ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫСШИХ И СРЕДНИХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ Й ЗА О Ч Н Ы Й П ЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

М. Б. БАЛК, В, А, ПЕТРОВ, А, А, ПОЛУХИН

З А Д А Ч Н И К -П РА К Т И К У М ПО Т Е О Р И И А Н А Л И Т И Ч Е С К И Х Ф УНКЦИЙ

Учебное пособие для студентов ' ковпедагогических инстшпуг

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1976

Одобрено кафедрой математического анализа Государственного заочного педагогического института

Редактор МГЗПИ О, Л, Павлович

60G02 — 513

Б 1 0 3 ( 0 3 ) - 7 6 ИК ШЛ-

© Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ),

П Р Е Д И С Л О В И Е

Задачник-практикум предназначен для студентов-математиков аочных отделений педагогических институтов. Он составлен в соот- .етствип с действующей программой курса «Математический анализ ! теория функций» и охватывает раздел «Теория аналитических >ункцнй».

Значительно большее внимание по сравнению с другими сбор- :иками подобного рода здесь уделено упражнениям, которые могут ыть использованы на факультативных занятиях в школе, и упраж- :ениям, позволяющим учителю более глубоко осмыслить отдельные опросы школьного курса математики.

В начале каждого параграфа указана литература, в которой итатель найдет необходимый минимум теоретических сведений.

Студенту-заочнику достаточно воспользоваться одной (любой) з трех книг [ 1] — [3].

[1] М а р к у ш е в и ч А. И. Краткий курс теории аналитиче- ких функций. Изд. 3-е, испр. и доп. М., «Наука», 1966.

[2] П р и в а л о в И. И. Введение в теорию функций комп- ексного переменного. Изд. 11-е. М., «Наука», 1967.

[3] X а п л а н о в М. Г. Теория функций комплексного пере- :ениого. (Краткий курс). Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1965.

По каждой теме указаны соответствующие параграфы (или стра­нны) этих книг. При отсутствии основных источников студент может эспользоваться и другой литературой, в частности:

[4] Е в г р а ф о в М. А. Аналитические функции. Изд. 2-е, спр. и доп. М., «Наука», 1968.

[5] Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории ункцпй комплексного переменного. Изд. 4-е, испр. М., «Наука», Э73.

[6] М а р к у ш е в и ч А. И. Теория аналитических функций, дц. 2-е. Т. 1 ,2 . М., «Наука», 1967— 1968.

[7] С в е ш II и к о в А. Г., Т и х о н о в а . Н. Теория функ- ий комплексной переменной. Изд. 2-е, стереотип. М., «Наука», 370.

з

[8j Ф у к с Б . А., Ш а б а т Б . В. Функции комплексног переменного и некоторые их приложения. Изд. 3-е. М., «Наука>: 1964.

[9] Ц ы р к и н М. Я. Краткий курс теории функций комплекс ного переменного. Пособие для студентов-заочников физ.-маі фак. пед. ин-тов. М., «Просвещение», 1964.

[10] Ш а б а т Б. В. Введение в комплексный анализ. М, «Наука», 1969,

После ознакомления с теоретическими сведениями по матер иг лу того или иного параграфа студент может приступить к решенш задач. При этом можно ограничиться лишь некоторым минимумо задач. В такой минимум рекомендуем включить следующие задач* 4, 6, 7, 10, 14, 17, 27, 36, 38, 46, 53, 54, 61, 69, 81, 86, 95, 104, 10S114, 127, 132, 145, 151, 161, 166, 170, 174, 180, 185, 202, 204, 201207, 208, 214, 222, 228, 234, 248, 258, 267, 273, 274, 276 (д), 271 285, 298, 315 (а), 328, 339, 353, 360, 366, 372, 384, 393, 399, 403, 40* 416, 423, 432, 438, 444, 448, 458, 462, 476, 480, 488, 504, 519, 52І 526, 538, 545, 578, 580.

Задачи минимума желательно решать в том порядке, в которо они расположены в параграфе, учитывая приведенные в текст методические указания и замечания. Некоторые из указанных зг дач даны вместе с решениями; однако желательно, чтобы студег попытался их решить самостоятельно, обращаясь к решения лишь в случае, когда у него возникнут затруднения. Самостоятелі но полученное решение целесообразно сравнить с тем, которс приведено в тексте. Почти все задачи снабжены ответами.

Некоторые задачи (189—201, 316—320, 548—570, 588—59* студент-заочник может не решать. Включение этих задач продикт< вано желанием дать материал для курсовых работ, спецсеминаре и спецкурсов по теории аналитических функций.

Авторы благодарят кафедры математического анализа МГЗП1 и Смоленского педагогического института за ряд ценных советоі

Автор

ГЛ АВА I

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

§ I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИСТОЛКОВАНИЯ НА плоскости

Л и т е р а т у р а : [1], гл. I, п. 1, 2; [2], гл. I, § 1, 2; [3], Введение.

Как известно из курса алгебры, всякое комплексное число можно за- тнсать в виде a -j- bi (а и b — действительные числа); при этом а называется j е щ е с т в е и н о й (или д е й с т в и т с л ь и о й) частью числа и обо- шачается Re z, b — мнимой частью и обозначается 1 т z. Два комплексных шсла г г и z2 считаются равными тогда и только тогда, когда Re zx — Re z2, m zx — Im z2. Для числа z — a -\- bi сопряженным называется число z~=

= a — bi. Легко убедиться в том, что для любых комплексных чисел гх и :2 справедливы тождества:

Ч + Ч = zx + z2> — Zn = Zi — z2, zt • z2 = zt • z2,

Комплексное число z = a -j- bi может білть истолковано как точка Z іа декартовой координатной плоскости хОу с координатами (а; Ь). Число z іазывается к о м п л е к с и о й к о о р д и и а т о й1 точки Z. Расстояние г )т точки Z, изображающей число z, до начала координат называется м о-

I у л о м z и обозначается через |zj; угол а наклона вектора OZ к оси Охіазывается а р г у м е н т о м числа z и обозначается через Arg г . .У каждогошсла г -/= 0 имеется бесконечно много аргументов. Тот из них, который за ­ключен между — л и я , называется г л а в н ы м з н а ч с и н е м а р г у-I о н т а (короче, главным аргументом) и обозначается так: arg г. Точнее оворя, но определению

— л < arg г ^ л.

Справедливы следующие зависимости:

г = | z | = ) / а 2 о- , \z\- — z • z, z — г (cos а -(- i sin а)

т р и г о н о м е т р и ч е с к а я ф о р м а к о м п л е к с н о г о ч и с- | а).

1 Вместо выражения «точка с комплексной координатой г» часто го-юрят: «точка г», «число г»,

5

I *1 '• h I = I гх I • I ?2 |,

Полезно учесть, что выражение |z2 — zx| (zx и za — комплексные числа можно истолковать геометрически как расстояние между точкамі с комплексными координатами гу и г3 и что справедливы соотношения

|Zi + h \ < \h\ +1 **1. 1*2 — Ч\ > IN — kill,. J i l l .* I «а Г

Напомним еще так называемую ф о р м у л у М у а в р агп = [г (cos ф + t sin ф)]л = r n (cos яф + i sin пф)

и формулу для извлечения корня я-и степени из комплексного числа

п г - пг ~ ( Ф + 2/гя , . . ф + 2k n \ п ,і /г =>i/r cos --------- 4- 1 sin---------- , k = 0, 1, /г — 1.\ n n )

Из этой формулы видно, что выражение Y г при z Ф 0 имеет я разлнч ных значений. Геометрически эти значения изображаются как вершины не­которого правильного /і-угольника, вписанного в окружность с центролв точке z = 0 радиуса у 7"г.

1. Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно квадрату другого?

Р е ш е н и е . Обозначим искомые числа через z и гъ z Ф zv Д ля них должны выполняться условия

г = гД Zi = г2,

откуда z = г4 или z (г3 — 1) = 0. Решая последнее уравнение, найдем четыре возможных значения г :

2 = 0 , z — 1, 2 = — г = — ------i У Л .2 2 2 2

Теперь из системы найдем соответствующие значения zx:

г1 — 0 , г, = 1, = гі = _ І + 1- £ і .1 : 1 2 2 1 2 2

Итак, пару чисел (и притом единственную), удовлетворяющую

условию задачи, образуют числа ~ и — ^ — і

2. Доказать, что для любых вещественных чисел а , Ь, с спра­ведливо неравенство

| У а2 + с2 — | / а2 + 621 ^ | с — b |.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Числа У а2 + 62 и ] / а2 + с2 можно рассматривать как модули комплексных чисел Zj = b - f ai и z2 = = с + сіі соответственно. В силу неравенства |г2 — z j ^ | |2г[ —— \гх\\ имеем:

3. Майти целое число п , если (1 -{- і)п = (1 — і)п ,4. Вычислить:

a ) f i _ (- m 1002; 6 > ( 4 ± 1 Y ; B ) ( l + i >S\2 2 I \ <1Э -I- 1 / (1 — 03

5. Решить уравнение:а) г2 -I- И = 0; б) |z| + z = 2 + *'•

6. Может ли случиться, что:а) модуль разности двух комплексных чисел окажется равным

сумме модулей этих чисел?б) модуль суммы двух комплексных чисел окажется равным

разности модулей этих чисел?в) модуль разности двух комплексных чисел окажется большим,

чем сумма модулей этих чисел?Ответы обосновать.7. Вычислить все значения следующих корней:

а) / Л ; б) y ri\ в ) ] Л — i; г) 1^— 2 + 2 i .

Полученные значения корней изобразить в виде точек на комп­лексной плоскости.

21_ 2\_8. «Очевидно, что г 1 =■ (tM) 1 = 1 1 = 1; с другой стороны,

г 1 = ( t1)5 • i = 1г>/ = i. Следовательно, і = 1». В чем ошибка?У к а з а н и е . Внимательно прочтите последний абзац п. 2,

гл. I книги [ 1]. _____9. «Пустьтребуется решить уравнение у б — х + xi = (х— 6)- f

-f 7 i в действительных числах. Так как для равенства двух комп­лексных чисел необходимо равенство их мнимых частей, то заклю ­чаем, что х — 7. Но данное уравнение можно, очевидно, привести к виду

6 — л' = (7 — л') i — i У х — 6.

Подставив найденное значение я, получим І -- 1.» Где ошибка?10. Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое

из которых равно кубу другого? Сколько таких пар чисел имеется?11. Пусть z — а - 1- Ы. Верно ли, что a rg 2 = arctg —?

аОтвет обосновать.

12. Д оказать, что argz = 2 a rc tg ----- ----- , если г = а -{- bi неа -[- | 2 |

является вещественным отрицательным числом или нулем.У к а з а н и е . Обозначить arg г = 0, a rc tg ----- ----- = ф и

а + I г |сравнить tg — и tg ср.

7

В математике и ее приложениях часто встречается выражение вида cos ф + i sin ф (ф — вещественное число). Д ля него используют различные сокращенные обозначения. Например, в картографии его обозначают зна­ком Іф в электротехнике — знаком ^ ф , а в работах по математике — через ехр (/ф) или е*Ф . Таким образом, по определению

е{<р = cos ф + i sin ф. (1.1)

Через е ~1(р обозначают числое1(—ф) _ cos ф — I sjn ( 1 2 )

Обозначение (1.1) оправдано сходством свойств выражений вида е*Фсо свойствами показательной функции. Например, при любых вещественныха , Р и ф справедливы следующие формулы1:

е«х . e<P= e «a+P)f (1.3)

Г- (1-4)

( е{<г>) п = ( п — любое целое число). / (1*5)

Последняя формула представляет собой формулу Муавра:

(cos ф + i sin ф)л = cos /гф -\- i sin wp. (1.6)

Из (1.1) и (1.2) легко выводятся формулы:

cos ф = ( е,ф + е ~ ,ф), sin ф = ( <?'ф — е“ ,ф). (1.7)

Соотношение (1.1) называется ф о р м у л о и Э й л е р а2. Оно позволяет каждое комплексное число г записать в виде ( п о к а з а т е л ь н а я ф о р м а)

г — ге1 Ф ,

где ф — аргумент числа г, а г — его модуль.

13. Пусть = Rela, z2 — Re® (0 ^ a <С {3 < 2я). Д оказать3»что

t С6+ fi2« — г 1 — I 2 2 — Z i | ' ^

Д о к а з а т е л ь с т в о . С помощью формул (1.3) и (1.7) мо­жем записать:

. 3—a .0—aa 4-3 1 2 1 2

һ — гі = R (ei|i— eia) = 2Rie c ~ e

‘- Г ( 1.8)

0 n . . В — a 1 2 = 2/ft sin ------- e

2 i

1 В этом можно убедиться, пользуясь формулами сложения тригономет­рических функций.

2 С более общим видом формулы Эйлера мы еще встретимся ниже (см. гл. II , § 8).

3 и г2 можно рассматривать как комплексные координаты двух точек, расположенных на окружности радиуса R с центром в нулевой точке.

Так какI а+Р

е 2 = 1, то из полученного соотношения вытекает:

\z2 — z, | = 2/? sin ^2

Сравнение найденных выражений для z2 — zx и \z» — гх| до­казывает справедливость формулы (1.8). Эта формула удобна при переходе от модуля разности двух комплексных чисел к самой раз­ности и обратно. Ею можно воспользоваться при решении ряда приведенных ниже геометрических задач.

14. Какие комплексные числа заданы выражениями:

i — I — — І —а) с"0; б) е 2 ; в) е 6 ; г) е 4 ; д) е 3?15. С помощью формулы Муавра выразить cos Зср, sin Зср, sin 4ср,

cos 4ф через тригонометрические функции аргумента ф.16. Доказать, что число р — (а2 -|- 1) (b~ + 1) (с2 -f 1), где

а, Ь, с — целые числа, можно представить в виде суммы двух точ­ных квадратов. Единственно ли такое представление числа р?

Р е ш е н и е . Число а2 + 1, являющееся суммой двух точных квадратов, можно представить как квадрат модуля некоторого комп­лексного числа zx (например, числа zx — а + /), т. е. а 2 + 1 =*= l i I2.

Аналогично, полагая z 2 = b -г i, z3 = с -j- *, имеем:62 -|- 1 = |г, | 2 и с2 - f 1 = [z3|2.

Тогдар = (а2 + 1) (Ь2 + 1) (с2 + 1) = М Ы ' Ы * =

= \Z1Z»ZзР = И -[- Вг|2 = Л 2 + В г,где А + Bi = zxz 2z3.

Так как А и В получаются из целых чисел а , Ь, с и 1 лишь с помощью сложения, вычитания и умножения, то А и В — целые числа. Ясно, что такое представление числа р не единственно, хотя бы потому, что число а~ + 1 можно представить как квадрат модуля различных комплексных чисел, например:

а2 + I = Iа + * I2 = I 1 + ы I217. Вычислить сумму

S = l - { - Ch cos а -[- С,2, cos 2а + ••• -{- С! cos па.

Р е ш е н и е . Введем в рассмотрение еще одну сумму:

Т — С\ sin а -{- С,2 sin 2а + ... -|- С" sin па.

Очевидно, что 5 является вещественной частью следующей суммы:

S + і'Г = 1 -|- Ch (cos а + i sin а) + С2, (cos 2а -J- i sin 2а) + ... +

+ Сп (cos па + i sin па).

Рис. 1

2" ■ cos" — е '1 2

Преобразуем эту сумму, исполь­зуя формулы (1.1) — (1.7), и за­тем выделим ее вещественную и мнимую части:

S + iT = 1 + С І eia + C;\<ria +

4- ... + О л'“ = (і + Л " =l a / / а

2 cos а2

па \= 2" cos" — c o s ----- 1- i sin2 I 2 2

о " ,, a н и2 cos" — cos —. о." и а . па i 2 cos — sin — •9 О

Поэтому

S = Re (S 4- tT) = 2" cos" j - cos

18. Через центр правильного /i-угольника проведем какую- либо прямую и подсчитаем сумму (S) квадратов расстояний от всех вершин многоугольника до этой прямой. Будет ли эта сумма зависеть от выбора прямой?

Р е ш е н к е. Пусть А ХА 2 ... А п — данный многоугольник (рис. 1), R — радиус описанной окружности, О — ее центр, M N — какая-либо прямая, проходящая через О.

2лПусть NOA-l = а , ф = — . Тогда интересующая нас сумма

S — R~ {sin2 а 4- sin2 (a -f- ф) -|- sin2 (а + 2ф) 4 - ... -f- sin2 [а 4 -

+ ( « - 1)<р]> = \ R 4 h - t -],

гдеТ — cos 2а -(- cos (2а -j- 2ф) 4- ... -]- cos [2а 4- (2п — 2) ф].

Вычислим Т. Согласно формуле Эйлера Т является веществен­ной частью комплексной суммы (сравните с задачей 17):

Р = ei2a + с‘(2а+2ф) 4 - ... 4- e'L-a-H2/i—ад^

Сначала найдем Р:

Р = II 4- е'2ф + /(2/1—2)ф1 1 - ei2'U(>

1 - ei2<fО,

10

так как 2шр = 2я — = 4я, а еМя= 1. Но тогда и 7’= 0, т. е.п

S = ^ R 2n и не зависит от выбора прямой M N .

19. Доказать утверждение: если каждое из натуральных чисел nlt По, ... , пк представимо в виде суммы двух точных квадратов, то их произведение также представимо в виде суммы двух точных квадратов.

В задачах 20—26 вычислить суммы.20. cos а — cos 2а -|- cos За — ... -f- cos 99а.21. sin а — sin 2а + sin За — ... + sin 99а.22. 1 + cos а + cos 2а + ... + cos па.23. cos 2а + cos 4 а + cos 6а -|- ... -{- cos 100а,24. sin а + sin 2а sin За -}- ... -|- sin па.0 _ sin а , sin 2 а . sin За . , s i n /га

' j ————— J ,,, “ J •cos а cos- а cos3 а cos" а

26. sin4 — -f sin'1 — + sin4 — ... -j- sin432 32 32 32

Если проекции вектора А В (точка А — начало вектора — может и не совпасть с началом координат О) на оси координат Ох и Оу равны соответ­ственно а и Ь, то комплексное число z = а -j- bi называется к о м п л е к- с н о й к о о р д и н а т о й этого в е к т о р а . Понятно, что на коорди­

натной плоскости точка Z и вектор OZ имеют одинаковые комплексные ко­ординаты. Заметим также, что если число г — а - ) - Ы — комплексная ко­

ордината какого-либо вектора А В , то длина г этого вектора равна модулю

числа z, а угол а между осью Ох и вектором А В есть Arg z. При решении задач полезно учесть следующее:

1) при сложении двух векторов их комплексные координаты складываются;■ 2) комплексная координата вектора равна разности между комплексны­

ми координатами его конца и начала.Каждое комплексное число с Ф 0 можно истолковать геометрически как

о п е р а т о р п о в о р о т а и р а с т я ж е н и я . Это значит: если вектор

А В был подвергнут операциям поворота (на угол а) и растяжения (с коэф­фициентом растяжения р), то его комплексная координата z умножилась на число с — р с‘п- ; и н аобор от, если к ом п лек сн ую к о о р д и н а ту г какого-ли бо

вектора А В умножить на комплексное число с = ре‘« , то новое число и —

= cz представляет собой комплексную координату вектора CD, который—У-

может быть получен из вектора А В путем поворота (на угол а) и растяжения (с коэффициентом растяжения р).

27. Концы отрезка Z XZ* (рис. 2) имеют соответственно комплекс­ные координаты zx и z 2. Какова комплексная координата г середи­ны этого отрезка?

Р е ш е н и е . Векторы ZXZ и ZZ2 имеют одну и ту же комп­лексную координату, которую обозначим буквой с. Так как

11

Рис. 3

OZ=O Zx+ Z xZ и OZo = oz+zz2,z + с.то Z = Zx -I- c, z„

Исключая с, найдем:

2 = j (*i -i- z 2).

Итак, комплексная коорди­ната- середины какого-либо от-

л2 резка равна полу сумме комплекс- Рис. 4 ных координат его концов.

28. Известны комплексные координаты zx и z 2 точек Z, и Z2; \ZxC\—\ Z 2C\ — \CZ\, (CZ) ± {ZXZ 2) (рис. 3). Вычислить комплексную координату z точки Z.

Р е ш е н-н е. Задача сводится к нахождению комплексной ко­ординаты вектора 0Z. Имеем:

OZ = ОС + CZ. (1.9)Вектор ОС имеет комплексную координату-^- (zx + z2) (см. зада­

чу 27). Вектор CZ получается из CZ2 поворотом на ^ радиан, век­

тор CZ2 имеет комплексную координату

— \ (Ч + Ч) = \ (г2 — 2і).

Поэтому комплексная координата вектора CZ равна i • — (z2 — zx). В силу равенства (1.9) 2

z ^ j ( z i + га) -Ь \ і (г2 - *i)-

29 (задача Эйлера). Известно, что в каждом параллелограмме сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов его диагоналей. Насколько отличаются те же суммы в случае произвольного четы­рехугольника?

Р е ш е н и е . Пусть А ХА 2А 3А Л — данный четырехугольник (рис. 4). Нас интересует величина

о = И 2Л3|2+ |А 3А 4 |2-f |^4i / l4I2 —- (\АХА 3 12+ \А оЛ4|2),

12

Выберем на плоскости декартову систему координат хОу. Обо­значим комплексные координаты вершин соответственно zlt z2, z3, z4. Тогда

о = |z2 — z j 2 + \z3 — z2|2 -I- |z4 — z3|2 ++ l*i — z4|2 — (1*з — 2il2 -{- |г4 — z2|2).

С помощью равенства|г% _ Z-у |“ = (z2 —_zx) (z2 — zx) = (z2 — Zj) (z2 — z x) =■

= (zxzx + z 2z2) — (zxz2 + Z2ZX)

получим:

a — zxzx - f ZnZ2 — (zxzj + z 2zx) 4 - 4- z2z2 -b z3£ 3 — (z2z3 -f z3J 2) 41 4- z3Zj 4- z±z4 — (zAz.x -I- ZjZ3) 4- - r z4z4+ zxzx_— (z4zx 4- zx24)_—— [ZjZj 4- 2;jZ3 — ( z ^ + ZjjZO] —— [z2z2 4- Z4z4 — (z2z4 4- z4z2)].

Сгруппируем члены, содержащие сомножитель zx, затем члены, содержащие z2, и т. д. Получим:

о = (гх — z2 -|- z3 — z4) (zx — z~ 4- z3 — z7) = \zx — z2 4- z3 — z4|2.Каков геометрический смысл этого выражения? Мы знаем,

что ^-(z1 4- z 3) (см. задачу 27) — это комплексная координата

середины С отрезка А ХА 3, а число (z2 z4)—комплексная коор­

дината середины D отрезка А 2А,к. Положим:

с = | ( 2 ’і4 - г 3), d = | ( z 2 4 -z 4).

Тогдао — 4 | с — d |2 = 4 | CD |2,

так как |с — d | — длина отрезка CD.Мы пришли к следующему выводу, который называется теоре­

мой Эйлера о четырехугольнике: сумма квадратов сторон- любого четырехугольника больше суммы квадратов его диагоналей на учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диаго­налей.

30. Точка А на комплексной плоскости имеет комплексную координату z. Найти комплексные координаты: 1) точки В, сим­метричной А относительно действительной оси; 2) точки С, сим­метричной А относительно мнимой оси; 3) точки D, симметричной А относительно нулевой точки; 4) точки £ , симметричной А отно­сительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

---►31. Четырехугольник О А ВС — квадрат. Вектор О А имеет ком­

плексную координату z = 3 — i. Вычислить комплексные коорди-

13

наты wr и w* векторов ОС и ОВ соответственно.

32. При обходе против ча­совой стрелки контура правиль­ного треугольника, располо­женного на комплексной плос­кости, встречаются последова­тельно вершины zl f Zo, z3. Зная, что zy — 1, z2 = 2 -f- i, вычис­лить z3.

Комплексные числа весьма пло­дотворно могут быть использованы для решения задач чисто геомет­рического характера. Рассмотрим несколько примеров решения пла­ниметрических задач с помощью комплексных чисел.

33. В окружность вписан выпуклый четырехугольник Л 2Л 3Л4 (рис. 5). Требуется выразить сумму произведений противополож­ных сторон четырехугольника через его диагонали.

Р е ш е н и е . Выберем систему координат так, чтобы ее начало совпало с центром данной окружности. Обозначим через z l f z 2, z 3 , z x комплексные координаты вершин A lt Л 2, Л 3, Л 4 соответственно. Эти числа можно записать так:

г„ = R e " 4 ‘ ( k = 1 ,2 , 3 ,4 ) .

Составим сумму произведений противоположных сторон и пре­образуем ее (применяя формулу (1.8)):

|ЛхЛ2| • \Л:,А,\ + \ А ,А 3\ ■ И_,Л 11 =

= |г. — 2,1Z o— Z,

*ЗІ + |2а

а,+а2г . — z.

I-Н"

1*4Z4

Zl\

а:+а31 C іе

ZgZj - zaz, — z lzi + ZXZ3

. а,+а2-г-а Һа »

te іе

гяг4 — гдгх — z2z,t -j- z2z, _-а.+а,-і-я4

i-e ‘ і ге—z2z3 — zxz4 + z:)z,j -j- z,zx _ (Zt

а,+а2+ая4-a*

2

z2) • (z3 — гх)

l■ ■> VI-£

= I z . — Z„

9 71 e • іе

Z l \ = I ^ 2 ^ 4 I * I ^ И з I-

Итак* в каждом вписанном выпуклом четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей. Мы установили известную теорему Птолемея.

14

34. На сторонах треугольни­ка A іА о А 3 (рис. 6) как на осно­ваниях построены квадраты, не имеющие с треугольником об­щих внутренних точек. Д о ка­зать, что отрезок, соединяющий центры квадратов, построенных на боковых сторонах треуголь­ника, и отрезок, соединяющий вершину треугольника с цент­ром третьего квадрата, конгру­энтны. Под каким углом они пе­ресекаются?

Р е ш е н и е. Выберем в плос­кости треугольника декартову систему координат хОу. Комплек­сные координаты точек A lt А», А 3, В 1у В 2, В 3 и векторов В хВ ги А 3В 3 обозначим соответственно^, а 2, а3, Ьи Ь«, Ья и z, w. Выра­зим z и w через аъ аъ а3: z = b 2 — bu w = Ь3— а3. Пусть С2 — се­редина стороны А ХА 3. Точка С2 имеет координату а'л °1, тогда у

вектора С2А 3 комплексная координата равна:(7., а а., — а. а ----- ± J _ i = -Л— 1.

