KONSEP DAN APLIKASI VEKTOR PADA GARIS DAN BIDANG Bahan Ajar Untuk Mata Kuliah Analisis Vektor Oleh: Fiki Alghadari, M.Pd

PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(STKIP) KUSUMA NEGARA JAKARTA

KONSEP DAN APLIKASI VEKTOR PADA GARIS DAN BIDANG

Fiki Alghadari Bahan Ajar Analisis Vektor

Pendidikan Matematika STKIP Kusama Negara Jakarta A. Sejarah Perkembangan Vektor

Ilmuwan bernama Josiah Willard Gibbs, pada abad 18 Gibbs dilahirkan di New Haven, Connecticut, USA pada 11 Februari 1839. Gibbs adalah fisikawan dan matematikawan yang banyak menyumbangkan gagasan teoretis termodinamika kimia. Sedangkan dalam matematika menyumbangkan gagasan analisis vektor. Gibbs bukan satu-satunya ilmuwan yang berjasa dalam pengembangan ilmu ini. Vektor mengalami perjalanan panjang sebelum akhirnya diperkenalkannya konsep keilmuan ini. Perkembangan konsep vektor begitu tertutup, bahkan asal-usulnya pun tidak banyak diketahui. Vektor lahir dalam dua dasawarsa pada abad ke-19 dengan gambaran geometris dari bilangan kompleks. Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dan setidaknya satu atau dua orang lainnya menyatakan bahwa bilangan kompleks berfungsi sebagai titik dalam bidang dua dimensi yaitu sebagai vektor dua dimensi. B. Contoh Kegunaan Vektor

Analisis Vektor dalam matematika adalah salah satu ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Dalam kalkulus, salah satu fokus dari vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Selain itu, juga fokus pada bidang vektor dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Kegunaan kalkulus vektor dalam kehidupan sehari-hari untuk sistem navigasi pesawat terbang. Semua pesawat terbang dilengkapi sistem navigasi agar pesawat tidak tersesat dalam penerbangan. C. Definisi Vektor

Definisi merupakan pernyataan yang bernilai benar karena disepakati, dan tidak dibuktikan. Vektor memiliki konsep dan definisi konsepnya. Beberapa definisi konsep tentang vektor seperti berikut:

Definisi: vektor adalah sebuah besaran yang memiliki panjang dan arah.

Definisi di atas menjelaskan bahwa vektor memiliki panjang dan arah, dan itu adalah konsepnya. Dengan adanya konsep ini, vektor menjadi suatu yang berbeda dengan segmen garis dan sinar. Segmen garis hanya memiliki panjang saja namun tidak ada arah, sedangkan sinar hanya memiliki arah namun panjangnya tidak terbatas. Oleh karena itu, vektor dikatakan sebagai segmen garis berarah.

r

Gambar 1. Vektor dari titik O ke titik R

Secara geometrik, definisi vektor di atas menjelaskan bahwa vektor

merupakan koleksi dari semua segmen garis berarah. Contohnya digambarkan seperti pada gambar 1. Pada gambar tersebut, ada titik O dan titik R. Titik O disebut dengan origin atau initial point dan titik R disebut dengan terminus atau terminal point. Perubahan posisi dari titik O ke titik R menunjukan arah perpindahan dan direpresentasikan dengan garis OR. Panjangnya adalah sepanjang ruas garis OR. Sedangkan secara analitik, vektor pada bidang dua dimensi merupakan pasangan bilangan real yx, , dinotasikan dengan vektor r, dan ditulis

yxr , . Untuk vektor pada ruang tiga dimensi merupakan tripel dari bilangan real zyx ,, . Penyajian vektor dalam bentuk lain adalah vektor basis yjxi dan

vektor kolom

y

x. Melihat dari penyajiannya, vektor ini berkaitan dengan system

koordinat. Bilangan real x , y , dan z disebut dengan komponen dari vektor. Digambarkan seperti berikut.

r

y

xyjxir

Gambar 2. Vektor pada sumbu koordinat

Lebih lanjut, selain berbeda dengan segmen garis dan sinar, vektor juga

berbeda dengan scalar. Berikut ini adalah definisi dari skalar.

Definisi: skalar adalah besaran yang dianggap memiliki panjang tapi tidak berarah.

Melihat dari definisi skalar tersebut, ada suatu kesamaan antara skalar dengan

segmen garis. Namun skalar tidak dikatakan sebagai segmen garis karena segmen garis memiliki panjang yang selalu positif. Berbeda dengan scalar, yang mana bisa positif atau negatif. Itu adalah pembeda antara skalar dengan segmen garis. D. Aljabar Vektor

Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian familiar dalam bilangan atau skalar aljabar, dengan definisi yang sesuai, operasi-operasi tersebut diekstensi pada aljabar vektor. Berikut beberapa definisi fundamental.

Definisi: dua vektor dikatakan sama ketika keduanya mempunyai panjang

dan arah yang sama.

Apabila diterjemahkan dengan cara berbeda, definisi di atas sama halnya seperti berikut: ada dua vektor misalkan vektor zyxa dan vektor

rqpb , kemudian vektor a dan vektor b dikatakan sama ( ba ) apabila px , qy , dan rz . Berikut ilustrasinya secara geometri.

Gambar 3. Vektor a sama dengan vektor b

Gambar di atas menunjukan bahwa panjang dan arah dari vektor a dan vektor

b adalah sama sehingga ba . Berikut ini satu definisi lain tentang vektor. Definisi: suatu vektor mempunyai arah berlawanan dengan vektor a tetapi

mempunyai panjang yang sama dinotasikan dengan a .

Ilustrasi geometris dari definisi tersebut di atas dapat dilihat pada gambar yang disajikan di bawah.

Gambar 4. Vektor dengan arah berlawanan

Berbagai definisi tentang konsep vektor telah mengawali sebelum sampai pada

proses aritmatika. Disini juga masih ada beberapa definisi lain.

