2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
2016年度秋学期 応用数学(解析)
浅野 晃 関西大学総合情報学部
第5部・測度論ダイジェスト ルベーグ積分
第15回
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
依然, 積分に対する疑問
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
積分に対する疑問
積分f(x)
xp q
分∫ q
pf(x)dx
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
積分に対する疑問
積分f(x)
xp q
分∫ q
pf(x)dx
p q
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
積分に対する疑問
積分f(x)
xp q
分∫ q
pf(x)dx
p qa
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
積分に対する疑問
積分f(x)
xp q
分∫ q
pf(x)dx
p q
だから,
∫ a
af(x)dx = 0
a
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sano
, Kan
sai U
niv.
積分に対する疑問
aのところで幅0の 直線を抜いても 積分の値は変わらない
積分f(x)
xp q
分∫ q
pf(x)dx
p q
だから,
∫ a
af(x)dx = 0
a
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, Kan
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積分に対する疑問
幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q
∫ a
af(x)dx = 0
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積分に対する疑問
幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q
∫ a
af(x)dx = 0
p q
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A. A
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, Kan
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積分に対する疑問
幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q
∫ a
af(x)dx = 0
可算無限個の直線を 抜いても
p q
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A. A
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, Kan
sai U
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積分に対する疑問
幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q
∫ a
af(x)dx = 0
可算無限個の直線を 抜いても
p q
どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる
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, Kan
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積分に対する疑問
幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q
∫ a
af(x)dx = 0
可算無限個の直線を 抜いても
p q
どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる
積分の値は変わらない のか?
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, Kan
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積分に対する疑問
幅0の直線を可算無限個 抜いても
p q
どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる
積分の値は変わらない のか?
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, Kan
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積分に対する疑問
幅0の直線を可算無限個 抜いても
p q
どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる
積分の値は変わらない のか?
この疑問に答えるために, pとqの間にある有理数全体が占める幅を考える
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積分に対する疑問
幅0の直線を可算無限個 抜いても
p q
どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる
積分の値は変わらない のか?
この疑問に答えるために, pとqの間にある有理数全体が占める幅を考える 可算無限個ある
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有理数全体が占める幅可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要
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有理数全体が占める幅可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要
有理数の集合が数直線上で持つ幅(測度)
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有理数全体が占める幅可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要
有理数の集合が数直線上で持つ幅(測度)
有理数全体を,区間の組み合わせで覆ったときの
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, Kan
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有理数全体が占める幅可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要
有理数の集合が数直線上で持つ幅(測度)
有理数全体を,区間の組み合わせで覆ったときの「区間の長さの合計」の下限
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, Kan
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有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … をεを任意の正の数とすると
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
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, Kan
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有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … をεを任意の正の数とすると
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, Kan
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有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を
a1
εを任意の正の数とすると
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を
a1 a2
εを任意の正の数とすると
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
εを任意の正の数とすると
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
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有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
εを任意の正の数とすると
…
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A. A
sano
, Kan
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有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
ε/ 2
εを任意の正の数とすると
…
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
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有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
ε/ 2 ε/ 22
εを任意の正の数とすると
…
![Page 29: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/29.jpg)
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23
εを任意の正の数とすると
…
![Page 30: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/30.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる
覆った区間の長さの合計
有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23
εを任意の正の数とすると
…
![Page 31: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/31.jpg)
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A. A
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, Kan
sai U
niv.
有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる
覆った区間の長さの合計
有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23
ε
2+
ε
22+ · · ·+ ε
2n+ · · · = ε
εを任意の正の数とすると
…
![Page 32: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/32.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる
覆った区間の長さの合計
有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23
ε
2+
ε
22+ · · ·+ ε
2n+ · · · = ε
εを任意の正の数とすると
…
その下限がルベーグ(外)測度で,すなわち0
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
有理数全体が占める幅
こういうふうに覆うことができる
覆った区間の長さの合計
有理数a1, a2, … を
a1 a2 a3
ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23
ε
2+
ε
22+ · · ·+ ε
2n+ · · · = ε
εを任意の正の数とすると
…
その下限がルベーグ(外)測度で,すなわち0有理数全体のルベーグ測度は0
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A. A
sano
, Kan
sai U
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積分に対する疑問この疑問はまだ解決していない。そもそも,
有理数の位置にある可算無限個の直線を抜いた積分
p q
ジョルダン測度にもとづく積分(リーマン積分)では, 可算無限個の分割はできない
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A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
区分求積法で積分を求める
積分 は,
分∫ q
pf(x)dx
f(x)
xp
長方形で近似
q
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
区分求積法で積分を求める
積分 は,
分∫ q
pf(x)dx
f(x)
xp
長方形で近似
q
積分区間を
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
区分求積法で積分を求める
積分 は,
分∫ q
pf(x)dx
f(x)
xp
長方形で近似
q
積分区間を 重なりのない,有限個の
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2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
区分求積法で積分を求める
積分 は,
分∫ q
pf(x)dx
f(x)
xp
長方形で近似
q
積分区間を 重なりのない,有限個の区間に分けて,
![Page 39: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/39.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
区分求積法で積分を求める
積分 は,
分∫ q
pf(x)dx
f(x)
xp
長方形で近似
q
積分区間を 重なりのない,有限個の区間に分けて,その上の長方形の面積の極限
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, Kan
sai U
niv.
