2013 ib física_tema_01
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Primer año de bachillerato El ambito de la física Orden de magnitud Sistemma Internacional de unidades Cifras significativas VectoresTRANSCRIPT
Primer año IB
La más fundamental de
las ciencias
El ámbito de la física
2013 - Hugo Vizcarra 2
La física es una ciencia que trata de explicar los fenómenos que rigen el comportamiento del universo, con ella modelamos los fenómenos y para lograrlo necesitamos definir las cosas que hay en el universo. Cada cosa es diferente por distintas razones, entre las más básicas tendríamos, su posición (concepto asociado con la distancia), su masa, el tiempo que tardan los cambios en las cosas, etc. Para cuantificar estas cantidades las compararemos contra estándares de medida, por ejemplo las distancias se expresan como múltiplos de una unidad básica llamada metro, las masas como múltiplos del kilogramo y los tiempos del segundo. En las ciencias experimentales como la física es indispensable realizar mediciones.
Física y la medición
Física y la medición
2013 - Hugo Vizcarra 3
El metro es la unidad de medida SI para la distancia, este patrón está definido como el trayecto que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de 1/299 792 458 de segundo. Su símbolo es (m).
El kilogramos es la unidad de medida SI para la masa, su patrón se define como la masa de un cilindro prototipo de platino-iridio, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres, Francia.
El segundo es la unidad de medida SI para el tiempo, su patrón está definido como la duración de 9 192 631 770 oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), a una temperatura de 0 K.
2007 - Hugo Vizcarra 4
Sistema internacional de unidades
Cantidad física
Unidad de medida
Designación o nombre
Símbolo internacional
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura termodinámica kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
Unidades básicas
2013 - Hugo Vizcarra 5
Las siete unidades básicas se definen buscando cumplir con:
1. Invariabilidad en el tiempo, el estándar no debe cambiar con el trascurrir del tiempo.
2. Accesible, para ser fácilmente comparado.
3. Fácilmente reproducible, así su uso se extiende.
Sistema internacional de unidades
2007 - Hugo Vizcarra 6
Sistema internacional de unidades
• Se llaman unidades derivadas a las que se obtienen como una combinación de las unidades base, dependiendo de la relación matemática entre las cantidades físicas involucradas. Por ejemplo, la rapidez media se obtiene mediante el cociente de la distancia recorrida y el intervalo de tiempo transcurrido. La unidad de medida de la distancia es el metro (m) y la del tiempo es el segundo (s), así que la unidad de medida de la rapidez es metro por segundo (m/s) que debería escribirse como (m s-1).
m/s
m/s
m s-1
m/s m s-1
m s-1
2007 - Hugo Vizcarra 7
Sistema internacional de unidades
Cantidad física
Unidad de medida
Designación o nombre Símbolo
internacional
Área metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Densidad kilogramo por metro cúbico kg m-3
Velocidad metro por segundo m s-1
Aceleración metro por segundo cuadrado m s-2
Masa molar kilogramos por mol kg mol-1
Momento magnético ampere metro cuadrado A m2
Unidades derivadas
2007 - Hugo Vizcarra 8
Sistema internacional de unidades
Cantidad física
Unidad de medida
Designación o nombre
Símbolo internacional
(a) (b)
Frecuencia hertz Hz s-1 s-1
Fuerza newton N kg m s-2 kg m s-2
Presión pascal Pa N m-2 kg m-1 s-2
Energía joule J N m kg m2 s-2
Potencia watt W J s-1 kg m2 s-3
Voltaje volt V W A-1 kg m2 s-3 A-1
Unidades derivadas con nombres especiales
2013 - Hugo Vizcarra 9
Sistema internacional de unidades
Múltiplos y submúltiplos
• Los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del Sistema Internacional se originan como una alternativa que busca simplificar la notación de cantidades grandes y pequeñas.
• Las uñas de un ser humano crecen con una rapidez media de 1,0 ×10−9𝑚 𝑠-1, esta cantidad se podría escribir de una forma más simple utilizando el profijo nano que tiene un valor equivalente a 𝑛 = 10−9. En este caso la rapidez quedaría como 1,0 nm s-1.
• Dichos múltiplos no deben ser considerados como unidades de medida del SI, sino que deben ser denominados múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI.
• Ejemplo: kilometro (km) no es una unidad de medida, es un múltiplo decimal de la unidad metro.
2007 - Hugo Vizcarra 10
Sistema internacional de unidades
Factor por el que se multiplica la
unidad
Prefijo
Nombre Símbolo
1024 yotta Y
1021 zetta Z
1018 exa E
1015 peta P
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 kilo k
102 hecto h
10 deca da
Prefijos del Sistema Internacional de Unidades
Factor por el que se multiplica la
unidad
Prefijo
Nombre Símbolo
10-1 deci d
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro µ
10-9 nano n
10-12 pico p
10-15 femto f
10-18 atto a
10-21 zepto z
10-24 yocto y
Ejemplos Correcto Incorrecto
metro m mts, mt, Mt, M, m. mt.
kilogramo kg kgr, kgrs, Kilo, KG, Kg
gramo g gr, grs, Grs, g.
litro l o L Lts, lts, lt, Lt
kelvin K °K, k
centímetro cúbico cm3 cc, cmc, c.c.
kilómetro por hora km h-1 kph, kmxh
1. Las unidades de medida, sus múltiplos y submúltiplos sólo podrán designarse por sus nombres completos o por los símbolos correspondientes reconocidos internacionalmente.