Definisi: jumlah atau resultan vektor a dan vektor b adalah vektor c dibentuk dengan menempatkan initial point dari vektor a pada terminal point dari vektor b dan kemudian gabungkan initial point dari vektor a ke terminal point vektor b . Penjumlahan ini ditulis dengan ba , atau bac .

Terkait dengan definisi di atas, berikut ini digambarkan ilustrasi penjumlahan

dua bauh vektor secara geometri.

Gambar 5. Dua buah vektor dijumlahkan

Definisi: perbedaan dari vektor a dan vektor b , direpresentasikan dengan

ba , didefinisikan sebagai penjumlahan ba .

Jika ba , maka ba didefinisikan sebagai vektor nol dan direpresentasikan dengan symbol 0, seperti dijelaskan dalam definisi berikut.

Definisi: suatu vektor dikatakan sama dengan nol ketika panjangnya adalah

nol.

Vektor nol adalah suatu vektor yang semua komponennya adalah nol. Oleh karena itu, vektor nol merupakan vektor yang tidak mempunyai panjang serta tidak menunjukan ke suatu arah.

Definisi: product dari vektor a dengan skalar m adalah vektor ma

dengan panjang m kali panjang vektor a , dan dengan arah yang

sama dengan vektor a apabila m adalah positif, atau arah berlawanan terhadap vektor a apabila m negatif. Jika 0m , ma adalah vektor nol.

E. Hukum Aljabar Vektor

Jika a , b , dan c , adalah vektor dan m dan n adalah skalar, maka berlaku hukum aljabar vektor berikut. 1. abba Hukum komutatif untuk penjumlahan 2. cbacba Hukum asosiatif untuk penjumlahan

3. amma Hukum komutatif untuk perkalian 4. amnnam Hukum asosiatif untuk perkalian

5. namaanm Hukum distributif

6. mbmabam Hukum distributif

Catatan bahwa dalam hukum ini hanya perkalian vektor dengan satu atau lebih skalar digunakan dan tidak untuk penjumlahan vektor. Hukum ini bisa digunakan untuk persamaan vektor dalam cara yang sama sebagai persamaan aljabar ordinary, seperti jika cba maka dengan transpose bca . F. Hubungan Vektor Independen dari Origin (Titik Asal)

Hubungan antara dua vektor independen dari titik asal bermanfaat untuk mengetahui suatu vektor lain dengan perbandingan tertentu.

Gambar 6. Vektor-vektor dari titik asal

OBCOmOCAOn

mCBnACn

m

CB

AC

nm

nambc

nambmnc

mcmbnanc

cbmacn

Contoh soal: Diketahui titik 1,2,5A dan titik 13,10,9B . Titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan 3:1 , ruas garis berarah AC mewakili vektor u dan ruas garis CB mewakili vektor v . Tentukan koordinat titik C, vektor u , dan vektor v . Pembahasan:

31

1253131091

nm

nambc

4461616244

1c

Jadi posisi titik 446C .

321125446 acu

96344613109 cbv

Soal latihan 1. Diketahui titik 562A dan zyxB . Titik 542P membagi

dengan perbandingan 3:2: PBAP . Koordinat titik B adalah …. 2. Diketahui titik 734A dan 1376 B , dan P membagi AB diluar

dengan perbandingan 2:3 . Koordinat titik B adalah …. 3. Diketahui titik titik 532A , 732B , dan 10yxC . Jika A, B,

dan C segaris, maka koordinat C adalah ….

G. Aplikasi dari Hubungan Vektor Independen Aplikasi dari hubungan vektor-vektor independen untuk menghitung

pembagian ruas garis dengan memanfaatkan vektor yang berpangkal pada titik asal 0,0,0O . Contoh: Diketahui 3:4: RQBR , 2:5: AQOA . Buktikan 8:35: PROP .

Gambar 7. Segitiga OBQ

Pembahasan:

1...7

3

7

4

7

34

nOBnOQOP

OBOQnOP

nOROP

Bandingkan antara persamaan (1) dan persamaan (2)

mOBOQmnOBnOQ

OPOP

7

5

7

5

7

3

7

4

2...7

5

7

57

5

7

5

7

2

7

57

5

7

5

7

2

7

57

5

7

2

7

57

5

7

2

7

5

7

52

7

57

57

5

mOBOQmOP

mOQmOBmOBOQOP

mOQmBOmOBOQOP

OQBOmmOBOQOP

mBQmBOOQOP

BQBOmOQOP

mBAOQOP

mABOQOP

APOAOP

sehingga

43

35

43

49

7

549

15

7

5

7

4

7

3

7

5

7

5

7

47

5

7

5

7

47

3

n

n

nn

mn

mn

jadi

43

3543

35

OR

OP

OROP

atau 8:35: PROP

Soal latihan

1. Perhatikan gambar 7, dan buktikan bahwa 15:28: PABP .

H. Panjang Vektor Panjang vektor adalah jarak antara origin dengan terminus. Sebagai contoh,

dikatehaui titik 0,0,0O dan titik zyxA ,, , maka panjang vektor OA dinotasikan

dengan 222 000 zyxOA .

Contoh: Berapa panjang vektor dari titik 2,0,1P dan titik 2,1,3A ? Pembahasan

5221031 222 PAAP .

I. Vektor Satuan

Setelah mengetahui panjang vektor, maka setiap vektor dengan panjang tertentu memiliki vektor satuan masing-masing, dan didefinisikan sepert berikut.

Definisi : vektor satuan adalah vektor yang arahnya sama dan panjangnya

satu satuan. Vektor satuan dinotasikan dengan re (dibaca e topi),

zyxzyxr

rer 222

1

.

Contoh: Diketahui vektor 321u , hitung panjang vektor dan vektor satuannya. Pembahasan

Panjang vektor 14321 222 u , vektor satuan 321 14/1ue .

