Nالية.

الـÑرgا¿

f¶رية )4-1(



مثال )1- 18(

í ماPا تمثل كلw من المعادلت الBتية: و�س

نكتÖ المعادلة المعطاة على ال�سورة العامة ) 10-1 (

وذل∂ بق�سـمة طرفيها على معامل معامل

íفت�سب

وبمقارنتها بالمعادلة العامة نجد اأن :

)لحß اأن معامل �ص ، وكذل∂ Ü معامل �ص (.

اإذا المعادلة المعطاة تمثل النقطة

)2-1(

معامل معامل

معامل �ص �ص = 0

ádدÉ©ªdG

ى ال�سورة العامة لمعادلة الدائرة وتتميز بالBتي: ت�سم

)10-1)

2

1

ولذا ن�سـتنتè اأن المعادلة من الدرجة الثانية في المتغيرين �ص ، �ص :

تمثل ) على العموم ( دائرة اإذا كان :

1( معامل معامل اأي اأن = جـ ≠ 0

0 = Ü 2( معامل �ص �ص = 0 اأي اأن

معادلة من الدرجة الثانية في المتغيرين �ص ، �ص .

3

الحل


بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة العامة نجد اأن :

.) 4 ، 3– ( = ) Ü ، ( اإذا المعادلة تمثل دائرة مركزها

وطول ن�سف قطرها

ن†سع المعادلة على ال�سورة العامة وذل∂ بق�سـمة طرفيها على ..............

معامل

معامل

) Æاإذا المعادلة تمثل .................. ) اأكمل الفرا

مثال )1- 19(

الحل

اأوجد مركز وطول ن�سف قطر الدائرة التي معادلتها

بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة العامة نجد اأن :

...................... = ) Ü ، ( فيكون المركز هو النقطة

معامل

معامل

فيكون




وطول ن�سف القطر

) Æاأكمل الفرا (

يمكن حل هذا المثال بطريقة اأNرi تعتمد على و�سع المعادلة المعطاة على ال�سورة القيا�سـية ) 9-1 ( ،

وذل∂ باإكمال المربع كما يلي:

وهي على ال�سورة

اإذا مركز الدائرة

) Æاأكمل الفرا (

الÑرgا¿

ة للخط الم�سـتقيم المعادلة العام

ة للدائرة والمعادلة القيا�سـي

ة واأNرi من الدرجة الثانية ، وهو بالتالي قابلl للحل بالتعوي†ص ـيالن نظاما من معادلة Nط يûسك

فنح�سل منه على معادلة من الدرجة الثانية في اأحد المتغيرين. وبما اأن معادلة الدرجة الثانية في

èنا ن�سـتنت ز المعادلة، فاإ ن ، وذل∂ وف≤ ممي ن اأو حل واحدl اأو ل يوجد لـها حل ا حال ر واحد لـها اإم متغي

ن على الأكثر، وبالتالـي يقطع الم�سـتقيم الدائرة في اأن معادلتـي الم�سـتقيم والدائرة لـهما حال

نقطتين على الأكثر.

ا في نقطتين، اأو في نقطة واحدة ، اأو اأ نهما ل يتقاطعـان. يتقاطع الم�سـتقيم مع الدائرة اإم

f¶رية )5-1(


ا للدائرة. والجزء المح�سور منه kى هذا الم�سـتقيم قاطع عندما يقطع الم�سـتقيم الدائرة في نقطتين ي�سم

vا للدائرة، واإذا لم يتقاطع الم�سـتقيم مع ى مما�سـ داNل الدائرة وترا. وعندما يقطعها في نقطة واحدة ي�سم

الدائرة نقول: اإن الم�سـتقيم Nارجيw كما هو مبين في الûسـكل ) 21-1 (.

وقد �سـب≤ ل∂ درا�سـة اأن من اأهم Nوا�ص مما�ص الدائرة تعامد√ مع ن�سف القطر المار من نقطة التما�ص كما

lí في الûسـكل ) 1-22 (، حيث نقطة التما�ص مع الدائرة التي مركزها م، كما اأن بعد المركز م هو مو�س

عن الم�سـتقيم المما�ص ي�سـاوي طول ن�سف القطر .

Tسكل )21-1(

Tسكل )22-1(

يج

رNا

م يق

ست�م




مثال )1- 20(

الحل

اأوجد نقط تقاطع الم�سـتقيم �س – �ص + 2 = 0 مع الدائرة التي مركزها ) 1 ، 0 ( وطول ن�سف قطرها 3.

É©eدIôFGódG ád هي

ومعادلة الم�سـتقيم هي

بالتعوي†ص عن �ص في معادلة الدائرة نجد اأن :

وبالتعوي†ص في معادلة الم�سـتقيم عن قيم �ص نجد اأن :

فتكون نقطتا التقاطع هما ) – 2 ، 0 ( ، ) 1 ، 3 ( ، انظر الûسـكل ) 23-1 (.

)6-1( ÖدريJ

يت†سí من الûسـكل ) 1-23 ( اأ نه لو كان طول ن�سف قطر الدائرة ي�سـاوي 1 بدل من 3 لما تقاطعت مع

≤ من ذل∂ بحل المعادلتين الم�سـتقيم. تحق

Tسكل )23-1(


مثال )1- 21(

الحل

ادر�س تقاطع الم�سـتقيم مع الدائرة

معادلة الم�سـتقيم

�ص عن �ص من معادلة الم�سـتقيم في معادلة الدائرة فنح�سل على : نعو

هو الجذر الوحيد للمعادلة.

بالتعوي†ص عن قيمة �ص في معادلة الم�سـتقيم ; تكون قيمة �ص المقابلة هي :

وحيث اإن الم�ستقيم يقطع الدائرة في نقطة وحيدة فهو مما�ص لـها عند هذ√ النقطة، كما هو وا�سlí في

الûسكل ) 24-1 (.

Tسكل )24-1(

1




مثال )1- 22(

الحل

ا للدائرة التي معادلتها vاأن الم�سـتقيم يكون مما�س âÑاأث

بالتعوي†ص عن �ص من معادلة الم�سـتقيم في معادلة الدائرة، نح�سل على :

اإذا الم�سـتقيم يتقاطع مع الدائرة في نقطة واحدة فقط وهي ) – 1 ، 0 (

وهذا يثبت اأن الم�سـتقيم مما�ص للدائرة.

)7-1( ÖدريJ

قم بحل المثال ال�سـاب≤ با�سـتخدام قانون بعد نقطة عن م�سـتقيم.

مثال )1- 23(

الحل

دائرة مركزها ) 1 ، 3 (، اأوجد معادلة مما�س الدائرة ) م ( عند النقطة ) 4 ، 1 ( .

، Tسـكل )25-1 (. حيث اإن ن�سف قطر الدائرة عمودي على المما�ص

وحيث اإن ميل الم�سـتقيم

فاإن ميل المما�ص

وبما اأن المما�ص يمر بالنقطة ) 4 ، 1 ( فاإن معادلته :

وذل∂ بالتعوي†ص في المعادلة ) 6-1 (

Tسكل )25-1(


اأوجد طول المما�س المر�سوم من النقطة )8 ، -3( اإلى الدائرة )م( والتي معادلتها

علماk باأن طول المما�س المر�سوم من النقطة

اإلى الدائرة )م( ي�ساوي طول القطعة الم�ستقيمة التي طرفاها النقطة ونقطة التما�س.

مثال )1- 24(

الحل

حيث اإن المما�ص عمودي على ن�سف القطر فاإن المما�ص عمودي على القطر.

نوجد ميل القطر

ويكون ميل مما�ص الدائرة

اإذا معادلة المما�ص هي وذل∂ بالتعوي†ص في المعادلة ) 6-1 (

اأوجد معادلة مما�س الدائرة التي قطرها عند النقطة ب منها حيث .

مثال )1- 25(

الحــل

من الûسـكل ) 1-26 ( يت†سí اأن طول المما�ص المر�سـوم من

النقطة ) 8 ، – 3 ( اإلى نقطة التما�ص ي�سـاوي

طول القطعة الم�سـتقيمة والتي تمثل اأحد �سلعي القائمة

. في المثلث حيث المما�ص

ة للدائرة نجد اأن : بمقارنة معادلة الدائرة المعطاة بالمعادلة العام

Tسكل )26-1(




وعليه يكون:

مركز الدائرة و من ثم

2

1

وبتطبي≤ نظرية فيثاغورث على المثلث نجد اأن :


.Öحقيقي موج lالدائرة ويمكن ر�سـم مما�ص منها اإلى الدائرة، طوله عدد êارN

تقع على الدائرة وطول المما�ص المر�سـوم منها اإلى الدائرة ي�سـاوي �سفر.

داNل الدائرة ول يمكن ر�سـم مما�ص منها اإلى الدائرة.

اإذا كانت نقطة في الم�سـتوي i وكانت ) م ( دائرة طول ن�سف قطرها فاإن :

)3-1(

2

1

3




اأوجد معادلة الدائرة التي مركزها وطول ن�سف قطرها كما يلـي: 1

6 ، ) 0 ، 0 )

3 ، ) 5 ، 0 )

، ) 3 – ، 1 – )

، ) 4 ، 1 ) د

í ماPا تمثله كلw من المعادلت الBتيـة: و�س 2

د

هـ

اأوجد قيمة ه التي تéعل طول ن�سف قطر الدائرة �س2 + �ص2 – 6 �س + g 2 �ص – 23 = 0

ي�سـاوي 6 وحدات طول.

3

ا اإجابت∂ بالر�سـم : kح ≤ الûسـرو• المذكورة في الØقرات التالية مو�س اأوجد معادلة الدائرة التي تحق 4

د

هـ

õcôªdG ( 2 ، 0 ( وتمر بالنقطة ) 0 ، 0 (.

õcôªdG ( 0 ، 3 ( وتمر بالنقطة ) 0 ، 6 (.

المركز على الم�سـتقيم �ص = �ص وتم�ص المحور ال�سينـي عند ) 3 ، 0 (.

. õcôªdG ( – 5 ، – 7 ( وتم�ص المحور ال�سادي

.) 5 ، 6 ( nو ) طرفا القطر ) – 2 ، 3

اأوجد معادلة الدائرة التي مركزها وطول ن�سف قطرها كما يلـي:

6 ، ) 0 0 )

تم`اري`ن (2-1)


ا يلـي: اأوجد معادلة مما�س الدائرة عند النقطة الواقعة عليها في كل مم 6

7

ا يلـي: ادر�س تقاطع الم�سـتقيم مع الدائرة في كل مم 5

د

د

هـ

اأوجد طول المما�س المر�سـوم من النقطة ) 1 ، 0 ( اإلى الدائرة :




رين تمثل معادلة الدرجة الأولى في متغي

ة لمعادلة الم�سـتقيم. مجموعة نقط م�سـتقيم، وهي على ال�سورة العام

1

هي معادلة الخط الم�سـتقيم بدللة الميل والجزء المقطوع من محور ال�سادات

ة للم�سـتقيم، ومنها اأوجدنا ال�سور المختلفة لمعادلة الخط الم�سـتقيم وهي : وهي المعادلة القيا�سـي

2

وهي معادلة الخط الم�سـتقيم بدللة ميله ونقطة منه.

وهي معادلة الخط الم�سـتقيم بدللة

نقطتين منه.

وهي معادلة الخط الم�سـتقيم بدللة مقطعيه من المحورين الإحداثـيين.

3 لإيجاد ميل الم�سـتقيم بمعلومية معادلته هناك طريقتان:

ة بو�سع المعادلة على ال�سورة العام

فيكون ميل الم�سـتقيم

ة فيكون ميل الم�سـتقيم بو�سع المعادلة على ال�سورة القيا�سـي


5 بعد النقطة عن الم�سـتقيم ي�ساوي

رين معادلة الدائرة هي معادلةl من الدرجة الثانية في المتغي

فيها معامل معامل معامل وتكون معادلة الدائرة التي

مركزها على اإحدi ال�سورتين التاليتين:

6

• ، حيث طول ن�سف القطر.

• حيث

ا لـها اإذا تقاطع معها في نقطة يكون الم�سـتقيم قاطعا للدائرة اإذا تقاطع معها في نقطتين و مما�سـ

واحدة و Nارجيا عنها اإذا لم يتقاطع معها.

ن من معادلة الم�سـتقيم ومعادلة الدائرة. ويتم تحديد ذل∂ بحل النظام المكو

7

ة تعامد المما�ص مع ن�سف القطر تم اإيجاد معادلة مما�ص الدائرة عند نقطة عليها. ا�سـتنادا اإلى Nا�سي 8

Tســــر• تــــوازي م�ســــتقيمين ميالهمــــا هــــو Tســــر• تعامــــد م�ســــتقيمين ميالهمــــا

هو وذل∂ في حالة اأن الم�سـتقيمين غير راأ�سـيين، حيث اإن الم�سـتقيم

الراأ�سـي ) الموازي للمحور ال�سادي ( ل ميل له.

4

تعلمâ في هذ√ الوحدة


ميل محور ال�سـينات ي�سـاوي �سفرا.

. الم�سـتقيم المار بالنقطتين ) 1 ، 3 ( ، ) 1 ، 5 ( اأفقي

الم�سـتقيم الذي معادلته �ص = 0 عمودي على الم�سـتقيم الذي معادلته �ص = 0

الم�سـتقيم الذي معادلته �ص = 1 عمودي على الم�سـتقيم الذي معادلته �ص = – 1

الم�سـتقيم الذي ميله ي�ساوي 2 ويمر بالنقطة ) 3 ، 2 ( تكون معادلته �ص + 2 = 2 ) �ص + 3 (.

الم�سـتقيم الذي معادلته �ص = 3 يمر بالنقطة ) 3 ، – 2 (.

بعد نقطة الأ�سل عن الم�سـتقيم �ص = 3 هو 3 وحدات.

البعد بين الم�سـتقيمين المتوازيين �ص = 4 ، �ص = – 1 هو 3 وحدات.

النقطة ) 0 ، 0 ( الدائرة ) ( التي معادلتها

طول ن�سف قطر الدائرة التي معادلتها هو 6 وحدات.

ميل مما�ص الدائرة ) ( : عند النقطة ) 1 ، 2 ( ي�سـاوي

ائرة فاإن ميل ن�سف القطر المار بنقطة التما�ص ـا للد اإذا كان الم�سـتقيم مما�س

ي�سـاوي

�سع عالمة ) ( اأو عالمة ) ( عن يمين ما يلـي : 1



لكل بند فيما يلي اأربع اإجابات، واحدة منها فقط �سحيحة، حددهـا: 2

اإذا كان م�سـتقيمين متعامدين، يمر بالنقطتين ) 1 ، 5 ( ، ) 2 ، 3 ( فاإن ميل

الم�سـتقيم هو:

اإذا كان م�ستقيمين متوازيين، يمر بالنقطتين ) – 3 ، 2 ( ، ) 3 ، – 2 ( فاإن

ميل الم�سـتقيم هو:

معادلة الم�سـتقيم المار بالنقطة ) 5 ، – 5 ( ويوازي محور ال�سادات هي:

معادلة الم�سـتقيم الذي ميله ي�سـاوي 2 ويمر بالنقطة ) 1 ، – 2 ( هي: د


اأوجد طول العمود النازل من النقطة ) – 2 ، 1 ( على الم�سـتقيم �س + 3 �ص + 5 = 0 3

اأوجد بعد نقطة الأ�سل عن الم�سـتقيم الذي ميله ي�سـاوي ومقطعه ال�سادي 4 . 4

دائرة مركزها ) – 2 ، – 3 ( وتم�س الم�سـتقيم الذي معادلته 4 �س + 3 �ص = 3 ، اأوجد طول

ن�سف قطرها ثم اكتب معادلتها.

5

اأوجد نقطتـي تقاطع الدائرة مع محور ال�سـينات. 6

اأوجد معادلة الم�سـتقيم الذي يمر بمركز الدائرة التي معادلتها

ويوازي الم�سـتقيم

اأوجد معادلة مما�س الدائرة التي قطرها عند النقطة جـ منها حيث :

ب ) 1 ، 0 ( ، جـ ) 3 ، – 2 (

اأوجد معادلة اأ�سغر دائرة تمر بالنقطة ) 2 ، 3 ( ويقع مركزها على الم�سـتقيم �س + �س – 3 = 0

7

8

9

ـا على الم�ستقيم اإن قيمة التي تجعل الم�ستقيم عمودي

اإن مركز الدائرة ) ( : هو:


ـين للدائرتين بين اأن المما�س

عند نقطة الأ�سل متعامدان.

لدينا المثلث حيث ) 3 ، 0 ( ، ب ) 1 ، 4 ( ، جـ ) 5 ، 6 ( : 11

بدون ا�سـتخدام نظرية فيثاغورث اأثبت اأن المثلث قائم الزاوية.

اأوجد معادلة كل من اأ�سالع المثلث .

اأوجد معادلة الرتفاع النازل على الوتر ، و اأوجد طوله.

اأوجد معادلة الدائرة التي تمر بروؤو�ص المثلث. د

10

IóMƒdG

ãdGäÉ``````ã`∏`ãªdG ÜÉ``°ù`Mاf»`ة

Trigonometry

É¡°SÉ«bh á¡ sLƒŸG ájhGõdG (1-2)

I sOÉ◊G ájhGõ∏d á«YôØdG á«ãs∏ãŸG Ö°ùædG (2-2)

( á sjôFGódG ∫GhódG ) á«ãs∏ãŸG ∫Gh sódG (3-2)

á«ãs∏ãŸG äÉ≤HÉ£àŸG (4-2)

¥ôØdGh ´ƒªéŸG øe xπµd á«ãs∏ãŸG ∫Gh sódG (5-2)

É¡Ø°üfh ájhGõdG ∞©°†d á«ãs∏ãŸG ∫Gh sódG (6-2)

∫GƒWCGh ås∏ãŸG ÉjGhR äÉ°SÉ«b ÚH ábÓ©dG (7-2)

¬YÓ°VCG

äÉãs∏ãŸG ÜÉ°ùM äÉ≤«Ñ£J ¢†©H (8-2)

¢ShQódG

اأهم اŸثلثات من يعد علم ح�ساب

اأثرت ‘ الكتûسافات التي العلوم

فهو العلمية والÎNاعات

لتÑ�سيط الهامة الو�سائل من

الطÑيعية çحوÑال من Òالكث

والهند�سية وال�سناعية .

±GógC’G

n¿ƒµj r¿CG pIóMƒdG √òg pá`°SGQO nó©H ÖdÉ£dG nøe ™bƒàj

: r¿CG ≈∏ nY G kQOÉb

هة وبع†س المØاهيº المتعلقة بـها. ± الزاوية الموج 1- يoعر

2- يوجد الæ�ضÖ المثلثية لزواية حادة.

± الدوال المثلثية. 3- يتعر

4- يوجد قيº الدوال المثلثية لزاوية مع£اة.

لمâ قيمة اإحدi دوالها المثلثية. oY اويةR 5- يوجد قيا�س

6- يمثل دالتي الéيÖ وجيÖ التمام بيانيvا.

7- ي�ضتæتè المت£ابقات المثلثية ا’أ�ضا�ضية.

8- يبرهن Uضëة مت£ابقات مثلثية.

9- يوجد الدوال المثلثية لمéمو´ Rاويتين اأو الØر¥ بيæهما.

ولüæضØها. الزاوية ل†ضعف المثلثية الدوال يوجد -10

والزاوية �ضلعان مæه ºل oY åمثل م�ضاحة Öض�ëي -11

المüëضورة بيæهما.

.åالتمام في حل المثل Öوجي Öيéدم قانوني الî12- ي�ضت

13- يëل ت£بيقات حياتية وهæد�ضية Yل≈ ح�ضاÜ المثلثات.

62

الوحدة الثانيــة

ريا�ضيات )2(

1-2 É¡°SÉ«bh á¡ sLƒªdG ájhGõdG

عرفــــت فيما �صبق مفهوم الزاوية، والتي يمكن تعريفها باأنها اتحاد ن�صفي م�صتقيمين

ــــى ن�صفا ــــى نقطة البــــدء راأ�ــــس الزاوية وي�صم م�صتركيــــن فــــي نقطــــة مبدئهما. وت�صم

الم�صتقيمين ب†صلعي الزاوية.

فن�صـفا الم�صـتقيمين ، جـ في ال�صـكل ) 3-1 (م�صـتركان في نقطـة

نان الزاوية Ü جـ والتي نرمز لها بالرمز Ü جـ مبدئهـما ويكـو

Ü جـ = جـ Ü اأن

وفي ح�صاÜ المثلثات نحتاê في كثير من الأحيان اإلى مراعاة ترتيب ن�صفي الم�صتقيمين اللذين

يه �صلع البتداء والNBر د اأحدهما ليكون هو ال†صلــــع الأول ون�صم ن منهمــــا الزاوية باأن نحد تتكــــو

هة، ويكون ي الزاوية زاوية موج يه �صلع النتهاء، وفي هذه الحالة ن�صم ليكون ال†صلع الثاني ون�صم

اتجاهها من �صلع البتداء اإلى �صلع النتهاء

�صـكل ) 1-2 (

ßح’

63

الزاوية الموجهة وقيا�ضها


هة في ال�صكل ) 3-4 (، ثº �صº �صلع البتداء و�صلع النتهاء في كل منها: اكتب رمز كل من الزوايا الموج

)1-2( Öتدري

)1-2(

.

هة اتجاهان هما اتجاها دوران �صلع البتداء حول راأ�س الزاوية لينطبق على �صلع لكل زاوية موج

ºيدل اتجاه ال�صه åللزاوية حي lمن ال�صكلين ) 3-2 ( ، ) 3-3 ( هو تمثيل wالنتهاء. وكل

على اتجاه دوران �صلع البتداء حول لينطبق على �صلع النتهاء.

1

2

�صـكل ) 4-2 (

�صـكل ) 2-2 (�صـكل ) 3-2 (

تعريف ) 2 - 1(

هـ

لأن

64



)2-2( Öتدري

هة هو قيا�س زاوية دوران �صلع البتداء لينطبق على �صلع النتهاء ؛لذا يكون قيا�س الزاوية قيا�س الزاوية الموج

هة موجبا اإذا كان اتجاه الدوران موجبا ) عك�س اتجاه دوران عقارÜ ال�صاعة ( كما في ال�صكل) 2-2 ( الموج

ويكون قيا�صها �صالبا عندما يكون الدوران بالتجاه ال�صالب ) اتجاه دوران عقارÜ ال�صاعة ( كما في ال�صكل

ة Ü جـ في كل مـــن ال�صكلين ) 2-2 ( ، ) 2-3 ( هو ( 3-3 (.فـــاإذا فر�صنـــا اأن قيا�ـــس الزاوية الحاد

°30

هة في ال�صكل ) 4-2 (. د اإ�صارة قيا�س كل من الزوايا الموج حد

هة في ال�صكل ) 5-2 (: اأوجد قيا�س كل من الزوايا الموج

قيا�س الزاوية الموجهة

)3-2( Öتدري

�صـكل )2 -5 (

يكون قيا�س =

في ال�صكل ) 3-2 (

في ال�صكل ) 2-2 (

65



هة القيا�س العام للزاوية الموج

360× 2 ± i ، 360 ± i ، i

: ومن ذل∂ ن�صتنتè اأن

ر عـنه بال�صـي¨ة: هة عـدد Zـير مـنته من القيا�صـات المîـتلفة، نعـب لكـل زاويـة موج

) 1-2 ) ، 360 i 0 å360 حي × + i

) 2-2 ) ، •2 i 0 å2 • حي + i

ي هذه ال�صي¨ة بالقيا�س العام للزاوية ن�صم

ي i بالقيا�س الرئي�س للزاوية ون�صم

هة المقا�صة بالتقدير الدائري هو ويكون القيا�س العام للزاوية الموج

�صـكل ) 6-2 (

66



مثال )2-2(

الëل

القيا�س الرئي�س للزاوية

. åالقيا�س العام هو حي

اأي اأن قيا�صات هي:


القيا�صات المîتلفة للزاوية هي:

القيا�صات المîتلفة للزاوية هي:

اأي اأن قيا�صات هي:

. åالقيا�س العام هو حي

هة في كل من الëالتين التاليتين: اأوجد القيا�ضات المîتلØة للزاوية الموج



مثال )1-2(

67



مثال )2-2(

الëل

هة بدللة قيا�صها الرئي�س i وذل∂ على حيå اأنه من الممكن التعبير عن اأي قيا�س معلوم مثل هـ لزاوية موج

النحو التالي: ه حيå ؛

هة اأحد قيا�صاتـها ه باأن نجمع اإلى ه اأو نطرì منها لذا فاإنه يمكننا الح�صول على القيا�س الرئي�س لزاوية موج

اأحد م†صاعفات الزاوية )اأو اأحد م†صاعفات 2• اإذا كانت ه مقي�صة بالتقدير الدائري (، وعليه يمكننا

القول: لكل ه ، يوجـد عددl حقيقيi w بحيå ه ولذل∂

هة. فاإن كل عدد حقيقي يعد قيا�صا دائريا لزاوية موج

)2-2(

هة التي قيا�ضاتـها: اأوجد القيا�س الرئي�س والقيا�س العام لكل من الزوايا الموج

ر عن كل زاوية بدللة القيا�س الرئي�س لـها. ثº عب

القيا�س الرئي�س

القيا�س العام





68



هة الو�ضع القيا�ضي لزاوية موج

هة جميعها في و�صع قيا�صي ؛لأن راأ�س كل منها يقع على نقطة الأ�صل، في ال�صكل ) 2-7 ( الزوايا الموج

و�صلع البتداء لكل منها يقع على الجزء الموجب لمحور ال�صينات.

