เอกสารสรปเนอหาทตองร

รายวชาคณตศาสตร

ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

รหส พค31001

หลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษาขนพนฐาน

พทธศกราช 2551

ส านกงานสงเสรมการศกษานอกระบบและการศกษาตามอธยาศย ส านกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

กระทรวงศกษาธการ

หามจ าหนาย หนงสอเรยนนจดพมพดวยเงนงบประมาณแผนดนเพอการศกษาตลอดชวตส าหรบประชาชน ลขสทธเปนของส านกงาน กศน.ส านกงานปลดกระทรวงศกษาธการ

สารบญ หนา

ค าแนะน าการใชเอกสารสรปเนอหาทตองร 1

โครงสรางรายวชาคณตศาสตร 3

แบบทดสอบกอนเรยน 4

บทท 1 จ านวนและการด าเนนการ 9

เรองท 1 ความสมพนธของระบบจ านวนจรง 10

เรองท 2 สมบตการบวก การลบ การคณ และการหารจ านวนจรง 11

เรองท 3 สมบตการไมเทากน 14

เรองท 4 คาสมบรณ 16

บทท 2 เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ 19

เรองท 1 จ านวนตรรกยะ และจ านวนอตรรกยะ 20

เรองท 2 จ านวนจรงในรปกรณฑ 22

เรองท 3 การบวก การลบ การคณ การหาร 24

เรองท 4 จ านวนทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะและจ านวนจรงในรปกรณฑ 24

บทท 3 เซต 30

เรองท 1 เซต (Sets) 31

เรองท 2 การด าเนนการของเซต 36

เรองท 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกปญหา 38

บทท 4 การใหเหตผล 46

เรองท 1 การใหเหตผล 47

เรองท 2 การอางเหตผลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร 51

บทท 5 อตราสวนตรโกณมตและการน าไปใช 53

เรองท 1 อตราสวนตรโกณมต 54

เรองท 2 การหาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 30, 45 และ 60 องศา 59

เรองท 3 การน าอตราสวนตรโกณมตไปใชแกปญหาเกยวกบการวดระยะทางและความสง 63

สารบญ (ตอ) หนา

บทท 6 การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ 67

เรองท 1 การสรางรปเรขาคณตโดยใชเครองมอ 68

เรองท 2 การแปลงทางเรขาคณต 77

บทท 7 สถตเบองตน 81

เรองท 1 การวเคราะหขอมลเบองตน 82

เรองท 2 การหาคากลางของขอมล โดยใชคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม 84

บทท 8 ความนาจะเปน 96

เรองท 1 กฎเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไม 97

เรองท 2 ความนาจะเปนของเหตการณ 102

เรองท 3 การน าความนาจะเปนไปใช 106

บทท 9 การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ 107

เรองท 1 ลกษณะ ประเภทของงานอาชพทใชทกษะทางคณตศาสตร 108

เรองท 2 การน าความรทางคณตศาสตรไปใชในงานอาชพได 112

แบบทดสอบหลงเรยน 116

ภาคผนวก 119

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 120

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 120

คณะผจดท า 130

1

ค าแนะน าการใชเอกสารสรปเนอหาทตองร เอกสารสรปเนอหาทตองร รายวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย รหส พค 31001

ใชส าหรบนกศกษาหลกสตรการศกษานอกระบบระดบการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 แบงออกเปน 2 สวน คอ

สวนท 1 โครงสรางรายวชา แบบทดสอบกอนเรยน โครงสรางของแตละบท เนอหาสาระ กจกรรมทายบท และแบบทดสอบหลงเรยน

สวนท 2 เฉลยกจกรรมทายบท และเฉลยแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน

วธใชเอกสารสรปเนอหาทตองร ใหนกศกษาด าเนนการตามขนตอน ดงน

1. ศกษารายละเอยดโครงสรางรายวชาโดยละเอยด เพอใหทราบวานกศกษาตองเรยนรเนอหาในเรองใดบางในรายวชาน

2. วางแผนเพอก าหนดระยะเวลาและจดเวลาทนกศกษามความพรอมทจะศกษาเอกสารสรปเนอหาทตองร เพอใหสามารถศกษารายละเอยดของเนอหาไดครบทกบท

3. ท าแบบทดสอบกอนเรยน เพอทราบพนฐานความรเดมของนกศกษา โดยตรวจสอบค าตอบจากเฉลยแบบทดสอบกอนเรยนทายเลม

4. ศกษาเนอหาสาระในแตละบทอยางละเอยดใหเขาใจ และท ากจกรรมทายบททก าหนดไวใหครบถวน

5. เมอท ากจกรรมทายบทเสรจแตละกจกรรมแลว นกศกษาสามารถตรวจสอบค าตอบไดจากเฉลยทายเลม หากนกศกษายงท ากจกรรมไมถกตอง ใหนกศกษากลบไปทบทวนเนอหาสาระในเรองนนซ าจนกวาจะเขาใจ

6. เมอศกษาเนอหาสาระครบทกบทแลว ใหนกศกษาท าแบบทดสอบหลงเรยนและตรวจค าตอบจากเฉลยทายเลมวานกศกษาสามารถท าแบบทดสอบไดถกตองทกขอหรอไม หากขอใดยงไมถกตอง ใหนกศกษากลบไปทบทวนเนอหาสาระในเรองนนใหเขาใจอกครงหนง นกศกษาควรท าแบบทดสอบหลงเรยนใหไดคะแนนมากกวาแบบทดสอบกอนเรยน และควรไดคะแนนไมนอยกวารอยละ 60 ของแบบทดสอบทงหมด เพอใหมนใจวาจะสามารถสอบปลายภาคผาน

7. หากนกศกษาไดท าการศกษาเนอหาสาระแลวยงไมเขาใจ นกศกษาสามารถสอบถามและขอค าแนะน าไดจากครหรอแหลงคนควาเพมเตมอนๆ

2

8. เอกสารสรปเนอหาทตองรเลมนม 7 บท คอ

บทท 1 จ านวนและการด าเนนการ

บทท 2 เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ บทท 3 เซต

บทท 4 การใหเหตผล

บทท 5 อตราสวนตรโกณมตและการน าไปใช บทท 6 การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ บทท 7 สถตเบองตน

บทท 8 ความนาจะเปน

บทท 9 การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

หมายเหต : ใหครน ากจกรรมทายบทในแตละบท มาประเมนนกศกษา โดยเลอกเรองทมความจ าเปนและ

ส าคญ เพอเปนคะแนนระหวางภาค

3

โครงสรางรายวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

(พค 31001)

สาระส าคญ มความรความเขาใจเกยวกบจ านวนและตวเลข เศษสวน ทศนยมและรอยละ การวด เรขาคณต สถต และความนาจะเปนเบองตน

ผลการเรยนรทคาดหวง 1. ระบหรอยกตวอยางเกยวกบจ านวนและตวเลขเศษสวน ทศนยมและรอยละ การวด เรขาคณต สถต และความนาจะเปนเบองตนได

2. สามารถคดค านวณและแกโจทยปญหาเกยวกบจ านวนนบเศษสวน ทศนยม รอยละ การวด เรขาคณตได

ขอบขายเนอหา บทท 1 จ านวนและการด าเนนการ

บทท 2 เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ บทท 3 เซต

บทท 4 การใหเหตผล

บทท 5 อตราสวนตรโกณมตและการน าไปใช บทท 6 การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ บทท 7 สถตเบองตน

บทท 8 ความนาจะเปน

บทท 9 การใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรในงานอาชพ

สอการเรยนร เอกสารสรปเนอหาทตองร

4

แบบทดสอบกอนเรยน

1. ขอใดไมถกตอง ก. 0.001001001... เปนจ ำนวนตรรกยะ ข. 0.110110110110... เปนจ ำนวนอตรรกยะ ค. 0.59999... เปนจ ำนวนตรรกยะ ง. π เปนจ ำนวนอตรรกยะ

2. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 7

22 เปนจ ำนวนตรรกยะ

ข. 3 π เปนจ ำนวนตรรกยะ ค. ถำ x เปนจ ำนวนอตรรกยะ แลว x2 เปน

จ ำนวนตรรกยะ ง. 1.3333... เปนจ ำนวนอตรรกยะ

3. จงหำคำของ 2188

ก. 55 ข. 225 ค. 525 ง. 50

4.

18y

10

y2x

y9x5

22

ท ำใหอยในรปอยำงงำย

ตรงกบขอใด

ก. 2y

5

ข. 32x

5

ค. x

2

ง. 2y

2

5. 33 454 ท ำใหอยในรปอยำงงำย ตรงกบขอใด ก. 4 ข. 6 ค. 12 ง. 16

6. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. เซตของสระในภำษำองกฤษคอ {a, e, i, o, y}

ข. เซตของจ ำนวนบวก ตงแต 2 ถง 6 คอ {2, 3, 4, 5}

ค. เซตของจ ำนวนประชำกรในประเทศไทยในขณะน เปนเซตจ ำกด

ง. เซตของเดอนทม 30 วน เปนเซตวำง 7. จำกแผนภำพตอไปน สวนทแรงเงำ

ตรงกบขอใด

ก. BA ข. )B(A ค. BA ง. )B(A

A B

U

5

8. ก ำหนด A = {1, 2, 3} , B = {2, 4, 6} แลว BA ตรงกบขอใด

ก. {2} ข. {1, 2, 3} ค. {2, 4, 6} ง. {1, 2, 3, 4, 6}

9. พจำรณำขอควำมตอไปน

อรณทดลองชงน ำหนกจำกเครองชง 3 เครอง ผลดงน

เครองชงท 1 อรณหนก 60.5 กโลกรม เครองชงท 2 อรณหนก 59.4 กโลกรม เครองชงท 3 อรณหนก 60.2 กโลกรม เขำจงสรปวำ เขำมน ำหนก 60 กโลกรม

จำกขอควำมขำงตน อรณสรปน ำหนกของตนเอง เปนกำรใชหลกกำรใหเหตผลแบบใด ก. อตนย ข. อปนย ค. ปรนย ง. นรนย

10. ก ำหนดเหต 1. สนตเปนนกฟตบอล 2. นกฟตบอลทกคนแขงแรง

ใชแผนภำพ เวนน – ออยเลอร เขยนเหตทก ำหนดไดกแบบ ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

11. จงหำคำของ

60sin45cos

30cos45sin

ก. –1 ข. 0 ค. 1 ง. 2

12. นชยนหำงจำกอำคำรแหงหนง 100 เมตร

เมอมองขนไปบนยอดตก เปนมมเงย 60 องศำ ตกหลงนสงประมำณกเมตร

ก. 3100 เมตร ข. 350 เมตร

ค. 3

100 เมตร

ง. 3

50 เมตร

6

13. ภำพในขอใดเปนกำรหมน 90๐ ตำมเขมนำฬกำ ก. ข. ค.

ง.

14.

จำกรปเรขำคณตสำมมตทก ำหนดให ภำพใดตอไปนแสดงภำพทไดจำกกำรมองดำนบน ก. ข. ค. ง.

7

15. ก ำหนดขอมล คะแนนของนกศกษำ 9 คนดงน 15, 9, 12, 13 , 10, 20, 13, 16, 18 คำเฉลยเลขคณต ฐำนนยม และ มธยฐำน เทำกบขอใดตำมล ำดบ ก. 14, 13, 13 ข. 13, 13, 14 ค. 14, 13, 14 ง. 13, 14, 13

16. ก ำหนดตำรำงแจกแจงควำมถ

คำเฉลยเลขคณต และฐำนนยมของคะแนน เทำกบขอใด ตำมล ำดบ ก. 6.9, 9 ข. 6.9, 7 ค. 8, 6.9 ง. 7, 6.9

17. กลองใบหนงมลกบอลขนำดเดยวกน

เปนสแดง 2 ลก เปนสขำว 3 ลก สมหยบลกบอล 2 ลกขนมำพรอมกน ควำมนำจะเปนทจะไดลกบอลสตำงกนเทำกบเทำใด

ก. 10

4

ข. 10

5

ค. 10

6

ง.

10

7

18. โยนลกเตำ 2 ลก 1 ครง ควำมนำจะเปนท

ลกเตำหงำย มผลบวกเทำกบ 8 เทำกบเทำใด

ก. 36

6

ข. 36

5

ค. 36

4

ง. 36

3

คะแนน (xi) ควำมถ (f) 5 1 6 5 7 10 8 3 9 1

8

19. นำยสมชำยไดรบเงนเดอนๆละ 32,000 บำท สำมำรถหกคำใชจำยไดรอยละ 40 ของเงนไดพงประเมน แตไมเกน 60,000 บำท หกคำลดหยอนผมเงนได 30,000 บำท หกคำลดหยอนส ำหรบภรรยำ 30,000 บำท สนป นำยสมชำยยนแบบแสดงรำยกำร ภำษเงนไดบคคลธรรมดำจะตองช ำระภำษหรอไม ถำตองช ำระภำษเปนเงนเทำไร (เงนไดพงประเมน 1 – 150,000 บำท ยกเวนกำรเสยภำษ 150,000 – 300,000 บำท เสยภำษในอตรำ 5%) ก. ไมตองช ำระ ข. ช ำระเปนเงน 3,800 บำท ค. ช ำระเปนเงน 4,200 บำท ง. ช ำระเปนเงน 5,700 บำท

20. นำยประสพโชค เปนตวแทนขำย

เครองใชไฟฟำ ซงมรำคำ 12,500 บำท ใหกบผใชไฟฟำโดยคดคำนำยหนำ 10% อยำก

ทรำบวำ นำยประสพโชคจะตองสงเงนใหบรษทเทำไร ก. 1,250 ข. 11,500 ค. 11,250 ง. 12,000

ดเฉลยแบบทดสอบทายเลม

9

บทท 1

จ านวนและการด าเนนการ

สาระส าคญ

1. โครงสรำงของจ ำนวนจรงประกอบไปดวย จ ำนวนตรรกยะ จ ำนวนอตรรกยะ และจ ำนวนเตม 2. สมบตของจ ำนวนจรงทเกยวกบกำรบวกและกำรคณ ประกอบไปดวยสมบตปด สมบตกำร

เปลยนหม สมบตกำรสลบท กำรมอนเวอรส กำรมเอกลกษณและสมบตกำรแจกแจง 3. กำรเทำกนจะใชเครองหมำย “ = ” แทนกำรมคำเทำกน 4. กำรไมเทำกนจะใชเครองหมำย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. คำสมบรณใชสญลกษณ “ | |” โดย

x ถำ x > 0

x 0 ถำ x = 0 -x ถำ x < 0

ผลการเรยนรทคาดหวง 1. แสดงควำมสมพนธของจ ำนวนตำง ๆ ในระบบจ ำนวนจรงได 2. อธบำยควำมหมำยและหำผลลพธทเกดจำกกำรบวก กำรลบ กำรคณ กำรหำรจ ำนวนจรงได 3. อธบำยสมบตของจ ำนวนจรงทเกยวกบกำรบวก กำรคณ กำรเทำกน กำรไมเทำกน และ

น ำไปใชได 4. อธบำยเกยวกบคำสมบรณของจ ำนวนจรงและหำคำสมบรณของจ ำนวนจรงได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 ควำมสมพนธของระบบจ ำนวนจรง เรองท 2 สมบตของกำรบวก กำรลบ กำรคณ และกำรหำรจ ำนวนจรง เรองท 3 สมบตกำรไมเทำกน เรองท 4 คำสมบรณ

10

เรองท 1 ควำมสมพนธของระบบจ ำนวนจรง 1.1. โครงสรางของจ านวนจรง

จ านวนจรง (Real number) ประกอบดวยจ ำนวนตรรกยะและจ ำนวนอตรรกยะ 1. จ านวนตรรกยะ (Rational number) คอ จ ำนวนทเขยนในรปเศษสวนได เมอตวเศษและตวสวนเปนจ ำนวนเตมทไมใชศนย ตวอยำงของจ ำนวนตรรกยะ เชน จ ำนวนเตม ทศนยมซ ำ และเศษสวน

1. จ ำนวนเตม แบงเปน 3 ชนด คอ 1.1 จ ำนวนเตมบวกหรอจ ำนวนนบ เชน 1, 2, 3, ...

1.2 ศนย มจ ำนวนเดยว คอ 0 1.3 จ ำนวนเตมลบ เชน -1, -2, -3, ...

2. เศษสวน เชน 4

3 , 4

33 , -

7

5 เปนตน

3. ทศนยมซ ำ เชน 0. 6 , 0. 12 , 0.523 2. จ านวนอตรรกยะ (Irrational Number) คอจ ำนวนทไมใชจ ำนวนตรรกยะ เขยนไดในรปทศนยมไมซ ำ

เชน 2 มคำเทำกบ 1.414213… ดงนน 2 มคำประมำณ 1.414 3 มคำเทำกบ 1.7320508… ดงนน 3 มคำประมำณ 1.732

π มคำเทำกบ 3.14159265… ดงนน π มคำประมำณ 3.14 0.1010010001… มคำประมำณ 1.101

วดทศน เรอง โครงสรางของจ านวนจรง

จ ำนวนจรง

จ ำนวนตรรกยะ จ ำนวนอตรรกยะ

ยะ

จ ำนวนในรปกรณฑ

ทถอดกรณฑไมได

ทศนยม

ไมรจบแบบไมซ ำ

จ ำนวนเตม ทศนยมซ ำ เศษสวน

จ ำนวนนบหรอ

จ ำนวนเตมบวก

ศนย จ ำนวน

เตมลบ

11

เรองท 2 สมบตการบวก การลบ การคณ และการหารจ านวนจรง

สมบตของจ ำนวนจรงทใชในกำรบวก กำรลบ กำรคณ และกำรหำร มดงน 2.1 สมบตการเทากนของจ านวนจรง ก ำหนด a, b, c เปนจ ำนวนจรงใดๆ

ตวอยำง สมบตกำรสะทอน a = a 2 = 2 สมบตกำรสมมำตร ถำ a = b แลว b = a ถำ 5 = 2 + 3 แลว 2 + 3 = 5 สมบตกำรถำยทอด ถำ a = b และ b = c แลว

a = c ถำ 4 = 22 และ 22 = 2 × 2 แลว 4 = 2 × 2

สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกนทงสองขำง ถำ a = b แลว a + c = b + c

ถำ 5 = 2 + 3 แลว 5 + 4 = (2 + 3) +4

สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกนทงสองขำง ถำ a = b แลว

bcac

ถำ 10 = 5 × 2 แลว 10 × 3 = (5 × 2) × 3

2.2 สมบตการบวกและการคณในระบบจ านวนจรง เมอก ำหนดให a, b และ c เปนจ ำนวนจรง 2.2.1 สมบตการบวก

ตวอยำง สมบตปด ถำ a R และ b R แลว ba R 2 R และ 3 R แลว 2 + 3 R สมบตกำรสลบท ba = ab 2 + 3 = 3 + 2 สมบตกำรเปลยนหม )( cba = cba )( 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 สมบตกำรมเอกลกษณ เอกลกษณกำรบวก คอ 0

aaa 00

0 + 2 = 2 + 0 = 2

สมบตกำรมอนเวอรสกำรบวก

a มอนเวอรสกำรบวก คอ a และ a มอนเวอรสกำรบวก คอ a

จะได 0)()( aaaa นนคอจ ำนวนจรง a จะม a เปน อนเวอรสของกำรบวก

อนเวอรสกำรบวกของ 5 คอ -5 และ อนเวอรสกำรบวกของ -5 คอ 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0

วดทศน เรอง สมบตการเทากนของจ านวนจรง วดทศน เรอง สมบตการบวกในระบบจ านวนจรง

12

2.2.2 สมบตการคณ ตวอยำง สมบตปด ถำ a R และ b R แลว ab R 2 R และ 3 R แลว 2 (3) R สมบตกำรสลบท ab = ba 2 (3) = 3 (2) สมบตกำรเปลยนหม )(bca = cab)( 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5 = 30 สมบตกำรมเอกลกษณ เอกลกษณกำรคณ คอ 1

1 · a = a · 1 = a 1 × 5 = 5 × 1 = 5

สมบตกำรมอนเวอรสกำรคณ

(ยกเวน 0 เพรำะ 0

1 ไมม

ควำมหมำย)

a มอนเวอรสกำรคณ คอ a

1 และ

a

1 มอนเวอรสกำรคณ คอ a

จะได a 111

a

aa ; 0a

นนคอ จ ำนวนจรง a จะม a

1 เปน

อนเวอรสกำรคณ อนเวอรสกำรคณของ a เขยนแทนดวย a -1

5 มอนเวอรสกำรคณ คอ 5

1 และ 5

1

มอนเวอรสกำรคณ คอ 5

อนเวอรสกำรคณของ 5 คอ 5

1

หรอ 5-1

สมบตกำรแจกแจง acabcba )( cabaacb )(

2 (3 + 5) = 2 (3) + 2 (5) (3 + 5) 2 = 3 (2) + 5 (2)

จำกสมบตของจ ำนวนจรงสำมำรถใชพสจนทฤษฎบทตอไปนได ทฤษฎบทท 1 กฎการตดออกส าหรบการบวก

เมอ a, b, c เปนจ ำนวนจรงใดๆ ถำ a + c = b + c แลว a = b ถำ a + b = a + c แลว b = c

ตวอยาง

ถำ 4 + 3 = 22 + 3 แลว 4 = 22

ถำ 4 + 5 = 4 + (2 + 3) แลว 5 = 2 + 3 ทฤษฎบทท 2 กฎการตดออกส าหรบการคณ

เมอ a, b, c เปนจ ำนวนจรงใดๆ ถำ ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b ถำ ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c

ถำ 4 (3) = 22 (3) แลว 4 = 22 ถำ 4 (5) = 4 (2 + 3) แลว 5 = 2 + 3

ทฤษฎบทท 3 เมอ a เปนจ านวนจรงใด ๆ a · 0 = 0 0 · a = 0

2 × 0 = 0 0 × 2 = 0

13

วดทศน เรอง สมบตการคณในระบบจ านวนจรง การลบและการหารจ านวนจรง

• กำรลบจ ำนวนจรง บทนยาม เมอ a, b เปนจ ำนวนจรงใด ๆ a - b = a + (-b)

นนคอ a - b คอ ผลบวกของ a กบอนเวอรสกำรบวกของ b

ตวอยางเชน 5 – 3 = 5 + (-3) นนคอ 5 – 3 คอผลบวกของ 5 กบอนเวอรส กำรบวกของ 3

• กำรหำรจ ำนวนจรง บทนยาม เมอ a, b เปนจ ำนวนจรงใด ๆ เมอ b ≠ 0

และ b-1 เปนอนเวอรสกำรคณของ a

b

a = a ( 1b )

นนคอ b

a คอ ผลคณของ a กบอนเวอรสกำรคณของ b

เชน

2

5 = 5 × 2

1 = 5 (2-1)

นนคอ 2

5 คอผลคณของ 5 กบอนเวอรส

กำรคณของ 2

วดทศน เรอง การแกสมการก าลงหนงตวแปรเดยว วดทศน เรอง การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยว โดยวธแยกตวประกอบ

วดทศน เรอง การแกสมการก าลงสอง โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ วดทศน เรอง การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยว โดยวธใชสตร

ทฤษฎบทท 4 เมอ a เปนจ านวนจรงใด ๆ (-1)a = -a a(-1) = -a

ตวอยาง (-1) 2 = -2 2 (-1) = 2

ทฤษฎบทท 5 เมอ a, b เปนจ านวนจรงใด ถำ ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

ทฤษฎบทท 6 เมอ a, b เปนจ านวนจรงใด ๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

2 (-3) = -2 (3) (-2) 3 = -2 (3) (-2) (-3) = 2 (3)

14

เรองท 3 สมบตการไมเทากน

ประโยคคณตศำสตรจะใชสญลกษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนกำรไมเทำกน

ก ำหนดให a, b, c เปนจ ำนวนจรงใด ๆ 1. สมบตกำรถำยทอด ถำ a > b และ b > c แลว a > c เชน 8 > 5 และ 5 > 3 แลว 8 > 3 2. สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a > b แลว a + c > b+ c เชน 5 > 0 แลว 5 + 3 > 0 + 3 3. จ ำนวนจรงบวกและจ ำนวนจรงลบ a เปนจ ำนวนจรงบวก กตอเมอ a > 0 เชน 2 เปนจ ำนวนจรงบวกกตอเมอ 2 > 0 a เปนจ ำนวนจรงลบ กตอเมอ a < 0 เชน -2 เปนจ ำนวนจรงลบกตอเมอ -2 < 0 4. สมบตกำรคณดวยจ ำนวนเทำกนทไมเทำกบศนย กรณท 1 ถำ a > b และ c > 0 แลว ac > bc เชน ถำ 5 > -3 แลว 5(2) > (-3)(2) หรอ 10 > -6 กรณท 2 ถำ a > b และ c < 0 แลว ac < bc เชน ถำ 5 > -3 แลว 5(-2) < (-3)(-2) หรอ -10 < 6 5. สมบตกำรตดออกส ำหรบกำรบวก ถำ a + c > b + c แลว a > b เชน ถำ 5 + 2 > 3 + 2 แลว 5 > 3 6. สมบตกำรตดออกส ำหรบกำรคณ กรณท 1 ถำ ac > bc และ c > 0 แลว a > b เชน ถำ 5(2) > (-3)(2) แลว 5 > -3 กรณท 2 ถำ ac > bc และ c < 0 แลว a < b เชน ถำ (-3)(2) > 5(-2) แลว -3 < 5

วดทศน เรอง สมบตการไมเทากน

บทนยาม a ≤ b หมำยถง a นอยกวำหรอเทำกบ b a ≥ b หมำยถง a มำกกวำหรอเทำกบ b a < b < c หมำยถง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมำยถง a ≤ b และ b ≤ c

บทนยาม a < b หมำยถง a นอยกวำ b a > b หมำยถง a มำกกวำ b

15

ชวง (Interval) ชวง หมำยถง กำรเขยนแทนเซตของจ ำนวนจรงทเปนสวนใดสวนหนงบนเสนจ ำนวน เชน กำรเขยนแทนเซตของจ ำนวนจรงทอยระหวำงจ ำนวนจรง a และ b ใดๆ หรอมำกกวำหรอนอยกวำจ ำนวนจรง a ใดๆ 3.1 ชวงของจ านวนจรง ก ำหนดให a, b เปนจ ำนวนจรง และ a < b

1. ชวงเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }

2. ชวงปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. ชวงครงเปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ชวงครงเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b}

5. ชวง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}

6. ชวง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}

7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a}

8. ชวง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

วดทศน เรอง ชวง

วดทศน เรอง การแกอสมการตวแปรเดยว ดกรหนง วดทศน เรอง การแกอสมการตวแปรเดยว ดกรสอง

16

เรองท 4 คาสมบรณ

คำสมบรณของจ ำนวนจรง หมำยถง ระยะหำงจำกจดศนยบนเสนจ ำนวน พจำรณำคำสมบรณของ 4 และ – 4 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 4 อยหำงจำก 0 เปนระยะทำง 4 หนวย ดงนน คำสมบรณของ 4 คอ 4 – 4 อยหำงจำก 0 เปนระยะทำง 4 หนวย ดงนน คำสมบรณของ – 4 คอ 4

นนคอ คาสมบรณของจ านวนจรงใด ๆ ตองมคามากกวาหรอเทากบนยเสมอ สญลกษณแทนคำสมบรณคอ | | เชน คำสมบรณของ 4 คอ |4|

คำสมบรณของ – 4 คอ |– 4| บทนยาม ก าหนดให a เปนจ านวนจรง

0aเมอa0aเมอ00aเมอa

a

4.1 สมบตของคาสมบรณ ก าหนดให x, y เปนจ านวนจรงใดๆ ตวอยาง

1. | x | = | -x | | 3 | = | -3 | = 3 2. | xy | = | x || y | | 3(-2) | = | 3 || -2 | = 6 3.

yx

=yx

; y ≠ 0 5 -10

= 5 -

10 = 2

4. | x - y | = | y - x | | 10 - 3 | = | 3 – 10 | = 7 5. | x |2 = x2 | 5 |2 = 52 = 25 6. | x + y | ≤ | x | +| y |

6.1 ถำ xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถำ xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y |

เชน x = 2 y = 3 แลว | 2 + 3 | = | 2 | + | 3 | = 5 เชน x = 2 y = – 3 แลว | 2 + (– 3) | < | 2 | + |– 3| 1 < 5

7. เมอ a เปนจ ำนวนจรงบวก | x | < a หมำยถง – a < x < a | x | ≤ a หมำยถง – a ≤ x ≤ a

| x | < 3 หมำยถง – 3 < x < 3 | x | ≤ 3 หมำยถง – 3 ≤ x ≤ 3

8. เมอ a เปนจ ำนวนจรงบวก | x | > a หมำยถง x < – a หรอ x > a | x | ≥ a หมำยถง x ≤ – a หรอ x ≥ a

| x | > 3 หมำยถง x < – 3 หรอ x > 3 | x | ≥ 3 หมำยถง x ≤ – 3 หรอ x ≥ 3

17

วดทศน เรอง คาสมบรณ

วดทศน เรอง คาสมบรณและการน าไปใช (การแกสมการ)

วดทศน เรอง คาสมบรณและการน าไปใช (การแกอสมการ)

18

กจกรรมบทท 1 แบบฝดหดท 1 จงเขยนแสดงชวงตำงๆ ทแสดงบนเสนจ ำนวนตอไปน

1)

2)

3)

4)

5) 6) 7) 8)

ดเฉลยกจกรรมทายเลม

ตอบ

...................................

..................................

ตอบ

...................................

.................................. ตอบ

...................................

.................................. ตอบ

...................................

..................................

ตอบ

...................................

.................................. ตอบ

...................................

..................................

ตอบ

...................................

.................................. ตอบ

...................................

..................................

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

19

บทท 2

เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

สาระส าคญ

1. na อำนวำ a ยกก ำลง n โดยม a เปนฐำน และ n เปนเลขชก ำลง 2. n a อำนวำ กรณฑท n ของ a 3. จ ำนวนจรงทอยในรปเลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะจะมควำมสมพนธกบ

จ ำนวนจรงทอยในรปของกรณฑหรอ รำก (root) ตำมควำมสมพนธดงตอไปน

n a = n1

a และ n ma = nm

a 4. กำรบวก ลบ คณ หำร จ ำนวนทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะโดยใชบทนยำมกำรบวก

ลบ คณ หำร เลขยกก ำลงของจ ำนวนเตม ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบำยควำมหมำยและบอกควำมแตกตำงของจ ำนวนตรรกยะและอตรรกยะได 2. อธบำยเกยวกบจ ำนวนจรงทอยในรปเลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ และ

จ ำนวนจรงในรปกรณฑได 3. อธบำยควำมหมำยและหำผลลพธทเกดจำกกำรบวก กำรลบ กำรคณ กำรหำร จ ำนวนจรงทอย

ในรปเลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ และจ ำนวนจรงในรปกรณฑได ขอบขายเนอหา

เรองท 1 จ ำนวนตรรกยะและอตรรกยะ เรองท 2 จ ำนวนจรงในรปกรณฑ เรองท 3 กำรบวก กำรลบ กำรคณ กำรหำร จ ำนวนทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะและ จ ำนวนจรงในรปกรณฑ

20

เรองท 1 จ านวนตรรกยะ และจ านวนอตรรกยะ

1.1 จ านวนตรรกยะ หมำยถง จ ำนวนทเขยนแทนในรปเศษสวน ba

เมอ a และ b เปนจ ำนวนเตม

ท b 0 จ ำนวนตรรกยะประกอบดวย 1) จ ำนวนเตม เชน 5, 0, -2, -1

2) เศษสวน เชน 72-,5

3,21

3) ทศนยมไมรจบแบบซ ำ เชน •30.1 , 0.666...

1.2 จ านวนอตรรกยะ หมำยถง จ ำนวนทไมสำมำรถเขยนใหอยในรปเศษสวน ba

เมอ a และ b

เปนจ ำนวนเตม ท b 0 จ ำนวนอตรรกยะ ประกอบดวย 1) ทศนยมไมรจบแบบไมซ ำ เชน 1.23546..., 3.01001000100001... 2) สญลกษณ π , e ( π มคำประมำณ 3.14285...)

3) จ ำนวนในรปกรณทถอดกรณไมได เชน 2 , 3 , 5 , ... 1.3 เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม

เรยก an วำเลขยกก ำลง ทม a เปน ฐำน และ n เปนเลขชก ำลง เชน 54 = 5 5 5 5 = 625

กฎของเลขยกก าลง ถำ b,a เปนจ ำนวนจรงโดยท m และ n เปนจ ำนวนเตมบวก

กฎขอท 1 am ∙ bn = am + n เชน 23 24 = 23 + 4

บทนยาม เมอ a เปนจ ำนวนใดๆ และ n เปนจ ำนวนเตมบวก an = a × a × a × … × a

n ตว

21

กฎขอท 2 เมอ 0a

n

m

aa = 1 ถำ nm

n

m

aa = n -m

a ถำ nm เชน 3

5

2

2 = 25 - 3

n

m

aa = m -n

a1 ถำ mn เชน

253

1

3

35

2

กฎขอท 3 nma = mna เชน (52)3 = 52 x 3

กฎขอท 4 n)ab( = nn

ba เชน (2 5)3 = 23 × 53

กฎขอท 5 n

nn

ba

ba

เมอ b 0 เชน 5

55

32

32

วดทศน เรอง จ านวนตรรกยะ และ อตรรกยะ

บทนยาม เมอ a เปนจ ำนวนจรง ทไมเทำกบศนย และ n เปนจ ำนวนเตมบวกแลว 0

a = 1 เมอ a ≠ 0 -na = n

a1 เมอ a ≠ 0

22

เรองท 2 จ านวนจรงในรปกรณฑ

กำรเขยนเลขยกก ำลงเมอเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะสำมำรถท ำไดโดยอำศยควำมรเรอง รำกท n

ของจ ำนวนจรง a และจ ำนวนจรงในรปกรณ ( กรณท n ของ a เขยนแทนดวยสญลกษณ n a )

และมบทนยำมดงน

พจำรณำตวอยำงตอไปน

เนองจำก 23 = 8 ดงนน 2 เปนรำกท 3 ของ 8 เนองจำก (–2)5 = –32 ดงนน –2 เปนรำกท 5 ของ -32 เนองจำก 32 = 9 และ (–3)2 = 9 ดงนน 3 และ –3 เปนรำกท 2 ของ 9

ตวอยางท 1 จงหำคำของ 1) 4 16 , 2) 3 27 วธท า 1) = 2 (หรอพจำรณำ 16 = 24 ดงนน = 2) 2)

(หรอพจำรณำ (–3)3 = –27 ดงนน 3 27 = –3 ) สมบตของรากท n ของจ านวนจรง

เมอ n เปนจ ำนวนเตมบวกทมำกกวำ 1 โดยท a และ b เปนจ ำนวนจรงทมรำกท n

1) aann เมอ n a เปนจ ำนวนจรง เชน 2)3( = 3

a เมอ 0a เชน 554,4 3 32

2) n na = a เมอ 0a และ n เปนจ ำนวนค เชน

a เมอ 0a และ n เปนจ ำนวนค เชน 55)5( 2 3) n ab = nn ba เชน 32343412 3333 58)5)(8(40 3 52

4) nba

= n

n

b

a , 0b เชน

32

272

272 3

3

33

44 222216

4 16

3)3()3()3(27 33

2)2(3 3

บทนยำม ให n เปนจ ำนวนเตมบวกทมำกกวำ 1 เมอ a และ b เปนจ ำนวนจรง

a เปนรำกท n ของ b กตอเมอ ba n

23

ตวอยำงท 2 จงเขยนจ ำนวนตอไปนใหอยในรปอยำงงำย 1) 200 2) 18 3) 3 24 4) 62 5) 33 8116

วธท ำ 1) 200 = 2100 = 100 2 = 210

2) 18 = 29 = 9 2 = 23 3) 3 24 = 3 3.8 = 3 8 3 3 = 3 32 4) 2 6 = 62 = 322 = 32

5) 3 16 3 18 = 3 8116 = 3 44 32 = 3 66

วดทศน เรอง สมบตรากท n ของจ านวนจรง (สมบตขอท 1)

วดทศน เรอง สมบตรากท n ของจ านวนจรง (สมบตขอท 2)

24

เรองท 3 การบวก การลบ การคณ การหาร

จ านวนทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะและจ านวนจรงในรปกรณฑ

3.1 การบวก และการลบจ านวนทอยในรปกรณฑ สมบตของกำรบวกจ ำนวนจรง ขอหนงทส ำคญและมกำรใชมำก คอ สมบตกำรแจกแจงในกำรบวก พจนคลำย ดงตวอยำง

1) 8xx535x3x 2) 4aa262a6a สมบตของกำรแจกแจง สมบตของกำรแจกแจง

ดวยวธกำรเชนนเรำสำมำรถใชสมบตกำรแจกแจงในเรองกำรบวก กำรลบ ของจ ำนวนทอยในเครองหมำยกรณฑอนดบเดยวกน ทเรยกวำ “พจนคลำย” ดงนน 25232523 253 28

สมบตกำรแจกแจง

ตวอยางท 1 จงหาคาของ 32712

วธท ำ 32712 = 33934

= 33332

= 3132

= 34

ตวอยางท 2 จงหาคาของ 1254520 วธท ำ 1254520 = 5255954

= 555352 = 5532 = 0 5 = 0

วดทศน เรอง การบวก ลบจ านวนทอยในรปกรณฑ

25

3.2 การคณ และการหารจ านวนทอยในรปกรณฑ การคณ จำกสมบตขอท 3 ของรำกท n ทกลำววำ

nnn baab เมอ n a และ n b เปนจ ำนวนจรง

√a 𝑛

. √𝑏n

= √abn

√2 . √2 = √2 × 2 = √22 = 2 √3 . √5 = √3 × 5 = √15

ตวอยำงท 1 จงหำผลคณและตอบในรปอยำงงำย

1) 5332 = 5332 = (2 × 3) × (√3 × √5 )

= 6√15

2) )25()83( = 2583 = (3 × 5)(√8 × √2)

= 1615 = 415 = 60

3) 33 4562 = 33 4652 = (2 × 5) × (√6

3 × √4

3)

= 10 × √243 = 10 × √8

3 × √3

3 = 10 × √3

3 = 20√3

3

4) 653423 = 65233423 = 1215612 = 3415612 = 330612

การหาร

วธท 1 ใชสมบตขอ 4 n

n

ba

= nba

เมอ b ≠ 0

เชน 5

20 =

520

= 4 = 2

วธท 2 ใชสมบตขอ 3 n ab = nn ba

เชน 5

20 =

545 = 4 = 2

วดทศน เรอง การหารจ านวนทอยในรปกรณฑ

26

วธท 3 ใชสมบตกำรคณตวเศษและกำรคณตวสวนดวยจ ำนวนเดยวกน

เชน 5

20 =

55520

=

5100

= 5

10 = 2

ตวอยำงท 1 จงเขยนเศษสวนตอไปน โดยใหตวสวนไมอยในรปกรณฑ

1) 325 =

2165

= 24

5 =

22

245 =

810

2) 2718

= 3929

=

3323

= 33

32 =

36

ตวอยำงท 2 จงเขยนเศษสวน 25

4

โดยใหตวสวนไมอยในรปกรณฑ

วธท ำ 25

4

= 2525

254

=

25

254

=

32454

NOTE : ตวอยำงท 2 อำศยกำรแยกตวประกอบทเรยกวำ ผลตำงก ำลงสอง (a + b)(a - b) = a2 – b2

3535 = 2235 = 5 – 3 = 2

เครองหมำยตำงกน

วดทศน เรอง การคณ หารจ านวนทอยในรปกรณฑ

วดทศน เรอง การหาคาจ านวนจรงในรปกรณฑ

27

3.3 เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

พจำรณำตอไปน 1) 21

5 = 5 และ ( 21

5 )2 = 5

2) 31

2 = 3 2 และ ( 31

2 )3 = 2

ตวอยำงท 2 จงหำคำของจ ำนวนตอไปน

1) 32

8 = [ 31

8 ]2 = [ 3 8 ]2 = (2)2 = 4

2) 34

27 = [ 31

27 ]4 = [ 3 27 ]4 = (3)4 = 81

3) 32

125 = [ 31

125 ]2 = [ 3 125 ]2 = (5)2 = 25

4) 23

4 = [ 21

4 ]3 = [ 4 ]3 = (2)3 = 8

5) 34

25 = 31

4 ]25 [ = 3 425 = 3 2525

วดทศน เรอง การบวก ลบ คณ และหารเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ

บทนยาม เมอ a เปนจ ำนวนจรง n เปน จ ำนวนเตมทมำกกวำ 1 และ a มรำกท n จะไดวำ

nn1

aa

บทนยาม ให a เปนจ ำนวนจรง m และ n เปนจ ำนวนเตมท n > 1 และ nm

เปนเศษสวนอยำงต ำ

จะไดวำ nm

a = ( n1

a )m = ( n a )m

n mn

1nm

a)m(aa

28

กจกรรมบทท 2

แบบฝกหดท 1

1. จงหำวำจ ำนวนทก ำหนดใหตอไปน จ ำนวนใดเปนจ ำนวนตรรกยะ หรอจ ำนวนอตรรกยะ

1) -4 6) 2

5

2) 8 7) 2 3) 0.666... 8) 2.020020002… 4) π 9) 0 5) -4.9 10) (3 - 3) π

2. จงท ำใหอยในรปอยำงงำยและเลขชก ำลงเปนจ ำนวนเตม

1) 2a3 4a5 6) 05

53

23

32

2) 1

6

3b

6b

7) 8

1040

)3(

333

3) (5a2)6 8) (32)4 · 4-9 4) (2ab-1)(ab2)-2

5) 42

3

xyy

x

แบบฝกหดท 2

1. จงหำคำของจ ำนวนจรงตอไปน

1) 16 2) 3 27 3) 3

27

8 4) 3 2 64

5) 3 28 6) 4 16 7) 3 125 8) 3 8

2. จงเขยนจ ำนวนตอไปนใหอยในรปอยำงงำย โดยใชสมบตของ รำกท n

1) 25

36 2) 3

27

8 3) 49

4 4) 3

27

24

29

แบบฝกหดท 3 1. จงท ำจ ำนวนตอไปนใหอยในรปอยำงงำย 1) 3532 2) 5654 3) 33 7573 4) 3283 5) 6) 7) 8) 2. จงหำผลคณของแตละขอตอไปน 1) 2) 5624 3) 232 4) 2727 3. จงท ำใหสวนของจ ำนวนตอไปน ไมตดอยในรปกรณฑ

1) 3

6 2)

328

3) 3

1227 4)

3233

ดเฉลยกจกรรมทายเลม

2188 804520 342712 33 162545

126

30

บทท 3

เซต สาระส าคญ

1. เซต หมำยถง กลม คน สตว สงของ ทรวมกนเปนกลม โดยมสมบตบำงอยำงรวมกน และบรรดำสงทงหลำยทอยในเซตเรยกวำ “ สมำชก” ในกำรศกษำเรองเซตจะประกอบไปดวย ควำมหมำยของเซต ชนดของเซต สบเซต และ เอกภพสมพทธ

2. กำรด ำเนนกำรของเซต คอ กำรน ำเซตตำง ๆ มำกระท ำรวมกนเพอใหเกดเปนเซตใหม ซงท ำได 4 วธคอ ยเนยน อนเตอรเซคชน ผลตำงระหวำงเซต และคอมพลเมนต

3. แผนภำพเวนน – ออยเลอร จะชวยใหกำรพจำรณำเกยวกบเซตไดงำยขนโดยใชหลกกำรคอ 3.1 ใชรปสเหลยมผนผำแทนเอกภพสมพทธ “U” 3.2 ใชวงกลมหรอวงรแทนเซตตำง ๆ ทเปนสมำชกของ “U” และเขยนภำยในสเหลยมผนผำ

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบำยควำมหมำยเกยวกบเซตได 2. สำมำรถหำยเนยน อนเตอรเซกชน ผลตำงของเซต และคอมพลเมนต ได 3. เขยนแผนภำพแทนเซตและน ำไปใชแกปญหำทเกยวกบกำรหำสมำชกของเซตได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 เซต เรองท 2 กำรด ำเนนกำรของเซต เรองท 3 แผนภำพเวนน - ออยเลอรและกำรแกปญหำ

31

สญลกษณ | แทน

ค ำวำ “ซง”

เรองท 1 เซต (Sets)

1.1 ความหมายของเซต เซต หมำยถง กลมสงของตำง ๆ ไมวำจะเปน คน สตว สงของหรอนพจนทำงคณตศำสตร

ซงระบสมำชกในกลมได เชน 1) เซตของเดอนในหนงป 2) เซตของพยญชนะในค ำวำ “คณธรรม” 3) เซตของจ ำนวนเตม

และเรยกสงตำง ๆ ทอยในเซตวำ “สมำชก” ( Element ) ของเซตนน เชน 1) เดอนมนำคมเปนสมำชกเซตของเดอนในหนงป 2) “ร” เปนสมำชกเซตของพยญชนะในค ำวำ “คณธรรม” 3) 5 เปนสมำชกเซตของจ ำนวนเตม

วดทศน เรอง ความหมายของเซต และการเขยนชอเซต

1.2 วธการเขยนเซต กำรเขยนเซตเขยนได 2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมำชกของเซต โดยเขยนสมำชกทกตวของเซตลงในเครองหมำยวงเลบปกกำและใชเครองหมำยจลภำค (,) คนระหวำงสมำชกแตละตวนน ตวอยำง A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {มกรำคม, กมภำพนธ, ..., ธนวำคม} 2. แบบบอกเงอนไขของสมำชกในเซต โดยใชตวแปรแทนสมำชกของเซต และบอกสมบตของสมำชกในรปของตวแปร ตวอยำง A = { x | x เปนจ ำนวนเตมบวกทมคำนอยกวำหรอเทำกบ 5} B = { x | x เปนสระในภำษำองกฤษ}

C = {x | x เปนชอเดอนในหนงป}

วดทศน เรอง ความหมายของเซต และการเขยนชอเซต

32

การเขยนชอเซต โดยทว ๆ ไป กำรเขยนชอเซตหรอกำรเรยกชอของเซตจะใชตวอกษรภำษำองกฤษ

ตวพมพใหญไดแก A , B , C , . . . , Y , Z ทงนเพอควำมสะดวกในกำรอำงองเมอเขยนหรอกลำวถง เซตนน ๆ ตอไป ส ำหรบสมำชกในเซตจะเขยนโดยใชอกษรภำษำองกฤษตวพมพเลก ไดแก a, b, c, …, y, z

สญลกษณ ( Epsilon) แทนควำมหมำยวำ “อยใน” หรอ “ เปนสมำชกของ” เชน A = {2 , 3 , 4 , 8 , 10} 2 เปนสมำชกของ A เขยนแทนดวย 2 A 10 เปนสมำชกของ A เขยนแทนดวย 10 A

ใชสญลกษณ แทนควำมหมำย “ไมอย หรอ “ไมเปนสมำชกของ” เชน 5 ไมเปนสมำชกของเซต A เขยนแทนดวย 5 A 7 ไมเปนสมำชกของเซต A เขยนแทนดวย 7 A

1.3 ชนดของเซต 1.3.1 เซตวาง ( Empty Set or Null Set ) คอ เซตทไมมสมำชก ใชสญลกษณ

(อำนวำ phi) หรอ { } แทนเซตวำง

ตวอยำง A = { x | x เปนชอทะเลทรำยในประเทศไทย } ดงนน A เปนเซตวำง เนองจำกประเทศไทยไมมทะเลทรำย หรอ A = หรอ A = { }