J. Direct Product (Perkalian Skalar)

Direct product biasa juga dikenal dengan istilah dot product, inner product, scalar product, atau perkalian skalar. Istilah-istilah ini akan digunakan secara bergantian dalam menyebut istilah yang menyatakan kondisi tersebut. Berdasarkan sifat perkalian skalar vektor dalam hukum aljabar, diketahui bahwa jika vektor u dikalikan dengan skalar c , maka panjangnya juga dikalikan dengan c , jadi uccu . Berikut definisi mengenai direct product.

Definisi : direct product dari vektor u dan vektor v adalah skalar yang

diperoleh dari perkalian dari panjang-panjang vektor dengan nilai cosinus dari sudut diantara kedua vektor.

Perkalian skalar dua vektor misalkan vektor 321 uuuu dan

321 vvvv dinamakan dengan hasil kali titik, dan dinotasikan dengan vu ,

dibaca u dot v . Perkalian scalar vektor u dan v adalah

cosvuvu

dimana θ adalah besar sudut antara vektor u dan vektor v , seperti digambarkan berikut ini.

Gambar 8. Sudut antara vektor u dan v

Karena cosvuvu dan cos360coscos , maka perkalian

skalar mengikuti hukum komutatif dan distributif. Dalam suatu kasus dua buah vektor yang segaris maka sudut antara dua vektor adalah nol atau 1800 sehingga nilai cosinusnya berturut-turut menjadi positif atau negatif. Oleh karena itu perkalian skalar dari dua vektor sejajar secara numerik sama dengan perkalian dari panjangnya. Tanda menjadi positif ketika arah vektor sama, dan negatif ketika arahnya berlawanan. Akibatnya, perkalian skalar dengan vektor itu sendiri akan menjadi vektor nol.

Sedangkan pada kasus lain, misalkan vektor u dan vektor v tegak lurus dengan besar sudut plus atua minus 900 sehingga nilai cosinusnya menjadi 0 dan perkalian skalar menjadi 0 juga. Oleh karena itu, berdasarkan vektor basis,

kujuiuu 321 dan kvjvivv 321 , untuk vektor satuan kji ,, , maka

1 kkjjii dan 0 jiikkj . Dengan demikian, hasil kali titik menjadi skalar.

332211

332313

322212312111

332313

322212312111

321321

100

010001

vuvuvuvu

vuvuvu

vuvuvuvuvuvuvu

kkvujkvuikvu

kjvujjvuijvukivujivuiivuvu

kvjvivkujuiuvu

Soal latihan 1. Jika vektor a dan b membentuk sudut 600, 2a dan 5a , maka tentukan

aba .

2. Vektor 233 kkku tegak lurus terhadap vektor 311 , berapa nilai k.

3. Diberikan 34u , 5v , dan 13 vuvu . Berapa besar sudut

antara vektor u dan v .

4. Diketahui 2u , 3v , dan 5 vu . Berapa besar sudut antara vektor

u dan v .

5. Diketahui 29u , 1 vuvu dan 30 uvv . Berapa besar

sudut antara vektor u dan v . 6. Diketahui vektor 222 pa , 211b . Jika 060, ba ,

tentukan nilai perbandingan cosinus sudut antara vektor a dan vektor ba . 7. Diketahui dua buah vektor, yaitu vektor a dan b . Jika 12a , 15b dan

24 ba , berapa ba .

8. Diketahui segitiga ABC dengan titik 8,0,4A , 6,2,8B , dan 10,0,4C . Hitung nilai cosinus sudut terbesar segitiga ABC.

K. Proyeksi Vektor Proyeksi orthogonal adalah proyeksi yang tegak lurus pada garis atau bidang

frontal. Pada vektor, proyeksi ada dua macam yaitu proyeksi skalar orthogonal dan proyeksi vektor orthogonal. Pemanfaatan kedua proyeksi ini misalnya digunakan untuk menghitung jarak suatu titik terhadap suatu garis pada bangun ruang. 1. Proyeksi skalar orthogonal vektor u pada v adalah panjang vektor u yang

diproyeksi pada arah vektor v.

Gambar 9. Proyeksi orthogonal vektor u pada v

Dari ilustrasi gambar, sehingga diperoleh bahwa

vu

vuuuc

cos atau

v

vuc

2. Proyeksi vektor orthogonal vektor u pada v adalah vektornya vektor u yang

diproyeksi pada vektor v.

3212 vvvv

vu

v

v

v

vuc

.

Soal latihan 1. Panjang proyeksi vektor pa 12 pada vektor 11 pb adalah

3/2 . Berapa nilai p .

2. Diketahui vektor 221a ; 11 xb , dan panjang proyeksi vektor

a pada b adalah 3/6 . Jika sudut antara vektor b dan a lancip, berapa nilai x. 3. Diketahui vektor 221a dan 112 b , maka proyeksi vektor

orthogonal vektor a pada arah vektor b adalah .... 4. Diketahui vektor 122a , 223b dan 034c , maka

proyeksi vektor orthogonal vektor ba 2 pada arah vektor c adalah ....

5. Diketahui vektor 513 a dan 221 a . Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah ....

6. Diketahui panjang proyeksi vektor 133u dan 33 pv adalah 2/3 . Berapa nilai p .

7. Diketahui vektor xu 43 , 632 v , jika panjang proyeksi vektor u pada v adalah 6, berapa nilai x.

8. Diketahui vektor 20,22,211 qwpvu . Jika panjang proyeksi vektor v pada vektor u adalah 1, dan vektor v tegak lurus dengan vektor w, berapa nilai qp .

9. Diketahui vektor 642 u dan 422 v . Tentukan proyeksi skalar dan vektor orthogonal u pada v.

10. Diketahui vektor xxa 1 , 132 xxb , dan vektor p adalah

proyeksi vektor b ke a. Jika ap 2 maka tentukan nilai x yang memenuhi.