区分求積法で積分を求める
積分 は,
分∫ q
pf(x)dx
f(x)
xp
長方形で近似
q
積分区間を 重なりのない,有限個の区間に分けて,その上の長方形の面積の極限
![Page 41: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/41.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
区分求積法で積分を求める
積分 は,
分∫ q
pf(x)dx
f(x)
xp
長方形で近似
q
積分区間を 重なりのない,有限個の区間に分けて,その上の長方形の面積の極限
「極限」とは,無限ではなく有限
![Page 42: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/42.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ジョルダン測度
f(x)
xp qこちらの上限
f(x)
xp q
ジョルダン内測度こちらの下限ジョルダン外測度
![Page 43: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/43.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ジョルダン測度
f(x)
xp qこちらの上限
f(x)
xp q
ジョルダン内測度こちらの下限ジョルダン外測度
両者が一致するときジョルダン測度という
![Page 44: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/44.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ジョルダン測度
f(x)
xp qこちらの上限
f(x)
xp q
ジョルダン内測度こちらの下限ジョルダン外測度
両者が一致するときジョルダン測度という2次元の場合これを面積という
![Page 45: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/45.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ジョルダン測度
f(x)
xp qこちらの上限
f(x)
xp q
ジョルダン内測度こちらの下限ジョルダン外測度
両者が一致するときジョルダン測度という2次元の場合これを面積という
ジョルダン測度が定まる図形(集合)を ジョルダン可測という
![Page 46: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/46.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな関数の積分は
h(x) =
{1 xは有理数0 xは無理数
ディリクレ関数
x0
1
……
![Page 47: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/47.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
こんな関数の積分は
x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も必ず存在する
h(x) =
{1 xは有理数0 xは無理数
ディリクレ関数
x0
1
……
![Page 48: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/48.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
![Page 49: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/49.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
![Page 50: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/50.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
![Page 51: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/51.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
![Page 52: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/52.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
![Page 53: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/53.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
![Page 54: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/54.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
どんな区切りでも,
![Page 55: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/55.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
どんな区切りでも,
x0
1
![Page 56: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/56.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
どんな区切りでも,
ジョルダン外測度 (外部の下限)
x0
1
![Page 57: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/57.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
どんな区切りでも,
ジョルダン外測度 (外部の下限)
x0
1
![Page 58: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/58.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
どんな区切りでも,
ジョルダン外測度 (外部の下限)
x0
1
x0
1
![Page 59: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/59.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
どんな区切りでも,
ジョルダン外測度 (外部の下限)
ジョルダン内測度 (内部の上限)
x0
1
x0
1
![Page 60: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/60.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
x0
1
どんな区切りでも,
ジョルダン外測度 (外部の下限)
ジョルダン内測度 (内部の上限)
x0
1
x0
1
![Page 61: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/61.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
一致しないので ジョルダン可測でなく,リーマン積分はできない
x0
1
どんな区切りでも,
ジョルダン外測度 (外部の下限)
ジョルダン内測度 (内部の上限)
x0
1
x0
1
![Page 62: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/62.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分x軸上をどんなに細かく区切っても, 区切りの中に有理数も無理数も 必ず存在する
一致しないので ジョルダン可測でなく,リーマン積分はできない
x0
1
どんな区切りでも,
ジョルダン外測度 (外部の下限)
ジョルダン内測度 (内部の上限)
ルベーグ測度にもとづくルベーグ積分を考える
x0
1
x0
1
![Page 63: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/63.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 64: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/64.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分
![Page 65: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/65.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
何がいけなかったのかf(x)
xp q
f(x)
xp q
区分求積をするときに,
![Page 66: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/66.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
何がいけなかったのか
x軸上を無理に分割しようとするから, 有限個に分割できないとき困る
f(x)
xp q
f(x)
xp q
区分求積をするときに,
![Page 67: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/67.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
何がいけなかったのか
x軸上を無理に分割しようとするから, 有限個に分割できないとき困る
f(x)
xp q
f(x)
xp q
区分求積をするときに,
y軸上のほうを分割し,
![Page 68: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/68.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
何がいけなかったのか
x軸上を無理に分割しようとするから, 有限個に分割できないとき困る
f(x)
xp q
f(x)
xp q
区分求積をするときに,
x軸のほうは それに対応して分割されるようにすればいい
y軸上のほうを分割し,
![Page 69: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/69.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
![Page 70: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/70.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 71: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/71.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 72: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/72.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 73: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/73.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 74: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/74.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 75: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/75.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 76: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/76.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 77: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/77.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 78: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/78.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 79: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/79.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 80: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/80.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 81: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/81.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 82: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/82.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 83: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/83.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 84: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/84.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
![Page 85: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/85.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 86: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/86.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方