ขอสงเกต 1. กำรเรยงล ำดบของแตละสมำชกไมถอเปนสงส ำคญ

เชน A = { a , b , c } B = { b , c , a } ถอวำเซต A และเซต B เปนเซตเดยวกน

2. กำรนบจ ำนวนสมำชกของเซต จ ำนวนสมำชกทเหมอนกนจะนบเพยงครงเดยว ถงแมจะเขยนซ ำ ๆ กน หลำย ๆ ครง เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มจ ำนวนสมำชก 4 ตว คอ 0 , 1 , 2 , 3 เปนตน

ขอสงเกต 1. เซตวำงมจ ำนวนสมำชก เทำกบศนย ( ไมมสมำชกเลย )

2. 0 Ø 3. { 0 } ไมเปนเซตวำง เพรำะมจ ำนวนสมำชก 1 ตว

33

1.3.2 เซตจ ากด ( Finite Set ) คอ เซตทสำมำรถระบจ ำนวนสมำชกในเซตได จ ำนวนสมำชกของเซต A เขยนแทนดวย n(A)

ตวอยำง A = { 1 , 2 , {3} } มจ ำนวนสมำชก 3 ตว คอ 1, 2 และ {3} หรอ n(A) = 3 B = { x | x เปนจ ำนวนเตมและ 1 ≤ x ≤ 10 } มจ ำนวนสมำชก 10 ตว คอ 1, 2, 3, …, 10 หรอ n(B) = 10 C = { x | x เปนจ ำนวนเตมทอยระหวำง 0 กบ 1 } ดงนน C เปนเซตวำง มจ ำนวนสมำชก 0 ตว หรอ n(C) = 0 D = { x | x เปนชอวนในหนงสปดำห } มจ ำนวนสมำชก 7 ตว หรอ n(E) = 7

1.3.3 เซตอนนต ( Infinite Set ) คอ เซตทมจ ำนวนสมำชกไมจ ำกด นนคอไมสำมำรถบอกจ ำนวนสมำชกได

ตวอยำง A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เมอ n เปนจ ำนวนนบ } C = { x | x เปนจ ำนวนจรง } T = { x | x เปนจ ำนวนนบ } ตวอยาง ใหบอกวำเซตตอไปน เซตใดเปนเซตวำง เซตจ ำกดหรอเซตอนนต

เซต เซตวาง เซตจ ากด เซตอนนต

1. เซตของผทเรยนกำรศกษำนอกโรงเรยน ปกำรศกษำ 2552

/

2. เซตของจ ำนวนเตมบวกค / 3. เซตของสระในภำษำไทย / 4. เซตของจ ำนวนเตมทหำรดวย 10 ลงตว / 5. เซตของทะเลทรำยในประเทศไทย / /

วดทศน เรอง ชนดของเซต

34

1.3.4 เซตทเทากน ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเทำกนกตอเมอทงสองเซตมสมำชกอยำงเดยวกน และจ ำนวนเทำกน เซต A เทำกบเซต B เขยนแทน

ดวย A = B A = B หมำยควำมวำ สมำชกทกตวของเซต A เปนสมำชกทกตวของเซต B และสมำชก

ทกตวของเซต B เปนสมำชกทกตวของเซต A ถำสมำชกตวใดตวหนงของเซต A ไมเปนสมำชกของเซต B หรอสมำชกตวใดตวหนงของเซต

B ไมเปนสมำชกของเซต A แสดงวำ เซต A ไมเทำกบเซต B เซต A ไมเทำกบเซต B เขยนแทนดวย A ≠ B ตวอยางท 1 ก ำหนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

B = { x | x เปนจ ำนวนเตมบวกคทนอยกวำ 10 } วธท า A = { 2 , 4 , 6 , 8 }

พจำรณำ B เปนจ ำนวนเตมบวกคทนอยกวำ 10 จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 } ดงนน A = B

ตวอยางท 2 A = { 0 , { 1,2 } } B = { 0, 1, 2}

ดงนน A ≠ B เพรำะ A มสมำชก 2 ตวคอ 0 และ {1, 2}

B มสมำชก 3 ตวคอ 0, 1 และ 2 ตวอยางท 3 ก ำหนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ

C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 } วธท า พจำรณำ x2 - 8x + 15 = 0

( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 x = 3 , 5 C = { 3 , 5 } ดงนน A = B เพรำะ A และ B มสมำชก 3 ตวคอ 2, 3, 5 เหมอนกน

แต A ≠ C เพรำะ 2 A แต 2 C B C เพรำะ 2 B แต 2 C

35

1.4 สบเซต เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอสมำชกทกตวของเซต A เปนสมำชกของเซต B ใชสญลกษณ แทนค ำวำ “เปนสบเซตของ” ใชสญลกษณ แทนค ำวำ “ไมเปนสบเซตของ”

ตวอยาง A = {0, 1, 5} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A B เพรำะสมำชกทกตวของเซต A เปนสมำชกของเซต B B A เพรำะสมำชกทกตวของเซต B ไมเปนสมำชกของเซต A

ขอสงเกต 1. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวมนเอง นนคอถำเซต A เปนเซตใดๆแลว A A 2. เซตวำงเปนสบเซตของทกเซต นนคอถำเซต A เปนเซตใดๆแลว { } A

วดทศน เรอง การเทากนของเซต และการเทยบเทากนของเซต

1.5 เอกภพสมพนธ คอ เซตทก ำหนดขนโดยมขอตกลงกนวำจะไมกลำวถง สงอนใดนอกเหนอไปจำกสมำชกของเซตทก ำหนด ใชสญลกษณ U แทน เอกภพสมพทธ

ตวอยำงท 1 ก ำหนดให U เปนเซตของจ ำนวนจรง และ A = x | x2 = 4 จงเขยนเซต A แบบแจกแจงสมำชก ตอบ A = 2, -2

ตวอยำงท 2 ก ำหนดให U เปนเซตของจ ำนวนนบ และ A x | x2 = 4 จงเขยนเซต A แบบแจกแจงสมำชก ตอบ A = 2

ขอสงเกต ถำไมมกำรก ำหนดเอกภพสมพทธ ใหถอวำเอกภพสมพทธนนเปนเซตของจ ำนวนจรง

วดทศน เรอง การเทากนของเซต และการเทยบเทากนของเซต

36

เรองท 2 การด าเนนการของเซต

2.1 การยเนยนของเซต ใชสญลกษณ “ ” A B = { x | x A x B } อำนวำ A ยเนยน B เทำกบเชตของ x ซง x อยใน A หรอ x อยใน B

ตวอยางท 1 ถำ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}

ตวอยางท 2 ถำ W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W Z = {a , s , d , f , p , k , b}

ตวอยางท 3 ถำ M = {x | x เปนจ ำนวนเตมบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได M L = M

2.2 การอนเตอรเซคชน ใชสญลกษณ “ ” A B = { x|x A xB } อำนวำ A อนเตอรเซค B เทำกบเซตของ x ซง x อยใน A และ x อยใน B

ตวอยางท 1 ถำ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A B = {1 , 3}

ตวอยางท 2 ถำ W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได ZW = { }

ตวอยางท 3 ถำ M = {x | x เปนจ ำนวนเตมบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M L = L

วดทศน เรอง การยเนยนของเซต วดทศน เรอง การอนเตอรเซคชนของเซต

สญลกษณ แทนค าวา “หรอ”

สญลกษณ หมายถง “และ”

37

จะเหนวา A - B ≠ B - A

2.3 คอมพลเมนตของเซต ใชสญลกษณ “ /

” ถำ U เปนเอกภพสมพทธ คอมพลเมนตของ A คอ เซตทประกอบดวยสมำชกทอยใน U แตไมอยใน A เขยน A แทนคอมพลเมนทของเซต A

ดงนน A = { x | x A } ตวอยาง 1. ถำ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได = {1, 3,4, 5} ตวอยาง 2. ถำ U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจ ำนวนค} จะได = { x |x U และ x เปนจ ำนวนค }

วดทศน เรอง คอมพลเมนตของเซต

2.4 ผลตางของเซต ใชสญลกษณ “ – ”

ผลตำงระหวำงเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสมำชกของเซต A ซงไมเปนสมำชกของเซต B ผลตำงระหวำงเซต A และ B เขยนแทนดวย A – B

ดงนน A - B = { x | x A x B } ตวอยาง 1. ถำ A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7} ตวอยาง 2. ถำ U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปนจ ำนวนคบวก} จะได U – C = {x|x เปนจ ำนวนคบวก}

วดทศน เรอง ผลตางของเซต

38

เรองท 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกปญหา

3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร กำรเขยนแผนภำพแทนเซตชวยใหเขำใจเกยวกบควำมสมพนธระหวำงเซตชดเจนยงขน

กำรเขยนแผนภำพของเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler) เพอแสดงควำมสมพนธระหวำงเซต นยมเขยนรปสเหลยมมมฉำกแทนเอกภพสมพทธ (U) และใชรปวงกลม วงร หรอรปปดใด ๆ แทนเซต A, B, C,… ซงเปนสบเซตของ U

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซงเปนสบ

เซตของ U โดยเซต A และเซต B ไมมสมาชก

ซ ากนเลย

A

U B

แผนภาพเอกภพสมพนธ U

U

แผนภาพแสดงเซต A เปนสบเซตของ

เองภพสมพนธ U

A

U

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซงเปนสบ

เซตของ U โดยเซต A และ เซต B ม

สมาชกบางตวซ ากน

A

U B

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซงเปนสบ

เซตของ U และ A B

A

U

BB

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B

ซงปนสบเซตของ U และ A = B

A

U

39

ตวอยาง จำกแผนภำพ U = {a, b, c, …, n} A = {a, b, c, d, e, f, g, h} B = {d, e, g, h, i, j, l} C = {f, g, h, k, l} ในทน เซต A และ B มสมำชกรวมกนคอ {d, e, g, h} เซต B และ C มสมำชกรวมกนคอ {g, h, l}

เซต A และ C มสมำชกรวมกนคอ {f, g, h} เซต A, B และ C มสมำชกรวมกนคอ {g, h}

วดทศน เรอง แผนภาพเวนน-ออยเลอร

3.1.1 ยเนยน (Union) ยเนยนของเซต A และ B คอเซตทประกอบดวย สมำชกของเซต A หรอสมำชกของเซต B หรอทงสองเซต เขยนแทนดวยสญลกษณ AB เขยนแผนภำพเวนน – ออยเลอร แสดง AB ไดดงน

(สวนทแรเงำคอ AB )

3.1.2 อนเตอรเซกชน (intersection) อนเตอรเชกชนของเซต A และ เซต B คอเซตทประกอบดวยสมำชกทอยรวมกนทง เซต A และ

เซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ AB เขยนแผนภำพของแวนน – ออยเลอร แสดง AB ไดดงน

(สวนทแรเงำคอ AB )

A B

U

a c

h f

d

l b

g j

i

k n

m

U e

A B

C

U

A B A B

U U

B A

U

A B

A B

U

40

3.1.3 คอมพลเมนต (Complement) คอมพลเมนตของเซต A คอ เซตทประกอบดวยสมำชกของเอกภพสมพทธ (U) แตไมเปนสมำชกของ A เขยนแทนดวยสญลกษณ A (อำนวำ เอไพรม)

เขยนแผนภำพของเวนน-ออยเลอรแสดง A ได ดงน

(สวนทแรเงำ คอ A) 3.1.4 ผลตาง (Relative Complement or Difference)

ผลตำงของเซต A และ เซต B คอเซตทประกอบดวยสมำชกทอยในเซต A แตไมไดอยในเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ A – B ไดดงน

เขยนแผนภำพของเวนน-ออยเลอรแสดง A – B ได ดงน

(สวนทแรเงำ คอ A – B)

วดทศน เรอง การเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร : ยเนยน วดทศน เรอง การเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร : อนเตอเซคชน

วดทศน เรอง การเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร : คอมพลเมนต วดทศน เรอง การเขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร : ผลตาง

U A

B

U A

B

A

U

U A B

41

3.2 การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด

ใหพจำรณำ สมำชกของ U เซต A และเซต B ในภำพ จะได 1) n (A) = 2 2) n (B) = 2 2) n (A B) = 1 4) n (A B) = 3

ถำเซต A และ B ไมมสมำชกรวมกนจะได

ถำเซต A และ B มสมำชกบำงตวรวมกนจะได

ตวอยาง ก ำหนดให A มสมำชก 15 ตว B มสมำชก 12 ตว A B มสมำชก 7 ตว จงหำจ ำนวนสมำชกของ A B วธท า n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A B ) = 7 จำกสตร n ( A B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A B) = 15 + 12 – 7 = 20 ดงนน จ ำนวนสมำชกของ A B เทำกบ 20 ตว

วดทศน เรอง การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด วดทศน เรอง การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด ทมสบเซตในเอกภพสมพทธ 2 เซต

n (A B) = n (A) + n (B)

n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

U = {p, q, d, m}

A = {p, d}

B = {d, q}

AB = {d}

AB = {p, d, q}

A m B

q d p

U

42

กรณใน U ม 3 เซต คอ เซต A เซต B และเซต C จ ำนวนสมำชกใน A หรอ B หรอ C คอ n(A B C) หำไดจำกสตร

ตวอยาง พจำรณำจำกรป ตวเลขในภำพแสดงจ านวนสมาชกของเซต จะได 1) n (U) = 60 2) n (A) = 26 3) n (B C) = 7 4) n (A C) = 8 5) n (A B C ) = 3

วดทศน เรอง การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด ทมสบเซตในเอกภพสมพทธ 3 เซต

3.3 การแกปญหาเกยวกบจ านวนสมาชกของเซต ตวอยางท 1 บรษทแหงหนงมพนกงำน 80 คน พบวำ พนกงำน 18 คนมรถยนต พนกงำน 23 คน มบำนเปนของตวเอง และพนกงำน 9 คน มบำนและรถยนตของตวเอง จงหำ

1) จ ำนวนพนกงำนทงหมดทมรถยนตหรอมบำนเปนของตวเอง 2) จ ำนวนพนกงำนทไมมรถยนตหรอบำนของตวเอง

วธท า ให U แทนเซตของพนกงำนทงหมด A แทนเซตของพนกงำนทมรถยนต

B แทนเซตของพนกงำนทมบำนเปนของตวเอง เขยนจ ำนวนพนกงำนทสอดคลองกบขอมลลงในแผนภำพ เวนท – ออยเลอร

n (A B C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A B) – n (B C) - n (A C) + n (A B C)

43

จำกแผนภำพจะไดวำ 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A B) = 9

โดยใชสตร n (A B) = n(A) + n(B) - n (A B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดงนน จ ำวนพนกงำนทมรถยนตหรอมบำนของตวเองเปน 32 คน 2) เนองจำกพนกงำนทงหมด 80 คน นนคอ พนกงำนทไมมรถยนตหรอบำนของตวเอง = 80 - 32 = 48 คน

ตวอยางท 2 ในกำรส ำรวจเกยวกบควำมชอบของนกศกษำ 100 คน พบวำนกศกษำทชอบเรยน คณตศำสตร 52 คน นกศกษำทชอบเรยนภำษำไทย 60 คน นกศกษำทไมชอบเรยน คณตศำสตรและไมชอบเรยนภำษำไทยม 14 คน จงหำนกศกษำทชอบเรยนคณตศำสตร และภำษำไทย วธท า เขยนแผนภำพ เวนท – ออยเลอร ให U แทนเซตของนกศกษำทงหมด

A แทนเซตของนกศกษำทชอบเรยนคณตศำสตร B แทนเซตของนกศกษำทชอบเรยนภำษำไทย

ให x แทนจ ำนวนนกศกษำทชอบเรยนคณตศำสตรและภำษำไทย หรอ n (AB) = x ดงนน จ ำนวนนกศกษำทชอบคณตศำสตรอยำงเดยว หรอ n (A) = 52 – x

จ ำนวนนกศกษำทชอบภำษำไทยอยำงเดยว หรอ n (B) = 60 – x จำกแผนภำพเขยนสมกำรไดดงน ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14

112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26

ดงนน จ ำนวนนกศกษำทชอบเรยนคณตศำสตรและภำษำไทย ม 26 คน

44

ตวอยางท 3 ในกำรส ำรวจผใชสบ 3 ชนด คอ ก , ข , ค พบวำมผใชชนด ก. 113 คน, ชนด ข. 180 คน, ชนด ค. 190 คน, ใชชนด ก . และ ข. 45 คน, ชนด ก. และ ค. 25 คน, ชนด ข. และ ค. 20 คน, ใชทง 3 ชนด 15 คน, ไมใชทง 3 ชนด 72 คน จงหำจ ำนวนของผเขำรบกำรส ำรวจทงหมด วธท า ให U แทนจ ำนวนผส ำรวจทงหมด

A แทนผใชสบชนด ก. B แทนผใชสบชนด ข. C แทนผใชสบชนด ค.

เขยนจ ำนวนผใชสบทสอดคลองกบขอมลลงในแผนภำพตำมล ำดบ คอ 1) ใสจ ำนวนผใชสบทง 3 ชนด หรอ n (ABC) = 15 2) ใสจ ำนวนผใชสบ 2 ชนด ทลบดวยจ ำนวนผใชสบทง 3 ชนด หรอ

n (AB) = 45 – 15 = 30 n (AC) = 25 – 15 = 10 n (BC) = 20 – 15 = 5

3) ใสจ ำนวนผใชสบชนดเดยว n (A) = 113 – 30 – 15 – 10 = 58 n (B) = 180 – 30 – 15 – 5 = 130 n (C) = 190 – 10 – 15 – 5 = 160

จ ำนวนผทใชสบ ก. หรอ ข. หรอ ค. หรอ n(A B C) = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คน

จ ำนวนผทไมใชทง 3 ชนด = 72 คน ดงนน จ ำนวนของผเขำรบกำรส ำรวจทงหมด 408 + 72 = 480 คน

วดทศน เรอง การแกโจทยปญหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด

ทมสบเซตในเอกภพสมพทธ 2 เซต วดทศน เรอง การแกโจทยปญหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด ทมสบเซตในเอกภพสมพทธ 3 เซต

45

กจกรรมบทท 3

แบบฝกหดท 1 1. จงเขยนเซตแบบแจกแจงสมำชก

1) A เปนเซตชอของปนกษตร 2) M = {x | x N และ 5 ≤ x ≤ 10} 3) P = {x | x เปนพยญชนะในค ำวำ Philippine}

2. จงเขยนเซตแบบบอกเงอนไข

1) N = {มกรำคม, มนำคม, พฤษภำคม, กรกฎำคม, สงหำคม, ตลำคม, ธนวำคม} 2) B = {2, 4, 6, 8, 10} 3) D = เปนเซตของจ ำนวนเตมตงแต 1 ถง 25 และ 3 หำรลงตว

3. ก ำหนดให U = {x | xN และ x ≤ 15}

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} C = {3, 6, 9, 12, 15} จงหำ

1) A B 2) AC 3) B – C 4) B 5) (A B) C 6) (AB) - C

4. จำกกำรสอบถำมเดกผชำย 75 คน ชอบของเลนทเปนรถสแดง 27 คน สฟำ 34 คน สเขยว 42 คน ชอบทง

สแดงและสเขยว 14 คน ชอบทงสฟำและสเขยว 12 คน ชอบสแดงและสฟำ 10 คน ชอบทงสำมส 7 คน จงหำวำเดกทชอบของเลนทเปนรถเพยงสเดยวมกคน

ดเฉลยกจกรรมทายเลม

46

บทท 4 การใหเหตผล

สาระส าคญ 1. กำรใหเหตผลแบบอปนยเปนกำรสรปผลภำยหลงจำกคนพบควำมจรงทไดจำกกำรสงเกตหรอ

กำรทดลองหลำย ๆ ครงจำกทก ๆ กรณยอยแลวน ำบทสรปมำเปนควำมรแบบทวไปเรำเรยกขอสรปแบบนวำ “ ขอควำมคำดกำรณ”

2. กำรใหเหตผลแบบนรนยไมไดค ำนงถงควำมจรงหรอควำมเทจแตจะค ำนงเฉพำะขอสรปทตองสรปออกมำไดเทำนน

ผลการเรยนรทคาดหวง 1. อธบำยและใชกำรใหเหตผลแบบอปนยและนรนยได 2. บอกไดวำกำรอำงเหตผลสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภำพเวนน – ออยเลอรได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 กำรใหเหตผล เรองท 2 กำรอำงเหตผลโดยใชแผนภำพเวนน – ออยเลอร

47

เรองท 1 การใหเหตผล

กำรใหเหตผลมควำมส ำคญ เพรำะกำรด ำเนนชวตของคนเรำไมวำจะเปนควำมเชอ กำรโตแยง และกำรตดสนใจ เรำจ ำเปนตองใชเหตผลประกอบทงสน กำรใหเหตผล แบงเปน 2 ประเภท ไดแก กำรใหเหตผลแบบอปนย และกำรใหเหตผลแบบนรนย

1.1 การใหเหตผลแบบอปนย ( Inductive Reasoning ) กำรใหเหตผลแบบอปนย หมำยถง กำรสรปทไดจำกกำรใชสงเกต หรอกำรทดลองมำแลว

หลำยๆ ครง แลวน ำบทสรปมำเปนควำมรแบบทวไป หรอกำรใหเหตผลแบบอปนย หมำยถง กำรใหเหตผลโดยยดควำมจรงสวนยอยทพบเหนไปสควำมจรงสวนใหญ

ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนย 1. มนษยสงเกตพบวำ : ทก ๆวนดวงอำทตยขนทำงทศตะวนออก และตกทำงทศตะวนตก

จงสรปวำ : ดวงอำทตยขนทำงทศตะวนออก และตกทำงทศตะวนตกเสมอ 2. สนทร พบวำ ทกครงทคณแมไปซอกวยเตยวผดไทยจะมตนกยชำยมำดวยทกครง

จงสรปวำ กวยเตยวผดไทยตองมตนกยชำย ตวอยางการใหเหตผลแบบอปนยทางคณตาสตร

1. จงใชกำรใหเหตผลแบบอปนยสรปผลเกยวกบผลบวกของจ ำนวนคสองจ ำนวน 0+2 = 2 (จ ำนวนค) 2+4 = 6 (จ ำนวนค) 4+6 = 10 (จ ำนวนค) 6+8 = 14 (จ ำนวนค) 8+10 = 18 (จ ำนวนค)

สรปผลวำ ผลบวกของจ ำนวนคสองจ ำนวนเปนจ ำนวนค

48

2. 1111 = 121 111111 = 12321 11111111 = 1234321 1111111111 = 123454321

3. (1 9) + 2 = 11 (12 9) + 3 = 111 (123 9) + 4 = 1111

(1234 9) + 5 = 11111

ขอสงเกต 1) ขอสรปของกำรใหเหตผลแบบอปนยอำจจะไมจรงเสมอไป 2) กำรสรปผลของกำรใหเหตผลแบบอปนยอำจขนอยกบประสบกำรณของผสรป 3) ขอสรปทไดจำกกำรใหเหตผลแบบอปนยไมจ ำเปนตองเหมอนกน

ตวอยำง 1. ก ำหนด จ ำนวน 2, 4, 6 , a จงหำ จ ำนวน a

จะได a = 8 2. ก ำหนด จ ำนวน 2, 4, 6 , a จงหำ จ ำนวน a

จะได a = 10 เพรำะวำ 4 + 6 = 10 3. ก ำหนด จ ำนวน 2, 4, 6, a จงหำ จ ำนวน a จะได a = 22 เพรำะวำ 6 = (2 4) -2 และ 22 = (4 6) -2 4) ขอสรปของกำรใหเหตผลแบบอปนยอำจ ผดพลำดได

