20131iln230s3 apuntes primera parte

8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte

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Ingeniería Económica – ILN 230

Profesores

Fredy Kristjanpoller [email protected]

Nicolás Cohen [email protected]


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Ingeniería EconómicaPrimera Parte: Matemáticas Financieras

Profesores

Fredy Kristjanpoller [email protected]

Nicolás Cohen [email protected]


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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 3

¿Ingeniería Económica?

Herramientas matemáticas de decisión paracomparar racionalmente alternativaseconómicas, de modo de seleccionar las másconveniente.

Permite evaluar aspectos económicos dediferentes alternativas que pueden cumplir un

cierto objetivo.


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Contenidos

• Matemáticas Financieras

– Valor del Dinero en el tiempo.

– Interés

– Tasa de Interés (simple, compuesto, nominal,

efectivo,continua).

– Valor Futuro

– Pagos Periódicos (PAYMENT).

– Gradientes (decrecientes, crecientes, escalada).


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– Interés interperiódico

– Bonos

– Inflación

– Amortización – Depreciación. Tipos de Depreciación

– Flujo de Caja

Contenidos


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Contenidos

• Indicadores Económicos

– Valor Actual Neto (VAN)

– Costo anual uniforme equivalente (CAUE)

– Tasa Interna de Retorno (TIR)

– Costo Capitalizado

– Tasa de Rentabilidad (TIR Modificada)

– Razón Beneficio/Costo , Ivan, Payback (Tiempo de Pago)


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Contenidos

• Análisis Económicos – Reemplazo de Equipos.

– Leasing.

– Evaluación de Inversiones.


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Valor del dinero en el tiempo

¿Es mejor recibir$100.000 hoy o enun año más?

R: Es mejor recibir el dinero hoy:

• Dentro de un año ese dinero sedesvalorizará debido a la inflación (entérminos generales, rara vez puede ocurriruna deflación por un periodo prolongado).

• Se pierde la oportunidad de invertirlo enalguna actividad que, además de protegerde la inflación me puede generar unautilidad adicional

El valor del dinero se refiere al poder adquisitivo que tiene eldinero en el tiempo. Debido al ejemplo, se puede concluir queel dinero actual “vale”más que el dinero futuro


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Algunas DefinicionesBien o recurso económico circulable y, por lo tanto, su

uso o posesión ocasiona un costo o un beneficio, cuya

magnitud depende tanto de la valoración que se le dé,como del tiempo de usufructo de dicho bien.

“Valor del dinero en el tiempo”.

“Valor recibido o entregado por el uso del dinero através del tiempo”.

“Utilidad o ganancia que genera un capital”.

Precio que se paga por el uso del dinero que se tieneen préstamo durante un tiempo determinado”

“Rendimiento de una inversión”

Dinero

Interés


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Interés

Ejemplo: Pido prestado 100.000 y tengo que

devolver 105.000. El interés pagado es $5.000

Por lo tanto......

Interés = Monto Final – Monto Inicial


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Tasa de InterésPorcentaje del monto inicial en un tiempo determinado

Monto Inicial = $100.000

Interés = $5.000. Por lo tanto:

100InicialMonto

Interés (%)InterésdeTasa •=


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Interés - Nomenclatura – VP, valor presente o actual de la suma de dinero o capital (Principal).

– VF, valor futuro, valor en el cual se convierte una suma de dinero

durante un tiempo determinado.

– PMT (Payment), serie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin

de período . – n, número de períodos de interés.

– I, valor de un interés devengado por una suma prestada durante un

cierto tiempo.

– i, tasa de interés por período.


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Diagramas Económicos

Representación gráfica de los flujos de efectivo trazados

en una escala de tiempo.

Permite visualizar un problema, facilitando así su

definición y análisis. Consta de una línea horizontal, dividida en intervalos de

tiempo, y de flechas verticales que representan los

ingresos y egresos.


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Diagramas Económicos

Ingresos

0 1 2 3 …… N tiempo

Presente Egresos


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Interés Simple

Es el interés que se aplica tomando solamente elMonto Inicial. Se ignora cualquier interés quepueda acumularse en los períodos precedentes


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Interés Compuesto

Es el interés que se calcula sobre el Monto Inicialmás la cantidad acumulada de intereses enperíodos anteriores. Es decir, se cobra interéssobre el monto inicial más el “interés sobre losintereses”

Este interés es el que

mejor representa el valor

del dinero en el tiempo


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Cálculo del Valor Futuro

niVPVF )1( +⋅=

Donde: VF = Valor FuturoVP = Valor Presentei = Tasa de Interésn = Períodos de Capitalización

Cuando se utiliza interés simple, el cálculo del valor futuro se

realiza por medio de la siguiente fórmula:

)1( niVPVF ⋅+⋅=

Si se utiliza interés compuesto, el valor futuro se calcularásegún:


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Ejemplos

1) Se ha obtenido un préstamo de $1.000 a interés simple con

una tasa del 6% anual. ¿Cuánto debería pagar en dos añosmás? ¿Cuánto estoy pagando en intereses?

120.112,1000.1)206,01(000.1 =⋅=⋅+⋅=VF

Debo pagar $1.120 al cabo de dos años

Solución: )1( niVPVF ⋅+⋅=

120000.1120.1 =−= Intereses

InicialMonto-FinalMontoInterés =


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2) Con el mismo ejemplo anterior, responder las preguntasconsiderando interés compuesto. Compare.