�صـكل ) 7-2 (

تعريف ) 2 - 3(

، اإذا وقع راأ�صها على نقطة هة في و�صع قيا�صي في الم�صتوي الإحداثي يقال: اإن الزاوية الموج

الأ�صل وانطبق �صلع ابتدائها على الجزء الموجب لمحور ال�صينات.



69



هة في ال�صكل ) 2-8 ( لي�صت في و�صع قيا�صي ا الزوايا الموج اأم

�صـكل ) 8-2 (

راأ�س الزاوية ل يقع على

نقطة الأ�صل

�صلع البتداء ل يقع على

الجزءالموجب للمحور ال�صيني

�صلع البتداء ل يقع على الجزء

الموجب للمحور ال�صيني

راأ�س الزاوية .........

و�صلع البتداء .......

) اأكمل الفراغ (

70



)3-2(

�صـكل ) 9-2 (

: i هة – في الو�صع القيا�صي – والتي قيا�صها الرئي�س í الربع الذي تقع فيه الزاوية الموج والجدول التالي يو�ص

هةi بالتقدير الدائريi بالتقدير ال�صتيني الربع الذي تقع فيه الزاوية الموج

الأول

الثاني

åالثال

الرابع

د تقع

71



مثال )3-2(

الëل

هة - في الو�ضع القيا�ضي- والتي د ) مع التو�ضيí بالر�ضº ( الربع الذي تقع فيه كل من الزوايا الموج حد

قيا�ضاتـها:

هة التي قيا�صها تقع في الربع الرابع ؛ لأن الزاوية الموج

ان¶ر �صكل ) 10-2 (

�صـكل ) 10-2 (

�صـكل ) 11-2 (

هة القيا�س الرئي�س للزاوية الموج

الزاوية الموجهة تقع في الربع الثالå ؛ لأن

القيا�س الرئي�س للزاوية الموجهة

هة تقع في الربع الثاني ؛ لأن الزاوية الموج

ان¶ر �صكل ) 12-2 (

�صـكل ) 12-2 (

هة القيا�س الرئي�س للزاوية الموج

هة تقع في الربع الأول ؛ لأن الزاوية الموج

ان¶ر �صكل ) 13-2 (

�صـكل ) 13-2 (

د الربع هـــة في الو�صع القيا�صي، حد بفر�ـــس اأن القيا�صـــات المعطاة في المثال ) 2-2 ( هي لزوايا موج

.ºبالر�ص íالذي تقع فيه كل زاوية مع التو�صي

)4-2( Öتدري

ان¶ر �صكل ) 11-2 (

’حß اأن :

72

á``«fÉãdG IóMƒdG

(2) äÉ«°VÉjQ

( 14-3 ) πµ`°T

¿ƒµJ ≈àe

:á«dÉàdG á¡ sLƒªdG ÉjGhõdG øe xπc õeQ ÖàcG 1

: máÑJôe mêGhRCG IQƒ°üH á«dÉàdG á¡ sLƒªdG ÉjGhõdG øY ôuÑY 2

É¡æe xπc ¢```SÉ«b IQÉ```°TEG O uóM ºK ,( 14-2 ) πµ```°ûdG »a x»```°SÉ«b m™```°Vh »a áeƒ```°SôªdG á```¡ sLƒªdG É```jGhõdG Ö```àcG

.¬«a ™≤J …òdG ™HôdGh

3

:á«dÉàdG á¡ sLƒªdG ÉjGhõdG øe xπc õeQ ÖàcG

(1-2) ø`jQÉ`ªJ

؟

73



هة التي قيا�ضاتـها: اأوجد القيا�س الرئي�س لكل من الزوايا الموج 4

وهـ

اأوجد القيا�س العام لكل من الزوايا التي قيا�ضاتـها: 5

اإذا كان القيا�س الرئي�س لزاوية هو فاأوجد قيا�ضين �ضالبين واآخرين موجبين لـها. 6

هة في الو�ضع القيا�ضي والتي قيا�ضاتـها: د الربع الذي تقع فيه كل من الزوايا الموج حد 7

74



2-2IOÉëdG ájhGõ∏d á«YôØdG á«ã∏ãªdG Ö°ùædG

عرفنــــا �صابقا اأن الن�صبة بين طولي �صلعيــــن من اأ�صال´ المثلå القائº الزاوية

ة، در�صنا منها ــــى ن�صبــــة مثلثية، وهنا∑ �صت ن�صــــب مثلثية لكل زاوية حــــاد ت�صم

الن�صب الأ�صا�صية الثالç، ففي المثلå القائº الزاوية في كما في

ة هي: ال�صكل ) 2-15 ( الن�صب المثلثية الأ�صا�صية للزاوية الحاد

�صـكل ) 15-2 (

ة: ± باقي الن�صب المثلثية للزاوية الحاد وفيما يلي نعر

المجاور

المقابل

الوتر

المجاور

الوتر

المقابل

تعريف ) 2- 3(

: ة في مثلå قائº الزاوية فاإن اإذا كانت زاوية حاد

قاطع الزاوية هو مقلوÜ جيب تمام الزاوية ورمزه اأي اأن :

الوتر

المجاور

قاطع تمام الزاوية هو مقلوÜ جيب الزاوية ورمزه اأي اأن :

المقابل

الوتر

Xل تمام الزاوية هو مقلوX Üل الزاوية ورمزه اأي اأن :

=المقابل

المجاور

=

1

2

3

75

الæ�ضÖ المثلثية الØرYية للزاوية الëادة


ى الن�صب المثلثية الثالç ال�صابقة بالæ�ضÖ المثلثية الØرYية للزاوية الëادة. ت�صم

مثال )4-2(

الëل

ة هـ , اإذا Yلمâ اأن اأوجد الæ�ضÖ المثلثية الØرYية للزاوية الëاد

الوتر

المقابلبما اأن

ا قائº الزاوية كما في ال�صكل ) 16-2 ( اإذن نر�صº مثلثـ

�صـكل ) 16-2 (

فيكون

وحدات

مة للزاوية ه . ة جـ المتم ة للزاوية الحاد في المثال ال�صابق اأوجد الن�صب المثلثية الفرعي

)5-2( Öتدري

المقابل

المجاور

الوتر

المجاور

76

á``يfاãdG IóMƒdG


á`يfاãdG IóMƒdG

)6-2( ÖريóJ

ة. ا�ستîدΩ هذه القيº الإيéاد قيº الن�سÖ المثلثية الØرYية لهذه الزوايا الîاUس

�س îة: والتي تل ة الîاUس ة للزوايا الëاد Yرفت �ساHقا قيº الن�سÖ المثلثية االأ�سا�سي

في الéدو∫ التالي:

ájhGõdG

الن�سبة

مثÉل )5-2(

:Qة للمقدا اأوجد القيمة العددي

πëال


77

IدÉëاوية الõية للYرØالمثلثية ال Ö°ùæال

77ريا�ضيات )2(

1:øم xπc يمةb دLوCا

اPEا Éc¿ مثلث`Éb Éئº الõاوية a »aي¬ CÉaوLد .2

`g 3.g اويةõالمثلثية لل Ö°ùæال »bÉH دLوCÉa IدÉM اويةR `g åيM ¿Éc اPEا

اCوLد ال≥يمة العددية لxπµ مø الم≥Éدير الÉàلية:4

هـ

د

:øم xπc يمةb دLوCا

(2-2) ø`jQÉ`ªJ

IدÉëاوية الõية للYرØالمثلثية ال Ö°ùæال


78

á`يfاãdG IóMƒdG


فاإذا كانت نقطة Yلى دائرة الوحدة كما في ال�سكل ) 17-2 (

åلى المثلY سل�ëيالقيه في ، ن äال�سينا Qوëلى مY موداY واأ�سقطنا منها

القائº الزاوية في الذي فيه:

3-2 ( á sjôFGódG ∫GhódG ) ás«ãs∏ãªdG ∫GhódG

Yرفنــــا �ساHقــــا اأن دائــــرة الوحدة هي دائــــرةl مركزها نقطة االأUســــل وطو∫ ن�س∞

قطرها الوحدة، ومعادلتها:

وتكون الزاوية في و�سعها القيا�سي.

�سـكل ) 17-2 ( وهذا يعني اأن النقطة

ى f≥£ة مثلثية للõاوية لذا فاإن هذه النقطة ت�سم

: ØHر�س اأن قيا�س الزاوية هو i نéد اأن

)4-2(

هة اأو قيا�سها وي�ستد∫ من ال�سيا¥ اأيهما المق�سود Hالرمز. ي�ستعمل الرمز نØ�سه للداللة Yلى الزاوية الموج

åهة قيا�سها ، حي ± النقطة المثلثية الأي زاوية موج وفيما يلي نعر

79

الدوال المثلثية ) الدوال الدائرية (


تعريف ) 2- 4(

ـهة في الو�سـع القـيا�سي وقيا�سها ) النقطة المثلثية للزاوية ( هي النقطة المثلثية لزاوية موج

نقطة تقاطـع �سـلع انتهـاء هذه الزاوية مع دائرة الوحـدة، ويكـون اإحداثيها ال�سـيني هو

واإحداثيها ال�سادي هو

فمثال: اإذا كـانت النقطـة المثلثية للزاويـة هي كما في ال�سـكل ) 2-18 ( فاإن

�سـكل ) 18-2 (

هة يقطع دائرة هة في الو�سع القيا�سي نقطة مثلثية وحيدة ؛الأن �سلع االنتهاء للزاوية الموج اإن لــــكل زاوية موج

هة في الو�سع القيا�سي هو فاإن ه اإذا كان قيا�س الزاوية الموج الوحدة في نقطة واحدة فقط، وهذا يعني اأن

ى ة )تطبيقا( في ت�سم قيمة كل من ، تكون وحيدة ؛ لذا فاإن كال من ، يعد دال

ة دائرية (. دالة مثلثية )دال

80

الوحدة الثانيـة


ة هي ذاتـها قيمة الن�صبة المثلثية لهذه الزاوية. وتجدر الإ�صارة هنا اإلى اأن قيمة الدالة المثلثية لزاوية حاد

دالتا الéيÖ وجيÖ التمام

اإن كvÓ من ا’إحداKي ال�ضيæي وا’إحداKي الüضادي ’أي نق£ة Yل≈ دائرة الوحدة ’ يزيد Yن 1 و’

يقل Yن - 1;

2

لذا فاإن

1

ا�صتنادا اإلى اأن النقطة المثلثية للزاوية ه هي النقطة وبالن¶ر اإلى ال�صكل ) 2 -19 (

ن�صتنتè قيº دالتي الجيب وجيب التمام للزوايا الربعية: كما يلي:

�صـكل ) 19-2 (

تعريف ) 2- 5(

: اإذا كانت النقطة نقطة مثلثية للزاوية فاإن

ى دالة الجيب1 الدالة حيå ت�صم

ى دالة جيب التمام2 الدالة حيå ت�صم

نتيéة )1-2(

81



) اأكمل الفراغ (

هة في الو�صع القيا�صي وقيا�صها الرئي�س ، فاإن النقطة المثلثية اإذا كان ه قيا�صا لزاوية موج

للزاوية هي ذاتـها النقطة المثلثية للزاوية ؛ وعليه فاإنه ح�صب الملحوXة ) 2-2 ( يكون:

3

) 3-2 )

) 4-2 )

اأن هاتين القاعدتين تبقيان �صحيحتين ßM’

ومن الجدير بالذكر اأنه يمكن ا�صتîدام القاعدة ) 2 – 3 ( ) اأو القاعدة ) 2 – 4 ( ( للتعبير عن قيمة

جيب تمام ) اأو جيب ( قيا�س زاوية بدللة القيا�س الرئي�س لهذه الزاوية.

فمثال: للتعبير عن بدللة القيا�س الرئي�س للزاوية نكتب:

نا عن الزاوية بدللة القيا�س الرئي�س ثº ا�صتîدمنا القاعدة ) 2 – 3 ( بفر�س i (اأو نكتب: )عبر

) ìح�صلنا على القيا�س الرئي�س بالطر ºدمنا القاعدة ) 2 – 3 ( بفر�س ثîا�صت (

82



1

الëل

اأوجد كvÓ من القيº التالية:

234

3

4

2

1

ل دالة ال¶

ا اإذا كان بالرجو´ اإلى ال�صكل ) 2 – 17 ( نجد اأن حيi å قيا�س الزاوية اأم

العـــدد قيا�س وجـــود فـــاإن ، ه للزاويـــة المثلثيـــة النقطـــة هـــي هو

يقت†صي كون اأي

وهذا يقت†صي اأن

مثال )2- 6(



.± sô©e ô«Z

øe »LhR OóY

øe …Oôa OóY

ل كم� يلي: u¶يمكنن� تعري∞ دالة ال ≥ÑشS � مـم

ت©ري∞ ) 2- 6(

اإذا ك�نâ النقطة نقطة مثلثية للزاوية ،

:�X الةóف�إن ال

ل. u¶ى دالة ال حيث ت�شم

)2-2( áéيàf

من التعري∞ ) 2-6 ( ن�شتنتè ب�شهولةm اأن كvÓ من: 1

: ومن النتيéة ) 3-1 ( نóé اأن

حيث

اSشتن�دا اإلى الق�عóتين ) 2-3 ( ، ) 2-4 ( ن�شتنتè الق�عóة الت�لية: 2

) 5-2 )


الMƒدI الثاfيـة

iرNاأ lمثلثية wدوال

ت©ري∞ ) 2- 7(

: اإذا ك�نâ النقطة نقطة مثلثية للزاوية ف�إن

الóالة1

ى دالة الق�طع . حيث ت�شم

الóالة2

.Ω�ى دالة ق�طع التم حيث ت�شم

الóالة3

.Ω�ل التمX ى دالة حيث ت�شم

اأcمπ الØراa Æيما يل«:

)7-2( ÖيQتد

1

2

3



)5-2(

±l ب�شر• كون اإن دالتيu الق�طع وال¶ل لهم� المé�ل نف�شه وذلك لأن كvÓ من معر

اأي

±l ب�شر• كون كذلك ف�إن دالتيu ق�طع التم�Ω وXل التم�Ω لهم� المé�ل نف�شه لأن كvÓ من معر

اأي

)8-2( ÖيQتد

≤ من اأن تحق

)3-2( áéيàf

: من القواعó ن�شتنتè اأن

)9-2( ÖيQتد

اأوóL قيم كلx من دالة الق�طع وق�طع التم�Ω وXل التم�Ω للزواي� الربعية.



النقطة نقطة مثلثية

تقع على دائرة الوحóة

تحق≤ المع�دلة:

) اخترن� الéذر ال�ش�لÖ لأن ه تقع في الربع الث�ني (

: وب�شهولةm نóé اأن

اأن ، موÑLت�ن بينم� ب�قي الóوال المثلثية للزاوية Sش�لÑة وذلك لأن تقع في

الربع الث�ني .

مثال )7-2(

لf øµàقطةk مثلثيةk للزاوية الƒاb©ة a« الربع الثاf«, اأوجد bيº الدوال المثلثية

جمي©¡ا للزاوية .

πëال

ßM’

اإذا



äاQساTا’إ IدYاb

ه اإذا ك�نâ نقطة مثلثية للزاوية ف�إن ، ، وهذا يعني اأن راأين� اأن

اإ�ش�رة هي اإ�ش�رة نف�شه� واإ�ش�رة هي اإ�ش�رة نف�شه� ; لذا ف�إنه يمكن ت�شمية محور

ال�شين�ä بمحور LيÖ التم�Ω ومحور ال�ش�داä بمحور الéيÖ ان¶ر �شكل ) 2 - 20 (

�شـكل ) 20-2 (

ة الأمر ف�إن اإ�ش�راä الóوال المثلثية وع�م

Lميعه� تعتمó على اإ�ش�رتيu اأي

اإ�ش�رتيu ، ، وال�شكل ) 2 - 21 (

يÑيuن الóوال التي اإ�ش�رته� موÑLة في كلx من

الأرب�´ الأربعة، وم� Sشواه� تكون Sش�لÑة.

�شـكل ) 21-2 ( ويمكن تلîي�¢ ق�عóة الإ�ش�راä في الóéول الBتي:

اإ�ش�رة ،اإ�ش�رة ، اإ�ش�رة ، الربع الذي تقع فيه الزاوية

الأول

الث�ني

الث�لث

الرابع



هة وZير الربعية في الوVشع القي�Sشي، ولتكن نقطة واقعـة على Lلتكن الزاوية المو

Vشـلع انتهـ�A هذه الزاوية.

)10-2( ÖيQتد

¡ة a« الVƒسع القيا�س«, a©يøu الربع الò… تقع aي¬ a« الëا’ä الàالية: اإPا cاâf الزاوية المƒج

مثلث المرجع ) مثلث ا’إ�سناد (

ة : ة الU�îش عرفâ فيم� SشÑ≤ قيم الóوال المثلثية للزواي� الربعية وللزواي� الح�د

± مفهوΩ مثلث المرLع وRاوية المرLع ، ون�شــــتΩóî مفهوΩ مثلث المرLع في اإيé�د وفي هذا الÑنó نتعر

mة قواعóL óيóة لتعري∞ الóوال المثلثية ، ومن ثم ن�شــــتóîمه وRاوية المرLع مع� في اSشــــتنت�ê ق�عóةm ع�م

ــــة ; وذلك ب�إرL�عه� ة الU�îش لإيé�د قيم الóوال المثلثية لزاويةZ mير ربعيةm مرتÑطةm ب�إحió الزواي� الح�د

) ب�إSشن�ده� ( اإلى الزاوية المرتÑطة بـه�.

وب�لإفــــ�دة من هــــذه القواعó نوóL قيم الــــóوال المثلثية لزاويةm علمــــâ قيمة اإحió دوالـهــــ� المثلثية، وذلك

ة . اSشتكم�ل لóراSشتن� ال�ش�بقة لـهذا الموVشو´ في ح�لة الزاوية الح�د

bيº الدوال المثلثية



�شـكل ) 22-2 (�شـكل ) 23-2 (

وعليه يكون :

وحيث اأن النقطتين ، تقع�ن في الربع نف�شه، ف�إن ،

لـهم� الإ�ش�رة نف�شه� وكذلك ، لـهم� الإ�ش�رة نف�شه�.

اإذا اأنزلن� عمودا من على المحـور ال�شيني يقطعه في النقطة - كم� في ال�شكل ) 2 - 22 (– نح�شـل على

ى مثلث مرجـع الزاوية ) اأو مثلث اإ�سناد الزاوية هـ( المثلث الق�ئم الزاوية في ، والذي ي�شم

المرتبط بالنقطة ويكون طول وتره .

وفي الواقع اإذا اأخذن� ال�شكل )2 - 22( ومثلن� عليه النقطـة المثلثية للزاوية وهي ،

ثم اأنزلن� عمودا على المحور ال�شيني يقطعه في النقطة - كم� في ال�شكــل ) 2-23 ( - نـحـ�شـــــل

على المثلث الق�ئم الزاوية في ،ويكون المثلث�ن: ، مت�ش�بـهين )لم�ذا ؟ (

×´

،) (´



وبذلك نح�شل على الق�عóتين :

) 9-2 )

) 10-2 )

ومن ه�تين الق�عóتين نح�شل على القواعó الت�لية :

) 12-2 )

) 13-2 )

) 14-2 )

) 11-2 )

™Lôe مثلث ΩاóîشتS�ير الربعية بZ وال المثلثية للزاويةóد قيم ال�éب�إمك�نن� اإي íÑي�ش óوبـهذه القواعـ

الزاوية المرتÑ§ ب�لنقطة والذي طول وتره .

)6-2(

ةl لتعري∞ الóوال المثلثية لزاوية حيث هي النقطة اإن القواعó ال�شــــâ ال�شــــ�بقة هي قوعó ع�م

المرتÑ§ بـه� مثلث المرLع للزاوية والذي طول وتره ، وتكون هذه القواعó في اأب�ش§

Uشوره� عنóم� يكون ، وعنóه� تكون نقطة مثلثية للزاوية .



مثال )8-2(

πëال

نرSشم مثلث المرLع للزاوية المرتÑ§ ب�لنقطة ) 3 ، -4 (، كم� في ال�شكل ) 24-2 (

وحيث اأن

: وعليه ف�إن

اإذا

�شـكل ) 24-2 (

ºس�Qاa ,) 4- , 3 ( بالنقطة tائ¡ا يمر¡àfسلع اV ¿اcسع القيا�س« وVƒال »a mة¡ ا لزاويةm مƒج kيا�سb âfاc اPاإ

. : øم xπc يمةb اأوجد ºK مثلث المرجع للزاوية



مثال )9-2(

: øم xπc يمةb اأوجدa ¿اc اPاإ

ب�فتراV¢ اأن وحóة تكون ، ان¶ر ال�شكل ) 2 – 25 (

πëال

بفرV¢ اأن هي النقطة المرتÑ§ بـه� مثلث المرLع للزاوية يكون

بم� اأن اإذا

وبم� اأن

اإذا

; لأن في الربع الث�لث

: وعليه ف�إن

�شـكل ) 25-2 (

هـ



Rاوية المرجع ) Rاوية ا’إ�سناد (

ة المé�ورة للمحور ال�شـــيني بزاوية المرجع ى الزاوية الح�د فـــي اأيu مثلـــث مرLعm للزاوية ،ت�شـــم

) ا’إ�ســـناد ( للزاويـــة فمثـــÓ : فـــي ال�شـــكل ) 2 - 23 ( تكـــون Rاويـــة المرLـــع للزاويـــة هـــي

ة، ويمكن تعري∞ هذه الزاوية على النحو الت�لي: . الح�د

ة اإذا ك�نâ الزاوية Rاوية Zير ربعيةm في وVشعه� القي�Sشي وقي�Sشه� ه ف�إن الزاوية الحـ�د

ى Rاوية المرLــــع للزاوية المح�شــــورة بيــــن Vشــــلع انتهــــ�A الزاويــــة والمحور ال�شــــيني ت�شــــم

) اأو Rاوية المرLع للزاوية ه (. ويرمز له� ب�لرمز .

ت©ري∞ ) 2- 8(

وال�شكل )2 - 26( يÑيuن Rاوية المرLع في الح�لä المîتلفة – من حيث الموقع – للزاوية

التي قي�Sشه� الرئي�¢ .

في الربع الث�نيفي الربع الأول

في الربع الرابعفي الربع الث�لث

�شـكل ) 26-2 (



)7-2(

اإذا ك�نâ في الربع الأول

اإذا ك�نâ في الربع الث�ني

اإذا ك�نâ في الربع الث�لث

اإذا ك�نâ في الربع الرابع

مثال )10-2(

πëال

اأوجد Rاوية المرجع ´ للزاوية هـ a« وVس©¡ا القيا�س« xπc »a مø الëا’ä الàالية:

تقع في الربع الرابع

ان¶ر ال�شكل ) 27-2 (

تقع في الربع الث�ني


�شـكل ) 27-2 (

�شـكل ) 28-2 (



ر عن الزاوية بóللة Rاوية المرLع في كلx من الح�لä الت�لية: uÑع

القي�S¢ الرئي�¢

تقع في الربع الث�لث


تقع في الربع الأول


القي�S¢ الرئي�¢

�شـكل ) 29-2 (

�شـكل ) 30-2 (

)11-2( ÖيQتد



اإيéاد bيº الدوال المثلثية

في مثلث المرLع للزاوية المرتÑ§ ب�لنقطة والذي طول وتره ، يكون طول ال†شلع

المé�ور للزاوية م�ش�وي� وطول ال†شلع المق�بل لـه� م�ش�وي� وعليه يكون :

: ان¶ر �شكل ) 2 - 31 ( - وحيث اأن

: ومن ذلك نóé اأن

1

عنóم� تكون في الربع الأول اأو الرابع.

عنóم� تكون في الربع الث�ني اأو الث�لث.

2

عنóم� تكون في الربع الأول اأو الث�ني.

عنóم� تكون في الربع الث�لث اأو الرابع.

ة لإيé�د قيم الóوال المثلثية: وهكذا نتوUشل اإلى الق�عóة الت�لية والتي تعtó ق�عóة ع�م

) 15-2 )

ةm لزاوية ت�ش�وي قيمة الóالة المثلثية نف�شه� لزاوية المرLع ةm مثلثي قيمة اأيu دال

م�شÑوقة ب�إ�ش�رة هذه الóالة في الربع الذي تقع فيه الزاوية .

