Integral

Integral Tak Tentu

F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila

Contoh

dan adalah anti turunan dari

karena F’(x) = f(x).

Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya berupa suatubilangan konstan.

Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.

Notasi :

IxxfxF = )()('

3

3

1)( xxF =

2)( xxf =

CxxF += 3

3

1)(

f x dx F x C( ) ( )= +2

Sifat-sifat Integral Tak Tentu

A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan

++

=+

Cr

xdxx

rr

1.1

1

+−= Cxdxx cossin.2

, r -1

+= Cxdxx sincos.3

+= Cxdxx tansec.4 2

+−= Cxdxx cotcsc.5 2

3

Sifat-sifat Integral Tak Tentu

B. Sifat Kelinieran

C. Integral dengan substitusi

Misal u = g(x) , , dan F suatu anti turunan dari f,

maka

Contoh: Hitung

Misal u = 2x + 1 → → sehingga

a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )+ = +

+=+== cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

( )sin 2 1x dx+

dxxgdu )('=

dxxdu 2= dudx21=

( ) =+ duudxx sin2

112sin ( ) CxCu ++−=+−= 12cos

2

1cos

2

1

4

Sifat-sifat Integral Tak Tentu

Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsi yang diintegralkan) hanya fungsidari u

Contoh: Hitung

13 += xu 23xdx

du=

23x

dudx =Jawab : Misal

Maka

+ dxxx 5103 )1(

+ dxxx 5103 )1(

3x

== duxux

duxu 310

2

510

3

1

3

Integranfungsi dari

u dan x

3xCtt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta

substitusi dengan menggunakan hubungan 13 += xu 13 −= ux

sehingga

−=−=+ duuuduuudxxx 1011105103 3/1)1(3/1)1( Cuu +−= 11

33112

361

Cxx ++−+= 113

331123

361 )1()1(

5

Notasi Sigma ()

Notasi sigma ( jumlah ) :

Sifat dan rumus sigma

dan...21

1

n

n

i

i aaaa +++==

k k k k nk

n sukui

n

= + + + ==

... 1

( ) = = =

+=+n

i

n

i

n

i

iiii blaklbak1 1 1

.1

=

+=

n

i

nni

1 2

)1(.2

=

++=

n

i

nnni

1

2

6

)12)(1(.3

=

+=

n

i

nni

1

2

3

2

)1(.4

Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan induksi matematika

6

Integra Tentu

Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang menggambarkan luas daerah.

Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [ a,b ].

bxxxa n == ...10

a b

Langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian

},...,,,{ 210 nxbxxxaP ===

disebut partisi dari [a,b].

2. Definisikan panjang partisi P, sebagai 11

|,||||| −

−== kkkknk

xxxxMaksP

],[ 1 kkk xxc −3. Pilih k = 1, 2, ..., n

1x 1−kx kx

kx

kc

7

Integral Tentu

a b2x 1−kx kx

kx

kc

4. Bentuk jumlah Riemann

=

n

k

kk xcf1

)(

0|||| →P

=

→

n

Pk

kk xcf1

0||||)(lim

Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann

=

→

= =

→

=n

k kx

kcf

n

b

a

n

k kx

kcf

Pdxxf

1)(lim

1)(

0|||lim)(

Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sebagai

)( kcf

8

Contoh

Hitung −2

0

2 dxx

Jawab: Langkah

(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjangn

x 2=

0 2

x xxx

1x 2x 1−ixix 1−nx

sehingga

00 =x

nxx 2

1 0 =+=

n.xx 22

2 20 =+=

ni

i xix 20 =+=

………………………………………………

9

Contoh

(ii) Pilih ii xc =

(iii) Bentuk jumlah reiman

( ) ( ) = =

−=n

i

n

i

nni

ii xcf1 1

22 2 ( )=

−=n

i

nn

i

1

442

==

−=n

i

n

i ni

n 112

144

nn

n

)n(n

n

22

4

2

14

2+−=−

+=

(iv) Jika →n

( ) −=+−=−→

2

0

2 222nn

limdxx

10

Integral Tentu

Catatan:Jika fungsi y=f(x) positif pada selang [a,b] maka integral tentu diatas menyatakanluas daerah yang terletak dibawah grafik y=f(x) dan diatas sumbu x antara garisx = a dan x = b