124.16,123.11236,1000.1)06,01(000.1 2 ≈=⋅=+⋅=VF

Debo pagar $1.124 al cabo de dos años

Solución:

124000.1124.1 =−= Intereses

InicialMonto-FinalMontoInterés =

niVPVF )1( +⋅=

Note que tanto VF como el

interés son mayores que enel caso de interés simple

Ejemplos


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Interés Efectivo y Nominal

Interés nominal (r ): La tasa de interés del período por el

número de períodos.

“Nominal” significa “aparente o pretendido” es decir, unatasa nominal no es real, por lo que se debe convertir a

una tasa efectiva

Interés efectivo (i ): Aquella que mide realmente elinterés otorgado o cobrado.

Analicémoslo con un ejemplo:


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A) 1.000 pesos depositados al 10% anual EFECTIVO

1.000 1.100 Al cabo de un año

B) 1.000 pesos depositados al 10% anual concapitalización semestral (NOMINAL)

1.000 1.050 1.102,5

5% 5%

5% en cada Semestre(período de Capitalización)

Equivalente a un interés efectivo anual de 10,25%

Interés Efectivo y Nominal

Ejercicio 1


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Conversión de una tasa nominal a una

efectiva

En general podemos calcular la tasa de

interés efectiva a partir de una tasa de

interés nominal, por medio de la siguiente

fórmula:

¿Cómo se calculó la

tasa de interés efectiva

en el ejercicio anterior?


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11 −

+=

m

m

r i

Donde:i = tasa de interés efectivo

r = tasa de interés nominal

m = número de capitalizacionesque ocurren dentro del períodoindicado en el enunciado de la tasade interés nominal

Conversión de una tasa nominal a una

efectiva


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Observaciones

•Cuando el período de capitalización NO ESTA DADO, la tasa

de interés es EFECTIVA

Conversión de tasas efectivas36512642 )1()1()1()1()1()1( +=+=+=+=+=+ D M BT S A iiiiii

Donde: iA = Interés Anual Efectivo

iS = Interés Semestral Efectivo

iT

= Interés Trimestral Efectivo

iB = Interés Bimestral Efectivo

iM = Interés Mensual Efectivo

iD = Interés Diario Efectivo


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Ejercicio

En los siguientes enunciados, indique: Tipo de interés, y el

período de capitalización, además calcule el interés efectivo endicho período.

Enunciado Tipo de Interés Periodo Cap. ief del período cap.

10% anual Cap.trimestral

Nominal Trimestre 2,5%

5% Semestral Efectivo Semestre 5%

Ejercicio 2 Ejercicio 3


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Interés efectivo para capitalizaciones

continuas

11 −

+=

m

m

r iSabemos que la fórmula

nos sirve para convertir una tasa de interés nominal en unaefectiva, pero qué ocurre si las capitalizaciones soncontinuas, es decir, ¿qué ocurre si m tiende a infinito?

En estos casos podemos calcular la tasa de interés efectivapor medio de la siguiente fórmula:

r ei


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Ejemplo:

Un banco aplica a los préstamos una tasa del15% anual concapitalización en segundo. ¿Cuál es es la tasa de interésefectiva?

Como en este ejercicio el valor de “m” será bastante grande,podemos estimar la tasa de interés efectiva usando la fórmulapara capitalización continua:

%183,1616183,0115,0 ==−= ei


continuas


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000.536.31606024365 =⋅⋅⋅=m

%196,1616196,01000.536.31

15,01

000.536.31

==−

+=i

Calculemos la tasa efectiva real:

Note que existe diferencia entre la estimación y el valorreal desde el 4to decimal (2do si se utiliza comoporcentaje).


continuas


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Payment (Pagos periódicos)

Despejando el PMT, tendremos:

( )( )

capitaldelónrecuperacideFactor...11

1 ==

−+

⋅+ C RF i

iin

n

En donde:

( )

( )

−+

⋅+⋅=

11

1n

n

i

iiVPPMT


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Payment (Pagos periódicos)

También se puede relacionar el PMT con el valor futuro:

( )

( )

( )

−+

⋅+

⋅=

−+⋅= 11

1

11 n

n

n i

ii

VPi

i

VF PMT

Este término se conoce como SFF (Factorde amortización de capital)


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Simulación


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Simulación


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Ejemplo Nº 1

El ayudante tiene en mente

comprarse un automóvildeportivo.

Si el vehículo cuesta

$7.000.000 y se deseapagarlo en 48 cuotasiguales.

¿Cuál será el valor de cada cuota si el interés es del 3%mensual? ¿Cuánto debería pagar El ayudante si decidieracancelar toda su deuda al final de la cuota 48?