�شـكل ) 31-2 (

ف�إن



مثال )11-2(

πëال

اإPا cا¿ aاأوجـــد با�ســـîàداΩ القاYـــدb ) 15 - 2 ( Iيمـــة

. : øم xπc

، ب�أخذ المق�بل ، المé�ور

يكون الوتر

في الربع الث�ني

اأعó حل المث�ل ) 2 – 9 ( ب�SشتóîاΩ الق�عóة ) 2 – 15 (

)12-2( ÖيQتد

�شـكل ) 32-2 (

المق�بل

المé�ور

المق�بل

الوتر

المé�ور

هـ

الوتر



مثال )12-2(

πëال

اأوجد vÓc مø القيº الàالية, Mيث الزوايا الم©طاa I« وVس©¡ا القيا�س« :

تكون Rاوية المرLع ) لأن تقع في الربع الث�ني (

بفرV¢ اأن

يكون القي�S¢ الرئي�¢


بفرV¢ اأن

) لأن ه تقع في الربع الث�لث (تكون

بفرV¢ اأن



بفرV¢ اأن

) لأن ه تقع في الربع الث�لث (تكون

ل. u¶ودالة ال Ω�التم ÖيL ودالة Öيéمن دالة ال xقيم كل óLمن الزواي� المعط�ة في المث�ل ) 2 - 10 ( اأو xلكل

)13-2( ÖيQتد

ة الت�لية: ة ) 2 - 15 (، ا�شتق�¥ القواعó الU�îش وفي الواقع يمكنن� من الق�عóة الع�م

»fالربع الثا »a ة©bاƒالدوال المثلثية للزاوية ال IدYاb -k’اأو

) 16-2 )

: Óفمث

) 17-2 )

Kاfياb -kاYدI الدوال المثلثية للزاوية الƒاb©ة a« الربع الثالث



: Óفمث

) 18-2 )

: Óفمث

)8-2(

ل u¶اأن دالة ال ¢Vوذلك بفر iاأخر mاويةR لن� ب�لزاوية اأيóÑشتSشحيحة اإذا اU قىÑال�ش�بقة ت óاإن القواع

فة. معر

Kالثاb -kاYدI الدوال المثلثية للزاوية الƒاb©ة a« الربع الرابع

)14-2( ÖيQتد

اأعU óشي�Zة القواعó ال�ش�بقة في ح�لة اSشتóîاΩ القي�S¢ الóائري.

والBن على VشوA القواعó ) 2 - 3 ( ، ) 2 - 4 ( ، ) 2 - 18 ( يمكنن� اSشتنت�ê الق�عóة

: mاويةR uالت�لية لأي

: Óفمث

) 19-2 ) فة حيث معر

هـ

هـ

هـ



مثال )13-2(

πëال

با�سîàداΩ القƒاYد الùسابقة اأوجد vÓc مø القيº الàالية:

مثال )14-2(

πëال

: Qيمة المقداb اأوجد



اإذا قيمة المقóار

)9-2(

ن� لإيé�د قيم الóوال المثلثية للزاوية ة، ف�إن اإذا ك�نR âاوية المرLع للزاوية لي�شâ من الزواي� الU�îش

ن�شتΩóî الBلة الح�SشÑة.

ة يمكن اSشتóîامه� كذلك ف�لBلة الح�SشÑة التي اSشتóîمن�ه� Sش�بق� لإيé�د قيم الóوال المثلثية للزواي� الح�د

لإيé�د قيم الóوال المثلثية لأيR uاوية.

فمثÓ : لإيé�د ن�شتΩóî مف�تيí الBلة الح�SشÑة الBتية على التوالي:

في¶هر على ال�شـ��شة

فيكون

وعلى الرZم من كون اإيé�د هذه القيم ب�SشـــتóîاΩ الBلة الح�SشـــÑة اأمرا SشـــهÓ اإل اأنه يÑقى للقواعó ال�شـــ�بقة

ة. اأهميته� في اإيé�د قيم الóوال المثلثية للزواي� الU�îش



)15-2( ÖريóJ

ا�ستخدΩ االآلة الحا�سبة الإكمال الجدول التالي:

ájوGõdG

ádGódG

لمت قيمة اإحدى Oوالـها المثلثية oY mقيا�س زاوية Oاإيجا

ــــة فاإنه يمكننا اإيجاد لمâ قيمة اإحدi ن�شــــبها المثلثية، وفي الحالة العام oع mة �شــــب≤ لنــــا اإيجاد قيا�ص زاويةm حاد

ة، اأو بالإفادة من زاوية لمâ قيمة اإحدi دوالـها المثلثية مبا�شرة اإذا كانâ زاوية ربعي oع mقيا�ص اأي زاوية

≤ ال�شر• : ةm ، و�شنق�شر درا�شتنا على اإيجاد قيم التي تحق المرجع للزاوية اإذا كانâ زاوية Zير ربعي

) )

مثال )15-2(

الحل

: åـ حيg في كل مما يلي اأوجد قيمة

) زاوية ربعية (.

) )



في الربع الثاني اأو الرابع

اإذا كانâ في الربع الثاني

في الربع الثالث اأو الرابع

اإذا كانâ في الربع الثالث

اإذا كانâ في الربع الرابع

ا�شتîدمنا الBلة الحا�شبة لإيجاد قيمة وف≤ الطريقة التي �شب≤ لك درا�شتها وذلك على النحو التالي:

اإذا كانâ في الربع الرابع

)با�شتîدام الBلة الحا�شبة(

)16-2( ÖريóJ

حيثاأوجد قيمة اإذا علمâ اأن



التمثيل البياني لدالتي الجيب وجيب التمام

ح الكثير من خوا�ص هذه الدالة والتي �شندر�شها م�شتقبال – اإن �شاء اهلل تعالى – اإن التمثيل البياني للدالة المثلثية يو�ش

ف على التغيرات التي تحدث لـهذه الدالة عندما تكبر الزاوية اأو ت�شغر. كما يفيدنا في التعر

و�شنكتفي في هذا البند بتمثيل كل من دالة الجيب وجيب التمام.

التمثيل البياني لدالة الجيب �س جا �س

ا�شـــــتنادا اإلى اأن قيمة تمثل الإحـداثي ال�شـــــادي للنقـطة المثلثية للـزاوية ، وبمالحـظة

: الأ�شكال ) 2 – 33 ( ، ) 2 – 34 ( ، ) 2 – 35 ( ، ) 2 – 36 ( نجد اأن

1

2

�شـكل ) 33-2 (

�شـكل ) 34-2 (

3

�شـكل ) 35-2 (

)اأكمل الفراغ(



4

�شـكل ) 36-2 (

عليه فاإنه يمكننا الح�شول على منحني الدالة حيث بتمثيل نقا• الجدول

ة للزاوية وقيم المناXرة لـها. التالي والذي يبين بع†ص القيم الîا�ش

وذلك كما يلي:

�شـكل ) 37-2 (



�شـكل ) 38-2 (

وحيث اإن

ـــح في ـــه يمكننـــا تمثيـــل المنحنـــي ، وذلـــك بتكـــرار ر�شـــم المنحنـــي المو�ش فاإن

ال�شكل ) 2-37 ( فنح�شل على ال�شكل ) 38-2 (.

)قاعدة )4-2((

التمثيل البياني لدالة جيب التماΩ �س جتا �س

بالعودة اإلى الأ�شكال ) 2-33 ( ، ) 2-34 ( ، ) 2-35 ( ، ) 2-36 ( ومالحظة اأنه بتغير قيمة من �شفر

ـــا بدءا من اإلى تتغير قيمة ) والتي تمثل الإحـداثي ال�شـــيني للنقطة المثلثية للزاوية ( تناق�ش

ـــر مـــن اإلى ( حتى ت�شـــل اإلى العدد ) ( العـــدد ) ( وحتـــى العـــدد ) (. ثـــم تتزايـــد ) بتغي

.iة اأخر مر

وبتمثيل نقا• الجدول التالي:



يمكننا الح�شول على منحني الدالة حيث كما في ال�شكل ) 39-2 (.

ح في فاإنه يمكننا تمثيل المنحني ، ، وذلك بتكرار ر�شم المنحني المو�ش

ال�شكل ) 2-39 ( فنح�شل على ال�شكل ) 40-2 (.

) قاعدة ) 2-3 ( (وحيث اإن

�شـكل ) 39-2 (

�شـكل ) 40-2 (



)10-2(

يمكننا با�شــــتîدام التمثيل البياني للدالة المثلثية الح�شول على قيمm تقريبيةm لهذه الدالة للزواياالمîتلفة،

فمثال من ال�شــــكل ) 2-39 ( يمكننا اإيجاد قيمةm تقريبيةm للعدد باأن نن�شــــÅ عمودا على المنحني

من يقطع المنحني في نقطة ثم ن�شق§ من عمودا على المحور ال�شادي يقطعه في نقطة

Ü، يكون اإحداثيها ال�شادي هو القيمة التقريبية للعدد ) وهي هنا تقريبا (.

≤ من اأن مثل على ال�شـكل نف�شه كال من دالتي الجـيب وجـيب التمـام حيث ثم تحق

عندما

)18-2( ÖريóJ

)17-2( ÖريóJ

من ال�شكل ) 2-37 (، اأوجد قيمة تقريبية للعدد .



بيuن اأيvا من النقا• التالية gي نقطةl مثلثية:1

اإذا كانت نقطةk مثلثيةk للزاوية حيå , فاأوجد وبيuن اأن¬ توجد 2

ة قيمتان لقيا�س , Kم اأوجد في كلu مر

بيuن اأيvا من القيم التالية موجبkا واأيها �سالبkا:3

بدون ا�ستخداΩ االآلة الحا�سبة اأوجد اإن اأمµن قيمة كل من:4

اكتب قيم الدوال المثلثية ال�ست للزاوية في كل من االأTسµال التالية: 5

بيuن اأيvا من النقا• التالية gي نقطةl مثلثية:

(3-2) ø`jQم`اJ



8

اأوجد قيم الدوال المثلثية ال�ست اإذا كان �سلع االنتهاء للزاوية في الو�سع القيا�سي يمر بالنقطة:6

د

اأوجد قيم الدوال المثلثية الخم�س االأخرى في الحاالت التالية: 7

هـ

د

تقع في الربع الثاني


تقع في الربع الثالث

اإذا كان فاأوجد كال من:

اأوجد زاوية المرجع للزاوية في كل من الحاالت االآتية :9

هـ

ز

د

و

ح



ا يلي:10 بدون ا�ستخداΩ االآلة الحا�سبة اأوجد اإن اأمµن قيمة كل مـم

11: بدون ا�ستخداΩ االآلة الحا�سبة اأKبت اأن

ا يلي:12 با�ستخداΩ االآلة الحا�سبة اأوجد قيمة كل مـم

اإذا كانت زاوية تقع في الربع الثالå حيå فاأوجد:13

14: اأKبت اأن



ار�سم المنحني البياني للدالة:15






4-2 áثيs∏المث äا≤Hالمت£ا

ةl �شحيحةl لجميع تعلم من درا�شــــتك ال�شــــابقة اأن المتطابقة هي عالقةl ريا�شي

لنا العالقة الأ�شا�شية في ح�شاÜ المثلثات : قيم المتغير فيها، واإذا تاأم

ة. حيث زاويةl حاد

lشحيحة� lاأن هذه العالقة هي متطابقة اأي اأنها عالقة mب�شهولة èن�شتنت

lواقعة lهي نقطة mوذلك لأن النقطة المثلثية لأي زاوية ;

≤ معادلة على داFرة الوحدة، وهذا يعني اأن النقطة تحق

داFرة الوحـدة :

) 20-2 (

: وهكذا نجد اأن

1) 21-2 (

2) 22-2 (

ة الأولى في ح�شاÜ المثلثات. ى المتطابقة ) 2-20 ( بالمتطابقة الأ�شا�شي تo�شم

تين اأخريين. ن متطابقتين اأ�شا�شي ة التالية تت†شم والنظري

لأي زاوية هـ فاإن :

البرgان

1

ة الأولى على لحß اأنه يمكننا الح�شول على المتطابقة ) 2-21 ( بق�شمة Wرفي المتطابقة الأ�شا�شي

مترو∑ كتدريب للطالب.2

ن¶رية )1-2(


المتطابقات المثلثية

)11-2(

ى المتطابقــــات الثالث ال�شــــابقة بالمتطابقات االأ�سا�ســــية في ح�ســــاÜ المثلثــــات ; ذلك اأنه يمكن �شــــم oت

.iاأخر mة متطابقات ا�شتîدامها في اإثبات �شح

لإثبات �شحة متطابقةm مثلثيةm هنا∑ ثالث Wر¥:

1

2

ةm منا�شــــبةm نثبâ اأنه ي�شــــاوي الطريقــــة االأولــــ≈: ناأخذ اأحد Wرفي المتطابقة وباإجراء خطواتm ريا�شــــي

الطرف الBخر.

الطريقة الثانية: نثبâ اأن كال من الطرفين ي�شاوي مقدارا واحدا.

الطريقة الثالثة: ننطل≤ من متطابقةm معلومةm لن�شتنتè المتطابقة المطلوبة.

مثال )16-2(

الحل

اأKبت اأن

الطرف الأيمن

الطرف الأي�شر.

مثال )17-2(

الحل

ة المتطابقة اأKبت �سح


الطرف الأي�شر

اإذا الطرفان مت�شاويان.



مثال )18-2(

الحل

الطرف الأي�شر


ة المتطابقة ال�شابقة بدءا بالطرف الأيمن. اأثبâ �شح

)19-2( ÖريóJ

وفيمـــا يلـــي ن�ســـتخدΩ المتطابقات االأ�سا�ســـية في اإيجاO قيم الـــدوال المثلثية لزاويةm ما م©لـــوlΩ اإحدى قيم

Oوالـها المثلثية.

مثال )19-2(

الحل

فاأوجد قيمة كل مناإذا كان

بما اأن

اإذا

ة المتطابقة .اأKبت �سح



مثال )20-2(

الحل

نا اأهملنا القيمة ال�شالبة لأن ه في الربع الثالث ( ) لحß اأن

بما اأن

اإذا

بما اأن

اإذا

وحيث اأن تقع في الربع الثاني ) لماذا ? ( ، فاإن

.اإذا كانت الزاوية في الربع الثالå وكان , فاأوجد قيمة Kم اأوجد قيمة



مثال )21-2(

الحل

وبما اأن

اإذا

لأن في الربع الأول

وبما اأن

اإذا

)20-2( ÖريóJ

اأعد حل المثال ) 2-9 ( با�شتîدام المتطابقات الأ�شا�شية، ومن ثم قارن بين الطر¥ الثالث التي اأمكن بـها

حل هذا المثال من حيث ال�شهولة.

.فاأوجد قيمة كل مناإذا كان



ة كل من المتطابقات االآتية:1 اأKبت �سح

د

هـ

و

ز

ح

•

ي

∑

ة كل من المتطابقات االآتية:1 اأKبت �سح

(4-2) ø`jQم`اJ



م

ن

�ص

ل

2اإذا كان حيث فاأوجد قيمة كل من :



5اح�شب قيمة كل من: اإذا كان حيث

6اإذا كان اأوجد قيمة واإذا كان

فما قيمة كل من


الدوال المثلثية لµل من المجمو´ والØر¥

ثالث نق§ مثلثية للزوايا بفر�ص

قيا�ص قيا�ص

5-2¥ôØوال ´ƒالمجم øe xلµل áثيs∏الدوا∫ المث

ف �شي≠ الدوال المثلثية لمجمو´ زاويتين اأو في هذا الدر�ص نتعر

الفر¥ بينهما بدللة الدوال المثلثية للزاويتين ، ، وهذه ال�شي≠

Üة في ح�شــــا عــــرف بمتطابقات المجمو´ والفر¥ وتoعد من المتطابقات المهم oت

iالعديد من المتطابقات الأخر êشــــتند اإليها في ا�شــــتنتا� oه ي المثلثات ;ذلك اأن

كما �شنرi ذلك لحقا اإن �شاء اهلل تعالى .

الk – جيبo تماΩ كل من المجمو´ والØر¥ اأو

) لالWال´ فق§ (البرgان

: ومن ال�شكل ) 3-41 ( نجد اأن

: لأي زاويتين قيا�شاهما ، فاإن

) 23-2 (

�شـكل ) 41-2 (

متطابقان )لماذا ?(الوترين

ن¶رية )2-2(

على الترتيب تكون :



مثال )22-2(

اأوجد قيمة ) Oون ا�ستخداΩ االآلة الحا�سبة (.

=

°=°+°=°°–°°

=– **

الحل

نتيجة )4-2(

ى قاعدة الدوال المثلثية للزاوية يمكننا من النظرية )2-2( ا�شتنتاê القاعدة التالية وت�شم

: mوذلك لأي زاوية

) 24-2 ( ف0حيث qمعر

–


gôÑdGا¿

1( 2-2 ) ásjô¶f øe

من القاعدة ) 17-2 )

2: نا بدل من في المتطابقة الأولى ينتè اأن rاإذا و�سع

المتطابقة الثالثة تنتè مبا�سرة من المتطابقتين الأولى والثانية.3

gôÑdGا¿

: لأي زاويتين قيا�ساهما ، فاإن

: بو�سعp ) ( بدل من في المتطابقة ) 2-23 ( ينتè اأن

( 25-2 )

; من القاعدة )19-2)

الدوال المثلثية لكل من المجموع والØر¥

نظرية )3-2(


الوحدة الثانية

مثال (23-2(

الحل

اأوجد قيمة ( دون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة ).

ßM’.اأنه يمكننا كتابة: فنح�سل على النتيجة ال�سابقة نف�سها

تين التي �سبق درا�ستها في ومن الجدير بالذكر اأن العالقة بين جيب وجيب تمام زاويتين متتام

ة. ةl من النتيجة ) 2-5 ( عندما تكون زاوية حاد ر ريا�سيات )1( هي حالةl خا�س مقر

نتيجة )5-2(

ة ) 2-3 ( ن�ستنتè قاعدة الدوال المثلثية للزاوية ،لأي زاوية . من الن¶ري

( 26-2 ) ف. حيث معر

gôÑdGا¿

مترو∑ كتدريب للطالب.


ثانيا – جيب كل من المجموع والØر¥

: لأي زاويتين قيا�ساهما ، فاإن

1

2

( 27-2 )

( 28-2 )

gôÑdGا¿

مثال (24-2(

الحل

1


)? GPاªd(

اأوجد بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة قيمة المقدار:


نظرية )4-2(



تدريب (21-2(

اأكمل التالي:

ثالثا – Xل كل من المجموع والØر¥

: فا، فاإن لأي زاويتين قيا�ساهما ، بحيث يكون كلw من ، معر

1

2

( 29-2 )

( 30-2 )

حيث

حيث

gôÑdGا¿

من المتطابقتين ) 27-2 ( ، ) 23-2 )

1

نظرية )5-2(


وبق�سمة كل من الب�سط والمقام على ، حيث نح�سل على:


مثال (25-2(

الحل

بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة، اأوجد قيمة:




مثال (26-2(

الحل

فاأوجد قيمة كل من:

اإذا كان

لح�ساب القيم المطلوبة يلزمنا اإيجاد قيمة كل من:

: اأول- لإيجاد قيم الدوال المثلثية المطلوبة للزاوية نجد اأن

حيث زاوية المرجع للزاوية .المقابل

المجاور

باأخذ المقابل يكون المجاور فيكون الوتر

ثانيا- لإيجاد قيم الدوال المثلثية المطلوبة للزاوية نجد اأن :

المقابل

الوتر

حيث زاوية المرجع للزاوية .

الوتر

المجاور

المقابل

الوتر

تقع في الربع الثالث

�سـكل ) 42-2 )

ان¶ر ال�سكل ) 42-3 )


باأخذ المقابل يكون الوتر و يكون المجاور

تقع في الربع الثاني

الوتر

المجاور

المقابل

المجاور

اأو با�ستخدام قواعد مثلث اإيجاد القيم ال�سابقة با�ستخدام المتطابقات الأ�سا�سية ه يمكننا اأن

المرجع لكل من الزاويتين ،

ßM’

�سـكل )43-2 )

ان¶ر ال�سكل ) 43-2 )




تدريب (22-2(

اأوجد ) بدون ا�ستخدام الBلة الحا�سبة ( قيمة المقدار

تدريب (23-2(

ق زواياه العالقة ما نوع المثلث الذي تحق


بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة، اأوجد قيم الدوال الآتية:1

د

وهـ

زì

2: با�ستخدام متطابقات المجموع اأثبت اأن

3

4

في كل من الحالت الآتية، اأوجد قيمة كل من الدوال:5

حيث في الرب™ الأول. حيث

حيث في الرب™ الثالث. في الرب™ الثانيحيث

حيث في الرب™ الأول. في الرب™ الثالثحيث

اإذا كان حيث تق™ في الرب™ الأول فاأوجد قيمة

اإذا كان فاأوجد قيمة

بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة، اأوجد قيم الدوال الآتية:

(5-2) ø`jQÉ`ªJ




6اإذا كان ، فاأثبت اأن وذلك بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة،

على افترا�ض اأن ، زاويتان حادتان.

7اأثبت �سحة كل من المتطابقتين:


6-2É¡Ø°üfh ájhGõdG ∞©°†d á«ãs∏ãªdG ∫GhódG

انطالقــــا من متطابقــــات المجموع يمكننا الح�ســــول على �ســــي≠ مثلثية لدوال

، وتعــــرف هــــذه ال�ســــي≠ بمتطابقات ، �ســــع∞ الزاويــــة:

الم�ساعØات، ومنها يمكننا ا�ستنتاê �سي≠ مثلثية لدوال ن�س∞ الزاوية:

، ،

: لأي زاوية قيا�سها فاإن

1

2

3فة عليها هذه العالقة ، لجميع قيم المعر

( 31-2 )

( 32-2 )

( 33-2 )

gôÑdGا¿


1

2

الدوال المثلثية ل�سعف الزاوية ونüسØها

نظرية )6-2(



نتيجة )6-2(

ة الأولى نح�سل على المتطابقتين: من المتطابقة ، وبا�ستخدام المتطابقة الأ�سا�سي

( 34- 2)

( 35-2 )

، بدللة كما يلي: ومن هاتين المتطابقتين يمكننا كتابة �سي¨ة مثلثية لكل من

( 36-2 )

( 37-2 )

والBن اإذا ا�ستبدلنا بـ في المتطابقتين ) 2-36 ( ، ) 2-37 ( فاإننا نتو�سل اإلى الن¶رية التالية:

: لأي زاوية قيا�سها فاإن

1( 38-2 )

2( 39-2 )

3( 40-2 ) حيث

ى المتطابقات الثالç ال�سابقة بمتطابقات الأنüسا±. ت�سم

نظرية )7-2(


اإذا كان ،حيث فاأوجد قيمة كل من:

مثال (27-2(

الحل

بما اأن

فاإن

; لأن في الربع الثاني.

’ßM اأنه يمكن الح�سول على الجواب نف�سه با�ستخدام اأي من المتطابقتين ) 32-2 ( ، ) 35-2 ).

اأنه يمكن ا�ستخدام المتطابقة ) 2-33 ( لإيجاد وذلك بعد اإيجاد

;لأن

ßM’




) لماذا اخترنا القيمة الموجبة ? (

اأي اأن في الربع الأول

مثال (28-2(

الحل

áª«b óLhCG ) بدون ا�ستخدام الBلة الحا�سبة (.

بو�سع تكون

) لماذا اأهملنا القيمة ال�سالبة ? (

وبما اأن

اإذا


اكتب بدللة

مثال (29-2(

الحل

اأثبت �سحة المتطابقة:

مثال (30-2(

الحل

øe ( 2-31 ( ، )2 -32 )الطرف الأيمن

( 20-2 ) øe




) بق�سمة كل من الب�سط والمقام على جتاه (

الطرف الأي�سر


بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة، اأوجد قيمة كل من:1

د

وهـ

زì

اإذا كانت ، فاأوجد قيمة .2

اإذا كانت ، فاأوجد قيمة .3

اإذا كانت ، فاأوجد قيمة ، ، ، .4

اإذا كانت ، فاأوجد قيمة ، ، .5

اإذا كانت ، فاأوجد قيمة ، .6

اكتب بدللة ، واكتب بدللة ، 7

حيث

حيث

حيث


بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة، اأوجد قيمة كل من:1

(6-2) ø`jQÉ`ªJ



اأثبت �سحة كل من المتطابقات الآتية:9

د

،،برهن اأن :8


7-2¬YÓ°VCG ∫GƒWCGh ås∏ãªdG ÉjGhR äÉ°SÉ«b ø«H ábÓ©dG

،çتعلم اأنه لأي مثلث �ســــتة عنا�ســــر وهي اأطوال اأ�سالعه الثالثة وقيا�سات زواياه الثال

ة ثالثة عنا�ســــر منها، على اأن يكون اأحدها على الأقل �ســــلعا، ــــن المثلــــث بمعلومي ويتعي

ويكون حلt المثلث هو اإيجاد العنا�سر الثالثة الباقية.

وفي هذا الدر�ض �ســــنبحث عن العالقات بين قيا�ســــات زوايا المثلث واأطوال اأ�ســــالعه،

وانطالقا من هذه العالقات �ســــنتناول حل المثلث باأنواعه المختلفة ا�ســــتكمال لدرا�سة

حل المثلث قاFم الزاوية، وقبل ذلك يلزمنا ا�ستنتاê قانون م�ساحة المثلث بدللة طولي

�سلعين فيه والزاوية المح�سورة بينهما.

