Симулативен изпит – УАСГ 30.06.2013 г.

1. Задача (6 точки) Дадена е функцията 2( ) 9 4 .3 4 2 1x xf x k k k= − + − + , където k е реален параметър. а). (2 точки) Да се реши уравнението ( ) 0f x = при 1k = . б). (2 точки) Да се реши неравенството ( ) 4f x < при 3k = . в). (2 точки) За кои стойности на параметъра k уравнението ( ) 0f x = има

реални корени 1x и 2x , за които 1 2 1x x+ < .

2. Задача (7 точки) В окръжност с радиус 1 е вписан трапец ABCD с основа 2AB = и остър ъгъл между диагоналите ϕ . а). (3 точки) Да се докаже, че лицето на трапеца е равно на ( )1 cos sinϕ ϕ+ .

б). (2 точки) Да се намерят височината и другата основа на трапеца. в). (2 точки) За коя стойност на ϕ лицето на трапеца е най-голямо? 3. Задача (7 точки) В четириъгълна пирамида ABCDM с връх M околният ръб MC е перпендикулярен на равнината ( )ABC , ABCD е правоъгълник със страни 1AB = и

3AD = и AM сключва с равнината на основата ъгъл 60° . а). (3 точки) Да се намери обемът на пирамидата. б). (2 точки) Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина ρ , минаваща през BD и успоредна на AM . в). (2 точки) Да се намери разстоянието между правата AB и пресечницата на равнините ( )ACM и ρ .

Забележка: Оценката е линейна функция ( )F p ap b= + на броя на получените точки p . Стойностите на параметрите a и b се определят от Ректората.

Пожелаваме ви успех!