ตวอยำง ให f(n) = n2 - 79n + 1601 ทดลองแทนคำจ ำนวนนบ n ใน f(n) n = 1 ได f(1) = 1523 เปนจ ำนวนเฉพำะ n = 2 ได f(2) = 1447 เปนจ ำนวนเฉพำะ n = 3 ได f(3) = 1373 เปนจ ำนวนเฉพำะ

f(n) = n2 - 79n + 1601

49

แทนคำ n ไปเรอยๆ จนกระทงแทน n = 79 ได f(79) เปนจ ำนวนเฉพำะ จำกกำรทดลองดงกลำว อำจสรปไดวำ n2 - 79n + 1601 เปนจ ำนวนเฉพำะ ส ำหรบทกจ ำนวนนบ แต f(n) = n2 - 79n + 1601 f(80) = 802 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41) f(80) ไมเปนจ ำนวนเฉพำะ

1.2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive reasoning)

เปน กำรน ำควำมร ขอตกลง กฏ หรอบทนยำมทยอมรบวำเปนจรง เพอหำเหตผลน ำไปสขอสรป

กำรใหเหตผลแบบนรนย ไมไดค ำนงถง ควำมจรงหรอควำมเทจ แตจะค ำนงถง เฉพำะขอสรปทตองออกมำไดเทำนน

พจำรณำกระบวนกำรกำรใหเหตผลแบบนรนย จำกแผนภำพดงน

50

ตวอยำงกำรใหเหตผลแบบนรนย 1. เหต 1) จ ำนวนคหมำยถงจ ำนวนทหำรดวย 2 ลงตว 2) 10 หำรดวย2 ลงตว ผล 10 เปนจ ำนวนค 2. เหต 1) คนทไมมหนสนและมเงนฝำกในธนำคำรมำกกวำ 10 ลำนบำท เปนเศรษฐ 2) คณมำนะไมมหนสนและมเงนฝำกในธนำคำร 11 ลำนบำท ผล คณมำนะเปนเศรษฐ 3. เหต 1) นกกฬำกลำงแจงทกคนจะตองมสขภำพด

2) เกยรตศกดเปนนกฟตบอลทมชำตไทย ผล เกยรตศกดมสขภำพด จำกตวอยำงจะเหนวำกำรยอมรบควำมจรงบำงอยำงกอน แลวจงหำขอสรปจำกสงทยอมรบแลวนน

ซงเรยกวำ ผล กำรสรปผลจะถกตองกตอเมอเปนกำรสรปผลไดอยำงสมเหตสมผล(valid) เชน เหต 1) เรอทกล ำลอยน ำ 2) ถงน ำพลำสตกลอยน ำได ผล ถงน ำพลำสตกเปนเรอ กำรสรปผลจำกขำงตนไมสมเหตสมผล แมวำขออำงหรอเหตทงสองขอจะเปนจรง แตกำรทเรำ

ทรำบ วำ เรอทกล ำลอยน ำไดกไมไดหมำยควำมวำสงอนๆ ทลอยน ำไดจะตองเปนเรอเสมอไป ขอสรปในตวอยำงขำงตนจงเปนกำรสรปทไมสมเหตสมผล

ขอสงเกต 1. เหตเปนจรง และ ผลเปนจรง

เหต ปลำทกตวมเหงอก สตวมเหงอกทกตวเปนสตวน ำ ผล ดงนน ปลำเปนสตวน ำ 2. เหตเปนเทจ และ ผลเปนเทจ เหต ชำงออกลกเปนไข สตวออกลกเปนไขเปนสตวน ำ ผล ชำงเปนสตวน ำ 3. เหตอำจเปนจรงและผลอำจเปนเทจ 4. ผลสรปสมเหตสมผลไมไดประกนวำขอสรปจะตองเปนจรงเสมอไป

วดทศน เรอง การใหเหตผลแบบอปนย และ นรนย

51

เรองท 2 การอางเหตผลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร

ออยเลอร เปนนกคณตศำสตรชำวสวสเซอรแลนด มชวตอยระหวำง ค.ศ. 1707 - 1783 เขำไดคนพบวธกำรตรวจสอบควำมสมเหตสมผลโดยใชรปปด เชน วงกลม ซงเปนวธกำรทงำย และรวดเรว แผนภำพเวนน – ออยเลอร ทใชในกำรใหเหตผลม 6 แบบ ดงน

แบบท เหตและผล แผนภำพเวนน – ออยเลอร

1 สมำชกของ A ทกตวเปนสมำชกของ B

เชน A แทนเซตของคนไทย

B แทนเซตของคนกลมอำเซยน

2 ไมมสมำชกของ A ใดๆ เปนสมำชกของ B

เชน A แทนเซตของคนไทย

B แทนเซตของคนยโรป

3 มสมำชกของ A บำงสวน เปนสมำชกของ B

เชน A แทนเซตของคนไทย

B แทนเซตของคนนบถอศำสนำพทธ

4 มสมำชกของ A บำงสวน ไมเปนสมำชกของ B

เชน A แทนเซตของคนชอบเลนกฬำ

B แทนเซตของคนอวน

5 มสมำชกของ A หนงสมำชก ทเปนสมำชกของ B

เชน A แทนเซตของจ ำนวนค

B แทนเซตของจ ำนวนเฉพะ

a = 2

6 มสมำชกของ B บำงตว ทเปนสมำชกของ A และ

a เปนสมำชกของ A

เชน B แทนเซตของคนไทย

A แทนเซตของคนนบถอศำสนำพทธ

a หมวนบถอศำสนำพทธ

A B

A B

A B

A B

a

A A

B B

a a

A

B

52

ตวอยำง กำรตรวจสอบควำมสมเหตสมผลของกำรใหเหตผลโดยใชแผนภำพ 1. เหต 1 : คนทกคนเปนสงทมสองขำ

2 : ต ำรวจทกคนเปนคน ผลสรป ต ำรวจทกคนเปนสงทมสองขำ

จำกเหต 1 จำกเหต 2

แผนภำพรวม

จำกแผนภำพจะเหนวำ วงของ " ต ำรวจ " อยในวงของ " สงม 2 ขำ " แสดงวำ " ต ำรวจทกคนเปนคน

มสองขำ " ซงสอดคลองกบผลสรปทก ำหนดให ดงนน กำรใหเหตผลนสมเหตสมผล 2. เหต 1 : สนขบำงตวมขนยำว

2 : มอมเปนสนขของฉน ผลสรป มอมเปนสนขทมขนยำว

ดงนน ผลสรปทวำ มอมเปนสนขทมขนยำว ไมสมเหตสมผล

วดทศน เรอง การอางเหตผลโดยใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร

53

บทท 5

อตราสวนตรโกณมตและการน าไปใช สาระส าคญ 1. ถำรปสำมเหลยมคใดคลำยกน อตรำสวนของดำนทอยตรงขำมมมทเทำกนจะเทำกน 2. ในรปสำมเหลยมมมฉำกทกรป อตรำสวนควำมยำวดำน 2 ดำน จะถกก ำหนดคำตำงๆไวดงน 2.1 คำไซนของมมใด (sine) จะเทำกบอตรำสวนระหวำงควำมยำวของดำนตรงขำมมมกบควำมยำวของดำนตรงขำมมมฉำก 2.2 คำโคไซนของมมใด (cosine) จะเทำกบอตรำสวนระหวำงควำมยำวดำนประชตมมกบควำมยำวดำนตรงขำมมมฉำก 2.3 คำแทนเจนตของมมใด (tangent) จะเทำกบ อตรำสวนระหวำงควำมยำวของดำนตรงขำมมมกบควำมยำวของดำนประชตมมนนๆ 3. นอกจำกอตรำสวนตรโกณมตหลก 3 คำนแลว สวนกลบของ sine, cosine และ tangent เรยกวำ cosecant, secant และ cotangent ตำมล ำดบ 4. อตรำสวนตรโกณมตของมม 30, 45 และ 60 องศำ มคำเฉพำะของแตละอตรำสวน 5. กำรแกปญหำโจทยทเกยวของ โดยเฉพำะกำรน ำไปใชแกปญหำเกยวกบกำรวดระยะทำงและควำมสงจะใชอตรำสวนตรโกณมตในกำรชวยหำค ำตอบ ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบำยกำรหำคำอตรำสวนตรโกณมตได 2. หำคำอตรำสวนตรโกณมตของมม 030 , 060 และ 045 ได 3. น ำอตรำสวนตรโกณมตไปใชแกปญหำเกยวกบระยะทำง ควำมสง และกำรวดได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 อตรำสวนตรโกณมต เรองท 2 อตรำสวนตรโกณมตของมม 30, 60 และ 45 องศำ

เรองท 3 กำรน ำอตรำสวนตรโกณมต ไปใชแกปญหำเกยวกบระยะทำง ควำมสง และกำรวด

54

เรองท 1 อตราสวนตรโกณมต

อตรำสวนตรโกณมตเปนเรองของกำรหำควำมสมพนธระหวำงดำน มม และพนทของรปสำมเหลยม มควำมส ำคญตอวชำดำรำศำสตร กำรเดนเรอ และงำนส ำรวจใชในกำรค ำนวณสวนสงของภเขำ และหำควำมกวำงของแมน ำ มประโยชนมำกส ำหรบวชำวทยำศำสตร วศวกรรมศำสตร และกำรศกษำเกยวกบวตถ ซงมสภำพเปนคลน เชน แสง เสยง แมเหลกไฟฟำและวทย 1.1 ความรเดมทตองน ามาใชในบทเรยนน

1) สมบตสำมเหลยมคลำย พจำรณำรปสำมเหลยมสองรปทมขนำดของมมเทำกน 3 ค ดงน

ถำรปสำมเหลยม 2 รป มมมเทำกนมมตอมมทง 3 ค แลว สำมเหลยม 2 รปนจะคลำยกน ดงรป

รปท 1 รปท 2

จำกรปก ำหนด = , = , = ดงนน รปสำมเห ลยม ABC คลำยกบรปสำมเหลยม XYZ และจำกสมบตกำรคลำยกนของ รป

สำมเหลยมจะไดผลตำมมำคอ

XZAC

YZBC

XYAB

หรอ zc

yb

xa

เมอ a, b, c เปนควำมยำวของดำน BC, AC และ AB ตำมล ำดบในสำมเหลยม ABC x, y, z เปนควำมยำวของดำน YZ, XZ และ XY ตำมล ำดบในสำมเหลยม XYZ

จำก y

b

x

a หรอจะไดวำ

y

x

b

a

z

c

y

b หรอจะไดวำ

z

y

c

b

z

c

x

a หรอจะไดวำ

z

x

c

a

วดทศน เรอง สมบตสามเหลยมคลาย

A X B Y C Z

Y

C

B

A X Z

c a

b

z

x

y

55

a

b

c

2) สมบตสำมเหลยมมมฉำก ถำให ABC เปนรปสำมเหลยมมมฉำก ทม C เปนมมฉำก

ให ดำนทอยตรงขำมมมฉำกหรอมม C ยำว c หนวย

ดำนทอยตรงขำมมม A ยำว a หนวย ดำนทอยตรงขำมมม B ยำว b หนวย

จะไดควำมสมพนธระหวำงควำมยำวของดำนทงสำมของรปสำมเหลยมมมฉำกดงน

เมอ c แทนควำมยำวของดำนตรงขำมมมฉำก คอมม C

a และ b แทนควำมยำวของดำนประกอบมมฉำก คอมม A และมม B ตวอยาง

1) จงหำควำมยำว a จำกรปสำมเหลยมมมฉำกทก ำหนดให

52 = a2 + 32 a2 + 9 = 25 a2 = 16

ดงนน a = 4

2) จงหำควำมยำว m จำกรปสำมเหลยมมมฉำกทก ำหนดให

m2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 ดงนน m = 13

222 bac

m

12

5

a

3

5

56

ทฤษฎบทปทาโกรส ปทำโกรสไดศกษำคนควำเกยวกบควำมสมพนธระหวำงดำนตรงขำมมมฉำกและดำนประกอบมมฉำกของสำมเหลยมมมฉำก ซงมใจควำมวำ

ในสำมเหลยมมมฉำกใดๆ พนทของสเหลยมจตรสบนดำนตรงขำมมมฉำก จะเทำกบผลบวกของพนทสเหลยมจตรสบนดำนประกอบมมฉำก

1.2 อตราสวนตรโกณมต

อตรำสวนตรโกณมต เปนเรองเกยวกบอตรำสวนของควำมยำวของดำนของรปสำมเหลยมมมฉำก ดงน

1. ไซน (sine) ของมมใดๆ เทำกบอตรำสวนของควำมยำวของดำนตรงขำมมม ตอควำมยำวของดำนตรงขำมมมฉำก (sine A เรยกยอวำ sin A)

2. โคไซน (cosine) ของมมใดๆเทำกบอตรำสวนของควำมยำวของดำนประชดมม ตอควำมยำวของดำนตรงขำมมมฉำก (cosine A เรยกยอวำ cos A)

3. แทนเจนต (tangent) ของมมใดๆ เทำกบอตรำสวนของควำมยำวของดำนตรงขำมมม ตอควำมยำวของดำนประชดมม (tangent A เรยกยอวำ tan A) ก ำหนดรปสำมเหลยม ABC ม C เปนมมฉำก

B

c a

A A b C

57

อตรำสวนตรโกณมตของมม A

sin A = มมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของA มมมดำนตรงขำควำมยำวของ

= c

a

cos A = มมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของA มมดำนประชดควำมยำวของ

= c

b

tan A = A มมดำนประชดควำมยำวของA มมมดำนตรงขำควำมยำวของ

= b

a

สวนกลบของอตรำสวนตรโกณมตมชอเรยก ดงน

cosec A = A มมดำนประชดควำมยำวของมมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของ

= a

c

sec A = A มมดำนประชดควำมยำวของมมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของ

= b

c

cot A = A มมดำนประชดควำมยำวของA มมมดำนตรงขำควำมยำวของ

= a

b

ตวอยาง ก ำหนดรปสำมเหลยมมมฉำก ABC มมม C เปนมมฉำก มควำมยำวดำนทงสำม ดงรป

จงหำคำตอไปน 1. sin A, cos A และ tan A 2. sin B, cos B และ tan B

วธท ำ ก ำหนด ABC เปนรปสำมเหลยมมมฉำก มมม C เปนมมฉำก จำกทฤษฎบทปทำโกรส

จะไดวำ AB2 = AC2 + BC2

แทนคำ AC = 8 , BC = 6 ดงนน AB2 = 82 + 62

= 64 + 36 = 100

= 10 × 10 หรอ 102 นนคอ AB = 10

8 หนวย

6 หนวย

B

A C

58

(1) หำคำ sin A, cos A และ tan A โดยกำรพจำรณำทมม A

5

3

10

6

AB

BC

มมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของ

A มมมดำนตรงขำควำมยำวของAsin

5

4

10

8

AB

AC

มมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของ

A มมดำนประชดควำมยำวของcosA

4

3

8

6

AC

BC

A มมดำนประชดควำมยำวของ

A มมมดำนตรงขำควำมยำวของAtan

(2) หำคำ sin B, cos B และ tan B โดยกำรพจำรณำทมม B

5

4

10

8

AB

AC

มมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของ

B มมมดำนตรงขำควำมยำวของBsin

5

3

10

6

AB

BC

มมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของ

B มมดำนประชดควำมยำวของBcos

3

4

6

8

BC

AC

B มมดำนประชดควำมยำวของ

B มมมดำนตรงขำควำมยำวของBtan

วดทศน เรอง อตราสวนตรโกณมต

59

เรองท 2 การหาคาอตราสวนตรโกณมตของมม 30, 45 และ 60 องา

2.1 กำรหำคำอตรำสวนตรโกณมตของมม 30 และ 60 องศำ พจำรณำรปสำมเหลยมดำนเทำ ABD มดำนยำวดำนละ 2 หนวย ดงน

จำกรปสำมเหลยมดำนเทำ ABD ลำก AC แบงครง มม A เสนแบงครงมม A จะตงฉำกกบ BD

ทจด C โดยใชหลกของสมบตของสำมเหลยมคลำย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนวย ดงรป จำกสำมเหลยมมมฉำก ABC ใชคณสมบตของทฤษฎปทำโกรสไดดงน

AB2 = AC2 + BC2 22 = 12 + BC2 4 = 1 + BC2 BC2 = 4 – 1 = 3

BC = 3

อตรำสวนตรโกณมตของมม 60๐ พจำรณำทมม A จะไดดงน

sin 60๐ = 2

3 ; cosec 60๐ = 3

2

cos 60๐ = 2

1 ; sec 60๐ = 2

tan 60๐ = 1

3 = 3 ; cot 60๐ = 3

1

B

A C 60

2

A

1

60 60

1 1

2 2

D B

A

300 300

C

60

1

2

A C

B

300

60

1

2

A C

B

300

60

อตรำสวนตรโกณมตของมม 30๐ พจำรณำทมม B จะไดดงน

sin 30๐ = 2

1 ; cosec 30๐ = 2

cos 30๐ = 2

3 ; sec 30๐ = 3

2

tan 30๐ = 3

1 ; cot 30๐ = 3

2.2 กำรหำคำอตรำสวนตรโกณมตของมม 45 องศำ

พจำรณำรปสำมเหลยมมมฉำก ABC มมม C เปนมมฉำก และมมม A = มม B = 45๐ จะไดวำ BCAC = 1 หนวย จำกรปสำมเหลยมมมฉำก ABC ใชคณสมบตของทฤษฎปทำโกรสไดดงน AB2 = AC2 + BC2 AB2 = 12 + 12 = 2 AB = 2 อตรำสวนตรโกณมตของมม 45๐ จะไดดงน

sin 45๐ = 2

1 หรอ 22

; cosec 45๐ = 2

cos 45๐ = 2

1 หรอ 22

; sec 45๐ = 2

tan 45๐ = 1 ; cot 45๐ = 1

45

๐

45

๐

A

B

C

1

1

1

30

1

A

45

61

ตวอยาง 1 จงหำคำตอไปน 1) sin 30๐ sin 60๐ + cos 30๐ cos 60๐ 2) (cos 30๐)2 + (sin 30๐)2

3) tan2 30๐ + 2sin 60๐ + tan 45๐ – tan 60๐ + cos2 30๐

4) cos 60๐ – tan2 45๐ + 3

4 tan2 30๐ + cos2 30๐ – sin 30๐

5)

45tan45cos

45sin

วธท ำ

1) sin 30๐ sin 60๐ + cos 30๐ cos 60๐ = 2

3

4

32

4

3

4

3

2

1

2

3

2

3

2

1

2) (cos 30๐)2 + (sin 30๐)2 = 14

4

4

1

4

3

2

1

2

322

3) tan2 30๐ + 2sin 60๐ + tan 45๐ – tan 60๐ + cos2 30๐ = 22

2

331

2

32

3

1

= 4

3313

3

1

= 12

25

4) cos 60๐ – tan2 45๐ + 3

4 tan2 30๐ + cos2 30๐ – sin 30๐ = 2

1

2

3

3

1

3

4)1(

2

122

2

= 2

1

4

3

9

41

2

1

= 36

7

5)

45tan45cos

45sin = 0111

1

2

2

11

2

12

1

ตวอยาง 2 จงหำคำของ a และ b จำกรปสำมเหลยมทก ำหนดใหตอไปน

วธท ำ sin 30๐ ABBC

แทนคำ sin 30๐ = 21 ; BC = a และ AB = 10

21 =

10a

2

10a 1

= 5

30๐

C A

10

B

a

b

62

cos 30๐ = ABAC

แทนคำ cos 30๐ = 23

; AC = b และ AB = 10

23

= 10b

210b 3

= 5 3

ตวอยางท 3 ก ำหนดรปสำมเหลยมมมฉำก ABC มมม C เปนมมฉำก และ sec A = 3

5 จงหำ

(1) cos A (2) tan A (3) cosec A (4) sin B (5) cot B และ (6) sec B วธท า

ก ำหนด sec A = 3

5

เนองจำก sec A = A มมดำนประชดควำมยำวของมมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของ

จำกรป AB = 5 และ AC = 3 และ จะได BC2 + AC2 = AB2 BC2 + 32 = 52 BC2 = 25 – 9 = 16 BC = 4 จะไดคำอตรำสวนตรโกณมตดงน

(1) cos A = 5

3

(2) tan A = 3

4

(3) cosec A = Asin

1 = 4

5

(4) sin B = 5

3

(5) cot B = 3

4

(6) sec B = 4

5

วดทศน เรอง การหาอตราสวนตรโกณมต

ของมม 30° 60°และ 45°

C A

B

5

3

C A

B

5

3

4

63

เรองท 3 การน าอตราสวนตรโกณมตไปใชแกปญหาเกยวกบการวดระยะทางและความสง อตรำสวนตรโกณมตมประโยชนมำกในกำรหำควำมยำว ระยะทำงหรอสวนสงโดยททรำบคำมมใด

มมหนง และควำมยำวของดำนใดดำนหนงของรปสำมเหลยมมมฉำก แลวจะสำมำรถหำดำนทเหลอได

ค าทเกยวของกบการน าอตราสวนตรโกณมตไปใช เสนระดบสายตา คอ เสนทขนำนกบแนวพนรำบ มมกม คอ มมทแขนขำงหนงของมม อยต ำกวำระดบสำยตำ

มมเงย คอ มมทแขนขำงหนงอยสงกวำเสนระดบสำยตำ

ตวอยางท 1 สมพรยนอยหำงจำกบำนหลงหนงเปนระยะทำง 90 เมตร เขำเหนเครองบน เครองหนง บนอยเหนอหลงคำบำนพอด และแนวทเขำมองเปนมมเงย 30 องศำ จงหำวำเครองบน อยสงจำกพนดนกเมตร

วธท ำ tan 30 = 30 มมดำนประชดควำมยำวของ30 มมมดำนตรงขำควำมยำวของ

3

1 = 90

30 มมมดำนตรงขำควำมยำวของ

ควำมยำวของดำนตรงขำมมม 30๐ = 3303

39033

390

390

ดงนน ควำมสงของเครองบนอยหำงจำกพนดน 330 เมตร วดทศน เรอง ตวอยางการแกโจทยปญหา (1)

30๐

90 m

64

ตวอยางท 2 บนไดยำว 50 ฟต พำดอยกบก ำแพง ปลำยบนไดถงขอบก ำแพงพอด ถำบนไดท ำมม 060 กบก ำแพง จงหำวำระยะทำงระหวำงเชงบนไดกบก ำแพงยำวกฟต

วธท ำ sin 600 = มมมฉำกดำนตรงขำควำมยำวของ

60 มมมดำนตรงขำควำมยำวของ

23 =

5060 มมมดำนตรงขำควำมยำวของ

ควำมยำวของดำนประชดมม 2

35060 = 325

ดงนน ระยะระหวำงบนไดกบก ำแพงเทำกบ 325 ฟต

วดทศน เรอง ตวอยางการแกโจทยปญหา (2)

60๐

65

ตวอยางท 3 สมพรยนอยบนหนำผำแหงหนง ซงสงจำกระดบน ำทะเล 50 เมตร เขำมองไปยงเรอล ำหนงกลำงทะเล เปนมมกม 30 องศำ เรอล ำนอยหำงจำกฝงโดยประมำณกเมตร วธท ำ

ให A เปนต ำแหนงทสมพรยนอย

AC แทนควำมสงของหนำผำจำกน ำทะเล คอ 50 เมตร BC เปนระยะทเรออยหำงจำกฝง

เนองจำก AD // BC จะได 030BADABC ˆˆ ABC เปนรปสำมเหลยมมมฉำก

จะไดวำ BCAC

tan300

BC50

31

1.73250350BC 86.6BC

ดงนน เรออยหำงจำกฝงประมำณ 87 เมตร

วดทศน เรอง ตวอยางการแกโจทยปญหา (3)