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Solución

( )

( )

−+

⋅+⋅=

11

1n

n

i

iiVPPMT

Para calcular el valor de cada cuota solo necesitamos

ocupar la fórmula del Payment

Reemplazando, tendremos:

( )

( ) 045.277

103,1

03,003,1000.000.7

48

48

=

−

⋅⋅=PMT

Por lo tanto, El ayudante deberá pagar cuotas de$277.045


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Para calcular cuanto debería pagar si decidiera cancelar

toda su deuda al final de la cuota 48, podemos utilizar lafórmula del Payment o simplemente llevar a valor fururo

el valor inicial del vehículo:

( ) ( ) 824.925.2803,0

103,1045.27711 48

=

−⋅=

−+⋅=

iiPMT VF

n

O simplemente:

( ) ( ) 763.925.2803,1000.000.71 48 =⋅=+⋅= niVPVF

(La pequeña diferencia entre estas dos cifras se debe solo a la

aproximación usada en el cálculo del PMT)

Solución (continuación)


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Ejemplo Nº 2 , Caso Real:

Una gran y conocida, tienda por departamento, ofrece paratodos sus clientes ofertas vacacionales . Estas ofertas

pueden ser canceladas de dos maneras: precio contado y

cuotas fijas. Determine la tasa de interés compuesto y elvalor de las cuotas (6), que debe asumir el cliente si opta

por unas vacaciones de Invierno en Punta Cana. ¿Usted

encuentra ésta, una tasa “razonable”?


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Continuación Ejemplo Nº2


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( )( )

−+

+=11

*1*048.5106

6

iiiPMT

Aplicando la fórmula llegamos a un resultado de 6cuotas de $94.473 pesos, encuentra usted la tasa

encontrada de interés razonable?

Continuación Ejemplo Nº2

Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6


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Gradientes

Otra alternativa es que los flujos vayan variando en el tiempo,ya sea en forma fija (uniforme) o en cierto porcentaje(escalada).

F3F1 FN

0 1 2 3

n

F2 O sea, los flujos yano serán igualesen cada periodo


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Gradiente Uniforme

En este caso, el aumento en los flujos

es constante.

Denominamos P al valor base (que no cambia) yG al aumento período a período

P+G P+2GP P+(n-1)G

0 1 2 3 n


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Gradiente Uniforme (Continuación)

Nótese que el primertérmino corresponde alPayment de los flujosconstantes

Al obtener una relación que lleve todos los flujos a Valor

Presente:

+

−

⋅+

−+±

⋅+

−+⋅=

nn

n

n

n

i

n

ii

i

i

G

ii

iPVP

11

11

1

110

Signo positivo si el gradientees creciente, negativo si esdecreciente


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P = 1.000 G=100

Periodo Flujo

1 1.000

2 1.100

3 1.2004 1.300

5 1.400

El primer paso es determinarla Cantidad Base (P) y elGradiente o aumento (G)

Ejemplo: Considere los siguientes flujos:

Interés: 4% por período


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( )( )

( )( ) ( )

+

−⋅+

−++

⋅+

−+⋅=

55

5

5

5

004,01

5

04,004,01

104,01

04,0

100

04,004,01

104,011000VP

Reemplazando:

( ) [ ]1096,44518,4·25004518,410000 −+⋅=VP

53073,53075,8558,44510 ≈=+=VP

El primer términorepresenta sólo losdepósitos de 1000

El segundo término representa lossucesivos incrementos de 100cada uno.


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Gradiente en escalada

También es posible que el aumento en los

flujos sea en determinado “porcentaje”

P(1+E) P(1+E)2P P(1+E)n-1

0 1 2 3 n

Donde E = porcentaje deaumento del flujo


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Gradiente en escalada (continuación)

Nuevamente, podemos llevar a valor presente todos

los flujos con una sola expresión:

−

+

+⋅

−= 1

1

1

0

n

i

E

iE

PVP

Entonces, si se dice que los flujos

van aumentando en un 15% y elinterés es de un 10% E = 0,15i = 0,1



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Interés interperiódico

1) No se paga interés sobre el dinero depositado (oretirado) entre períodos de capitalización.

2) El dinero depositado (o retirado) entre períodos decapitalización gana interés simple

El cálculo del valor futuro o presente depende de las

condiciones existentes para los interperíodos decapitalización, que en general corresponden a unos desiguientes dos casos:


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A través del siguiente ejemplo, veamos como se realizan los

cálculos de los dos casos:

El siguiente diagrama de flujos muestra los depósitos ygiros que realizó una persona en su cuenta de ahorros

durante 12 meses. Calcular la cantidad de dinero tienedicho individuo al final de los 12 meses si el banco pagaun interés del 3% trimestral y:

a) No paga interés interperiódico.

b) Paga interés interperiódico a los depósitos, pero no a losgiros.


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90 900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

50 30 30 50

50 20 70 70 40

(Depósitos)

(Giros)

Solución:

a) En este caso los depósitos se consideran como si sedepositarán al comienzo del siguiente período de capitalización,mientras que los giros se consideran como efectuados al final delperíodo de capitalización anterior.