Reglas del Sistema Internacional
2007 - Hugo Vizcarra 11
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2. Los símbolos de las unidades de medida, múltiplos y submúltiplos decimales, deberán representarse mediante letras rectas y verticales (no cursiva) .
3. No se colocarán puntos luego de los símbolos de las unidades de medida o de sus múltiplos o submúltiplos decimales.
Reglas generales para el uso del SI
Ejemplos Correcto Incorrecto
ampere A A.
kilogramo kg kg.
milímetro mm mm.
2007 - Hugo Vizcarra
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4. En caso de que el símbolo esté al final de una oración, podrá ser seguido de un punto, entendiendo que el punto no forma parte del símbolo sino de la oración.
5. Cuando el nombre de cualquier unidad de medida está al inicio de alguna oración o frase, se escribirá dicho nombre con letra inicial mayúscula, de acuerdo con las reglas de la gramática española.
Kilogramo es el nombre de la unidad de medida de masa.
Reglas generales para el uso del SI
Correcto Incorrecto
El voltaje en la red eléctrica peruana es de 220 V.
El voltaje de 220 V. en la red eléctrica peruana.
2007 - Hugo Vizcarra
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6. Los nombres de las unidades de medida, aunque correspondan a nombres propios, se escribirán con letra inicial minúscula, excepto el grado Celsius. En el caso de los símbolos de las unidades de medida deberán escribirse en letras minúsculas, excepto aquellos que derivan de nombres propios, cuyos símbolos se escribirán con letras mayúsculas. La unidad litro a pesar de no tener su origen en un nombre propio, lleva como símbolo L o l.
• La temperatura normal del cuerpo humano es de 37 Celsius.
• Juan toma 3 L de agua al día.
Reglas generales para el uso del SI
2007 - Hugo Vizcarra
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Reglas generales para el uso del SI
Ejemplos Correcto Incorrecto
Temperatura kelvin K Kelvin
Fuerza newton N Newton
Energía joule J Joule
Presión pascal Pa Pascal
Corriente ampere A Ampere
Voltaje volt V Volt
Longitud metro m Metro
Masa kilogramo kg Kilogramo
Tiempo segundo s Segundo
2007 - Hugo Vizcarra
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7. Los nombres de las unidades de medida, múltiplos y submúltiplos, podrán utilizarse tanto si el valor numérico se escribe en letras como si se escribe en cifras.
8. Cuando se escriban valores numéricos entre -1 y 1 inclusive, los nombres de las unidades en singular.
Ejemplos correctos:
(1 metro), (0,25 segundo), (1,50 newtons), (0,002 kilogramo)
Reglas generales para el uso del SI
Correcto Incorrecto
5 m, 5 metros o cinco metros cinco m
7 mg, 7 miligramos o siete miligramos siete mg
4 mm, 4 milímetros o cuatro milímetros cuatro mm
2007 - Hugo Vizcarra
2013 - Hugo Vizcarra 17
El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana a dicho número. Por ejemplo:
Al resolver un problema, es importante estimar el valor del resultado ya sea porque no requerimos del valor preciso o porque así tendríamos una idea del orden del resultado.
Orden de magnitud
Cantidad física Orden de magnitud
9,5 cm de radio 10 cm
Una masa de 2800 kg 103 kg
Una distancia de 75 km 102 km
El radio de la Tierra es 6375 km 104 km
En una hora hay 3600 s 103 s
2013 - Hugo Vizcarra 18
Orden de magnitud
Longitud Orden de magnitud/m
Distancia al borde del universo observable 1026
Distancia a la galaxia Andrómeda 1022
Diámetro de la vía láctea 1021
Distancia a la estrella más cercana (Próxima Centauri) 1016
Diámetro del sistema solar 1013
Distancia al Sol 1011
Radio de la Tierra 107
Tamaño de una célula 10-5
Tamaño del átomo de hidrógeno 10-10
Tamaño de un núcleo 10-15
Tamaño de un protón 10-15
Longitud de Planck 10-35
2013 - Hugo Vizcarra 19
Orden de magnitud
Masa Orden de magnitud/kg
Del universo 1053
De la vía láctea 1041
Del Sol 1030
De la Tierra 1024
De un Boeing 747 lleno 105
De una manzana 10-1
De una gota de lluvia 10-6
De una bacteria 10-15
Del virus más pequeño 10-21
Del átomo de hidrógeno 10-27
De un protón 10-27
De un electrón 10-30
2013 - Hugo Vizcarra 20
Orden de magnitud
Tiempo Orden de magnitud/s
La edad del universo 1017
La edad de la Tierra 1017
Tiempo de viaje de la luz desde la estrella más cercana 108
Un año 107
Un día 105
El periodo de los latidos del corazón 1
El periodo de las ondas de luz roja 10-15
Tiempo que le toma a la luz cruzar a través de un núcleo 10-24
El tiempo de Planck 10-34
2013 - Hugo Vizcarra 21
Ejemplo 1.- Un técnico médico extrae V = 15,24 cm3 de sangre de la vena de un paciente. En el laboratorio se determina que este volumen de sangre tiene una masa de m = 16,0 g. Estime la densidad de la sangre.