�سـكل ) 45-2 )

نا �سن�ستخدم الرموز ، وتجدر الإ�سارة هنا اإلى اأن

، للدللة على اأطوال اأ�سالع المثلث

المقابلة للزوايا ، ، على الترتيب.ان¶ر �سكل

( 44-2 )

م�ساحة المثلث بدللة طولي �سلعين فيه والزاوية المحüسورة بينهما

�سـكل ) 46-2 )

�سـكل ) 44-2 )

في كل من ال�سكلين ) 2-45 ( ، ) 2-46 ( اإذا كان هو طول الرتفاع النازل على

في فاإن م�ساحة هي

العالقة بين قيا�سات زوايا المثلث واأطوال اأ�سالعه



وعليه فاإن( 41-2 )

وكذلك فاإن( 42-2 )

ا واأي�س( 43-2 )

ــــلنا اإلى قانون م�ســــاحة المثلث بدللة طولي �ســــلعين فيه والزاوية المح�سورة بينهما وبذلك نكون قد تو�س

والذي ن�سوZه على النحو التالي:

م�ساحة اأي مثلث ت�ساوي ن�س∞ حا�سل �سرب طولي اأي �سلعين من اأ�سالعه في جيب

الزاوية المح�سورة بينهما.

مثال (31-2(

الحل

�سم�سماأوجد م�ساحة المثلث اإذا كان

م�ساحة

�سم

مثال (32-2(

الحل

مثلث متطابق ال�سلعين فيه �سم ، اأوجد م�ساحة .

�سـكل ) 2-47 )�سم

�سم

�سم

م�ساحة


تدريب (24-2(

: ا�ستخدم قانون م�ساحة المثلث بدللة طولي �سلعين فيه والزاوية المح�سورة بينهما لإثبات اأن

م�ساحة المثلث القاFم الزاوية ت�ساوي ن�س∞ حا�سل �سرب طولي �سلعي القاFمة. 1

م�ساحة المثلث المتطابق الأ�سالع والذي طول �سلعه �ض ت�ساوي .2

قانون الجيب

من العالقات ) 2-41 ( ، ) 2-42 ( ، ) 2-43 ( ن�سـتنتè اأنه في اأي مثلث تكون

م�ساحة المثلث

وبالق�سمة على نح�سل على العالقة :

( 44-2 )

( 45-2 )

وبالإفادة من خوا�ض التنا�سب نح�سل على �سورة اأخرى لهذه العالقة وهي:

ر ريا�سيا عن قانون يعرف بقانون الجيب والذي يمكن �سياZته على النحو اإن هذه العالقة - ب�سورتيها - تعب

التالي:

اأطوال اأ�سالع اأي مثلث تتنا�سب مع جيوب الزوايا المقابلة لـها.




مثال (33-2(

الحل

اإذا كان المثلث فيه �سم ، ، اأوجد .

) ا�ستخدمنا الBلة الحا�سبة لإيجاد الناتè (�سم

بما اأن من قانون الجيب

اإذا

قانون جيب التمام

ا حاد الزاوية في ، وليكن هو طول الرتفاع النازل من على ليكن المثلث مثلثـ

كما في ال�سكل ) 2 -48 )

: بتطبيق ن¶رية فيثاZورç على من الوا�سí اأن

فاإن

: بتطبيق ن¶رية فيثاZورç على وحيث اأن

( 46-2 )

، فاإننا نح�سل على العالقةوبما اأن

�سـكل ) 48-2 )


حيث يكون

ا �سبق نجد اأنه يمكننا كذلك ا�ستنتاê العالقتين: ومم

( 47-2 )

( 48-2 )

) لماذا ? (ويكون

وفي الحقيقة يمكننا الح�ســـول على العالقة ) 2-46 ( نف�ســـها في حالة كون المثلث منفرê الزاوية

في كما في ال�سكل ) 49-2 )

ر ريا�سيا عن قانون يعرف بقانون جيب التمام اإن العالقات الثالç ) 2-46 ( ، ) 2-47 ( ، ) 2-48 ( تعب

والذي يمكن �سياZته على النحو التالي:

مربع طول اأي �ســــلع في مثلث ي�ســــاوي مجموع مربعي طولي ال�سلعين الBخرين مطروحا منه �سع∞

حا�سل �سرب طولي هذين ال�سلعين في جيب تمام الزاوية المح�سورة بينهما.


�سـكل ) 49-2 )



مثال (34-2(

الحل

اأوجد .�سم ،�سم ،مثلثl فيه

�سم اإذا

العالقة ) 47-2 )

مثال (35-2(

الحل

اأوجد .مثلثl فيه �سم ،�سم ،�سم ،

: من العالقة ) 2-46 ( نجد اأن

)با�ستخدام الBلة الحا�سبة(. اإذا


حل المثلث

اأوجدنا في كل من الأمثلة ) 2-33 ( ، ) 2-34 ( ، ) 2-35 ( اأحد عنا�سر المثلث بمعلومية عنا�سر اأخرى فيه،

وذلك بالإفادة من قانوني الجيب وجيب التمام.

وفيما يلي ن�ستخدم هذين القانونين لحل المثلث في الحالت التالية:

حل المثلث اإذا علم فيه زاويتان وطول �سل™ : 1

في هذه الحالة نح�ســـب قيا�ض الزاوية الثالثة اأول ;بطرì مجموع قيا�ســـي الزاويتين المعلومتين من ثم

با�ستخدام قانون الجيب نح�سب طولي ال�سلعين الBخرين.

مثال (36-2(

الحل

العنا�سر المجهولة هي: ، ،

اإذا

،،حل المثلث الذي فيه

اإذا

�سماإذا

�سموكذلك

العالقة )2-45)وبما اأن


�سم



مثال (37-2(

الحل

حل المثلث اإذا علم فيه طول �سلعين وقيا�ض الزاوية المحüسورة بينهما : 2

ة اأخرى لح�ساب في هذه الحالة ن�ســـتخدم قانون جيب التمام لح�ســـاب طول ال�ســـلع الثالث، ثم ن�ســـتخدمه مر

قيا�ض اإحدى الزاويتين Zير المعلومتين ثم نطرì مجموع قيا�ســـي الزاويتين من لنح�ســـل على قيا�ض

الزاوية الثالثة.

،،حل المثلث الذي فيه

العنا�سر المجهولة هي: ، ،

بما اأن

اإذا

: ومن العالقة ) 2-47 ( نجد اأن

اإذا


مثال (38-2(

الحل

حل المثلث اإذا علpم اأطوال اأ�سالعه الثالثة 3

في هذه الحالة ن�ستخدم قانون جيب التمام لنح�سب قيا�سي زاويتين ثم نطرì مجموعهما من لنح�سل

على قيا�ض الزاوية الثالثة.

.çالعنا�سر المجهولة هي الزوايا الثال

،،حل المثلث الذي فيه �سم�سم�سم

: من العالقة ) 2-46 ( نجد اأن

اإذا

: وكذلك فاإن

اإذا




�سم�سم�سممثلثl فيه وم�ساحته . اأوجد .2

�سممثلثl فيه . اأوجد .3

�سممثلثl فيه . اأوجد .4

�سم�سمالمثلث فيه . اأوجد .5

�سم�سم�سممثلثl فيه . اأوجد .6

داFرةl طـول قطـرها �سم ، ، نüسـØا قطـرين فيها ، بحيث . 7

اأوجد طول الوتر .

اأوجد م�ساحة المثلث في كل من الحالت الآتية:1

.�سم�سم

.�سم�سم

�سم .�سم

حل المثلث في كل من الحالت الآتية:8

. �سم

. �سم

.�سم�سم

اأوجد م�ساحة المثلث في كل من الحالت الآتية:اأوجد م�ساحة المثلث في كل من الحالت الآتية:اأوجد م�ساحة المثلث في كل من الحالت الآتية:اأوجد م�ساحة المثلث في كل من الحالت الآتية:اأوجد م�ساحة المثلث في كل من الحالت الآتية:اأوجد م�ساحة المثلث في كل من الحالت الآتية:اأوجد م�ساحة المثلث في كل من الحالت الآتية:

(7-2) ø`jQÉ`ªJ


د

.

هـ�سم .�سم

.�سم�سم�سم ز

.�سم�سم�سمو

9اأثبت اأنه ل يمكن ر�سم المثلث حيث �سم �سم .

10اأوجـد قيا�ض زوايا متوازي الأ�سـالع الذي فيه �سم �سم

�سم .




íق عبر جبل من النقطة اإلى النقطة ، فر�ســـدت الم�ســـافة من النقطة على �ســـطØر نØيراد ح

الأر�ض اإلى كل من النقطتين ، Ü فكانت 524 م ، 231م على التوالي.

فاإذا كانت الزاوية فاأوجد طول النØق.

8-2

اأول- تطبيقات حياتية

äÉãs∏ãªdG ÜÉ°ùM äÉ≤«Ñ£J ¢†©H

ي�ستخدم ح�ساب المثلثات في تناول الكثير من التطبيقات الحياتية ) العملية (. وقد در�سنا

ا من هذه التطبيقات على حل المثلث القاFم وفيما يلي ندر�ض في مقرر ريا�سيات ) 1 ( بع�س

ا اBخر من التطبيقات الحياتية على حل المثلث حاد الزوايا اأو منفرê الزاوية. بع�س

ن�ســــتعر�ض في هذا الدر�ض بع�سا من التطبيقات الحياتية والهند�سية على ح�ساب

المثلثات .

ا للم�ســـاألة حيث ـــل ر�ســـما تو�ســـيحي ال�ســــكل ) 2-50 ( يمث

يمثل طول النفق.

با�ستخدام قانون جيب التمام يكون :

مثال (39-2(

الحل


مثال (40-2(

الحل

اإذا كان الموقـــ™ علـــى الأر�ـــض وكان الموقعـــان ، موقعيـــن متقابلين على TســـاطÄي نـهر ،

فاأوجد عر�ض النهر ، اإذا كـان يبعد عن ، ،

علمـا باأن الûسـاطÅ والأر�ض يûسكالن الم�ستوي نØ�سه.

ا للم�ساألة حيث يمثل عر�ض النهر. ال�سـكل ) 2-51 ( يمثل ر�سما تو�سيحي

اإذا طول النفق

�سـكل ) 50-2 )

�سـكل ) 51-3 )

بع�ض تطبيقات ح�ساÜ المثلثات



تعريف ) 2- 9(

ثانيا- تطبيقات هند�سية

زاوية ميل الم�ســـتقيم هي الزاوية التي ي�سنعها جزوؤه الواقع فوق المحور ال�سيني مع التجاه الموجب لمحور

ف باأنها �سفر. ال�سينات. وفي حالة كون الم�ستقيم اأفقيا فاإن زاوية ميله تعر

ق ال�سرط وهذا يعني اأن زاوية ميل الم�ستقيم ولتكن تحق

لحظ في ال�سكل ) 2-52 ( اأن زاوية ميل الم�ستقيم هي بينما زاوية ميل الم�ستقيم هي

ا زاوية ميل المحور ال�سادي فهي ) كذلك الأمر بالن�سبة واأن زاوية ميل المحور ال�سيني هي ، اأم

لأي م�ستقيم راأ�سي )يوازي المحور ال�سادي((.

-

عرفت �سابقا اأن ميل الم�ستقيم المار بالنقطتين هو

كما عرفت اأن �سـورة معـادلة الم�ستقيم بدللة الميل والجزء المقطوع من المحور ال�سادي هي

ى ر عن ميـــل الم�ســـتقيم بدللـــة زاوية ت�ســـم نـــا �ســـنعب وا�ســـتنادا اإلـــى مفهـــوم ظـــل الزاويـــة فاإن

ف على النحو التالي: زاوية ميل الم�ستقيم، وتعر

-

اإذا عر�ض النهر

با�ستخدام قانون الجيب يكون:


�سكل )52-2)

وبالن¶ر اإلى ال�سكل ) 53-2 )

نالحظ اأن زاوية ميل الم�ستقيم هي

واأن

) لماذا ? (ميل الم�ستقيم

وبذلك ن�سل اإلى النتيجة التالية:

�سكل )53-2)

ه اإذا كانت زاوية ميل الم�ستقيم هي فاإن ميله ميل الم�ستقيم ي�ساوي ظل زاوية ميله، اأي اأن

ويكون:

ة ل (.زاوية حاد ( = زاوية في الربع الأو 1

( = زاوية في الربع الثاني (.زاوية منفرجة 2

ف ( الم�ستقيم ل راأ�سي ).Zير معر 4

( الم�ستقيم ل اأفقي ). 3

نتيجة )7-2(




اأوجد ميل الم�ستقيم الذي زاوية ميله :

ميل الم�ستقيم

) با�ستخدام الBلة الحا�سبة (. ميل الم�ستقيم

مثال (41-2(

الحل

اأوجد زاوية ميل الم�ستقيم في كل من الحالتين التاليتين:

حيث زاوية المرجع لزاوية ت�ساوي

الم�ستقيم يمرt بالنقطتين ) 2 ، –3 ( ، ) 5 ، 3 ).

الم�ستقيم يمرt بالنقطتين )–2 ، 2 ( ، )–3 ، 3 ).

مثال (42-2(

الحل




مثال (43-2(

الحل

زاوية في الربع الثاني ; لأن

اإذا كانت زاوية ميل الم�ستقيم حيث فاأوجد ميل الم�ستقيم .


اأنه يمكن حل هذا المثال با�ســـتخدام المتطابقات الأ�سا�ســـية لح�ساب المثلثات وذلك على النحو

التالي:


عندما لأن

ßلح




اأوجد زاوية ميل اŸ�ستقيم الذي معادلته هي :

ل ; لأن زاوية في الربع الأو

مثال (44-2(

الحل

زاوية في الربع الثانى ; لأن


اlì يقف في نقطة النقطتين ، فاإذا كان: ر�سد م�س

اأوجد البعد بين النقطتين

1

قطعة اأر�ض مثلثة الûسـكل طول اأحد اأ�سالعها ، والزاويتان اللتان راأ�ساهما نـهايتا هذا ال�سل™ قيا�ساهما 2

. اأوجد طول ال�سور. ، ، يراد اإحاطتها ب�سور اإ�سمنتي

تان لبث الأمواê الال�سـلكية تقعان على TساطÅ بحر وتر�سالن اإTسـارات ل�سØينة في البحر تق™ على بعد3 محط

كم من اإحداهما، وعلى بعد كم من الأخرi، فاإذا كان قيا�ض الزاوية بين الإTسارتين ي�ساوي ،

تين وال�سØينة في م�ستو اأفقي واحد. تين علما باأن الûساطÅ م�ستقيمl والمحط فاأوجد البعد بين المحط

لإيجاد بعد �سخرة في البحر من نقطة على الûساطÅ قا�ض Tسخüضl الم�سافة من اإلى نقطة على

الûساطÅ فوجدها ووجد اأن ، فاأوجد بعد الüسخرة

عن النقطة .

4

اأوجد ميل الم�ستقيم الذي زاوية ميله في كل من الحالت التالية: 5

د


النقطتين ، فاإذا كان: اlì يقف في نقطة اlì يقف في نقطة ر�سد م�س اlì يقف في نقطة ر�سد م�س اlì يقف في نقطة ر�سد م�س 1 ، فاإذا كان: ، فاإذا كان:النقطتين ، فاإذا كان:ر�سد م�س

(8-2) ø`jQÉ`ªJ



اأوجد زاوية ميل الم�ستقيم في كل من الحالت التالية:6

ا يلي : 7 اأوجد ميل الم�ستقيم الذي زاوية ميله في كل مم

اأوجد زاوية ميل الم�ستقيم الذي معادلته هي:

اإذا كانت زاوية ميل الم�ستقيم هي وكانت

فاأوجد قيمة الثابت ك .

9

8

د

هـ

د


1

ة با�ستعمال المثلث القاFم الزاوية وهي: ة للزاوية الحاد فنا الن�سب المثلثية الفرعي عر 2

المجاور

المقابل

ا�ستخدمنا مثلث مرجع الزاوية المرتبط بالنقطة والذي طول وتره

في اإيجاد قاعدتين اأخريين لتعري∞ دالتي الجيب وجيب التمام وهما:

4

الوتر

المقابل

فنا دوال الجيب وجيب التمام وال¶ل للزاوية هة ، ومن ثم عر فنا النقطة المثلثية لزاوية موج عر

كالBتي:

3

الوتر

المجاور

لنا اإلى قواعداأخرى لتعري∞ باقي الدوال المثلثية. ومن ثم تو�س

فنا دوال القاطع وقاطع التمام وظل التمام. كما عر

حنا متى تكون في و�سع قيا�سي. منا كال من قيا�سيها العام والرFي�ض وو�س هة وقد فنا الزاوية الموج عر




مثلنا المنحني البياني لكل من دالة الجيب ودالة جيب التمام.6

ا�ستنتجنا المتطابقات الأ�سا�سية في ح�ساب المثلثات وهي:7

ة متطابقات مثلثية اأخرى. وا�ستخدمناها في اإثبات �سح

فا، ( وا�ستخدمنا القواعد التالية لإيجاد قيم الدوال المثلثية ) بفر�ض اأن معر

ة التالية:5 اأوجدنا با�ستخدام مثلث المرجع وزاوية المرجع القاعدة العام

قيمة اأي دالة مثلثية لزاوية ت�ساوي قيمة الدالة المثلثية نف�سها لزاوية المرجع م�سبوقة باإ�سارة هذه الدالة في

الربع الذي تقع فيه الزاوية .

ا با�ســـتخدام مثلث المرجع اأو 8 ة اإحدى قيم دوالهـــا المثلثية وذلك اإم اأوجدنـــا قيـــم الدوال المثلثيـــة لزاوية بمعلومي

ة اأو المتطابقات الأ�سا�سية . القاعدة العام


ا�ستنتجنا الدوال المثلثية لكل من المجموع والفرق وهي:9

ا�ستنتجنا متطابقات الم�ساعفات وهي:10

كما ا�ستنتجنا متطابقات الأن�ساف وهي:

حيث

فة عليها هذه العالقة. ، لجميع قيم المعر

رنا عن ميل الم�ستقيم بدللة ظل زاوية ميله. عب 13

ا من التطبيقات الحياتية على حل المثلث. ا�ستخدمنا قانوني الجيب وجيب التمام في حل المثلث ثم در�سنا بع�س 12

ا�ســـتنتجنا قانون م�ســـاحة المثلث بدللة طولي �ســـلعين فيه والزاوية المح�ســـورة بينهما، ثم ا�ستنتجنا اأنه في اأي مثلث

يكون : )قانون الجيب (

11

)قانون جيب التمام(كما يكون :



) اأو عالمة ( ) عن يمين ما يلي:1

�س™ عالمة (

اإذا كانت الزاوية في و�سع قيا�سي وقيا�سها ، فاإن القيا�ض الرFي�ض لها هو .

اإذا كانت نقطة مثلثية للزاوية الواقعة في الربع الرابع فاإن .

فا فاإن اإذا كان معر

اإذا كانت في الو�سع القيا�سي فاإن زاوية المرجع .

اإذا كانت حيث فاإن

اإذا كان فاإن

ا يلي:2 اختر الإجابة الüسحيحة في كل مـم

القيا�سان المختلفان للزاوية نف�سها هما



اإذا كانت في و�سع قيا�سي وقيا�سها فاإنها تقع في الربع.

اإذا كان في الو�سع القيا�سي فاإن الزاوية تقع في الربع

هـ

د

ي�ساوي

اإذا كانت تقع في الربع الرابع وكان فاإن ي�ساوي و

اإذا كانت فاإن ز

ìزاوية ميل الم�ستقيم المار بالنقطتين هي

الأول الثالث الرابع

الأول الثالث الرابع

ط

ي


حيثاإذا كان4

فاأوجد قيمة كل من

بدون ا�ستخدام الآلة الحا�سبة اأوجد قيمة كل من:5

د

اإذا كانت زاويتين حادتين وكان فاأثبت اأن 6

اإذا كان3

د

فاأوجد:

ة المتطابقات الآتية:7 اأثبت �سح

د


اإذا كان فاأوجد قيمة حيث8

حل المثلث في كل من الحالت الآتية:9

�سم

�سم

�سم�سم

�سم

�سم �سم

اأوجد محيط المثلث الذي فيه وم�ساحته �سم.11

متوازي اأ�سالع فيه اأوجد طول كل من 10

القطرين.

مثلث متطابق ال�سلعين زاوية الراأ�ض قيا�سها ، وطول كل من ال�سلعين المتطابقين .12

اح�سب قيمة لتكون م�ساحته .

ل 30 كم/ �ساعة، و�سرعة الثاني 40 كم/ �ساعة. فاأوجد 13 كا من مكان واحد، فاإذا كانت �سرعة الأو زورقان تحر

كهما علما باأن الزاوية بين اتجاهي حركتيهما ، البعد بين الزورقين بعد �ساعتين من لحظة تحر

ك في خط م�ستقيم. وكال منهما يتحر

اإذا كانت زاوية ميل الم�ستقيم ت�ساوي ، وزاوية ميل الم�ستقيم ت�ساوي . بين اأن 14

¢ShQó`dG

)3-1( المüسØوفـة

)3-2( جم™ المüسØوفات وطرحهاو�سربها

بعدد حقيقي

)3-3( �سرÜ المüسØوفات

دات )3-4( المحد

)3-5( المعكو�ض ال�سربي لمüسØوفة

)3-6( حل اأنظمة معادلت من الدرجة

دات الأولى با�ستخدام المحد

ظهـــرت فكـــرة الم�ســـفوفات علـــى يد

العالـــم البريطانـــي كيلـــي �ســــنة 1858م

حيث ا�سـتخدمها في تب�سـيط درا�سـة ن¶م

المعادلت من الدرجة الأولى، وقد تطورت

فكرة الم�سفوفات حتى اأ�سبحت مو�سوعا

ا له اأ�سـ�سه وقواعده وا�سـتخداماته ريا�سي

فـــي حل كثير من الم�ســــكالت الريا�ســـية

والحياتية.