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En el diagrama de flujos:

0 1 2 3 4 5

90 90

6 7 8 9 10 11 12

50 30 30 50

50 20 70 70 40

0 1 2 3 4 5

90

6 7 8 9 10 11 12

90+50 30+30 50

50 20+70 70+40

Luego tendremos:



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I t é i t iódi


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0 1 2 3 4 5

90

6 7 8 9 10 11 12

50

50 20+70 70+40

)3

203,01(9050 ⋅+⋅+ )

3

103,01(30)

3

203,01(30 ⋅+⋅+⋅+⋅

Análogo al caso anterior:

0 1 2 3 4 5

90 90

6 7 8 9 10 11 12

50 30 30 50

50 20 70 70 40

Pero ahora los depósitos interperiódicos ganan interéssimple:


I t é i t iódi


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Ahora calcula de la siguiente manera la cantidad de dinero quetiene el individuo al final de los 12 meses:

50)03,1(110)3

03,01(30)

3

203,01(30)03,1()

3

203,01(9050)03,1(90)03,1(40 23412 +⋅

−+⋅+⋅+⋅+⋅

⋅+⋅++⋅−⋅=VF

9712

=VF Calculando:


Ejercicio 9

A ti ió


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Amortización

A la hora de cancelar un crédito en cuotas, existen dosalternativas en las formas de pago:

a) Con cuotas iguales b) Con amortización

Periodo Principal Amortización Interés Cuota

1

0

2

Deuda

Amortización (continuación)


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Amortización (continuación)

Periodos de Gracia: Independiente del

método de pago, son períodos en losque sólo se cancelan los Intereses, sinpagar nada del Capital

Amortización Cuotas Iguales


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Amortización Cuotas Iguales

Calculamos el Valor de la Cuota como un Payment de n

períodos e interés i. O sea CUOTA = PMT

PMT

PMT

B=A·iC=PMT-BD=A-C


1

0

2

A

Amortizaciones iguales


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Amortizaciones iguales

El valor de la amortización se fija :

AMORT

AMORT

B=A·iC=A-AM D=AM+B


1

0

2

A

Amortización: Ejemplo


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Amortización: Ejemplo

Se pide un préstamo de $1.000.000, a pagar en unperíodo de 3 años en cuotas anuales, con un interés

anual del 10%. Se dan 2 años de gracia. Calcule lospagos por ambos métodos.

A) Cuotas Iguales Calculo cuota, como Payment

( )

( ) 115.402

11,1

1,01,1000.000.1

3

3

≈

−

⋅⋅=PMT

B) Amortización Igual334.333

3

000.000.1≈= AMORT



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402.115

402.115

100.0001

0

2

1.000.000


4

5

3 402.115

1.000.000

1.000.000

697.885

365.559

0

100.000

69.789

36.556

100.000

100.000

100.000

302.115

332.326

365.559

Cuota Igual



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400.000

366.667

100.0001

0

2

1.000.000Periodo Principal Amortización Interés Cuota

4

5

3 433.333

1.000.000

1.000.000

666.667

333.334

0

100.000

66.667

33.333

100.000

100.000

100.000

333.333

333.333

333.334

Amortización Igual

Ejercicio 10

Bonos


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Bonos

Es una obligación a largo plazo, emitida por una corporación oentidad gubernamental, con el propósito de conseguir el capital

necesario para financiar obras importantes

Los bonos se utilizan frecuentemente, cuando se hace difícil elpréstamo de grandes cantidades de dinero de una sola fuente o

cuando deban pagarse en un largo período de tiempo

Condiciones de pago


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Condiciones de pago

Estas condiciones se especifican en el momento de emitirlos bonos e incluyen en Valor nominal de bono, La tasa de

interés del bono, el período de pago de interés y su fechade vencimiento.

•Los intereses se pagan periódicamente

•En la fecha de vencimiento se paga el Interéscorrespondiente más el valor nominal del bono

Observaciones


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Observaciones

•Los bonos pueden ser comprados y vendidos en el mercado

abierto, por personas diferentes al beneficiario original delbono

A usted le ofrecen un bono de $10.000 cuya tasa deinterés es de 3% semestral y paga los intereses

semestralmente. Si la fecha de vencimiento será en 15 años,¿Cuánto pagaría hoy por el bono si desea ganar 4% deinterés semestral?

Ejemplo:

Solución


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Solución

Los intereses pagados semestralmente ascienden a:

El diagrama de flujos será:

Continúa...

30003,0*000.10 == I

300 300300 300+10.000

0 1 2 3 30

P

Solución


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Luego

Reemplazando, tendremos

Por lo tanto, usted estaría dispuesto a pagar $8271 por elbono.

( )( ) ( )nn

n

iVN

iii I P

++

⋅+

−+⋅=11

11

( )

( ) ( ) 271.8

04,01

000.10

04,004,1

104,1300

3030

30

=+

+

⋅

−⋅=P

Solución

Bonos de Mercado


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Bonos de Mercado

Un ejemplo de estos, es un bono emitido por el Banco

de Chile, este posee, las siguientes características:

•Valor nominal: 10.000 U.F.

•Tasa de interés: 6.5% anual.

•Moneda de pago: Expresado en Unidades de fomentoy se pagara en el equivalente en pesos.

•Reajustabilidad: Unidades de Fomento

•Cupones: 30 cupones para el cobro de intereses yamortización.

Continuación ejemplo


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j p

•Periodo de Gracia: 5 años.

•Emisión: La emisión es por un valor nominal de5.000.000 de Unidades de Fomento, dividida en dos seriesde 250 bonos de 10.000 U.F. Cada una.

•Transferibilidad: Al portador.Junto con esta información, cada cupón debe tener comodato: el numero de serie, el numero de titulo, la fecha depago de ese cupón, la amortización, el interés y el total.



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V.N.


72/129

Ejercicios Bonos


73/129


j


Inflación


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Con $100 de hoy no puedocomprar la misma cantidad debienes o servicios como pude

en el año 1980...