m = 16,0 g = 16,0 x 10-3 kg → Orden de magnitud = 10-2 kg
V = 15,24 cm3 = 14,24 x 10-6 m3 → Orden de magnitud = 10-5 m3
Densidad ≈ 𝜌 =𝑚
𝑉≈
10−2𝑘𝑔
10−5𝑚3 = 103 𝑘𝑔 𝑚−3
Si calculas la densidad utilizando la calculadora saldrá 1,05 × 103 𝑘𝑔 𝑚−3
Orden de magnitud
2010 - Hugo Vizcarra 22
Ejemplo 2.- El volumen de sangre en el cuerpo humano varía con la edad, tamaño y sexo de la persona, pero en promedio es de unos 7 L. Un valor representativo de para la concentración de glóbulos rojos es de 7 800 000 por mm3. Estime el número de glóbulos rojos que hay en su cuerpo.
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 7 𝐿 = 7 × 10−3𝑚3 ≈ 10−2𝑚3
𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛= 7,8 × 106
𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑚𝑚3= 7,8 × 106
𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑚𝑚3×
1 𝑚𝑚3
10−9𝑚3
= 7,8 × 1015 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑚3 ≈ 1016 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑚3
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 ≈ 1016𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑚3× 10−2𝑚3 = 1014 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠
Orden de magnitud
1023 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
A 10 millones de años luz de nuestra galaxia
10 millones de años luz 23
1022 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Un orden de magnitud más
cercano
1 millón de años luz 24
1021 m
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Nuestra galaxia, la Vía
Láctea
100 000 años luz 25
1020 m
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Estrellas en el borde de la galaxia Vía
Láctea
10 000 años luz 26
1019 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Estrellas en la galaxia Vía
Láctea
1 000 años luz 27
1018 m
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A 100 años luz de la
Tierra y nada más que estrellas
100 años luz 28
1017 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Más estrellas a 10 años luz de la Tierra
10 años luz 29
1016 m
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El Sol es la estrella más brillante a 1 año luz de la
Tierra
1 año luz 30
1015 m
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El Sol se ve cada vez más
grande
1 billón de kilómetros (1 billón = 1012) 31
1014 m
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El sistema solar a cien mil millones
de kilómetros
100 000 millones de kilómetros 32
1013 m
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Nuestro sistema solar
10 000 millones de kilómetros 33
1012 m
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Órbitas de Mercurio,
Venus, Tierra, Marte y Júpiter
1 000 millones de kilómetros 34
1011 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Parte de las órbitas de
Venus, Tierra y Marte
100 millones de kilómetros 35
1010 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Parte de la órbita de la
Tierra
10 millones de kilómetros 36
109 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
La Tierra y la órbita de la
Luna
1 millón de kilómetros 37
108 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
La Tierra desde cien mil kilómetros de
distancia
100 000 kilómetros 38
107 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
El hemisferio occidental de
la Tierra
10 000 kilómetros 39
106 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
El sureste de los estados
unidos
1 000 kilómetros 40
105 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Diversos condados en
Florida
100 kilómetros 41
104 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
El suroeste de Tallahassee,
Florida
10 kilómetros 42
103 m
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el Laboratorio Nacional de Alto Campo Magnético
1 kilómetro 43
102 m
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Árboles cercanos a un
lago y a un laboratorio
100 metros 44
101 m
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Árbol de roble
10 metros 45
100 m
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Rama de un árbol de roble
1 metro 46
10-1 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Hojas de roble en su tamaño real
10 centímetros 47
10-2 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
superficie de una hoja de
roble aumentada
10 veces
1 centímetros 48
10-3 m
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superficie de una hoja de
roble aumentada 100 veces
1 milímetro 49
10-4 m
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Células en la superficie de
las hojas
100 micrómetros 50
10-5 m
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Célula individuales
10 micrómetros 51
10-6 m
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El núcleo de la célula
1 micrómetro 52
10-7 m
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La cromatina en el núcleo de la célula.
100 nanómetros 53
10-8 m
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Hebras individuales
de ADN
10 nanómetros 54
10-9 m
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Bloques de construcción
del ADN
1 nanómetros 55
10-10 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Átomo de carbono
100 picómetros 56
10-11 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Capa interna del átomo
10 picómetros 57
10-12 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Espacio vacío entre
la capa interna y el
núcleo
1 picómetro 58
10-13 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
núcleo visto por debajo
de las capas electrónicas
100 fentómetros 59
10-14 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Núcleo del átomo de carbono
10 fentómetros 60
10-15 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
Un protón
1 fentómetro 61
10-16 m
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
En busca de los Quarks
100 attómetros 62
Nuestras mediciones siempre estarán afectadas por incertidumbres de medición, que provienen de las limitaciones impuestas por: 1. La precisión y exactitud de los instrumentos de medida.
Cifras significativas e incertidumbre
2013 - Hugo Vizcarra 63
2. La interacción del método de medición con el mesurando
Al medir la temperatura de un cuerpo, la propia presencia del termómetro o sensor de temperatura modifica la temperatura a medir. Siempre que ejecutamos un método de medición , interactuamos con el mesurando (el objeto a medir)
Cifras significativas e incertidumbre
2013 - Hugo Vizcarra 64
3. La definición del objeto a medir
La cantidad a medir no esta totalmente definida, durante un salto largo por ejemplo, los granos de arena , los efectos de la gravedad y muchos factores más influirían en la longitud a medir.