3 2 2

Координата вектора С25 2 получается умножением на i коорди­наты вектора С2Л 3, поэтому она равна t 3

Тогда координата конца В 2 вектора С»В2 равна:

Һ — 03 + а 1 -L / ~ «1° г ~ 2 | 1 2 •

Совершив в этой формуле круговую замену индексов (1 заменя­ется на 2 , 2 — на 3, 3 — на 1), получим выражение для Ь3:

Аналогично

biп2 т~ ая | ая

Теперь нетрудно подсчитать, что 'і

2

а 2 а х -

'2

16

Отсюда видно, что w — iz. Это озна­чает, что при повороте вектора В ХВ 2 на угол 90° против часовой стрелки полу­чают вектор, равный вектору А 3В 3. Но в таком случае

\А3В 3\ = \ВхВ г \ и (А 3В 3) JL (ВХВ 2).

35. Решить задачу 34 в предполо­жении, что каждый из трех квадратов, построенных на сторонах треугольника, перекрывается с этим треугольником

Рис. 7 (рис. 7).36. На сторонах А В и АС треуголь­

ника A B C построены квадраты А В В ХА Хи АССХА 2, перекрывающиеся с этим треугольником. Доказать, что медиана А /VI перпендикулярна прямой А ХА 2\ вычислить от­ношение Их/421 : \АМ\.

37. Сформулировать и решить задачу 36 в предположении, что ни один из двух квадратов, построенных па сторонах треуголь­ника, не перекрывается с этим треугольником.

38. Пусть А ХА 2А 3 — треугольник на плоскости, С — какая- либо точка той же плоскости. Построим точку Сь симметричную точке С относительно А х, точку С2, симметричную точке Сх относи­тельно А 2, точку С3, симметричную точке С2 относительно А 3, точ­ку С4, симметричную точке С3 относительно A Xl и т. д. Д оказать, что не более чем через шесть таких отражений получим точку, ко­торая совпадет с исходной точкой С.

39. Вершины каждого из двух правильных треугольников, ле­жащих на плоскости, пронумерованы против часовой стрелки; вершины с одинаковыми номерами соединены отрезками. Д оказать, что середины этих отрезков также являются вершинами некоторого правильного треугольника (случай вырождения этого треугольни­ка в одну точку не исключается).

40. На плоскости имеются два параллелограмма А ХА 2А 3А 4 и В ХВ 2В 3В± (вершины указаны в том порядке, в котором они встре­чаются при обходе параллелограммов против часовой стрелки). Вершины с одинаковыми номерами (А х и B lt /12 и В 2 и т. д.) соеди­нены отрезками, на каждом из которых отмечена середина. Прове­рить, будут ли образовавшиеся таким образом четыре точки верши­нами параллелограмма (случай вырождения параллелограмма в отрезок или точку не исключается).

В з а д а ч а х 41—49 все решения указанных уравнений тре­буется изобразить на комплексной плоскости.

41. г8 = i. 42. г2 = 3 — 4 i. 43. 2:> = 1.44. 23 = — 1. 45. 27 -|- 1 = 0. 46. г8 - 1 f I.47. 2° = —8. 48. 25 = —4 + 3 i. 49. 2« = 1.

16

50. ГІусть a ,b , с — комплексные координаты трех точек А , В, С на комплексной плоскости. Каков геометрический смысл равенства

Л и т е р а т у р а : [2], гл. I, § 4; [ 1J, гл. I, п. 4.

Комплексные числа можно наглядно изобразить в виде точек некоторой сферы, которая называется комплексной ч и с л о в о й с ф с р о й (или сфе­рой Рнмана). В качестве таковой выбирается сфера ст единичного диаметра, касающаяся комплексной плоскости в нулевой точке (ее наглядно можно представить в виде земного глобуса). Обычно глобус располагается так, что точка касания является Южным полюсом S глобуса, причем вещественная ось касается нулевого меридиана.

Каждому комплексному числу г сопоставляется точка Z' пересечения поверхности сферы с лучом, исходящим из Северного полюса /V глобуса и проходящим через ту точку Z комплексной плоскости, которая имеет ком­плексную координату г. При этом число z называется к о м п л е к с и о й к о о р д и н а т о и т о ч к и Z' и а с ф с р е.

Установленное соответствие является взаимно однозначным соответстви­ем между точками комплексной плоскости и точками сферы а с выколотым по­люсом N. В теории аналитических функций полезно рассматривать соответ­ствие между полной сферой и комплексной плоскостью, дополненной симво­лической точкой, которая называется б с с к о н е ч и о у д а л е н н о й т о ч к о й и обозначается знаком со. При этом будем полагать, что беско­нечно удаленной точке соответствует па сфере Северный полюс N.

Комплексная плоскость, дополненная точкой со, называется р а с ш и* р е п н о й (или полной) к о м и л е к с и о й п л о с к о с т ь ю . Описан­ное выше взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и точками сферы называется с т е р е о г р а ф и ч е с к о й и р о е к ц и е и.

Для перехода от географических координат (tp, /„) точки Z' (ср — широта, X — долгота) к ее комплексной координате z — ре1) можно воспользоваться формулами

Отметим два в аж н ы х сиойстиа стереограф и ческ ой проекц и и , которы е часто и сп о л ь зу ю т при реш ении зад ач .

1. Круговое свойство. При стереографической проекции каждая окруж ­ность у сферы о преобразуется либо в окружность (если у не проходит через центр проекции /V), либо в прямую (если у проходит через N).

2. Свойство сохранения углов1. Если при стереографической проекции точка Р' и линии у[ и у,,, взятые на сфере и выходящие из точки Р ', изобра­жаются на плоскости в виде точки Р и линий у г и у 2, то

1 Напомним, что углом между двумя линиями в точке Р их пересечения называется угол между Касательными к этим линиям, проведенным» в точке Р.

Im = 0?а — с

§ 2. КОМПЛЕКСНАЯ ЧИСЛОВАЯ СФЕРА И СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ

(2.1)

ҮІР ' \2 ■= ViPy*.-

17

51. Отрезок Л, А 2 яв л я ­ется диаметром комплексной числовой сферы, причем Л / и Л о' не совпадают с полюса­ми N и 5 . Известно, что точ­ка Л -у имеет комплексную координату zx. Вычислить комплексную координату точ­ки Л 2'.

Р е ш е н и е . Обозначим географические координаты точки Л ' через срх и Хх, а

точки Л'о через ср2 и X.,. Так как точки Л, и Л„ диамет­рально противоположны, то 9 о — *“ * и ^2 — ^ я .

Используя формулы (2. 1), можно записать:

гі = P i< A

где Өі = Aj, рх = tg •rc I Фі 4 2

to,

4 2где 02 = X2, p, = tg

Выражая 02 и p2 через 0j и рь получим:

Ө2 - ЯА - я = Өх — я; р2 = t g ^ + ^ = tg i ~ — ^

= ctg ' "

ПоэтомуPi

Pi

— 1

Pit’,-rc,1Итак, комплексная координата точки Л равна — —.Zi

52. Точки А' и Z', расположенные на комплексной числовой сфере, имеют комплексные координаты а и г. Чему равна длина хорды А ' Z' (хордальное расстояние между точками А ' и Z')?

Р е ш е н и е . Сначала рассмотрим случай, когда а Ф оо и г Ф оо. Обозначим (рис. 8) через Л и Z точки на комплексной пло­скости с координатами а и z. Тогда

| 5 Л | = | а | , |S Z |

| N А | — у ' Т

= z | AZ\ = \ г — а\, | N S | = 1,

\ м г \ = у т г щ \

18

Из подобия прямоугольных треугольников A N S и S N A ' следует, что

AN | | NS |

откуда

Аналогично

I NS | | A'N |

\ N A ' \ = - — L = - . (2.2)V i + I«P v ;

| NZ' | = —— =L===.. (2.2')1 / 1 + 1* I2

Обозначим расстояние H 'Z 'I через k (a, z) или /г. Из треуголь­ника А ' NZ' по теореме косинусов получаем:

/г2 = | Л М ' | 2 + IvVZ' |2 — 2 \ N A ' \ \ N Z ' \ c o s q > ,

где ср = A 'N Z ' . Или с учетом (2.2) и (2.2')/г2(1 - b |a |2) ( l + | 2 |2) = (1 - | - |z |2) + (l + |a j 2) -

— 2 У 1 + I а |2 • У \ -}-1 z |2 cos ф. (2.3)С другой стороны, из Д A N Z (по теореме косинусов) следует, что

|г — а |2=(1 + | я | 2) + (1 + |z |2)—2 + |a j 2 • У 1 + | z |- cos ф. (2.4)

Сравнивая формулы (2.3) и (2.4), найдем:

к (а’ г)

Пусть теперь а — оо. Тогда расстояние \A'Z'\ оказывается рав­ным \NZ'\t и поэтому (см. формулу (2.2')

/((От, z) =|A/Z'| = - 7= L = .1 K ! + | Z | a

53. Описать положение (найти географические координаты) тех пунктов на комплексной числовой сфере, которые имеют комп­лексные координаты: 1, — 1, i, — i, 1 — i.

54. Какова комплексная координата точки Z' на земном глобу­се, если ее географические координаты: 60° северной широты, 45° восточной долготы.

55. Решить задачу 54 в предположении, что географические координаты точки Z' таковы: 30° южной широты, 60'J западной долготы.

56. Точка Р на комплексной числовой сфере имеет комплексную координату z. Как располагаются (по отношению к точке Р) наэтой сфере точки с координатами: а) г; б) —z; в) «г; г) 4-?

z57. Выяснить, во что преобразуются при стереографической

проекции следующие фигуры на плоскости: а) семейство парал­

лельных прямых; б) гюлоса между двумя параллельными прямыми;в) полуплоскость; г) угол с вершиной в точке касания сферы и пло­скости.

58*. У полярной экспедиции имеется карта Антарктиды, по­лученная с помощью стереографической проекции (с центром про­екции в Северном полюсе Земли). Экспедиция должна пройти от станции А х к станции Л 2, географические координаты которых из­вестны. Каким образом можно найти на карте кратчайший путь, соединяющий (на поверхности Земли) эти пункты?

59. Комплексная числовая плоскость я касается земного глобу­са (его диаметр принят равным 1) в точке Р пересечения экватора с нулевым меридианом, причем ось Ох направлена по касательной к экватору на восток, а ось Оу — по касательной к меридиану на север. Глобус проецируется на плоскость я из точки Q, симметрич­ной точке Р относительно центра глобуса. Найти связь между гео­графическими координатами (cp, А) какой-либо точки глобуса и комплексной, координатой ее проекции на плоскость я.

§ 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИИ РЯДЫ

Л и т е р а т у р а : [1], гл. I, п. 3, гл. IV , п. 1; [2], гл. I, § 3, § G, пп. 1— 4; [3], гл. I I , § 2.

О к р е с т н о с т ь ю к о н е ч н о й т о ч к и с на комплексной плос­кости называется всякий открытый круг (круг без границы) с центром в этой точке (иными словами, множество всех точек г , для которых \г — с| << е; число 8 > 0 называется радиусом окрестности, круг \г — с| < 6 на­зывают обычно е-окрестность:о точки а). О к р е с т н о с т ь ю б е с к о ­н е ч н о у д а л е н н о й т о ч к и называется внешность каждого круга с центром в точке г — 0 (иными словами, множество всех точек г, для кото­рых |г| > R).

Говорят, что последовательность точек комплексной плоскости (или, что то же самое, п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь к о м п л е к с н ы хч и с е л) ги г2, . . . , г„, ... (короче, {г„}) и м е е т п р е д е л о м1 т о ч к у с, если каждая окрестность точки с содержит все точки последовательности, начиная с некоторого номера /V; при этом, вообще говоря, число N зависит от выбора окрестности. Заметим, что это определение пригодно и в случае С = оо.

При решении задач полезно учесть следующие свойства пределов по- следовательностей.

1) Последовательность {z n ) тогда и только тогда имеет конечный предел с = а + bi, когда существуют конечные пределы:

lim Re Z/i = а и lim I m z rl — b.2) Если lim гп = с, то lim \zn \ — |c|; если lim zn = со,то Iim|2r/t| = сю;

lim zn = 0 тогда и только тогда, когда lim \zn\ — 0.3) Известные из курса анализа теоремы о пределах последовательностей

остаются в силе и для последовательностей комплексных чисел. В частности, если

lim zn — с', lim zn = с" (с' Ф оо, с ’ Ф оо),

1 Или сходится к с; обозначим эго так: с = lim гп (иногда с — lim z„)п -» со

или г п -*■ с.

20

то

lim ( гп ± z"n) = с ' ± с"; lim ( г ' • г ' ) = d • с";

ІІП! = —7 (z”^ 0, с"=^0).

60. Пользуясь определением, доказать, что последовательность{zn} с общим членом zn = п ^г1п- - 1 ~ 1- имеет пределом точку

пС = \ ~\~ І.

Р е ш е н и е . Пусть е > 0 — произвольное число. Рассмотрим е -окрестность точки с = 1 + i. Нам надо показать, что найдется такой номер N , что при ti > N все точки zn рассматриваемой после­довательности окажутся в г-окрестности точки с\ иными словами, выполняется неравенство

К - ( 1 + 01 < е . (3.1)Так как

\гп— 0 -I- 0 1 -п - f i п - f 1 — І (1 -I- І) 1 — 1 - I J L

п п

то неравенство (3.1) имеет вид:

У 2 8. (3.2)

Пусть теперь N — целая часть числа ]lA (если 1_JL < 1, тое е

возьмем N — 1). Тогда для каждого п > N выполняется неравен­ство п > } —L , а следовательно, неравенства (3.2) и (3.1). Этот

ефакт в силу произвольности выбора окрестности точки 1 + i и означает, что число 1 + І является пределом последовательно­сти К ) -

В з а д а ч а х 61—65, пользуясь определением, доказать, что данные последовательности {г,,} имеют указанные пределы с.

61. 2,1 —

62. гл =

63. zn =

64. zn =

65. zn —

п2 ЗІС

я 2 — 2 І

3 in — п — 1 1 ш ’

(2ря — 1 . (2І)" ’

m3 3 .

= 1.

с = 3 -}- І.

= 1.

с —2n3 — i in2 + 2/ia + 1

С = 2 + І .

2!

66. Вычислить предел последовательностил2 4 - 3 іп2 — 2І

Р е ш е н и е {первый способ) . Преобразуем z nt выделяя дейст­вительную и мнимую части:

_ (,t2 _[_ 3/) (П2 _j. 20 _ (/г* — 6) + 1 . 5/i2 п4 — 6 , . 5/I2| г -;— .•п4 - f 4 /I4 -f- 4 п4 4 - 4

Рассмотрим две последовательности действительных чисел:п * — б т 5п2д-п = R ezfl ------- и у = Ini zn = ------- .

п п п* + 4 п4 -]- 4

Так как lim л'п = 1 и lim у п — 0, то (см. свойство 1) последова­тельность {zn} имеет предел, причем

lim zn = 1 4- 0 • i — 1.Второй способ. Преобразуя zn и пользуясь теоремами о преде­

лах последовательностей, можем записать:

а , 3; ! l + + lim = lim — 1— = lim

21 . 2 , / • 21 — — 11 in 1 — i —11“ \ n~

31 -f- i lim —

n2 __ 1 -|- І • 0 _ ^2 ~ T — t • 0

1 — i lim —n2

67. Вычислить предел последовательности, 2 4 - i \Пz _ I 1 \

Р е ш е н и е . Рассмотрим последовательность из положитель­ных действительных чисел:.

' У ъ V ' / 1 \пz„ = 2 4-tV

Так как lim | zn | = lim 0,то это означает, что и lim zn = 0.

68. Выяснить, имеет ли последовательность z n = in предел. Р е ш е н и е . Запишем несколько первых членов последователь­

ности zn: I

i , 1, i , 1, І, 1, I, 1, ...

Пусть с — какое-нибудь конечное комплексное число, отличное от i , — 1, — i, 4- 1, а р — какое-либо положительное число, которое

22

меньше расстояния от точки с до каждой из точек і, — 1, — і , 1. Тогда вне р-окрестности точки с окажутся все точки данной после­довательности, и, значит, точка с не является пределом последова­тельности.

Если точка с совпадает с одной из точек: і / — 1 , — і , 1 , то вне окрестности точки с радиуса ~ содержится бесконечное множество

точек последовательности zn, и поэтому и в этом случае точка с не .может быть пределом последовательности.

Пусть теперь с = оо. Рассмотрим область \z\ > 2 — окрестность точки z = оо. Она не содержит ни одной точки последовательности гп. Следовательно, точка с = оо также не является пределом после­довательности zri. Итак, указанная последовательность предела не имеет.

В з а д а ч а х 69—75 требуется относительно каждой из ука­занных последовательностей выяснить, имеет ли она предел (конеч- j ный или бесконечный), и, если предел существует, найти его. Изобразить (приблизительно) на комплексной плоскости первые пять членов последовательностей.

75. zn= i « + I .п

76. Пусть lim гп = с ф 0. Следует ли отсюда существование предела у последовательности {argz„}? Ответ обосновать.

Пусть Е — произвольное множество точек комплексной плоскости. Точка с называется п р е д е л ь н о й для множества Е, если существует последовательность (с,,} различных точек из £ , сходящаяся к с.

Точк;і с будет предельной для множества V. тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки с содержит бесконечное множество точек, принад­лежащих Е. Заметим, что сама предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Е.

77. Найти все предельные точки множества Е, состоящего източек zn — in • (п = 1, 2 , 3, ...).

пР е ш е н и е. 1) Выясним сначала, является ли точка оо пре­

дельной для Е. Так как | zn \ — п 1 < 2 , то в области \z\ > 2п

(которая представляет собой окрестность точки оо) вовсе нет точек из Е , следовательно, точка оо не является предельной для Е.

72. z„/ 3 -

74. zn = ( - l ) «п

23

2) Рассмотрим точку с = 1 и произвольно выбранную е-окрест- ность этой точки. Выделим те точки из Е , для которых п = 4k (k — 1, 2, 3, ,,.). Имеем:

| г ‘ " _ 1 | = « < е ’

если —. Отсюда видно, что в е-окрестности 1 имеется бес-46

конечно много точек множества Е (все точки zik, для которыхk > — Следовательно, точка 1 — предельная для Е, Анало-

4егично можно показать (сделайте это!), что точки — 1, і , — І также являются предельными для Е.

3) Пусть теперь с — какая-либо конечная точка, отличная от 1, — 1, i , — i. Обозначим через р наименьшее из расстояний от этих точек до точки с. Тогда

л + 1 С ------- -— 1п — іп(с — in) ------ V Г1 1

п п

п п

Отсюда следует, что для всех /г, для которых — < — р (т. е.п 2

если п > —), выполнится неравенство Р

|с — гл \ > ~ р.

Это означает, что внутри е-окрестности |е = точки с имеет­

ся лишь конечное число точек множества Е\ следовательно, точка с не является предельной для множества Е. Итак, множество Е имеет всего четыре предельные точки: 1, — 1, г, — i.

78. Какие предельные точки на расширенной комплексной плоскости имеет множество всех целочисленных узлов, т. е. точек комплексной плоскости с коордииатами z = т + ni, где т и п — любые целые числа?

79. Какие предельные точки на расширенной комплексной пло­скости имеет множество всех рациональных узлов, т. е. точек комп­лексной плоскости с координатами z = rx + ir2, где гх и г„ — лю­бые рациональные числа?

В з а д а ч а х 80—83 выяснить, какие предельные точки на расширенной комплексной плоскости имеют указанные множества точек.

80. z = 1 -J- ( 1)л j - (л = 1, 2 , ...).п -J- 1

81. г = ( - 1)« + 1 (п = 1 , 2 , ...).П

24

82. z = arg ( — 2

83. 2 = — + — (m и ti — произвольные целые числа, гп Ф О,т п

П + 0).

Ряд с комплексными членами

сх 4* Со + . . . + сп 4 - ••• (3.3)СО

(короче, У с „ ) называется с х о д я щ и м с я , если последовательность его

частичных сумм имеет конечный предел. Этот предел называется с у м м о й ряда.

соДля того чтобы р я д ^ сп сходился и имел своей суммой число с — а 4*

п*=1-}- bi, необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды

ОЭ ОЭ2 Re сп и 2 , т СЧ П~\ /1 —I

и имели суммы а и b соответственно.Ряд (3.3) называется а б с о л ю т н о с х о д я щ и м с я, если сходит­

ся ряд, составленный из модулей его членов:

N 4- N 4 ... Н- \са\ 4- ... • (3.4)Сходимость ряда (3.4) влечет за собой сходимость ряда (3.3) (но не наоборот), т. е. всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Так как ряд (3.4) — это числовой ряд с действительными неотрицательными членами, то для иссле­дования рядов (3.3) на абсолютную сходимость можно использовать извест­ные признаки сходимости знакоположительных рядов (сравнение рядов, признаки Даламбера, Коши и др.) .

сос1>1

► — сходящимся?Z j /t3п = 1

Р е ш е н и е . Составим ряд из модулей членов данного ряда:ОЭ

oinп3

ОО

I “ 1 4/!=Ы Пжхі

Этот ряд сходится (его сходимость можно установить, например, с помощью интегрального признака — сделайте это!). Поэтому данный в условии р я д е комплексными членами сходится, и притом абсолютно.

85. Выяснить, при каких неотрицательных значениях г ряд1 r . e 4ta 4_ _ + t *a(?nla+ _

(где а — любое действительное число) сходится, и вычислить сумму ряда.

25

Р е ш е н и е . Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем q — г е 2іа, причем \q\ = га. Отсюда следует, что при г ^ 1 ряд расходится, а при г < 1 — сходится. По формуле суммы членов бесконечной геомет­рической прогрессии находим сумму 5 данного ряда:

1 — г-е 2 i 'a

В з а д а ч а х 86—94 требуется выяснить, являются ли ука­занные ряды сходящимися, абсолютно сходящимися.

(ш)«CO

I j3«І -f /I2

89.00

1(2i)nn\tln

92.00

ITl — \ n=\ AI=lCO CO CO

T. я2 (3 0«

90. I (я!)2 (2i)«* * 93. I

n= 1 /•1=1 « = 100

ein2 n\

CO 00

In~ 1

91. Ifl=l

(in)'1 (2/1)! ’

94. I/1=1

(я!)2

2 п — 1 "(20""'

(5in — 4) (4m + О

В з а д а ч а х 95— 100 требуется вычислить суммы указанных рядов.

95. 1 + — cos2a + — cos 4a + —cos 6a + ...2 4 8

96. — sin 2a + — sin 4a -|- — sin 6a + ...2 4 8

97. — cos a + — cos 3a + — cos 5a + ...3 9 27

98. — sin a 4- — sin 3a — sin 5a 4- ...3 9 27

99. r sin a -J- r sin 2a + ... -f- rn sin na -j- ... , 0 ^ r < 1.100. r cos a + r cos 2a -j- ... -j- rn cos na + ... , 0 < r < 1.

Г Л А В А I I

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 4. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Л и т е р а т у р а : [1], гл. I, § 5, гл. II, § 4; [2], гл. II , § 1, и. 2; [3], гл. I, § I.

В курсе вещественного анализа линии на плоскости обычно задаются с помощью уравнения вида Ғ (х , у) = 0 (х и у — декартовы координаты) или /' (г> Ф) — 0 (г и ф — полярные координаты), а также параметрическими уравнениями

х = ф (/), у = ф (О-В комплексном анализе все эти формы задания линии часто встречаются

в несколько ином виде. Параметрически линию задают одним уравнением г = 2 (/); уравнение вида Ғ (х, у) — 0 (или Ғ (г, ф) = 0) заменяют уравне­нием Ғ (г) = 0. Студенту необходимо получить некоторые навыки чтения этих уравнений1.

Изучая кривую по се уравнениюг = z (0 (а < t < р), (4.1)

иногда приходится выяснять, является ли она замкнутой н имеет ли она кратные точки. Кривая (4.1) называется з а м к и у т о й, если г (а) = г (Р). Расположенная на кривой (4.1) точка го считается к р а т н о й, если суще­ствуют по крайней мере два таких значения параметра ty и tn (а ^ < t2< р), что ф (^) = ф (/2) = г0 и хотя бы одно из чисел tlt t2 отлично от аИ ОТ р .

101. Выяснить, какая линия на плоскости задается уравнением z — І - г и 1 (— со < t < с о ) .

Р е ш е и и е. Полагая z = х iy, запишем комплексное урав­нение даііноіі линии параметрически в виде двух вещественных уравнении

х = I, у = (г (— оо < t < оо ),

откуда находим, чтоУ — X2 (— оо < X < о о ).

Следовательно, данная линия — парабола.

1 Для определения вида кривых полезно обращаться к различным спра­вочникам, например, к книге Бронштейна И. Н. и Семендяева К. А. «Спра­вочник по математике» (изд. 11, стереотип. М., 1967, раздел «Важнейшиекривые»). В дальнейшем будем называть ее кратко: «Справочник».

27

102. Изобразить линию, за­даваемую уравнением

z = el t s\n2t, 0 .2

Р е ш е н и е . Запишем урав­нение данной линии в виде двух вещественных уравнений

1 х х — cos t sin 2t,

у — sin t sin 2t(o ^ . t y j ,

откуда найдем:я2 + у2 = sin" 21.

Рассматривая угловой пара- Рис. 9 метр /, находим уравнение л и ­

нии в полярных координатах (полагаем: х = г cos /, у = г sin t):

При изменении параметра t от 0 до 2л получается так называе­мая четырехлепестковая роза (рис. 9), а при один ее

лепесток.103. Какие линии заданы уравнениями:a) z — it (— 1 ^ f ^ I); б) z = / sin t (0 ^ t ^ 2л)?Выяснить, являются ли они замкнутыми и имеют ли кратные

точки.Р е ш е н и е . Обозначая z через х + iy, из уравнения z =

= it (— 1 ^ t ^ 1) получаем:* = о, у = М - 1 < t < 1).

Итак, уравнение z = it (— 1 < t < 1) определяет линию, изобра­жаемую отрезком мнимой оси — 1 ^ у ^ 1 на комплексной пло­скости хОу. Для направления, соответствующего возрастанию па­раметра t, начальной является точка z = — i, конечной — точка z — i. Кривая не замкнута, гак как начальному и конечному значе­ниям параметра t соответствуют разные точки кривой. Она не имеет кратных точек, так как двум любым различным значениям параметра t соответствуют разные точки кривой.