Es debido a la Inflación.Esto es porque el valor deldinero ha decrecido comoun resultado de dar más

dinero por menos bienes.

Cálculos del valor futuro considerando


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inflación

En los cálculos de valor futuro, se debe reconocer que la suma de

dinero futuro puede representar una de las cuatro diferentescantidades:

* Cantidad Real de Dinero

* Poder de Compra

* Número de pesos de entonces requeridos

* Ganancia de interés sobre inflación

A continuación se analizará cada uno de estos casos...

1) Cantidad real de dinero


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No toma en cuenta la existencia de la inflación.

Se limita sólo a calcular la cantidad de dinero que seobtendría con un interés dado.

El cálculo del valor futuro es a través de la fórmulatradicional:

n

iVPVF )1( +⋅=

Ejemplo


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Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros

con10% anual de interés por 8 años.

¿Cuál será la cantidad de dinero que obtendrá ?

Por lo tanto en 8 años más usted tendría $214.359

359.214)1,01(000.100 8 =+⋅=VF

2) El poder de compra


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En el ejemplo anterior, al cabo de 8 años usted tendríamás del doble del dinero que depositó inicialmente. Sinembargo, probablemente no podrá comprar el doble decosas que hubiera podido comprar en un principio.

¿Por qué?

La respuesta es simple, los precios se han incrementadodurante la inflación.

El poder de compra (continuación)


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Una solución sería llevar a valor presente el valor futuro

obtenido con la tasa de interés. Para llevar a valor presente sedebe considerar la tasa de inflación (f), es decir, en la fórmulareemplazar el “i” por el “f”.

El dinero que recibiré ¿Cómo lo puedo comparar con eldinero inicial?, es decir, ¿Cómo puedo comparar el poder decompra del futuro con el actual?

En fórmulas...



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Llevamos a valor futuro el depósito:

n f iVPVF )1( +⋅=

Finalmente este valor lo llevamos a valor presente (en donde

reemplazaremos “i” por “f”):

( )

( )

( )n

n f

n f

iVP

f

VF V +

+⋅=

+= 1

1

1



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Para realizar este cálculo, podríamos utilizar la tasa de interésreal (ir ), la cual representa la tasa a la cual el dinero presente se

transformará en dinero futuro equivalente con el mismo poder decompra .

La fórmula sería:

n

r n

n f iVP

f

iVPV +⋅=+

+⋅= 1

1

1

Donde:

f f ii

f

r +

−=

1

Ejemplo


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Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorroscon10% anual de interés por 7 años.

La tasa de inflación se espera de 8% anual. La cantidadde dinero que puede acumularse con el poder de comprade hoy sería:

Veamos lo que ocurre si utilizamos la tasa de interés realpara realizar los cálculos:

( )( )

706.11308,01

1,01000.1007

7

=+

+⋅=V

Ejemplo


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%8519,108,01

08,01,0

1=

+

−=

+

−=

f

f ii

f

r

( ) 706.113018519,1000.100)1( 7 =⋅=+⋅= nr iVPV

Calculamos la tasa de interés real:

Luego:

Tal como se esperaba, se obtuvo el mismo resultado.

3) Números de pesos de entonces requeridos


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Comprar algo en una fecha futura requerirá más pesosque los requeridos ahora para la misma cosa.

Notar que este caso también reconoce que los precios seincrementan durante los períodos inflacionarios

El cálculo del valor futuro se efectúa por medio de lasiguiente fórmula:

n f VPVF

4) Ganancia de interés sobre Inflación


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Mantiene el poder de compra y la ganancia de interés.

nn i f VPVF )1()1( +⋅+⋅=

Para mantener el poder de compra podemos utilizar la fórmuladel caso 3, es decir, calculamos “el número de pesos deentonces requeridos”. Luego, a este valor se de debe agregar

la ganancia de interés, este cálculo es análogo al caso 1.La formula quedaría:

Ganancia de interés sobre Inflación


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También podemos usar la llamada tasa de interés inflada (if ):

En donde se cumple que:

n

f

n

r

n

iVPi f VPVF )1()1()1( +⋅=+⋅+⋅=

f f iii r r f +⋅+=


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Ingeniería EconómicaPrimera Parte: Matemáticas Financieras

Ejercicios

ProfesoresFredy Kristjanpoller R.

[email protected]ás Cohen A.

[email protected]

Ejercicio 1Nominal v/s Efectivo


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1.- Un amigo suyo le cuenta que ha hecho un depósito de$ 1.000.000 en un Banco que, según él, le ofrece unatasa de interés de 12% anual. Al final del primer mesrevisa su estado de cuenta y encuentra que los intereses

recibidos en ese período son de $ 9.489. ¿Cómo ustedexplica y demuestra a su amigo lo que ha pasado, paraque no vaya al Banco a pedir que le expliquen lo queusted ya sabe?

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Ahora si la tasa hubiese sido 12% anual con capitalizaciónmensual:

01,0=mi

000.010.1)1(* 1

=+= iVPVF

12*m A ii =

000.10$= I

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2.- Una familia decide comprar a crédito un auto nuevo. El

plan de pagos exige un pago inicial de US$ 1.000 ahora(año 0), US$ 2.000 en el año 3 y cuatro pagos anuales deUS$ 500 cada uno desde el año 3 hasta el año 6, ademásde un pago final de US$ 1.000 en el año 8. La tasa de

interés es de 13% anual capitalizada trimestralmente.¿Cuál es el valor del auto hoy?