L. Aplikasi Proyeksi Vektor dalam Dimensi Ruang Berdasarkan penyajiannya, vektor dinotasikan dalam beberapa bentuk

diantaranya vektor basis, vektor kolom, dan vektor baris. Dari penyajian tersebut, terlihat bahwa komponen-komponen vektor termuat dalam dimensi dua (bidang datar x dan y) dan dimensi tiga (bangun ruang x, y, dan z). Pemanfaatan aplikasi vektor dalam ruang berdimensi tiga contohnya untuk menghitung jarak antara titik dan titik, jarak antara titik dan garis.

Menghitung jarak antara titik dan titik dengan memanfaatkan perhitungan panjang vektor. Sedangkan menghitung jarak antara titik dan garis dengan memanfaatkan proyeksi vektor, karena sesuai definisi bahwa jarak antara titik dan garis merupakan jarak terdekatnya. Jarak terdekat antara titik dan garis adalah jarak tegak lurus dari titik ke garis, sehingga konsep proyeksi ortogonal vektor diaplikasikan dalam contoh soal berikut. Contoh: Pada gambar di bawah, diketahui titik P pada pertengahan garis BC. Jika jarak titik F ke garis AP adalah jarak terdekat antara titik dan garis, maka hitung jarak titik F ke garis AP. Gunakan perhitungan dengan memanfaatkan proyeksi ortogonal vector.

Gambar 10. Kubus pada Ruang Koordinat

Pembahasan Dengan hubungan vektor-vektor independen, maka diketahui koordinat 0,2,4P .

Vektor 024 vAP , 5224 22 v , serta vektor

404 uAF , 2444 22 u , sehingga

5

5

8

52

16

52

024404

v

vucAQ .

0245

4024

20

0244042

v

v

vucAQ .

Gambar 11. Ilustrasi Gambar Hubungan Titik F dan Garis AP

Jarak titik F ke garis AP dihitung dengan

20215

4404024

5

4 AFQAQF

305

4

25

4804

5

8

5

4 222

QF

atau dengan teorema phytagoras

305

4

5

965

5

824

2222

AQAFcFQ

Dengan demikian, jarak titik F ke garis AP adalah 305

4 satuan.

Soal Latihan 1. Diketahui titik P di tengah garis GH, titik Q di tengah garis AD. Jika jarak titik

F ke garis PQ adalah jarak terdekat antara titik dan garis, maka hitung jarak titik F ke garis PQ.

2. Diketahui titik O di tengah bidang ABCD. Hitung jarak dari titik G ke garis EO.

M. Konsep Persamaan Vektor Persamaan garis cmxy pada koordinat cartesius menjadi analogi dan

pengetahuan awal untuk pengembangan konsep persamaan vektor. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 12. Vektor u , v , dan c

Konsep penjumlahan atau pengurangan dua buah vektor independen dari

origin digunakan untuk menyatakan suatu persamaan vektor. Pada gambar 12 di atas, diketahui bahwa vektor c merupakan jumlah antara vektor u dan vektor v , atau vuc . Melihat dari gambar tersebut, vektor c sebagai jumlah dari dua vektor lainnya sangat dipengaruhi oleh kedua vektor itu. Ilustrasinya seperti gambar berikut.

Gambar 13. Ilustrasi hubungan vektor u , v , dan nc

Dari gambar 13 di atas, berdasarkan penjumlahan geometri vektor vuc ,

dengan merupakan suatu skalar tertentu, sehingga persamaan umum untuk suatu vektor dapat digeneralisasi seperti berikut.

vucOE

vucOD

vucOC

vucOB

nn

...33

22

11

Artinya, apabila dimisalkan vektor u merupakan suatu vektor dengan posisi

yang tetap dan vektor v merupakan vektor dengan panjang yang berubah-ubah dikarenakan oleh suatu skalar tertentu (misalkan dengan ) seperti pada gambar 13, sehingga dengan berubahnya panjang vektor v , maka panjang vektor c juga akan ikut berubah. Dengan demikian perubahan kedua vektor tersebut dibuatkan dalam bentuk persamaan vektor yang diperumum menjadi vuc nn . Dalam hal

ini, skalar mempengaruhi panjang vektor v akibatnya juga mempengaruhi panjang vektor c . Persamaan vektor ini dapat dimanfaatkan untuk menentukan posisi titik seperti titik B, C, D, ataupun E. Oleh karena itu, persamaan vektor dianalogikan seperti persamaan garis lurus dimana vn seperti halnya gradient

dari garis lurus. N. Persamaan Vektor suatu Garis Lurus

Secara umum, persamaan vektor vuc nn bisa disajikan dalam tiga bentuk

dengan masing-masing bentuk yang saling berkaitan. Berikut ini adalah tiga buah bentuk persamaan vektor tersebut. 1. Vector Form

Vector form dari suatu persamaan tidaklah unik sehingga ada banyak perbedaan cara untuk mengekspresikan persamaan.

Gambar 14. Ilustrasi hubungan vektor u , v , dan c .

Ada dua ulasan terkait dengan banyaknya perbedaan cara untuk

mengekspresikan persamaan, yaitu arah (direction) dan lokasi. Direction pada gambar 14 direpresentasikan oleh vektor v . Sebagai contoh, misalkan direction vektor seperti 321 . Itu artinya bahwa untuk setiap perubahan sepanjang 1 unit dalam arah i , garis mengalami perubahan 2 unit dalam arah j , dan 3 unit dalam arah k . Sedangkan lokasi adalah tentang posisi titik, seperti pada gambar 13 yaitu posisi titik B, titik C, atau yang lain. Oleh karena itu, dengan sebagai skalar sehingga membuat posisi titik-titik dilewati oleh garis dan bersesuaian dengan persamaan vektor. Contoh: Misalkan untuk gambar 14 diketahui bahwa titik 0,0,0O , 1,1,1A , dan

1,2,1 B , tentukan vektor form suatu garis yang melalui titik A dan titik B. Pembahasan Dari ketiga titik, titik O, titik A, dan titik B, diperoleh vektor 111 uOA dan vektor 232 vAB , dan sesuai dengan persamaan vektor

vuc , maka vektor form dari gambar 14 di atas adalah

232111 c .