Рассмотрим теперь уравнение z = i sin t (0 I 2л). При изменении параметра / от 0 до 2л sin t принимает все вещественные значения, заключенные между — 1 и 1. Поэтому кривая z =— i s \ n t (0 ^ t ^ 2л) изображается тем же отрезком мнимой оси— 1 < У < 1, что и кривая z —it (— 1 ^ ^ 1 ) , но тем не менее эти линии отличаются друг от друга. В самом деле, кривая z — i sin t (0 ^

28

^ ^ 2л) замкнутая, ибо значениям параметра t — 0 и / = 2л со­ответствует одна и та же точка z = 0. Кроме того, эта кривая имеет кратные точки, а именно значениям параметра t0 и л — t0 (0 < t0 << л) соответствует одна и та же точка комплексной плоскости г — i sin t0, так как sin (л — t0) — sin /0; аналогично значениям параметра t0' и Зл — t0' (л < t0' < 2л) соответствует одна и та же точка z = i sin t0\

Различие между линиями z = it (— 1 ^ t ^ 1) и z = i sin t(0 ^ t ^ 2л) заключается в том, что при изменении параметра tв соответствующих промежутках в первом случае точка z «пробега­ет» отрезок мнимой оси — 1 ^ у ^ 1 однократно, а во втором слу­чае — дважды.

104. Какая линия задана уравнениемz — sin с ch t i cos с sh t (— оо < t < оо),

л я

2 * 2Р е ш е н и е . Полагая z — х + iy, найдем вещественные урав­

нения линии в параметрической форме:

х = sin с ch t, у — cos с sh t. (4,2)

При с ~ 0 и с — из (4.2) далее получаем:

где с — число из

ch21 — s ir t.

Но, как известно1, ch- t — sh2 t — 1. Поэтому

— 4 - = L (4.3)s i n ‘- С COS“ с

Это уравнение гиперболы. Так как уравнение (4.3) получено из системы (4.2) с помощью операции возведения в квадрат, то гипер­бола может содержать и посторонние для исходной кривой (4.2)точки. Чтобы выяснить, совпадает ли кривая (4.2) со всей гипер­болой (4.3) или является ее частью, проанализируем уравне­ния (4.2).

П у с т ь -----j < с < 0. Тогда х — s in c c h f < 0, так как сһ / > 0

при любом t. Это означает, что точки кривой (4.2) могут находиться лишь на левой ветви гиперболы.

Так как, далее, при — оо < t < оо х пробегает все значения от 0 до —оо, а у — от — оо до + оо, то ясно, что кривая (4.2) совпа­дает со всей левой ветвью гиперболы. Аналогично проверяем, чтопри 0 < с < f кривая (4.2) представляет собой правую ветвь

гиперболы (4.3).

1 О гиперболических функциях ch t и sh / см., например, «Справочник».

29

Теперь рассмотрим случаи с = 0 , с = J- -, с = — Из (4.2)

при с = 0 получаем уравнение данной линии в видех — 0 , у = sh/.

Так как при — оо < t < оо sh t пробегает промежуток ]— оо,4-оо[, то эта линия есть мнимая ось г-нлоскости,

При с = ~ получаем:

х = сһ/, у — 0 .Эти уравнения определяют луч вещественной оси х ^ 1 (так как сЫ 1).

Если с = — ү , то находим, что х = —сһ/, у = 0; в этом слу­

чаезаданная линия — луч вещественной оси х ^ — 1.В з а д а ч а х 105— 115 требуется выяснить, какие линии зада­

ны указанными уравнениями, и изобразить эти линии на чертеже.105. z — і + 2еи (Зя ^ 5я).106. z = it ~г 2 (—оо < t < оо).107. z = (1 — i)t -j- i (— оо < t < оо).108. z = at + b (— oo < t < со), где a = aL ia2, b = by

-1- ib2 — комплексные числа.109. 2 = (1 -f i)t2 + 1 (—со < t < oo).

110. Z = — -f- it (— oo < t < oo).

111. Z — І“-----(0 < / < со).

112. 2 = -(— я ^ f ^ л).(1 _|_ С ) ^ ^

113. z = Re" + n r " (0 < я).114. 2= e( (cos с sin с) (— со < /* < со, с — вещественное число).115. 2 = /2 — сг - п 2/с* '(— .со < / < со, с — вещественное число).116. Выяснить, какая линия задана уравнением

z — 3 _ 2

2 + 1Р е ш е н и е (геометрическое). Данное уравнение можно пере­

писать в виде J—j-yj = 2 , или [2 — 3 | = 2 |г + 1 |. Но |г — 3 1 —

это расстояние от точки z до точки 3. Аналогично |г + 1 | = = \z — (— I)) — расстояние от точки z до точки — 1. Таким образом, речь идет о таких точках 2, для которых расстояние от точки 3 вдвое больше расстояния от точки — 1. Значит, искомая линия представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний которых от двух данных точек 3 и — 1 постоянно и

30

равно 2. Как известно из геометрии (см. Аргунов Б, И ,, Балк М. Б. Элементарная геометрия. М., «Просвещение», 1966, с, 52—53), это множество точек является окружностью (ее называют окруж ­ностью Аполлония). В указанном пособии описан и способ геомет­рического построения окружности Аполлония.

Р е ш е н и е {аналитическое). Перепишем данное уравнение в виде

1-v + уі — 31 = 2 \х + у і -j- 11,

откуда находим:

У {х — З)2 + у2 = 2 У (х -)- D 4 - г .

Возведя обе части полученного уравнения в квадрат1 и выпол­нив некоторые элементарные преобразования, получим уравнение

> ■ - ( { ) •

Следовательно, заданная в условии задачи линия — окружностьрадиуса — с центром в точке (— — , 0).

3 3117. Пусть |а| < 1. Какую линию образует множество всех

таких точек комплексной плоскости, чьи комплексные координаты z удовлетворяют соотношению

г — а1?

1 — az

Р е ш е н и е {аналитическое). Данное соотношение запишем в виде

\г — а\* = |1 — az\2,

что в силу известных свойств сопряженных чисел (см. с. 5) рав­носильно условию

{z — a) {z — а) = (1 — az) (1 — az), или после несложных преобразований

(1 - Н 2) ( И 2 — 1) = 0.

Так как по условию |а | < 1 , то 1 — |а |2 Ф 0, и мы имеем |z2| —— 1 = 0 , или, что то же, |г| = 1. Итак, искомая линия представля­ет собой единичную окружность на комплексной плоскости.

В з а д а ч а х 118— 128 найти и изобразить на чертеже линии, заданные указанными уравнениями2.

1 Здесь возведение в квадрат не приведет к появлению посторонних решении (см. № 104).

2 При этом полезно использовать геометрические истолкования компле­ксных чисел и операции над ними.

31

118.

119.120. 121.122.

= 1.2-Ь 3

\z - 2 | + \z + 2| = 4. \z — 21 + |z -{- 2 | = 6. \ z — 2 | — |г + 2 ( = 1,22 + г2 = 1.

123. Re — = — (R > 0).2 . ^

124. z — et(X z (a — вещественная константа).125. Im = 0 (здесь г0 и zx — фиксированные комплексные

гі - z0числа, zx ^ г0).

ZRe^- = 0 (г0 ^ 0).

| г - 2 | + | г + 2| = 1.\z — а\ -\- |г — Ь\ = с - комплексные постоянные, с положительное число).

126.

127.128.

(а и b -У к а з а н и е. Рассмотреть случаи: с > | а — Ь\, с — \ а — Ь |,

0 < с < \а — Ь\.Д ля задания на плоскости различных фигур (в частност::. областей)

нередко используют неравенства: фигура задается как множество всех точек, чьи комплексные координаты удовлетворяют некоторому неравенству вида

Ф (г) < 0 или Ф (z) < 0,

где Ф (г) — вещественнозначная функция комплексного переменного г. Понятно, что каждую такую функцию можно представить как вещественно­значную функцию двух вещественных переменных, так что мы можем свести задачу к неравенствам вида

F (х, у) < 0, F {х, у) < 0.

В приведенных ниже задачах функция F (лг, у) обычно оказывается не­прерывной на всей плоскости (за исключением, возможно, отдельных точек). При решении неравенств указанного типа удобно сначала искать множество L таких точек, для которых имеет место равенство

Ф (z) = 0 (т. с. F (х, у) = 0).

Множество L обычно разбивает плоскость на несколько областей D t , D 2, . . . , D m , в которых уже нет ни одной точки из L. В каждой из этих обла- спгей функция Ф (г) (т. е. F (х, у)) сохраняет знак (это следует из свойства непрерывности функции F (х, у): непрерывная вещественная функция может изменить знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль). Поэтому для выяснения знака неравенства в каждой из областей D lt Do, . . . , D m можно воспользоваться п р и е м о м « п р о б н о й т о ч к и»: если в какой-нибудь конкретной точке \xk ; y k) из области D f. F (х, у) < 0, то F (лг, у) < 0 и во всех точках этой области.

Следует иметь в виду, что иногда решение неравенства значительно у п р о ­щается, если исходить из геометрических соображений.

129. Найти множество точек комплексной плоскости, задавае­мых неравенством

z — 3

z-[- 1> 2 .

32

Р е ш е н и е . Сначала найдем множество таких точек, для которых имеет место равенство

— - = 2 .2 + 1

Как показано в задаче 116, это множество представляет собой окружность

7 \ 2 / 8* + - ) + У = ( з

которая разбивает плоскость на две области и D.z (внутренность и внешность соответствующего круга). Д ля выяснения знака не­равенства возьмем в области D lf например, точку z — 0, а в обла­сти D 2 — точку z — 2. Так как

о — з

0 - ь 13 > 2, а 2 — 3

2-1- 1= — < 2 ,

з

го заключаем, что искомое множество есть открытый круг радиуса8 7— с центром в точке z = ------ .3 3

130. Каково множество тех точек z, для которых сходится ряд1 -f- {Z* -|- 1) -j- (Z "+ l)2 -j- ... -}- (2~ -{- 1)" + ... ?

P e ш e и и e. Рассматривая при каждом фиксированном z данныіі ряд как бесконечную геометрическую прогрессию, можно заключить, что ряд будет сходиться тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

|г2 + 1| < 1.Для выяснения его геометрического смысла найдем множество тех точек z = х + iy, для которых

|г2 + 11= 1,или, что то же,

У ( Х'г _ у2 + i)2 _|_ 4 V*>(2 = L

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, после несложных преобразований (проделайте их) получим равносильное (объясни­те почему) уравнение:

(д * -]- У2)2 _{_ 2 (д * _ yf) = 0 .

Перейдем к полярным координатам г и ср. Получим: г2 = —2 cos ср.

Эта кривая — лемниската (см. «Справочник»). Плоскость разбивает­ся на три области D lt D o , D . , (рис. 10). Возьмем в областях D x, D „ , D3 соответственно точки z = i, z = — i , z = 1. Так как \i~ - f 1| = = 0 < 1, I ( — 0 2 -I- 11 = 0 < 1, a 112 + 11 = 2 > 1, то искомое множество точек сходимости ряда представляет собой заштрихо­ванные на рисунке 10 внутренние области лемнискаты,

2 Заказ 411 33

В з а д а ч а х 131— 142 требуется найти и изобразить на чертеже множест­ва точек комплексной плоскости, задан­ных неравенствами.

2131.

132.

2 + I

1

< 1.

> 2 ,

133. 1г п (22) < 1.134. Re (г2) > 1.135. \г\ + І ш г ^ 1.

2 — 1136.

137.

> 2 .

138. 2 + 2 > 2 .

2 — г

2 — 1 | > 3 | 2 — 3 |.

141*. | 22 + z \ < 1.

2 + 1 2

> 2 .

2— 1 ,

139. ! г — t'| + | 2 + t | > 4 . 142*.

140. 12 | - f R e2 > 1.

143*. Каково множество точек сходимости ряда

2 | г г — И"?л=0

§ 5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Л и т е р а т у р а : [1], гл. II , п. 1, 3, 2; [2], гл. II , § I, п. 3; [3], гл. I, § 2, 3, гл. II , § 1, 3.

Всякую функцию w = f (2) комплексного переменного г = х + iy можнс представить в виде

w = и (х, у) + lv (х, у),

где функции и (х , у) и v (х, у) уж е являются вещественнозначными функция­ми двух вещественных переменных х и у. При этом функцию и = и (х, у) называют действительной (или вещественной) частью f (2), a v — v (х, у) — мнимой.

Понятно, что действительную и мнимую части каждой функции комплекс­ного переменного z = х + iy можно также рассматривать как функции от двух других вещественных переменных, а именно модуля и аргумента чис­ла г. Д ля этого, естественно, используется показательная форма комплексно­го числа

Г (cos ф i sin ф).

34

144. Выделить действительную и мнимую части функции w =— z — -І, выразив их: а) через вещественную и мнимую части

2

переменного z\ б) через модуль и аргумент этого переменного.Р е ш е н и е , а) В формулу, задающую функцию, вместо w

подставим и + iv, а вместо z подставим х -{- yi, Имеем:. 1и -j- IV = X — y i ------------.

х + у 1

В результате преобразований находим:. . X — у Іи + IV = X ---y i ---- ;--— =

У‘

Х2+ У~ \ х г+ г )

Отсюда, выделяя действительную и мнимую части, получим:X . уи = х -----, у = — у + — Ч .

Х“+ у 2 Х2-\- У"

б) Взяв z в тригонометрической форме z — г (cos (р + i sin ср) и выполнив необходимые преобразования, найдем;

и -1- iv — г (cos ф — i sin ср)------------- i--------- =г(соБф 4 i sin ср)

/ „ • • \ cos ф — t sin ф= г (cos ср — I sin ср)— ------ ----------- —,г

откудаа = — — j cos ср, v — r + —j sin ср.

В з а д а ч а х 145— 149 требуется выделить действительную и мнимую части каждой из указанных функций.

. . _ г -f- i145. w = —— .2 — І

146. w = ? + \ z \ 2.

147. w — ei(Xz + e‘pz (a и (5 — действительные числа).

148. w = г2 — - .2а

149. w — z- -{- az + b (а , b — действительные числа).

150. Выразить ay = * fo .T .1 )..~h iL ilL h _ I - в виде функции отх 2

переменного z — х -|- iy.

Р е ш е н и е . =х 2 - j - у 2 л:2 + >'2 >,а *

_____ 1 _ _ J_ _ І2— 1

х 4 y i z z

В з а д а ч а х 151— 154 требуется указанные функции от х и у записать как функции от переменного z = х + yi,

1 г 1 У — ІХ151. w — ------- .*2+ >'2

152 йУ = у3 — 3х гу + у 4* i (х3 — Зху2 — х).

153 ш = + +л'2 -j- >|2 + lO.v -{- 25 х2-{- у- -f- 10.V + 25

154. ® = £ ± £ ± * ± J J £ ± £ = l > ' '** + у2

С геометрической точки зрения функция w = f (г) = и + fo комплексно­го переменного z = х iy задает отображение.множества Е г-плоскости на некоторое множество Е' точек w-плоскости. Множество Е' называют образом множества £ при отображении и = / (г).

155. Найти образ окружности |г| = 1 при отображенииW— — lz-\--=r

2 \ zР е ш е н и е . Запишем уравнение единичной окружности

|г| = 1 в параметрическом виде:

z = (0 ^ ср ^ 2 я ) .

Тогда уравнение ее образа имеет вид:

ш = { ( й<Ф + ^ ) = і (е'Ф + е 'Ф)= е'Ф ( ° < ' р < 2 л >-

Снова получили окружность |оу| = 1.156. Найти образ единичной окружности при отображении,

осуществляемом функцией Ж уковского:

W I 1w — — г —2 \ 2

Р е ш е н и е , z — (0 <; ср ^ 2я) — уравнение единичнойокружности в 2-плоскостн. Она преобразуется в линию с уравне­нием

1 I лЙр , 1 \ __ 1 f |ф | —1ф\

е + ~ к ) = ь е ) = cos ф

(см. формулы 1.1 — 1.7).Линия w = и + iv — cos ср (0 < ср < 2я) является отрезком

действительной оси — 1 ^ и ^ 1 (дважды пробегаемым при из­менении параметра ср от 0 до 2я — см. задачу 103). Итак, функцияw — —{г - К —) «сжимает» единичную окружность 2-плоскости

в отрезок [— 1; 1] действительной оси ш-плоскости.

36

157. Выяснить, в какие фигуры оу- п л о с к о с т и преобразует функ­ция w = z + і следующие фигуры 2-плоскости: 1) оси координат; 2) декартову координатную сетку 2-плоскости; 3) единичную окруж ­ность.

158. Ответить на те же вопросы, что и в задаче 157, относитель­но отображения w — iz.

159. На какие линии о у -п л о с к о с т и отображает функция w = —г

следующие кривые 2-плоскости:1) *■ + f = 4; 2) х~ -|- у2 = 1;3) у = х\ 4) у = 0;5) х = 1; 6) (х - I)2 + у- = I?160. В какую фигуру преобразует комплексную плоскость

функция W = 22 + 22?161. В какую фигуру деформируется единичный круг |г| <1

следующими фу и кци ями:1) w = \z\\ 2) w = |г — 11;3) w = -1 12 — z\] 4) W = 2 — 2?

162. а) В какую фигуру преобразуется контур квадрата с вершинами ± 1, =Ы при отображении w — arg z?

6) В какую фигуру преобразуется квадрат с вершинами 0, 1,1 -|- I, i при отображении w — z~?

163. а) В какие линии преобразует функция w — г2 сетку пря­мых, параллельных биссектрисам координатных углов?

б) Какие линии 2-плоскости преобразуются в сетку прямых, параллельных биссектрисам координатных углов ьу-плоскости, при отображении w = 22?

В курсе анализа рассматриваются два эквивалентных определения пре­дела функции в точке: «на языке в — 6;> и «на языке последовательностей». Оба эти определения переносятся и в комплексный анализ. Приведем их.

I. Число с называют пределом функции со = / (г) в точке го, если для всякого е > 0 можно указать такую окрестность точки го, что для всех зна­чений г, отличных от zn и принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство |/ (г) — с\ < г.

II. Число с называется пределом функции и f (г) в точке го, если для любой последовательности комплексных чисел {г/г} (zn принадлежат области определения функции, z n Ф го), сходящейся к го, соответствующая последо­вательность значений функции {/ (г,,)} сходится, и притом к числу с1.

Из второго определения следует такой признак «несуществования пре­делам: если для данной функции ю — / (г) и точки го возможно найти такие две последовательности {zn } и { / „ } , сходящиеся к го, что соответствующие по­следовательности значений функции {/ (г„)} и {/ (г'л)} имеют различные пре­делы, то функция / (г) в точке zo предела не имеет. При решении задач можно пользоваться и тем и другим определением.

Заметим, что известные из анализа теоремы о пределе суммы, произве­дения и частного двух функций также сохраняются в комплексном анализе.

1 Это определение пригодно и в случае го = ' оо.

37

164. Имеет ли функция / (z) = предел в точке z = О?1т г

Р е ш е н и е . Рассмотрим сначала последовательность точекz n — — 0. Так как Re zn — 0, то f (zn) = 0 и соответствующая

п

последовательность значений функции {/ (zn)} сходится к 0. Возь-1 . Імем теперь последовательность точек z = -----|— , такж е сходя-П 11“

щуюся к 0. R ez' = — и I m z ' = —. поэтому / (г' ) = 1, и " п п2

последовательность {/ (z'„)} сходится уже к 1. Так как для двух последовательностей {z/(} и {z'rt}, сходящихся к 0 , соответствую­щие последовательности значений функции {/ (z„)} и {/ (г'„)} име­ют различные пределы, то заключаем, что f (z) в точке z = 0 преде­ла не имеет.

В з а д а ч а х 165— 168 требуется установить, имеют ли данные функции предел в указанных точках; если предел существует, най­ти его.

165. ш = — , z = 0. 167. w = J - , z — 0.2 | Z (а

166. ' , z = 0 . 168. w — —— , z — со.г z — i

Как и в действительном анализе, функция w = f (z) называется н е- п р е р ы в н о й в точке го, если:

1) f (z) определена в этой точке, т. е. существует / (го);2) существует lim / (г);

2-*2э3) выполняется равенство lim f (г) = / (г0).

г-*-г0Заметим, что функция w = / (г) = и (х , у) + iv (х , у) непрерывна в

в точке го = *о + iy о тогда и только тогда, когда в точке (хо, уо) непрерывны ее действительная часть и (х, у) и мнимая часть v (х, у).

169. Доказать, что функция w = f (z) = z2 непрерывна в каж ­дой конечной точке плоскости.

1-е р е ш е н и е . Пусть z0 = х0 - f iy0 — произвольная конеч­ная точка комплексной плоскости. Функция f (z) определена на всей плоскости и / (z0) = z02. Д ля нахождения lim f (z) докажем

_ г~*г<> предварительно, что lim z = z0. Возьмем произвольное е > 0 и

2-f2„будем искать такое б > 0 , чтобы из неравенства |z — z0| < 6 вы­текало неравенство |z — z0| < g . Так как |z — z0\ = \z — z0| = = Iz — z01, то, взяв 6 = e, получим, что для всех z, для которых Iz — z01 < б = е, выполнится неравенство |z — z0| < е , а это и

38

означает, что lim z = z0. По теореме о пределе произведения двух•г->-г0

функций, имеющих пределы, находим:

lim г2 = lim z ■ lim z — z\.z-*20 г-*г0 г-*г0

Итак, имеем lim / (z) = f (z0), т. e . функция f (z) непрерывна* - г 0

в точке z0. Так как z0 — произвольная точка плоскости, то отсюда заключаем, что / (г) = z2 непрерывна на всей плоскости.

2-е р е ш е н и е. Так как г = х + iy , то [ (z) = (х — yt')2 = = .V2 — у2 — 2яуі. Откуда действительная (и (х, у)) и мнимая (v (х, у)) части функции f (г) равны соответственно

и (xt у) = X2 — у2, v (х, у) = — 2ху.В силу того что функции и (х, у) и v (х, у) непрерывны как

функции двух действительных переменных в любой точке (х; у), приходим к выводу о непрерывности функции w — z2 в каждой точке г-плоскости.

170. Показать, что функция w — |z|2z непрерывна в каждой точке z комплексной плоскости.

171. Доказать, что если функция w — f (z) непрерывна в какой- либо точке z, то и функции |f (z)| и Re / (z) непрерывны в этой же точке.

172. Будет ли функция w = arg z непрерывной в точке z = + 1 ; в точке z = — 1?

У к а з а н и е . Можно воспользоваться формулой задачи 12 и непрерывностью функции arctg х.

§ 6. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ. ПОНЯТИЕ ОБ АН АЛ И ТИЧ ЕСКИХ И ГАРМОНИЧЕСКИХ Ф У Н К Ц И Я Х .

ПОНЯТИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЛЮДУ Л Я И АРГУМЕНТА ПРОИЗВОДНОЙ

Л и т е р а т у р а: [1], гл. II, § 5 — 9, 13; [2] , гл. II , § 4, пп. 1— 5; [3],гл. II, § 4, гл. III , § 1 , 3 .

Говорят, что ф у н к ц и я id — f (z) и м е е т в т о ч к е го п р о и з- в о д п у ю, если вспомогательная функция комплексного переменного Һ:

/ (20 + /0 — / (г0)< М Л ) = ----------------1-------------- •

которая представляет собоіі отношение приращения функции f (г) в точке го к приращению аргумента, имеет предел в точке Һ — 0. Этот предел называют п р о и з в о д н о и о т (j) у и к ц и и / (г) в точке го и обозначают / ' (го). Таким образом,

................ /(z„ + A ) - / ( z 0)/ (г0) = lim ------------- ;-------------------------------------------------------.Һ-* о Һ

173. Имеет ли функция w = zz производную в точке z0 = i? Имеет ли она производную в какой-нибудь точке плоскости?

Р е ш е н и е . Составим отношение приращения функции к при­ращению аргумента в точке і :

rn (U\ _ 0 + h) (* + Л) — <t _ (t + Л) (7 + Л)— i i _ . h . I - j Ф/ W ---------------- 1----------- -------------- 1---------------- ~һ *

Нас интересует вопрос, имеет ли функция ср* (Һ) предел в точке Һ — О, С первого взгляда это неясно, так как неясно, имеет ли

при Һ 0 предел функция у . Рассмотрим две различные после­

довательности значений h n, сходящиеся к нулю, и найдем пределы соответствующих последовательностей значений функции ф (hn). Имеем:

hn= - - у 0 , ф, (һп) = і ------- і - г - = - ->■ 0;п J_ п п

п

LК = L _ 0, ф, (/д = i — !L — — = — 2i — — и.

п п I п пп

Значит, (р/ (/г) в точке Һ — 0 предела ие имеет (см. § 5). Поэтому функция ау = гг в точке i производной не имеет.

Пусть теперь г — произвольная точка плоскости, тогда, рас­суждая аналогично, получим:

ф2 (/о = < » + » > » + * > -» = * ! + * + й;

ft„ = - -V 0, ср (ft ) = г + г + І ->- 2 + г;/I /г

Қ = - - > 0 , ф , ( /^ ) = — 2 + 2 — - - > - 2 — 2.1 11 11

Д ля существования предела необходимо (но недостаточно!), чтобы 2 + 2 = 2 — 2, что справедливо лишь при 2 = 0 . ’

Итак, функция ф, (Һ) при z Ф 0 предела не имеет. Это означает, что в любой точке z Ф 0 функция w = 22 не имеет производной.

Рассмотрим точку z — 0.

<M ft)= (° + '0(0 + Л) - 00 = й .

Так как ф0 (Я) = Һ ->- 0 при Һ 0, то функция со = 22 имеет производную (она равна нулю) в точке 2 = 0.

В з а д а ч а х 174— 177 требуется определить, имеют ли ука­занные функции производную в каких-нибудь точках плоскости.

174. w = 22. 176. w = Im 2.175. ку = 2 Re 2. 177. w — z + Re z,

40

Рассмотренные примеры показывают, что решение вопроса о существо­вании производной — довольно кропотливый процесс. Результат достига­ется значительно проще с помощью так называемого критерия Коши — Ри- мана (иногда его называют критерием Даламбера — Эйлера).

Д л я того чтобы комплексная функция

в заданной точке г = х + iy имела производную, необходимо и достаточно, чтобы функции и (х, у) и v (х, у) были в точке (х\ у) дифференцируемы (как функции двух вещественных переменных) и чтобы в этой точке выполнялись следующие равенства (условия Коши — Римана):

П ри этом производная функции f (г ) в указанной точке г = х - f iy может быть вычислена по формуле

Полезно учесть, что наличие непрерывных частных производных у функций и и v по х и у гарантирует дифференцируемость и и v как функций двух переменных х, у. Поэтому при решении задач можно поступить так: найти частные производные и и v по х и у , убедиться в их непрерывности в интересующей нас точке, а затем проверить, выполняются ли в этой точке условия Коши — Римана.

Необходимо четко различать понятие функции, дифференцируемой в за ­данной точке, и функции, а н а л н т и ч е с к о й в этой точке. Дифферен­цируемость комплексной функции / (г) в некоторой точке го означает, что f (г) имеет в этой точке производную, а а и а л и т и ч и о с т ь функции в этой точке означает, что / (г) имеет производную не только в точке го, но и в каждой точке некоторой окрестности точки го.