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Solución:0 1 2 3 4 5 6 7 8

1.000 1.000

2.000

500 500 500 500

Calculemos la tasa anual efectiva:

%13= A

i Capit. Trimestral 4*tri A ii =

0325,0=

trii 136476,0=

A

i (efectiva)

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Ahora, calculemos el VP del auto:

86543 )136476,1(

000.1

)136476,1(

500

)136476,1(

500

)136476,1(

500

)136476,1(

500.2000.1 −−−−−−=VP

35,35906,23274,26373,29917,073.1000.1 −−−−−−=

858.3$ −=VP

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Usted desea realizar dos depósitos iguales, el primero de loscuales lo efectuará dentro de dos años y el segundo dentrode 5 años. Además quiere hacer 4 retiros anuales iguales de$10.000 cada uno a contar de un año después de haberhecho el segundo depósito. Por último desea retirar $35.000

un año después de que la serie de retiros termine. Se le pideque determine el monto de los depósitos. Considere unatasa de interés de un 6% semestral capitalizadatrimestralmente.

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1 2 3 4 5

0 6 7 8 9 10

X X

10.000 35.000

is = 6% semestral capit. trimestral is = itri* 2itri= 0,03 (3%)

(itri + 1)4

= (iA + 1) iA = 0,12550881iA = 12,55088 %

Solución:

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El Valor Presente de los retiros debe ser igual al de los

depósitos: VPretiros = VPdepósitos

987610 12550881,110000

12550881,110000

12550881,110000

12550881,110000

12550881,135000 ++++

Entonces calculamos el VP de los retiros:

29,353.2732,345037,388377,437034,491949,729.10 =++++=

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Ahora, igualamos el VP de los depósitos al de los retiros:

29,353.2712550881,112550881,1 52

=+ X X

Así obtenemos el valor de los depósitos:

08139,403.49*425760887,2 = X

0145,366.20= X

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Ejercicio 4Payment


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2.- Usted ha recibido una herencia hoy de $5.000.000 con la cual deseacomprar un auto de $4.000.000 y abonar $1.000.000 al arancel de laUniversidad, con lo cual se quedaría “sin ningún peso”. Tiene la posibilidad

de invertir su plata en un depósito en UF mensual el cual le otorgaría unatasa de interés de 0,7% o tiene la posibilidad de invertir en una cuenta deahorro en pesos. La tasa de inflación esperada es de un 0,5% mensual y elvalor de la UF hoy es de $17.000. Basado en un análisis de IngenieríaEconómica que opción le conviene más de las siguientes:

a) Gastar toda la plata hoy según lo establecido.

b) Hacer un depósito en UF y realizar los gastos en 24 meses más.

c) Hacer un depósito en pesos y realizar los gastos en 24 meses más.

Nota: Considere que tanto la UF, como el valor del auto y el arancel de laUniversidad se verán afectados por la inflación en el lapso de 24 meses.

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Ejercicio 4Payment


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UF11,294000.000.5 ≡=VP

Alternativa A ldiferencia0000.000.1000.000.4000.000.5 ⇒+=

Alternativa B 7,347100

7,011,294

24

=

+⋅=VF

Los gastos crecen según lainflación 88,798.635.5$

100

5,01000.000.5

24

=

+⋅=VF

7,161.19$100

5,01000.17

24

=

+⋅=VF La UF crecerá

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Ejercicio 4Payment


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Por lo tanto, tenemos 347,7 UF,

cada una a $19.161,7091,892.662.6=VF

551,086.027.1=lDiferencia

Alternativa C (en $)012035,0

100

7,0

100

5,0

100

7,0

100

5,0=⋅++=F i

Depósito

Gastos

( ) 09,892.662.6$012035,01000.000.5 24 =+⋅=VF

88,798.635.5$

100

5,01000.000.5

24

=

+⋅=VF

21,093.027.1=lDiferencia Se elige B o C, porque se cubren losgastos y se gana algo

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Ejercicio 5Payment


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1.- Usted desea ayudar a su padre en la compra de un computadorPC. El precio contado hoy en una Casa Comercial es de $800.000 yla tasa de interés que aplica a las compras a crédito es de un 2%mensual. En otro local se vende el mismo PC con un precio contadode $700.000, o a crédito en 24 meses con cuotas de $41.333. Otraopción es que existe un Banco que le presta $700.000 hoy y se ledebe pagar $1.180.102 en 24 meses más; o le presta $800.000 hoyy se le debe pagar $1.348.688 en 24 meses más. Su padre no tienehoy el dinero y desea comprar a 24 meses. ¿Qué opción lerecomendaría Ud. a su padre y por qué, basándose en susconocimientos de ingeniería económica?