Sifat integral tentu

p f x q g x dx p f x dx q g x dx

a

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )+ = +

1. Sifat linear

2. Jika a < b < c, maka

f x dx f x dx f x dx

a

c

a

b

b

c

( ) ( ) ( ) = +

11

Integral Tentu

f x dx

a

a

( ) = 0 ( )f x dx f x dx

a

b

b

a

= − ( )3. dan

4. Bila f(x) ganjil , maka −

=

a

a

dxxf 0)(

5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dx

a

a

a

( ) ( )= −

2

0

Contoh: Hitung −

++

3

3

24 7 dxxxx

Jawab :

7)()()( 24 +−+−−=− xxxxf )(724 xfxxx −=++−= f(x) ganjil

07

3

3

24 =++−

dxxxx

12

Teorema Dasar Kalkulus(TDK)

TDK I

Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).

Maka

Contoh: Selesaikan integral tentu

Jawab: Misal u = 2x → du = 2 dx. Maka

Sehingga

f x dx F b F a

a

b

( ) ( ) ( )= −

( )sin 2

2

x dx

( ) ( ) 1cos2cos2

12cos

2

12sin

2/2

−=−−

=−=

xdxx

−= xdxx 2cos2

12sin

13

Contoh

Hitung −

5

1

|2| dxx

Jawab :

−−

−=−=

22

222

x,)x(

x,x|x|)x(f

( ) ( ) −+−−=−5

1

2

1

5

2

222 dxxdxxdx|x|5

2

2

21

2

1

2

21 22 xxxx −++= −

= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )

= ½+9/2 = 5

14

TDK II (Pendiferensial Integral Tentu)

• Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b], maka

Secara umum

)('))(()(

)(

xuxufdttfD

xu

a

x =

)()( xfdttfD

x

a

x =

)('))(()('))(()(

)(

)(

xuxufxvxvfdttfD

xv

xu

x −=

15

Contoh

+=

2

4

31)(

x

dttxG +=

x

dttxG1

31)(

.

Hitung G’(x) dari

a. b.

Jawab:

a.31)( ttf += 31)(' xxG +=

b.31)( ttf +=

2)( xxu =

)()(1)(' 232 xDxxxG +=

612 xx +=

16

Soal Latihan

A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila

5103)( 2 ++= xxxf

)6720()( 572 +−= xxxxf

f xx x

( ) = +1 6

3 7

f xx x

x( ) =

− +2 3 13 2

2

f x x( ) =−3

4

1.

2.

3.

4.

5.

17

Soal Latihan

( )x x dx2 3

4 2−

( ) ( )x x x dx2 2

3 2 2 3− + −

3 3 72

x x dx+

( )5 1 5 3 22 3

x x x dx+ + −

3

2 52

y

y

dy

+

( )( )cos sin4

2 2 2x x dx−

Selesaikan integral tak tentu berikut

6.

7.

8.

9.

10.

11.18

Soal Latihan

B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )

0

5

f xx x

x x( )

,

,=

+

−

2 0 2

6 2 5

f x

x x

x

x x

( )

,

,

,

=

−

0 1

1 1 3

4 3 5

1.

2.

3. f(x) = |x -1|

3

1

3

4

2)( xxxf −=4.

19

Soal Latihan

Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut

3 12 3

1

0

x x dx+

−

8 7 22

3

3

t t dt+

−

x

x x

dx

2

31

3 1

3

+

+

sin cos

/2

0

2

3 3x x dx

2

0

sin dxx

dxxx +−8

0

8625.

6.

7.

8.

9.

10.

20

Soal Latihan

Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari)(' xG

G xt

dt

x

( ) =+

1

12

1

G xt

dt

x

x

( ) =+

1

12

2

G x t dt

x

( ) sin= +

+

2

2

12

=x

dssxG

)2tan()(

dtt

xG

x

+

=

3

031

1)(

11.

12.

13.

14.

15.21

Soal Latihan

16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dtt

txf

x

+

+=

0

21

1)(

Jika f kontinu pada tentukan f(4). −=

2

0

)1(cos)(dan],0[

x

xxdttf 17.

dtt

xx

++

2

42

2

31dan],4[ )2('fJika f kontinu pada , tentukan

.

18.

Hitung +→

x

xdt

t

t

x0

4

2

30 16

1lim19.

22