yi ×(Aiのルベーグ測度)を求める
y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 87: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/87.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方
yi ×(Aiのルベーグ測度)を求める
y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 88: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/88.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方
yi ×(Aiのルベーグ測度)を求める
y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 89: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/89.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方
yi ×(Aiのルベーグ測度)を求める
y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 90: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/90.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方
yi ×(Aiのルベーグ測度)を求める
y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 91: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/91.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方
yi ×(Aiのルベーグ測度)を求める
y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
これを各yiについて合計したものの, 分割を細かくしたときの極限
![Page 92: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/92.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ルベーグ積分の考え方
yi ×(Aiのルベーグ測度)を求める
Aiがたとえ可算無限個に分れていても, ルベーグ可測なら完全加法性があるから合計できる
y
yi
x
yi+1
Ai
y軸を分割
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
これを各yiについて合計したものの, 分割を細かくしたときの極限
![Page 93: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/93.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
α1α2α3
![Page 94: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/94.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
α1α2α3
![Page 95: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/95.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
![Page 96: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/96.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
![Page 97: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/97.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2
![Page 98: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/98.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2
![Page 99: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/99.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
![Page 100: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/100.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
![Page 101: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/101.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
![Page 102: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/102.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
xがAiにあるとき 値が1,他は0 [特性関数]
![Page 103: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/103.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分
単関数のルベーグ積分
単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
xがAiにあるとき 値が1,他は0 [特性関数]
![Page 104: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/104.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分
単関数のルベーグ積分
単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
∫
Aϕ(x)m(dx) =
n∑
i=1
αim(Ai)
xがAiにあるとき 値が1,他は0 [特性関数]
![Page 105: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/105.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分
単関数のルベーグ積分
単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
∫
Aϕ(x)m(dx) =
n∑
i=1
αim(Ai)
xがAiにあるとき 値が1,他は0 [特性関数]
![Page 106: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/106.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分
単関数のルベーグ積分
単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
∫
Aϕ(x)m(dx) =
n∑
i=1
αim(Ai)
αi × Aiのルベーグ測度
xがAiにあるとき 値が1,他は0 [特性関数]
![Page 107: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/107.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分
単関数のルベーグ積分
単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
∫
Aϕ(x)m(dx) =
n∑
i=1
αim(Ai)
αi × Aiのルベーグ測度
xがAiにあるとき 値が1,他は0 [特性関数]
![Page 108: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/108.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分
単関数のルベーグ積分
単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
∫
Aϕ(x)m(dx) =
n∑
i=1
αim(Ai)
αi × Aiのルベーグ測度
xがAiにあるとき 値が1,他は0 [特性関数]
![Page 109: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/109.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
単関数とルベーグ積分
単関数のルベーグ積分
単関数… こういう 階段状の 関数
A1
α1α2α3
A2 A3
ϕ(x) =
n∑
i=1
αiϕ(x;Ai)
∫
Aϕ(x)m(dx) =
n∑
i=1
αim(Ai)
αi × Aiのルベーグ測度
xがAiにあるとき 値が1,他は0 [特性関数]
![Page 110: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/110.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
y
yi
x
yi+1
Ai
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 111: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/111.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 112: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/112.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 113: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/113.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 114: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/114.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 115: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/115.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 116: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/116.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
単関数で近似できるためには,どのようにy軸を分割しても 図のAiが可測でなければならない
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 117: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/117.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
単関数で近似できるためには,どのようにy軸を分割しても 図のAiが可測でなければならない
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
任意のa, bについて合 {x|a � f(x) < b}
が可測
![Page 118: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/118.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数関数を単関数で近似する
単関数で近似できるためには,どのようにy軸を分割しても 図のAiが可測でなければならない
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
任意のa, bについて合 {x|a � f(x) < b}
が可測[可測関数]
![Page 119: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/119.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分関数を単関数で近似する
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 120: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/120.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分関数を単関数で近似する
y
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
可測関数の ルベーグ積分
![Page 121: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/121.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分
単関数で近似
関数を単関数で近似するy
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
可測関数の ルベーグ積分
![Page 122: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/122.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分
単関数で近似一番よい近似のとき
関数を単関数で近似するy
yi
x
yi+1
Ai
yi
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
可測関数の ルベーグ積分
![Page 123: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/123.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分本当にsupで 近似できるか?