2. Parametric Form Parametric Form merupakan persamaan vektor dengan memisah-misahkan

setiap komponen x, y, dan z. Berikut contoh mengubah vektor form menjadi parametric form. Misalkan diberikan persamaan vektor dengan vector form seperti berikut.

232211 zyx

Mengubah vector form sehingga menjadi parametric form adalah dengan cara memisahkan setiap komponen x, y, dan z, maka diperoleh

22

31

21

z

y

x

Jadi persamaan parametric untuk 232211 zyx

adalah 21x , 31y , dan 22z . 3. Cartesian Form

Cartesian form merupakan persamaan vektor dengan mengubah bentuk parametric form dengan memisahkan λ ke dalam suatu bentuk yang memuat komponen x, y, atau z seperti berikut.

2

121

x

x

3

131

yy

2

222

z

z

Jadi cartesian form 232211 c adalah 2

2

3

1

2

1

zyx

.

Soal latihan 1. Ubahlah persamaan vektor berikut ke bentuk lain.

a. kjikjir 2322

b.

15

53

4

z

y

x

c. 2;4

73

7

5

z

yx

2. Apakah garis kjikr 3 dan kjjir 532 berpotongan atau bersilangan? Jika berpotongan, tentukan titik potongnya. Tentukan juga besar sudut lancip diantara kedua garis itu.

3. Apakah garis kjikjr 223 dan kjikjir 252 berpotongan atau bersilangan? Jika berpotongan, tentukan titik potongnya. Tentukan juga besar sudut lancip diantara kedua garis itu.

4. Persamaan vektor suatu garis diberikan dengan Cartesian form

2

13

3

2

6

53

zyx. Tentukan persamaan vektor dari garis sejajar yang

melalui titik dengan koordinat 1,7,3 dan tentukan posisi titik koordinat garis tersebut dimana 0z .

5. Tunjukan bahwa garis dengan persamaan kjikjir 432

dan kjikjir 20551143 adalah berimpit.

6. Tunjulah bahwa garis 3

12

4

1

2

3

zyx dan

6

54

4

3

4

12

zyx

adalah sejajar. 7. Tunjukan bahwa garis dengan persamaan vektor jijir 332 dan

jiir 624 adalah sejajar, dan tentukan persamaan vektor untuk garis

sejajar yang melalui 1,1 . 8. Garis l dan m mempunyai persamaan masing-masing

kjilkjir 223 dan kbjaimkjir 244 , dimana a dan b adalah konstanta. a. Jika garis l dan garis m berpotongan, tunjukan bahwa 42 ba b. Dan Jika garis l dan garis m saling tegak lurus, tentukan nilai a dan b. c. Dengan nilai konstanta a dan b pada bagian b), tentukan titik potong garis l

dan garis m. 9. Tentukan jarak titik Q dengan koordinat 3,2,1 dari garis lurus dengan

persamaan kjikjir 22243 .

O. Cross Product (Perkalian Vektor) Cross product dikenal juga dengan istilah skew products, vektor product, outer

product, atau perkalian silang. Istilah-istilah ini akan digunakan secara bergantian dalam menyebut istilah yang menyatakan kondisi tersebut. Berikut ini definisi tentang cross product.

Definisi : cross product ( c ) dari vektor u dan vektor v dinotasikan dengan vuc dan dibaca u cross v . Panjang vektor vu

didefinisikan sebagai product dari panjang vektor u dan vektor v dengan sinus sudut antara kedua vektor itu ( ), atau

sinvuvuc . Sedangkan arah vektor vuc tegak

lurus dengan bidang dari vektor u dan vektor v .

Berdasarkan definisi sinvuvuc , dan sifat-sifat sudut berelasi

dalam trigonometri sin360sinsin , maka berikut ini disajikan sifat-sifat cross product. 1. uvvu (anti komutatif) 2. wuvuwvu (distributif)

3. wuvuvu 4. 0uu dan 0 vv

Oleh karena itu, vektor basis dalam koordinat kartesian kji ,, menurut sifat-sifat skew product berlaku

jkiijkkij

jikikjkji

kkjjii

,,

,,

0

Dengan demikian, mengingat sifat sifat skew product di atas, maka dengan

hukum distributif vektor basis dapat dihitung seperti berikut.

kvuvujvuvuivuvu

kvjvivkujuiuvu

122113312332

321321

Perkalian vektor basis di atas dapat dinyatakan dalam bentuk determinan

matriks berikut.

kvuvujvuvuivuvu

kvv

uuj

vv

uui

vv

uu

vvv

uuu

kji

vu

122113312332

21

21

31

31

32

32

321

321

Contoh: Ada vektor 221a dan 112 b , tentukan ba . Pembahasan

kji

kji

kji

kji

ba

354

221122112212

12

21

12

21

11

22

112

221

atau

kji

ijikjk

ijikjk

kkjkikkj

jjijkijiii

kjikjiba

354

2424

022420241102

12122212

1222111121

222

Soal Latihan 1. Berikan semua vektor yang tegak lurus terhadap vektor kji 42 dan

kji 543 . 2. Berikan semua vektor yang tegak lurus terhadap vektor kji 34 dan

kji 4 . 3. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor-vektor yang dibentuk

oleh titik 0,2,1 , 3,1,5 , dan 2,0,4 . 4. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor-vektor yang dibentuk

oleh titik 5,1,0 , 2,2,2 , dan 1,4,3 .