لثاني∞ ا

ال�س

لثالثالعمود ا

äGO uó`ëªdGh äÉ``aƒØ°üªdG

Matrices and Determinants IóMƒdG

áãdÉãdG

n¿ƒµj r¿CG pIóMƒdG √òg pá`°SGQO nó©H ÖdÉ£dG nøe ™bƒàj

: r¿CG ≈∏ nY G kQOÉb

.áaƒØ°üªdG ± uô©oj -1

.äÉaƒØ°üªdG ´GƒfCG õu«ªoj -2

mIQƒ°üH má«Ø°Uh mäÉfÉ«H π«ãªàd äÉaƒØ°üªdG Ωóîà°ùj -3

. máª¶æe

, ™ªédG ) äÉaƒØ°üªdG ≈∏Y ásjôÑédG äÉ«∏ª©dG s…ôéoj -4

.( x»≤«≤M mOó©H áaƒØ°üe Üô°V , ìô£dG

.iôNCÉH káaƒØ°üe Üô°†j -5

.áãdÉãdGh á«fÉãdG áÑJôdG øe áaƒØ°üe IO uóëe óLƒj -6

áÑJôdG ø`e má`aƒ`Ø`°`ü`ª`d »`Hô`°`†`dG ¢`Sƒ`µ`©`ª`dG ó`Lƒ`j -7

.á«fÉãdG

øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe mä’OÉ©e áª¶fCG sπëj -8

.äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà`°SÉH

øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe mä’OÉ©e áª¶fCG sπëj -9

.äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH äGô«¨àe çÓK »ah

±GógC’G

»fÉãdG ∞

°üdG

ådÉãdG Oƒª©dG

170(2) äÉ«°VÉjQ

áãdÉãdG IóMƒdG

á```aƒ``Ø°üªdG

º«¶æàd πFÉ`°Sh øY åëÑdG Ωõ∏à````°SG ä’ÉéªdG ≈sà````°T »a É¡YƒæJh äÉeƒ∏©ªdG Iôãc s¿EG

äÉaƒØ°üªdG tó©oJh ,áLÉëdG óæY É¡eGóîà````°SG π u¡`°ùj mπµ````°ûH É¡¶ØMh äÉeƒ∏©ªdG √òg

ójhõàd á````°ù«FôdG Ö«dÉ````°SC’G øe tó©J Éªc ,É¡ª«¶æJh äÉeƒ∏©ªdG ¢VôY »a kádÉ s©a kIGOCG

áª∏c ™ªL äÉaƒØ```°üªdGh .¬H á``` s°UÉîdG èeGôÑdG π```ªYh äÉeƒ∏©ªdÉH »```dB’G Ö````°SÉëdG

,á«Lƒdƒ«ÑdG Ωƒ∏©dG π```ãe mIô«ãc mΩƒ∏Y »a ¬à«ªgCG RôÑJ w»```°VÉjQ lΩƒ¡Øe »gh áaƒØ```°üe

á`°Sóæ¡dGh ,AÉjõ«ØdGh ,AÉ°üME’G º∏Yh ,OÉ°üàb’G º∏Yh ,¢ùØædG º∏Yh ,´ÉªàL’G º∏Yh

. á«fhôàµdE’G áÑ`°SÉëdG ä’B’G Ö«côJ »ah É¡YGƒfCÉH

äGQÉÑàN’G óMCG »a ø∏°üM ºjôeh áªWÉah á`°ûFÉYh ÖæjR :äÉÑdÉ£dG s¿CG ¢VôØæd

, 72, 85 , ó«MƒàdG I sOÉe »a 88 , 70, 84 ,75 :Ö«JôàdG ≈∏Y á«JB’G äÉ`LQódG ≈∏Y

s¿CG ßMÓJ ∂∏©d AÉjõ«ØdG I sOÉe »a 84, 58, 76, 60, äÉ«°VÉjôdG I sOÉe »a 90, 63

OGOõjh ,É¡æ«H áfQÉ≤ªdG hCG Égô tcòJ ≈∏Y G kô«ãc óYÉ`°ùj ’ äÉeƒ∏©ªdG √ò¡d ¢Vô©dG Gòg

¿CG øµªªdG øeh á«````°SGQódG OGƒªdG OóYh äÉÑdÉ£dG OóY IOÉjõH káHƒ©```°U ôeC’G Gòg

:»JB’Éc mπ«£à`°ùe m∫hóL »a káª s¶æe äÉeƒ∏©ªdG √òg ¢Vô©J

ÖæjRá°ûFÉYáªWÉaºjôe

ó«MƒàdG75847088

äÉ«°VÉjôdG85726390

AÉjõ«ØdG60765884

áÑdÉ£dG

I sOÉe áLQO

áaƒØ°üªdG

º«¶æàd πFÉ`°Sh øY åëÑdG Ωõ∏à````°SG ä’ÉéªdG ≈sà````°T »a É¡YƒæJh äÉeƒ∏©ªdG Iôãc s¿EG

1-3

171 (2) äÉ«°VÉjQ

∫ shC’G Oƒª©dG»fÉãdG Oƒª©dGådÉãdG Oƒª©dG™HGôdG Oƒª©dG

∫ shC’G ∞ s°üdG75847088

»fÉãdG ∞ s°üdG85726390

ådÉãdG ∞ s°üdG60765884

äÉLQO øe ¿ sƒµàj »```fÉãdG ∞``` s°üdGh ó«MƒàdG I sOÉe »a äÉÑdÉ£dG äÉ```LQO øe ¿ sƒ```µàj ∫ shC’G ∞``` s°üdÉa

,AÉjõ«ØdG I sOÉe »a äÉÑdÉ£dG äÉLQO øe ¿ sƒµà«a ådÉãdG ∞``` s°üdG É seCG ,äÉ«```°VÉjôdG IOÉe »a äÉÑdÉ£dG

øe ¿ sƒµàj »fÉãdG Oƒª©dGh ,É k©e çÓãdG OGƒªdG »a ÖæjR áÑdÉ£dG äÉLQO øe ¿ sƒµàj ∫ shC’G Oƒª©dG s¿CG Éªc

»a áªWÉa áÑdÉ£dG äÉLQO øe ¿ sƒµàj ådÉãdG Oƒ```ª©dGh ,É k©e çÓãdG OGƒªdG »a á````°ûFÉY áÑdÉ£dG äÉLQO

.É k©e çÓãdG OGƒªdG »a ºjôe áÑdÉ£dG äÉLQO øe ¿ sƒµà«a ™HGôdG Oƒª©dG É seCG ,É k©e çÓãdG OGƒªdG

:»JB’Éc G kQÉ°üàNG ôãcCG mIQƒ°üH á≤HÉ`°ùdG äÉeƒ∏©ªdG áHÉàc Éææµªjh

( äÓNóe ) hCG ô```°UÉæY áaƒØ°üªdG É¡æe ¿ sƒµàJ »àdG OGóYC’G ≈ sª````°ù oJh áaƒØ```°üe IQƒ```°üdG √òg ≈ sª````°ù oJh

ådÉãdG Oƒª©dGh »fÉãdG ∞ s°üdG »a ™≤j …òdG ô°üæ©dG kÓãªa láæ s«©e lád’O É¡«a mô```°üæY uπµd ¿ƒµjh ,áaƒØ```°üªdG

.äÉ«°VÉjôdG I sOÉe »a áªWÉa áÑdÉ£dG áLQO ≈∏Y t∫ój 63 ƒgh

. mIóªYCG á©HQCGh m±ƒØ°U áKÓK »a káY sRƒe G kô°üæY 12 áaƒØ°üªdG √òg ô°UÉæY OóY s¿CG ßM’

.á©HQCG »a áKÓK :CGô≤oJh 4 × 3 áÑJôdG øe láaƒØ°üe É¡sfEG :∫É≤oj Gòd

(1 -3) ∞jô©J

mπ«£à`°ùe m∫hóL »a káÑJôe ,G kô°üæY Ω øe m∞sdDƒe x…OóY mº«¶æJ øY IQÉÑY áaƒØ°üªdG

. , Ω å«M G kOƒªY ,É vØ°U Ω øe m¿ sƒµe

á```aƒ``Ø``°üªdG

á©HQCGh m±ƒØ```°U áKÓK - , mIóªYCGh m±ƒØ```°U πµ````°T ≈∏Y ≥HÉ````°ùdG ∫hóédG »a äÉeƒ∏©ªdG ÉæÑJQ Éæ sf CG

:»JCÉj Éªc - mIóªYCG

ßM’



1

2

3

4

(1-3)

.ás«≤«≤◊G OGóYC’G áYƒª› ¤EG »ªàæJ ÜÉàµdG Gòg ‘ máaƒØ°üe u…CG ô°UÉæY

.äÉfÉ«ÑdG º«¶æàd má≤jôW Oô› É¡æµdh ájOóY áª«b É¡`d ¢ù«d áaƒØ°üŸG

. IóªYC’G OóY ±ƒØ°üdG OóY áaƒØ°üe u…CG ô°UÉæY OóY

Ég ô°UÉæY OóY s¿EÉa ; IóªYC’G øe É¡dh ±ƒØ°üdG øe Ω É¡`d áaƒØ°üŸG âfÉc GPEÉa

G kô°üæY

.IóªYC’G OóY πÑb É kªFGO ±ƒØ°üdG OóY ô¡¶j áaƒØ°üŸG áÑJQ ‘

(2 -3 ) ∞jô©J

É kaƒØ°U …ƒàëJ âfÉc GPEG ,¿ƒf »a º«e :CGô≤Jh áÑJôdG øe áaƒØ°üªdG s¿EG ∫ƒ≤f

. , å«M , áaƒØ°üe É¡sf EG G kQÉ°üàNG ∫ƒ≤fh , ÉgOóY kIóªYCGh ÉgOóY

áHÉàµH ∂dP øY ô uÑ©fh

:πãe w§N ¬àëJ m±ôëH áaƒØ°üª∏d õeôæ`°S

(1-3) ∫Éãe

.( 1-3 ) ∞jô©àdG Ö`°ùM áaƒØ°üe øY IQÉÑY ƒg á«dÉàdG ájOó©dG äÉª«¶æàdG øe vÓc s¿EG

173 (2) äÉ«°VÉjQ


.IóªYCG áKÓKh ø«Ø°U »a áÑJôe ô°UÉæY áà`°S øe áf sƒµe áaƒØ°üªdG s¿CG

∫ shC’G Oƒª©dG ô°UÉæY Éªæ«H 4 , -2 , 3 »g »fÉãdG ∞ s°üdG ô°UÉæYh -1 , 3 , 2 »g ∫ shC’G ∞ s°üdG ô°UÉæY s¿EG

( 2-3) ∞jô©àdG Ö`°ùMh 4 , -1 »g ådÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæYh -2 , 3 »g »fÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæYh 3 , 2 »g

. 3 = , 2 = Ω å«M 3 × 2 áÑJôdG øe áaƒØ°üe s¿EG :∫ƒ≤f

, 2 = , 3 = Ω å«M 2 × 3 áÑJôdG øe áaƒØ°üe ¿ƒµJh

, 4 = , 1 = Ω å«M 4 × 1 áÑJôdG øe áaƒØ°üe

.( ? GPÉªd ) 2 × 2 áÑJôdG øe »¡a áaƒØ°üªdG É seCG

. , , :äÉaƒØ°üªdG øe xπµd IóªYC’Gh ±ƒØ°üdG ô°UÉæY øu«Y ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG »a

:á«dÉàdG äÉaƒØ°üªdG øe xπc »a ô°UÉæ©dG OóY Ée

12 × 12 áÑJôdG øe áaƒØ°üe 8 × 7 áÑJôdG øe áaƒØ°üe

× áÑJôdG øe áaƒØ°üe × Ω áÑJôdG øe áaƒØ°üe

(1-3) ÖjQóJ

áaƒØ°üª∏d á seÉ©dG IQƒ°üdG

á seÉ©dG IQƒ°üdG ≈ sª`°ù oJ »àdGh á«dÉàdG IQƒ°üdG ≈∏Y Öàµf Éæ sf EÉa × Ω áÑJôdG øe áaƒØ°üe âfÉc GPEG

. áaƒØ°üª∏d

1

3

2

4

»fÉãdG ∞°üdGådÉãdG Oƒª©dG

ßM’



(3-3) ∫Éãe

πëdG

»g ∫ shC’G ∞ s°üdG ô°UÉæY s¿EG å«M

óMGh , ... ,´ óMGh , ... ,áKÓK óMGh ,¿ÉæKG óMGh ,óMGh óMGh :CGô≤oJh

: kÓãªa ,É k«fÉK Oƒª©dG Ö«JôJ sº oK k’ shCG ∞ s°üdG Ö«JôJ Öàµf Éæ sfCG ßM’

∞``` s°üdG »a OƒLƒªdG ô```°üæ©dG ƒg 13 Éªæ«H ,ådÉãdG Oƒ```ª©dGh ∫ shC’G ∞``` s°üdG »a Oƒ```LƒªdG ô```°üæ©dG ƒ```g 31

s¿CG »æ©j Gògh ,∫ shC’G Oƒª©dGh ådÉãdG

ΩGóîà`°SÉHh ,ΩÉ©dG ô°üæ©dÉH »æ«©dG Oƒª©dGh …OÉ°üdG ∞ s°üdG »a OƒLƒªdG ô°üæ©dG ƒgh ô°üæ©dG » uª`°ùf

:»dÉàdG ƒëædG ≈∏Y mIô°üàîe má≤jô£H áaƒØ°üªdG áHÉàc øµªj ô°üæ©dG Gòg

:Öàµfh É kahô©e ∂dP ¿Éc GPEG áaƒØ°üªdG áÑJQ áHÉàc øY AÉæ¨à`°S’G øµªjh

(2-3) ∫Éãe

:Öàµfh É kahô©e ∂dP ¿Éc GPEG áaƒØ°üªdG áÑJQ áHÉàc øY AÉæ¨à`°S’G øµªjh

âfÉc GPEG

. ô°UÉæ©dG ™«ªL º«b øu«©a

s¿EÉa 3 × 2 áÑJôdG øe áaƒØ°üªdG s¿CG ÉªH

:»g º«b â`°S ¬d s¿EÉa »dÉàdÉHh

πëdG

3 × 4 áÑJôdG äGP áaƒØ°üª∏d á seÉ©dG IQƒ°üdG ÖàcG

175 (2) äÉ«°VÉjQ

(3 -3 ) ∞jô©J

≥ s≤ëJ (1)

GPEG §≤ah GPEG Öàµfh ¿ÉàjhÉ`°ùàe Éª¡`fCG ø«àaƒØ°üª∏d ∫É≤j

:É k©e ¿É«dÉàdG ¿ÉWô°ûdG

.É¡`°ùØf áÑJôdG Éª¡æe xπµd

.( »a ™°VƒdG »a √ô«¶f …hÉ`°ùj »a ô°üæY πc ) º«b ™«ªéd

1

2

(4-3) ∫Éãe

πëdG

å«M , s¿CG âª∏Y GPEG º«b øu«Y

: s¿CG óéf ø«àaƒØ°üe …hÉ`°ùJ ∞jô©J øe

(2-3) ÖjQóJ

: ¿Éc GPEG ¢S áª«b óLhCG

(1)




äÉaƒØ°üªdG ´GƒfCG ¢†©H

á∏«£à`°ùªdG áaƒØ°üªdG

á©HôªdG áaƒØ°üªdG

,É¡`JóªYCG OóY …hÉ`°ùj É¡aƒØ°U OóY s¿CG …CG ( áÑJôdG øe G kQÉ°üàNG hCG ) áÑJôdG øe láaƒØ°üe »g

áaƒØ°üª∏d »°SÉ`°SC’G ô£≤dG ô°UÉæ©H á© sHôªdG áaƒØ°üªdG »a IQƒ°üdG ≈∏Y »àdG ô°UÉæ©dG » uª`°ùfh

áaƒØ°üªdG »a kÓãªa

»g »°SÉ`°SC’G ô£≤dG ô°UÉæY ¿ƒµJ

.áaƒØ°üª∏d »°SÉ`°SC’G ô£≤dG ≈ sª`°ù oj ô°UÉæ©dG √ò¡`H tôªj …òdG ô£≤dGh

áaƒØ°üªdG s¿EÉa É¡«a ¿ƒµJ »àdG ádÉëdG »ah . å«M áÑJôdG øe láaƒØ°üe »g

s¿EÉa ¿ƒµJ ÉeóæYh áÑJôdG øe »g ∞ s°üdG áaƒØ°üe s¿CG …CG , x∞°U áaƒØ°üe ≈ sª`°ù oJ

áÑJôdG øe »g Oƒª©dG áaƒØ°üe s¿CG …CG , mOƒªY áaƒØ°üe ≈ sª`°ù oJ áaƒØ°üªdG

177 (2) äÉ«°VÉjQ

ájô£≤dG áaƒØ°üªdG

¿ƒµ«a ,»°SÉ°SC’G ô£≤dG ≈∏Y á©bGƒdG ô°UÉæ©dG GóYÉe ,QÉØ°UCG Égô°UÉæY ™«ªL lá© sHôe láaƒØ°üe »g

.ôØ°ü∏d G kôjÉ¨e πbC’G ≈∏Y ÉgóMCG

IóMƒdG áaƒØ°üe

É¡`d õeôojh .G kóMGh …hÉ`°ùJ ( ô°UÉæ©dG …CG ) »°SÉ`°SC’G Égô£b ô°UÉæY ™«ªL lájô`£b láaƒØ`°üe »g

.¢SÉÑàd’G ¢ûîf ºd GPEG õeôdÉH hCG õeôdÉH

õeôjh . áÑJôdG øe âfÉc GPEG õeôdÉH É¡`d õeôojh QÉØ`°UCG Égô`°UÉæY ™«ªL láaƒØ°üe »g

.¢SÉÑàd’G ¢ûîf ºd GPEG õeôdÉH hCG áÑJôdG øe âfÉc GPEG õeôdÉH É¡`d

ájôØ°üdG áaƒØ°üªdG

(5-3) ∫Éãe

3 × 2 áÑJôdG øe á∏«£à`°ùe áaƒØ°üªdG

5 × 1 áÑJôdG øe ∞°U áaƒØ°üe áaƒØ°üªdG

1 × 3 áÑJôdG øe OƒªY áaƒØ°üe áaƒØ°üªdG

,áãdÉãdG áÑJôdG øe hCG 3 × 3 áÑJôdG øe á©sHôe áaƒØ°üe áaƒØ°üªdG

Égô£b ô°UÉæYh 6 , 2 , 3 »g »°SÉ`°SC’G Égô£b ô°UÉæY

7 , 2 , 5 »g ( …ƒfÉãdG ) ôNB’G




»°SÉ°SC’G Égô£b ô°UÉæY áãdÉãdG áÑJôdG øe ájô£b áaƒØ°üe áaƒØ°üªdG

»g

:äÉaƒØ°üªdG øe wπc

»g Ö«JôàdG ≈∏Y ÉgRƒeQh IóMh áaƒØ°üe »g

:äÉaƒØ°üªdG øe wπc

»g Ö«JôàdG ≈∏Y ÉgRƒeQh ájôØ°U áaƒØ°üe »g

.iôNC’G øY ∞∏àîJ É¡æe mIóMGh sπc s¿CG ßM’

(3-3) ÖjQóJ

:»∏j Éª«a CÉ£îdG øu«Ña å«M káaƒØ°üe âfÉc GPEG

ô°UÉæ©dG øe ¿ sƒµàj lô£b áaƒØ°üªdG √ò¡`d

lájôØ°U láaƒØ°üe å«M …hÉ`°ùJ É¡sfEÉa kájôØ°U káaƒØ°üe âfÉc GPEG

179 (2) äÉ«°VÉjQ

1»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG

:»dÉàdG ∫hóédG

Ü`LO

06570211

Ü6504622

`L70460185

O211221850

.äÉeƒ∏©ªdG √òg πuãªJ káaƒØ°üe ÖàcG -k’ shCG

:»∏j Ée óLhCG k’ shCG »a áHƒ∏£ªdG áaƒØ°üªdG »g s¿CG ¢VôØH -Ék«fÉK

1

?∂dP »æ©j GPÉeh

?∂dP »æ©j GPÉeh

? ø«H ábÓ©dG »g Ée

áaƒØ°üª∏d »fÉãdG ∞ s°üdG ô°UÉæY ™«ªL ÖàcG

áaƒØ°üª∏d »fÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæY ™«ªL ÖàcG

? g , O øe ¬LÉàæà`°SG øµªj GPÉe

?ÖÑ`°ùdG AGóHEG ™e ßMÓJ GPÉeh ÉeóæY óLhCG

:»∏j Ée πªcCG

º«b ™«ªéd áÑJôdG øe áaƒØ°üe

?’ ΩCG ΩÉY mπµ`°ûH äÉaƒØ°üªdG ≈∏Y ≥Ñ£æJ ’ áæs«©e x¢UGƒîH ™sàªàJ áaƒØ°üe »g s¿CG ßMÓJ πg

Ü

`L

O

`g

h

R

ì

•

2

»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG»a káë s°Vƒe ø«àæjóe u…CG ø«H äGôàeƒ∏«µdÉH áaÉ`°ùªdG âfÉc GPEG »g ¿óe ™HQCG

(1-3) ø`jQÉ`ªJ




2: »`∏j Ée ø«ªj øY áeÓY hCG áeÓY ™°V

áÑJôdG øe máaƒØ°üe ô°UÉæY OóY …hÉ`°ùj áãdÉãdG áÑJôdG øe máaƒØ°üe ô°UÉæY OóY

3: ¿Éc GPEG »JCÉj É sª`e xπc »a π«gÉéªdG º«b óLhCG

Ü

`L

181 (2) äÉ«°VÉjQ

4

5

`g

O

O`G

150150

Ü150100

`L20100

(2) ∫hóL (1) ∫hóL

¤EG `L , Ü , ¿óŸG øe äÓ∏¡`dÉH Ió`MGƒdG á≤«bódG ‘ á«ØJÉ¡`dG äÉŸÉµŸG QƒLCG uÚÑj (1) ∫hó÷G

øe äÓ∏¡`dÉH IóMGƒdG á≤«bódG ‘ á«ØJÉ¡`dG äÉŸÉµŸG QƒLCG πuãÁ (2) ∫hó÷Gh g , O ÚàæjóŸG

. ng, nO ÚàæjóŸG ¤EG n`L , nÜ , ¿óŸG

.Égô°UÉæY OóYh É¡àÑJQ uÚHh (1) ∫hó÷G øY uÈ©J »àdG áaƒØ°üŸG ÖàcG

.(2) ∫hó÷G øY uÈ©J »àdG áaƒØ°üŸG ÖàcG

øe xπc º«b óLhCÉa s¿CG âª∏Y GPEG

≈∏Y `g :»g ∫shC’G ∞ s°üdG ô°UÉæY s¿CGh , áaƒØ°üe s¿CG âª∏Y GPEG áaƒØ°üªdG ÖàcG

å```dÉãdG ∞s ``°üdG ô``°UÉæY s¿CGh ,Ö``«JôàdG ≈∏Y :»g »fÉãdG ∞ s°üdG ô°UÉæYh ,Ö«JôàdG

∞ s°üdG ô°UÉæY »g ™HGôdG ∞ s°üdG ô°UÉæY Éªæ«H , »a mô°üæY uπc Üô°V ó©H ¬°ùØf ∫ shC’G ∞ s°üdG ô°UÉæY »g

. »a mô°üæY uπc Üô°V ó©H ¬°ùØf »fÉãdG




6

( ) á`Yƒªée( Ü ) á`Yƒªée

∞°U áaƒØ°üe

OƒªY áaƒØ°üe

ájôØ°U áaƒØ°üe

ájô£b áaƒØ°üe

IóMh áaƒØ°üe

áãdÉãdG áÑJôdG øe á©sHôe áaƒØ°üe

2 × 2 áÑJôdG øe á©sHôe áaƒØ°üe

1

2

3

4

5

6

7

1 1

1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

4 × 1 áÑJôdG øe áaƒØ°üe

:»JCÉj É sªY ÖLCÉa âfÉc GPEG

?π«∏©àdG ™e lá©sHôe láaƒØ°üe πg

.»°SÉ°SC’G Égô£b ô°UÉæY ÖàcÉa ká©sHôe káaƒØ°üe âfÉc GPEG

?π«∏©àdG ™e ká∏«£à`°ùe káaƒØ°üe íÑ°üJ π¡a ,QÉØ°UCG É¡s∏c »a ådÉãdG ∞ s°üdG ô°UÉæY s¿CG Éæ°Vôa ƒd

?IóMh áaƒØ°üe s¿EG ∫ƒ≤f ≈àeh ?ájô£b láaƒØ°üe s¿EG ∫ƒ≤f ≈àe

7

mIQÉÑY ≈∏Y π°üëàd ; »a Ö°SÉæªdG ºbôdG ™°VƒH ( Ü ) áYƒªéªdG øe É¡Ñ°SÉæj Ée ( ) áYƒªéª∏d ôàNG

: áë«ë°U

183 (2) äÉ«°VÉjQ

راسي األول الفصل الد

عبداهللاأحمد

äÉ«°VÉjôdG4543

AÉjõ«ØdG3831

x»≤«≤M mOó©H É¡`Hô°Vh É¡MôWh äÉaƒØ°üªdG ™ªL

π```°üØ∏d AÉjõ«ØdGh äÉ«```°VÉjôdG u»JOÉe »```a ˆGóÑYh óªMCG ø```e xπc äÉ```LQO s¿CG ¢```VôØH

:»∏j Éªc »fÉãdG »`°SGQ uódG π°üØdGh ∫ shC’G »`°SGQ uódG

راسـي الثاني الفصل الد


4746

4135

ƒg ø«s«`°SGQódG ø«∏°üØdG »a ˆGóÑYh óªMCG äÉLQO ´ƒªée s¿EÉa


äÉ«°VÉjôdG47 + 4546 + 43

AÉjõ«ØdG41 + 3835 + 31

º````````````

°S’G

OGƒ```````

``ª``dG

2-3

º````````````

°S’G

OGƒ```````

``ª``dG

:»∏j Ée áHÉàc Éææµªj äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà`°SÉHh

∫ shC’G »`°SGQ uódG π°üØdG äÉLQO áaƒØ°üe

»fÉãdG »`°SGQ uódG π°üØdG äÉLQO áaƒØ°üe

x»≤«≤M mOó©H É¡Hô°Vh É¡MôWh äÉaƒØ°üªdG ™ªL

äÉaƒØ°üªdG ™ªL



áÑJôdG øe Éª¡æe πc ø«àaƒØ°üe âfÉc GPEG

»gh É¡`°ùØf áÑ`JôdG øe áaƒØ`°üe ƒg Éª¡Yƒª`ée s¿EÉa

å«M

(4 -3 ) ∞jô©J

(6-3) ∫Éãe

123

âfÉc GPEG

:øe vÓc – øµeCG ¿EG – óLhCÉa

áÑJôdG øe ÉàfÉc GPEG §≤ah GPEG ø«àaƒØ°üe u…CG ™ªL ™«£à°ùf Éæ sf CG »æ©j ∞jô©àdG Gòg s¿EG

:IQƒ°üdÉH Éª¡Yƒªée Öàµf ¿CG Éææµªj mòÄæ«Mh É¡`°ùØf

øjôXÉæàªdG øjô°üæ©dG ´ƒªée ƒg É¡«a ô°üæY πc É¡`°ùØf áÑJôdG øe IójóL áaƒØ°üe ≈∏Y π°üëf ÉæsfCG …CG

»a ™°VƒdÉH

ø«s«`°SGQ uódG ø«∏°üØdG äÉLQO ´ƒªée áaƒØ°üe

∂dP Öàµfh »a ¬`°ùØf ™bƒªdG Éª¡`d øjô°üæY πc ™ªéH ô°UÉæY ≈∏Y Éæ∏°üM óbh

:»dÉàdG ∞jô©àdG í°†àj ∂dòHh IQƒ°üdG ≈∏Y

185 (2) äÉ«°VÉjQ

âfÉc GPEG

πëdG

äÉaƒØ°üªdG ™ªL ás«∏ªY t¢UGƒN

:»∏j Ée óLhCÉa

(7-3) ∫Éãe

3 OÉéjEG øµªªdG øe

1 ( ± sô©e ) øµªe ™ªédG s¿EÉa »gh É¡`°ùØf áÑJôdG øe ø«àaƒØ°üªdG s¿CG ÉªH

2 áÑJôdG øe Éªæ«H áÑJôdG øe áÑJôdG »a ¿ÉàØ∏àîe ¿ÉàaƒØ°üe s¿CG ÉªH

.Éª¡©ªL øµªj ’ ¬sfEÉa

∞jô©àdG øe

(? GPÉªd)