Аналитичность фунции / (г) в заданной области означает дифференциру­емость / (г) в каждой точке этой области.

178. В каких точках комплексной плоскости функция w = / (z) — z \z\2 имеет производную?

Р е ш е н и е . / (г) = и -J- iv = (,v + yi) (х* + у2) = г* + гу2+ + iy3 -г ix2 у. Действительная и мнимая части этой функции тако­вы: и — xs + ху~> v = х 2У + У3.

Найденные частные производные непрерывны на всей плоскости. Теперь ищем точки, в которых выполняются условия Коши—

Римана. Получим систему:

w — f (г) = и (х, у) + iv (х, у)

ди dv ди ov

дх д у ’ д у дх

Имеем:

41

Система имеет единственное решение х — 0, у — 0. Итак, функ­ция w = z |z |2 имеет производную лишь в единственной точке z = 0, При этом

f ' (0) = [г— f- i —) ,v'=o = (Зх“ + у2 + i2xy)\дх ах/ у=о

А'=0 = 0 .у=о

179. В каких точках комплексной плоскости функция w — = f (z) — cos x + i sin у имеет производную? Чему равна производ­ная функции / (z) в этих точках? Является ли f (г) аналитической хотя бы в одной точке z?

Р е ш е н и е . Так как w = и -j- iv = cos х + i sin у, то и —т, ди до■ = cos Ху v = sin у. Частные производные — = — sin лг, — = cosy,

дх ду

- = 0 , — = 0 непрерывны на всей плоскости. Одно из условий д у дхКоши—Римана

д и dv

д у дх

выполняется во всех точках плоскости. Будем искать точки (х\ у), в которых выполняется второе условие:

ди dv— = — — sin X = cos у <=>дх ду

COS ^ + xj = cos у <=>y = ± + xj + 2kn <=>

у = ± x + (4/e ± 1) ү <=>y = z t x + (2m + 1) (m = 0, ± 1 , ...).

Этими уравнениями задается бесконечная совокупность прямых.В каждой точке z этих прямых данная функция имеет производ­

ную, причемс, , \ ди , .доI (z) = - + I - = — sin*.

дх дх

Функция f (z) = cos х + i sin у не является аналитической ни в одной точке плоскости, ибо каждый круг на z-плоскости содержит точки, в которых /. (z) не имеет производной.

В з а д а ч а х 180— 185 требуется выяснить, в каких точках комп­лексной плоскости имеют производную указанные функции. Чему равна производная в каждой из этих точек? Являются ли данные функции аналитическими в каких-нибудь точках плоскости?

180. w = z2 + i\z\2. 184. w — tg у — i tg a:,

181. w — x2 + iy2. 185. w — —.г

182. w — yx + i (x2 — y3).183. Ң г) = г + -1 т + * .

I z I-

42

186. Будет ли аналитической в некоторой области функция / (z) — А'3 — Згу2 — і (у3 — Зл:2у)? Если да, то найти ее производ­ную в этой области.

187. Пусть / (г) в каждой точке области D удовлетворяет усло­вию / ' (г) = 0. Д оказать, что / (z) есть постоянная в этой области.

188. У одной аналитической функции (z) в некоторой обла­сти D вещественная часть постоянна, у другой (z) постоянна ее мнимая часть, у третьей / 3 (z) постоянный модуль. Можно ли утверждать, что каждая из функций (г), / 2 (г), f 3 (г) является константой в D?

З а м е ч а н и е . Иногда вопрос о дифференцируемости комп­лексной функции можно решить проще, без применения критерия Коши—Римана, если помнить, что теоремы о дифференцируемости (и правила отыскания производной) суммы, разности, произведения и частного дифференцируемых функций справедливы и для комп­лексных функций.

Так, например, из дифференцируемости функции w = z следует, что функция

5z8 — 4 z2 -{- г w = --------------—Z — 1

дифференцируема на всей плоскости, кроме точки z = 1, и

, _ (5z3 — 4z- + г)' (z — 1) — (z — iy (5z3 — 4za + z) _ 10z3— 19z2-|-8z— 1

W ~ (z — 1)3 “ ( z - 1)2

Аналитические функции тесно связаны с гармоническими функциями, возникающими при решении уравнения Лапласа:

2® + ?® „о.дх- д у 2

которое кратко записывают так:

ДФ = 0,

<5= аз

гдс л = ^ + ^ -

Функция Ф {х, у), которая в некоторой области имеет непрерывные част­ные производные до второго порядка включительно и в этой области удовлет­воряет уравнению Лапласа, называется гармонической. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.

Функция/ (г) = и (х, у) + iv (х, у),

где и и v — гармонические функции в некоторой области D , вообще говоря, не является аналитической. Она окажется аналитической лишь тогда, когда и и v связаны условиями Коши — Римана. В этом случае и и v называются сопряженными гармоническими функциями. Д ля любой гармонической в не­которой области D функции существует ей сопряженная. Другими словами, для любой гармонической в некоторой области функции и (х, у) можно по­строить аналитическую функцию, действительная, (мнимая) часть которой совпадает с и (х, у).

43

189. Проверить, является ли функция ф (х , у) — arctg — гар­

монической в своей области определения.Р е ш е н и е. Функция ф (х, у) — arctg — определена всюду,

X

кроме прямой х — 0. Последовательно находим:с?Ф _ у <32ф _ 2х у

!к ~ ~ л--+ у 2 ’ дх* ~ (л-2+ у2)2’

<5ф х с)2ф — 2ху

ду х - + у 2 ’ d y s (*2+ y 2)2'

Частные производные существуют и непрерывны в области оп­ределения функции ф (,v, у) и удовлетворяют уравнению Лапласа:

= одх* ' д у 2

Следовательно, функция arctg — гармоническая.А'

В з а д а ч а х 190— 195 проверить, являются ли указанные функции гармоническими.

190. хй — у2. 191. ху. 192. 1п(л'2 - г у 2). 193. *2 - f у2. 194..V

195.*2+ у2

196. Существует ли такая аналитическая функция, у которой действительная часть равна л'3 -\- у3?

Р е ш е н и е . Для ответа на поставленный вопрос прежде всего проверим, является ли функция и (л', у) — х3 -|- у3 гармонической. Вычисляем:

— ~ 3v'2 — — 3 v 2 — — fir — — fivд х ~ І Х ’ У ' д х * ~ ЬХ' 0 f - ~ b y -

Составив уравнение Лапласа для функции и (,v, у), получим: 6х + -г 6у — 0. Отсюда ясно, что функция и (х, у) удовлетворяет урав­нению Лапласа лишь в точках прямой у — — х и поэтому не яв ­ляется гармонической ни в какой области. Следовательно, не су ­ществует аналитической функции, у которой вещественная часть равна л'3 -J- у3.

197. Существует ли аналитическая функция f (г), у которой:

а) Re /(г) = д:2 -f у2;б) Im f (г) = х у 2\

в) Re / (z) = ~ " У“ *(А'2 + у - ) -

44

198. Удовлетворяет ли функция v — s in х s in у в каких-либо точках плоскости уравнению Лапласа? Существует ли аналитиче­ская функция, имеющая мнимой частью данную функцию и?

Одно из замечательных свойств аналитической функции / (г) состоит в том, что она может быть восстановлена (с точностью до постоянного слагае­мого), если известна одна лишь действительная (или мнимая) ее часть и (х , у). Покажем на примере, как это делают.

199. Выяснить, существует ли такая аналитическая функция / (г), что Iin f (z) — еу c o s х. Если существует, то найти ее. Сколь­ко имеется таких аналитических функций?

Р е ш е н и е . Требуется найти действительную часть и (х, у) искомой аналитической функции f (z). Прежде всего проверим,является ли функция v (х, у) = еу c o s х гармонической (в против­ном случае она не может быть мнимой частью аналитической функ­ции). Вычисляем:

dv „ . dv ,, d~v ,, d 2v ,,— = — ey s in x , — «= еУ c o s x : — = — eу c o s x , — = c o s x

dx d y dx2 dya

и устанавливаем, что Ди = 0; следовательно, v (х, у) являетсягармонической функцией на всей плоскости. Определим теперь и (х, у), пользуясь тем, что и (х, у) и v (х, у) — сопряженные гармо­нические функции^ т. е. они связаны условиями Коши-Римана:

du dv du .. /г 1 \— = — <=ф — = c o s .V, (6.1)дх dy dx

du dv du ,, . , c 0 v— = ------& — = e> sin*. (6.2)d y dx d y

Будем искать функцию и (*, у) в виде

и = J c o s х dx ср (у). (6.3)Здесь интегрирование производится по переменной х\ у вы­

полняет роль параметра, ср (у) — неизвестная функция, зависящая только от у, но не от х. Д ля такой функции и (х, у), очевидно, вы­полняется условие (6.1). Подберем функцию ср (у) так, чтобы вы­полнялось еще и условие (6 .2).

Так как из (6.3)и = еУ sin х -f- ф (у),

то~ = еУ s in * -Ь ф' (у).ду

Но мы хотим, чтобы — удовлетворяла условию (6.2). Тогдаду

ф' (у) = 0 ф=>ф (у) = с — c o n s t ,

и (х, у) = еУ s i n * + с ,

f (г) — и - f iv — еУ s i n * + с -}- iey c o s

43

Придавая с произвольные действительные значения, получаем бесконечное множество аналитических функций1 с заданной мни­мой частью cos х.

200. Найти аналитическую функцию / (г) такую, что Re / (z) == л'2 — у2 4- / (0) = i.

Р е ш е н и е . Как и в предыдущей задаче, сначала надо убе­диться, что функция и (х, у) = Re / (г) гармоническая (проделайте это самостоятельно!). Пусть / (z) = а (х, у) 4- iv (х, у), тогда и и v связаны условиями Коши—Римана:

dv ди dv г,— = --------<=>— = 2у,дх д у дх

~ = — — = 2* + 1.ду дх ду

Ищем функцию v (х, у) в виде

v = j 2 у dx + ср (у),

где ср (у) — функция, зависящая только от у, но не от х.Рассуждая так же, как и в предыдущей задаче, найдем:

ср' (у) = 1, ср (у) = j'cp' (у) dy = у + с (с = const), v (х, у) = 2 ху + у + с,

f (г) = х“ — у2 + х + i (2ху + у + с).Учитывая, что по условию / (0) = i, получим: с — 1.Итак, функция / (г) восстанавливается однозначно:

/ (z) — х2 — у2 + х + i (2ху + у + 1) == (х2 -— у2 -г 2xyi) + (х + yi) + i — z2 + г + І.

201. Найти аналитические функции / (z) = и + iv по заданной действительной или мнимой части:

а) и (х, у) = еЛ' sin у; ч ( ,л = л'2~ л'+ >,а / п \ = 0 .б) о (.х, у) = е"2У cos 2х; А) { ,У) х - + у2 ’ ' 14 ’в) v (х, у) — х3 — 3,1'у2; е) v (х, у) == — е~2у cos 2х + х.г) v (х, у )= 3 х-у—у \ f (0) = 0;

Как уж е отмечалось, функция комплексного переменного ьv = f (z) задает отображение некоторого множества 2-плоскости на некоторое множе­ство ю-плоскостн. Пусть w — f (2) — гладкое отображение некоторой окре­стности D точки 2о. Это означает, что функция f (г) определена в D и функции и — Re / (г), v — 1 т / (г) имеют в области D н е п р е р ы в н ы е частные производные. Пусть Г — некоторая гладкая кривая, проходящая через точку 2о, и Г' — ее образ на ю-плоскостн при данном отображении. Линия Г' проходит через точку wо = / (го).

Обозначим через фГ угол, образуемый касательной к кривой Г в точке го и положительным направлением действительной оси, а через фГ, — угол,

1 Функцию / (г) можно представить в виде f (г) = еу (sin х + i cos х) -f-+ с = іеУ~іх -j- с — ie ~ lz - f с (см. § 8 .

образуемый касательной к кривой Г' в точке к/о. Величина ссг = фг , — фг называется углом поворота кривой Г в точке zo при отображении w — f (2).

Пусть z — произвольная точка кривой Г, принадлежащая D . В силу гладкости отображения w — / (г) существует

.. \f(z) — f(z0)\ .l im ---------------- — = ItZ-*Z0 I 2 — 20l г

Число kr называется коэффициентом растяжения кривой Г в точке го при отображении w = / (2).

202. Найти коэффициент растяжения и угол поворота лучей Г {arg 2 = 0 } и у | arg г — ~ | в точке z0 — 0 при отображении

w — 2z + iz.Р е ш е н и е . Данное отображение является, очевидно, гладким

на всей плоскости. Поэтому искомые величины существуют. Н ай­дем образ Г' луча Г. Так как у — 0 на луче Г, то для точек Г' име­ем: w — 2х + ix или и = 2х, v — х.

Отсюда находим уравнение линии Г': и = 2v. Учитывая еще, что х > 0 на луче Г, заключаем, что Г' представляет собой луч: v —= -j и (и ^ 0). Поскольку касательные совпадают с самими луча­

ми, то

Фг = °> Фг' = arctS \ » а г = arc t6 -j-Найдем коэффициент растяжения /гг кривой Г в точке О:

k - Hm 1 f (г) ~ f (2u) 1- = l im = 12 + f I = } / T .г-*-г0 I 2 — z 0 | x —0, Xz g l ’ л :> 0

Для луча у аналогично находим, что его образом у' является луч и = v (v ^ 0) и поэтому

я я Л<р» = т . фт. = - . «v = o,

k = lim 1 3-*-+ і -3-^ - - 3.Л X-+Q, | X - |- IX |

х> 0В предыдущей задаче коэффициент растяжения и угол поворота в данной

точке при данном отображении зависит от выбора кривой Г.Если для некоторого отображения угол поворота в точке го не зависит

от выбора кривой, то угол между любыми двумя кривыми 1\ и Г2. пересекаю­щимися в точке го, равен по величине и направлению углу между их образами (Г'х и Г '2). По этой причине говорят, что такое отображение обладает в точ­ке го свойством сохранения углов. В этом случае а г = const = а называют углом поворота отображения в точке 2о.

Если для некоторого отображения vj = f (2) коэффициент растяжения кривой в точке го не зависит от выбора кривой, то говорят, что данное отобра­жение в точке го обладает свойством постоянства растяжений. В этом сл у­чае А’р = const = k называют к о э ф ф и ц и е н т о м р а с т я ж е н и я д а н н о г о о т о б р а ж е н и я в т о ч к е го.

47

Отображение, обладающее в точке го свойством сохранения углов и свойством постоянства растяжений, называется конформным точке го. Отображение, конформное в каждой точке области, называется к о н ф о р м ­н ы м в о б л а е т и.

Аналитические функции находят широкое применение в силу того, что они осуществляют (в точках, где / ' (г) Ф 0) конформное отображение. Об этом свидетельствует следующая теорема:

Если функция w — f (г) дифференцируема в точке го и f (го) ф 0, то отображение , осуществляемое сю, конформно в точке го, причем коэффициент растяжения данного отображения в точке го равен |f (го)1, а угол поворота равен Arg / ' (го).

203. В каких точках плоскости угол поворота отображенияw = J_+j£ равен нулю? В каких точках коэффициент растяжения

1 — izэтого отображения равен 1?

Р е ш е н и е . Условие задачи предполагает прежде всего отыс­кание тех точек, где заданное отображение конформно, ибо только в таких точках можно говорить об угле поворота и коэффициенте растяжения (не линии, а отображения!). Данная функция как ча­стное двух дифференцируемых функций дифференцируема в любой точке плоскости кроме z = — i, где она не определена, причем

(1 ■+• iz)' (1 — iz) — (1 — iz)' (1 -j- iz) _ 2i ____ — 2tw =(1 — iz)2 (1 — /г)2 (г- f t ) 2

Поскольку w (z) Ф 0 ни при одном z, то заданное отображение конформно на всей плоскости с выколотой точкой z — — i.

Д ля ответа на первый вопрос задачи вспомним, что угол пово­рота а отображения w = w (z ) в точке z равен Arg w (z). Так как у нас а = 0 , то это означает, что w' (z) должно быть положитель­ным действительным числом. Найдем, для каких z это так. Имеем:

2 і —2/ [х — t (у + I)]2 - М у + 1) _ 2і 0 2- ( у + 1)2]w =

(Z+ О2 [х2 -I- (у + I)2]2 [.V2 + ( у + 1)3]*

Число w (z) будет действительным, если Im w (z) = 0, и поло­жительным, если к тому же Re w' (z) > 0:

( Im w' (г) = 0, f (у + l )2 = x2, _ , , , m( Re w' (г) > 0 U ( y + 1 ) < 0 y 4 * ^ .

Итак, угол поворота данного отображения равен нулю в точках прямой (с выколотой точкой Z = — І) у = —X — 1.

Д ля ответа на второй вопрос задачи вспомним, что коэффициент растяжения k отображения w — f (z) в точке z равен [о/ (z)|. Н ай­дем, при каких z коэффициент k = 1:

| иі' (z) I = 1 <=* = 1 » I z -h t | 2 = 2 < ^ |z + t | = y j .( м 4

Получилось комплексное уравнение окружности, центр которой находится в точке — І и радиус равен } / 2,

48

204. Является ли конформным отображение, осуществляемое с помощью функции w = в точках zL — i и г» — 0?

205. Найти угол поворота и коэффициент растяжения отобра­жения w = г3 в точке 1 + i.

206. Какая часть плоскости сжимается при отображении, осу­ществляемом функцыей:

a) w = 22; б) w — z- -\- 22; в) w = — ?Z

207. В каких точках плоскости коэффициент растяжения сле­дующих отображений равен 1:

а) ш = z~\ б) w — 23; в) w = z2 — 2г?208. В каких точках плоскости угол поворота следующих ото­

бражений равен нулю:a) w = iz2\ б) w — —23; в) w — z2 — 2z?

§ 7. ЛИНЕЙНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫ Е ФУНКЦИИ

Л и т е р а т у р а : [1], гл. II , пп. 10— 11, гл. III , пи. 1—9; [2], гл. III,5 1; [3], гл. VII , § 1— 4.

Функция видаw = az -f- b, (7.1)

где а и b — комплексные константы, а Ф 0, называется л и н е и н о iij) у н к ц ii е и. Записав а в показательной форме а = г е <р , замечаем, чтолинейное отображение

w = rel4> z -}- Ь

является композицией следующих геометрических преобразований:

и1! = 2С:Ф — поворот на угол ср вокруг точки 0;= га j — гомотетия (центральное подобие) с центром в точке 0 и

коэффициентом г\ _vj — vjn “}■ b — параллельный перенос на вектор Ь.Линейную функцию (7.1) (при а Ф 1) можно записать также в виде

w — с = a (z — с),а потому отображение, осуществляемое линейной функцией, можно свести ш б о к одному параллельному переносу (при а = 1), либо к повороту вокруг гочки с с последующей гомотетией, центром которой является точка с.

Линейная функция — аналитическая на всей плоскости, и поскольку •У — а Ф 0, то осуществляемое ею отображение конформно в любой точке.

209. Квадрат Q с центром в начале координат, имеющий сторо- ш , параллельные осям координат, подвергается линейному отоб- )ажению w — iz — 3. В какую фигуру он преобразуется?

Р е ш е н и е. Отображение w — iz — 3 получается в результа­те двух последовательных преобразований wx = iz, w = wx — 3. Іервое из этих преобразований представляет собой поворот вокруггочки 2 = 0 на угол, равный arg i — Квадрат Q при этом

іреобразуется в себя (здесь 2-плоскость и ^-п лоскость считаем

49

совмещенными). Второе преобразование — это параллельный пере нос на вектор, комплексная координата которого равна —3. Онс отображает квадрат Q на конгруэнтный квадрат Q' с центром в точ ке —3 и сторонами, параллельными осям координат. Это и есті образ квадрата Q при отображении w — iz — 3.

210. Найти общий вид линейной функции, отображающей поло су 1 < у < 3 на себя.

Р е ш е н и е. Мы знаем, что всякую линейную функцию мож но записать в виде

w = z-\- Ь (7.2или

w — с = ге‘ф(г — с), (7.2'

где а = rei<s> Ф 1, Ь, с — произвольные комплексные числа.Посмотрим вначале, могут ли отображать на себя данную поло

су функции вида (7.2). Каждая такая функция представляет собоі параллельный перенос, а полоса 1 < у < 3 отображается, очевидно, на себя при параллельном переносе тогда и только тогдакогда перенос совершается на вектор, параллельный действитель ной оси. Функция (7.2) в таком случае имеет вид:

W = z - f t, где t — любое действительное число.

Рассмотрим теперь 'функции вида (7.2'). Они задают поворо' вокруг точки с на угол ср с последующей гомотетией (центр — точ ка с, коэффициент г). Полоса 1 < у < 3 может отобразиться н; себя при преобразовании поворота, очевидно, в том и только толслучае, когда поворот совершается вокруг точки с — t + 2 i (t —какое-нибудь действительное число) на угол ср = я . Далее ясно что никакое гомотетичное преобразование (с центром в точке с = = t -f- 2i), коэффициент (растяжения) которого г Ф 1, не можег рассматриваемую полосу перевести на себя. Поэтому среди функ ций (7.2') искомыми являются функции вида:

w — (/ + 2i) = е‘л [z — (/ + 2£)] <£=>«=> w = — z -j- 21 + 4 1,

и только они.Итак, искомые линейные функции имеют вид:

w = z - f t или w — —z -|- 21 + 4 i,где / — любое действительное число.

211. Найти линейное отображение, при котором точка 1 + , неподвижна1, а точка 1 переводится в точку i.

212. Найти линейную функцию, отображающую треуголыип- с вершинами i, 1 + 21, 3t на подобный ему треугольник с вершинамі1 — і, 2 — 2 і, 3 — і.

1 Неподвижной точкой отображения ьv = f (z) называется такая точк; г0, что f (г0) = z0.

50

213. Написать общий вид линейной функции, отображающей верхнюю полуплоскость на себя.

214. Найти общий вид линейной функции, отображающей верх­нюю полуплоскость на нижнюю.

215. Каков общий вид линейного преобразования, переводя­щего верхнюю полуплоскость на левую полуплоскость?

216. Написать общий вид линейной функции, отображающей левую полуплоскость на себя.

217. Найти общий вид линейной функции, отображающей поло­су О < х < 2 на себя.

218. Каков общий вид линейной функции, отображающей поло­су, ограниченную прямыми у — х + 1 и у = х — 1, на себя?

Д р о б н о - л и н е й н ы е ф у н к ц и и имеют вид:

az -f- b(J. 3)

cz + d

где ad — be Ф 0. Дробно-линейное отображение г-плоскости в w-плоскость, т. е. отображение, производимое функцией вида (7.3), может быть сведено к следующим геометрическим преобразованиям: поворот, перенос, гомоте­тия, осевая симметрия и инверсия.

При решении задач полезно учесть следующие факты.1. На расширенной комплексной плоскости это отображение является

взаимно-однозначным.2. Дробно-линейное отображение вполне определяется тремя парами

соответственных точек:гх -+• w lt Zn а , г3 w 3.

По этим данным проще всего найти искомую функцию (7.3), используя формулу

iv — w, Wn — и). г — г, г., — г,----------L . _J------- - = --------L ; —------ -1. (7.4)w — iv.j — uj2 z — Zn — z2

Эта формула пригодна и в том случае, когда некоторые из чисел г», и обращаются в со, если воспользоваться формальным правилом: разность, в которой встретится знак оо, следует заменить на 1.

3. К р у г о в о е с в о й с т в о . При дробно-линейном отображении каждая «окружность в широком смысле слова» (т. е. прямая или окружность) переходит также в «окружность в широком смысле слова»1.

4. С в о й с т в о с о х р а н е и и я с и м м с т р и ч н ы х т о ч е к. При дробно-линейном отображении каждая пара симметричных относительно некоторой окружности2 у точек рх и р., преобразуется в пару точек р[ и и р'2, симметричных3 относительно окружности2 у' — образа ү.

5. Дробно-линейная функция (7.3) является аналитической в каждойd

точке плоскости, кроме точки г = — — , производная ее всюду отлична от 0,с

л поэтому производимое ею отображение обладает свойством конформности.

1 Вместо слов «окружность в широком смысле слова» обычно в комплекс­ном анализе говорят: окружность.

2 Окружность здесь понимается в широком смысле слова.3 Две точки z x и г2 считаются симметричными относительно окружности

|г — а | = г, если они инверсны относительно этой окружности, т. е. точкии Zn лежат на одном луче, исходящем из точки а, и |гх — а| |г2 — а | = г2.

Гочка г = оо считается симметричной центру окружности я.

51

6. Если при дробно-линейном отображении окружность ү преобразу ется в окружность ү ' , то область D , для которой ү является границей, пре образуется в одну из двух областей, для которых ү' является границей При этом имеет место принцип соответствия обхода границ, а именно еслі при каком-то обходе линии ү область D оказывается слева (справа), то прі соответствующем обходе линии ү' область D ' , которая соответствует обла сти D тоже должна оказаться слева (справа).

219. Найти дробно-линейную функцию, которая переводи' точки 0 , 1, оо плоскости z соответственно в точки.— 1, 0 , 1 плоско сти w. Во что переходит при этом отображении верхняя полупло скость? Какие линии г-плоскости переходят при этом в окружності \w I = с = const (с > 0)?

Р е ш е н и е . Введем обозначения: zx — 0, г2 = 1, г3 = оо j соответственно а*! = — 1, ш2 = 0, w3 — 1. Д ля нахождения функ ции w воспользуемся формулой (7.4). Имеем:

Выясним теперь, во что переходит при этом отображении верх няя полуплоскость. С этой целью используем отмеченный выш< принцип соответствия обхода границ. Согласно условию веществен ная ось 2-плоскости переходит в вещественную ось ^-плоскости Задание трех точек (0, 1, оо) определяет на вещественной оси 2-плос кости направление обхода, при котором верхняя полуплоскості оказывается слева. Тогда при соответствующем обходе веществен ной оси оу-плоскости (от точки — 1 через О к точке 1) образ верхнеі полуплоскости должен также оказаться слева. В нашем случаі слева оказывается верхняя полуплоскость. Итак, верхняя полу плоскость плоскости 2 преобразуется в верхнюю полуплоскості плоскости w. Если условиться, что плоскости 2 и ш совпадают, т<можно сказать, что при отображении w = верхняя полу

плоскость переходит в себя.Окружности |ш| = с (с > 0) плоскости w являются образамі

тех линий 2-плоскости, уравнения которых имеют вид:

Выясним, какая линия 2-плоскости задается этим уравнением.Положим сначала с = 1. Линия |z — 1| = |г + 1| — это пря'

мая, перпендикулярная отрезку, соединяющему точки z = 1 i

Ю -f- 1 1 + 1 t=3 ------ ! --1z — 1 1

z

Ю + 1 2 z t i l 2z------------------ФФ i -j----- = ------W Z — 1 6У z — 1 Ш z — 1

г — 1 z + 1

Z-— = С j 2 1 j = С I 2 + 1 j.Z I 1I

52

г = — 1, и проходящая через его середину1, т. е, мнимая ось г-плоскости.