Cifras significativas e incertidumbre
2013 - Hugo Vizcarra 65
4. La influencia del observador u observadores que realizan la medición
Cifras significativas e incertidumbre
2013 - Hugo Vizcarra 66
Todas estas limitaciones derivan en que no podamos obtener con certeza el valor del mesurando, sino que solo podamos establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente contenido. Lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites probabilísticos de estas incertidumbres.
𝑥 − ∆𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 + ∆𝑥 Buscamos entonces un intervalo donde, con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la cantidad física x.
Cifras significativas e incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 67
2013 - Hugo Vizcarra 68
Este mejor valor 𝑥 es el valor más representativo de nuestra medición y al semi-ancho ∆𝑥 lo denominamos incertidumbre absoluta. Una forma de expresar la medida es:
𝑥 = 𝑥 ± ∆𝑥 También es posible expresar la incertidumbre en relación al valor más probable, a esto se le conoce como incertidumbre relativa porcentual y se expresa en %.
𝜀% =∆𝑥
𝑥 ∙ 100%
Ejemplos: 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 12,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚 = 12,5 𝑐𝑚 ± 4%
Masa = 50 𝑔 ± 1 𝑔 = 50 𝑔 ± 2%
Cifras significativas e incertidumbre
2013 - Hugo Vizcarra 69
La precisión de un instrumento o de un método de medición esta asociada a su sensibilidad (menor variación que puede ser detectada con él) .
Un vaso se llena con agua 5 veces y en cada vez se mide su masa con el mismo instrumento: 𝑚1 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚2 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚3 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚4 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚5 = 125, 6 𝑔 ± 0,5 𝑔
Se puede decir que el método y/o instrumento es preciso.
Precisión y exactitud
Poca precisión
2013 - Hugo Vizcarra 70
La exactitud de un instrumento o de un método de medición esta asociada a una buena calibración del mismo. Respecto del ejemplo anterior, si un laboratorio de mucho prestigio nos indica que el vaso con agua mencionado tiene una masa 𝑚 = 120, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔.
Entonces llegaríamos a la conclusión de que nuestra balanza o método de medición tiene una calibración deficiente. Por lo tanto nuestras medidas son precisas pero poco exactas.
Exactitud
Mucha precisión pero poca exactitud
Pre
cisi
ón
Exactitud
Precisión y exactitud
2007 - Hugo Vizcarra 71
Las fuentes de incertidumbre tienen diversos orígenes y pueden clasificarse del siguiente modo: I. Incertidumbre introducida por el instrumento
• Incertidumbre de apreciación ap
La incertidumbre estará asociada con la mínima variación que podamos resolver con algún método de medición.
• Incertidumbre de exactitud exac
Representa la incertidumbre absoluta con la que el instrumento en cuestión a ha sido calibrado frente a patrones confiables.
Fuentes de incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 72
II. Incertidumbre de interacción int Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir.
III. Falta de definición del objeto sujeto a medición def
Proviene del hecho que las cantidades físicas a medir no están medidas con infinita precisión.
En general en un experimento dado, todas las fuentes de incertidumbre estarán presentes, de modo que resulta útil definir la incertidumbre nominal de una medición como:
2 2 2 2 2
int .......nom ap def exac
Fuentes de incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 73
Según su carácter, las incertidumbres se pueden clasificar en sistemáticos y estadísticos. I. Incertidumbre sistemática
Se origina por las imperfecciones de los instrumentos y métodos de medición, y siempre se producen en el mismo sentido.
II. Incertidumbre estadística o aleatoria est
Son aquellos que se producen al azar, se cometen con igual probabilidad por exceso o por defecto.
2 2 2 2 2 2 2
int .......est nom est ap def exacx
Clasificación de la incertidumbre
74 2007 - Hugo Vizcarra
2007 - Hugo Vizcarra 75
Supongamos que deseamos medir la altura de esta imagen con la regla representada.
Medición directa
2007 - Hugo Vizcarra 76
El primer paso es alinear lo mejor posible el cero de la regla con el limite inferior de la imagen, tal como se observa en la figura.
Medición directa
cm
5
3
2
1
6
4
2007 - Hugo Vizcarra 77
Si ampliamos un poco la zona de medición con una lupa, observamos que no sabemos con precisión cuál es la medida. En todo caso esta se encuentra comprendida entre:
4,50 cm ≤ 𝐿 ≤ 4,60 𝑐𝑚
Parece ser 4,55 cm, por lo que la mejor forma de expresar la medida es:
𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Medición directa
5
6
4 LUPA 4
2013 - Hugo Vizcarra 78
Como regla práctica, cada vez que se realiza una medición directa con un instrumento, es conveniente identificar con claridad:
Como este instrumento nos brinda la posibilidad de aproximar una cifra a lo largo de la mínima división, la incertidumbre asociada a esta medida es la mitad de la sensibilidad.