66

กจกรรมบทท 5

แบบฝกหดท 1 1. จงหำวำอตรำสวนตรโกณมตทก ำหนดใหตอไปน เปนคำไซน (sin) หรอโคไซน (cos) หรอแทนเจนต

(tan) ของมมทก ำหนดให

1) ………………. A = cb

2) ………………. A = ab

3) ………………. B = ca

4) ………………. B = cb

2. จงหำคำ a และ b จำกรปทก ำหนดให

3. จงหำคำของ 1) sin 30 – cos 30 + sin 60 – cos 60 + tan 45 2) tan2 45– sin 30 cosec260

3) 4)

30sin45tan60seccos6030cosecsin30

2

22

60sec302cos

45tan60cos60sin 2

2

22

4. มำนะยนหำงจำกตก 20 เมตร มองเหนยอดตกเปนมมเงย 45 และเหนเสำอำกำศทตงอยบนยอดตกเปนมมเงย 60

จงหำวำเสำอำกำศสงจำกตกเทำไร (ก ำหนด 3 = 1.73)

C

B A

b

c

a

A

D

B

C

60

45

67

บทท 6

การใชเครองมอและการออกแบบผลตภณฑ สาระส าคญ

1. กำรเลอกใชเครองมอตำงๆ ในกำรสรำงรปเรขำคณต 2. กำรออกแบบวสดหรอครภณฑ อำคำรทพกอำศย หรออำคำรส ำนกงำนตำงๆ ในชวตประจ ำวนจะเกยวของกบรปแบบ กำรเลอนขนำน กำรหมน และกำรสะทอน

3. กำรออกแบบบรรจภณฑสนคำทด สวยงำม นำสนใจ จะชวยในกำรกำรเพมมลคำของสนคำนนๆ ได ผลการเรยนรทคาดหวง

1. สรำงรปเรขำคณตโดยใชเครองมอได 2. อธบำยควำมสมพนธระหวำงรปตนแบบ และรปทไดจำกกำรเลอนขนำน กำรสะทอนและกำรหมนได 3. น ำสมบตเกยวกบกำรเลอนขนำน กำรหมน และกำรสะทอน จำกกำรแปลงทำงคณตศำสตรและทำงเรขำคณต ไปใชในกำรออกแบบ งำนศลปะได

ขอบขายเนอหา

เรองท 1 กำรสรำงรปทำงเรขำคณตโดยใชเครองมอ เรองท 2 กำรแปลงทำงเรขำคณต

2.1 กำรเลอนขนำน (Translation) 2.2 กำรหมน (Rotation) 2.3 กำรสะทอน (Reflection)

68

เรองท 1 การสรางรปเรขาคณตโดยใชเครองมอ

1.1 รปเรขาคณตสองมต สำมำรถสรำงไดโดยใชสนตรง เชน ไมบรรทด ฟตเหลก ไมฉำก ไมท เพอวดควำมยำว ใชไมโปรแทรกเตอร เพอวดมม หรอขนำดของมม ใชวงเวยน เพอประกอบกำรสรำงเสนโคงทแทนควำมยำวรอบวงกลม หรอชวยในกำรสรำงมมทมขนำดทตองกำร

สมบตตาง ๆ ของรปเรขาคณตและความสมพนธระหวางรปเรขาคณต 1. รปสเหลยมผนผา

1) มมมทงสเปนมมฉำก 2) ดำนทอยตรงขำมกนยำวเทำกนและขนำนกนสองค 3) เสนทแยงมมแบงครงกนและกน 4) พนทของสเหลยมผนผำ = ควำมยำวของดำนกวำง x ควำมยำวของดำนยำว 5) ควำมยำวรอบรปของสเหลยมผนผำ = ( 2 × ควำมยำวของดำนกวำง ) + (2 × ควำมยำวของดำนยำว)

2. รปสเหลยมจตรส

1) มมทงสเปนมมฉำก 2) ดำนทงสยำวเทำกน 3) เสนทแยงมมแบงครง และตงฉำกกนซงกนและกน

4) พนทของรปสเหลยมจตรส = ควำมยำวดำน × ควำมยำวดำน หรอ 2

1 ผลคณของ

ควำมยำวเสนทแยงมม

D

B C

69

3. รปสเหลยมดานขนาน

1) มดำนตรงกนยำวเทำกนและขนำนกนสองค 2) เสนทแยงมมแบงครงกนและกน แตยำวไมเทำกน 3) พนทของรปสเหลยมดำนขนำน = ควำมยำวฐำน × สวนสง

4. รปสเหลยมขนมเปยกปน

1) มดำนตรงขำมกนขนำนกนสองค 2) ดำนทงสยำวเทำกน 3) เสนทแยงมมแบงครงซงกนและกน และตงฉำกกน

4) พนทรปสำมเหลยมขนมเปยกปน = ควำมยำวฐำน × สวนสง หรอ 2

1 ผลคณของ

ควำมยำวของเสนทแยงมม 5. รปสเหลยมรปวาว

1) มดำนประชดกนยำวเทำกน 2 ค 2) เสนทแยงมมสองเสนตงฉำกกน 3) เสนทแยงมมแบงครงซงกนและกน แตยำวไมเทำกน

4) พนทของรปสเหลยมรปวำว = 2

1 ผลคณของควำมยำวของเสนทแยงมม

70

6. รปสเหลยมคางหม

1) มดำนขนำนกน 1 ค

2) พนทของรปสเหลยมคำงหม = 21 × ผลบวกของควำมยำวของดำนคขนำน × สวนสง

7. รปวงกลม

1) ระยะทำงจดศนยกลำงไปยงเสนรอบวงเปนระยะทเทำกนเสมอ เรยกวำ รศมของวงกลม (r) 2) เสนผำนศนยกลำงยำวเปน 2 เทำของรศม (r) 3) พนทวงกลม = 2r 4) ควำมยำวเสนรอบรปของวงกลม 2 r

วดทศน เรอง รปเรขาคณตสองมต

1.2 รปเรขาคณตสามมต รปเรขำคณตสำมมตสำมำรถแสดงรปรำงซงมทงควำมกวำง ควำมยำว ควำมสง หรอควำมหนำ ตวอยำงรปทรงเรขำคณตสำมมต เชน ปรซม เปนรปสำมมตทมหนำตดหวทำยเปนรปเหลยมเทำกนทกประกำรและขนำนกนและผวดำนขำง เปนรปสเหลยมผนผำ เชน

ปรซมสำมเหลยม ปรซมสเหลยม ปรซมหำเหลยม

O

71

พระมด เปนรปเรขำคณตสำมมตทมยอดแหลม ผวดำนขำงเปนรปสำมเหลยม

พระมดฐำนสเหลยม พระมดฐำนสำมเหลยม

ตวอยำงรปเรขำคณตสำมมตทพบเหนในชวตประจ ำวน เชน ตเยน เปนรปทรงสเหลยมมมฉำก หรอปรซมสเหลยม กระปองของปลำกระปอง เปนรปทรงกระบอก ไอศกรม เปนรปกรวยกลม เปนตน

1.3 การคลรปเรขาคณตสามมต ภาพทไดจะเปนภาพของรปเรขาคณตสองมต เชน การคลรปปรซมทรงสเหลยมมมฉากรปทรงประมด

สเหลยมมมฉำก

กำรคลรปพระมด ฐำนสเหลยม

วดทศน เรอง รปเรขาคณตสามมต วดทศน เรอง การคลรปเรขาคณตสามมต

สงเอยง

72

1.4 การตดขวางรปเรขาคณตสามมต เมอน ำระนำบมำตดขวำงรปทรงเรขำคณตสำมมตในแนวตำงๆ กน ภำพทเกดขนจะมลกษณะตำงๆ กน เชน กรวยกลม เมอตดดวยระนำบในแนวขนำนกบฐำนกรวย จะไดภำพสองมตเปนรปวงกลม

กรวยกลม เมอตดดวยระนำบในแนวตงฉำกกบฐำนกรวย จะไดภำพเปนรปพำลำโบลำ

กรวยกลม เมอตดดวยระนำบทไมขนำนกบฐำนและไมตงฉำกกบฐำน จะไดภำพเปนวงร

1.5 มมมองของรปเรขาคณตสามมต รปเรขำคณตทพบเหนในชวตประจ ำวนมรปรำงและสงทมองเหนจำกกำรเปลยนมมมองแตละดำน

แตกตำงกน เชน

วดทศน เรอง การตดขวางและมมมองรปเรขาคณตสามมต

รป

เรขำค

ณต

73

1.6 รปเรขาคณตสามมตทเกดจากการหมนรปเรขาคณตสองมต 1) รปสำมเหลยมหนำจว ABC มแกน EF เปนแกนสมมำตร ถำน ำรปสำมเหลยมหนำจว ABC

หมนรอบแกนสมมำตร EF จะเหนเปนรปเรขำคณตสำมมต “กรวยกลม”

2) แผนกระดำษแขงรปวงกลม เปนรปเรขำคณตสองมต ถำใชเสนผำนศนยกลำง yy เปนแกน

หมนรปเรขำคณตสำมมตทเกดจำกกำรหมนจะเหนเปนลกษณะ “ทรงกลม”

3) กระดำษรปสเหลยมผนผำ เปนรปเรขำคณตทมแกนสมมำตรสองแกน

วดทศน เรอง รปเรขาคณตสามมตทเกดจากการหมน

จะเหนเปน

ทรงกระบอก

74

1.7 การเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมต กำรเขยนภำพของรปเรขำคณตสำมมตอยำงงำยอำจใชขนตอนดงในตวอยำงตอไปน 1. กำรเขยนภำพของทรงกระบอก

ขนท 1 เขยนวงรแทนหนำตดทเปนวงกลมและเขยนสวนของเสนตรงสองเสน แสดงสวนสงของ

ทรงกระบอก ดงรป ขนท 2 เขยนวงรทมขนำดเทำกบวงรทใชในขนท 1 แทนวงกลมซงเปนฐำนของทรงกระบอก

และเขยนเสนประแทนเสนทบตรงสวนทถกบง 2. กำรเขยนภำพของปรซม

ขนท 1 เขยนทรงกระบอกตำมวธกำรขำงตน ขนท 2 ก ำหนดจดบนวงรดำนบนเพอใชเปนจดยอดของรปสเหลยมทเปนฐำนของปรซมตำม

ตองกำรแลวลำกสวนของเสนตรงเชอมตอจดเหลำนน ขนท 3 เขยนสวนสงของปรซมจำกจดยอดของรปเหลยมทไดในขนท 2 มำตงฉำกกบวงร

ดำนลำง ขนท 4 เขยนสวนของเสนตรงเชอมจดบนวงรทไดในขนท 3 และลบรอยสวนโคงของวงร จะ

ไดรปหลำยเหลยมทเปนฐำนของปรซม แลวเขยนเสนประแทนดำนทถกบง

75

3. กำรเขยนภำพของทรงสเหลยมมมฉำก

ขนท 1 เขยนรปสเหลยมมมฉำก 1 รป ขนท 2 เขยนรปสเหลยมมมฉำกขนำดเทำกนกบรปในขนท 1 อก 1 รป ใหอยในลกษณะทขนำน

กนและเหลอมกนประมำณ 30 องศำ ดงรป

ขนท 3 ลำกสวนของเสนตรงเชอมตอจดใหไดทรงสเหลยมมมฉำก ขนท 4 เขยนเสนประแทนดำนทถกบง

ส ำหรบกำรเขยนภำพของกรวย ทรงกลม และพระมดกสำมำรถเขยนไดโดยใชวธกำรเดยวกนกบขำงตนซงมขนตอนดงน 4. กำรเขยนภำพของกรวย 5. กำรเขยนภำพของทรงกลม

6. กำรเขยนภำพของพระมดฐำนหกเหลยม

76

นอกจำกจะใชวธกำรดงกลำวขำงตนในกำรเขยนภำพของรปเรขำคณตสำมมตแลว อำจใชกระดำษทมจดเหมอนกระดำนตะป (Geoboard) หรอกระดำษจดไอโซเมตรก (Isometric dot paper) ชวยในกำรเขยนภำพนนๆ

กระดำษทมจดเหมอนกระดำนตะป กระดำษจดไอโซเมตรก กำรเขยนภำพของรปเรขำคณตสองมตบนกระดำษทมจดเหมอนกระดำนตะป ดงตวอยำง

นอกจำกนยงนยมเขยนภำพของรปเรขำคณตสำมมตบนกระดำษจดไอโซเมตรก ภำพของรป

เรขำคณตสำมมตทเขยนอยในลกษณะนเรยกวำ ภำพแบบไอโซเมตรก กำรเขยนภำพแบบไอโซเมตรกบนกระดำษจดไอโซเมตรกจะเขยนสวนของเสนตรงทเปนดำนกวำง

ดำนยำว ตำมแนวของจดซงเอยงท ำมมขนำด 30 องศำ กบแนวนอนและเขยนสวนของเสนตรงทเปนสวนสง ตำมแนวของจดในแนวตง ดงตวอยำง

วดทศน เรอง การเขยนภาพของรปเรขาคณตสามมต

77

เรองท 2 การแปลงทางเรขาคณต

เปนค ำศพททใชเรยกกำรด ำเนนกำรใดๆทำงเรขำคณต ทงในสองมตและสำมมต เชน กำรเลอนขนำน กำรหมน กำรสะทอน

2.1 การเลอนขนาน (Translation) กำรเลอนขนำนตองมรปตนแบบ ทศทำงและระยะทำงทตองกำรเลอนรป กำรเลอนขนำนเปน

กำรแปลงทจบคจดแตละจดของรปตนแบบกบจดแตละจดของรปทไดจำกกำรเลอนรปตนแบบไปในทศทำงใดทศทำงหนงดวยระยะทำงทก ำหนด จดแตละจดบนรปทไดจำกกำรเลอนขนำนจะหำงจำกจดทสมนยกนบนรปตนแบบเปนระยะทำงเทำกน กำรเ ลอนในลกษณะนเรยกอกอยำงหนงวำ “สไลด (slide)” ดงตวอยำงในภำพท 1 และภำพท 2

ภำพท 1

ภำพท 2

วดทศน เรอง การเลอนขนาน

รปตนแบบ

รปตนแบบ

78

2.2 การหมน (Rotation) กำรหมนจะตองมรปตนแบบ จดหมนและขนำดของมมทตองกำรในรปนน กำรหมนเปนกำรแปลง

ทจบคจดแตละจดของรปตนแบบกบจดแตละจดของรปทไดจำกกำรหมน โดยทจดแตละจดบนรปตนแบบเคลอนทรอบจดหมนดวยขนำดของมมทก ำหนด จดหมนจะเปนจดทอยนอกรปหรอบนรปกได กำรหมนจะหมนทวนเขมนำฬกำหรอตำมเขมนำฬกำกได โดยทวไปเมอไมระบไวกำรหมนรปจะเปนกำรหมนทวนเขมนำฬกำ บำงครงถำกำรหมนตำมเขมนำฬกำ อำจใชสญลกษณ -x๐

หรอ ถำกำรหมนทวนเขมนำฬกำ อำจใชสญลกษณ x๐

2.3 การสะทอน (Reflection)

กำรสะทอนตองมรปตนแบบทตองกำรสะทอนและเสนสะทอน (Reflection line หรอ Mirror line) กำรสะทอนรปขำมเสนสะทอนเสมอนกบกำรพลกรปขำมเสนสะทอนหรอกำรดเงำสะทอนบนกระจกเงำทวำงบนเสนสะทอน กำรสะทอนเปนกำรแปลงทมกำรจบคกนระหวำงจด แตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนรปสะทอน โดยท 1. รปทเกดจำกกำรสะทอนมขนำดและรปรำงเชนเดม หรอกลำววำรปทเกดจำกกำรสะทอนเทำกนทกประกำรกบรปเดม

2. เสนสะทอนจะแบงครงและตงฉำกกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวำงจดแตละจดบนรปตนแบบกบจดแตละจดบนรปสะทอนทสมนยกน นนคอระยะระหวำงจดตนแบบและเสนสะทอนเทำกบระยะระหวำงจดสะทอนและเสนสะทอน

B

B

A

O

จากรป เปนกำรหมนรปสำมเหลยม ABC ในลกษณะทวนเขมนำฬกำ โดยมจด O เปนจดหมน ซงจดหมนเปนจดทอยนอกรปสำมเหลยม ABCรป

เปนรปทไดจำกกำรหมน 90๐ และจะไดวำ ขนำดของมม เทำกบ 90๐

เทำกบ 90๐ และ เทำกบ 90๐

C

รปตนแบบ

79

ตวอยำง

จากรป รปสำมเหลยม CBA เปนรปสะทอนของรปสำมเหลยม ABC ขำมเสนสะทอน m รปสำมเหลยม ABC เทำกนทกประกำรกบรปสำมเหลยม CBA สวนของเสนตรง AA ตงฉำกกบเสนสะทอน m ทจด P และระยะจำกจด A ถงเสน m เทำกบระยะจำกเสน m ถงจดA ( AP AP )

วดทศน เรอง การสะทอน

m P

B

A

C

รปตนแบบ

80

กจกรรมบทท 6

แบบฝกหดท 1 1. ก ำหนดมมในรปสเหลยมมมฉำกดงรป

ก. รปสเหลยม ABCD เปนรปสเหลยมชนดใด ข. EDB มขนำดกองศำ ค. รปสเหลยม BDEG เกดจำกกำรใชระนำบตดทรงรปสเหลยมมมฉำกตำมแนวใด ง. รปสำมเหลยม BDE เกยวของกบ รปสเหลยม BDEG อยำงไร

2. จงเขยนรปคลของทรงสำมมตตอไปน

ดเฉลยกจกรรมทายบท

81

บทท 7 สถตเบองตน

สาระส าคญ 1. ขอมลสถต หมำยถง ตวเลขหรอขอควำมทแทนขอเทจจรงของลกษณะทเรำสนใจ 2. ระเบยบวธกำรทำงสถต จะประกอบไปดวย กำรเกบรวบรวมขอมล กำรน ำเสนอขอมล กำร

วเครำะหและกำรตควำมของขอมล 3. กำรเกบรวบรวมขอมล หมำยถง กระบวนกำรกระท ำเพอจะใหไดขอมลทตองกำรศกษำภำยใต

ขอบเขตทก ำหนด 4. กำรน ำเสนอขอมลทเกบรวบรวมมำ จะม 2 แบบ คอ กำรน ำเสนออยำงเปนแบบแผนและกำร

น ำเสนออยำงไมเปนแบบแผน 5. กำรวดแนวโนมเขำสสวนกลำง เปนกำรหำคำกลำงดวยวธตำง ๆ กน เพอใชเปนตวแทนของขอมล

ทงชด คำกลำงทนยมใชม 3 วธ คำเฉลยเลขคณต คำมธยฐำนและคำฐำนนยม

ผลการเรยนรทคาดหวง 1. อธบำยขนตอนกำรวเครำะหขอมลเบองตน และสำมำรถน ำผลกำรวเครำะหขอมลเบองตนไปใชใน

กำรตดสนใจได 2. เลอกใชคำกลำงทเหมำะสมกบขอมลทก ำหนดและวตถประสงคทตองกำรได 3. น ำเสนอขอมลในรปแบบตำงๆรวมทงกำรอำนและตควำมหมำยจำกกำรน ำเสนอขอมลได

ขอบขายเนอหา เรองท 1 กำรวเครำะหขอมลเบองตน เรองท 2 กำรหำคำกลำงของขอมลโดยใชคำเฉลยเลขคณต มธยฐำนและฐำนนยม เรองท 3 กำรน ำเสนอขอมล

82

เรองท 1 การวเคราะหขอมลเบองตน

สถต (Statistics) มควำมหมำย 2 อยำง คอ 1) สถต หมำยถง คำทไดจำกกำรประมวลจำกขอมลเบองตนในลกษณะ สรปรวบยอด ใชเปนตวแทนของชดขอมล 2) สถต หมำยถง ระเบยบวธกำรทเกยวของกบกำรจดกระท ำขอมลเรมตงแต กำรเกบรวบรวมขอมล กำรน ำเสนอขอมล กำรวเครำะหขอมล และกำรตควำมหรอแปลควำมหมำยขอมล

การจ าแนกชนดของขอมล มดงน 1) ขอมลเชงคณภำพ เปนขอมลทแสดงถง คณสมบต สภำพ สถำนะ หรอควำมคดเหน เชน ควำมสวย ระดบกำรศกษำ เพศ อำชพ เปนตน

2) ขอมลเชงปรมำณ เปน ขอมลทแสดงจ ำนวนมำกหรอนอย เปนตวเลข เชนขอมลทเกดจำกกำรชง ตวง วด ซงคำของขอมลทน ำปรมำณมำเปรยบเทยบกนได เชน ควำมยำว น ำหนก สวนสง 3) ขอมลจ ำแนกตำมเวลำ เปนขอมลทแสดงขอเทจจรงตำมชวงระยะเวลำตำงๆ 4) ขอมลจ ำแนกตำมภมศำสตร เปนขอมลแยกตำมสภำพทองถน เชน แยกตำมจงหวด

การเกบรวบรวมขอมล จ ำแนกกำรเกบจำกแหลงทมำของขอมล ม 2 ประเภท คอ 1) ขอมลปฐมภม (Primary data) หมำยถง ขอมลทรวบรวมมำจำกผ ใหหรอแหลงทเปนขอมลโดยตรง เชน กำรส ำรวจนบจ ำนวนพนกงำนในบรษทแหงหนง เปนตน มวธเกบรวบรวมดงน (1) กำรสมภำษณ (2) กำรสอบถำมทำงไปรษณย (3) กำรสอบถำมทำงโทรศพท (4) กำรสงเกต (5) กำรทดลอง 2) ขอมลทตยภม (Secondary data) หมำยถง ขอมลทรวบรวมหรอเกบมำจำกแหลงขอมลทมกำรรวบรวมไวแลว เชน กำรคดลอกจ ำนวนสนคำสงออกทกำรทำเรอไดรวบรวมไว

อนง กำรเกบรวบรวมขอมล ถำเรำเลอกมำจำกจ ำนวนหรอรำยกำรของขอมลท ตองกำรเกบมำทงหมดทกหนวยจะเรยกวำ “ประชำกร” ( Population ) แตถำเรำเลอกมำเปนบำงหนวยและเปนตวแทนของประชำกรนน ๆ เรำจะเรยกวำ “กลมตวอยำง” หรอ “ตวอยำง” ( Sample )

วดทศน เรอง สถตเบองตน

83

การวเคราะหขอมล มดงน 1) สถตเชงพรรณนำ เปนกำรวเครำะหขนตน มงวเครำะหเพออธบำยลกษณะกวำงๆของขอมลชดนนๆ 2) สถตเชงอนมำน เปนกำรวเตรำะหขอมลทเกบรวบรวมไดจำกตวอยำง เพออำงองไปยงขอมลทงหมด ตารางแจกแจงความถ ตวอยาง จำกตำรำงแจกแจงควำมถของคะแนนสอบของนกเรยน 40 คน ดงน

อนตรภำคชน (คะแนน)

ควำมถ (f)

ควำมถสะสม

จดกลำงชน (xi)

ขดจ ำกดลำง ขดจ ำกดบน

11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 - 60

7 6 8

15 4

7 13 21 36 40

15.5 25.5 35.5 45.5 55.5

10.5 20.5 30.5 40.5 50.5

20.5 30.5 40.5 50.5 60.5

ควำมหมำยของคำตำงๆ ในตำรำงแจกแจงควำมถทเปนอนตรภำคชน มดงน

1) อนตรภำคชน (Class interval) หมำยถง ขอมลทแบงออกเปนชวงๆ เชน อนตรภำคชน 11-20, 21 -30 ,61–70 ,81-90 เปนตน

2) ควำมกวำงของอนตรภำคชน หมำยถง ควำมกวำง 1 ชวงของขอมลในแตละชน จำก 11-20 มควำมกวำง เทำกบ 10