Если с Ф 1, то уравнения

|г — 11 = с |г + 1[

задают в плоскости г окружности, называемые окружностями Апол­лония (см. задачу 116).

Итак, окружности |ю | = с (с Ф 1) являются образами окруж­ностей г-плоскости, а единичная окружность |к;| = 1 является образом мнимой оси г-плоскости.

220. Написать какую-либо дробно-линейную функцию, кото­рая переводит круг |z — (1 — 01 ^ V 2 в нижнюю полуплоскость.

Р е ш е н и е . На границе данного круга выберем три точки, например, zx = 0, г., = 2, г3 = —2 i. На окружности задается нап­равление обхода, при котором круг оказывается справа.

Выберем теперь в плоскости w на действительной оси (которая является границей нижней полуплоскости) три точки йУх, w2, w8 таким образом, чтобы при соответствующем обходе границы ниж­няя полуплоскость оставалась справа. Можно взять, например,

= 0, w2 — 1, иУ3 = оо. По выбранным трем парам соответственных точек zx -+ w x, z2 - * w 2, г3 ->сс3, используя форму­лу (7.4), запишем искомую дробно-линейную функцию:

w — 0 1 z — 0 — 2г — 0 (1 i) г------- ; _ — ------ ; ----------- <=Ф ОУ = 1—— .w — 1 1 z — 2 — 2 і — 2 z -\- 2 i

3 а м е ч а н и е. Так как точки г1( г2, г3 и wu w2, w9 выбира­лись произвольно, то понятно, что задача имеет не единственное решение: существует бесконечное множество дробно-линейных функций, осуществляющих указанное отображение.

221. Найти дробно-линейную функцию, которая единичный круг |г| ^ 1 отображает на круг |ш| ^ 2 , причем так, что точкаzx = — ~ переходит в точку ьУі = 0 , а точка z2 — i — в точку

too = 2 .Р е ш е н и е. Д ля определения дробно-линейной функции

достаточно знать три пары соответственных точек, а по условию нам даны лишь две такие пары. Так как круг |г| ^ 1 отображается на круг |оу| ^ 2 , то согласно принципу соответствия границ, окруж ­ность |z| = 1 переходит в окружность |ау| = 2. Согласно принципу сохранения симметричных точек точки, симметричные относитель­но первой окружности, переходят в точки, симметричные относи­тельно второй окружности. Точка, симметричная точке zx = — ~

относительно единичной окружности, имеет комплексную коордн-

1 См. ответ к задаче 118.

S3

нату z3 = —2 і (убедитесь в этом самостоятельно!). Точкой, симмет­ричной точке = 0 относительно окружности |ш| = 2 , является

— оо. Таким образом, мы нашли третью пару соответственных точек: 23 = —2i -> w3 — оо. Используя формулу (7.4), можем теперь найти искомую функцию:

і І z - i - — — 2 / + —

ю — 0 1 2 2 2 (2z + i)------- : — = ------- : --------------фф w = — —- .ю — 2 1 z — i — 2 i — i г -j- 2{

222. Построить функцию, осуществляющую конформное ото­бражение плоскости переменного z на плоскость переменного w, которое переводит точки / , І, оо в точки — 1, 0 , 1.

223. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки 1, 0, i в точки 0, 1, оо. Какую область г-плоскости преобразует эта функция в верхнюю полуплоскость ш-плоскости?

224. Написать дробно-линейную функцию, преобразующую точ­ки 1, і, — 1 в точки і, — 1, — і. В какую линию преобразует эта функция вещественную ось? Какую линию преобразует эта ф унк­ция в вещественную ось?

225. Написать линейную функцию, конформно преобразующую верхнюю полуплоскость Im 2 > 0 в левую полуплоскость Re w < 0 . Написать какую-либо дробно-линейную, но не линейную функцию, осуществляющую требуемое отображение.

226. Написать какую-либо дробио-линейную (но не линейную) функцию, преобразующую верхнюю полуплоскость в себя. Ответ обосновать.

227. В какую область преобразуется единичный круг г-пло-22_ 1

скости при отображении иУ = -----—? В какую точку преобразует­

ся центр этого круга? Какие линии 2-плоскости преобразуются в окружности |ю| = с?

Z — 1228. В какую область функция w = —-— преобразует левуюz — 1

полуплоскость плоскости переменного 2? Какие линии 2-плоскости при этом переходят в окружности с центром в нулевой точке пло­скости переменного w?

229. Проверить, отображает ли функция w = верхнююz -|- і

полуплоскость на единичный круг |да| < 1 . Какие линии преобра­зуются при этом отображении в окружности, концентрические единичной окружности?

2_ 1230. Рассмотреть отображение w = —— Во что преобразуются

при этом отображении окружности 121 = const? Во что преобра­зуется нижняя полуплоскость?

231. Рассмотреть отображение w = —.

54

1) В какие линии преобразуются лучи, исходящие из точки z = 0 и окружности с центром в точке z — 0? 2) Какие линии пре­образуются в декартову координатную сетку плоскости переменно­го w? 3) В какие линии преобразуется семейство окружностей с центром в точке i?

232. Найти общий вид дробно-линейной функции, преобразую­щей верхнюю полуплоскость в единичный круг, и притом так, чтобы точка i перешла в центр круга.

233. Найти общий вид дробно-линейной функции, преобразую­щей единичный круг в себя, и притом так, что заданная точка р единичного круга преобразуется в точку w -- 0 .

У к а з а н и е . В задачах 232—233 воспользуйтесь свойством сохранения симметричных точек.

§ 8. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Л и т е р а т у р а : [1], гл. III, пп. 11 — 15; [2], гл. II, п. 7; [3],гл. VI, § 1.

Один из наиболее простых способов введения показательной функции ez (z = л* + iy) состоит в том, что она о п р е д е л я е т с я по формуле

ez — ех (cos у -j- t sin у).

Если г — х — действительное число, то мы приходим к известной из вещественного анализа функции ех . Д ля любых комплексных чисел и za справедливо соотношение

Тригонометрические и гиперболические функции комплексного церемон­ного могут быть определены с помощью следующих формул:

cos z = — (ctz + e~iZ), sin z =■■ — (eiz — e~lz),

1 1 sin z cos zsec Z— -------- , cosecz — -------- , tg z — ------ , c t g z = ------ ,

co sz s in z co sz sin z

1 _ , __ 1 shzch z — — {c~ -r C -), sh z = — (c- — e -), tli z -— .

2 2 ch z

Отметим, что известные из тригонометрии соотношения между тригоно­метрическими функциями действительного аргумента сохраняются и в ком­плексной области. При переходе от тригонометрических функций к гипербо­лическим полезно учесть зависимости:

cos iz = ch z, sin iz = i sh z.В дальнейшем свойства тригонометрических и гиперболических функций

вещественного аргумента предполагаются известными1.Отображения, осуществляемые с помощью функций ez , c o s z , s i n z , яв­

ляются конформными на всей плоскости.

1 См., например, «Справочник»,

55

В з а д а ч а х 234—239 доказать, что для любого комплексно­го г имеют место указанные формулы.

234. cos2 г - f sin2 г — 1. 237. ch2 2 — sh2 z = 1.235. cos 22 = cos2 2 — sin2 2. 238. sin 2z = 2 sin z cos z,

236. tg iz —i t h 2. 239. sin 2 = cos ^ — zj.

В з а д а ч а х 240—244, исходя из определения, доказать справедливость указанных формул.

240. sin (2Х =Ь Zn) = sin zx cos z„ ± cos Zy sin Zn.241. cos (Zy ± z2) = cos Zy cos z2 sin Zy sin z2.

242. tg (Zy + z.,) = .1 — tg Zy tg z2

243. sh (Zy + Zn) = sh Zy ch 2о + sh 22 ch Zy.

244. ch (Zy + Zn) = ch Zy ch Zn + sh Zy sh 22.245. Доказать, что число 2лі является периодом функции ег.246. Найти мнимую часть функции tg 2, если z = х + iy. Р е ш е н и е . Используя формулу тангенса суммы (задача 242),

можем записать:tg X + tg i y

1 — tg X tg i y *

Так как tg iz = i th 2, to

tg a: - f i tli у tg X (1 — til2 y) + i th у (1 -f- tg2 x)

tg 2 = tg {X + iy) =

iz — I

tg 2 :1 — i tg x thy 1 - f tg2 X til2 у

Следовательно,

lm t j M O i i s i f L .1 + tg2 x th2 у

Переходя к функциям sin х, cos х, sh у, ch у, после несложных преобразований получим:

т I sh у ch уIm tg 2= ------ — — .COS2 X + sh2 у

247. Найти действительную и мнимую части числа sin (1 + І), Вычислить приближенно sin (1 4* О-

Р е ш е ii и е. Применяя формулу синуса суммы, получим:sin (1 4 - 0 = sin 1 cos i 4- cos 1 sin i.

Так как cos i = ch 1 и sin i — i sh 1, tosin (1 - f 0 = sin 1 ch 1 4- i cos 1 sh 1,

откудаRe sin (1 4- 0 = sin 1 ch 1, Im sin (1 4- 0 = cos 1 sh 1.

Находя по таблицам приближенные значения sin 1, cos 1, sh 1, ch 1, получим:

sin (1 4- 0 « 1,2985 4- i ■ 0,6350.

.56

В з а д а ч а х 248—253 найти действительную и мнимую части, а также модуль и аргумент каждого из указанных чисел.

- i V -248. cos i p 249. tg (1 — i). 250. ег+1. 25!. e 2. 252. sin i.

'253. cos (2 — 3i).254. Найти приближенно (с тремя десятичными знаками) мо­

дуль числа ctg (1 — i).В з а д а ч а х 255—257 требуется выразить через тригономет­

рические и гиперболические функции действительного аргумента действительную и мнимую части и модуль указанных функций.

255. sin z. 256. ch z. 257. sh z.258. Вычислить приближенно sin (1 — 2i).259. Вычислить приближенно cos (1 -}- 2i).260. Вычислить приближенно ch (—2 - f i).У к а з а н и е . Использовать формулу задачи № 244.261. Может ли при каком-либо комплексном z оказаться, что

sin z по модулю больше 1? Ответ обосновать.262. Начертить графики указанных функций:а) у = (sin lv|; б) у = |е/д'|;в) у = |cos i x |; г) у — jth i x |.263. Имеет ли функция w = sin z хотя бы один мнимый корень?1 - е р е ш е н и е . Полагая z — a -j- [ii, имеем:

^sin z — 0 фф----------- = 0 «=> ё г = e~iz фф c-iz =

2 i

= 1 « / ’*+W = 1 « е~*> е-‘"' « 1.В последнем равенстве справа стоит 1, а слева — комплексное

число, записанное в показательной форме, причем модуль его ра­вен e-2(S, а аргумент 2а. Но у равных комплексных чисел модули равны, а аргументы могут отличаться лишь на 2кл. Поэтому

- 2Р е 2/ а = 1 ( е - 2 Р = 1 , ^ / Р = 0 , ^ 2 = = /e j [ ( /е — 0 , ± 1 , . . . ) .1 2а = 2к л I а — /ел 4 ’

Итак, каждый корень функции sin z имеет вид z — л/г, где k —целое ч и с л о , так что sin z не имеет ни одного мнимого корня.

2 -е р е ш е н и е . Пусть z — х -|- iy. Выделим действительную и мнимую части функции sin z\

sin (х -j- iy) = sin .v ch у -г i cos x sh y.

Нас интересуют те точки z — х -f- iy, в которых sin (х - f iy) — 0.Это будет тогда и только тогда, когда

sin х ch у = 0 и cos х sh у = 0 .

Так как ch у > 0 (см. «Справочник», с. 100), то первое из ука­занных равенств возможно лишь в том случае, когда sin х = 0;но так как при этом cos х ф 0 , то необходимо, чтобы sh у = 0 ,

57

Следовательно, корнями функции sin г будут лишь те числа г —— х -\- i y , для которых одновременно sin х = 0 и sh у — 0. От­сюда имеем: х = /гя, у = 0 пли z = /гл. Итак, все корни — числа действительные.

264. Решить уравнение sin 2 = 2.Р е ш е н и е . Пусть г — х - f iу. Как и в предыдущей задаче,

находим:sin (х + iy) — sin х ch у -|- i COS х sh у.

Данное уравнение можно переписать в видеsin х ch у + i cos х sh у = 2.

Исходя из условия равенства двух комплексных чисел, получим систему

f sin х ch у = 2,{ cos х sh у — 0.

Предположение, что sh у = 0 (или у = 0), приводит к тому, что ch у — ch 0 = 1, и тогда из первого уравнения системы следо­вало бы, что sin х — 2, чего для действительных х быть не может. Поэтому sh у Ф 0, и, следовательно (в силу второго уравнения системы), cos х = 0 , а из первого уравнения следует, что sin х = 1.Поэтому х — — + 2/гл (/г — целое). При этом окажется, чтол

9сУ _!_ е~У

я , 2 + / 3 л 2— / 3z = — -J- 2/гл + tin —1 — н z = ү + 2/гл -f / In — ^—

ch у = 2. Заменяя ch у па — - — и решая полученное уравне­

ние, найдем:. 2 + 1 ^ 3 , 2— }^3"у = In —L-2--- и у = In ---- г, •

Итак, уравнение имеет следующие комплексные решения:JX _ .

2 = 2 _1~ 2/гл -)

где к — 0 , ± 1, ± 2, . . . .265. Из 2-плоскости удалены круги заданного радиуса е |е < ^

имеющие своими центрами точки 0, ЧҺІ, ± 2 , ... . Д оказать, что в оставшейся части плоскости функция ctg лг является ограничен­ной.

Р е ш е н н е. Так как функция ctg Л2 имеет своим периодом число 1 (проверить самостоятельно!), то достаточно рассмотреть ее значения с замкнутой полосе 5 , ограниченной прямыми х — 0 и х = 1, причем из этой полосы удалены внутренние области полу­кругов радиуса е с центрами в точках х — 0 и х = 1.

Во всякой ограниченной части полосы 5 функция ctg Я2 не­прерывна, а следовательно, ограничена по модулю. Поэтому нам остается лишь показать, что |ctg лг| остается ограниченным, когда точка 2 = х + iy любым образом удаляется в бесконечность, оста­ваясь в полосе S, т. е. при 0 ^ х ^ 1 и у ± оо.

68

Будем исходить из формулы:

, cos яг . еCtg Л2 — ---------- = I --------------------- = I ------------ гг {rt «іЧ -rnsin Л Z л '2 —Ліг — Яу Л i л' Я у —Л(Х'

е — с с е — с е

іаменяя здесь модуль числителя суммой модулей, а модуль знаме- ателя абсолютной величиной разности модулей, получаем:

Отсюда непосредственно усматриваем, что при у ->■ ± оо пра- ая часть последнего неравенства стремится к пределу, равному 1. Іоэтому при достаточно больших по абсолютной величине значе- иях у можно считать, что, например, |ctg nz\ < 2 .

Итак, теперь полностью доказано, что в части плоскости, ука- анной в задаче, функция ctg лг является ограниченной.

266. Действительные корни уравнения cos х — 0 известны из урса математики средней школы. Имеет ли функция cos z (z = = х + iy) еще какие-либо корни? Ответ обосновать.. 267. Выяснить, в каких точках плоскости, кроме точек действи-

эльной оси, данные функции w = / (z) принимают действительные начения:

a) w = ez\ б) w — cos z\ в) w = sin z.268. В каких точках плоскости переменного z функция:

) и) = cos z\ б) w = sin z принимает чисто мнимые значения?269. Какая часть плоскости при отображении w = ег сжимается?

270. Выяснить, во что преобразуется полоса ~ х < л

ри отображении w = sin z.Р е ш е н и е . Рассмотрим вначале, во что преобразуется при

'ля точки w — и + iv, являющейся образом произвольной точки = с + iy этой прямой, имеем (см. № 263):

анном отображении произвольная прямая

= sin z и -+- iv = sin с ch у -}- i cos с sh у ФФ и — sin с ch у V = cos с sh у

sin с11 I

;------ = СІ1 у=$> — -----------— = c lr у — s l l 2 у <=>

s i n - с cos2 сV — sh уcos с

и2 (8 .1)sm - с cos2 о

59

Мы получили, что точка а/ = = и -}- i v — образ точки z = с + -г iy — удовлетворяет уравне­нию (8. 1), которое определя­ет гиперболу (начертите ее!), Однако, когда точка z пробега­ет прямую х — с, ее образ а может и не описать всей гипер­болы, так как при выводе урав­нения (8 . 1) применялись такие преобразования, которые могут привести к приобретению пос­торонних решении. Выясним вся ли гипербола (8. 1) явля' ется образом прямой х — с Для этого рассмотрим получен ные в процессе решения пара метрические уравнения

и = sin с ch у, v — cos с sh у,

которые при — оо < у < - |- оо в точности определяют искомый об раз. Так как ch у > 0 при любом у, a sin с > 0 при рассматривав мых с, то и > 0 . Это означает, что образ прямой лежит лишь ш правой ветви гиперболы (8.1). Из того же, что при изменении у 0' — оо до -f со функция sh у также изменяется от —оо до -j-oo, еле дует, что v изменяется (так как cos с < 0) от -f-оо до —оо. Это озна чает, что искомый образ с о в п а д а е т с правой ветвыо гипер болы (8 . 1) (рис. 11, линия 1).

Д ля нахождения образа заданной полосы представим себе, чтона как бы «замощена» прямыми х = с < с < jtj. Тогда образі

этих прямых «замостят» образ полосы. Что же «замостят» правы ветви гипербол (8.1)? Прежде всего заметим, что вершина любо гиперболы вида (8.1) лежит на ]0, 1[. Если с-*- я , то гипербол (рис. 11, линия II) приближается к оси О у (ее вершина при ближается к началу координат), распрямляясь (действительнаполуось sin с —> 0, мнимая I cos с\ —у 1). Если с - у то права:

ветвь гиперболы, сжимаясь (действительная полуось sin с - у 1 мнимая (cos с j —у 0), приближается (рис. 11, линия III) к луч; [ 1, -foo[. Приходим к выводу, что рассматриваемые ветви гипербо. «замостят» правую полуплоскость с разрезом по лучу [ 1, + о о оси О и.

271. Выяснить, во что преобразуются при отображении w — е (полученный образ и заданный прообраз начертить):

60

а) прямая х — с; б) прямая у = с; в) прямая у = кх -{- b (к ^ 0);) полоса - < у < — ; д) полуполоса х < 0, 0 < у < — ;

4 з 4

) прямоугольник 0 < X < 1, — < у < у .

272. Выяснить, во что преобразуются (данный прообраз и полу-енный образ изобразить на рисунках) при отображении ш = cos г:) прямая .v = с; б) прямая у = с; в) полуполоса 0 < х < я ,

< 0; г) полуполоса 0 < х < ~ , у > 0; д) полуполоса------— < х <71С — , у > 0; е) полоса 0 < х < я; ж) прямоугольник 0 < л* < я ,

-Һ < у < һ (Һ > 0).273. Найти образ прямоугольника 0 < х < я , 0 < у < 1 при

тображении w = eiz. Сделать чертеж.274. Найти образ полуполосы 0 < х < 1, у > 0 при отображе-

ии is) = cos яг. Сделать чертеж.

§ 9. ЛОГАРИФМЫ КОМПЛЕКСНЫ Х ЧИСЕЛ.СТЕПЕНЬ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Л и т е р а т у р а : [1], п. 19 и 20; [3], гл. V I, § 2, 4.

Л о г а р и ф м о м (натуральным) ч и с л а г (обозначается Ln г) азывается такое число и , что е',:' — г. Оказывается, что в комплексной обла- тн логарифм сущ ествует не только для действительных положительных чи- сл (как это было в действительной области), но и для отрицательных и даж е [нимых. Больше того, в силу периодичности показательной функции в ком- лексной области каждое число г Ф 0 имеет бесконечно много логарифмов. -Іаходить их можно по формуле

Ln z — In |z| - f i (arg г -j- 2кл), к — 0, ± 1 , . . . , (9.1)

де In |z| — действительное значение натурального логарифма от положи- ельиого числа |г|, известное из элементарной алгебры.

275. Вычислить Ln (1 + І).Р е ш е н и е . Ln (1 + i) = ln |1 + i\ + i [arg (1 + i) +

- 2/гя] = ln У 2 + i ^ + 2/гя^; k = 0 , ± 1, zb2, ... .

При к — 0 получим w0 zn 0,3645 + 0,7854t, при к = 1 z 0,3645 + 7,0686i. Все значения находятся на прямой х — In У 2 . асстояние между соседними значениями равно 2л.

276. Вычислить логарифмы следующих чисел и изобразить на ертеже несколько значений логарифма:

a) i; б) —5; в) — 1 + іУ§ , г) —3 — д) 1 — ij/ З ; е) — І;о 5; з) 1 -һ і УЗ] и) 3 + і У 3; к) — 1 — іУ З .

277. Д оказать, что для любого положительного действнтельно-э числа х одно и только одно значение Ln х является действи- гльиым, а для любого отрицательного или мнимого числа z все начения натурального логарифма мнимые.

61

Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняютс и в комплексной области1:

Ln (zt • Zn) — Ln zx + Ln z2, (9.:

Ln — = Ln zx — Ln z2. (9.c

278. Вычислить L n [ ( l — i) ( І+ іУ ^ З ) ] .Р е ш е н и е . П ользуясь формулами (9.1) и (9.2), получаем:

Ln [(1 - i) (1 + і / З ) ] - Ln (1 — i) + Ln (1 -I- i V 3 ) =

= ln Y 2 -j- i | — ^ + 2 k n \ + In 2 + t -\-2niij —

= ln 2 Y 2 -f i ^ -J- 2л (к -j- n) = | l n 2 + i ^ + 2 л/и j,

tn = 0, + 1 , ± 2 , ... . Здесь использован тот факт, что к + п прінимает все целые значения, когда к и п пробегают независимо др> от друга все возможные целые значения. Это позволяет упростит ответ, положив к -|- п — т.

279. Вычислить логарифмы следующих чисел:

а) ; б) ~ 1 + П ? ; в ) ( 3 + ( К З ) г; г) - ! + •1 -!- i V з 3 — г / 3 V 2

280. «Положив в формуле (9.2) zx = г2 = г, получаем:Ln (г • z) — Ln г + Ln z,

т. e. Ln z2 = 2Ln г». Верно ли это?P e ш e н ii e. Возьмем г = 2. Тогда

Ln 4 = Ln 22 = 2Ln 2 — 2 (ln 2 -f- 2ink) —= ln 4 + 4/глi (k = 0, ± 1 , ± 2 , .,,).

С другой стороны, по формуле (9.1):Ln 4 = ln 4 + 2/2л t.

Но числовые множества (In 4 -|- 4/глt } и {In 4 + 2/глі} і равны. Второе множество содержит, например, число In 4 -J- 2j (я = 1), в то время как первое его не содержит (ни при каком ц< лом к выражение In 4 + 4/гл не даст In 4 + 2л i).

Итак, полученная формула неверна. Это означает, что Ln г - + Ln z Ф 2 Ln z, и в этом нет ничего удивительного: ведь мы опс рируем с множествами, а не с числами.

1 Равенство (9.2) лишь по внешнему виду вполне аналогично известном равенству элементарной алгебры! М ежду ними имеется существенная разіи ца. Равенство (9.2) понимается в следующем смысле: каждое значение Ln (zx> X zs) равно сумме некоторого значения Ln zx и некоторого значения Ln z: и наоборот, сумма любых двух значений Ln zt и Ln z2 равна некоторому зш чению Ln (z, « Zo). Аналогично следует понимать и равенство (9.3).

62

Выражение to = Ln г не является функцией в общепринятом смысле — данному г оно ставит в соответствие не единственное и . Эго так называемая м н о г о з н а ч н а я ф у н к ц и я. Но если в выражении (9.1) для лога­рифма фиксировать /г, то для любого z ф 0 получаем единственное значение логарифма. Возникающ ая при этом функция называется о д н о з н а ч и о ii в е т в ь ю многозначной функции Ln z. Значение Ln z, которое получается при к — О, называется г л а в н ы м з н а ч е н и е м л о г а р и ф м а и обозначается In z. Итак,

In z = In |z| + i arg z.

Любая однозначная ветвь функции Ln z определена на всей плоскости с выколотой точкой z — О, но не является непрерывной во всей своей обла­сти определения (она терпит разрыв в точках действительной отрицательной полуоси, так как в этих точках разрывна функция arg z). Однако любая ветвь логарифма является не только непрерывной, но н аналитической в области D, представляющей собой плоскость с разрезом вдоль отрицательной действи­

тельной полуоси1. Все ветви имеют своей производной одну и ту же функцию — .Z

О тображение, осущ ествляемое любой ветвыо логарифма, конформно в каж ­дой точке указанной области D.

281. Верна ли формула

In (Zjl • z2) = In + ln Zo?

282. Найти образы окружностей |z| = с и лучей arg z = а при отображении той ветвыо функции ад = Ln z, которая при z = 1 имеет значение ад = 0. Во что при этом отображении переходит плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительной полу­оси; угол D {сс < arg z < р (а > —я , (3 ^ я)}?

Р е ш е н и е. Так как Ln 1 = 2kni = 0 при /е = 0, то имеется в виду главное значение логарифма, т, е. In z. Д ля точек окружно­сти L { |z| = с} имеем:

ад = In z = In с 4- г'ф,

т. е. а — In с = const, v — <р (— л < (р ^ л ) . Это означает, что образ L' окружности L является отрезком прямой, параллель­ной оси v (открытым снизу и замкнутым сверху; см. рис. 12).

Для точек луча Т {arg z — а ) имеем:

w = \п z — \п |г| -{- ict, (9.4)

т. е. и = In |z|, v = а = const. Так как In |z| изменяется от — сс до -j-оо, когда z пробегает луч Т, то уравнение (9.4) определяет прямую, параллельную действительной оси и (см. рис. 12).

Плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси будет «замощена» лучами arg z = а , когда а изменяется от —л до л . Тогда их образы — прямые v — сс — «замостят» на ад-плоскости полосу —л < v < л . Аналогично замечаем, что угол D отображается на полосу а < Im w < p.

1 Тот факт, что рассматривается именно такая область, носит случай­ный характер. Это вызвано тем, что в формуле (9.1) фигурирует главное зна­чение аргумента, а оно нами выбрано из промежутка [ — л , л ].