P. Aplikasi Cross Product dan Persamaan Bidang Berdasarkan definisi dari cross product, maka hasil perkalian silang

diaplikasikan untuk mencari persamaan bidang dalam ruang tiga dimensi yang melalui tiga titik tidak segaris. Dari tiga titik yang tidak segaris tersebut akan diperoleh dua buah vektor misalkan vektor u dan vektor v, kemudian dari kedua vektor tersebut dihitung hasil kali silang dan menghasilkan sebuah vektor baru misalkan vektor n. Artinya hasil kali silang yang diperoleh dari vu merupakan vektor n yang dan vektor n saling tegak lurus dengan vektor u dan vektor v. Vektor n tersebut dinamakan dengan normal bidang.

Gambar 15. Vektor normal bidang .

Persamaan bidang bisa disajikan dalam dua bentuk, yaitu persamaan normal

dan persamaan kartesian. 1. Normal equation (persamaan normal)

Sebuah bidang melalui titik p dan tegak lurus dengan normal bidang n dan mempunyai posisi titik r, misal zyx ,, , sehingga normal equation npnr .

Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui titik 3,2,11 p , 2,1,42p , dan 0,3,23 p .

Pembahasan Cara I: Dari tiga titik, diketahui bahwa

53321 ppu

24632 ppv

62414246533 kjikjivu sehingga diperoleh

44624143,2,11 np . Jadi normal equationnya adalah 4462414 r Cara II: Karena normal bidang zyxn adalah vektor yang tegak lurus dengan setiap vektor yang berada pada bidang, vektor u dan vektor v, maka

0 nu dan 0 nv , sehingga diperoleh dua persamaan:

0246

0533

zyx

zyx

Dengan mengeliminasi variable x dari dua persamaan di atas, maka diperoleh 082 zy , sehingga

.2

8

82

082

z

y

zy

zy

Jadi, untuk 8y dan 2z maka ketika disubsitusi ke persamaan

0533 zyx akan diperoleh 3/14x , sehingga normal bidang

283/14n dan 3/44283/143,2,11 np . Dengan

demikian normal equationnya adalah 3/44283/14 r . 2. Cartesian equation (persamaan kartesian)

Apabila zyxr ,, dan rqpn ,, , sehingga persamaan npnr menjadi nprzqypx . Persamaan nprzqypx dinamakan dengan

persamaan cartesian (cartesian equation) dari persamaan bidang. Persamaan normal untuk persamaan bidang yang melalui titik 3,2,11 p ,

2,1,42p , dan 0,3,23 p adalah 4462414 r . Apabila persamaan

normal tersebut dibuat ke bentuk persamaan kartesian menjadi 4462414 zyx . Sedangkan untuk persamaan normal

3/44283/14 r apabila dibuat ke bentuk persamaan kartesian akan menjadi 3/44283/14 zyx . Bandingkan antara persamaan kartesian dengan , apakah kedua persamaan tersebut sama?

Soal Latihan 1. Cari persamaan bidang yang melalui 6,5,2 , 2,1,1 , dan 6,0,4 .

2. Cari persamaan bidang yang melalui 3,2,1 , 1,2,4 , dan 6,1,5 .

3. Cari persamaan bidang yang melalui 3,2,1 dan tegak lurus terhadap dua bidang 322 zyx dan 723 zyx .

4. Cari persamaan bidang yang melalui 2,3,2 dan sejajar bidang dengan vektor kji 34 dan kji 652 .

5. Cari persamaan bidang yang melalui 1,2,6 dan tegak lurus pada garis potong bidang 05234 zyx dan 01123 zyx .

6. Find the cartesian equation of the plane which passes through the point 1,4,3 and which is parallel to the plane containing the point 1,2,1 and the

line 111r . 7. Persamaan bidang yang memuat garis tx 21 , ty 31 , tz 4 , dan

titik 5,1,1 adalah ….

Q. Hubungan Persamaan Vektor suatu Garis dan Persamaan Bidang Berbicara mengenai vektor dan bidang, kedua komponen ini berada dalam

system koordinat ruang tiga dimensi. Ada dua kemungkinan hubungan antara vektor dan bidang, yaitu vektor berada pada bidang, atau vektor berimpit dengan bidang.

Gambar 16. Hubungan Vektor dan Bidang

Namun apabila vektor tidak terletak pada bidang, walaupun vektor dan bidang

itu sejajar, maka kondisi ini jelas berada pada ruang tiga dimensi. Berikut kemungkinan hubungan antara vektor dan bidang. 1. Vektor Berimpit dengan Bidang

Direction atau arah vektor dapat ditentukan dari dua buah titik yang disajikan. Dengan kata lain, dari dua buah titik akan membentuk satu vektor dengan suatu panjang dan arah tertentu. Lebih lanjut, untuk memeriksa apakah suatu vektor berimpit dengan bidang yaitu dengan cara mensubsitusikan titik yang diketahui dan dilewati vektor tersebut. Apabila hasil subsitusi titik–titik itu memenuhi persamaan bidang maka tentu titik-titik itu dimuat oleh bidang. Artinya titik berada pada bidang dan vektor yang melalui titik tersebut berimpit dengan bidang. 2. Vektor Sejajar Bidang

Suatu vektor dikatakan sejajar bidang apabila nilai dot product antara normal bidang n dan arah vektor d sama dengan 0. Mengapa demikian? Karena arah vektor ( d ) sejajar dengan bidang, sementara bidang memiliki vektor normal ( n ) yang tegak lurus dengan bidang, akibatnya arah vektor ( d ) akan tegak lurus dengan vektor normal bidang ( n ) sehingga membentuk sudut 900 dan

090coscos ndndnd . Ilustrasi bisa dilihat pada gambar.

Gambar 17. Ilustrasi vektor yang sejajar dengan suatu bidang

Informasi di atas dapat digunakan untuk memeriksa ketegaklurusan antara

suatu vektor dengan suatu bidang. 3. Vektor Tegak Lurus Bidang

Suatu vektor yang diketahui arahnya, atau direction vektor ( d ), dikatakan tegak lurus bidang dengan vektor normal n , apabila nilai perbandingan antara

direct product ( nd ) dengan perkalian panjang vektor ( nd ) sama dengan 1 atau

-1. Dengan kata lain, nilai kosinus antara normal bidang n dan direction vektor d sama dengan 1 atau –1, atau

1cos

nd

nd atau 1cos

nd

nd .