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
![Page 124: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/124.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分本当にsupで 近似できるか?
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
y
yi
x
yi+1
Ai
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 125: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/125.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分本当にsupで 近似できるか?
k/2n
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
y
yi
x
yi+1
Ai
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 126: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/126.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分本当にsupで 近似できるか?
k/2n
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
(k+1)/2n
y
yi
x
yi+1
Ai
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 127: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/127.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分本当にsupで 近似できるか?
k/2n
y軸をこのように分割し 単関数で近似
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
(k+1)/2n
y
yi
x
yi+1
Ai
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 128: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/128.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分本当にsupで 近似できるか?
k/2n
y軸をこのように分割し 単関数で近似
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
(k+1)/2n|f(x)− ϕn(x)| ≤
1
2n
y
yi
x
yi+1
Ai
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
![Page 129: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/129.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
可測関数のルベーグ積分本当にsupで 近似できるか?
k/2n
y軸をこのように分割し 単関数で近似
∫
Af(x)m(dx) = sup
∫
Aϕ(x)m(dx)
) 「 � ( ) � ( )を たすす
(k+1)/2n|f(x)− ϕn(x)| ≤
1
2n
y
yi
x
yi+1
Ai
Ai = {a|yi � f(a) < yi+1}したも 分割を細かくし
n→∞ で0
![Page 130: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/130.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
![Page 131: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/131.jpg)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
積分に対する疑問の答
![Page 132: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/132.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分
h(x) =
{1 xは有理数0 xは無理数
ディリクレ関数
x0
1
……
![Page 133: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/133.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分
h(x) =
{1 xは有理数0 xは無理数
ディリクレ関数
x0
1
……
h(x) = 1× ϕ(x;Q) + 0× ϕ(x;R\Q)
という単関数
![Page 134: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/134.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分
h(x) =
{1 xは有理数0 xは無理数
ディリクレ関数
x0
1
……
h(x) = 1× ϕ(x;Q) + 0× ϕ(x;R\Q)
という単関数
xが有理数のとき1
![Page 135: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/135.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分
h(x) =
{1 xは有理数0 xは無理数
ディリクレ関数
x0
1
……
h(x) = 1× ϕ(x;Q) + 0× ϕ(x;R\Q)
という単関数
xが有理数のとき1 xが無理数のとき1
![Page 136: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/136.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分
有理数のルベーグ測度は0
h(x) =
{1 xは有理数0 xは無理数
ディリクレ関数
x0
1
……
h(x) = 1× ϕ(x;Q) + 0× ϕ(x;R\Q)
という単関数
xが有理数のとき1 xが無理数のとき1
![Page 137: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/137.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
ディリクレ関数の積分
有理数のルベーグ測度は0
h(x) =
{1 xは有理数0 xは無理数
ディリクレ関数
x0
1
……
h(x) = 1× ϕ(x;Q) + 0× ϕ(x;R\Q)
という単関数
xが有理数のとき1 xが無理数のとき1
つまり,h(x)をどんな積分区間で積分しても0
![Page 138: 2016年度秋学期 応用数学(解析) 第15回 ルベーグ積分 (2017. 1. 19)](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052514/5883b79d1a28ab5c378b4d85/html5/thumbnails/138.jpg)
2016年度秋学期 応用数学(解析)
A. A
sano
, Kan
sai U
niv.
今日のまとめルベーグ積分 x軸を細かく分割するのではなく, y軸を分割して,それにしたがってx軸が 分割される
x軸でなくても ルベーグ可測な集合に対する可測関数ならOK 例:事象の集合と確率
分割されたx軸の区間の長さはルベーグ測度 で測るから,区間が可算無限個あってもよい