63

©# 1

L

/ \ оЛ

V 0с \

э

/ОС

О in С

L'

_____

Рис. 12

286.

287.

288.

289. Область D

290. Найти образ угла

В з а д а ч а х 283—289 тре­буется выяснить, во что преоб­разуется указанное множество при отображении ветвыо функ­ции w = Ln 2, выделяемой ее значением в указанной точке. Сделать чертеж.

283. Виток спирали г —(—л < (р < я); Ln 1 = 0.

284. Проколотый круг 0 << \z\ < 1; Ln 1 = 2лі.

У к а з а н и е . Эту область можно «замостить» окружностя­ми \z\ = с, 0 < с < 1.

285. Кольцо 2 < \z\ < 4 ;Ln 1 = —2л i.

л iВерхняя полуплоскость 1 т г > 0 ; Lnt =

Правая полуплоскость R e z > 0 ; L n(l + i) = ln )^ 2 + «

Угол - • Ф<U JI т . О •— ; L iu = ------лі.‘2 ‘2

arg 2 < 1 < I 2 |<C С Ln 1 = 0.

отображении

In (2 — 1)

0 < arg 2 < при

произвольной однозначной ветвыо функции Ln 2.291. Какая часть плоскости при отображении w

сжимается?292. Около 400 лет назад голландский ученый Меркатор пред­

ложил следующий способ построения географических карт. Зем­ную сферу отображают на плоскость с помощью стереографической проекции, а затем плоскость подвергают отображению и = i In 2. Такие карты нашли широкое распространение в навигации, бла­годаря тому, что они получены конформным отображением и лок­содромии1 на них изображаются прямыми линиями.

Какие линии будут изображать на карте Меркатора параллели и меридианы, в частности экватор и нулевой меридиан? Какая область будет изображать часть земной поверхности, находящуюся между 30 и 60° восточной долготы и между 40 и 60° северной широты?

С помощью понятия натурального логарифма вводят понятие к о м- п л е к с н о й с т е п е н и любого комплексного числа. При этом исполь­зую т так называемое «основное логарифмическое тождество» ах = е х 1 п а , считая его важнейшим свойством, которое долж но сохраниться и в комплекс­ной области. А именно по определению полагаем:

____________ a* = cz Ln а . (9.5)

1 Локсодромии — пути на поверхности Земли, вдоль которых стрелка компаса сохраняет неизменное направление.

64

У

Рис. 13

293. Вычислить (“ 7= ^ +£*

Р е ш е н и е . Согласно формулам (9.5) и (9.1):

( l-H )Ln ^ (1-1- О I - ) - — 2Ал / f 2Агя - —'\/1 _ А Н -1 / 2 V 4 ; 4 \ *1 /—т=г =<? =£? = е е

\ / 2 /В частности, при к — 0 имеем:

л л я я

е' с = е ^cos~ — * s ‘n — ү = О — 0 — 1,55(1 — i)*

В з а д а ч a x 294—300 требуется найти все значения указан­ных степеней. Ответ записать в показательной форме. Значение, отвечающее к — 0 , записать в алгебраической форме, вычислив действительную и мнимую части с двумя верными десятичными знаками.

294. \~1. 295. і*. 296. (1 -{- І)1. 297. V. 298. (I — /) '" 1. 299. (— 1)'.300. (1 -!- i)w .301. Д оказать, что все значения wk (к = 0, dbl, ...) степени

аь (Ь — а -|- i (5, а Ф 0, р Ф 0) можно построить следующим обра­зом. Строим ш0. Проводим окружность /<■„ {\z | = г = |се*0J} и луч L0 {arg z — arg ay0}. Уменьшив1 радиус окружности /Со в е раз,

1 Н иже для конкретности ограничимся случаем, когда I | > 1.

3 З а к а з *111 * (35

получим окружность К х и, повернув луч L0 на угол 2я а , получим луч Ьу. Пересечение линий L x и К х дает точку wx. Уменьшив радиус окружности К х в раз и повернув луч Ly на угол 2я а , получим окружность /Со и луч Lo, которые в пересечении дадут точку w z, и т. д. Точка w_y — точка пересечения окружности /С—i (она получает­ся растяжением в раз окружности /Со) и луча L_x (он полу­чается поворотом луча L0 на угол —2яа). Растяжением окружности /С- i в е2лР раз и поворотом луча L_x на угол —2л а получаем окружность /С_о и луч L_o, пересечение которых дает точку и т. д. (см. рис. 13).

Р е ш е н и е. Положив а = ге'ф, по формуле (9.5) получаем:a b _ е ( а + 'Р ) L n а _ _ ос In г—Р (ф + 2А л ) е /[а(<р-}-2Ал)+ p in г]

Это показательная форма значения искомой степени, Обоз­начим модуль ОУ/. через r,t и аргумент через фА. Имеем:

г _ In г — рф 2 л р /;___ г0( е2 ) к ’

Ф/. — аф -f- ln г -}- 2/ела = ф0 + (2ла) /г.

Этими формулами и определяется описанный способ построения чисел wk.

302. Доказать, что при Ь = а fit (а Ф 0, fi Ф 0) всевозмож­ные значения аь лежат на логарифмической спирали, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

- И Фг — се

Опишите способ построения значений аь с помощью спирали.303. Как располагаются на комплексной плоскости значения

степени аьу если b — чисто мнимое число?304. Может ли мнимое число при возведении в мнимую степень

дать действительные значения? Привести пример.305. Пусть a, by, b2 — произвольные комплексные числа, Спра­

ведливо ли соотношениеаь» аь* = аь'+ь$

306. Справедливо ли в общем случае соотношениеа) (аь')ьг ■ = cib'bi\ б) (ah')b- = (ab=)bi?307. Доказать, что при действительном b — а формула (9.5)

приобретает вид (о б о б щ е и и е ф о р м у л ы М у а в р а):а« = га gta№+ 2/.-Л), (9 б)

где k — 0 , ± 1, ... , г = | а |, ф = arg а, а г“ означает единственное действительное положительное значение степени положительного числа г.

308. Найти значения:а) 1\ б) (— 1)«; в) І".

66

309. Может ли при возведении мнимого числа в иррациональную степень получиться действительное число?

310. Доказать, что при любом целом п Ф 0 и для любого комп­лексного числа а ф 0 выражение ап имеет одно значение.

311. Доказать, что любое комплексное число а Ф 0 при возве­дении в дробную степень — (дробь несократима) дает q различных

? р_

значений, расположенных на окружности \ z \ — | а | 4 и делящих+ 1

эту окружность на q конгруэнтных частей. Сколько среди значении а 1 действительных чисел, если: 1) а > 0 , q — четное; 2) а > 0 , q — нечетное; 3) а < 0, q — четное; 4) а < 0 , q — нечетное? Согласуют­ся ли ответы на последние вопросы с ответами, известными из эле­ментарной алгебры?

312. Доказать, что при возведении любого комплексного числа а ^ 0 в иррациональную степень а получается бесконечно много значений и все они лежат на окружности \ z \ — \а\а . Сколько среди

значений (Iх действительных чисел, если: 1) а > 0 ; 2) а < 0?Р е ш е н и е . Значения а л можно находить по формуле (9.6).

Докажем, что при различных значениях к (к — 0, ± 1 , ...) получают­ся различные значения степени. Допустим противное:

ix іа(ф-|-2А,л) _ г <х ia (y -\-2 k fi)

+ ~гНо если два комплексных числа равны, то их аргументы отли­чаются на 2тш, т. е.

а (ср + 2/г^) — а (<р -{- 2к гп) = 2/т, где п — целое. Отсюда

па = -------------- ,.

Һп -- Һ\

а это означает, что а — число рациональное (вопреки условию). Итак, а ? при иррациональном а имеет бесконечно много значений. У всех этих значений (см. формулу 9.6) одинаковый модуль ги ,

* + значит, они располагаются па окружности \z\ = гсс.

313. При решении в действительной области степенно-показа­тельных уравнений вида

[ф(А-)Уи = O M ?(v>часто пользуются таким «очевидным» утверждением1: если

аь = а° (9.7)

1 См., например, Вахоізскнй Е . Б. и Ры бки н А. А. Задачи по э л е ­ментарной математике. М ., 1969, с. 56.

3* 67

и b Ф с, то либо а — 0, либо а — 1, либо а = — 1. Д оказать это утверждение.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ясно, что при а — 0 и а = ± 1 ра­венство (9.7) действительно может выполняться (О2 = О3, I5 = I4, (— I)2 = (— 1)°). При а > 0 и с іФ 1 эго равенство не может вы­полняться в силу монотонности показательной функции у = ах.

Пусть а < 0. Рассмотрим данное равенство в комплексной области. Здесь оно понимается так: одно из значений аь равно од­ному из значений ас (и эти значения являются действительными числами), С помощью формулы (9.6) преобразуем равенство (9,7) к виду

Слева и справа записаны числа в показательной форме. Значит, | а и \а\с — их модули, Но если два комплексных числа равны,Л,

Получилось равенство вида (9.7) с положительным основанием [а|. Оно возможно, как отмечалось выше, только при \а\ = 1. А так как а — действительное отрицательное число, то это и озна­чает, что а = — 1.

Ф ункция и = лишь при целом действительном а является однознач­ной функцией; если о. > 0, она будет определена и аналитнчна на всей пло­скости, если а < 0, функция является аналитической на всей плоскости, кроме точки 2 = 0 . При остальных показателях а это многозначная ф ункция1. Ф иксировав в •определении степени za (см. формулу (9.5)) какую -нибудь однозначную ветвь логарифмической функции, можно выделить однозначные ветви показательной функции. Как и ветви логарифмической функции, они являются аналитическим.I в плоскости с разрезом вдоль отрицательной дей­ствительной полуоси (см. сноску на с. G3), и осуществляемое ими отображ е­ние конформно во всех точках рассматриваемой области.

314. Найти образ угла — Ф < arg г < # при отображении тойоднозначной ветвыо функции w = Y z , которая в точке z = і прини-

1-1 - ;мает значение - 'V 2

Р е ш е н и е. По формуле (9.6)

\ а \tic(Я -j- 2/гл)

то равны их модули:

1 При а = — выражение г'1 записывают также в виде у г (п—натуральное).п

68

Так как Y z имеет два значения, которые можно найти, давая параметру k значения 0 и 1, то Y z порождает две однозначные функции:

I № +п)ьV — Y r е 2 и w -= Y г е ^ > .

+ +Найдем, какая из них в точке І принимает заданное значение

1-НV 2 '

Д ля первой ветви имеем:.я

/<ч ‘Т л . . . я; 1 + І wit) = е — cos — \- 1 sin — -- ~ = - .w 4 4 У 2

Итак, требуется рассмотреть функцию (главная ветвь Y z )

IV Y 7 e 2 .

Данныіі угол можно «замостить» лучами I {arg г = а} (—■О- < а << О). Найдем образ луча I. Любая точка этого луча имеет вид:

z = гс'а (0 < г < оо, а — const).Тогда образ w этой точки выглядит так:

= Y г е ' ~ .

При изменении г от 0 до + 0 0 точка 2 опишет луч /, а точка иу, очевидно, опишет луч L {arg w = При изменении а от — $ до

О луч I опишет заданный угол, а его образ L — уголО #

------ < arg ьУ < — .2 ь 2

315. Найти образ заданного множества Е при отображении ветвыо указанной функции, выделяемой ее значением в указанной точке:

а) £ j — j < arg г < - j j ; w = Y z ; w ( l ) = — 1;_з_

б) E {Im 2 > 0}; w = 2 “ ; w ^

в) E {Re 2 > 0}; w = z 2; w (9) = —

r) E { \ z \ < 4, R e2 > 0}, w = Y z t a>(l) = 1.

Сделать чертеж.

69

П осле того как показано, что произвольное комплексное число а (а Ф 0) можно возвести в любую комплексную степень, можно перенести обычное определение логарифма и па случаи комплексного основания а. При этом вычисление л о г а р и ф м л при любом основании а Ф 0 сводится к вычис­лению натурального логарифма по обычной (на внешний вид) формуле пере­хода;

Ln 2 In I г | 4 - i (arg г + 2/гл) /А очLog„ г = --------= ------------------------------------------ , (У .о )

Ln a In | а | + i (arg a -f- 2/гл) .

где к и п пробегают независимо друг от друга множество целых чисел.Д ля выделения однозначной ветви функции Loga г нуж но выделить

какую-нибудь ветвь функции Ln г и фиксировать одно из возможны х зна­чений Ln а.

316. Можно ли число 1 возвести в такую степень, чтобы полу­чить 100?

Р е ш е н и е . Искомая степень является логарифмом 100 при основании 1. Такая степень существует и может быть найдена по формуле (9.8):

т 1ЛЛ Ln 100 In 100- j -2/і’я і Lo-?! 100 — ------- = --------- --------.Ln 1 2пяі

Положив здесь к = 0 и п = 1, приходим к выводу, что, напри-, , In 100 In 10мер, при возведении 1 в степень о — ------- = ------- получим

2л i л i(среди многих других значений) число 100. Действительно,

in Iо ,Чт(

\i> = ebLnl= еь'2Ш = е ni “ =<?/,1п100= 100* = 100

при к — 1.317. Можно ли, возведя 1 в какую-то степень, получить число

— 1; число i; число 0?318. Д оказать,'что действительными логарифмами при основа­

нии, равном единице, обладают те и только те числа, которые изо­бражаются точками единичной окружности.

319. Вычислить Log_o(—8). Сколько имеется среди найденных значений действительных чисел?

320. Найти комплексные десятичные логарифмы числа 10, т. е. вычислить Log1() 10. Имеется ли среди найденных значений число \ g 10 = 1?

§ 10. ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ,ДАВАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Отображение, осуществляемое аналитической функцией (в тех точках, гдеV (2) ф 0), является конформным. Благодаря этому факту, аналитические функции находят применение при решении большого числа практических задач. В таких задачах часто требуется найти взаимно-однозначное конформное отображение дан-

70

ной односвязной области D на канони­ческую область (полуплоскость или круг1).

В простейших случаях конформное отображение2 может быть найдено с по­мощью элементарных функций. При решении' конкретных задач опираются на ряд «стандартных» результатов (см. таблицу на следующей странице), которые устанавливаются при изучении соответствующих элементарных функ­ций.

321. Найти конформное отоб­ражение плоскости с вырезан­ной полуокружностью (см. рис. 14) на верхнюю полуплоскость.

....... .......... .. .

:v I:?*’:

i • , • \ *,

: • v : • ; • 1: 51

Рис. 14

Р е ш е н и е . Просматривая таблицу простейших отображений, ищем, какой из рисунков левого столбца может дать плоскость с каким-нибудь разрезом, а его образ (рисунок справа) — какую- нибудь полуплоскость. Эго рисунок 21, который при 0 = зх изобра­жает плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительнойполуоси, а’его образ (рис. 22)—правую полуплоскость — •

Верхняя полуплоскость получается из правой поворотом на 90э вокруг точки z — 0. Итак, если с помощью конформного отображе­ния удастся преобразовать полуокружность в отрицательную полу­ось, то поставленная задача будет решена. Полуокружность же можно распрямить в луч с помощью дробно-линейного отображения. Найдем, например, дробно-линейную функцию, переводящую точ­ки 1 в 0, t в — 1 и — 1 в оо, С помощью известной формулы (7.4) находим эту функцию:

t = Іг 4-1

Эта функция дает конформное отображение плоскости z с разрезом по полуокружности (см. рис. 14) на плоскость I с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси (рис. 23).

Функция s = ]/ГТ (главная ветвь) дает конформное отображе­ние этой области на правую полуплоскость плоскости всиомога-

1 Если граница односвязной области D состоит более чем из одной точки, то такое отображение сущ ествует (теорема Римана, [1], гл. X , п. С), и оно не единственное.

2 Ниже для краткости иод конформным отображением понимается вза­имно-однозначное конформное отображение.

71

Простейшие конформные отображения

ФункцияОсуществляет (взаимно-однозначное) конформное отображение

области на область

W — az -f- b

cz-j- d ([I] , c. 68)

Полуплоскость или круг Полуплоскость или круг

w — ег ( [I ] , С. 86)

Полоса 0 < у < һ (Һ < 2я) Угол величины Һ с верши­ной в начале координат

Рис, 16

til = In 2 (Задача

282)

У гол а < ср < р (а > — л,Р < п)

У"

W = 2(п — 2, 3, 4, ...)([I], с. 55)

, 2лУ гол 0 < ф < 0 0 < — п

Угол 0 < ф < дӨ

Wi\

Рис. 20

Рис. 15

Полоса а < v < р

Рис. 17 Рис. 18

72

П родолжение

тельного комплексного переменного s (рис. 24). Поворот на у г о л ү ,

который достигается умножением чисел s на i, приводит к искомому отображению па верхнюю полуплоскость. Итак, искомое отобра­жение дает, например, функция

73

получаются при конформном отображе нии углов с помощью функции w = In z. Луночку же легко пе ревести в угол с помощью дробно-линейной функции, Такой функ цией может быть, очевидно, функция

z -j- І s = —■— .2 — І

При этом луночка отображается на угол величины у (рис. 26

(такой угол образуют окружности — границы луночки — в точ ке — і, а углы при конформных отображениях сохраняются). По ложение сторон угла можно уточнить с помощью точки zt = 1 которая переходит в точку sx = i. С помощью отображения t == In s этот угол отобразим на полосу < Im t < вспомога

тельной комплексной плоскости t (рис, 27). Функция v = t — ^

74

Рис. 27 Рис. 28

Рис. 29 Рис. 30

переведет данную полосу на полосу 0 < Im v < —, а тогда иско-4

мая полоса получается с помощью функции w — — v. Окончатель-л.

но находим, что искомое отображение может иметь вид:

В з а д а ч а х 323—332 требуется найти взаимио-однозначное конформное отображение1 данной области на полуплоскость Im w > > 0. Выполнить чертеж.

323. Верхняя полуплоскость с разрезом вдоль отрезка мнимой оси [0, і Һ] (рис. 28).

324. Полукруг \z | < 1, Im z > 0 (рис. 29).325. Полоса с вырезом (рис. 30).326. Луночка (рис. 31).327. Верхняя полуплоскость с вырезанным полукругом (рис, 32),

JiУ

о

Рис. 31 Р ис. 32

1 В ответе указано одно из возможных отображении.

Рис. 35 Рис. 36

328. Часть плоскости, заключенная между окружностямиI 1\ г ------

2— и | z — і | = 1 (рис. 33).

329. Плоскость с вырезанным отрезком действительной оси [О, 1].

330. Плоскость с разрезами по мнимой осп (рис. 34).331. Правая полуплоскость с вырезанным кругом | z — 1 |= 1

(рис. 35).332. Область \ г \ < 2 , Im z > 1 (рис. 36).

Г Л А В А I I I

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

§ 11. СТЕППННЫЕ РЯДЫ

Л и т е р а т у р а: [1], гл. IV , пп. 2 —4; [2], гл. II, § 3; [3], гл. V, § 2.

Пусть имеется некоторый ряд

Һ (г) Һ (г) -!- - + fn (г) + ...и М — множество всех тех точек, в которых этот ряд сходится.

Совокупность всех внутренних точек множества М называется о б л а- с т ы о с х о д и м о с т и данного ряда.

С т е п е н н ы м р я д о м называется ряд вида

Областью сходимости ряда (11.1) является некоторый круг ( к р у г с х о д и м о с т и; в нем ряд сходится абсолютно): \z — zo\ < R (при R = О круг вырождается в точку zo, а при R = со — во всю плоскость). Д ля на­хож дения радиуса этого круга ( р а д и у с а с х о д и м о с т и ряда (11.1)) можно пользоваться известными из действительного анализа формулами, которые приведены в решенных ниже задачах.

333. Найти радиус сходимости степенного ряда

Со - Г Сх (z — Zn) -f - . . . -Г Сп (г — г 0) " -|- ... ( П . 1 )

СО

«=ОР е ш е н и е. Воспользуемся формулой Коши

R = где L = lim У \ сп |.

Имеем:

334. Каков круг сходимости рядасо

п=о

77

Р е ш е н и е , Воспользуемся формулой

R — lim

Имеем:

с„ = ( - 1) " ( - 1)'3«+1 . 2"-1 ’ п 3«+2 . 9« ’

R — lim3 « + 2 . 2« . (_1)Я

= 6 .3«+i . 2п~1- (_| )"+і

Следовательно, \ z - \ - i \ < 6 — круг сходимости данного ряда. 335. Какова область сходимости ряда

Р е ш е н ие. В данном ряде коэффициенты при нечетных степе­нях г равны нулю. Поэтому в этом случае нельзя воспользоваться ни одной из применявшихся в предыдущих задачах формул — соот­ветствующие пределы не существуют. Введем новую переменную t = z2. Тогда получим ряд

Л ./І2

/1 = 1

и его радиус сходимости найдем с помощью формулы

R — lim _ |im !! - . ('■ + 1)1 , 1 .!Г • 2«+» 2

Следовательно, областью сходимости вспомогательного ряда яв­ляется круг а областью сходимости исходного ряда —

КРУГ И < y f -

В з а д а ч а х 336—346 требуется найти круг сходимости каж ­дого из данных степенных рядов.

азе . £/1=0

(2 -I- 0"

337. £/і=і

п\ • гп

338, ( г — 2 i ) n

5 « - i . 3 1 - «

339. У^ . п\ п = 1 со

340. У - у - .І Ш е іп / 1=0

СО

341.п=0 /1--1

1 — Іп .

78

342. У п» ■ л 345. у С + 1 ) , - ( « - 1 + 0.»0*- Jo* .лп=1 п!«=1

343. У 1<£+И1. 34в. у _ Л _“ (20“ 1 + ni 'п~ 1 П=1оо

V 1 г п344. 2 - — *п

/г=1

347. Какова область сходимости рядаОО

(— ! ) « ._ £ --------?(2л + 1)!«=1

348. Найти область сходимости ряда

— г2л_1.,3«П=1

§ 12. КОМПЛЕКСНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Л и т е р а т у р а : [1], гл. V, пп. 1—3; [2], гл. IV , пп. 1— 3; [3], гл. V III, § 1.

Пусть / (г) = и + (г = .v -|- iy) — непрерывная в некоторой обла­сти D комплексная функция и Г — кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области D. Если линия Г задается уравнением z = г (/) (а < t < Р), то вычисление комплексного интеграла1 от функции f (г) по кривой Г (в направле­нии возрастания параметра) сводится к вычислению определенного интегра­ла от комплексной функции действительного переменного2 по формуле

J f ( * ) < f e = f /[*(<)]*'(<)<«. (12.1)І 1 а

Формально правая часть этой формулы получается, если в левой части ее в подынтегральном выражении заменить г на г (/).

1 Т. е. интеграла от комплекснозначной функции действительного пере­менного. Мы полагаем, что читатель предварительно ознакомился с опреде­лением этого понятия по литературе, рекомендованной в начале параграфа.

8 Интеграл от функции и (() -j- iv (t) понимается в следующем смысле: ь ь ь

j О (/) + iv (/)] dt = j‘ и (0 dt -j- i^v(t)clta a a

Д л я таких функций справедливы все формулы интегрального исчисления вещественного анализа.

79

349. Вычислить \ \z\ clz, если путем интегрирования Г является: г

а) прямолинейный отрезок, соединяющий точки — 1 и 1; б) нижняя половина единичной окружности |г | = 1. Начальная точка пути интегрирования z — — 1.

Р е ш е н и е , а) Уравнение отрезка, соединяющего точки — 1 и 1, параметрически можно записать следующим образом:

г = /, — 1 < t < 1.

Тогда по формуле (12.1)

j*|г | d z = ^ \ t \ d t = j*(— / ) dt -j- j"dt - |- \ t d t — ------V ' - t

1.—I —i

б) Уравнение нижней половины окружности запишем в виде z = e lt, л < ^ г ^ 2л

(если t — л , то z — — 1, а если t = 2л, то z — 1). Получаем:

р z 1 dz — (* \el t \ ielt dt -■ еи £я = 2 .Г я

350. Вычислить \ ~ = , где Г—верхняя половина окружности |г |= 1,) У z г

(выбирается та ветвь функции Y z , для которой ] / J = 1). Н а­чальная точка пути интегрирования z — 1.

Р е ш е и и е. Уравнение контура Г можно записать в виде

z = е'ч\ 0 ^ ф < л. ф i( — ’ лЛ

Далее, имеет два различных значения, а именно е 2 и е ' 2 \Но так как выбирается та ветвь функции ) / г, для которой }/ 1 = 1, то

_

] / " — е " .

Тогда

г и е 2 о

351. Вычислить j zdz , если Г — замкнутый контур, образован-г

ныіі дугоіі параболы у = —х2 -}- 1 и отрезком оси абсцисс; кон­тур Г обходится против часовой стрелки,

80

Р е ш е п и е. Контур Г разобьем на две части Г\ и Г2, где Г\ — прямолинейный отрезок [— 1,1 ], а Г2 — дуга параболы от 1 до — 1. Уравнение контура Г\: z = t, — 1 ^ t ^ 1. Тогда

Izdz = ( t d t = — * = 0 .

J 2 - 1г, -1

Уравнение контура Г2: z — — t - f i (— t2 -г 1), — 1 ^ ^ 1;при этом начальной точке 1 соответствует значение параметра t = = — 1, а конечной точке — 1 — значение / = 1. Поэтому

-i-i

\ z d z - j ' [ —/ + і (—І- 1) ] ( — 1—2й ) Л = 0.г, —1

Следовательно1,

\ z d z - | zdz -\- \ zdz — 0 + 0 — 0 . г г, . г,

352. Вычислить интеграл

j (Re г -|- Im z) dz, ' г

если Г: 1) ломаная с вершинами в точках 0, 1, 1 -|- 2i\ 2) отрезок с концами в точках 0, 1 + 2 i. Начало линий в точке 0.

353. Вычислить2 ! (z — \ z |) dz, если Г — контур, состоящий изг

правой половины единичной окружности и вертикального диаметра,

354. Вычислить \ J L d z , если•' zг

Г — контур, изображенный на рисунке 37.

355. Решить предыдущую задачу в предположении, что Г — контур квадрата с верши­нами 1, i, — 1, — i.

356 . Вычислить | - ^d z , если

Г — контур квадрата с вершина­ми в точках ± 1, ± t .

1 После ознакомления с и н т е г р а л ь н о й т е о р с м о й К о ш и (которая утверждает, что интеграл по замкнутому контуру С от функции,

. аналитической в замкнутой области , ограниченной кривой С, равен нулю) ответ к этой задаче можно получить сразу без вычислений.

2 Здесь и ниже, если не оговорено противное, интеграл но замкнутому контуру берется в положительном направлении.'

81

357. Вычислить J z dz , если Г — астроида z = cos3 £ 4 - i sin3 1,

0 < t < 2 я .