: s¿CG

1

2

πëdG

ßM’

187 (2) äÉ«°VÉjQ

(8-3) ∫Éãe

.á s«©«ªéJ äÉaƒØ°üªdG ™ªL á«∏ªY s¿CG âÑãj Gògh

:ôeC’G á seÉYh

áÑJôdG øe äÉaƒØ°üª∏d »©ªédG ójÉëªdG ô°üæ©dG »g ájôØ°üdG áaƒØ°üªdG

1

:ôeC’G á seÉYh

___

_+_=+=+=_+_

.ás«dGóHEG äÉaƒØ°üªdG ™ªL á«∏ªY s¿CG âÑãj Gògh

2

: s¿EÉa áÑJôdG øe äÉaƒØ°üe çÓK âfÉc GPEG=== ,

πëdG

( ? GPÉªd ) q¿EÉa ¬«∏Yh s¿CG »æ©j Gògh

G kPEG

áÑJôdG øe á©sHôªdG äÉaƒØ°üª∏d »©ªédG ójÉëªdG ô°üæ©dG »g s¿CG í u°Vƒj Gògh

âfÉc GPEGóLhCÉa




(9-3) ∫Éãe

(4-3) ÖjQóJ

:ôeC’G á seÉYh

¿Éc GPEG

s¿EÉa âfÉc GPEG

.áæµªªdG º«b uπµd

≈ sª`°ù oJ s¿EÉa É¡`°ùØf áÑJôdG øe áÑJôdG øe å«M

¢Sƒµ©ªdG CGô≤ojh õeôdÉH áaƒØ°üª∏d õeôfh ¿ƒµjh , áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG

áaƒØ°üª∏d »©ªédG

:»∏j Ée óLhCÉa âfÉc GPEG

áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG 1

2

( ? GPÉªd ) s¿EÉa ¬«∏Yh

ójÉëªdG ô°üæ©dG s¿CG …CG

: s¿EG ∫ƒ≤f

áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG »g ∂dòch áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG »g

: s¿CG ßM’

189 (2) äÉ«°VÉjQ

(10-3) ∫Éãe

äÉaƒØ°üªdG ìôW

(5 -3 ) ∞jô©J

( ¥ôØdG hCG ) ìô£dG á«∏ªY s¿EÉa É¡`°ùØf áÑJôdG Éª¡`d ø«àaƒØ°üe âfÉc GPEG

:»JB’Éc ± sô©oJ

áaƒØ°üª∏d »©ªédG ¢Sƒµ©ªdG »g å«M ,

å«M âfÉc GPEG ¬ sf CG »æ©j ∞jô©àdG Gòg

s¿EÉa

(2-3)

( ? GPÉªd )

óLhCÉa âfÉc GPEG

πëdG

(5-3) ÖjQóJ

?ßMÓJ GPÉe ø«H ¿QÉb sº oK óLhCG ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG »a




x»≤«≤M mOó©H máaƒØ°üe Üô°V

(12-3) ∫Éãe

á``aƒ```Ø°üªdÉH ¬``∏«ãª`J ø`µ``ª«a É kØ``£©e , É kHƒK , IAÉÑY :ƒgh ΩÉjCG á©HQCG »a êÉàfE’G ∫ó©e É seCGh

± sô©J ádÉëdG √òg »ah , Oó©dÉH áaƒØ°üªdG ô°UÉæY ™«ªL Üô°V øe âf sƒµJ áaƒØ°üªdG s¿CG ßM’

Üô°V á«∏ªY á«∏ª©dG √òg ≈ sª`°ù oJh s¿CG …CG , áaƒØ°üªdG ∫ÉãeCG á©HQCG É¡sfCÉH áaƒØ°üªdG

. x»≤«≤M mOó©H áaƒØ°üªdG

âfÉc GPEG

s¿EÉa

:»JCÉj Éªc Üô°V á«∏ª©H áaƒØ°üª∏d QôµàªdG ™ªédG á«∏ªY øY ô«Ñ©àdG øµªjh

»æ©J øµdh s¿EÉa »dÉàdÉHh

G kPEG

(11-3) ∫Éãe

ô«Ñ©àdG Éææµªj ¬sfEÉa .∞WÉ©e 7 , ÉkHƒK 30 , IAÉÑY 21 óMGƒdG Ωƒ«dG »a áWÉ«N π¨`°ûe êÉàfEG ∫ó©e ¿Éc GPEG

áaƒØ°üªdÉH óMGƒdG Ωƒ«dG »a ¬LÉàfEG ∫ó©e øY

191 (2) äÉ«°VÉjQ

(13-3) ∫Éãe

(6-3) ÖjQóJ

. x»≤«≤M mOó©H áaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ª©d »JB’G ∞jô©àdG ¿É≤HÉ`°ùdG ¿’ÉãªdG í u°Vƒj

(6 -3 ) ∞jô©J

áaƒ``Ø°üªdG Üô``°V π``°UÉM s¿EÉ``a ¿Éch áaƒØ°üe âfÉc GPEG

``

, å«M áÑJôdG øe áaƒØ°üªdG ƒg »≤«≤ëdG Oó©dÉH

s¿CG …CG

(3-3)

s¿EÉa »dÉàdÉHh s¿EÉa âfÉc Éªd

s¿CG »æ©j Gògh

πëdG

¿ƒµJ ÉeóæY áaƒØ°üªdG óLhCÉa âfÉc GPEG

:∑ áª«b ¿ƒµJ ÉeóæY óLhCG ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG »a




: s¿EÉa ¿Éch áÑJôdG øe ø«àaƒØ°üe âfÉc GPEG

Ü

`L

O

`g

h

(1-3) ájô¶f

¿ÉgôÑdG

x»≤«≤M mOó©H máaƒØ°üe Üô°V t¢UGƒN

( 6-3 ) , ( 4-3 ) ø«Øjô©àdG ≈dEG OÉæà`°S’ÉH ájô¶ædG √òg äÉÑKEG øµªj

q¿CG ¢VôØHh

.ÖdÉ£∏d øjôªàc á«bÉÑdG ¢UGƒîdG ø«cQÉJ áë°U äÉÑKEÉH Éæg »Øàµæ`°Sh

: s¿EÉa âfÉc GPEG

(14-3) ∫Éãe

193 (2) äÉ«°VÉjQ

(15-3) ∫Éãe

(7-3) ÖjQóJ

.É¡æe xπµd mÖ`°SÉæe m∫Éãe AÉ£YEÉH h , g , O , `L , Ü ¢UGƒîdG øe ≥ s≤ëJ

πëdG

s¿CG âÑKCG äÉaƒØ°üªdG πc áYƒªée å«M ¢VôØH

á«aƒØ°üªdG ádOÉ©ª∏d ó«MƒdG tπëdG »g

s¿CG óéf øe

. x»≤«≤M mOó©H máaƒØ°üe Üô°V ¢UGƒN øe á s«°UÉî∏d É k≤«≤ëJ tó©j ∫ÉãªdG Gòg s¿EG




(16-3) ∫Éãe

πëdG

(8-3) ÖjQóJ

s¿CÉH É kª∏Y ádOÉ©ªdG sπM óLhCG

øe ≥ s≤ëJh ádOÉ©ªdG sπM óLhCÉa âfÉc GPEG

.èJÉædG áë°U

: tπëdG ¿ƒµj ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG ≥ah ≈∏Y

øY ¢†jƒ©àdÉH èJÉædG áë°U øe ≥≤ëàfáaƒØ°üªdÉH IÉ£©ªdG ádOÉ©ªdG »a: s¿CG óéæa

195 (2) äÉ«°VÉjQ

:á«JB’G á«aƒØ°üªdG ádOÉ©ªdG sπ oM

:èàæj x»≤«≤M mOó©H máaƒØ°üe Üô°V ¢UGƒN øe (`L , (Ü , ( äGô≤ØdG ΩGóîà`°SÉH

(17-3) ∫Éãe

πëdG


197 (2) äÉ«°VÉjQ

1.á«∏ª©dG AGôLEG Qò©J ádÉM »a ÖÑ`°ùdG ôcP ™e - øµeCG ¿EG - á«dÉàdG äÉ«∏ª©dG pôLCG.á«∏ª©dG AGôLEG Qò©J ádÉM »a ÖÑ`°ùdG ôcP ™e - øµeCG ¿EG - á«dÉàdG äÉ«∏ª©dG pôLCG

(2-3) ø`jQÉ`ªJ




3:¿ƒµJ ÉeóæY . ∑ áaƒØ°üªdG óLhCÉa øjôªàdG »a Éªc âfÉc GPEG

Ü`LO`g

2

2s¿CG âª∏Y GPEG

: Ö`°ùMÉa

Ü

`L

O

`g

h

ø«Hh É¡æ«H ¿QÉbh

.¿ÉàjhÉ`°ùàe Éª¡`fCG ≥ s≤ëJh ∂dòch


?äóLh ¿EG »g Éeh ,Éª¡æ«H ábÓY óLƒJ πg ∂dòch

?’ ΩCG Éª¡æ«H ábÓY óLƒJ πg ∂dòch


•

…

∑

199 (2) äÉ«°VÉjQ

.áaƒØ°üªc »JCÉj É sª`e xπc øY ôuÑ©a

Ü

`L

O

`g

h

6 ( 1-3 ) ájô¶ædG øe h , g , O , `L , Ü äGô≤ØdG áë°U âÑKCG

5: á«JB’G á«aƒØ°üªdG ä’OÉ©ªdG øe vÓc sπ oM øjôªàdG »a IOQGƒdG äÉaƒØ°üªdG ∫Éª©à`°SÉH4

O

Ü

`L

4 âfÉc GPEG




äÉaƒØ°üªdG Üô°V

1

2

: s¿CG ßM’: s¿CG »æ©j Gògh áÑJôdG øe áÑJôdG øe áÑJôdG øe

:»JB’É`c ø```«bƒØàªdG É¡`HÓ``£d É```jGóg Ω uó≤J á```jƒfÉ``ãdG ¢SQGó``ªdG ió```MEG â```fÉc GPEG

.…ƒfÉãdG ∫ shC’G ∞``` s°üdG QÉÑàNG »a πFGhC’G Iô````°û©dG øe móMGh uπµd Ö```àc áKÓK í```æªJ

.…ƒfÉãdG »fÉãdG ∞ s°üdG QÉÑàNG »a πFGhC’G áKÓãdG øe móMGh uπµd Öàc á````°ùªN íæªJh

.É kHÉàc 45 = 5 × 3 + 3 × 10 = ø«bƒØàª∏d á`°SQóªdG É¡e uó≤J »àdG ÖàµdG OóY s¿EÉa

:»JB’Éc äÉaƒØ°üªdÉH ∂dP øY ô«Ñ©àdG øµªjh

:Öàµfh ø«bƒØàªdG áaƒØ°üe s¿CG ¢VôØf

:Öàµfh ÖàµdG áaƒØ°üe s¿CG ¢VôØfh

Üô°V π°UÉëc áHÉàc øµªj ¬sfEÉa ,ÖàµdG ´ƒªée áaƒØ°üe s¿CG ¢VôØHh

:»JCÉj Éªc áaƒØ°üªdG »a áaƒØ°üªdG

(18-3) ∫Éãe) ∫Éãe

3-3 á∏ãeC’G ∫ÓN øe iôNCG áaƒØ°üÃ áaƒØ°üe Üô°V OÉéjEG á≤jôW í°Vƒæ°S

: á«dÉàdG

201 (2) äÉ«°VÉjQ

OóYh äGôuÑµªdG OóY å«M øe É¡æ«H Éª«a ∞∏àîJ RÉØ∏àdG øe êPÉªf áKÓK èàæj ™fÉ°üªdG óMCG ¿Éc GPEG

:»JB’G ∫hóédG »a Éªc ∂dPh äÉeÉ sª°üdG

النموذج (٣)النموذج (٢)النموذج (١)

213عدد املكبرات

امات 81210عدد الصم

áaƒØ°üªdÉH ∂dP ô°üàîfh

:»JB’G ∫hóédG »a ø«Ñe ƒg Éªc øjô¡`°T ∫ÓN ™æ°üªdG Gòg êÉàfEG ¿Éc GPEGh

الشـهر الثانيالشـهر األول

108النموذج (١)

1620النموذج (٢)

1512النموذج (٣)


∫ shC’G ô¡`°û∏d áeRÓdG äGô uÑµªdG OóY

»fÉãdG ô¡`°û∏d áeRÓdG äGô uÑ`µªdG OóY

∫ shC’G ô¡`°û∏d áeRÓdG äÉeÉ sª°üdG OóY

»fÉãdG ô¡`°û∏d áeRÓdG äÉeÉ sª°üdG OóY

:ƒg mäÉeÉ sª°Uh mäGô uÑµe øe êÉàfE’G Gò¡`d Ωõ∏j Ée s¿EÉa

(19-3) ∫Éãe




âfÉc GPEG

áaƒØ°üe ƒg »a Üô°V π°UÉM s¿EÉa

:»JB’Éc ∫hóL »a ∂dP π«é`°ùJ øµªjh

الشـهر الثانيالشـهر األول

8172عدد املكبرات

امات 422424عدد الصم

: s¿CG »æ©j Gògh áÑJôdG øe áÑJôdG øe áÑJôdG øe

±ƒØ°U OóY …hÉ`°ùj IóªYCG OóY

IóªYCG OóY …hÉ`°ùj IóªYCG OóY Éªæ«H ±ƒØ°U OóY …hÉ`°ùj ±ƒØ°U OóY

: s¿CG

1

2

(20-3) ∫Éãe


:»JCÉj Éªc áaƒØ°üªdG »a áaƒØ°üªdG Üô°V π°UÉëc áHÉàc øµªªdG øe s¿EG

ßM’

203 (2) äÉ«°VÉjQ

»a ∫ shC’G Oƒª©dG ô°UÉæ©H »`a ∫ shC’G ∞ s°üdG ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

»a »fÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæ©H »a ∫ shC’G ∞ s°üdG ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

»a ådÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæ©H »a ∫ shC’G ∞ s°üdG ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

»a ∫ shC’G Oƒª©dG ô°UÉæ©H »a »fÉãdG ∞ s°üdG ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

»a »fÉãdG Oƒª©dG ô°UÉæ©H »a »fÉãdG ∞ s°üdG ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

»a ådÉãdG Oƒª©dGô°UÉæ©H »a »fÉãdG ∞ s°üdG ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

: s¿CG

IóªYCG »a øe ∫ shC’G ∞ s°üdG Üô°†H »a ∫ shC’G ∞ s°üdG ô°UÉæY k’ shCG óLƒf ô°UÉæY OÉéjE’h

:»∏j Éªc ( Ö«JôàdG ≈∏Y )

»`fÉãdG ∞ s°üdG ô`°UÉæY

»`fÉãdG ∞ s°üdG ô`°UÉæY

( Ö«JôàdG ≈∏Y ) IóªYCG »a øe »fÉãdG ∞ s°üdG Üô°†H ∂dPh »a »fÉãdG ∞ s°üdG ô°UÉæY óLƒf sº oK

:¿ƒµ«a

ßM’




(7 -3 ) ∞jô©J

π`°UÉM s¿EÉa áÑJôdG øe á`ÑJôdG øe âfÉc GPEG

å«`M á`ÑJôdG øe áaƒØ`°üªdG ƒg »a Üô`°V

G kô°üæY »a »æ«©dG Oƒª©dG ô°UÉæ©H »a …OÉ°üdG ∞ s°üdG ô°UÉæY Üô°V èJGƒf ´ƒªée

s¿CG …CG ô°üæ©H

(5-3)

…hÉ`°ùj ≈dhC’G áaƒØ```°üªdG IóªYCG OóY ¿ƒµj ¿CG Öéj ,( áa sô©e ) áæµªe Üô```°†dG á«∏ªY ¿ƒµJ ≈àM

.á«fÉãdG áaƒØ°üªdG ±ƒØ°U OóY

. IóªYCG OóYh ±ƒØ°U OóY øe É keÉªJ O sóëàJ áaƒØ°üªdG áÑJQ

1

2

:»dÉàdG ∞jô©àdG ºjó≤J Éææµªj ≥Ñ°S É sª`e

1234

áÑJôdG øe »gh OƒLh É¡`d ±ƒØ°U OóY IóªYCG OóY

.ÉgOÉéjEG øµªj ’ ±ƒØ°U OóY IóªYCG OóY

á`ÑJôdG øe »gh OƒLh É¡`d ±ƒØ°U OóY IóªYCG OóY

á`ÑJôdG øe »gh OƒLh É¡`d ±ƒØ°U OóY IóªYCG OóY

1

2

3

4

(21-3) ∫Éãe

πëdG

205 (2) äÉ«°VÉjQ

âfÉc GPEG

:øe vÓc -øµeCG ¿EG -óLhCÉa

12345

:¿ƒµJh ÉgOÉéjEG øµªj . ¿EÉa ±ƒØ°U OóY IóªYCG OóY s¿CG ÉªH

.ÉgOÉéjEG øµªj ’ s¿EÉa ±ƒØ°U OóY IóªYCG OóY s¿CG ÉªH

1

2

(22-3) ∫Éãe

πëdG

1

:ôeC’G á seÉYh

¿ƒ`µj ¿CG ƒ`g ø«àaƒØ`°üªdG Ó`c Oƒ`Lh •ô`°T s¿CG ∫É`ãªdG Gò`g ø`e í`°†sàj

±ƒØ°U OóY IóªYCG OóY IóªYCG OóY ±ƒØ°U OóY

.± sô©e øe vÓc s¿EÉa áÑJôdG øe áaƒØ°üe áÑJôdG øe áaƒØ°üe âfÉc GPEG

á```© sHôe áaƒØ°üe øe vÓc s¿EÉa áÑJôdG øe ø«à©sHôe ø«àaƒØ°üe âfÉc GPEG

áÑJôdG øe

2

: s¿CG …CG IQƒ°üdÉH Öàµf âfÉc GPEG á s°UÉîdG ádÉëdG »ah




: s¿CG âª∏Y GPEG

:øe vÓc óLhCÉa

OÉéjEG øµªj ’ ¬sfEÉa ±ƒØ°U OóY IóªYCG OóY s¿CG …CG á© sHôe ô«Z áaƒØ°üe s¿CG ÉªH

:¿ƒµjh ÉgOÉéjEG øµªj s¿EÉa á©sHôe áaƒØ°üe s¿CG ÉªH

3

4

5( ? GPÉªd ) ÉgOÉéjEG øµªj

(23-3) ∫Éãe

207 (2) äÉ«°VÉjQ

: s¿CG âÑKCÉa âfÉc GPEG

πëdG

øªjC’G ±ô£dG G kPEG

.ô`°ùjC’G ±ô£dG

(24-3) ∫Éãe

πëdG




äÉaƒØ°üªdG Üô°V ás«∏ªY t¢UGƒN

.á«dGóHEG ô«Z äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY s¿CG âÑKCG ΩGóîà`°SÉH

(9-3) ÖjQóJ

.Éª¡æ«H ¿QÉb sº oK øe vÓc óLhCÉa âfÉc GPEG

s¿CG óéf øe

.á«dGóHEG ô«Z äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY s¿CG äÉÑKE’ »Øµj Gògh

( ? GPÉªd ) s¿CG á¶MÓeh ( 21-3 ) ∫ÉãªdG ≈dEG ´ƒLôdÉH Éæ sfEÉa ∂dòc

É¡«a ¿ƒµj á s°UÉN lä’ÉM ∑Éæg s¿CG øe ºZôdG ≈∏Y má«dGóHEG ô«Z äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY s¿CG Éæd ócCÉàj

(25-3) ∫Éãe

πëdG

209 (2) äÉ«°VÉjQ

: s¿CG

.á«©«ªéJ lá«∏ªY äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ªY s¿CG í u°Vƒj Gògh

Üô```°V á«∏ª©d ™«ªéàdG á«```°UÉN í«```°Vƒàd ≥HÉ```°ùdG ∫ÉãªdG ¢Vô©H Éæ«ØàcG É```æ sfCG ô```còdÉH ô```jóédG ø```eh

. …ô¶ædG äÉÑKE’G ¿hO äÉaƒØ°üªdG

: øe vÓc óLhCÉa âfÉc GPEG

12

1

2

(26-3) ∫Éãe

πëdG

ßM’




s¿EÉa

( ∂dP øe ≥ s≤ëJ ) s¿CG óéf πãªdÉHh

.2×2 áÑJôdG øe á©sHôªdG äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ª©d áÑ`°ùædÉH IójÉëe áaƒØ°üe q¿CG èàæà`°ùf

:ôeC’G á seÉYh

øe á©sHôªdG äÉaƒØ°üªdG Üô```°V á«∏ª©d áÑ````°ùædÉH IójÉëe áaƒØ```°üe »g IóMƒdG áaƒØ```°üe s¿EÉa

. áÑJôdG

âfÉc GPEG

âfÉc GPEG Üô°†dG π°UÉM óLhCG

√ògh ,ájôØ°U áaƒØ°üe èJÉædG ¿ƒµ«d ø«àjôØ°U ô«Z ø«àaƒØ```°üe Üô```°V ¿ÉµeE’ÉH ¬sfCG øs«Ñàj ∫ÉãªdG Gòg øe

. á s«≤«≤ëdG OGóYC’G áYƒªée »a á∏«ëà`°ùe ádÉëdG

(27-3) ∫Éãe

(28-3) ∫Éãe

πëdG

211 (2) äÉ«°VÉjQ

2:Üô°†dG á«∏ªY AGôLEG Qò©J ádÉM »a ÖÑ`°ùdG ôcPGh -øµeCG ¿EG -»JCÉj Éª«a Üô°†dG á«∏ªY pôLCG

1 áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG

:á«JB’G äÉaƒØ°üªdG øe xπc áÑJQ óLhCÉa

`G

`G

áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe áaƒØ°üe âfÉc GPEG

(3-3) ø`jQÉ`ªJ




Ü

`L

O

h

R

ì

3: IQƒ°U §`°ùHCÉH èJÉædG ÖàcGh »∏j É sª`e xπµd Üô°†dG π°UÉM óLhCG

Ü

4: s¿CG âÑKCÉa âfÉc GPEG

( ™«ªéàdG á«°UÉN )

213 (2) äÉ«°VÉjQ

5

6

âfÉc GPEG

s¿CG âÑKCÉa âfÉc GPEG

Ü

`L

O

Ü

`L

: s¿CG âÑKCÉa âfÉc GPEG

7

: s¿CG âÑKCÉa âfÉc GPEG 8

Ü

: ÖÑ`°ùdG ôcP ™e á«JB’G äGQÉÑ©dG øe xπc CÉ£N hCG áë°U øu«Ña




äGO uó``ëªdG

¢SQóf ±ƒ°Sh ,áaƒØ°üªdG IO uóëe ≈ sª°ùj w»≤«≤M lOóY má©Hôe máaƒØ°üe uπc ™e §ÑJôj

IOÉaEÓd ,áãdÉãdGh á```«fÉãdG áÑJôdG øe á©HôªdG äÉaƒØ```°üªdÉH á£ÑJôªdG äGO uó```ëªdG

áª¶fCG uπM »ah ,á```«fÉãdG áÑJôdG øe áaƒØ```°üªd »Hô```°†dG ¢Sƒµ©ªdG OÉéjEG »a É¡æe

.äGô«¨àe áKÓK hCG øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe mä’OÉ©e

á«fÉãdG áÑJôdG øe áaƒØ°üªdG IO uóëe

(8 -3 ) ∞jô©J

QGó≤ªdG »g õeôdÉH É¡d õeôjh IO uóëe s¿EÉa âfÉc GPEG

Öàµfh

1

2

(6-3)

3

.IO uóëªdG ≈∏Y ád’ó∏d ( ÉàdO CGô≤ojh ) ∆ õeôdG πª©à°ùj ¿É«MC’G ¢†©H »a

ƒg QGó≤ªdG s¿CG ßMÓJ ¿CG π¡°ùdG øe h ,á«fÉãdG áÑJôdG øe IO uóëªdG s¿CG ∫É≤j

ø«©bGƒdG øjô°üæ©dG Üô°V π°UÉM ¬æe É kMhô£e »°SÉ°SC’G ô£≤dG »a ø«©bGƒdG øjô°üæ©dG Üô°V π°UÉM

.ôNB’G ô£≤dG »a

.á≤∏£ªdG áª«≤dG ≈dEG ¿Gõeôj ’ ø«£îdG s¿CG í°VGƒdG øe

4-3

215 (2) äÉ«°VÉjQ

(30-3) ∫Éãe

øe xπc IO uóëe óLhCÉa âfÉc GPEG

. ¢S áª«b óLhCÉa âfÉc GPEG

á«fÉãdG áÑJôdG øe IOóëªdG ¢UGƒN

.∞jô©àdG øe mádƒ¡°ùH É¡LÉàæà°SG øµªj ,á«fÉãdG áÑJôdG øe IO uóëª∏d É v°UGƒN Ω uó≤f »∏j Éª«a