Nilai perbandingan cosinus tersebut akan menjadi 1 apabila besar sudut antara

direction vektor d dan vektor normal n sama dengan 0. Namun demikian, perbandingan cosinus akan bernilai 1 apabila besar sudut antara direction vektor d dan vektor normal n sama dengan 1800. Artinya, vektor normal n berlawanan arah dengan direction vektor d , atau dn dengan adalah skalar tertentu yang bernilai negatif. Berikut ilustrasi gambar antara direction vektor d dan vektor normal n .

Gambar 18. Vektor d dan vektor normal n

4. Vektor dan Bidang Membentuk Sudut θ

Apabila besar sudut yang dibentuk oleh suatu vektor dan suatu bidang adalah θ, maka besar θ dapat dihitung dengan menggunakan nilai perbandingan trigonometri sinus antara vektor normal bidang n dan direction vektor d , yaitu dengan:

nd

nd sin

Untuk lebih memahami alasan menggunakan perbandingan nilai sinus dalam

perhitungan sudut antara vektor normal bidang n dengan direction vektor d , dapat dianalisis dari gambar berikut.

Gambar 19. Vektor d dan vektor normal n dengan sudut θ

R. Titik Tembus suatu Garis pada Bidang dengan Persamaan Vektor Titik tembus vektor pada bidang merupakan titik yang dimuat oleh bidang

sekaligus dilewati oleh vektor. Berikut ini adalah ilustrasinya geometrinya.

Gambar 20. Vektor d menembus bidang di titik P

Contoh: Tentukan posisi titik tembus persamaan vektor pada bidang apabila diketahui bidang dengan persamaan 8632 zyx dan vektor dengan persamaan

632653 r . Pembahasan Berdasarkan informasi di atas, diketahui bahwa suatu vektor dengan persamaan

632653 r , dan bidang dengan persamaan 8632 zyx . Dari persamaan vektor tersebut, diperoleh bahwa

23x , 35 y , dan 66 z . Karena posisi titik 23x , 35y , dan 66 z juga dimuat bidang, maka posisi titik tersebut disubsitusikan pada persamaan bidang sehingga diketahui nilai yang menjadi scalar pada persamaan vektor.

1

8666353232

8632

zyx

Kemudian 1 disubsitusikan pada persamaan vektor 021

6321653

632653

zyx

zyx

zyx

Dengan demikian diperoleh vektor 021 . Karena vektor tersebut merupakan

vektor independent dari origin 0,0,0O , maka titik koordinat yang merupakan

titik tembus persamaan vektor 632653 r pada bidang

8632 zyx adalah 0,2,1 .

Soal latihan 1. Diketahui suatu kubus dengan panjang sisi 4 satuan.

Gambar 21. Kubus dalam Koordinat Ruang

Tentukan: a. Persamaan vektor dari garis CE b. Persamaan bidang BDHF c. Sudut antara garis CE dan bidang BDHF d. Vektor posisi titik tembus CE pada bidang BDHF

S. Hubungan suatu Bidang dan Bidang Lain dengan Konsep Vektor Antara suatu bidang dengan bidang yang lain, satu sama lain memiliki

hubungangeometri, seperti: bidang sejajar bidang yang lain, bidang tegak lurus dengan bidang lain, serta bidang membentuk sudut θ dengan suatu bidang lain.

1. Bidang Sejajar Bidang Lain

Suatu bidang dikatakan sejajar dengan bidang lain apabila nilai perbandingan cosinus antara vektor normal bidang 1n dan vektor normal bidang 2n sama dengan 1 atau –1. atau

1cos21

21

nn

nn atau 1cos21

21

nn

nn

Nilai perbandingan cosinus sama dengan 1 apabila besar sudut antara vektor

normal bidang 1n dan vektor normal bidang 2n sama dengan 0. Namun demikian, perbandingan cosinus akan bernilai 1 apabila besar sudut antara vektor normal bidang 1n dan vektor normal bidang 2n sama dengan 1800. Artinya, vektor normal

bidang 1n berlawanan arah dengan vektor normal bidang 2n , atau 21 nn dengan adalah skalar tertentu yang bernilai negatif. Berikut ilustrasi gambar

antara vektor normal bidang 1n dan vektor normal bidang 2n .

Gambar 22. Dua Buah Bidang Sejajar dengan Vektor Normal

2. Bidang Tegak Lurus Bidang Lain

Suatu bidang dikatakan tegak lurus bidang lain apabila nilai dot product dari vektor normal bidang 1n berlawanan arah dengan vektor normal bidang 2n sama dengan 0. Ilustrasinya bisa dilihat pada gambar 23.

n1

n2

Gambar 23. Dua Buah Bidang Tegak Lurus dengan Vektor Normal

Nilai dot product sama dengan 0 karena vektor normal bidang 1n tegak lurus

dengan vektor normal bidang 2n . Oleh karena itu, kedua vektor normal bidang

membentuk sudut 900, dan 090coscos 212121 nnnnnn .

3. Bidang Membentuk Sudut θ dengan Bidang Lain

Suatu bidang yang berpotongan dengan bidang lain dan besar sudut yang dibentuk oleh kedua bidang tersebut adalah θ di ilustrasikan seperti di bawah ini.

Gambar 24. Dua Buah Bidang Membentuk Sudut θ

Berdasarkan ilustrasi di atas, maka menentukan besar θ dapat dihitung dengan

menggunakan nilai perbandingan cosinus antara vektor normal bidang 1n dan

vektor normal bidang 2n , yaitu

21

21180cosnn

nn atau

21

21cosnn

nn .