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Ejercicio 5Payment


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Alternativa 1: Casa Comercial

8778,296.42102,102,002,1000.800

24

24

=

−⋅⋅=PMT

000.800=VP %2= N i

Alternativa 2: 333.41=PMT 000.700=VP

Alternativa 3: Banco 1

( ) %2,21 24

=⇔+⋅= iiVPVF

000.700=VP 102.180.1=VF

854.37=PMT

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Ejercicio 5Payment


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Alternativa 4: Banco 2

( ) %2,21 24 =⇔+⋅= iiVPVF

000.800=VP 688.348.1=VF

261.43=PMT

Por lo tanto, por tener la menor cuota, pido

al banco $700.000 (alternativa 3) y pago alcontado la alternativa 2

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Ejercicio 6Payment


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Dado que el verano recién pasado se “vio corto de plata”, se hadecidido a que le próximo verano será mejor, para lo cual ha

abierto una cuenta de ahorros en el Banco “Billetón”. Dichacuenta le garantiza una tasa de interés del 12% anualcapitalizado mensualmente. Hoy es 16 de marzo del 2004 yusted desea ahorrar hasta el 16 de diciembre del 2004, haciendoel primer depósito hoy. Ha estimado que con $220.000 a esafecha usted tendría un buen pasar (además de lo que le pase suabuelita). Sin embargo en septiembre usted no realizará ningún

ahorro debido a los gastos por el 18. ¿Cuánto deberá ahorrarcada mes, comenzando desde ahora hasta diciembre, paralograr un “verano feliz”?

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Ejercicio 6Payment


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Solución:

Realizamos el diagrama de flujo de la situación dada:

DSJ

P PP

O N

PP

J A

P PP

M A M

P

963 7 84 50 1 2

Debemos calcular el interés mensual efectivo:

%112

%12==mi

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Ejercicio 6Payment


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Ahora hay que calcular el valor futuro (al 16 de

diciembre) de los flujos:

Podríamos llevar cada flujo a diciembre, pero estosería un método “muy carretero”.

Otra alternativa sería usar las fórmulas del Payment:

( )

−+⋅=

11 niiVF P

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Ejercicio 6Payment


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( )

−+⋅=

i

iPVF

n11

Despejando VF:

Ahora solo debemos ocupar adecuadamente lafórmula:

( ) ( ) ( ) PPPVF D ⋅=

−⋅+⋅

−⋅= 4319,9

01,0101,101,1

01,0101,1

3

4

6

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Ejercicio 6Payment


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Pero sabemos que el VFD(VF

9)=$220.000, luego:

325.23$4319,9

000.220==⇒ P

Por lo tanto debería ahorrar $23.325 cada mes.

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Ejercicio 7Gradiente


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1.- Ud. desea ir con unos amigos a pasar las vacaciones de Verano en dosaños más a Australia. Ya ha realizado las averiguaciones correspondientes y

ha encontrado los siguientes costos actuales individuales: US$2.200 para lospasajes; US$1.900 para hospedaje; US$1.750 para comer; y US$3.000 paraviajes, imprevistos y regalos. Para juntar el dinero Ud. decide utilizar losconceptos aprendidos en sus clases de Ingeniería Económica haciendodepósitos en el banco a partir del próximo mes, a los cuales usted aplicará

una tasa de crecimiento voluntaria de un 0,53% mensual. Si la tasa de interésofrecida por el banco a sus depósitos es de un 18% anual capitalizadacontinuamente, ¿cuál debe ser el monto a depositar los meses 1, 12 y 24?

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1.- Solución

0053,0%53,0 ≡=E 850.8000.3750.1900.1200.2 =+++=VP0 1 24

D

D·(1+E)23

19721736,0110018

=−= ei A ( ) ( ) 015113,011 12

=⇒+=+ mm A iii

( )( )

−

+

+⋅

−== 1

1

1850.8

24

24

i

E iE

DVP

Regresar



111/129


616,41719169,21850.8 =⇒⋅= D D

616,4171 = D

( ) 619,4421 11112 =+⋅= E D D

( ) 604,4711 23124 =+⋅= E D D

Por lo tanto:

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Aprovechando las bajas tasas de interés que presenta el mercado financieroactualmente usted ha decidido endeudarse por $ 8.000.000 para hacer los arreglosque siempre ha soñado hacer a su casa. Sin embargo, ningún banco quiereprestarle el total establecido, así que usted ha decidido pedir a dos bancos al mismotiempo. En el Banco 1 se pacta un préstamo a 5 años donde usted debe pagar unacantidad P el primer mes y a partir del segundo mes hasta el 60º debe aumentar en $5.000 cada pago. La tasa de interés que le aplica este banco es de 0,8% mensual.

En el Banco 2 usted también debe pagar la misma cantidad P el primer mes, y desdeel 2º mes en adelante debe aumentar sus pagos en 0,5% hasta el mes 60º. La tasade interés en este banco es de un 1% mensual.

Se le pide que calcule el monto que debe pedir en cada uno de los bancos, y el

monto del pago del último mes en cada uno de ellos.

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114/129



115/129


Finalmente tenemos los montos a pedir y el valor del

último mes:

793.810

207.189.7

2

1

=

=

VP

VP

128.21

742.310

60

60

=

=

P

P

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Ejercicio 9Interés Interperiódico


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2.- Usted abrió una cuenta de ahorro que le daba una tasa deinterés del 6% anual capitalizado trimestralmente hace un añocon $ 200.000. Luego fue haciendo depósitos de $ 50.000cada mes hasta ahora. Sin embargo, dado algunos imprevistosusted tuvo a la vez que girar dinero desde su cuenta los meses

5 y 9 por $ 100.000 cada uno. ¿Cuánto dinero tieneactualmente en su cuenta, si el banco aplica interés simple alos movimientos interperiódicos? ¿Si hubiera sabido deIngeniería Económica cómo hubiera hecho los movimientos

para haber maximizado su ganancia?