∆𝐿 = ±0,1 𝑐𝑚
2= ±0,05 𝑐𝑚
Medición directa
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 0,1 cm
2013 - Hugo Vizcarra 79
La medida de la altura de la imagen es entonces igual al valor mas probable, generado con las cifras exactas proporcionadas por el instrumento y la aproximada por el que realiza la medida (en este caso 4,55 cm), incluido el intervalo de incertidumbre (en este caso ±0,05 𝑐𝑚).
𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Esta medida tiene tres cifras significativas, notar que el valor mas probable para esta medida y su incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales, no tendría sentido una medida:
𝐿 = 120,321 𝑚 ± 1 𝑚
ya que si la incertidumbre es del orden de 1 m, como podríamos asegurar el valor mas probables hasta las milésimas de metro.
Medición directa
cm
5
3
2
1
6
4
2013 - Hugo Vizcarra
Medición directa
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 0,1 cm
Incertidumbre asociada 0,05 cm
La medida es: 𝐿 = 4,95 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Tiene tres cifras significativas
80
cm
5
4
3
2
1
6
2013 - Hugo Vizcarra
Medición directa
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 0,1 cm
Incertidumbre asociada 0,05 cm
La medida es: 𝐿 = 5,00 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Tiene tres cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.
81
2013 - Hugo Vizcarra
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 1 cm
Incertidumbre asociada 0,5 cm
La medida es: 𝐿 = 7,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚
Tiene dos cifras significativas, notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.
Medición directa
82
2013 - Hugo Vizcarra 83
α
¿Cuál es la medida de α?
Medición directa
2013 - Hugo Vizcarra 84
Instrumento Transportador
Cantidad física a medir Ángulo
Unidad de medida del instrumento °
Sensibilidad o mínima división 1°
Incertidumbre asociada 0,5°
La medida es: 𝛼 = 44,5° ± 0,5°
Tiene tres cifras significativas Notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.
Medición directa
2013 - Hugo Vizcarra 85
Una pesa se coloca sobre la balanza digital que se observa en la figura, la balanza registra 19 g.
En este caso el instrumento tiene una sensibilidad de 1 g, se observa 19 g lo siguiente que detectaría es 1 g más, además el instrumento no permite aproximar una cifra a lo largo de esta sensibilidad así que en este caso la incertidumbre asociada es ± 1 𝑔.
Medición directa
2013 - Hugo Vizcarra
Instrumento Balanza
Cantidad física a medir Masa
Unidad de medida del instrumento g
Sensibilidad o mínima división 1 g
Incertidumbre asociada 1 g
La medida es: M= 19 𝑔 ± 1 𝑔
Tiene dos cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales (cero decimales).
Medición directa
86
2013 - Hugo Vizcarra
Supongamos que desea medir el tiempo que le toma a una pequeña canica caer desde 7,00 m de altura. La medida se realiza con un cronómetro con sensibilidad 0,01 s, pero cada vez que se repite la medida, se obtiene un valor diferente, al parecer hay una incertidumbre aleatoria asociada con la medida. Los valores obtenidos son:
Medición directa - Incertidumbre aleatoria
Altura (m) / ∆𝐡 = ±𝟎, 𝟎𝟓 𝒎 Tiempo (s) / ∆𝒕 = ±𝟎, 𝟎𝟏 𝒔
7,00 1,51 1,32 1,43 1,54 1,39
87
2013 - Hugo Vizcarra 88
Medición directa - Incertidumbre aleatoria
El tiempo más representativo o más probable es el promedio.
𝑡𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1,44 𝑠
Para un número de repeticiones pequeño, en este caso son 5, la incertidumbre absoluta se determina según:
∆𝑡 = 𝑡𝑚𝑎𝑥 − 𝑡𝑚𝑖𝑛
2
∆𝑡 = 1,54 𝑠 − 1,32 𝑠
2= 0,11 𝑠
2013 - Hugo Vizcarra 89
Así, el tiempo que le toma a la canica caer los 7,00 m es:
𝑡 = 1,44 𝑠 ± 0,11 𝑠
Dada la simplicidad de esta determinación, se usa una sola cifra significativa para expresar la incertidumbre.
𝑡 = 1,4 𝑠 ± 0,1 𝑠
Nuevamente notar que el valor más probable y su incertidumbre tiene el mismo número de decimales.
Medición directa - Incertidumbre aleatoria
OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los resultados de cálculos en que intervienen mediciones solamente deben tener números significativos. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Para que el resultado de la adición sólo presente cifras significativas deberás observar qué cantidad tiene el menor número de cifras decimales. Así, en la suma 12,45 cm + 7,3 cm se tienen dos cantidades: la primera con dos decimales y la segunda con uno. El resultado de la adición tendrá el menor número de decimales. Así, la suma será:
12,5 cm + 7,3 cm = 19,8 cm
Medición indirecta
2013 - Hugo Vizcarra 90
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Verifica cuál es el factor que tiene el menor número de cifras significativas y, en el resultado, se conservará solamente un número de cifras igual al de dicho factor. Así, en el producto 11,2 cm x 6,7 cm se tienen dos cantidades: una con tres cifras significativas y otra con dos. El resultado deberás escribirlo entonces con dos cifras significativas.
11,2 cm x 6,7 cm = 75 cm2
Medición indirecta
91 2013 - Hugo Vizcarra
mma 97,75,12) 2625,99 m
3 C.S. 3 C.S.
26,99 m3 C.S.
mmb 0,25,2) 2 35m
2 C.S. 2 C.S.
20,5 m2 C.S.