3) จ ำนวนของอนตรภำคชน หมำยถง จ ำนวนชวงชนทงหมดทไดแจกแจงไวในทน ม 5 ชน 4) ควำมถ (Frequency) หมำยถง รอยขดทซ ำกน หรอจ ำนวนขอมลทซ ำกนในอนตรภำคชนนน ๆ

เชน อนตรภำคชน 41-50 มควำมถเทำกบ 15 หรอมนกเรยนทไดคะแนนในชวง 41-50 มอย 15 คน 5) ควำมถสะสม เปนผลรวมของควำมถของอนตรภำคชนนน กบควำมถของอนตรภำคชนทมชวงคะแนนต ำกวำทงหมด 6) จดกลำงชน เปนคำทอยระหวำงกลำงของอนตรภำคชน เชน อนตรภำคชน 11 - 20 มจดกลำงชน

เทำกบ 15.52

2011

วดทศน เรอง ตารางแจกแจงความถ

84

เรองท 2 การหาคากลางของขอมล โดยใชคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม

คำกลำงของขอมลเปนคำสถตทไดจำกกำรวเครำะหขอมลแตละชด คำกลำงของขอมลจงเปนตวแทนของขอมลในแตละชด คำกลำงของขอมลทส ำคญม 3 ชนด คอ คำเฉลยเลขคณต มธยฐำน และ ฐำนนยม

ขอมลทไมไดแจกแจงความถ 1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean) คอ ผลบวกของขอมลทงหมดหำรดวยจ ำนวนขอมล

n

x...xxx n21 =

n

xn

1ii

เมอ n แทนจ ำนวนขอมล

2. มธยฐาน (Median) คอ คำทมต ำแหนงอยกงกลำงของขอมลทงหมด เมอไดเรยงขอมลตำมล ำดบ ขนตอนการหามธยฐาน

1) เรยงขอมลทมอยท งหมดจำกนอยไปมำก หรอมำกไปนอยกได

2) ต ำแหนงมธยฐำน คอ ต ำแหนงกงกลำงขอมลทงหมด ดงนนต ำแหนงของมธยฐำน = 2

1n

เมอ n คอ จ ำนวนขอมลทงหมด

3. ฐานนยม (Mode) คอ คำของขอมลทมควำมถสงสด หรอคำทมจ ำนวนซ ำๆ กนมำกทสด ขยำยควำม 1) กรณทขอมลทมควำมถมำกทสดเทำกน 2 คำ ฐำนนยมคอคำสงเกต 2 คำนน 2) กรณทขอมลมควำมถเทำกนจะไมมฐำนนยม

ตวอยาง หำคำเฉลยเลขคณต ฐำนนยม และมธยฐำนของขอมลตอไปน 5 , 8 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 9 , 15 , 11

วธท า คาเฉลยเลขคณต

n

xx

n

1ii

= 10

1115910998685

= 1090

= 9

คำเฉลยเลขคณต คอ 9

85

คามธยฐาน 1) เรยงขอมลจำกนอยไปมำก ดงน

5 , 7 , 8 , 8 , 9 , 9 , 9 , 10 , 11 , 15

2) ต ำแหนงมธยฐำน = 2

1n

= 2

110

= 5.5 (จ ำนวนขอมลทงหมด n = 10)

ต ำแหนงท 5.5 คอ ระหวำงขอมลตวท 5 และตวท 6 คอ 9 กบ 9 มธยฐำน คอ 9

ฐานนยม คอขอมลทมควำมถมำกทสด = 9 ฐำนนยม คอ 9

ตวอยาง คะแนนสอบของนกเรยนหองหนงปรำกฏดงตำรำง

จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม วธท า จ ำนวนนกเรยน 2 + 4 + 6 + 5 + 3 = 20 คน

คาเฉลยเลขคณต

x = 20

(20)(3)(18)(5)(15)(6)(12)(4)(10)(2)

= 15.40 คำเฉลยเลขคณต คอ 15.40 คะแนน

คามธยฐาน

1) ต ำแหนงมธยฐำน = 2

1n

= 2

120

= 10.5

2) อยระหวำงคนท 10 กบ 11 = 15คะแนน คำมธยฐำน คอ 15 คะแนน

ฐานนยม ขอมลทซ ำมำกทสดคอ 6 คน

ฐำนนยม คอ 15 คะแนน

วดทศน เรอง การหาคากลางของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

คะแนน 10 12 15 18 20 จ ำนวน 2 4 6 5 3

86

ขอมลทมการแจกแจงความถเปนอนตรภาคชน 1. คาเฉลยเลขคณต

N

xfx

k

1i1i

2. มธยฐาน (Median) ขนตอนกำรหำมธยฐำน 1) สรำงตำรำงแจกแจงควำมถสะสม

2) คำมธยฐำนอยต ำแหนงท = 2

fk

1ii

3) หำคำมธยฐำนดวยสตร

m

L

k

1i1

f

f2

f

ILMe

3. ฐานนยม (Mode) สำมำรถหำฐำนนยมจำกสตร (ขอมลตองมควำมกวำงของอนตรภำคชนเทำกน)

21

1

ddd

ILMo

เมอ k คอ จ ำนวนอนตรภำคชน x1 คอ จดกงกลำงของแตละอนตรภำคชน f1 คอ ควำมถของแตละอนตรภำคชน N คอ จ ำนวนขอมลทงหมด

เมอ L คอ ขอบลำงของอนตรภำคชนทมมธยฐำน

I คอ ควำมกวำงของอนตรภำค

fm คอ ควำมถของชนทมมธยฐำนอย

Lf คอ ควำมถสะสมของชนทอยต ำกวำชนทมธยฐำน

อย 1 ชน

เมอ L คอ ขอบลำงของอนตรภำคชนทมควำมถมำกสด

I คอ ควำมกวำงของอนตรภำคชน

d1 คอ ผลตำงของควำมถสงสดกบควำมถชน

ทมคะแนนต ำกวำทอยตดกน

d2 คอ ผลตำงของควำมถสงสดกบควำมถของชน

ทมคะแนนสงกวำทอยตดกน

87

ตวอยาง ก ำหนดตำงรำงแจกแจงควำมถของขอมล จงหำคำเฉลยเลขคณต มธยฐำน และฐำนนยม วธท า คาเฉลยเลขคณต

คะแนน ความถ (f1) ความถสะสม จดกงกลาง (x1) (f1) (x1) 34 – 36 4 4 35 140 37 – 39 3 7 38 114 40 – 42 6 13 41 246 43 – 45 10 23 44 440 46 – 48 2 25 47 94

25 1,034

N

xfx

k

1f1i

=

2594 440246114140

= 25

1034

= 41.36 มธยฐาน

ต ำแหนงของมธยฐำนคอ = N

fk

1i

i

= 2

210638

= 225

= 12.5

ขอมลตวท 12.5 อยในอนตรภำคชนทมคะแนน 40 – 42

คะแนน ความถ 34 – 36 4 37 – 39 3 40 – 42 6 43 – 45 10 46 – 48 2

88

ดงนน L = 39.5 , I = 3 , fm = 6

m

L

k

1i1

f

f2

f

ILMe

= 39.5 + 3

6712.5

= 39.5 + 2.75 = 42.45 ฐานนยม

ต ำแหนของฐำนนยมอยในอนตรภำคชนทมคะแนน 43 – 45 ดงนน L = 42.5 , I = 3

d1 = 10 – 6 = 4 d2 = 10 – 2 = 8

Mo = L + I

21

1

ddd

= 42.5 + 3

844

= 42.5 + 3

124

= 43.5

วดทศน เรอง การหา คาเฉลยเลขคณต ของขอมลทมการแจกแจงความถ วดทศน เรอง การหา คามธยฐาน ของขอมลทมการแจกแจงความถ

วดทศน เรอง การหา คาฐานนยม ของขอมลทมการแจกแจงความถ วดทศน เรอง การหา คาฐานนยม ของขอมลทไมมการแจกแจงความถ

89

ความสมพนธระหวางคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม นกสถตพยำยำมหำควำมสมพนธระหวำงคำกลำงทงสำม ฐำนนยม = ตวกลำงเลขคณต – 3 (ตวกลำงเลขคณต – มธยฐำน ) หรอ Mo = Mdxx 3 ถำแสดงดวยเสนโคงควำมสมพนธระหวำงกำรแจกแจงควำมถคำกลำง และกำรกระจำยของขอมล

ไดดงน

ขอมลมกำรแจกแจงเปนโคงปกต ขอมลมกำรแจกแจงเบขวำ ขอมลมกำรแจกแจงเบซำย

วดทศน เรอง ความสมพนธระหวางคาเฉลยเลขคณต ฐานนยม และมธยฐาน

90

เรองท 3 การน าเสนอขอมลสถต

กำรน ำเสนอขอมลสถตแบงเปน 2 ลกษณะใหญๆ คอ กำรน ำเสนออยำงเปนและไมเปนแบบแผน การน าเสนออยางไมเปนแบบแผน เปนกำรน ำเสนอขอมลทไมจ ำเปนตองมกฎเกณฑอะไรมำกนก ประกอบดวย กำรน ำเสนอในรปบทควำมและกำรน ำเสนอในรปขอควำมกงตำรำง การน าเสนออยางเปนแบบแผน เปนกำรน ำเสนอขอมลทมกฎเกณฑและมำตรฐำนทก ำหนดไวเปนแบบแผน ซงอยในลกษณะของตำรำง แผนภม แผนภำพ และกรำฟตำงๆ

1) การน าเสนอโดยใชตาราง เปนกำรน ำเสนอขอมลทเปนทนยมกนแพรหลำยเพรำะสะดวกและเขำใจงำย ใชไดกบขอมลทหลำกหลำย กะทดรดและสะดวกตอกำรวเครำะห โดยกำน ำขอมลมำจดเรยงใหอยในรปแถว (row) หรอสดมภ (column)

แถว หมำยถง กำรเรยงตำมแนวนอน และ สดมภ หมำยถง กำรเรยงตำมแนวตง องคประกอบตำรำงสถตโดยทวไปประกอบดวยผงดงตอไปน 1. หมายเลขตาราง (table number) ชอเรอง (title) หมายเหต (prefatory note)

หวขว (Stub head)

หวสดมภ (Column head)

ตวขว (stub entries)

ตวเรอง (body)

หมายเหตลาง (footnote) หมายเหตแหลงทมา ( source note)

ตวอยาง ตำรำงแสดงจ ำนวนประชำกรของประเทศไทยปตำงๆ จ ำแนกตำมเพศ (ส านกงานสถตแหงชาต )

พ.. จ านวนประชากร

ชาย หญง รวม

2503 2513 2523

13,154,149 17,123,862 22,008,063

13,103,767 17,273,512 22,170,074

26,257,916 34,397,374 44,278,137

ขยำยควำม 1. หมำยเลขตำรำง เปนตวเลขทแสดงล ำดบทของตำรำง ใชในกรณทน ำเสนอมำกกวำหนงตำรำง 2. ชอเรอง เปนขอควำมทอยตอจำกหมำยเลขตำรำง ชอเรองทใช แสดงวำเปนเรองเกยวกบอะไร ทไหน

เมอไร 3. หมำยเหตค ำน ำ เปนขอควำมทอยใตชอเรอง เปนสวนทชวยใหรำยละเอยดในตำรำงมควำมชดเจนยงขน

91

4. ตนขว ประกอบดวย หวขว และตนขว ซงหวขวจะอธบำยเกยวกบ ตวขว สวนตวขว จะแสดงขอมลทอยในแนวนอน ในทนหวขอคอ พ.ศ.

5. หวเรอง ประกอบดวย หวสดมภ และตวเรอง ซงหวสดมภใชอธบำยขอมลแตละสดมภ ตำมแนวตงตวเรอง ประกอบดวย ขอมลทเปนตวเลขโดยสวนใหญ ในทนหวสดมภ คอ ชำย , หญง , รวม

6. หมำยเหตแหลงทมำ บอกใหทรำบวำขอมลในตำรำงมำจำกทใด ชวยใหผอำนไดคนควำเพมเตม

2) แผนภมรปภาพ (Pictogram) เปนแผนภมทใชรปภำพแทนจ ำนวนของขอมล รปกำรน ำเสนอขอมลในรปภำพท ำใหดงดดควำมสนใจมำกขน ดงตวอยำง

แผนภมรปภาพ ซงแสดงปรมาณทไทยสงสนคาออกไปขายยงประเทบรไนระหวางป 2527-2531

ทมา : กรมลกากร

3) แผนภมรปวงกลม คอ แผนภมทแสดงเปนรปวงกลม โดยใชพนทวงกลมบอกปรมำณของขอมล

โดยแบงรปวงกลมออกเปนสวนๆ จำกจดศนยกลำงของรปวงกลมตำมชนดของขอมล และเขยนปรมำณของขอมลคดเปนเปอรเซนต ซงใหพนทวงกลมเปปนปรมำณ 100 เปอรเซนต ดงตวอยำง

แผนภมรปวงกลมแสดงการเปรยบเทยบงบประมาณดานตาง ๆ ทใชในสถานกษา ( ยกเวนเงนเดอน – คาจาง )

4. แผนภมแทง (Bar chart) เปนรปแทงสเหลยมผนผำทมควำมยำวแทงแปรตำมปรมำณขอมล ซงแผนภมแทงมหลำยประเภท คอ แผนภมแทงเชงเดยว แผนภมแทงเชงซอน และแผนภมแทงสวนประกอบ ดงน ตวอยำง

2527 234

2528 360

2529 360 = 100 ลำนบำท

2530 450

2531 550

92

4.1) แผนภมแทงเชงเดยว (Simple bar chart) แผนภมแสดงจ านวนทอยอายเปดตวใหมในเขตกทม. และปรมณฑล

4.2) แผนภมแทงเชงซอน (Multiple bar chart) เปนแผนภมแทงทใชเปรยบเทยบขอมลตงแต 2 ชดขนไป

แผนภมแทงแสดงสนทรพย หนสนและทนของสหกรณออมทรพยมหาวทยาลยเกษตราสตร

5. การน าเสนอขอมลโดยใชกราฟเสน ขอมลทน ำเสนอดวยกรำฟ ใชกบขอมลทมกำรเปลยนแปลงไปตำมกำลเวลำ กำรน ำเสนอขอมลดวยกรำฟชวยใหเกดกำรเปรยบเทยบไดงำยกวำ และถำกรำฟในรปเดยวกนมหลำยเสน ตองใชสหรอลวดลำยของเสนทตำงกน พรอมกบเขยนชอก ำกบแตละเสนดวย 5.1 กราฟเชงเดยว คอ กรำฟทแสดงลกษณะของขอมลเพยงชดเดยว

กราฟแสดงปรมาณสนคาทน าเขาจากประเทสงคโปร ปพ.. 2526 – 2531

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

2534 2535 2536 2537 2538 2539 2540

81,657

58,497

113,150

253,159

142,053

46,909 41,300

010000200003000040000

2526 2527 2528 2529 2530 2531

(ลาน

บาท)

ปพ.ศ.

จ ำนวนทอยอำศย

93

5.2 กราฟเชงซอน เปนกำรน ำเสนอขอมลในลกษณะเดยวกบกรำฟเชงเดยว แตกรำฟเชงซอนเปนกำรน ำเสนอเพอเปรยบเทยบควำมแตกตำงระหวำงขอมลตงแต 2 ชดขนไป

กราฟแสดงราคาขาวสาล และราคาแปงขาวสาลทประเทไทยสงเขามาตงแตป 2517 – 2523

สถตกบการตดสนใจ

กำรตดสนใจบำงเรอง ไมสำมำรถน ำขอมลมำประกอบกำรตดสนใจไดทนท ซงอำจเปนเพรำะขอมลมจ ำนวนมำก ท ำใหมองเหนภำพไมชดเจน ดงนน จงจ ำเปนตองน ำขอมลมำวเครำะหกอน ขอมลทผำนกำรวเครำะหเรยกวำ “ สารสนเทหรอขาวสาร” (Information) จะชวยใหกำรตดสนใจดยงขน หลกในกำรเลอกขอมลมำใชประกอบกำรตดสนใจ จะตอง

1) เชอถอได 2) ครบถวน 3) ทนสมย

วดทศน เรอง การน าเสนอขอมล

วดทศน เรอง การน าเสนอขอมลโดยใชแผนภมแทง วดทศน เรอง การน าเสนอขอมลดวยกราฟเสน

94

กจกรรมบทท 7

แบบฝกหดท 1

1. จงหำคำเฉลยเลขคณต มธยฐำน และฐำนนยมของน ำหนกเดก 20 คน ซงมน ำหนกเปนกโลกรม ดงน 12 40 34 28 40 32 26 15 40 18 24 28 29 34 27 28 24 28 40 13 2. ตำรำงแสดงคะแนนสอบของนกเรยน ดงน

คะแนน ความถ (f) 18 – 22 23 – 27 28 – 32 33 – 37 38 – 42 43 – 47

2 8

15 11 3 1

จำกตำรำง จงหำคำเฉลยเลขคณต มธยฐำน ฐำนนยม

95

แบบฝกหดท 2 1. กรำฟเสนแสดงรำยรบ – รำยจำยของบรษทแหงหนงในรอบ 6 เดอนแรกของป พ.ศ. 2535

จำกกรำฟจงตอบค ำถำมตอไปน 1) ในแตละเดอนบรษทมก ำไรหรอขำดทนเทำไร 1.1) มกรำคม 1.2) กมภำพนธ 1.3) มนำคม 1.4) เมษำยน 1.5) พฤษภำคม 1.6) มถนำยน 2) เดอนอะไรบรษทมก ำไรมำกทสดเปนเทำไร 3) เดอนอะไรบรษทมก ำไรนอยทสดเปนเทำไร 4) เดอนใดบำงทบรษทมก ำไรเทำกน 5) มเดอนอะไรบำงทบรษทขำดทน 2. กำรเลอกขอมลมำใชประกอบกำรตดสนใจตองอำศยหลกกำรใดบำง 3. ขอมล ตำงกบ สำรสนเทศ อยำงไร จงอธบำยพรอมยกตวอยำงประกอบดวย

ดเฉลยกจกรรมทายเลม

จ ำนวนเงน (ลำนบำท)

10

30

20

ม.ย. พ.ค. เม.ย. ม.ค. ก.พ. ม.ค เดอน

รำยจำย

รำยรบ

96

บทท 8

ความนาจะเปน สาระส าคญ

1. กำรนบจ ำนวนผลลพธทงหมดทเกดจำกกำรกระท ำ หรอกำรทดลองใดๆ ตองอำศยกฎเกณฑกำรนบจงจะท ำใหงำยและสะดวก รวดเรว

2. ควำมนำจะเปน คอ จ ำนวนทแสดงใหทรำบวำเหตกำรณใดเหตกำรณหนง มโอกำสเกดขนมำกหรอนอยเพยงใด สงทจ ำเปนตองทรำบท ำควำมเขำใจ คอ

- กำรทดลองสม (Random Experiment) - แซมเปลสเปซ (Sample Space) - เหตกำรณ (Event)

3. ควำมนำจะเปนของเหตกำรณใดๆ เปนกำรเปรยบเทยบจ ำนวนสมำชกของเหตกำรณนนๆ กบจ ำนวนสมำชกของแซมเปลสเปซ ซงเปนคำทจะชวยในกำรพยำกรณหรอกำรตดสนใจได

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. หำจ ำนวนผลลพธทอำจเกดขนของเหตกำรณ โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบกำรนบและแผนภำพตนไมอยำงงำยได

2. อธบำยกำรทดลองสม เหตกำรณ ควำมนำจะเปนของเหตกำรณและหำควำมนำจะเปนของเหตกำรณทก ำหนดใหได

3. น ำควำมรเกยวกบควำมนำจะเปนไปใชในกำรคำดกำรณและชวยในกำรตดสนใจ ขอบขายเนอหา เรองท 1 กฎเบองตนเกยวกบกำรนบและแผนภำพตนไม เรองท 2 ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ เรองท 3 กำรน ำควำมนำจะเปนไปใช

97

เรองท 1 กฎเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไม

ในชวตประจ ำวนของคนเรำมกำรกระท ำหรอกำรทดลองหลำยอยำงทจะเกดผลลพธไดหลำยวธ กำรหำจ ำนวนรปแบบหรอจ ำนวนวธทอำจเกดขนไดจำกกำรนบทงหมด โดยมกฎเบองตนเกยวกบกำรนบจำกกำรท ำงำนดงน 1.1 การท างานทม 2 อยางหรอสองขนตอน

ถำงำนอยำงแรกมวธท ำได n1 วธ และในแตละวธท ำงำนอยำงแรกมวธทจะท ำงำนอยำงทสองได n2 วธ

สำมำรถเขยนแผนผงกำรท ำงำนไดดงน งำนอยำงท 1 งำนอยำงท 2

n1 วธ n2 วธ

จ ำนวนวธท ำงำนทงสองอยำง = n1 × n2 วธ ตวอยางท 1 โยนเหรยญ 2 อนพรอมกน 1 ครง เกดผลลพธไดทงหมดกวธ ก ำหนดให H แทนผลทเกดขนเปนหว และ T แทนผลทเกดขนเปนกอย

วธท า กำรโยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน เปนกำรท ำงำนทม 2 ขนตอน สำมำรถแสดงเหตกำรณทเกด โดยใชแผนภำพตนไมได ดงน

เหรยญท 1 เหรยญท 2 เหตกำรณทเกดขน

นนคอ โยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน 1 ครง เกดได 4 วธ คอ HH, HT, TH, TT ตอบ

98

ตวอยางท 2 ชำยคนหนงมเสอเชตตำงกน 5 ตว

และกำงเกงขำยำวตำงกน 3 ตว

วธท า เรำสำมำรถใชแผนภำพตนไมชวยในกำรหำวธทงหมดทเปนไปไดแสดงไดดง

แผนภำพขำงลำงน

จำกแผนภำพตนไมจะพบวำกำรแตงกำยของชำยคนนทแตกตำงกนนบไดทงหมด 15 วธ

ตวอยางท 3 โยนลกเตำ 2 ลกพรอมกน 1 ครง เกดไดทงหมดกวธ วธท า โยนลกเตำ 2 ลกพรอมกน 1 ครง เปนกำรท ำงำน 2 อยำง

ลกท 1 ลกท 2 จด ได 6 × 6 งำนอยำงแรก เกดจำกลกเตำลกท 1 ซงม 6 หนำ เกดได 6 วธ งำนท 2 เกดจำกลกเตำลกท 2 ซงม 6 หนำ เกดได 6 วธ โยนลกเตำ 2 ลกพรอมกน 1 ครง เกดได = 6 ×6 = 36 วธ สำมำรถแจกแจงผลลพธ ไดดงน (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ตอบ 36 วธ

วดทศน เรอง แผนภาพตนไม กบกฎการคณทมการท างาน 2 อยาง

99

1.2 การท างานทม 3 อยางหรอสามขนตอน กำรนบจะมแนวคดในท ำนองเดยวกน แตจ ำนวนขนตอนในกำรเขยนแผนภำพตนไม หรอกำรหำผลคณคำรทเซยน จะม 3 งำนหรอ 3 ขนตอนทตองท ำตอเนองกน ดงตวอยำงตอไปน ตวอยางท 4 บรษทรถยนตแหงหนงผลตตวถงรถยนตออกมำ 2 แบบ มเครองยนต 2 ขนำด และสตำงๆ

กน 3 ส ถำตองกำรแสดงรถยนตใหครบทกแบบ ทกขนำด และทกส จะตองใชรถยนตอยำงนอยทสดกคน วธท า โดยใชแผนภำพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผลดงน

กำรท ำงำนม 3 ขนคอ ขนท 1 ขนท 2 ขนท 3 ตวถง เครอง ส ผลงำน

ดงนน จะตองมรถยนตแสดงอยำงนอย 12 คน จงจะครบทกแบบทกสทกขนำด

ตวอยางท 5 ในกำรเลอกตงกรรมกำรชดหนงจะประกอบไปดวย ประธำน รองประธำน เหรญญก และเลขำ โดยกรรมกำรแตละคนจะด ำรงต ำแหนงไดเพยงต ำแหนงเดยวเทำนน ถำมผสมครทงหมด 6 คน เปนชำย 2 คน เปนหญง 4 คน ผลกำรเลอกตงกรรมกำรชดนจะมไดทงหมดกแบบตำงกน โดยท 1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ก ำหนดใหประธำนเปนชำย และเลขำตองเปนหญง 3. กรรมกำรตองเปนหญงลวนๆ

ค2

100

วธท า มผสมคร 6 คน เปนชำย 2 คน เปนหญง 4 คน ใหเลอกกรรมกำร 4 ต ำแหนง ประธำน รองประธำน เหรญญก เลขำ 1) ไมมเงอนไขเพมเตม แตละคนเปนไดต ำแหนงเดยว

ต ำแหนงประธำน เลอกได 6 วธ ต ำแหนงรองประธำน เลอกได 5 วธ ต ำแหนงเหรญญก เลอกได 4 วธ ต ำแหนงเลขำ เลอกได 3 วธ

ดงนน จ ำนวนวธในกำรเลอกกรรมกำรม = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธ 2) ก ำหนดประธำนเปนชำย และเลขำตองเปนหญง

ต ำแหนงประธำนเปนชำย เลอกได 2 วธ ต ำแหนงเลขำทเปนหญง เลอกได 4 วธ ต ำแหนงเหรญญก (คนทเหลอ) เลอกได 4 วธ ต ำแหนงรองประธำน เลอกได 3 วธ (คนทเหลอสดทำย )

ดงนน จ ำนวนวธในกำรเลอกกรรมกำรม = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธ 3) กรรมกำรตองเปนผหญงลวน ๆ

ต ำแหนงประธำนเปนหญง เลอกได 4 วธ ต ำแหนงเลขำเปนหญง เลอกได 3 วธ ต ำแหนงรองประธำน เลอกได 2 วธ (เฉพำะหญงทเหลอ) ต ำแหนงเหรญญก เลอกได 1 วธ (เฉพำะหญงทเหลอ)

ดงนน จ ำนวนวธในกำรเลอกกรรมกำรม = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 วธ

ตวอยางท 6 หองประชมแหงหนงม 3 ประต จงหำวธในกำรเดนเขำ - ออกหองประชม โดยมเงอนไขตำงกนดงน จ ำนวนวธในกำรเดนเขำ 1. จ ำนวนวธในกำรเดนเขำ - ออก 2. จ ำนวนวธในกำรเดนเขำ - ออก โดยไมซ ำประตกน 3. จ ำนวนวธในกำรเดนเขำ - ออก โดยใชประตเดม

101

วธท า ประตหองประชมม 3 ประต หมำยเลข 1 2 และ 3 กำรเดน

1. จ ำนวนวธกำรเดน เขำ - ออก = 3 × 3 = 9 วธ (ใชประตซ ำได) 2. จ ำนวนวธกำรเดนเขำ - ออก โดยไมซ ำประตกน = 3 × 2 = 6 วธ 3. จ ำนวนวธกำรเดนเขำ - ออก โดยใชประตเดม = 3 × 1 = 3 วธ

ตวอยางท 7 ครมหนงสอ 5 เลมแตกตำงกน ตองกำรแจกใหนกเรยน 4 คน จงหำจ ำนวนวธแจกหนงสอโดยท 1. ไมมเงอนไขเพมเตม 2. ไมมใครไดหนงสอเกน 1 เลม วธท า กำรแจกหนงสอตองพจำรณำกำรแจกทละเลม

หนงสอเลมท

1. ไมมเงอนไข (แจกซ ำได ) ดงนนแจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธ 2. ไมมใครไดเกน 1 เลม แปลวำ ไมมใครไดซ ำ ไดแลวจะไมแจกใหอก ดงนน จะมวธแจกหนงสอ = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วธ

วดทศน เรอง แผนภาพตนไม กบกฎการคณทมการท างานมากกวา 2 อยาง

102

เรองท 2 ความนาจะเปนของเหตการณ

ในชวตประจ ำวนมกพบกบกำรคำดคะเน หรอกำรประมำณเหตกำรณ เพอใชในกำรตดสนใจ โอกำสทเหตกำรณนน จะเกดไดมมำกนอยเพยงใด ขนอยกบอตรำสวนระหวำงจ ำนวนสมำชกของเหตกำรณนน กบจ ำนวนครงของกำรท ำงำนผเรยนจงตองทรำบ และท ำควำมเขำใจ กบค ำเหลำน

1. การทดลองสม (Random Experiment) คอ กำรทดลองทไมสำมำรถระบผลลพธไดอยำงแนนอน แตบอกไดวำผลลพธของกำรทดลองนนมโอกำสเกดอะไรขนไดบำง ตวอยางท 1 กำรทดลองโยนลกเตำ 1 ลก 1 ครง แตมทจะเกดขนได คอ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรอ 6

ซงไมสำมำรถบอกไดวำจะเปนแตมอะไรใน 6 แตมน

ดงนนผลลพธทงหมดทจะเกดขนคอแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6

ตวอยางท 2 จงเขยนผลทอำจจะเกดขนไดทงหมดในกำรโยนเหรยญบำท 1 เหรยญ 2 ครง วธท า ในกำรโยนเหรยญบำท 1 เหรยญ ผลทอำจเกดขนคอหวหรอกอย ถำให H แทน หว และให T แทน กอย

ในกำรหำผลทอำจเกดขนไดทงหมดจำกกำรโยนเหรยญบำท 1 เหรยญ 2 ครง ใชแผนภำพชวยไดดงน

ผลทงหมดทอำจจะเกดขนได คอ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T)

วดทศน เรอง การทดลองสม

H

T

H

H

H, H

T

T

H, T

T, H

T, T

ผลทอาจจะเกดจากการ

โยนเหรยญบาทครงท 1

ผลทอาจจะเกดจากการ

โยนเหรยญครงท 2

ผลทอาจจะเกดจากการโยน

เหรยญทง 2 ครง

103

2. แซมเปลสเปซ (Sample Space) เปนเซตทมสมำชกประกอบดวยสงทตองกำร ทงหมด จำกกำรทดลองอยำงใดอยำงหนง เขยนแทนดวย S เชน ตวอยางท 3 ในกำรโยนลกเตำถำตองกำรดวำแตมลกเตำคออะไร

ผลลพธทอำจจะเกดขนไดคอ ลกเตำขนแตม 1 หรอ 2 หรอ 3 หรอ 4 หรอ 5 หรอ 6 ดงนนแซมเปลสเปซทได คอ S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

ตวอยางท 4 จำกกำรทดลองสมโดยกำรทดลองทอดลกเตำ 2 ลก จงหำแซมเปลสเปซของแตมของลกเตำทหงำยขน วธท าเนองจำกโจทยสนใจแตมของลกเตำทหงำยขน ดงนนเรำตองเขยนแตมของลกเตำทม

โอกำสทจะหงำยขนมำทงหมด และเพอควำมสะดวกให (a , b) แทนผลลพธทอำจจะเกดขน โดยท a แทนแตมทหงำยขนของลกเตำลกแรก

b แทนแตมทหงำยขนของลกเตำลกทสอง ดงนนแซมเปลสเปซของกำรทดลองสมคอ S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

วดทศน เรอง แซมเปลสเปซ

3. เหตการณ (event) คอ เซตทเปนสบเซตของ Sample Space หรอเหตกำรณทเรำสนใจ จำกกำรทดลองสม ตวอยางท 5 ในกำรโยนลกเตำ 1 ลก 1 ครง ถำผลลพธทสนใจคอ จ ำนวนแตมทได จะได

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถำให E1 เปนเหตกำรณทไดแตมซงหำรดวย 3 ลงตว จะได E1 = {3, 6} E2 เปนเหตกำรณทไดแตมมำกกวำ 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6}

วดทศน เรอง เหตการณ ……………………………..

104

ตวอยางท 6 โยนเหรยญบำท 1 เหรยญ 2 ครง จงหำผลลพธของเหตกำรณทจะออกหวอยำงนอย 1 ครง กำรหำผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรโยนเหรยญบำท 1 เหรยญ 2 ครง โดยใชแผนภำพตนไม ดงน

ผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนจำกกำรทดลองสม ม 4 แบบ คอ HH, HT, TH และ TT นนคอผลลพธของ เหตกำรณทจะออกหวอยำงนอย 1 ครง ม 3 แบบ คอ HH, HT และ TH

4. ความนาจะเปนของเหตการณ ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ คอ จ ำนวนทแสดงใหทรำบวำเหตกำรณใดเหตกำรณหนงมโอกำสเกดขน มำกหรอนอยเพยงใด ควำมนำจะเปนของเหตกำรณใด ๆ เทำกบอตรำสวนของจ ำนวนเหตกำรณทเรำสนใจ (จะใหเกดขนหรอไมเกดขนกได) ตอจ ำนวนผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนได ซงมสตรในกำรคดค ำนวณดงน

ดขน อำจจะเกธทงหมดทจ ำนวนผลลพสนใจำรณทเรำธของเหตกจ ำนวนผลลพ

กำรณปนของเหตควำมนำจะเ

เมอผลทงหมดทอำจจะเกดขนจำกทดลองสมแตละตวมโอกำสเกดขนไดเทำๆ กน ก ำหนดให E แทน เหตกำรณทเรำสนใจ P(E) แทน ควำมนำจะเปนของเหตกำรณ n(E) แทน จ ำนวนสมำชกของเหตกำรณ n(S) แทน จ ำนวนสมำชกของผลลพธทงหมดทอำจจะเกดขนได

ดงนน P( E ) = n(S)n(E)

105

ตวอยางท 7 มลกปงปอง 4 ลก เขยนหมำยเลขก ำกบไวดงนคอ 0, 1, 2, 3 ถำสมหยบมำ 2 ลก จงหำควำมนำจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขมำกกวำ 3 วธท า ให S เปนแซมเปลสเปซ S = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}

จะได n(S) = 6 E เปนเหตกำรณหรอสงทโจทยอยำกทรำบ E = {(1, 3), (2, 3)} จะได n (E) = 2

จำกสตร SnEn

p(E) แทนคำได 31

62

EP

ควำมนำจะเปนทจะไดผลรวมของตวเลขมำกกวำ 3 เทำกบ 3

1

ขอสงเกต 1. สมำชกทกตวในเหตกำรณ E ตองเปนสมำชกในอยในแซมเปลสเปซ S ดงนน 0 ≤ n(E) ≤ n(S) 2. ถำ E เปนเหตกำรณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S จะไดวำ 2.1 0 ≤ P(E) ≤ 1 2.2 ถำ P(E) = 1 หมำยถงเหตกำรณนนตองเกดขนแนนอน ถำ P(E) = 0 หมำยถงเหตกำรณนนตองไมเกด 2.3 ถำ S เปนแซมเปลสเปซ จะไดวำ P(S) = 1

106

เรองท 3 การน าความนาจะเปนไปใช

กำรน ำควำมนำจะเปนไปใช ตองกำรใหผทศกษำทรำบวำเหตกำรณตำงๆ นน มโอกำสจะเกดขนมำกหรอนอยเพยงใด เพอชวยในกำรประกอบกำรตดสนใจ เชน

ตวอยางท 1 ไพส ำรบหนงม 52 ใบ แบงเปน 2 ส คอ สแดง ไดแกโพแดงกบขำวหลำมตด สด ำ ไดแก โพด ำกบดอกจก แตละชนดม 13 ใบ จงหำควำมนำจะเปนทหยบมำ 1 ใบแลวไดโพด ำหรอสแดง วธท า ให S แทน แซมเปลสเปซ ไพทงหมดม 52 ใบ หยบมำทละ 1 ใบจะได 52 วธ

ดงนน n(S) = 52 E แทน เหตกำรณ ไพโพด ำม 13 ใบ และไพสแดงม 26 ใบ

ดงนน n(E) = 13 + 26 = 39

จำกสตร n(S)n(E)

P(E) แทนคำได 43

5239

P(E)

ควำมนำจะเปนทหยบไพ 1 ใบแลวไดโพด ำหรอสแดง เทำกบ 4

3

ตวอยางท 2 ในกำรหยบสลำก 1 ใบจำกสลำก 10 ใบ ซงมเลข 0 - 9 ก ำกบอย จงหำควำมนำจะเปนทจะหยบไดเปนจ ำนวนเฉพำะสลำกมเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7 วธท า S แทน แซมเปลสเปซ สลำกม 10 ใบ หยบมำทละ 1 ใบ จงหยบได 10 วธ S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

n(S)=10 E แทน เหตกำรณ สลำกทเปนจ ำนวนเฉพำะ E = {2, 3, 5, 7}

n(E) = 4

จำกสตร n(S)n(E)

P(E) แทนคำได

ควำมนำจะเปนทจะหยบไดเปนจ ำนวนจ ำเพำะ เทำกบ

วดทศน เรองการน าความนาจะเปนของเหตการณไปใช

52

104

EP

5

2

107

บทท 9 การใชทกษะกระบวนการทางคณตาสตรในงานอาชพ

สาระส าคญ กำรประกอบอำชพในสงคมและในกลมประชำคมอำเซยนนน มหลำกหลำยสำขำอำชพทงในดำน

อตสำหกรรม เกษตรกรรม พณชยกรรม ควำมคดสรำงสรรค และกำรบรหำรจดกำร อำชพในวงกำรดงกลำวลวนมกำรใชทกษะกระบวนกำรทำงคณตศำสตรเขำไปเกยวของเกอบทกกลมอำชพ ซงผเรยนสำมำรถน ำควำมรและทกษะทไดเรยนคณตศำสตรในระดบมธยมศกษำตอนปลำยมำประยกตใช ผลการเรยนรทคาดหวง

1. บอกประเภทของงำนอำชพทใชทกษะทำงคณตศำสตรได 2. น ำควำมรทำงคณตศำสตรไปใชในงำนอำชพได

ขอบขายเนอหา เรองท 1 ลกษณะ ประเภทของงำนอำชพทใชทกษะทำงคณตศำสตร เรองท 2 กำรน ำควำมรทำงคณตศำสตรไปเชอมโยงกบงำนอำชพในสงคมและประชำคมอำเซยน

108

เรองท 1 ลกษณะ ประเภทของงานอาชพทใชทกษะทางคณตาสตร

1.1 กลมอาชพเกษตรกรรม ไดแก อำชพ กำรท ำนำ ท ำไร กำรปลกผก กำรเลยงสตว ประมง ฯลฯ

ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะทางคณตาสตร 1. กำรส ำรวจของตลำดทจะปลกพชเกษตรกรรม

2. กำรเตรยมพนทดน ซงขนอยกบควำมกวำง ควำมยำวของพนทวำผประกอบกำรใชพนทกไร กงำน กตำรำงวำ ในกำรท ำแปลง ขดรอง เพอใชเปนพนทนำ 1 สวน พนทปลกผก 1 สวน บอน ำ 1 สวน กำรเลยงสตว 1 สวน พนทอยอำศย 1 สวน เปนตน

3. กำรเตรยมปยวำใชขนำดกกโลกรมตอไร 4. กำรฉดยำฆำแมลงโดยใชสำรก ำจดศตรพชทำงชวภำพ เชน สะเดำ และสมนไพรอน ๆ

เปนตน ใชควำมรเรองอตรำสวน สดสวน เพอผสมยำก ำจดศตรพชกบน ำกอนฉดพน 5. กำรเกบเกยวผลผลต ซงตองใชทกษะกำรค ำนวณระยะเวลำตงแตกำรปลก จนถงระยะ

กำรเกบเกยวผลผลต 6. กำรจ ำหนำยผลผลต ซงตองใชทกษะกำรจดท ำบญชรบ – จำย กำรจดบนทกจ ำนวน

ผลผลตทได

109

1.2 กลมอาชพอตสาหกรรม ไดแก อำชพพนกงำนในโรงงำนอตสำหกรรมตำงๆ ไดแก อตสำหกรรมหองเยน ถวยชำมอปกรณเซรำมค ผำขนหน กระดำษและสงพมพ สแตนเลส เหลก พลำสตก ปนซเมนต ฯลฯ

ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะคณตาสตร 1. กำรค ำนวณเงนรำยไดประจ ำวน 2. กำรค ำนวณเงนคำท ำงำนลวงเวลำ 3. กำรค ำนวณเงนกและดอกเบยคงทหรอดอกเบยทบตน 4. กำรท ำบญชรำยรบ – รำยจำยประจ ำวน 5. กำรจดท ำบญชพสด (กำรจดซอ กำรเบกจำยพสด) 6. กำรส ำรวจและวจยกำรตลำด 7. กำรค ำนวณภำษเงนไดบคคลธรรมดำ 1.3 กลมอาชพพาณชยกรรม ไดแก อำชพคำขำย ผประกอบกำรรำนอำหำรและเครองดม ผประกอบกำรขำยปลกและขำยสง ธรกจกำรซอขำยอสงหำรมทรพย ธรกจกำรซอขำยหนในตลำดหลกทรพย อำชพกำรท ำบญช กำรตลำด เปนตน

110

ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะคณตาสตร 1. กำรจดซอวตถดบในกำรคำขำยปลกหรอขำยสง 2. กำรจ ำหนำยสนคำ กำรค ำนวณรำคำสนคำตอหนวย กำรทอนเงน 3. กำรจดท ำบญชพสด (กำรจดซอ กำรเบกจำยพสด) 4. กำรจดท ำบญชรบ – จำยประจ ำวน

5. กำรประชำสมพนธในงำนธรกจคำขำยหรอพำณชยกรรม ซงตองใชทกษะใน กำรค ำนวณขนำดของปำยโฆษณำ ขนำดตวอกษร ขนำดและจ ำนวนแผนพบ หรอใบปลวโฆษณำ

6. กำรค ำนวณภำษเงนไดบคคลธรรมดำ 1.4 กลมอาชพดานความคดสรางสรรค ไดแก ธรกจโฆษณำ ธรกจกำรออกแบบตกแตงทอยอำศย ส ำนกงำนและสวนหยอม กำรจดดอกไมและแจกนประดบ ธรกจกำรท ำพวงหรด กำรจดกระเชำของขวญ เปนตน

ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะคณตาสตร

1. กำรจดเตรยมขนำด ปรมำตร รปทรงของพนทหรอชนงำนในกำรจดท ำธรกจ ซงตองใชกำรวดควำมกวำง ควำมยำว ควำมสงของพนทหรอชนงำน กำรออกแบบรปทรงโดยใชรปเรขำคณตสำมมต

2. กำรค ำนวณปรมำณของวสดอปกรณในกำรใชประดษฐสรำงสรรคชนงำนหรอกำรจดตกแตงสวนหยอม

3. กำรค ำนวณเพอก ำหนดรำคำขำยสนคำ 4. กำรจดท ำบญชพสด (กำรจดซอ กำรเบกจำยพสด) 5. กำรจดท ำบญชรบ – จำย ประจ ำวน

6. กำรประชำสมพนธในอำชพธรกจทกประเภท ซงตองใชทกษะในกำรค ำนวณ เปนพนฐำนในกำรจดท ำแผนปำยประชำสมพนธหรอแผนพบ แผนปลว

7. กำรค ำนวณภำษเงนไดบคคลธรรมดำ

111

1.5 กลมอาชพบรหารจดการและการบรการ ไดแก อำชพกลมงำนบรกำรและกำรทองเทยว งำนบรกำรรกษำควำมปลอดภย บรกำรดแลทำรกและเดก บรกำรดแลผสงอำย บรกำรสนทนำกำรและกำรกฬำ เปนตน

ลกษณะงานเบองตนทใชทกษะคณตาสตร 1. กำรส ำรวจพนทในกำรใหบรกำร กำรค ำนวณระยะทำงในกำรใหบรกำร 2. กำรจดซอวสด อปกรณในกำรใหบรกำร 3. กำรรบสมครและก ำหนดเงนเดอนตำมต ำแหนงงำนของเจำหนำทในกำรใหบรกำร 4. กำรจดท ำตำรำงเวลำ กำรอยเวร – ยำมของเจำหนำทประจ ำส ำนกงำน

5. กำรจดท ำก ำหนดกำรทองเทยวและกำรใหบรกำร รวมทงก ำหนดรำคำขำย บรกำรในแตละพนท

6. กำรค ำนวณกำรใชน ำมนเชอเพลงของยำนพำหนะทใหบรกำร 7. กำรจดท ำบญชพสด และกำรเบกจำยพสด 8. กำรจดท ำบญชรบ – จำยประจ ำวน 9. กำรจดท ำแผนปำยโฆษณำ ประชำสมพนธกำรใหบรกำร 10. กำรจดท ำสรปรำยงำนและกำรน ำเสนอขอมล 11. กำรค ำนวณภำษเงนไดบคคลธรรมดำ

วดทศน ลกษณะ ประเภทของงานทใชทกษะทางคณตศาสตร

112

เรองท 2 การน าความรทางคณตาสตรไปใชในงานอาชพได

ในกำรน ำควำมรคณตศำสตรไปเชอมโยงกบงำนอำชพทง 5 กลมงำนอำชพทงกลมงำนอำชพเกษตรกรรม กลมงำนอำชพอตสำหกรรม กลมงำนอำชพพำณชยกรรม กลมงำนอำชพควำมคดสรำงสรรคและกลมงำนอำชพดำนบรหำรจดกำรและบรกำรจะตองน ำทกษะควำมรทำงคณตศำสตรมำใชทกกลมอำชพ เชน กำรจดท ำบญชรำยรบ – รำยจำยประจ ำวน ประจ ำเดอน กำรค ำนวณเงนคำจำง กำรค ำนวณภำษเงนไดบคคลธรรมดำ เปนตน กลมอำชพทกกลมอำชพอำจจะใชทกษะควำมรคณตศำสตรตำงกนออกไป ดงนน ในบทนจะน ำเสนอตวอยำงทเปนทกษะทำงคณตศำสตรทใชกนมำกเทำนน

2.1 ทกษะการจดท าบญชรบ - จายประจ าวน ตวอยางท 1 กำรจดท ำบญชรำยรบ – รำยจำยประจ ำวนของเกษตรกรเลยงปลำ

วนท 5 มกรำคม 2558 จำยคำอำหำรปลำ 2,000 บำท คำไฟ 500 บำท จำยคำจำงขดลอกบอ 500 บำท ขำยปลำได 2,500 บำท วนท 10 มกรำคม 2558 จำยคำอำหำร 300 บำท จำยคำโทรศพท 780 บำท ไดรบเงนจำกกำรขำยปลำอก 3,800 บำท วนท 15 มกรำคม 2558 จำยคำตำขำย 800 บำท จำยคำเสอผำ 1,200 บำท ไดรบเงนจำกกำรขำยปลำ 4,500 บำท

วน เดอน ป รำยกำรรบ จ ำนวนเงน

วน เดอน ป รำยกำรจำย จ ำนวนเงน

บำท สต. บำท สต. 5 ม.ค. 58 10 ม.ค. 58 12 ม.ค. 58

รบเงนจำกกำรขำยปลำ รบเงนจำกกำรขำยปลำ รบเงนจำกกำรขำยปลำ

2,500

3,800

4,500

- - -

5 ม.ค. 58 10 ม.ค. 58 12 ม.ค. 58

คำอำหำรปลำ คำไฟ คำจำงขดลอกบอ คำอำหำร คำโทรศพท คำตำขำย คำเสอผำ

2,000 500 500 300 780 800

1,200

- - - - - - -

รวม 10,800 - รวม 6,080 - ยอดคงเหลอยกไป 4,720 -

วดทศน ทกษะการท าบญชรบ-จายประจ าวน

113

2.2 ทกษะการค านวณเงนคาจาง ตวอยางท 2 วไลเปนพนกงำนของบรษทแหงหนง ซงก ำหนดเวลำท ำงำนวนจนทรถงวนเสำร