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S l ió



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Solución:

%6= Ai Anual Capit. Trim. %5,14

6==trii

3)1()1( Menstri ii +=+ 004975206,0=meni

Tasa efectiva

0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12

200

100 100

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50

3

Regresar

000200



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000.1*

)2*0049752,01(

10050)1*0049752,01(*50)2*0049752,01(*50

000.200

3

0

+

−++++=

=

V

V

51867,731.513 =V

[ ] 000.1*50)1*0049,01(*50)2*0049,01(*506

++++=V

2809,746.1506 =V

[ ] 000.1*10050)1*0049,01(*50)2*0049,01(*509

−++++=V

2809,746.509 =V

[ ] 000.1*50)1*0049,01(*50)2*0049,01(*5012

++++=V

2809,746.15012

=V Regresar



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129

2

6

3

3

4

012

100

5,11*

100

5,11*

100

5,11*

100

5,11* V V V V V VF +

++

++

++

+=

Evaluando tenemos que:

5838,923.62312 =TOTALVF

Regresar


120/129

P i d P i i l A ti ió I t é C tP i d P i i l A ti ió I t é C t

Ejercicio 10Amortización


121/129


Regresar

1.089.3751

0

2

7.000.000


4

5

3

7.000.000

7.000.000

7.000.000

5.609.689 1.390.311

1.606.6784.003.011

2.146.294

(625)=0

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

2.479.686

2.479.686

2.479.686

2.479.686

873.008

622.9691.856.7176

7 334.0172.145.669

1.089.3751

0

2

7.000.000


4

5

3

7.000.000

7.000.000

7.000.000

5.609.689 1.390.311

1.606.6784.003.011

2.146.294

(625)=0

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

2.479.686

2.479.686

2.479.686

2.479.686

873.008

622.9691.856.7176

7 334.0172.145.669

Periodo Principal Amortización Interés CuotaPeriodo Principal Amortización Interés Cuota

Ejercicio 10Amortización


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Regresar

1.089.3751

0

2

7.000.000


4

5

3

7.000.000

7.000.000

7.000.000

5.250.000 1.750.000

1.750.0003.500.000

1.750.000

0

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

2.839.375

2.567.031

2.294.688

2.022.344

817.031

544.6881.750.0006

7 272.3441.750.000

1.089.3751

0

2

7.000.000


4

5

3

7.000.000

7.000.000

7.000.000

5.250.000 1.750.000

1.750.0003.500.000

1.750.000

0

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

1.089.375

2.839.375

2.567.031

2.294.688

2.022.344

817.031

544.6881.750.0006

7 272.3441.750.000

Ejercicio 11Bonos

Juan posee $5.000.000 y desea invertirlos de manera adecuada. Para esteefecto posee dos alternativas:


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efecto posee dos alternativas:

a. Comprar un bono en los $5.000.000, de valor nominal $10.000.000, con

cupones mensuales, una tasa de interés del 12% anual efectiva y un períodode maduración de 5 años.

b. Brindar un crédito a un amigo suyo por $5.000.000, quien se comprometea pagarlo en 60 cuotas mensuales de 10 UF.

Juan evalúa sus inversiones con una tasa de descuento del 18% anualefectiva en pesos. Las proyecciones de inflación para los próximos 5 añosson de 0,5% mensual. El valor de hoy de la UF es de $18.000.

Regresar


124/129

Ejercicio 11Bonos


125/129


Intereses del Bono = $10.000.000 * 0.009488793 = $94.888

Regresar

12( 1) ( 1) 0,009488793 A m mi i i mensual+ = + → =

( )

( ) ( )

60

60 60

1,013889 1 10.000.000$94.888

1,013889 0,013889 1,013889P

− = ⋅ + = ⋅

Ganancia Total= $3.216.649

– $8.216.649

VP Préstamo en UF = 10 / frc (0 8845% 60) = 464 0311 UF

Ejercicio 11Bonos


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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R.126

VP Préstamo en UF = 10 / frc (0,8845%, 60) = 464,0311 UF

→ 464,0311 * 18000 = $8.352.560

Ganancia Total = $3.352.560

Por lo tanto la mejor alternativa para Juan es el crédito

Regresar


127/129

Bono = 10.000, 10% , interés trimestrales, 5 años

Ejercicio 12Bonos


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mentetrimestral250

4

1,0000.10=

⋅= BONO I

Cuenta de Ahorro

semestralcioncapitaliza%10= Ai semestralefectivo%5=S i

Flujo de movimientos sólo para un año

0 1 5 6 72 3 4 8 9 10 11 12

250 250 250 250

50 50

Regresar

153535

Ejercicio 12Bonos


129/129


12100

515050

6

3

100

51250250

6

3

100

51250250

+⋅

−−

⋅+⋅++

⋅+⋅+=VF

( ) ( )112 05,110025,25625025,256250 ⋅−+++=VF

812,93212 =VF

000.108125,932100

518125,932

100

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20131iln230s3 apuntes primera parte

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