358. Решить задачу 357 в предположении, что Г — замкнутый контур, состоящий из одной арки синусоиды у = sin х и отрезка оси абсцисс.

359. Решить задачу 357 в предположении, что Г — замкнутый контур, состоящий из одной арки циклоиды х = a (t — sin /), у =

ружности \ z \ — 1; выбирается та ветвь многозначной функции У , z, для которой Y — 1 = i, Начальная точка пути интегрирова-

ность 12 | = 1; выбирается та ветвь функции z, для которой У 1 = = — 1. Начальная точка пути интегрирования— точка 2 = 1,

Пусть D — область, ограниченная произвольной кусочно-гладкой зам­кнутой линией С, и f (г) — функция, аналитическая в замкнутой области D- Одно из замечательных свойств аналитической функции состоит в том, что для определения ее значений в любой точке а области D достаточно знать, какие значения она принимает на границе. Д елается это с помощью формулы

которая называется и н т е г р а л ь н о й ф о р м у л о й К о ш и. И нте­грал берется вдоль границы С в положительном направлении, т. е. так, что при обходе контура С область D остается слева. С помощью этой формулы доказы вается, что аналитическая в замкнутой области D функция f (z) име­ет в каждой внутренней точке а этой области производную любого порядка п, причем значение производной также можно вычислить, зная значения ф унк­ции на границе, по формуле

§ 13. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА К0111И

Л н т е р а т у р а: [1 ], гл. VI, пп. 1 и 3; [2 ] ,ггл. IV, § 3, пп. 1 и 4; [3 ], гл. V III, § 3, 4.

с

362. Вычислить интеграл

сгде С — окружность | z | = 3,

82

Р е ш е н и е . Данный интеграл похож по внешнему виду на интеграл, стоящий в правой части формулы Коши. Здесь а = 2, f (z) — z- — 5z - f 8 . Так как функция f (г) аналитична в замкну­том круге \г | ^ 3 и точка а — 2 лежит внутри круга, то выраже­ние

-Ч2я i ,)z" — 5z -f- 8 dz,

z — 2с

дает нам значение этой функции в точке а — 2. Но это значение можно найти непосредственно:

/ (2) = (г2 — 5г 8)г==2 = 2.Итак, получили:

2 = — /; I = 4ш.2лі

363. Вычислить интегралГ dz

где С — окружность: а) | z | = —; б) | z — i \ = 1; в) | z -|- i \ = 1;

г) \z\ = 3.

Р е ш е н и е , а) Подынтегральная функция ------- являетсяг- -!-1

аналитической в замкнутом круге Данный интеграл

равен нулю в силу интегральной теоремы Коши (см. сноску на с.81 ).

б) В круге | z — t| ^ 1 подынтегральная функция не являет­ся аналитической, так как в точке z — І она не определена. Тео­ремой Коши воспользоваться нельзя. Запишем интеграл в таком виде

Г -- Г (lzJ Z2 1 “ J (z /) (Z -l-i)с с

и сравним его с интегралом в формуле Коши. Так как функция— — в рассматриваемой области аналитична, то можно пола- z + Ігать [ (z) = ------, а = І. Тогда искомый интеграл равен:

z - |- ;

2т / (л) = 2я i - 1i + І

в) Здесь уже в качестве / (г) функцию — — брать нельзя:z -I- І

в круге \z -|- « 1 ^ 1 она не является аналитической. Но здесь

можно положить f (z) = —— , а — — i. Поэтому искомый инте-2 — І

грал равен:2 щ —- —■_ = —я.

г) Ни функция —— , ни функция —— не являются аияли-2 І 2 — I

тичсскими в круге | z | 3. Поэтому непосредственно формулойКоши в этом случае воспользоваться нельзя.

Преобразуем подынтегральную функцию так:1 1 / 1 1

22 -)- 1 2i \г — /' z -j- /

Тогдаdz 1 Г dz 1 С dz

2" - j- 1 2 1 ,) 2 — /' 2г J 2 - | - гс с с

Каждый из полученных интегралов вычисляется с помоіцыо фор­мулы Коши, если положить / (г) = 1, а = І в одном случае и а = —і в другом:

\— = — 2 лі / (і)----— 2 я і / (— О-,] г" -I- 1 2i w 2i vс

Так как f (z) = 1, то / (i) — f (— i) = 1 и интеграл равен нулю.364. Вычислить интеграл

Г sin г I ----------- az,г л Х4

где С — окружность | z — i\ = 4.Р е ш е н и е . Для вычисления данного интеграла восполь­

зуемся формулой для производных аналитической функции. Таккак sin z аналитична в круге \z — i| ^ 4 и точка лежит внутри

этого круга, то можно положить / (z) = sin z, а = —, п — 3.3

Тогдал

* 2 д I • ///dz ~ — sin zл VI

— 2 л (' cos —3 я/

В з а д а ч а х 365—376 требуется вычислить указанные ин­тегралы.

36Г 22

5. ---------- -— dz, где: а) С — окружность\z-\- i \ = 1;. (г — 2)(z -4- i)) (г _ 2)(2 + І)с

б) С — окружность | z — 3 | = 2,

С dz366. j —— - , где С — прямоугольник с вершинами в точках 1,с

1 -|- 3i, — 1 -|- 3/, — 1.

367, | — , где С — окружность | z -|- 1 1

368.

J г (z- — 1) 2

fez- — - dz, где С — окружность | z | = 2.

с

369. ■ -oC0s z— dz, где С — треугольник с вершинами в точках 4,J 2“ — Jt2О

— 4 -j- г, — 4 — г.

370. | ---- shz---- ^ ^ _ 0 К р у Ж П 0 С Т Ь 12 1 __ j

.Н-Нс G

‘ 371, ( г> ~г ог ~ 4 dz, где С — эллипс —— f — — 1.J ( 1 - г ) ;( 4 Г 2сГ* ^ 1372. ----------- б/z, где С—окружность I z — 1 | = —.J г (2 — 1)2 1 2бf4 dz'373. \ — — , где: 1) точка 3/ лежит внутри замкнутого контура ,) 2“ —{— 9с

С, а точка —3i — вне его; 2) точка —3 i лежит внутри контура С, а точка 3( — вне его; 3) точки ± 3 i лежат внутри контура С.

'374. (— — dz, где С—-окружность | г | = 3.J ( z _ 2)юо ’ 11с

Г* dz375. \ — (т — целое число, т ф 1), где С: а) квадрат с вершн- с

нами 1, 2 + i, 1 + 2 i, t; б) квадрате вершинами Г, t, — 1, —І.

376. І ------—------, где С — окружность I г — 1 1 = 2 .J z2 — 5г -(- 4е

85

§ 14. РАЗЛОЖ ЕНИЕ Ф У НКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА

Л и т е р а т у р а : [ I ] , гл. VI, п. 2; [2 ], гл. I, § 2 (2); [3 ], гл. IX , § 1.

Если в точке а функция / (г) аналитична, то в некотором круге с центром в этой точке она разлагается в степенной ряд:

/ (г) — со + сх (г — а) + с2 (г — о)2 - f . .. - f сп (г — о)п - f . . . (14.1)

Такой ряд единственный. Круг сходимости ряда (14.1) таков, что его граница проходит через ближайш ую к а о с о б у ю т о ч к у функции / (г) (точку, в которой функция не является аналитической). Коэффициенты ряда можно вычислить по формуле

сп = (/1==0, 2 ' - ) • (14 2)

Р я д (14.1) называется р я д о м Т е й л о р а д л я ф у н к и и и / (г) в окрестности точки а.

377. Разложить функцию с-г в ряд по степеням z — i. Р е ш е н и е , Воспользуемся формулой (14.2), В данном слу­

чае2 "с -1

Поэтому00

eZz— IT е11— (z — i)n." «1Я==0

Так как е-2 не имеет особых точек, то этот ряд сходится на всей плоскости.

378. Разложить функцию sin 5z в ряд: а) по степеням z ; б) но степеням z — ^ .

Разлож ение функции в ряд путем определения коэффициентов по фор­муле (14.2) не всегда является удобным, так как вычисление производных весьма кропотливый процесс. Поэтому часто используют различные косвен­ные способы, не требующие применения формулы (14.2). Перечислим наибо­лее употребительные из них.

а) Использование готовых известных разложений в ряд Тейлора неко­торых наиболее часто встречающихся функций:

= 1 + -fг + -“ + ... + -7 - + ... , | г | < оо; (14.3)1! 2! л!

2 г3 г5 z2/'-1sin г = --------------- — — ... -j-(— 1),г_1------------------------{- ... , I г I < 00. (14.4)

1! 3! 5! v ' (2ft— 1)1 1 1 ' V2" Z* Z2"

COS 2 = 1 — --------1--------1)« ------------------------------- + , Ы < oo; (14.5)21 4! v ' (2n)! ^ 1 K ’

86

= 1 -[- г -|-za -I- ... + zn - f ... , \ z \ < 1; (14.6)

І п ( 1 - г ) = - ү — ү 1*1 < 1; (14.7)

и др.б) Почленное дифференцирование и интегрирование рядов, что в случае

степенных рядов возможно.в) Метод неопределенных коэффициентов.

В к а ж д о й и з з а д а ч 379—390 требуется разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням z — а , где а — заданное число. Определить круг сходимости каждого из рядов.

379. — , а = — 1.z-j- 4

Р е ш е н и е . Преобразуем данную функцию:

Так как точка z — —4 для данной функции особая и притом единственная, то этот ряд сходится в круге | z -|- 11 < 3 .

380. sin2 z, а = 0.Р е ш е н и е . Преобразуем sin2 z и воспользуемся разложением

для cos z:

Ряд сходится на всей комплексной плоскости, поскольку sin2 z не имеет особых точек.

Z Л . 1Обозначим------ !— = t и воспользуемся разложением (14. 6) для

функции Получим:

1 _ Г _ (2z)2 , (2 гу2! 4!

sin22 - 1 — cos 2z

2 2

87

381. —— , а = і. 386. sin z cos z, a = 0.z + l

382. —2 _ , a = *. 387. c2, a = — 1.z — 1

383« —-— a — 0. 388. cos2 2, a = 0.z 4 4

384. —— , a — 1 - 389. cos z, a = — .z + 2 4

385. cos(3z — /), a = 0. 390. a — — 1.

В з а д а ч а х 391—396 требуется разложить указанные функ­ции в ряд Тейлора но степеням z, используя разложения (14.3) — (14.7) и применяя почленное дифференцирование и интегрирование рядов. Определить круг сходимости.

391. — -— .(1 - 2 )2

Р е ш е н и е , Рассмотрим ряд (14.6):—— = 1 + z + a ? + ... + z» + ... .1 — 2

который сходится в единичном круге. Дифференцируя этот ряд почленно, получаем искомый ряд:

— L - . = 1 -|- 2z -|- 3z2 + ... Н- (п -|- l)z« + ... ,(1 — 2)“

который, как и исходный ряд, сходится в круге |z | < 1.392. In (1 + 2).393. ----- ------. 394. (2 -1- 1) In (2 + 1) — 2. 395. ----- l------ .

(1 - 2 )3 (1 +г=)а

396.(1 -г®)2

В з а д а ч а х 397—401 требуется найти три первых отличных от нуля члена разложения указанных функций в ряд Тейлора по степеням 2, а также круг сходимости каждого ряда.

397. tg 2.Р е ш е н и е . Воспользуемся методом неопределенных коэффи­

циентов. Так как функция tg 2 аналитическая в точке z ■— 0, то ее можно разложить в степенной ряд:

tg 2 = с0 + cxz -|- Со22 -!- c:iz* + c.iZ1 + ... ,Положив в этом равенстве 2 = 0, найдем: с0 = 0. Для определе­

ния других коэффициентов воспользуемся соотношением tg 2 X X cos 2 = sin 2. Ряды для синуса п косинуса нам известны. Поэтому

г3 _!_ zb z~ \ {1 г2 . z l z,! \ / с у \ с 'z зГ ‘ бГ 7Г ~~~ \ 4! бГ ~г 1 с~~ 1

+ с3г3 -j- с, г1 -!- ...),& -Ь “ - 4 + - = схг -i- cS~ -|- (с, - %-) г3 + [с, г* +3! 5! 7! \ ° 2! У V 2

+ l * - f + £ * • + -

В силу единственности разложения функции в степенной ряд долж­ны выполняться соотношения

1 А *1 1 Гл л Со , Сі 1Су — 1, Со = 0, с.,------ - = ------, с , ------- = О, с - ----- М - — = — ■,2 6 2 J 2 24 51

1 2откуда получаем,* что Су = 1, £ > = 0, с3 = —, с. = 0 , с5= —,3 15

и, следовательно,

tg 2 - 2 + 4 23 -I- р 2 5 + . . . .о ІО

Так как ближайшей к точке 0 особой точкой функции tg г

является то этот ряд сходится в круге 12 | <

398. — . 399. . 400. ----------- . 401. 2sin 2 COS 2 In ( 1 — Z) (1 — z~) sin 2

§ 15. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ.НУЛИ АН АЛ И ТИ Ч ЕСКИ Х Ф У Н КЦ И Й .

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖ ЕНИЕ

Л и т е р а т у р а : [1 ] , гл. VI, пп. 6— 7 и гл. IX , пп. 1— 3; [2], гл. V, § 2, пп. 4, 6, 7 и гл. X; [3 ] , гл. IX , § 3, 4 и гл. X II , § 1—3.

Одно из замечательнейших свойств, которым обладаю т аналитические функции, выражается следующей т е о р с м о й е д и н с т в е н н о с т и.

Пусть две функции / (г) и ср (z), аналитические в некоторой области D, имеют равные значения на бесконечном множестве точек Е из этой области. Если множество Е имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую D , то эти функции равны между собой всюду о этой области.

В з а д а ч а х 402—406 требуется определить, существует ли функция, аналитическая в единичном круге и принимающая в точ­

ках 2„ = — (п = 1, 2 , указанные значения.п

402. прпW 10 при /1 = 1.

Р е ш е i i и е. Рассмотрим аналитическую в круге | z | < 1 функ­цию w = 22. Предположим, что искомая аналитическая функция существует; обозначим ее / (2). Сравним значения этих двух функ­ций на множестве Е, состоящем из точек zn = — (п = 2, 3, ...).

пИх значения здесь одинаковы. А так как Е имеет предельной точ­кой 2 = 0, то согласно теореме единственности / (2) = г~ всюду

89

в круге |z I < 1 , Однако по условию f (1) = 0, а по только что до­казанному f (1) = z2\z=1 = 1. Полученное противоречие доказы­вает, что искомой аналитической функции не существует.

403. / ( i ) - s i n 2 'f - .

404. / / — — cos*— .\ n ) n- 2 */1N < 0 при « = 1,

405. f - ) = l , .{ „ j j - п р и я ^ І .

406. f ( - ) = — .[ n j / 1 + 1

В з а д а ч а х 407—411 требуется определить, существует ли функция, аналитическая в точке z = 0 и принимающая в точкахzn = — (п = 1, 2 , , . . ) указанные значения,

407. / ( ! ) = ------- -------- .\ П I , „ п л

п - - cos- —2

Р е ш е н и е. Пусть такая функция / (z) существует. По опре­делению функции, аналитической в точке, эта функция будет анали­тична в некотором круге К { |z |< r } . Рассмотрим аналитическую в этом круге функцию w — г. Так как последовательность точекгп = — —v 0, то, начиная с некоторого номера N , все эти точки

будут принадлежать кругу /(. Рассмотрим множество £ , состоящееиз точек — , где п нечетно. На множестве Е функции w = f (z) и

пw — z принимают равные значения. В силу теоремы единственностиf (z) — z па К. Выберем теперь такое четное число /«, что — 6 К .

т

Тогда f ( — ) — — по только что полученному тождеству. С другой \ т ) гп

стороны, по условию f ( — ) = -------, Полученное противоречие\ т ] т + 1

показывает, что искомая функция не существует,408. f ^ = s l n 2 у .

409. f ( —\ = — cos2 — .U ; 2 n 2

410. ПРН ” = І ’

411« / = —cosпп.

412. Существует ли функция (отличная от константы), анали­тическая в точке z = 0 и удовлетворяющая условию / (z) = = f (2z)?

90

413. Как будет показано в задаче 471, функция е г принимает значение w = 1 на бесконечном множестве точек, предельной точ­кой которого является z = 0. В то же время эта функция отлична от тождественной единицы. Почему это не противоречит теореме единственности?

Любое комплексное число а, для которого / (а) = 0, называется н у-л е м ф у II к ц и и / (г). Другими словами, нули функции / (г) — это кор­ни уравнения / (г) = 0.

Если точка а является нулем аналитической в этой точке функции / (г),не равной тождественно нулю ни в какой окрестности точки а, то существует такое натуральное число п, что

/ (г) = (г — а)'1 Ф (г), (15.1)

где функция ф (г) аналитична в точке а и отлична от нуля в некоторой окре­стности этой точки. Это число п называется п о р я д к о м н у л я а (или его к р а т н о с т ь ю). При п = 1 нуль называется п р о с т ы м. Число п будет тогда и только тогда порядком нуля а функции / (г), аналитической в этой точке, когда

/ (а) = /' (а) = ... - / Г 1) (а) = 0, / П (а) Ф 0. (15.2)

414. Может ли уравнение / (г) = 0 иметь в области D бесконечно много решений, если функция / (г) аналитична в замкнутой обла­сти D?

415. Доказать, что функция / (г), аналитическая в области D, может иметь в этой области только изолированные нули1.

В з а д а ч а х 416—418 требуется определить порядок нуля а — 0 для указанных функций:

416. г2 (е* — 1).Р е ш е н и е . Разложим данную функцию в ряд Тейлора по сте­

пеням 2. Для этого воспользуемся известным разложением для е1, положив t — z~. Получим:

г2 (ег' — 1) = г2( — + — - j-— + ... ) = г 1( і + — + — +v ' V 1! 2! 3! ) V 2! 31

= (2),где ср (0) =5=0 и функция ср (z) является аналитической в точке а = 0 (как сумма степенного ряда). Итак, мы получили для данной функции формулу (15.1) при п = 4; точка а = 0 —нуль четвертого порядка. Задачу можно решить и пользуясь соотношениями (15.2), но это будет сопряжено с более громоздкими вычислениями,

417.: 6 sin г3 + г3 (zG — 6).418. eainz — eigz.В з а д а ч а х 419—421 требуется найти все нули данных функ­

ций и определить их порядки.

1 Т. е. у каждого нуля имеется окрестность, свободная ог других нулей функции / (г).

91

419.z l

420. zsinz .421 (*“ іп *

z2

Пусть функция / (z) определена на некотором множестве А, а функция Ғ (г) определена и аналитична в некоторой области D, содержащ ей множ е­ство А. Если на множестве А */(z) = F (г), то функция F (г) называется а и а- л и т и ч е с к и м п р о д о л ж е н и е м ф у и к ц и и / (г) с множества А на область D . Если множество А имеет предельную точку в D , то для / (z) возмож но не более одного аналитического продолжения.

422. Доказать, что функция

4 л * ' 4яп=0

является аналитическим продолжением функции

3 лы ' 3«л—0

На какую область будет аналитически продолжена / (2), если ее разложить в ряд Тейлора в окрестности точки а = —3 — И

Р е ш е н и е . Рассмотрим рядОО '

= 2 / ‘, m < i .1 — tн=0

2Положив в нем t — ------, получаем первый ряд, который в

своем круге сходимости D { \ z \ < 4} представляет собой функцию1 1F(z) =

4 z z -4— 4

+ 7■рт ■> 2 -j- 1 „ „Положив г= -----------, получаем второй ряд, который в круге.

3А {I z + 1 | < 3 ) представляет собой функцию

и \ 1 1 1f (г) — — ------------ = -------.3 Z + 1 z + 4

1 -I- -Z —

Области D и А имеют общую часть А, на которой функции сов­падают (так как их значения вычисляются по одной и той же фор­муле — ), Следовательно (см, определение) F (z) действительно

z -f- 4

92

аналитическое продолжение / (г) на область D и Ғ (г)—единст­венно возможное аналитическое продолжение f (z) на D (пос­кольку множество А, на кото­ром их значения совпадают, удовлетворяет условию теоремы единственности).

Переходим ко второй части задачи. Точка а — —3 — i ле­жит в области определения А функции / (z), так как | а + 11 = = I—2—11 = ]/"5 < 3. Следова­тельно, f (z) можно разложить в ряд в окрестности этой точки. Но в своей области определения/ (г) совпадает с 1

г + 4

а все равно, что разложить

, Значит, разложить f (z) в окрестности точки

1 в окрестности этой точки. По-г 4

скольку граница круга сходимости проходит через ближайшую к центру круга особую точку функции и особой точкой функ­ции является z = —4, то радиус сходимости искомого ряда ра­вен расстоянию между точками —3 — І и —4, т. е. г = | 1— /| = = Y 2. Значит, мы продолжим / (г) на круг К {\z -г 3 -f- i | < V 2} (см. рис. 38).

В з а д а ч а х 423—424 требуется доказать, что функция F (z) является аналитическим продолжением функции / (z).

423. F (z)

424 .F( z)

i — \l«--О

г — / \«

/1=0

2 . :1П - +

СО

SМ = 1f{z)

СО

2

425. Функцию f (z) — у 1 zn разложили в ряд Тейлора в окрестно-П = 0

:ти точки а — 21. На какую область будет при этом аналитически тродолжена f (г)?

со42G. Функцию f (z) = разложили в ряд Тейлора в ок-

« I /г /(=1зестности точки а = — —. Н а какую область будет при этом ана-

штически продолжена функция / (г)?

93

2 nzn427. Функцию f(z) = 2* — разложили в ряд Тейлоре

О *п=0

в окрестности точки а = 1. На какую область будет при этом ана­литически продолжена функция / (г)?

428. Можно ли действительную функцию / (я) = Y х 2, опреде­ленную на всей действительной оси, аналитически продолжить в комплексную область?

429. Будут ли функции: а) 5г + 3; б) 5z Ч- 3; в) 5 | ат | Ч- 3 — аналитическими продолжениями с положительной действительной полуоси функции Ъх 4 - 3?

Г Л А В А IV

ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 16. РЯД ЛОРАНА

Л и т е р а т у р а : [1 ] , гл. V II, пп. 1 и 2; [2 ], гл. V I, § 1; [3 ], гл. X , § 1.Среди функциональных рядов наряду со степенными рядами в комплекс­

ном анализе часто встречаются функциональные ряды следую щ его вида:

с . о яс0- т (г — а)- (г — а)п

Эти ряды но своим свойствам близки к степенным рядам. Областью сходи­мости такого ряда является внешность круга с центром в точке а и радиусом1 R, где R, как и в случае степенных рядов, может быть найдено (если сущ еству­ют соответствующие пределы) по формулам

R = lim или /? = П т 1 ^ | С _ п | .

Суммой данного ряда является функция, аналитическая в области его схо­димости.

Обобщением степенного ряда является ряд вида:~}-00У . С „ ( г - а ) " , (16.1)i d

/ ! = — ОО

который понимается как сумма двух рядовсо со

V с„ (г — а)" и V с_ п (2 _ а)-'1. п= 0 /1=1

Первый из этих рядов называют п р а в и л ь н о й ч а с т ь ю р я д а (16.1), второй — г л а в н о й ч а с т ь ю . Р яд (16.1) считается сходящ имся тогда и только тогда, когда сходятся оба эти ряда. Областью сходимости правильной части ряда (16.1) является некоторый круг | z — а | < R , а глав­ной части — внешность некоторого круга | г — а | > г. Будем предполагать3, что г < R. В таком случае область сходимости ряда (16.1) представляет собой кольцо т < \ z — а| < R. Сумма ряда является функцией аналитиче­ской в кольце сходимости, причем граничные окруж ности кольца проходят через особые точки функции.

1 При R = со эта область вырождается в несобственную точку г — оо, а при R — 0 — во всю плоскость, за исключением, возможно, г — а.

2 Случаи г = 0 и R — оо не исключаются.

95

430> Ш ЙТИ область сходимости рядасо

I 3«+ 1

Р е ш е н и е. Найдем круг сходимости ряда

и = 0

представляющего собой правильную часть данного ряда. Так какI

-І-3R — lim - lim 1 + * ? - lim З'г

II-+CQ 1 — 37i tl-K X > 1 Н— 1 з« I

= 3,

то это круг \ г | < 3 . Для ряда—со

Zz"3" + 1 *

п — — 1

представляющего собой главную часть данного ряда,1 + з-/г .— lim — --------= 1,

«->00 1 + З ' " ' 1r = lim

tl-*C O

а потому его область сходимости | z | > l , Исходный ряд сходится в кольце 1 < 1г| < 3 .,

431. Найти область сходимости ряда

! 1 I , 1 , 1 2••• "г* •** ^-------1" ~ "1" 7Гzn z 2 2-+ ...1 2«+і

и определить его сумму.Р е ш е н и е , Правильная часть

1 Z Zn— 1--------------------- Һ •«. Н--------- Һ2 2- 2п+1

является геометрическом прогрессией с знаменателем — и сходится,

как известно, при \~\ < 1, т. е. в круге \ г \ < 2 , представляя

собой функцию1/2 1

1 — г/2 2 — г

96

Главная часть

i + j _ + . . . + j _ + ...z za zn

является геометрическом прогрессией со знаменателем —, сходитсяZ

при | - | < 1, т, е. вне единичного круга, и представляет функцию г

1/z 1

1

1 - Ч г г — 1

Следовательно, область сходимости данного ряда есть кольцо 1 < \z\ < 2, и сумма его равна:

. .г — 1 2 — г z” — З г + 2

В з а д а ч а х 432—436 требуется найти области сходимости следующих рядов.

со 00

432. 2 - 2~~ІЯІг"- ' 435> 2 2”Z”‘—ОЭ . —СО

433. 2 436. £ ( £ + - £ ) .п= —1 - ' 'п= 0

434. 2 2~л'( г + 0 я.

В з а д а ч а х 437—441 требуется найти области сходимости следующих рядов и определить их суммы:

ОО оо

, 4 3 7 . У ^ . 440.* * n\zn 5«+2л=0 -— /і=—1

«=0 /1=1 n—0 /і—О

L2«-i_i«-i

4 Зах«* 4H 97

Значение рядов вида (16.1) выясняется из такой теоремы.Теорема Лорана. Функция / (z), аналитическая в кольце г < |z — а | <

< R , представляется в этом кольце сходящимся рядомсо

f ( * ) = 2 Cn (16.2)— ОЭ

" 2я i , ) ( z — a)n+1у

±1, ± 2, . . . . Этот ряд называется р я д о м Л о р а н а для функции / (г).В условиях этой теоремы кольцо может вырождаться в круг1 или в круг

с выколотым центром (г — О, R < со), во внешность круга с выколотой- точ­кой оо (0 < г, R = оо) и во всю плоскость с выколотыми точками а и со (г = О, R — оо).