ไดรบคำจำงเปนรำยวนๆ ละ 350 บำท มสทธไดรบคำจำงในวนหยดตำมประเพณและวนหยดพกผอนประจ ำปโดยไมตองท ำงำน ในเดอนตลำคม วไลมำท ำงำนทกวนในวนท ำงำนตำมเวลำท ำงำนปกต และวนท 1 ตลำคมตรงกบวนจนทรในเดอนนมวนหยดตำมประเพณ 1 วน คอ วนท 23 ตลำคม อยำกทรำบวำในเดอนนวไลไดรบคำจำงเทำไร

วธท า เดอนตลาคม

อาทตย จนทร องคาร พธ พฤหส กร เสาร

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

เดอนตลำคม วไลไดรบคำจำงในวนท ำงำน 26 วน และมสทธไดรบคำจำงในวนหยดตำมประเพณ 1 วน และไดรบคำจำงวนละ 350 บำท ดงนน วไลไดรบคำจำงในเดอนตลำคม = (26 + 1) 350

= 9,450 บำท 2.3 ทกษะการค านวณเงนคานายหนาและเงนปนผล

ตวอยางท 3 นำยวฒชยเปนตวแทนขำยโทรศพท ซงมรำคำ 10,500 บำทใหกบบรษทแหงหนง บรษทคดคำนำยหนำ 10% อยำกทรำบวำ วฒชยตองสงเงนใหบรษทเทำไร

วธท า คำนำยหนำในกำรขำย = บำท1,05010,50010010

ดงนน วฒชยตองสงเงนใหบรษท = 10,500 – 1,050 = 9,450 บำท ตวอยางท 4 จนตนำลงทนหนกบบรษทหนงจ ำนวน 200 หน มลคำหนละ 150 บำท อตรำปน

ผล 12% สนปเขำจะไดเงนปนผลเทำไร วธท า เงนปนผลตอ = อตรำเงนปนผล มลคำหน = 12% 150

= 10012

150

= 18 บำท จนตนำมหน 200 หน จะไดรบเงนปนผล = 18 200 = 3,600 บำท

114

2.4 ทกษะการค านวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา ตวอยาง นำยโชคดไดรบเงนเดอนๆ ละ 38,000 บำท สนปสำมำรถหกคำใชจำยไดรอยละ 40

ของเงนไดพงประเมน แตไมเกน 60,000 บำท หกคำลดหยอนผมเงนได 30,000 บำท หกคำเบยประกนชวต 35,000 บำท หกดอกเบยเงนกยมเพอซอบำน 36,450 บำท สนปนำยโชคดยนแบบแสดงรำยกำรภำษเงนไดบคคลธรรมตองช ำระภำษหรอไม ถำช ำระตองช ำระภำษเปนเงนเทำไร

วธท า เงนไดพงประเมนของนำยโชคด = 38,000 12 = 456,000 บำท หก คำใชจำย รอยละ 40 ของเงนไดพงประเมน แตไมเกน 60,000 บำท

คำใชจำย 456,00010040

= 182,400 บำท

แตคำใชจำยของนำยโชคดค ำนวณได 182,400 บำท แตสำมำรถหกไดแค 60,000บำท เทำนน

หก คำลดหยอนผมเงนได 30,000 บำท คำเบยประกนชวต 35,000 บำท

ดอกเบยเงนกยมเพอซอบำน 36,450 บำท รวม หกคำลดหยอนได = 30,000 + 35,000 + 36,450 = 101,450 บำท เงนไดสทธของนำยโชคด = เงนไดพงประเมน – (คำใชจำย + หกคำลดหยอน) = 456,000 – (60,000 + 101,450) = 294,550 บำท ตำมตำรำงอตรำกำรเสยภำษเงนไดบคคลธรรมดำ เงนไดสทธ 0 – 150,000 บำท

ไมตองเสยภำษ สวนทเกน 150,001 – 300,000 บำท เสยภำษ 5% นำยโชคดมเงนไดสทธทตองเสยภำษ = 294,550 – 150,000 = 144,550 บำท

= 144,550 100

5 = 7,227.50 บำท

นำยโชคดเสยภำษ 7,227.50 บำท

115

ตารางอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เงนไดสทธ ชวงเงนไดสทธ อตราภาษ (%) 0 - 150,000 บำทแรก

150,001 - 300,000 บำทแรก 300,001 - 500,000 บำทแรก 500,001 - 750,000 บำทแรก 750,001 – 1,00,000 บำทแรก

1,000,001 – 2,000,000 บำทแรก 2,000,001 – 4,000,000 บำทแรก ตงแต 4,000,001 บำทขนไป

150,000 150,000 200,000 250,000 250,000 1,000,000 2,000,000

ไดรบยกเวน 5%

10% 15% 20% 25% 30% 35%

ขอมล ณ วนท 8 ธนวำคม 2556

วดทศน การน าความรทางคณตศาสตรไปใชในงานอาชพ

กจกรรมบทท 9 แบบฝกหดท 1 1. นำงสมหมำยเปนตวแทนขำยเครองกรองน ำทมรำคำ 35,000 บำท ใหกบบรษทแหงหนง บรษทคดคำนำยหนำ 30% อยำกทรำบวำนำงสมหมำยไดเงนคำนำยหนำเทำไร 2. สมใจถอหนปรมสทธของบรษทผลตปลำกระปองแหงหนง จ ำนวน 200 หน มลคำหนละ 180 บำท อตรำเงนปนผล 8% เมอสนปสมใจนจะไดเงนปนผลทงหมดเทำไร

ดเฉลยกจกรรมทายเลม

116

แบบทดสอบหลงเรยน

1. ขอใดเปนจ ำนวนตรรกยะ ก. 3 ข. 5 ค. 7 ง. 9

2. ขอใดตอไปนไมถกตอง

ก. 7

22 เปนจ ำนวนตรรกยะ

ข. 0.59999... เปนจ ำนวนตรรกยะ ค. 1.505050... เปนจ ำนวนอตรรกยะ ง. 1.41141114... เปนจ ำนวนอตรรกยะ

3. จงหำคำของ 10848 ก. 310 ข. 510 ค. 324 ง. 524

4. 212x เมอ x > 0 ท ำใหอยในรปอยำงงำยตรงกบขอใด ก. 23x ข. 22x ค. 32x ง. 52x

5. 33 2 4a2a ท ำใหอยในรปอยำงงำย ตรงกบขอใด ก. 2a ข. 4a ค. 2a2 ง. 4a2

6. ก ำหนดให A = {2, 4}

ขอใดตอไปนไมถกตอง ก. {2} A ข. {2, 4} A ค. เซตวำงเปนสบเซตของ A ง. จ ำนวนสบเซตทงหมดของ A เทำกบ 3

7. ขอใดถกตอง ก.

ข. ค. ง.

A B

แทน

A B

แทน

A B

แทน

A B

แทน

117

8. ถำ A = {1, 2, 3, 4….} และ B = {{1}, {2}, 6, 7, 8….} แลว A – B มสมำชกกตว ก. 2 ตว ข. 3 ตว ค. 5 ตว ง. 6 ตว

9. พจำรณำขอควำมตอไปน วนจนทร สดำทำนขำวกบไขตม วนองคำร สดำทำนขำวกบไขเจยว วนพธ สดำทำนขำวกบไขตน

สรปวำสดำทำนขำวกบไขทกวน จำกขอควำมขำงตนเปนกำรใหเหตผลแบบใด ก. อปนย ข. นรนย ค. ปรนย ง. อตนย

10. ก ำหนดเหต 1. สรอยสดำเปนนกกฬำวอลเลยบอล 2. นกกฬำวอลเลยบอลบำงคนอำรมณด

ใชแผนภำพ เวนน – ออยเลอร เขยนเหตทก ำหนดไดกแบบ ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

11. จงหำคำของ

30cos45sin

60sin45cos

ก. 2 ข. 1 ค. 0 ง. –1

12. แดงยนบนหนำผำแหงหนง จำกจดทเขำสงเกตสงกวำระดบน ำทะเล 60 เมตร เมอมองลงไปทเรอล ำหนงซงจอดอยกลำงทะเล โดยมมมแนวสำยตำเทำกบ แนวระดบเปนมมกม 30 องศำ จงหำวำเรอล ำนจอดอยหำงจำกหนำผำประมำณกเมตร

ก. 3

60 เมตร

ข. 360 เมตร

ค. 3

20 เมตร

ง. 320 เมตร

118

13. ภำพในขอใดเปนกำรสะทอนตำมแกน y ก. ข. ค.

ง.

14. จำกภำพไอโซเมตรก ขอใดเปนภำพดำนบนทถกตอง

ก. ข. ค. ง.

119

15. ตำรำงแจกแจงควำมถ แสดงจ ำนวนนกเรยนในชวงอำยตำงๆ ของนกเรยนกลมหนงเปน ดงน

อำยเฉลยของนกเรยนกลมน เทำกบขอใดตอไปน ก. 9 ป ข. 9.5 ป ค. 10 ป ง. 10.5 ป

16. ก ำหนดใหขอมลชดหนง คอ 10, 3, x, 6, 6 ถำคำเฉลยเลขคณตของขอมลชดน มคำเทำกบ 6 แลว x มคำเทำกบขอใดตอไปน ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6

17. กลองใบหนงมลกบอลขนำดเดยวกน เปนสแดง 3 ลก เปนสขำว 2 ลก สมหยบลกบอล 2 ลกขนมำพรอมกน ควำมนำจะเปนทจะไดลกบอลสเดยวกนเทำกบเทำใด

ก. 2

1

ข.

ค. 4

3

ง.

5

2

ดเฉลยแบบทดสอบทายเลม

18. โยนลกเตำ 2 ลก 1 ครง ควำมนำจะเปนทลกเตำหงำย มผลบวกนอยกวำ 5

เทำกบเทำใด

ก. 3

1

ข. 4

1

ค. 6

1

ง. 8

1

19. นำยวมลเปนตวแทนขำยเครองอปกรณเกยวกบกำรเกษตรรำคำ 24,000 บำท ใหกบเกษตรกร บรษทไดคำนำยหนำ 25% อยำกทรำบวำ นำยวมลไดคำนำยหนำเทำไร ก. 5,000 ข. 6,000 ค. 7,000 ง. 9,000

20. นรนทรเปนพนกงำนขำยอปกรณกำรกฬำไดคำตอบแทนเดอนละ 22,000 บำท ไมมครอบครว สนปหกคำใชจำย รอยละ 40 ของเงนไดพงประเมน แตไมเกน 60,000 บำท หกลดหยอนผมเงนได 30,000 บำท สนปยนแบบแสดงรำยกำรภำษเงนไดบคคลธรรมดำ ตองช ำระภำษหรอไม ถำช ำระตองช ำระเทำไร (เงนไดพงประเมน 1 – 150,000 บำท ยกเวนกำรเสยภำษ 150,000 – 300,000 บำท เสยภำษในอตรำ 5%) ก. ช ำระภำษ 1,000 บำท ข. ช ำระภำษ 1,200 บำท ค. จำยเพมอก 800 บำท ง. ไมตองช ำระภำษ

3

2

ชวงอำย (ป) ควำมถ (f) 1 – 5 4

6 – 10 9 11 – 15 2 16 – 20 5

119

ภาคผนวก

120

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

ขอ 1 ข ขอ 2 ก ขอ 3 ง ขอ 4 ข ขอ 5 ข ขอ 6 ค ขอ 7 ง ขอ 8 ก ขอ 9 ข ขอ 10 ก ขอ 11 ค ขอ 12 ก ขอ 13 ก ขอ 14 ค ขอ 15 ก ขอ 16 ข ขอ 17 ค ขอ 18 ข ขอ 19 ง ขอ 20 ก

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

ขอ 1 ง ขอ 2 ค ขอ 3 ก ขอ 4 ค ขอ 5 ก ขอ 6 ง ขอ 7 ค ขอ 8 ค ขอ 9 ก ขอ 10 ข ขอ 11 ข ขอ 12 ข ขอ 13 ข ขอ 14 ง ขอ 15 ค ขอ 16 ค ขอ 17 ง ขอ 18 ค ขอ 19 ข ขอ 20 ข

121

เฉลยกจกรรมบทท 1

เฉลยแบบฝกหดท 1 1) (1, 6) 2) [2, 7] 3) [-1, 4) 4) (-1, 6] 5) (3, ) 6) (- , 5) 7) [-1, ) 8) (- , -2]

เฉลยกจกรรมบทท 2

เฉลยแบบฝกหดท 1 1. 1) จ ำนวนตรรกยะ 6) จ ำนวนตรรกยะ

2) จ ำนวนตรรกยะ 7) จ ำนวนอตรรกยะ 3) จ ำนวนตรรกยะ 8) จ ำนวนอตรรกยะ 4) จ ำนวนอตรรกยะ 9) จ ำนวนตรรกยะ 5) จ ำนวนตรรกยะ 10) จ ำนวนตรรกยะ

2. 1) 8a8 6)

32

1

2) 2b7 7) 9

1

3) 56a12 8) 4

4)

5) x7 y5

เฉลยแบบฝกหดท 2

1. 1) 4 2) 3 3) 4) 2

5) 4 6) 2 7) 5 8) -2

2. 1) 2) 3) 4)

5ab

2

3

2

5

6

3

2

7

2

3

323

122

เฉลยแบบฝกหดท 3

1. 1) 2) 3) 4) 5) 24 6) 59 7) 3 8) 3 211

2. 1) 2) 3) 4) 3

3. 1) 32 2) 3) 5 4) 3

323

เฉลยกจกรรมบทท 3 เฉลยแบบฝกหดท 1 1. จงเขยนเซตแบบแจกแจงสมำชก

1) A เปนเซตชอของปนกษตร A = {ชวด, ฉล, ขำล, เถำะ, มะโรง, มะเสง, มะเมย, มะแม, วอก, ระกำ, จอ, กน}

2) M = {x | x N และ 5 ≤ x ≤ 10} M = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

3) P = {x | x เปนพยญชนะในค ำวำ philippine} P = {p, h, i, l, n, e}

2. จงเขยนเซตแบบบอกเงอนไข 1) N = {มกรำคม, มนำคม, พฤษภำคม, กรกฎำคม, สงหำคม, ตลำคม, ธนวำคม}

N = {x | x เปนเดอนทลงทำยดวยคม} 2) B = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {x | xN และ 2 ≤ x ≤ 10} 3) D = เปนเซตของจ ำนวนเตมตงแต 1 – 25 และ 3 หำรลงตว

D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 3. ก ำหนดให U = {x | x N และ x ≤ 15}

A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} C = {3, 6, 9, 12, 15}

จงหำ 1) A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14} 2) AC = {3}

37 510 3 78 22

26 1024 26

21

123

3) B – C = {2, 4, 8, 10, 14} 4) B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} 5) (A B) C = {3, 6, 12} 6) (AB) - C = {1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15}

4. จำกกำรสอบถำมเดกผชำย 75 คน ชอบของเลนทเปนรถสแดง 27 คน สฟำ 34 คน สเขยว 42 คน ชอบทงสแดงและสเขยว 14 คน ชอบทงสฟำและสเขยว 12 คน ชอบสแดงและสฟำ 10 คน ชอบทงสำมส 7 คน จงหำวำเดกทชอบของเลนทเปนรถเพยงสเดยวมกคน วธท ำ A = ชอบสเขยว 42 คน

B = ชอบสฟำ 34 คน C = ชอบสแดง 27 คน

จ ำนวนเดกผชำยทชอบของเลนทเปนรถเพยงสเดยว = 23 + 19 + 10 = 52 คน

เฉลยกจกรรมบทท 5 เฉลยแบบฝกหดท 1 1. จงหำวำอตรำสวนตรโกณมตทก ำหนดใหตอไปน เปนคำไซน (sin) หรอโคไซน (cos) หรอแทนเจนต

(tan) ของมมทก ำหนดให

1) sin A =

2) tan A = ab

3) sin B =

4) cos B = cb

cb

ca

สเขยว สฟำ

สแดง

A B

C

23 19 5 7

10

3 7

U

C

B A

b

c

a

s

i

n

s

i

n c

o

s

124

6003

00

4504

50

4504

50CC

AA

BB DD

a

bb

2. จงหำคำ a และ b จำกรปทก ำหนดให

ABC เปนสำมเหลยมมมฉำก

cos = cos 45 = ACAB

= 25

a

a = 5 เนองจำก ABC เปน หนำจว AB = BC = 5 ABD เปนสำมเหลยมมมฉำก

tan = tan 300 = BDAB

= b5

b = 35 3. จงหำคำของ

1) sin 30 – cos 30 + sin 60 – cos 60 + tan 45

1121

23

23

21

2) tan2 45– sin 30 cosec260

= 2

2

32

21

1

=

34

21

1

= 31

CABˆ

21

BDAˆ

31

30๐

125

3)

30sin45tan60seccos6030cosecsin30

2

22

=

8

21

1

221

221

2

22

4)

60sec302cos

45tan60cos60sin 2

2

22

= 2

2

32

1

2

1

2

3222

= 43

147

43

1

4. มำนะยนหำงจำกตก 20 เมตร มองเหนยอดตกเปนมมเงย 45 และเหนเสำอำกำศทตงอยบนยอดตก

เปนมมเงย 60 จงหำวำเสำอำกำศสงจำกตกเทำไร (ก ำหนด 3 = 1.73) ABC เปน หนำจว

BC = AB = 320 .ให DC สง x เมตร

DB = 320 + x เมตร

tan A = ABDB

tan 60 = 320

x320

3 = 320

x320

20 3 = x320

x = 20 3 - 320 = 20 (3 – 1.73) = 20 1.27 = 25.40 เสำอำกำศสงจำกตกประมำณ 25.4 เมตร

A

D

B

C

60

45

126

เฉลยกจกรรมบทท 6

เฉลยแบบฝกหดท 1 1. ก ำหนดมมสเหลยมมมฉำกดงรป

ก. (ตอบ สเหลยมผนผำ) ข. (ตอบ 90 องศำ) ค. (ตอบ แนวทแยง) ง. (ตอบ BDE 2 รป ประกอบกนเปน BDEG)

2. จงเขยนรปคลของทรงสำมมตตอไปน

ตอบ รปคลของทรงสำมมตตอไปน

รปตนแบบ รปคล

127

เฉลยกจกรรมบทท 7

เฉลยแบบฝกหดท 1

1. คำเฉลย 20

560x 47.95 = 28

มธยฐำน i) เรยงขอมล 12 13 15 18 24 24 26 2 28 28 28 28 29 32 34 34 40 40 40 40

x) ต ำแหนงของมธยฐำน = 2

1n

= 10.5

มธยฐำน = 2

2828

= 28

ฐำนนยม 28 และ 40

รปตนแบบ

รปตนแบบ

รปคล

รปคล

128

2. ตำรำงแสดงคะแนนของนกเรยน คะแนน ความถ (f1) จดกงกลาง (xi) fi xi ความถสะสม 18 – 22 2 20 40 2 23 – 27 8 25 200 10 28 – 32 15 30 450 25 33 – 37 11 35 385 36 38 – 42 3 40 120 39 43 – 47 1 45 45 40

nf 1240fx

1. คำเฉลยเลขคณต ( x ) =

ffx =

401240

= 31

คำเฉลยเลขคณต คอ 31

2. มธยฐำน : 202

802N

มธยฐำนอยในขน 28 – 32

อนตรภำคชนทมมธยฐำนอยคอ 28 – 32 ม i = 5 , Lo = 27.5 , f =

จำกสตร

fm

f2N

iLoMdi

30.833.3327.515

1020527.5Md

มธยฐำนเทำกบ 30.83 3. ฐำนนยม : ฐำนนยมอยในชน 28 – 32 (ชนทมควำมถสงสด)

จำกสตร

21

1

ddd

iLoMo

เมอ Lo = 27.5 , d1 = 15 – 8 = 7 , d2 = 15 – 11 = 4 , i = 5

30.6847

7527.5Mo

ฐำนนยมเทำกบ 30.68

129

เฉลยแบบฝกหดท 2 1. 1) 1.1) ก ำไร 2 ลำนบำท 1.2) ก ำไร 4 ลำนบำท 1.3) ก ำไร 4 ลำนบำท 1.4) ก ำไร 8 ลำนบำท 1.5) ก ำไร 4 ลำนบำท 1.6) ก ำไร 6 ลำนบำท 2) เดอน เม.ย. 3) เดอน ม.ค. 4) เดอน ก.พ. เดอน ม.ค. เดอน พ.ค. 5) ไมม

2. กำรเลอกขอมลมำใชประกอบกำรตดสนใจตองอำศยหลกกำรใดบำง 1. เชอถอได 2. ครบถวน 3. ทนสมย

3. ขอมล ตำงกบ สำรสนเทศ อยำงไร จงอธบำยพรอมยกตวอยำงประกอบดวย ขอมล หมำยถง ขอเทจจรง หรอเหตกำรณทกยวของกบสงตำงๆ เชน บคคล สงของ สถำนท

ฯลฯ ขอมลเปนเรองเกยวกบเหตกำรณทเกดขนอยำงตอเนอง ขอมลถกตองแมนย ำ ครบถวนขนอยกบผด ำเนนกำรทใหควำมส ำคญของควำมรวดเรวของกำรเกบขอมล

สำรสนเทศ เกดจำกกำรน ำขอมล ผำนระบบกำรประมวล ค ำนวณ วเครำะหและแปลควำมหมำยเปนขอควำมทสำมำรถน ำไปใชประโยชนได

เฉลยกจกรรมบทท 9

เฉลยแบบฝกหดท 1 1. นำงสมหมำยเปนตวแทนขำยเครองกรองน ำทมรำคำ 35,000 บำท ใหกบบรษทแหงหนง บรษทคดคำนำยหนำ 30% อยำกทรำบวำนำงสมหมำยไดเงนคำนำยหนำเทำไร 2. สมใจถอหนปรมสทธของบรษทผลตปลำกระปองแหงหนง จ ำนวน 200 หน มลคำหนละ 180 บำท อตรำเงนปนผล 8% เมอสนปสมใจจะไดเงนปนผลทงหมดเทำไร

แนวคด 35,000 × = 10,500 บำท

แนวคด × 180 × 200 = 2,880

บำท

130

131

132

คณะผจดท า

ทปรกษา นำยสรพงษ จ ำจด เลขำธกำร กศน. นำยกตตศกด รตนฉำยำ รองเลขำธกำร กศน. นำยประเสรฐ หอมด รองเลขำธกำร กศน.

คณะผเขยนสรปเนอหา นำงพรรณทพำ ชนชชวำล ผอ ำนวยกำรกลมพฒนำระบบกำรทดสอบ

นำงพรทพย กลำรบ ขำรำชกำรบ ำนำญ นำงกนกวล อษณกรกล ขำรำชกำรบ ำนำญ นำยวฒชย ศรวสธำกล ขำรำชกำรบ ำนำญ นำยรณชย มำเจรญทรพย โรงเรยนสำยน ำผง ในพระอปถมภฯ

คณะท างาน นำยคมกฤช จนทรขจร ผอ ำนวยกำรสถำบนกำรศกษำทำงไกล นำงกตตยำ รศมพงศ รองผอ ำนวยกำรสถำบนกำรศกษำทำงไกล นำงพชญำ นยนตย สถำบนกำรศกษำทำงไกล นำงสำวสวรรค พลฉกรรณ สถำบนกำรศกษำทำงไกล นำงสำวประภำรช ทพยสงเครำะห สถำบนกำรศกษำทำงไกล นำยเกรยงไกร มหำโชคดลก สถำบนกำรศกษำทำงไกล

ผพมพตนฉบบ นำงสำวประภำรช ทพยสงเครำะห สถำบนกำรศกษำทำงไกล นำยเกรยงไกร มหำโชคดลก สถำบนกำรศกษำทำงไกล

ผออกแบบปก นำยศภโชค ศรรตนศลป กลมพฒนำกำรศกษำนอกระบบและ

กำรศกษำตำมอธยำศย

133