Dari algoritma di atas terlihat ada 180cos , ini dikarenakan jumlah antara

besarnya sudut yang dibentuk suatu bidang dengan suatu bidang lainnya (θ) dengan besarnya sudut yang dibentuk vektor normal bidang 1n suatu bidang dan

vektor normal bidang 2n suatu bidang lain sama dengan 1800. Contoh: Limas T.ABCD beraturan dengan panjang rusuk alas 4 cm dan tinggi 4 cm. Berapa besar sudut antara bidang TAD dan ABCD. Pembahasan Misal titik A pada bidang koordinat berada di posisi 0,0,0 , titik 0,0,4B ,

0,4,4C , maka 0,4,0D , sehingga 4,2,2T . Normal bidang TAD ditentukan dengan vektor 422AT dan vektor

422 DT , sehingga diperoleh

80164224221 DTATn .

Normal bidang ABCD ditentukan dengan vektor 004AB dan vektor

044BD , sehingga diperoleh

16040440042 BDABn .

Nilai perbandingan cosinus sudut antara bidang TAD dan bidang ABCD adalah sebagai berikut

651.0272320

12864

164816

16048016cos

2222

Dengan demikian, besar sudut antara bidang TAD dan bidang ABCD adalah

399.49651.0cos 1 .

Soal latihan 1. Diketahui suatu kubus dengan panjang sisi 4 satuan. P ditengah GH, Q

ditengah EH.

Gambar 24. Kubus dalam Koordinat Ruang

Tentukan: a. besar sudut antara bidang BDE dan BDG. b. besar sudut antara bidang BPQ dan ABCD. c. besar sudut antara bidang DPQ dan bidang BDHF.

T. Persamaan Vektor dari suatu Garis Potong antara Dua Bidang Perpotongan suatu bidang dengan bidang lain akan menghasilkan suatu garis

yang dinamakan dengan garis potong bidang. Ilustrasinya dapat dilihat seperti gambar 25.

Gambar 25. Ilustrasi Perpotongan Dua Bidang

Garis potong bidang dapat disajikan dalam bentuk persamaan vektor. Garis

potong bidang dengan suatu persamaan vektor melalui suatu posisi titik dan juga merupakan posisi titik yang dilewati oleh kedua bidang yang berpotongan. Dengan kata lain, posisi titik dimuat oleh dua bidang dan persamaan vektor. Contoh: Diketahui dua bidang dengan persamaan 263 zyx dan 7372 zyx berpotongan pada suatu garis. Tentukan persamaan vektor garis potong kedua bidang. [Petunjuk: cari dua posisi titik yang dimuat oleh kedua bidang.] Pembahasan Kedua bidang akan melalui titik tertentu, sebagai contoh untuk 0z . Bidang

263 zyx memuat titik 0,2,4 , 0,1,1 , dan titik-titik lainnya pada

0z . Sedangkan bidang 7372 zyx memuat titik 0,1,0 , 0,1,7 , dan berbagai titik lain dengan 0z . Dari banyaknya posisi titik yang dilewati oleh bidang 263 zyx dan

7372 zyx , hanya ada satu titik yang sama yang dilewati oleh kedua bidang dengan 0z . Untuk mengetahui titik tersebut, yaitu dengan cara mensubsitusi

0z pada kedua persamaan bidang sehingga menjadi

70372

2063

yx

yx

dan diperoleh

772

23

yx

yx

Dari kedua persamaan tersebut, variable x atau y dieliminasi sehingga diperoleh

suatu titik yaitu 0,3,7 . Titik 0,3,7 merupakan suatu titik yang dimuat kedua bidang dan persamaan vektor dari garis potong bidang. Selanjutnya, tinggal satu titik lagi yang diperlukan untuk menentukan persamaan vektor dari garis potong bidang. Untuk menemukan titik tersebut, lakukan langkah yang sama seperti di atas dengan mensubsitusi 1z , dan mengeliminasi variabel akan diperoleh suatu titik lain yang dimuat kedua bidang dan persamaan vektor garis potong bidang, yaitu titik 1626 . Jadi persamaan vektor dari garis potong kedua bidang merupakan persamaan vektor yang melalui posisi titik 037 dan titik 1626 . Dari kedua titik tersebut, diperoleh direction vektor yaitu:

19330371626 d . Dengan demikian, persamaan vektor dari garis potong bidang 263 zyx dan

7372 zyx bidang adalah

1933037 r .

Soal latihan 1. Dua buah bidang didefinisikan dengan persamaan 42 zyx dan

63 yx . Tentukan persamaan vektor dari garis potong kedua bidang.

2. Dua buah bidang dengan persamaan 2113 r dan 15152 r berpotongan di garis l. a. Tentukan direction garis l b. Tunjukan bahwa titik dilewati oleh kedua bidang c. Tentukan persamaan vektor garis l.

3. Tunjukan bahwa bidang-bidang dengan persamaan 432 zyx , 74 zyx , dan 13103 zyx berpotongan pada suatu garis. Kemudian

tentukan persamaan vektor dari garis potong itu.

DAFTAR PUSTAKA Gibbs, J.W. (1901). Vector Analysis. USA: Yale University Press. Goldie, S. (2012).International AS and A Level Mathematics: Pure Mathematics 2

and 3. London: Hodder Education Hachette UK Company. Learning Express Editors (LEE). (2002). 501 Geometry Questions. USA:

Learning Express LLC. Neill, H., dan Quadling, D. (2002). Advanced Level Mathematics: Pure

Mathematics I. United Kingdom: Cambridge University Press. Neill, H., dan Quadling, D. (2002). Advance Level Mathematics: Pure

Mathematics II and III. United Kingdom: Cambridge University Press. Purcell, E.J., dan Varberg, D. (1997). Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid II

Edisi V. Jakarta: Erlangga. Spiegel, M. R., Lipschutz, S., & Spellman, D. (1959). Schaum's outline of theory

and problems of vector analysis and an introduction to tensor analysis. USA: McGraw-Hill.

Young, E.C. (1993). Vector and Tensor Analysis. New York: Marcel Dekker INC.