Medición indirecta
2007 - Hugo Vizcarra 92
mNc 5,48,2) Nm6,122 C.S. 2 C.S.
Nm132 C.S.
s
m8
3 C.S.
4 C.S.
s
m00,8
3 C.S.
s
md
0,15
0,120)
Medición indirecta
2007 - Hugo Vizcarra 93
) 2,8 4000m
e ss
11200m
2 C.S. 4 C.S.
41,1 10 m2 C.S.
0,089442719m
3 C.S.
3 C.S.
28,94 10 m
3 C.S.
1,20)
150
kNd
kPa
Medición indirecta
94 2007 - Hugo Vizcarra
4 214,8 3,847076812m m
210,00 3,16227766s s
23,85m
3,162s
210,0 3,16227766 3,16m m m
3 C.S. 3 C.S.
4 C.S. 4 C.S.
3 C.S. 3 C.S.
Medición indirecta
2007 - Hugo Vizcarra 95
(25,4 ) 0,428935133sen
22(0,25 )
0,0490873854
mm
0,429
2 24,9 10 m
3 C.S. 3 C.S.
2 C.S. 2 C.S.
s
m
s
m
s
m2,316227766,310
2
2
2 C.S. 2 C.S.
Medición indirecta
96 2007 - Hugo Vizcarra
Cuando dos cantidades medidas, es decir cantidades con incertidumbre, se tienen que sumar, sus incertidumbres se combinan y el resultado es más incierto que los sumandos. A este proceso se le llama propagación de la incertidumbre. En general si operamos con dos cantidades medidas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, etc) la incertidumbre se propaga y el resultado termina con una incertidumbre que depende de las incertidumbres de las cantidades operadas.
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 97
2007 - Hugo Vizcarra 98
1. Cuando dos cantidades físicas se suman o se restan sus incertidumbres absolutas se suman.
𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏
𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏
𝐴 − 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 99
2. Cuando dos cantidades físicas se multiplican o dividen sus incertidumbres relativas porcentuales se suman.
𝐴 = 𝑎 ±∆𝑎
𝑎∙ 100%
𝐵 = 𝑏 ±∆𝑏
𝑏∙ 100%
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎 ∙ 𝑏 ±∆𝑎
𝑎+
∆𝑏
𝑏∙ 100%
𝐴
𝐵=
𝑎
𝑏±
∆𝑎
𝑎+
∆𝑏
𝑏∙ 100%
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 100
2. Cuando una cantidad físicas se eleva a un exponente, su error relativo porcentual se multiplica por el exponente.
𝐴 = 𝑎 ±∆𝑎
𝑎∙ 100%
𝐴𝑛 = 𝑎𝑛 ± 𝑛∆𝑎
𝑎∙ 100%
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
Se mide la base y la altura de un rectángulo: b = 28,45 cm 0,05 cm h = 5,35 cm 0,05 cm Determine el área de este rectángulo. Solución: Área = largo x Ancho A = (28,45 cm 0,05 cm) x (5,35 cm 0,05 cm) Á = 28,45 cm×5,35 cm 28,45 cm×0,05 cm 0,05 cm×5,35 cm 0,05 cm×0,05 cm
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 101
A = 152,2075 cm2 1,4225 cm2 0,2675 cm2 0,0025 cm2
Como una de las cantidades multiplicadas tienen cuatro y la otra tiene tres cifras significativas, el resultado de la multiplicación debería escribirse con tres cifras. El resto de términos se suman. A = 152 cm2 1,6925 cm2
Finalmente la incertidumbre debe tener solo una cifra significativa, por lo tanto:
A = 152 cm2 2 cm2
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 102
Si en vez de hacer toda esta operación, aplicamos la ecuación de propagación del la incertidumbre para el producto, llegaremos al mismo resultado mucho más rápido.
𝐴 = 𝑏 × ℎ = 28,45 𝑐𝑚 × 5,35 𝑐𝑚 ±0,05
28,45 𝑐𝑚+
0,05
5,35 𝑐𝑚∙ 100%
A = 152,2075 cm2 1,1 % A = 152,2075 cm2 1,69 cm2
La incertidumbre de la respuesta debe tener solo una cifra, así que:
A = 152 cm2 2 cm2
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 103
Dados las siguientes cantidades medidas: A = 9,25 s 0,01 s B = 5,50 s 0,01 s Calcule las siguientes operaciones: A + B A – B A×B A B A3
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
104 2007 - Hugo Vizcarra
A + B = (9,25 s + 5,50 s) (0,01 s + 0,01 s) = 14,75 s 0,02 s A – B = (9,25 s - 5,50 s) (0,01 s + 0,01 s) = 3,75 s 0,02 s
A×B = (9,25 s × 5,50 s) (0,01
9,25+
0,01
5,50) ∙ 100%
A×B = 50,875 s2 0,290% = 50,875 s2 0,1475 s2 A×B = 50, 9 s2 0,1 s2
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 105
A B = (9,25 s 5,50 s) (0,01
9,25+
0,01
5,50) ∙ 100%
A B = 1,681818 0,290% = 1,681818 0,004876
A B = 1,682 0,005 En este caso se ha agregado una cifra significativa ya que la incertidumbre no puede ser cero.