: ≈dhC’G ás«°UÉîdG

. ø« sØ°U É¡jOƒªY h øjOƒªY É¡« sØ°U Éæ∏©L GPEG Éª«a á«fÉãdG áÑJôdG øe Ée mIO uóëe áª«b ôs«¨àJ ’

¿ÉgôÑdG

πëdG

É¡« sØ°U π©éH áaƒØ°üªdG øY áéJÉf áaƒØ°üªdG s¿CG óéf h ø«àaƒØ°üªdG ≈dEG ô¶ædÉH

¿ƒµJ ≈dhC’G á s«°UÉîdG Ö°ùMh ,øjOƒªY

(29-3) ∫Éãe

πëdG

óLhCÉa âfÉc h , âfÉc GPEG

(10-3) ÖjQóJ

äGOó```ëªdG



: á«fÉãdG ás«°UÉîdG

. §≤a É¡JQÉ°TEG ô«¨àJ IO uóëªdG áª«b s¿EÉa ( É¡jOƒªY ø«H hCG ) É¡« sØ°U ø«H á«fÉãdG áÑJôdG øe Ée mIO uóëe »a Éæd sóH GPEG

¿ÉgôÑdG

.øjOƒª©dG ø«H πjóÑàdG ádÉM »a ÖdÉ£∏d äÉÑKE’G ∑ôàjh

âfÉc GPEG IO uóëe óLhCÉa ,

øe xπc IO uóëe ( ÜÉ°ùM ¿hóH ) óLhCG ºK

»a »fÉãdGh ∫hC’G Oƒª©dG ø«H πjóÑàdG øe áéJÉf s¿C’

(GPÉªd)

(31-3) ∫Éãe

πëdG

217 (2) äÉ«°VÉjQ

.( »a ∫hC’G Oƒª©dG Üô°V øe lèJÉf »fÉãdG Oƒª©dG s¿C’ hCG ) »a ∫hC’G u∞°üdG Üô°V øe lèJÉf »fÉãdG s∞°üdG s¿C’ ;

.ôØ°üdG …hÉ°ùJ ( ¿ÉjhÉ°ùàe ÉgGOƒªY hCG ) ¿ÉjhÉ°ùàe ÉgÉ sØ°U »àdG á«fÉãdG áÑJôdG øe IO uóëªdG áª«b

: áãdÉãdG ás«°UÉîdG

u∞°üdG »a ÉkHhô°†e ÉkàHÉK G kOóY …hÉ°ùj á«fÉãdG áÑJôdG øe Ée mIO uóëe ( …OƒªY óMCG hCG ) » sØ°U óMCG ¿Éc GPEG

. G kôØ°U …hÉ°ùJ IO uóëªdG ∂∏J áª«b s¿EÉa ôNB’G ( Oƒª©dG hCG )

¿ÉgôÑdG

. ôNB’G Oƒª©dG »a ÉkàHÉK …hÉ°ùj øjOƒª©dG óMCG ¿CG ádÉM »a ÖdÉ£∏d äÉÑKE’G ∑ôàjh

? G kôØ°U …hÉ°ùJ ø«à«dÉàdG ø«àaƒØ°üªdG øe xπc IO uóëe ¿ƒµJ GPÉªd Q uôH

:ø«à«dÉàdG ø«às«°UÉîdG êÉàæà°SG Éææµªj áãdÉãdG ás«°UÉîdG ≈dEG G kOÉæà°SG ¿B’Gh

: á©HGôdG ás«°UÉîdG

: á°ùeÉîdG ás«°UÉîdG

.G kôØ°U …hÉ°ùJ IO uóëªdG √òg áª«b s¿EÉa G kQÉØ°UCG á«fÉãdG áÑJôdG øe Ée mIO uóëe »a ( mOƒªY hCG ) x∞°U ô°UÉæY ™«ªL âfÉc GPEG

(32-3) ∫Éãe

πëdG

.( »a ∫hC’G Oƒª©dG Üô°V øe lèJÉf »fÉãdG Oƒª©dG s¿C’ hCG ) »a ∫hC’G u∞°üdG Üô°V øe lèJÉf »fÉãdG s∞°üdG s¿C’ ; .( »a ∫hC’G Oƒª©dG Üô°V øe lèJÉf »fÉãdG Oƒª©dG s¿C’ hCG ) »a ∫hC’G u∞°üdG Üô°V øe lèJÉf »fÉãdG s∞°üdG s¿C’ ;

äGOó```ëªdG



(9 -3 ) ∞jô©J

(7-3)

1

2

(11-3) ÖjQóJ

:G kôØ°U …hÉ°ùJ á«dÉàdG äGO uóëªdG øe xπc áª«b ¿ƒµd G kQ uôÑe p§YCG

:»∏j Éªc ± sô©oJ áaƒØ°üªdG IO uóëe s¿EÉa

:»dÉàdG ∞jô©àdG É¡æe Ω uó≤f áãdÉãdG áÑJôdG IO uóëe ∞jô©àd ¥ôW IóY ∑Éæg

âfÉc GPEG

(1-3)

≈ª°ùJ

:»gh á«fÉãdG áÑJôdG øe mäGO uóëe çÓK …ƒëJ ( 1-4 ) ábÓ©dG

.áãdÉãdG áÑJôdG øe IO uóëe

»a ø«©WÉ≤àªdG Oƒª©dG h u∞°üdG ±òM ó©H øe É¡«∏Y π°üëfh



áãdÉãdG áÑJôdG øe áaƒØ°üªdG IO uóëe

219 (2) äÉ«°VÉjQ

âfÉc GPEG IO uóëe óLhCÉa

:á«dÉàdG äGO uóëªdG øe xπc áª«b Ö°ùMG

,É kØfBG ÉgÉæéàæà```°SG »àdG á«fÉãdG áÑJôdG äGO uóëe ¢UGƒîH ™àªàJ áãdÉãdG áÑJôdG äGO uóëe s¿CG ôcòdÉH ôjóédG øeh

:»∏j Éª«a ∂dP í°†à«°Sh ,äGO uóëªdG ÜÉ°ùM §«°ùÑJ »a G vóL Ió«Øe ¢UGƒîdG √ògh

(12-3) ÖjQóJ

(33-3) ∫Éãe

πëdG

äGOó```ëªdG



(≈dhC’G á s«°UÉîdG) É kaƒØ°U É¡JóªYCG π©éf Gòd; G kQÉØ°UCG ∫hC’G Oƒª©dG ô°UÉæY ¢†©H s¿CG ßMÓf ÜÉ°ùM óæY

:»dÉàdÉc mádƒ¡°ùH áª«b ≈∏Y π°üëæa

:á«dÉàdG äÉaƒØ°üªdG øe xπc IO uóëe Ö°ùMG

(34-3) ∫Éãe

πëdG

221 (2) äÉ«°VÉjQ

ådÉãdGh ∫ shC’G ø« sØ°üdG ø«H ∫ uóÑf Gòd ; lQÉØ°UCG ådÉãdG u∞°üdG ô°UÉæY ¢†©H s¿CG ßMÓf ÜÉ°ùM óæY

:»∏j Éªc ≈∏Y π°üëæa ( á«fÉãdG á s«°UÉîdG )

øe ¬sfEÉa Gòd; »a ∫hC’G u∞°üdG Üô°V øe lèJÉf ådÉãdG s∞°üdG s¿CG ßMÓf ÜÉ°ùM óæY

¿ƒµJ áãdÉãdG á s«°UÉîdG

áª«b Ö°ùMG

(35-3) ∫Éãe

πëdG

( ? GPÉªd )

( ? GPÉªd )

äGOó```ëªdG



:á«dÉàdG äGO uóëªdG øe vÓc óLhCG

`G OH

RÌ•

…∑∫

2

3: s¿CG âÑKCÉa á«fÉãdG áÑJôdG øe ø«àaƒØ°üe âfÉc GPEG

:»∏j É sª`e vÓc óLhCÉa âfÉc GPEG

H

1 :á«dÉàdG äGO uóëªdG øe vÓc óLhCG

(4-3) ø`jQÉ`ªJ

223 (2) äÉ«°VÉjQ

4

5

6

`G OH

:G kôØ°U …hÉ°ùJ á«JB’G äGO uóëªdG øe xπc áª«b GPÉªd øu«H ,ÜÉ°ùM ¿hóH

,á«dÉàdG äÉaƒØ°üªdG øe xπc IO uóëe ,ÜÉ°ùM ¿hO kIô°TÉÑe óLhCG ºK , Ö°ùMG , øµàd

å«M á«dÉàdG ä’OÉ©ªdG øe vÓc sπM

`G

O

H

äGOó```ëªdG



R

7

Ü

8

9

10

:øe xπc áª«b óLhCÉa ¿Éc GPEG

¢S ÉàL ¢S ÉL 2 s¿CG âÑKCG

: s¿CG âÑKCG ∞jô©àdG ΩGóîà°SG ¿hóH

: s¿CG âÑKCÉa ,ÉkàHÉK G kOóY ∑ ¿Éch ,á«fÉãdG áÑJôdG øe áaƒØ°üe âfÉc GPEG

225 (2) äÉ«°VÉjQ

11: s¿CG …CG §≤a É¡JQÉ°TEG ô u«¨j áãdÉãdG áÑJôdG øe mIO uóëe »a »fÉãdGh ∫hC’G ø« sØ°üdG ø«H ádOÉÑªdG s¿CG âÑKCG

12

13

.ådÉãdGh »fÉãdG ø« sØ°üdG ø«H ádOÉÑªdGh ådÉãdGh ∫hC’G ø« sØ°üdG ø«H ádOÉÑªdG ∂dòch

.§≤a É¡JQÉ°TEG ô u«¨j áãdÉãdG áÑJôdG øe mIO uóëe »a øjOƒªY u…CG ø«H ádOÉÑªdG s¿CG âÑKCG

.G kQÉØ°UCG É¡©«ªL É¡JóªYCG óMCG ô°UÉæY âfÉc GPEG G kôØ°U …hÉ°ùJ IO uóëªdG áª«b s¿CG âÑKCG

äGOó```ëªdG



(36-4) ∫Éãe

máaƒØ°üªd t»Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG

2 × 2 áÑJôdG øe má© sHôe máaƒØ°üªd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG á`°SGQóH óæÑdG Gòg »a »Øàµæ````°S

:á«JB’G á∏Ä`°SC’G ≈∏Y Ö«éæ`°Sh

? ¬«∏Y π°üëf ∞«ch ? ó«Mh ƒg πg ? w»Hô°V l¢Sƒµ©e áaƒØ°üª∏d óLƒj ≈àe

.»Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG ∞jô©àH CGóÑf

(10 - 3 ) ∞jô©J

,É¡`°ùØf áÑJôdG øe láaƒØ°üe ƒg -óLh ¿EG áÑJôdG øe máaƒØ°üªd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG

¿ƒµj å«ëH

áÑJôdG øe IóMƒdG áaƒØ°üe …CG Üô°†dG á«∏ª©d áÑ`°ùædÉH IójÉëªdG áaƒØ°üªdG »g å«M

,(≥HÉ`°ùdG ∞jô©àdG »a s¿CG …CG) õeôdÉH máaƒØ°üªd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ª∏d õeôf

.iôNCÓd w»Hô°V l¢Sƒµ©e »g h øe vÓc s¿CG óéf ∞jô©àdG øeh

5-3

πëdG

áaƒØ°üª∏d »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG »g áaƒØ°üªdG s¿CG âÑKCÉa âfÉc GPEG

s¿CG ÉªH

227 (2) äÉ«°VÉjQ

á«fÉãdG áÑJôdG øe má©Hôe máaƒØ°üªd w»Hô°V l¢Sƒµ©e óLƒj ≈àe ∫GDƒ°ùdG ≈∏Y áHÉLE’G Éæ«£©J á«dÉàdG á sjô¶ædG

.√OƒLh ádÉM »a ¢Sƒµ©ªdG Gòg OÉéjE’ ká≤jôW Éæ«£©J Éªc

¿ƒµJ ÉeóæY G kOƒLƒe ¿ƒµj áaƒØ°üª∏d »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG s¿EÉa âfÉc GPEG

q¿EÉa mòFóæYh G kôØ°U

¿ÉgôÑdG

: πãªdÉH h

¿ƒµ«a å«M , ¿CG ¢VôØæd

: s¿CG …CG , áaƒØ°üª∏d »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG »g s¿CG èàæj , øe

áaƒØ°üªd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG

(2-3) ájô¶f



(13-3) ÖjQóJ

ø«H ábÓ©dG O uóM ( 2-3 ) ájô¶ædG ≈dEG G kOÉæà°SG

(8-4)(8-4)

( G kOƒLƒe ¿Éc ¿EG )

≈∏Y ∫ƒ```°üëdG π©éj á«dÉàdG á≤jô£dG ´ÉÑ uJG s¿EÉa , âfÉc GPEG

: kÓ¡°S G kôeCG

,»Hô°V ¢Sƒµ©e É¡`d ¢ù«d s¿EÉa ,G kôØ°U ¿Éc GPEÉa , áª«b óLƒf A»°T πc πÑbh k’ shCG

:»JB’Éc øs«©àj Év«Hô°V É k°Sƒµ©e áaƒØ°üª∏d s¿EÉa ,G kôØ°U ≠ ¿Éc GPEGh

1

2

3

. áaƒØ°üª∏d »°SÉ`°SC’G ô£≤dG ≈∏Y ø«©bGƒdG øjô°üæ©dG »©°Vƒe ø«H ∫OÉÑf

. áaƒØ°üª∏d ôNB’G ô£≤dG ≈∏Y ø«©bGƒdG øjô°üæ©dG øe xπc IQÉ`°TEG ô u«¨f

. ≈∏Y π°üëæa Oó©dÉH2,1 AGôLEG ó©H áéJÉædG áaƒØ°üªdG Üô°†f

(14-3) ÖjQóJ

»a ø«JOQGƒdG ø«àaƒØ°üªdG øe vÓc s¿CG äÉÑKE’ á≤HÉ`°ùdG áXƒë∏ªdG »a IOQGƒdG á≤jô£dG ≥uÑW

.iôNCÓd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG »g ( 36-3 ) ∫ÉãªdG

(37-3) ∫Éãe

âfÉc GPEG

:øe xπ oµd -óLh ¿EG -»Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG óLhCÉa

12345

(8-3)

..



(15-3) ÖjQóJ

:»∏j É sª`e ≥ s≤ëJ ≥HÉ`°ùdG ∫ÉãªdG »a

1

2

(38-3) ∫Éãe

πëdG

.»Hô°V ¢Sƒµ©e É¡`d ¢ù«d áaƒØ°üªdG π©éJ »àdG ¢S º«b Ö`°ùMG

.G kôØ°U = É¡`JO uóëe ¿ƒµJ ÉeóæY »Hô°V ¢Sƒµ©e É¡`d ¿ƒµj ’ IÉ£©ªdG áaƒØ°üªdG

¿ƒµj ÉeóæY »Hô°V ¢Sƒµ©e IÉ£©ªdG áaƒØ°üª∏d ¿ƒµj ’ G kPEG ¿ƒµJ ÉeóæY …CG

s¿CG ÉªHh

(16-3) ÖjQóJ

: »Hô°V ¢Sƒµ©e É¡`d ¢ù«d áaƒØ°üªdG π©éJ »àdG ¢S º«b Ö`°ùMG »∏j Éª«a

12

231 (2) äÉ«°VÉjQ

øjô«¨àe »`à ≈dhC’G á``LQódG ø`è ø«àdOÉ©e ø`è m¿ sƒµe mΩÉ``¶f tπ``M

äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà°SÉH

á≤jô£dÉH øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe m¿ sƒµe mΩÉ¶f sπM ≥Ñ`°S Éª«a Éæ`°SQO

√òg øe x¢``ÙÉN m ƒf uπ```ëd äÉaƒØ```°üªdG Ωóîà````°ùf Éægh ,á``` s«fÉ«ÑdG á```≤jô£dÉHh á``` sjôÑédG

.áª¶fC’G

:á«JB’G á s«aƒØ°üªdG IQƒ°üdÉH ΩÉ¶ædG Gòg áHÉàc øµªj ¬sfEÉa

:»dÉàdG ƒëædG ≈∏Y ÖàµoJ ¿CG øµªj IQƒ°üdG √ògh

: s¿CG Éæ°Vôa GPEGh

ø«àdOÉ©ªdG ΩÉ¶f Éæ«£YoCG GPEG kÓãªa

( ø«àaƒØ°üe Üô°V ∞jô©J øe )

( ø«àaƒØ°üe …hÉ`°ùJ ∞jô©J øe )

äÓeÉ©ªdG áaƒØ°üe ≈ sª`°ù oJh

π«gÉéªdG áaƒØ°üe ≈ sª`°ù oJh

âHGƒãdG áaƒØ°üe ≈ sª`°ù oJh




:á«dÉàdG á s«aƒØ°üªdG ádOÉ©ªdÉH ( 2-3 ) ΩÉ¶ædG øY ô«Ñ©àdG øµªj ¬sfEÉa

( »a ø«ª«dG øe ( 3-3 ) ádOÉ©ªdG u»aôW Üô°†H )

( ™«ªéàdG á s«°UÉN )

( áaƒØ°üª∏d »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG ∞jô©J øe )

( ø«à s«∏```°UC’G ø«àdOÉ©ªdG ΩÉ¶f πM ¿Ó uµ`````°ûj øjò∏dG ) ¢U , ¢S ø«dƒ¡éªdG OÉ`éjEG ¿B’G ÉfQhó≤ªH s¿CG í```°VGhh

á sjOó©dG âHGƒãdG ád’óH

≈∏Y ô°üà≤J äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà`°SÉH øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe m¿ sƒµe mΩÉ¶f uπM á≤jôW s¿EG

¿ƒµJ wπM É¡`d ¢ù«d »àdG ∂∏Jh ∫ƒ∏ëdG øe w»FÉ¡`f ’ lOóY É¡`d »àdG áª¶fC’G s¿CG ∂dP; ó«Mh wπM É¡`d »àdG áª¶fC’G

.ôØ°ü∏d kájhÉ`°ùe ( äÓeÉ©ªdG áaƒØ°üe IO uóëe ) äÓeÉ©ªdG IO uóëe ÉgóæY

(9-3)

( äÉaƒØ°üªdG Üô°V á«∏ª©d lIójÉëe láaƒØ°üe s¿C’ )

(39-3) ∫Éãe

πëdG

.èJÉædG áë°U øe ≥ s≤ëJh äÉaƒØ°üªdG ΩGóîà`°SÉH ø«à«JB’G ø«àdOÉ©ªdG ΩÉ¶f sπ oM

»g ≈£©ªdG ΩÉ¶æ∏d á«aƒØ°üªdG ádOÉ©ªdG

å«M

: »∏j Éªc (3-4) ádOÉ©ªdG πM OÉéjEG øµªªdG øªa ôØ°U ¿Éc GPEG …CG , ôØ°U âfÉc GPEGh

233 (2) äÉ«°VÉjQ

ƒg wπM á«aƒØ°üªdG ádOÉ©ª∏d óLƒj

: èJÉædG áë°U øe ≥ t≤ëàdG

:óéf ¢U , ¢S u»àª«≤H √ÓYCG ø«àdOÉ©ªdG »a ô`°TÉÑªdG ¢†jƒ©àdÉH

.ô`°ùjC’G ±ô£dG øªjC’G ±ô£dG :≈dhC’G ádOÉ©ªdG »a

.ô`°ùjC’G ±ô£dG øªjC’G ±ô£dG :á«fÉãdG ádOÉ©ªdG »a

(40-3) ∫Éãe

πëdG

: äÉaƒØ°üªdG É keóîà`°ùe ø«à«JB’G ø«àdOÉ©ªdG ΩÉ¶f uπM áYƒªée óLhCG

:á«dÉàdG IQƒ°üdG ≈∏Y ø«àdOÉ©ªdG Öàµf

Gk




: å«M , :»g á«aƒØ°üªdG ádOÉ©ªdG ¿ƒµàa

ƒg wπM á«aƒØ°üªdG ádOÉ©ª∏d óLƒj

»g ΩÉ¶ædG uπM áYƒªée

IQƒ°üdG ≈∏Y á«fÉãdG ádOÉ©ªdG ÉæÑàc GPEG ô«¨àJ ød uπëdG áYƒªée s¿CG øe ≥ s≤ëJ

235 (2) äÉ«°VÉjQ

(41-3) ∫Éãe

: G kó«Mh vÓM ø«à«JB’G ø«àdOÉ©ªdG ΩÉ¶æd π©éJ »àdG g º«b áYƒªée óLhCG

πëdG

: ÉeóæY …CG ôØ°ü∏d kIôjÉ¨e ¬JÓeÉ©e IO uóëe ¿ƒµJ ÉeóæY ló«Mh wπM ΩÉ¶ædG Gò¡`d ¿ƒµj

º«b áYƒªée




: ∂dP øµeCG ¿EG á«JB’G äÉaƒØ°üªdG øe xπµd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG óLhCG 1

: »Hô°V ¢Sƒµ©e É¡`d ¢ù«d á«JB’G äÉaƒØ°üªdG øe vÓc π©éJ »àdG ¢S º«b Ö`°ùMG 2

s¿CÉH É kª∏Y

`G

3 s¿CG âÑKCÉa , âfÉc GPEG

4 s¿CG âÑKCÉa , âfÉc GPEG s¿CÉH É kª∏Y

.

.