A3 = (9,25 s)3 3 (0,01
9,25) ∙ 100%
A3 = 791,453125 s3 2,566875 s3 A3 = 791 s3 3 s3
Medición indirecta – propagación de la incertidumbre
2007 - Hugo Vizcarra 106
F2 F1
Cantidades vectoriales
107 2004 - Hugo Vizcarra
Se mide seis cantidades físicas, clasifícalas de alguna manera que no sea en básicas y derivadas.
1. La masa de una esfera es 2,0 kg .
2. La fuerza que la Tierra ejerce sobre una esfera es 19,6 N hacia abajo.
3. El tiempo que un proyectil permanece en el aire es 12 s .
4. La velocidad de un móvil es 18 m s-1 hacia la derecha.
5. La temperatura media de nuestro cuerpo es 36,5 °C .
6. La aceleración de la gravedad es 9,8 m s-2 hacia abajo.
Cantidades vectoriales
108 2004 - Hugo Vizcarra
1. La masa de una esfera es 2,0 kg.
2. La fuerza que la Tierra ejerce sobre una esfera es 19,6 N hacia abajo.
3. El tiempo que un proyectil permanece en el aire es 12 s.
4. La velocidad de un móvil es 18 m s-1 hacia la derecha.
5. La temperatura media de nuestro cuerpo es 36,5 °C.
6. La aceleración de la gravedad es 9,8 m s-2 hacia abajo.
Cantidades vectoriales
Por la naturaleza de las cantidades físicas, algunas medidas especifican dirección y otras no.
109 2004 - Hugo Vizcarra
Cantidad escalar
Cantidad vectorial
Tiene magnitud (número y unidad)
Tiene magnitud y dirección (número, unidad y dirección)
Vemos que la masa, el tiempo y la temperatura se pueden describir plenamente con un número y su respectiva unidad de medida, pero la fuerza, la velocidad y la aceleración tienen asociada una dirección y no pueden describirse solamente con un número.
Cantidades vectoriales
110 2004 - Hugo Vizcarra
Cuando una cantidad física es vectorial se representa mediante un vector. Geométricamente, un vector es representado por una línea recta con una flecha en uno de sus extremos. La dirección de la flecha determina la dirección del vector y la longitud de la línea, su magnitud.
Vector
36 m s-1
72 m s-1
12 m s-1 Origen del vector
Extremo del vector
111 2013 - Hugo Vizcarra
Los vectores se representan simbólicamente mediante una pequeña flecha en la parte superior del símbolo del vector o formateando el símbolo en negrita.
𝐴 𝑜 𝑨
Su magnitud es siempre positiva y se representa mediante:
𝐴 , 𝑨 𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴
Vector
112 2013 - Hugo Vizcarra
+ =
V1 = 30 ml V2 = 40 ml V1 + V2 = 70 ml
El volumen es una cantidad física escalar, si sumamos 30 ml de agua con 40 ml de agua el resultado es 70 ml de agua, el tipo de suma que siempre hemos realizado.
Suma de escalares
113 2004 - Hugo Vizcarra
La fuerza es una cantidad física vectorial, si sumamos dos fuerzas de 300 N y 400 N en las direcciones representadas, su suma podría resultar 500 N, al parecer no se cumple el algebra que conocemos.
Suma de vectores
500 N
114 2013 - Hugo Vizcarra
2013 - Hugo Vizcarra 115
El procedimiento geométrico para sumar vectores consiste en dibujarlos uno a continuación del otro de tal forma que el origen del segundo coincida con el extremo del primero, el origen del tercero con el extremo del segundo y así sucesivamente. La suma será el vector que va del origen del primero al extremo del ultimo.
Suma de vectores
𝒂
𝒃
𝒄 𝒂
𝒃
𝒄
𝒂 + 𝒃 + 𝒄
2013 - Hugo Vizcarra 116
Suma de vectores
𝒂 𝒄
𝒂
𝒃
𝒄
𝒃
2013 - Hugo Vizcarra 117
Suma de vectores
𝒂
𝒄
𝒄 𝒂 𝒃
𝒃
2013 - Hugo Vizcarra 118
Suma de vectores
𝒂
𝒄
𝒄
𝒂
𝒃 𝒃
2013 - Hugo Vizcarra 119
Propiedad conmutativa
𝒂
𝒄
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝒂
𝒃
𝒄 𝒃
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑎 + 𝑐 = 𝑐 + 𝑎 + 𝑏
𝒄 𝒂
𝒃
𝑐 + 𝑎 + 𝑏
𝒄 𝒂 𝒃
𝑏 + 𝑎 + 𝑐
2013 - Hugo Vizcarra 120
Cuando se suman dos vectores, muchas veces resulta cómodo e intuitivo un método alternativo.
Suma de vectores
𝒂
𝒃
𝒃 𝒂
2013 - Hugo Vizcarra 121
Cuando se suman dos vectores, muchas veces resulta cómodo e intuitivo un método alternativo.
Suma de vectores
𝒂
𝒃
𝒃
𝒂
𝐴
Si multiplicas el
vector 𝐴 por el escalar ( +2)
Si multiplicas el
vector 𝐴 por el escalar ( -1)
Si multiplicas el
vector 𝐴 por el escalar ( -3)
Multiplicación de un vector por un número
2𝐴
−3𝐴
0,5𝐴
𝐴
Si multiplicas el
vector 𝐴 por el escalar ( +0,5)
122 2013 - Hugo Vizcarra
2013 - Hugo Vizcarra 123
La resta de vectores es la suma de un vector con el negativo de otro.