: ∂dP øµeCG ¿EG á«JB’G äÉaƒØ°üªdG øe xπµd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdG óLhCG 1

(5-3) ø`jQÉ`ªJ

237 (2) äÉ«°VÉjQ



7:»∏j É sª`e mΩÉ¶f uπc uπM OÉéjEG »a äÉaƒØ°üªdG Ωóîà`°SG

8:ó«Mh wπM á«JB’G ä’OÉ©ªdG øe mΩÉ¶f uπµd ¿ƒµj ≈àM ∑ ÉgòNCÉJ ’ ¿CG Öéj »àdG º«≤dG áYƒªée óLhCG

O

`G

H

O




ΩGóîà°SÉH ≈dhC’G áLQódG øe mä’OÉ©e áª¶fCG tπM

äGO uóëªdG

áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe m¿ sƒµe mΩÉ¶f uπëd äÉaƒØ°üªdG ≥HÉ°ùdG ¢SQódG »a Éæeóîà````°SG

áLQódG øe mä’OÉ©e áª¶fCG uπëd äGO uóëªdG Éæg Ωóîà```°ùf ±ƒ```°Sh ,øjô«¨àe »a ≈dhC’G

.äGô«¨àe áKÓK »a iôNCGh øjô«¨àe »a ≈dhC’G

( 2-4 ) ΩÉ¶ædG πM øµªªdG øe ¬sfCG º∏©f

: »dÉàdÉc ( ±òëdG á≤jôW ) ájôÑédG á≤jô£dÉH

: ÅaÉµªdG ΩÉ¶ædG ≈∏Y π°üëf , »a ádOÉ©ªdGh , »a ádOÉ©ªdG Üô°†H

: ≈∏Y π°üëf , ádOÉ©ªdG øe ádOÉ©ªdG ìô£H sºK

: ÅaÉµªdG ΩÉ¶ædG ≈∏Y π°üëf , »a ádOÉ©ªdGh , »a ádOÉ©ªdG Üô°†Hh

á«fÉãdG áÑJôdG äGO uóëe ΩGóîà°SÉH øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e ΩÉ¶f tπM -k’hCG

áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe m¿ sƒµe mΩÉ¶f uπëd äÉaƒØ°üªdG ≥HÉ°ùdG ¢SQódG »a Éæeóîà````°SG

6-3

239 (2) äÉ«°VÉjQ

: ≈∏Y π°üëf , ádOÉ©ªdG øe ádOÉ©ªdG ìô£H sºK

sπM ¿Ó uµ°ûJ ø«à∏dGh ¢U , ¢S øjô«¨àªdG u»àª«b ≈∏Y Éæ∏°üM ób ¿ƒµf ¿Éc GPEÉa

: »dÉàdÉc ¢U , ¢S Öàµf ¿CG ™«£à°ùf á«fÉãdG áÑJôdG äGO uóëe ΩGóîà°SÉHh , ΩÉ¶ædG

. ÉàdO { CGô≤jh ∆ õeôdÉH É¡d õeôæ°Sh , ( 2-4 ) ΩÉ¶æ∏d äÓeÉ©ªdG IO uóëe »g s¿CG

, ø«àHÉãdG ™°†f ¿CÉH ∆ øe É¡«∏Y π°üëfh ¢S ∆ õeôdÉH É¡d õeôfh ¢S ô«¨àªdG IO uóëe » uª°ùf

Éªgh u»∏eÉ©e øe k’óH ∫hC’G Oƒª©dG »a

ø«àHÉãdG ™°†f ¿CÉH ∆ øe É¡«∏Y π°üëf h ¢U ∆ õeôdÉH É¡d õeôfh ¢U ô«¨àªdG IO uóëe » uª°ùf

Éªgh u»∏eÉ©e øe k’óH »fÉãdG Oƒª©dG »a

øjô«¨àªdG Éàª«b ¬«a O sóëàJ ƒg ló«Mh wπM ≥HÉ°ùdG ΩÉ¶æ∏d s¿EÉa 0≠ ∆ âfÉc GPEG ¬«∏Yh

: »JB’Éc

ßM’

áLQódG øe ä’OÉ`©`e áª¶fCG πM

äGOóëªdG ΩGó``î``à``°``SÉ``H ≈``````dhC’G

{



.äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH ( 39-3 ) ∫Éãe »a OQGƒdG ΩÉ¶ædG sπ oM

(42-3) ∫Éãe

πëdG

: ΩÉ¶ædG »a

: ¿ƒµJ

( 2 , 1- ) ƒg ΩÉ¶ædG tπM G kPEG

.äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH »dÉàdG ΩÉ¶ædG sπ oM

(43-3) ∫Éãe

πëdG

( 0 , 0 ) ƒg ΩÉ¶ædG tπM G kPEG

241 (2) äÉ«°VÉjQ

(17-3) ÖjQóJ

: øe xπc ΩGóîà°SÉH , : ø«àdOÉ©ªdG ΩÉ¶f sπ oM

äGO uóëªdG äÉaƒØ°üªdG

: s¿CG ø u«Ña 0 = ∆ âfÉc GPEG , ( 2-4 ) ΩÉ¶ædG »a

( 2-4 ) ΩÉ¶ædG u»àdOÉ©e s¿CG Éæ°Vôa GPEG h , lº«≤à°ùe w§N Év«fÉ«H É¡∏ uãªj øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG ádOÉ©e s¿CG º∏©f

ád’óH , u»àdOÉ©e á```HÉàc É```ææµªj ¬``` sfEÉa ,Ö```«JôàdG ≈```∏Y , ø«ª«≤à```°ùªdÉH É``` v«fÉ«H π``` sãªJ

: »∏j Éªc äGOÉ°üdG Qƒëe øe ´ƒ£≤ªdG AõédGh π«ªdG

,ø«jhÉ°ùàe ô«Z ÉªgÓ«e ¿Éc GPEG ø«©WÉ≤àe ¿Éfƒµj , s¿CG º∏©fh

¿É`c GPEG …CG

0 ≠∆ ÉeóæY ló«Mh wπM ¬d ΩÉ¶ædG ¿ƒc ô u°ùØoj Gògh

: kÓãªa

: ΩÉ¶ædG »a

π°üëf Év«fÉ«H ΩÉ¶ædG u»àdOÉ©e π«ãªJ óæYh , 0 ≠ ∆ s¿CG óéf

( 1-3 ) πµ°ûdG »a Éªc ø«©WÉ≤àe ø«ª«≤à°ùe ≈∏Y

.ΩÉ¶ædG tπM »g ( 2 , 1 ) Éª¡©WÉ≤J á£≤f s¿CG

øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e ΩÉ¶f uπëd t»°Sóæ¡dG ô«°ùØàdG

1

2

ßM’

3





1

2

243 (2) äÉ«°VÉjQ

: á«dÉàdG áª¶fC’G øe xπc ´ƒf O uóM äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH

(44-3) ∫Éãe

πëdG

.π≤à°ùe ô«Z ΩÉ¶ædG G kPEG

: á«dÉàdG IQƒ°üdG ≈∏Y ΩÉ¶ædG Öàµf

¿ƒµàa

.πëdG π«ëà°ùe ΩÉ¶ædG G kPEG

: á«dÉàdG IQƒ°üdG ≈∏Y ΩÉ¶ædG Öàµf

¿ƒµàa

.π≤à°ùe ΩÉ¶ædG G kPEG

(18-3) ÖjQóJ

( 44-3 ) ∫Éãe »a IOQGƒdG áª¶fC’G øe xπc »a ø«ª«≤à°ùªdG ø«H ábÓ©dG O uóM

1

2

3

1

2

3

: ´GƒfCG áKÓK ≈dEG øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e øe áf sƒµªdG áª¶fC’G ∞«æ°üJ øµªj ≥Ñ°S Ée Aƒ°V ≈∏Y

0 ≠ ∆ ¿ƒµJ ¬«ah ló«Mh wπM ¬d …òdG ΩÉ¶ædG ƒgh : π≤à°ùªdG ΩÉ¶ædG

¬«a h ∫ƒ∏ëdG øe w»FÉ¡f ’ lOóY ¬d …òdG ΩÉ¶ædG ƒ```gh : π≤à```°ùªdG ô```«Z ΩÉ```¶ædG

0 = ¢S ∆ nh 0 = ∆ ¿ƒµJ

0 ≠ ¢S ∆ , 0 = ∆ ¿ƒµJ ¬«ah : πëdG π«ëà°ùe ΩÉ¶ædG

1

2

3





, ¢S mäGô«¨àe çÓK »a ≈dhC’G áLQódG øe mä’OÉ©e çÓK øe ¿ sƒµªdG ( 5-4 ) ΩÉ¶ædG Éæjód ¿Éc GPEG

: ´ , ¢U

tπëdG Gòg Öàµojh É k©e çÓãdG ä’OÉ©ªdG ≥≤ëJ »àdG ´ , ¢U , ¢S º«b OÉéjEÉH ¿ƒµj ΩÉ¶ædG Gòg sπM s¿EÉa

. ( ´ , ¢U , ¢S ) áÑJôªdG á«KÓãdG IQƒ°U ≈∏Y

øe ø«àdOÉ©e ΩÉ¶f ádÉM »a Éªc - äGO uóëªdG ΩGóîà```°SÉH ´ , ¢U , ¢S º«b OÉéjEG Éææµªj ™bGƒdG »ah

: á«dÉàdG äÉbÓ©dG øe - øjô«¨àe »a ≈dhC’G áLQódG

0 ≠ ∆ s¿CG •ô°ûH

:å«M

ådÉãdGh »fÉãdGh ∫hC’G ÉgOƒªY ∫GóÑà°SÉH ∆ IO uóëªdG øe ∆ , ¢U ∆ , ¢S ∆ øe xπc ≈∏Y π°üëfh

.âHGƒãdG Oƒª©H Ö«JôàdG ≈∏Y

ΩGóîà°SÉH mäGô«¨àe çÓK »a ≈dhC’G áLQódG øe mä’OÉ©e çÓK ΩÉ¶f tπM -kÉ«fÉK

áãdÉãdG áÑJôdG äGO uóëe

å«M äÓeÉ©ªdG áaƒØ°üe IO uóëe »g

( 5 - 3 )



ƒg ΩÉ¶ædG tπM

: s¿CG óéf ´ , ¢U , ¢S º«≤H ä’OÉ©ªdG »a ô°TÉÑªdG ¢†jƒ©àdÉH : ≥ t≤ëàdG

. ô°ùjC’G ±ô£dG øªjC’G ±ô£dG : ádOÉ©ªdG »a



ΩGóîà```°SÉH mäGô«¨àe çÓK »a ≈dhC’G áLQódG øe ä’OÉ```©ªdG ΩÉ¶f tπM øµªj ¬sfCG ≈dEG É```æg IQÉ```°TE’G QóéJh

≈dhC’G áLQódG øe ø«àdOÉ©e ΩÉ¶f uπëd ÉgÉæ°SQO »àdG ( ±òëdG á≤jôW ) ájôÑédG á≤jô£∏d má¡HÉ°ûe má≤jôW

.øjô«¨àe »a

: »dÉàdÉc ( 45-3 ) ∫ÉãªdG »a OQGƒdG ΩÉ¶ædG tπM øµªj : kÓãªa

: s¿CG èàæj ø«àdOÉ©ªdG ™ªéH

: s¿CG èàæj ádOÉ©ªdG ™e áéJÉædG ádOÉ©ªdG ™ªL sºK 2 Oó©dG »a ádOÉ©ªdG Üô°†Hh

: s¿CG óéæa ø«àdOÉ©ªdG øe ¿ sƒµªdG ΩÉ¶ædG tπM mádƒ¡°ùH øµªj ¿B’Gh

0 = ´ : s¿CG èàæj ádOÉ©ªdG »a ¢U , ¢S u»àª«b øY ¢†jƒ©àdÉHh

ƒg ΩÉ¶ædG tπM ¿ƒµj sºK øeh

.( 45-3 ) ∫ÉãªdG »a äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH ¬«dEG Éæ∏°UƒJ …òdG ¬°ùØf tπëdG ƒgh

? π¡°SCG ø«à≤jô£dG t…CG •

247 (2) äÉ«°VÉjQ

(19-3)ÖjQóJ

:»∏j Éª«a äÉZGôØdG πªcCG

: ä’OÉ©ªdG ΩÉ¶f uπM óæY

: s¿EÉa äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH

(20-3)ÖjQóJ

: »JB’G ΩÉ¶ædG sπ oM äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH

: »JB’G ΩÉ¶ædG sπM èàæà°SÉa 0 ≠ ∆ âfÉc GPEG

1

2





( 5-4 ) øjQÉªJ øe øjôªàdG »a ä’OÉ©ªdG áª¶fCG uπëd äGO uóëªdG Ωóîà°SG 1

:øe xπc ΩGóîà°SÉH : ΩÉ¶ædG sπ oM

äGO uóëªdG äÉaƒØ°üªdG

.πëdG á së°U øe ≥ s≤ëJ sºK

2

:»∏j É sª`e xπc »a ΩÉ¶ædG ´ƒf øu«H äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH 3

:¿Éª«≤à°ùªdG ¿Éc GPEG Ée øu«H äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH

.ø«≤Ñ£æe hCG ø«jRGƒàe hCG , ø«©WÉ≤àe

4

:á«JB’G ä’OÉ©ªdG áª¶fCG uπëd äGO uóëªdG Ωóîà°SG 5

) øjQÉªJ øe øjôªàdG »a ä’OÉ©ªdG áª¶fCG uπëd äGO uóëªdG Ωóîà°SG 1

(6-3) ø`jQÉ`ªJ

249 (2) äÉ«°VÉjQ

6: G kó«Mh vÓM »∏j É sª`e xπc »a ä’OÉ©ªdG ΩÉ¶æd π©éJ »àdG º«b óLhCG

: ΩÉ¶æ∏d s¿CG âÑKCG äGO uóëªdG ΩGóîà°SÉH

( 0 , 0) ó«MƒdG πëdG

`G

O

H

7





»a èeÉfôÑdG Gòg ΩGóîà°SÉH »∏j Éª«a Ωƒ≤æ°S èeÉfôÑd á≤HÉ```°ùdG äÉeGóîà```°S’G ≈dEG áaÉ```°VEG

:∂dP í°Vƒj »dÉàdG ∫ÉãªdGh má©Hôe máaƒØ°üªd »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdGh IO uóëªdG OÉéjEG

äÉaƒØ°üªdG ≈∏Y äÉ≤«Ñ£àdG ¢†©H AGôLE’ »dB’G Ö°SÉëdG ΩGóîà°SG

áaƒØ°üª∏d »Hô°†dG ¢Sƒµ©ªdGh IO uóëªdG øe vÓc óLhCG

∫É`````ãe

πëdG

:á«dÉàdG äGƒ£îdG ™Ñàf sºK èeÉfôÑdG IòaÉf íàØf

: »dÉàdG ƒëædG ≈∏Y áaƒØ°üªdG Öàµf ` k’hCG

áë s°VƒªdG ôeGhC’G äGhOCG §jô°T »a ( Matrix Author ) áaƒØ°üªdG ¿ uƒµe áfƒ≤jCG ≈∏Y ô u°TDƒªdG ™°†f

: »dÉàdG πµ°ûdG »a

1

èeÉfôH kÓª©à°ùe

أنشطة إثرائية


ر فيظ¡ر مربع ننقر حيث وVســـعنا الموTDس

حـــوار عنوانـــ¬ Matrix Setup وGل```òي

د ب¬ عدد ال�ســـفوف وعدد الأعمدة نحـــد

í ذل∂. والûسكل التالي يوVس

ننقــــر علــــى زر موافــــ≤ OK فــــي مربع الحوار ال�ســــاب≤ فنح�ســــل علــــى مربع حــــوار اBخر عنوان¬

í في الûسكل التالي : كما هو موVس

ا كما في الûسكل التالي kا عن�سر kندخل عنا�سر الم�سفوفة عن�سر

) يمكن ا�ستخدام مفتاح الجدولة Tab للتنقل بين العنا�سر (.

2

3

4

áيFGôKEG á£ضûfCG


áãdاãdG IóMƒdG

ننقر على زر مواف≤ OK في مربع الحوار ال�ساب≤ ، فتظ¡ر الم�سفوفة مكتوبة على لوحة العرVس

الجبري كما في الûسكل التالي :

ي الم�صفوفة وذل∂ على النحو التالي : ثانيا ـ ن�صم

ر عند Tسري§ الإدخال ونكتÖ الرمز الòي نختار√ للم�سفوفة وليكن A ) يمكن ا�ستخدام ن�ستح†سر الموTDس

Tسري§ الرموز الإغريقية اأو لوحة المفاتيí لكتابة الرمز K ، ) Aم نكتÖ الرمز با�ستخدام

Tسري§ الرموز الرياVسية، كما في الûسكل التالي:

5

1


ن†ســــ¨§ علــــى المفتــــاح Kم على مفتــــاح الإدخال Enter في لوحة المفاتيí اأو على الزر

الموجود ي�سار Tسري§ الإدخال، فنح�سل على الûسكل التالي :

دة والمعكو�س ال�صربي للم�صفوفة على النحو التالي : ثالثا ـ نوجد المحد

نكتÖ على Tسري§ الإدخال ، Kم ن†س¨§ على مفتاح الإدخال Enter في لوحة

دة الم�سفوفة في الûسكل التالي : المفاتيí، فنح�سل على محد

2

1

áيFGôKEG á£ضûfCG



نكتÖ على Tســــري§ الإدخال ، Kم ن†ســــ¨§ على مفتاح الإدخال Enter في لوحة

المفاتيí، فنح�سل على المعكو�س ال†سربي للم�سفوفة في الûسكل التالي :

ÖريóJ

دة والمعكو�س ال†سربي لكلx من الم�سفوفات التالية: اأوجد المحد

2

èبرنام kم�ستعمال


ا مرتبة في kلف من عن�ســـرDـــا تنظيـــم عـــددي مو¡ فنـــا الم�ســـفوفة مـــن الرتبـــة اأ ن عر

ا حيث ورمزنا لـ¡ا بحرفm تحت¬ خ§. kا عمود vسف�

≤ الûســــرطان در�ســــنا اأن الم�ســـفوفتين تكونان مت�ســــاويتين ونكتÖ اإذا تحق

ا: kالتاليان مع

• اإذا كان لـ¡ما نف�س الرتبة.

• اإذا كانت العنا�سر المتناXرة بالوVسع في¡ما مت�سـاوية.

عـــة، القطرية، م�ســـفوفة الوحدة ذكرنـــا بع†س الأنواع المûســــ¡ورة للم�ســـفوفات: الم�ســــتطيلة، المرب

والم�سفوفة ال�سفرية.

مة. ةm ب�سورةm مخت�سرةm منظ ا�ستخدمنا الم�سفوفات لتمثيل بياناتm و�سفي

فنـــا عمليتي جمع م�ســـفوفتين وطرح¡ما ووجدنا اأن¬ ل يمكن جمع م�ســـفوفتين ) اأو طرح¡ما ( اإل عر

اإذا كانتا من نف�س الرتبة ويكون ناتè جمع ) اأو طرح ( م�ســـفوفتين كلx من¡ما من الرتبة هو

م�سفوفة من الرتبة عنا�سرها ناتجة من جمع ) اأو طرح ( العنا�سر المتناXرة بالوVسع في

الم�سفوفتين.

وجدنا اأن عملية جمع الم�ســـفوفات اإبدالية وتجميعية والم�ســـفوفة ال�ســـفرية هي العن�سر

ـــا جمعيvا وهو kمعكو�س mالمحايـــد الجمعـــي للم�ســـفوفات مـــن الرتبـــة ، واأن لـــكل م�ســـفوفة

حيث لـ¡ما الرتبة نف�سـ¡ا.

ا حقيقيvا، فاإن م�سفوفة من الرتبة عنا�سرها kعدد ∑ ، kاإذا كانت م�سفوفة

ناتجة من VسرÜ كل عن�سرm من عنا�سر في

¬ يمكـــن nــ qاإذا كانت الم�سفوفة من الرتبة ، والم�سفوفة من الرتبة فاإن

اإيجاد م�سفوفة ال†سرÜ من الرتبة عنا�سرها ناتجة من جمع حوا�سل VسرÜ عنا�ســر

كل �سفx من �سفوف الم�سفوفة في العنا�سر المناXرة لـ¡ا في كل عمودm من اأعمـدة الم�سفوفة .

1

2

3

4

5

16

7

8

الوحدة هـــذه فــي تعلمت





ـــة VســـرÜ الم�ســـفوفات تجميعية وغيـــر اإبدالية، وم�ســـفوفة الوحدة هي م�ســـفوفة محايدة عملي

بالن�سـبة لعملية VسرÜ الم�سفوفات المربعة من الرتبة

فنا على خوا�ســـ¡ما وا�ســـتخدمنا هò√ الخوا�س في دة الرتبة الثانية والثالثة، وتعر فنـــا كالv من محد عر

دات. تب�سي§ ح�ساÜ المحد

عـــةm من الرتبة الثانيـــة ووجدنا اأن ق�ســـرنا درا�ســــتنا على اإيجاد المعكو�س ال†ســـربي لم�ســـفوفاتm مرب

المعكو�س ال†سربي لم�سفوفة اإن وجد- هو م�سفوفة من الرتبة نف�سـ¡ا بحيث يكون

نm من معادلتين من الدرجة الأولى في مت¨يرين. ا�ستخدمنا الم�سفوفات لحل نظامm مكو

دات لحل اأنظمة معادلتm من الدرجة الأولى في مت¨يرين وفي Kالç مت¨يرات. ا�ستخدمنا المحد

حنا التف�سير ال¡ند�سي نة من معادلتين من الدرجة الأولى في مت¨يرين ووVس منا اأنواع الأنظمة المكو قد

لحل هò√ الأنظمة.

دة ومعكو�س م�سفوفةm مربعةm با�ستخدام الحا�سÖ الBلي. عرVسنا اأنûسطةk اإKرائيةk في اإيجاد محد

9

10

11

12

13

14

15


1Vصع عالمة ) ( اأو عالمة ) ( عن يمين ما يلي:

العن�سر الواقع في العمود الثالث وال�سف الثاني من الم�سفوفة يرمز ل¬ بالرمز

لـ¡ا وجود م¡ما كانت رتبة

من الرتبة الرابعة م�سفوفة مربعة عدد عنا�سرها ي�سـاوي 4.

عدد عنا�سر ي�سـاوي م�سفوفة من الرتبة الرابعة.

ف. ف معر معر

ف ف معر معر

ف ف معر معر

بفرVس اأن Kالç م�سفوفاتm فاإن :

: بفرVس اأن من الرتبة من الرتبة من الرتبة فاإن

رتبة رتبة

عدد عنا�سر وعدد عنا�سر

ف. معر

ف. غير معر

من الرتبة

ف. معر

رتبة رتبة

رتبة رتبة

م�سفوفة �سفرية.

Vصع عالمة ) ( اأو عالمة ) ( عن يمين ما يلي:

áeÉY ø`jQÉ`ªJ


اختر الإجابة ال�صحيحة فيما يلي : 2

اإذا كانت فاإن قيمة �س ت�سـاوي :

اإذا كانت رتبة الم�سفوفة هي ورتبة الم�سفوفة هي وكانت

فاإن رتبة الم�سفوفة هي

اإذا كانت فاإن ت�سـاوي :

اإذا كان فاإن قيمة �س ت�سـاوي : د

ت�سـاوي :هـ


اأكمل الفراغات فيما يلي: 3

د

اإذا كانت

تان ( وكان فاإن ) حيث �س ، �س زاويتان حاد

عة من الرتبة 2 × 2 بحيث يكون هي ........... الم�سفوفة المرب

فاإن : اإذا كانت

فة لأن .................... بينما غير معر

هـ

دة الم�سفوفة ت�سـاوي : و محد


م�سفوفة المعامالت للنظام 2 �س + 5 �س – 3 = 0 ، 2 �س – �س = 6 هي ......................

اإذا كانت ح

فاإن

تمثل نظام معادلتين هما .................المعادلة الم�سفوفية ط

ي

اأوجد المعكو�س الجمعي ثم ال�صربي- اإن اأمكن- لكل م�صفوفة فيما يلي: 4

اإذا كانت فاإن ز

وفاإن اإذا كانت


اإذا كانت وكانت ، فاأوجد كال من : 5

اأثبت اأن �س = 3 هو اأحد جذور المعادلة 6

اأثبت اأن هي معادلة م�صتقيم يمر بالنقطتين ) 1،2 ( ، ) -5،5 (. 7

اإذا علمت اأن 8

( اأوجد ثم اكتب المعادلت الأربع الم�صـار اإليها.

ب( حل المعادلت المذكورة في بثالث طرق مختلفة.

++فاإن المعادلة الم�صفوفية

والمطلوب :تكافىء مجموعة من اأربع معادلت في متغيرين ،


اأوجد معادلة القطع المكافئ الذي محوره يوازي محور ال�صادات ويمر بالنقاط ) 2،1 ( ، ) 2، 1 ( ،

دات في الحل (. ) 1-، 2- (. ) اإر�صاد : ا�صتخدم المحد

10

: 11 اإذا كانت م�صفوفتين بحـيث يكـون فاأثبت اأن

فاإن المعادلة الم�صفوفية تكافئ نظاما من ثالث معادلت في ثالث متغيرات �س ، �س ، ع

( اكتب نظام المعادلت الم�صـار اإليها.

ب( اأوجد مجموعة الحل للنظام ال�صابق بطريقتين مختلفتين.

اإذا كانت 9


3

2

6

á«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG

4

5

7

8

9

11

3 وحدات طول عن الم�ستقيم �س = 3 ، 5 وحدات طول عن الم�ستقيم �س = – 5 ، بoعدها عن الم�ستقيم 12

�س ي�ساوي �سفر.�س =

4 وحدات طول.13

وحدة طول.14

وحدة طول.17

وحدة طول.18

)1-1 (

IóMƒdG

≈dhC’G


31

2

هـ

تمثل المجموعة الخالية

تمثل دائرة مركزها وطول ن�سف قطرها = 6

تمثل دائرة مركزها وطول ن�سف قطرها =

تمثل دائرة مركزها وطول ن�سف قطرها =

تمثل المجموعة الخالية

3

4

هـ

5

هـ

الم�ستقيم قاطع للدائرة. الم�ستقيم مما�س للدائرة.

. الم�ستقيم مما�س للدائرة. الم�ستقيم خارجي

الم�ستقيم قاطع للدائرة.

6

7وحدة طول

)2-1 (


7

3

6

8

9

11

معادلة الرتفاع النازل على الوتر هي

وحدة طول.

وحدة طول.4

5

معادلة

معادلة

معادلة

وطوله

د



4هـ

äÉã∏ãªdG ÜÉ°ùM

5

6 اأو اأي قيا�سين �سالبين اBخرين

اأو اأي قيا�سين موجبين اBخرين

1

2

3

هـ4

IóMƒdG

á«fÉãdG

) 1-2 (

) 2-2 (


1

3

نقطة مثلثيةلي�ست نقطة مثلثية

نقطة مثلثيةلي�ست نقطة مثلثيةنقطة مثلثية،

�سالبة�سالبة

�سفر4

�سفرغير معرف

7

هـ

8

9

هـ

13

) 3-2 (


2

4

3

4

5

6

3

5

) 4-2 (

) 5-2 (


1

2

3

4

5

6

هـ

1

3

4

5

6

7

10

) 6-2 (

) 7-2 (


1

3

4

5

6

7

عد بين النقطتين Ü ، جـ 48^164 م oالب

طول ال�سور 64^1336 م

عد بين المحطتين 28^287 كم oالب

بoعد ال�سخرة عن النقطة Ü ≈ 136 م

2

هـ

8

9

3

äGOóëªdGh äÉaƒØ°üªdG

د

5

) 8-2 (

) 1-3 (


IóMƒdG

áãdÉãdG

�سفر

1

ليمكن لختالف الرتبة


هـ

د

و

ز

3

هـ د


) 2-3 (


5

د

2

ليمكن لأن عدد اأعمدة الم�سفوفة الأولى ≠ عدد �سفوف الم�سفوفة الثانية

هـ د

ل يمكنل يمكن زو

3

) 2-3 (

) 3-3 (


هـ

د

زو

1

2

وهـ د

6

دهـ

زو

7

2

7

هـ و د

8

د

) 4-3 (

) 5-3 (


النظام غير م�ستقل.النظام م�ستقل النظام م�ستحيل الحل3

الم�ستقيمان منطبقان. 4

5

6

وهـ د

8

5

المعادلت هي :

الحل هو )–3 ، 1 (

9

10

) 6-3 (


متارين عامة

20

77

8

الرياضيات2

Documents