Resta de vectores
𝒂 𝒃
𝒂 + (−𝒃)
𝒂 − 𝒃
𝒂
−𝒃 𝒃
2013 - Hugo Vizcarra 124
Cuando se restan dos vectores, muchas veces resulta cómodo y útil un método alternativo.
Resta de vectores
𝒂 − 𝒃
𝒂
𝒃
𝒂 − 𝒃 𝒂
−𝒃
𝒂
𝒃
2013 - Hugo Vizcarra 125
Cuando se restan dos vectores, muchas veces resulta cómodo y útil un método alternativo.
Resta de vectores
𝒂 − 𝒃
𝒂
𝒃 𝒂
𝒃
2013 - Hugo Vizcarra 126
Si hacemos coincidir el origen del vector con el origen de coordenadas cartesianas del plano x – y, es posible especificar la dirección del vector a través del ángulo que este forma con el semieje +x.
Componentes rectangulares de un vector
x
y
Vector A = 𝐴 = 𝑨
Magnitud de 𝐴 = 𝐴 = 𝐴
Dirección de 𝐴 =
𝑨
Componentes rectangulares de un vector
50°
y
x
48°
y
x
Dirección = 40° Dirección = 138°
127 2013 - Hugo Vizcarra
Componentes rectangulares de un vector
70°
y
x 42°
y
x
Dirección = 250° o -110° Dirección = 318° o -42°
128 2013 - Hugo Vizcarra
A partir de la figura se puede deducir:
𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦
Donde 𝐴𝑥 y 𝐴𝑦 son las
componentes rectangulares de
𝐴 y se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:
𝐴𝑥 = 𝐴 cos 𝜃 𝐴𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Tomar en cuenta que 𝜃 es la dirección del vector y se mide desde el semieje +x.
2013 - Hugo Vizcarra 129
Descomposición rectangular
x
y
𝑨
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦
A partir de la figura se puede deducir:
𝐴 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦
2
Donde 𝐴 es la magnitud del
vector y su dirección se obtiene :
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝐴𝑦
𝐴𝑥
2013 - Hugo Vizcarra 130
Composición rectangular
x
y
𝑨
𝐴 𝑥
𝐴 𝑦
2013 - Hugo Vizcarra 131
Son una forma de expresar dirección pura, no tienen unidades y su magnitud es unitaria. Para el plano cartesiano x – y son:
Vector unitario en la dirección + x = 𝑖
Vector unitario en la dirección + y = 𝑗
Recuerda que un signo menos indicaría dirección contraria.
Vectores unitarios
+𝑖 −𝑖
+𝑗
−𝑗
x
y
2013 - Hugo Vizcarra 132
• Una fuerza 𝐹 = 200 𝑁 𝑖 tiene una magnitud de 200 N y está dirigida hacia +x.
• Una fuerza 𝐹 = − 100 𝑁 𝑗 tiene una magnitud de 100 N y está dirigida hacia -y.
• Una fuerza 𝐹 = 30 𝑁 𝑖 + 40 𝑁 𝑗 tiene una componente 𝐹𝑥 = +30 𝑁 y una componente 𝐹𝑦 = +40 𝑁, por lo tanto si
componemos estas componentes tenemos:
𝐹 = 𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦
2 = 30 𝑁 2 + 40 𝑁 2 = 50 𝑁
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝐹𝑦
𝐹𝑥= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
40 𝑁
30 𝑁= 53°
Por lo tanto tiene una magnitud de 50 N y una dirección de 53°
Vectores unitarios
𝑨 𝑩
Ax
Ay Bx
By
Ay
Bx
𝑨 = 𝑨𝒙𝒊 + 𝑨𝒚𝒋
𝑩 = 𝑩𝒙𝒊 + 𝑩𝒚𝒋
𝑨
𝑩
Ax
By
𝑨 + 𝑩 = 𝑨𝒙 +𝑩𝒙 𝒊 + 𝑨𝒚 + 𝑩𝒚 𝒋
Suma de vectores por componentes
133 2007 - Hugo Vizcarra
2007 - Hugo Vizcarra 134
Dados los vectores:
𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 y 𝐵 = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗
Suma de vectores:
𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 +𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗
Resta de vectores:
𝐴 − 𝐵 = 𝐴𝑥 −𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 𝑗
Multiplicación de un vector por un número r:
𝑟 𝐴 = 𝑟𝐴𝑥𝑖 + 𝑟𝐴𝑦𝑗
Suma de vectores por componentes
135
Bibliografía
Este material tiene fines enteramente educativos
Todas las imágenes han sido tomadas de Internet.
Las reglas y la grafica de la diapositiva 68 son mis dibujos, así como todas las imágenes de vectores.
Física re-creativa (Experimentos de física usando nuevas tecnologías) de Salvador Gil/Eduardo Rodríguez
El método científico aplicado a las ciencias experimentales de Héctor G. Riveros y Lucia Rosas.
Física Universitaria de Sears Zemansky
Physics - Gregg Kerr and Paul Ruth
Physics - Chris Hamper
Física – Wilson Buffa
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html