Выписанные выше формулы для коэффициентов ряда Лорана мало удоб­ны. На практике, как и в случае рядов Тейлора, часто применяют различ­ные искусственные приемы. При этом используется тот факт, что разл ож е­ние в ряд вида (16.2) данной функции в данном кольце является е д и н- с т в е н н ы м (и этот ряд будет рядом Лорана). Часто поступают так: за ­данную функцию в кольце г < \г — а\ < R стараются представить в виде суммы (или произведения) двух функций (z) и / 2 (2). из которых / г (г) ана­литична внутри большего круга \z — а| < R, а / 2 (z) — вне меньшего |г —— а\ > г. Первую разлагают по положительным степеням z — а, вторую — по отрицательным. Полученные ряды складывают (или перемножают).

442. а) Разложить функцию

в ряд Лорана в кольце 2 < \z + 11 < 3.б) Можно ли эту функцию разложить в ряд Лорана в кольце

1 < \г\ < 3; в кольце 2 < \z\ < 4 ? Где будет сходиться послед­ний ряд?

Р е ш е н и е , а) Записав функцию в виде

У

х разложить в ряд Лорана:

замечаем, что ее особые точки гх = 1 и г2 = 2 лежат на границе данного кольца 2 < | z + 11 < 3 (рис. 39). Это означает, что в самом кольце функция аналитиче­ская; по теореме Лорана ее можно

л = —со

со

98

Рис. 391 И в этом случае ряд Лорана об­

ращается в ряд Тейлора.

Д ля получения этого разложения представим функцию в виде1 1

г — 2 г — 1

Первая функция аналитична в большем круге |г + 1| < 3. Ее здесь можно разложить в ряд Тейлора по степеням 2 + 1, Пре­образуем — — следующим образом:

1 1 1 1*— 2 (2+1) — 3 3 , 2 + 1

2 + 1Положив в формуле (14.6) t — —— , получаем:3

п т " — х4 2 + 1)"

з з ) ** зи+1л— О л=0

Область сходимости ряда — круг \г + 11 < 3 .Функция — j- такж е разлагается в ряд по положительным

степеням z + 1, но этот ряд сходится лишь в круге \z + 1| < 2, а мы хотим разложить функцию вне этого круга. Попытаемся полу­чить разложение данной функции по отрицательным степеням 2 + 1. Имеем:

1 _ 1 _ 1 1

г — 1 (2 + 1) — 2 ~ z + 1 j 2 *2+ 1

2Положим t = ------ и снова воспользуемся разложением (14.6):

2 + 1ОО

х2 + 1 Л=0Откуда

со оо —11 1 V ( 2 \ п V 2"_1 V (г + 0 я

2— 1 2 + 1 * * \z + 1/ * - ( г + 1 )п 2 '1' 1п=0 л = 1 Л” — со

Ряд сходится при |/| < 1, т. е. при |г + 1| > 2 . Окончательно имеем:

— 1 СО

------1— = — У у <i±J£_ 2 < | z + 1 | < 3 .га — 3z + 2 2я-1 ** 3«+i

я = — оо л=»0

б) В кольце 1 < \г\ < 3 лежит точка z = 2, в которой данная функция не определена. Сходящимся всюду в этом кольце рядом она представлена быть не может.

В кольце 2 < \z\ < 4 функция аналитическая; здесь ее можно разложить в ряд Лорана. Однако вне круга \z\ < 4 у функции нет особых точек. Поэтому данный ряд будет сходиться при всех z, удовлетворяющих условию \z\ > 2.

443. Можно ли функцию

f (г) = ------- 1-------v 2= — 32 + 2

разложить в ряд по положительным и отрицательным степеням г? Сколькими способами? Найти эти разложения.

Р е ш е н и е . Функцию, аналитическую в каком-нибудь кольце с центром в точке а = О, по теореме Лорана можно разложить в ряд

/(*) = У] cnzn-

Данная функция является аналитической в трех различных кольцах такого вида: a) \z\ < 1; б) 1 < \z\ < 2; в) 2 < \z\ < оо. В каждом из них функция разлагается в ряд Лорана. Найдем эти разложения.

а) Функция аналитична в круге \г\ < 1 . Ряд Лорана сводится к ряду Тейлора, который получается следующим образом:

' « - , - i i - r b r b — { - 4 — т І ( т Г < " < а1 — — я=О

1 1 — 2я—О

- £ г » ( U |< I ) .

Поэтому

/(г) = £ 2» - £ - ^ 7 = _ £ ( 1-_L ')2«(l <|г|<2).2«-И ЛтЫ \ 2'я=0 я=0 л=0

б) В этом случае решение вполне аналогично решению задачи 442. Запишем его коротко:

ОО

- 1 - = £ — (1*1 < 2);7 _ О О.'Ш 41 1 п2я = 0

1 1 1 Г / 1 \«г — 1 2 J 1 2 2

2—1 со

/ < » — I ^ - 1 ^ ( К | г | < 2).я = — со я=0

100

в) В этой области придется уже обе функции-слагаемые раз­лагать по отрицательным степеням z. Д ля ~ — такое разложение

уже получено (при \z\ > 1). Найдем разложение для — —:г — 2

00 00 /I——1

1 ' І Х , т " ^ 2'" 1 І 5 Р Г <1*1>2>.z — 2 г 2 г \ г гп 2п1 — — п = о л=1

z

Окончательно имеем:

Отметим, что для одной и той же функции мы получили три разных ряда Лорана, но это не противоречит единственности лора- иовского разложения, так как эти ряды представляют функцию в разных областях.

В з а д а ч а х 444—447 требуется разложить данные функции в ряд Лорана в указанных кольцах.

444. ------- -------, 1 < 12 1 < 3 .(z - О М - З ) ’

445. _ і _ , 0 < | г | < 1.Z( l —2)

_1_

446« г*ег , 0 < | г | < со.

447. —— -— 1 < 1 г | < 2 .г2+ 2 — 2

В з а д а ч а х 448—453 требуется найти все возможные разло­жения 15 ряд Лорана по степеням z — а следующих функций,

448. -------1------ а = 1 .

§ 17. ИЗОЛИРОВАННЫ Е ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ Ф УНКЦИИ

Л и т е р а т у р а : [1 ] , гл. VII , пп. 3, 4; [2 ], гл. VI, § 2; [3 ] , гл. Х , § 2 .

Если вокруг точки а можно описать такоіі круг \ г — а | < R, что (одно­значная) функция / (г) не является аналитической в самой точке а, но анали- тична в «проколотом» круге 0 < \ г — а\ < R, то точку а называют и з о л и- р о в а н н о й о с о б о й т о ч к о й однозначного характера для функ­ции / (г).

454. Является ли точка z = 1 изолированной особой точкой

для функций: a) cos —^-ү, б) sec—

Р е ш е н и е , а) Так как функция / = —~ аналитична

всюду, кроме 2 = 1, ао; = cos / аналитична для в сех /, то сложнаяфункция w = cos — — является аналитической всюду, кроме

г — 1z — 1, и, следовательно, в любой «проколотой» окрестности точки 2 = 1. Это изолированная особая точка.

± 1 , ...). Последовательность этих точек имеет точку а = 1 пре­дельной, а значит, особые точки содержатся в любой окрестности точки а = 1. Поэтому мы не можем выбрать такой «проколотый» круг 0 < 12 — а\ < R, чтобы данная функция была в нем анали­тической. Особая точка а = 1 для данной функции не является изолированной.

Так как «проколотый» круг 0 < | г — а \ < R можно рассматривать как час­тный случай кольца, то / (z) в нем разлагается в ряд Лорана но степеням z —а. В зависимости от вида этого ряда различают три типа изолированных особых точек.

Изолированная особая точка а для функции / (г) называется1) у с т р а н и м о й , если указанный ряд Лорана содержит только правиль­

ную часть:

2) п о л ю с о м , если главная часть ряда Лорана содержит лишь конечное

б) secz — 1 1

Функция не определена при 2= 1 и в тех точках, где cos —-— = О,г — 1

т. е. когда:. когда ----- = — + к я, пли 2 = 1 + ----------- (к — О,z — 1 2 л/2 + /гл

/ (z) = с0 + (г — а) + ... + сп (z — а)л +

число членов:

+ ••• + ~ + со + ci (2 — а) + ... ,г — а

102

причем с _ т Ф 0, т > 1 (число т называют п о р я д к о м полюса, при т = 1 полюс называется п р о с т ы м ) ;

3) с у щ е с т в е н н о о с о б о й , если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов:

00/ (г) = У ] сп (г — а )п,

— СО

причем сп Ф 0 для бесконечного числа отрицательных номеров п.На практике при определении вида особых точек часто бывает полезен сле­

дующий простой факт. Если точка а — пуль кратности к аналитической функции і|) (г), а функция ср (г) аналитична в а и ср(я) Ф 0, то а — полюс порядка k фун-

Ф (2)кцин / (г) = — — .

Ф (2)В з а д а ч а х 455—465 требуется найти изолированные особые

точки функции и определить их вид.COS 2455. -------.2 — г3

Р е ш е н и е . Найдем нули знаменателя. Это точки ах — О, а., = 1 и а-л = — 1, причем они являются простыми нулями.

Так как числитель ни в одной из этих точек пе обращается в нуль, то эти точки являются простыми полюсами исходной функ­ции. Никакие другие точки комплексной плоскости особыми быть не могут (по теореме о частном аналитических функций).

456. ІІИ І.2

Р е ш е н и е . Поскольку данная функция представляет собой отношение двух аналитических на всей плоскости функций, то осо­бой точкой является лишь нуль знаменателя а — 0. Однако здесь мы ие можем сразу определить вид особенности — в особой точке обращается в нуль и числитель.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z :23 i 25

sin 2 _________ 3! ’ 5! __ 1 __ 2“ . 212 ~ 2 “ "зГ ~5!~

Ряд не содержит z в отрицательных степенях, поэтому 2 = 0 — устранимая особая точка.

457. гег .Р е ш е н и е. Данная функция, очевидно, определена и имеет

производную па всей комплексной плоскости, кроме точки а — 0 . Это изолированная особая точка. Д ля определения ее вида найдем разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности точкиа = 0. С помощью известного ряда для е‘ при t = — получаем:

2 .\_

гег = г (1 + — + — + — + ...) = г + 1 + — + — + ... .\ г 212а 3!г3 ) 2!г ^ 3!г2

Ряд содержит бесконечно много членов с отрицательными сте­пенями. Поэтому точка а = 0 — существенно особая,

103

458. -— 459. — . 460. — ----- . 461. z- ± i .- Z2 Z2 1 — COS 2 2 a

462. г2 c o s —. 463. 1 -003 2-. 464. . 465. zl ± l ,Z sin8 2 1 -f- Z* Z3

В з а д а ч а х 466—‘169 установить, является ли точка а — 0 изолированной особой точкой указанных функций, и если да, то определить вид особенности.

466. _£21£_# 467. ctg — . 468. ----- ------ . 469« 22s in 2.z2 г z — sin г

Вид изолированной особенности характеризует поведение функции в окрестности этой особенности. Именно если z — а — устранимая особая точ­ка для функции / (г), то существует конечный предел f (г) при z -*• а; если г — а — полюс, то / (г) оо при z ->■ а; если же г = а — сущ ественно осо­бая точка, то указанного предела не существует. Больше того, в случае су­щественно особой точки а для любого комплексного числа А (в том числе и А = со) существует такая последовательность zn -*-а, что f (zn) ->■ А ( т е ­о р е м а С о х о ц к о г о).

Эти свойства являются характеристическими (т. е. верны и обратные утверж дения).

470. Решить задачи 455, 457, используя характеристические свойства особых точек.

Р е ш е н и е . Для функции / (2) = CQSZ замечаем, чтог — Z3

f (z) оо и при 2 ->- 0 , и при 2 -> 1, и при 2 -j-----1. Значит, всеэти точки — полюсы.

В задаче 457 рассматривалась функция w = zez . У нее особаяточка а = 0. Будем приближаться к а = 0 по действительной оси

i_

справа. Тогда w = х е Л, х > 0, С помощью правила Лопиталя на­ходим:

, і i (1 ) ' >Hm хех = lim —— = lim - = lim ех = с о ,

X-+0-J-0 .v-*-0-J-0 l/x x-*0 + 0 ^ l \ j *-*0+0

Будем приближаться к а — 0 по действительной оси слева. Тогда

w — хе х , х < 0 ,

lim хех = 0. *-♦0—0

ИМ

Итак, приближаясь к точке а = 0 по разным направлениям, мы получаем разные предельные значения. Эго говорит о том, что данная функция в точке а = 0 предела не имеет, и поэтому точка а — 0 для нее существенно особая.

47!. Проверить справедливость теоремы Сохоцкого для функ­

ции w — е z.Р е ш е н и е . Единственной (изолированной) особой точкой

функции является z — 0. Так как

в2 = 1 4~ — Ь -------------------------- Һ ••• ”1------------Ь ••• »2 2!г2 n \ z n ' *

то это существенно особая точка.Пусть А — любое комплексное число, причем А Ф 0, А Ф оо.

Найдем точки, в которых данная функция принимает значение А:

1 1е2 = А — = Ln А.

Z

Таких точек бесконечно много:

гп — ------------— ---------------- (п = 0, dhl, ± 2 , ...);1п | А | -}- i (ary A -f- 2л л)

{zn} ( л = 1 ,2 , ...) имеет точку 2=0своим пределом. Так какда (zn) = A , то и lim w (zn) = А.

Если А = 0, то рассмотрим последовательность zn — -----п

сходящуюся к 0. Тогда w (zn) — е~п -> 0 при п -> о о .

Если А = оо , то возьмем zn = - — 0. Имеем: w (zn) — еп ооп

при п -V с о .Итак, действительно для любого А удается подобрать такую

последовательность гп —> 0, что w (гп) ->- А, в чем и состоит утвер­ждение теоремы Сохоцкого.

В з а д а ч а х 472—477 требуется найти особые точки указанных функций и определить с помощью характеристических свойств их вид.

1 г4 7 2 . - ^ . 473. sin — . 474. e~z cos —. 475. ё ~ ^ . 476. е ^ 2.

Z Z Z

477. sin ——I— —.2 Z“

478. Проверить справедливость теоремы Сохоцкого для функций:

a) s in —; б) co s—.2 г

5 З а к а з 411

§ 18. ПОВЕДЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ.

ЦЕ ЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУ Н КЦ И И

Л и т е р а т у р а : [1 ], гл. VII , пп. 6 и 7 (до с. 219); [2 ], гл. V I, § 3 и 4.

Как уж е отмечалось ранее (см. § 2), во многих вопросах комплексного анализа удобно рассматривать расш иренную комплексную плоскость, т. е. плоскость, дополненную символической точкой г — со. Будем в этом пара­графе рассматривать функции / (г), которые определены и аналитнчны в не­которой окрестности \z\ > R точки со (в самой точке со они не заданы). В таких случаях говорят, что точка, оэ является для,] функции / (г) и з о л и р о в а н н о й о с о б о й т о ч к о й (или изолированной осо­бенностью).

479. Является ли точка оо изолированной особенностью дляфункций: а) б) ——?

г‘>— I sin гР е ш е н и е. а) Конечные особые точки данной функции —

корни уравнения 25 = 1. Они лежат на окружности \z\ — 1. Зн а­чит, область \z\ > 1 (внешность круга \z\ ^ 1), являющ аяся окре­стностью точки о о , особых точек не содержит. Поэтому для данной функции точка оо — изолированная особенность.

б) Конечные особые точки функции — ------- корни уравненияsill 2

sin z — 0, т. е. точки z — kn (k = 0, ± 1 , ± 2 , ...). Их нельзя заклю ­чить ни в какой круг. Поэтому для данной функции оо не является изолированной особенностью.

В з а д а ч а х 480—485 требуется определить, является ли точка оо изолированной особенностью для указанных функций,

480. <?г. 481. t g - . 482. tg 2. 483. thz. 484. s i n - .г г

«Проколотую:> окрестность точки со можно рассматривать как кольцо R, < \z j < оэ. Поэтому функцию, аналитическую в окрестности точки оо, можно разложить в ряд Лорана:

СО/ ( 2) = V cnzn, R < | г | < О О . (18 .1)

ЛЯП»п = — СО

Это разлож ение позволяет выделить те же виды особенности в бесконечно­сти, что и в случае конечных точек, только здесь оказывается целесообразным «главной частью» ряда считать совокупность членов с положительными сте­пенями г. А именно точку оо называют для функции f (г) с у щ е с т в е н ­н о о с о б о й , если разлож ение (18.1) содержит бесконечное число членов с положительными степенями г; п о л ю с о м , если в разложении (18.1) имеется конечное число членов с положительными степенями г (причем наи- высшая из имеющихся степеней называется п о р я д к о м п о л ю с а); у с т р а н и м о й о с о б о й т о ч к о й, если в (18.1) совсем нет положи­тельных степеней г.

В зависимости от вида особенности в оо поведение функции при г оэ характеризуется темн же свойствами, что и в случае конечных точек.

106

486. Какого вида особенность имеет в точке со функция 11 — г

Р е ш е и и е. Данная функция, очевидно, аналитична вне еди­ничного круга. Разложим ее в этой окрестности точки z — оо в ряд Лорана:

1 1 1 = _ l ( l + l + l + N 1 17 \ 7. 7«1 — z г j __ 1 г

г

Отсюда видно, что для данной функции точка оо — устранимая особенность. Это можно было заметить и сразу, поскольку при z —у оо рассматриваемая функция имеет предел, равный нулю,

4 8 7 . Определить вид особенности функции sin z в точке со .Р е ш е н и е . Разложим sin г в ряд по степеням z :

23 . 26 sin г = z -------- --------- ....3! 5!

Известно, что этот ряд сходится на всей плоскости, в частности, вне любого круга \z\ ^ R. Значит, это разложение является одно­временно и разложением sin z в ряд Лорана в окрестности точки оо . Из пего видно, что точка оо для sin z — существенная особенность. В этом можно убедиться и с помощью характеристического свой­ства существенной особенности, заметив, что sin z при z - у оо пре­дела не имеет. Действительно, взяв zn = л и —у о о , имеем: / (zn) ~

ее 0 -> 0, а взяв zn — + 2п л - у о о , получим: / (zn) = 1 - у 1.

В з а д а ч а х 488—495 требуется определить вид особенности в бесконечности для данных функций.

4 8 8 . - І - . 4 8 9 . е~. 490. c t g l . 4 9 1 . 3z°- + 4 9 2 . — .1 + 2“ 2 2 2“

1 (г2 + l)2 . n r sin Л 24 9 3 . e '■cos—. 4 9 4 . v— 1— 4 9 5 . ------- .

2 2“ + 4 (2— 1 )3В з а д а ч а х 496—497 требуется проверить справедливость

теоремы Сохоцкого для указанных функций и особой точки г — оо .4 9 6 . sin z. 4 9 7 . ez.

Если функция / (г) не имеет конечных особых точек, ее называют целой функцией (если при этом со является существенной особенностью, функцию называют ц е л о й т р а и с ц е и д е н т и о й); если функция не имеет конечных особых точек, кроме полюсов, ее называют м с р о м о р ф и о и.

В з а д а ч а х 498—504 требуется выяснить, являются ли ука­занные функции мероморфиыми. Какие из них целые, целые транс­цендентные?

14 9 8 . ег 4 9 9 . г 1. 5 0 0 . s i nz . 5 0 1 .— . 5 0 2 . ez. 5 0 3 . tgz.

504. г- — 2 2 + 1

З23 + ‘І2—5*

107

505. Может ли быть точка z — оо для мероморфной функции неизолированной особенностью? Ответ обосновать и проиллюстри­ровать примерами.

506. а) Доказать, что всякая целая функция f (2), имеющая точку z = оо устранимой особенностью, является константой.

б) Доказать, что всякая целая функция, имеющая точку г —— оо полюсом, является многочленом.

У к а з а н и е . Запишите разложение целой функции в ряд Тейлора в окрестности нуля и убедитесь, что оно является и раз­ложением в ряд Лорана в окрестности z — оо.

507. Доказать, что дробно-рациональная функция

ф ь\ = р » № = а"<г"‘ + - + flo Q„(z) Ьп z'1 -I- ... + Ь0

является мероморфной. Каков вид особенности у этой функции в точке оо?

508. Пусть Р т (г) и Qn (z) взаимно-простые многочлены степени т и л соответственно (т < п). Доказать, что рациональную дробь

Р /2\Ф (г) = -'”■■■■ можно разложить на простейшие дроби:

Qn (z)

Ф(г)

/г—1

Л (ft)н

1 (г—ги) р/г

Л?z — zk

(ia.2)

ихгде 2Ь Zo, zn — корни многочлена Qn (2); (31? |32, кратности, а выражение

( z - z j Pf t 2~ глпредставляет собой главную часть лорановского разложения функ­ции Ф (г) в окрестности полюса zk.

Р е ш е н и е, Рассмотрим функцию

<p(z) = ф ( 2) ~ Gh (z).Іг= 1

Любой полюс Zj функции Ф (2) не будет особой точкой для ср (2). Действительно, в окрестности точки 2у- функцию Ф (2) можно раз­ложить в ряд Лорана:

Ф(2) =( Z — Z j f j

где (2) = с0(/) + 2 + cJj) z2имеем представление

+

'Фу(г),

Тогда для ср (2) здесь

Ф (2) = (*)А*= 1 ҺФІ

108

Каждая из функций \\у} (z), Gh (z) (/г # /) определена и аналнтич- на в точке гу-, значит, в этой точке аналитична и функция ф (z).

Итак, (р (z) — целая функция. С другой стороны, поскольку

lim ср (z) = lim Ф (z) — lim y Gh (z)z~*" oo z-'-co z-усо^/:=!

3 .г"'= l im _______

2 -►CO !)..h . ,n - m 1 ___ . _JL

n

■ s

lim > д. , lim A _(z—Z/i) ^ ‘ Z-*coZ— ZkZ~> CO = 0 ,

то в бесконечной точке cp (z) имеет устранимую особенность, а зна­чит, ср (г) = с = 0 (см. задачу 50G). Этим паше утверждение дока­зано.

Одно из часто используемых свойств целых функций выражено в т е о - р е м е Л н у в и л л я: целая ф ункция, ограниченная не модулю на всей от- крытой комплексной плоскости, является константой.

509. Пусть на всей комплексной плоскости мнимая часть целой функции / (z) ограничена сверху некоторой константой т. Д ока­зать, что эта функция f (z) — константа.

1-е р е ш е и и е. Из условия следует, что функция w — / (z) отображает всю плоскость в полуплоскость Im w < т. Подбе­рем дробно-линейную функцию

__ а и + b

сиу -|- d ’которая переводит данную полуплоскость в единичный круг |/| << 1. Это сделать возможно. Достаточно в формуле, определяющей дробно-линейное отображение по трем парам соответствующих точек, положить, например, = l.- |- mi, tt = 1; w2 = mi, t« — i\ w 3 = — 1 -|- mi, t3 — — 1. При этом единственная особая точка — полюс найденной дробно-линейной функции — не принадлежит полуплоскости Im w < т, иначе бы образ этой точки t = оо при­надлежал единичному кругу, что невозможно. Эго означает, что cw -+ d ф 0 ни при каком z. Рассмотрим теперь ф ункцию '

_ «/ (?) Н- ьcf(z)-\-d'

Так как civ -}- d = с/ (z) -j- d Ф 0, то она имеет производную в любой точке плоскости z. Таким образом, эта функция является целой и отображает всю плоскость в единичный круг. Это означает, что ее модуль ограничен числом К Но тогда по теореме Лиувнлля она константа:

— — Ь = const,cf (z) + d

откуда следует, что и / (z) = const.2-е р е ш е н и е. Пусть f (z) = и (г) -|- ш (z). Рассмотрим вспо­

могательную целую функцию:—if {г) с(г)—ш(г)

ср (z) = е — е

109

Так как |<р (г)| = ez,{z) и v (z) < т (по условию), то целая функ­ция ф (z) ограничена по модулю числом е'п на всей плоскости, Это согласно теореме Лиувилля означает, что ф (z) — const, т. е,

е~ № = Ci

Отсюда следует, что и / (z) — константа.5 1 0 . Пусть у целой функции f (2) действительная часть огра­

ничена (некоторой константой) сверху, а у ф (г) — снизу. Будут ли эти функции константами?

5 1 1 . Пусть целая функция w — f (2) не принимает значений, принадлежащих некоторому кругу плоскости w. Д оказать, что f (z) — константа.

5 1 2 . Про целую функцию / (г) известно, что ни при каком ком­плексном z значение f (z) не равно пи вещественному отрицательно­му числу, ни нулю. Д оказать, что / (г) — константа.

У к а з а н и е . Рассмотрите функцию In / (z) и воспользуйтесь задачей 510.

5 1 3 . Доказать, что целая функция w. = / ( 2), не принимающая значений из некоторого угла плоскости w, является константой.

5 1 4 . Доказать, что целая функция, не принимающая ни одного значения из отрезка [0; I], является константой.

У к а з а н и е. С помощью конформного отображения .данный отрезок переведите в луч [0; — о о [ и воспользуйтесь задачей 512.

Л и т е р а т у р а : [1], гл. VIII , п. 1— 3; [2], гл. VII , § I и 2 (до приме­ра 2); [3J, гл. XI (по следует иметь в виду, что в книге [3] пет понятия о л ога­рифмическом вычете и пет теоремы Руш е).

П усть а — изолированная особая точка однозначной аналитической функции f (г) и С — окружность \г — а\ = г такая, что в замкнутом круге 12 — а\ < г нет других особых точек функции / (2), кроме а. И нтеграл от функции / (г) по такой окружности1 С, деленный на 2 л І, называется в ы ч е- т о м ф у н к ц и и f (2) в точке а и обозначается Res / (2).

Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно трудно. П ракти­чески вычисление основывается на том факте, что вычет функции / (г) в изо­лированной особой точке а равен коэффициенту при (г — а)-1 в лораповском разлож ении функции в окрестности точки а:

§ 19. ВЫЧЕТ Ы И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Таким образом, по определению

с

Res /( 2) = c_i* (19.1)

5 1 5 . Вычислить:

1 Таких окруж ностей, конечно, сущ ествует бесконечно много, но как следует из теоремы Коши, интегралы по ним от / (г) равны.

Р е ш е н и е. Д ля данной функции ze гв задаче 457 было полу? чено разложение в ряд Лорана в окрестности точки а = 0:

]_г / = г - 1 - 1 + — + — .

2\г 3!г2

Отсюда следует, что 2 = 0 — существенно особая точка функции 1и искомый вычет равен —.

Если точка а — полюс, то для определения вычетя иногда можно и не находить разложения в ряд Л орана. Имеются более простые способы. Если а является для / (г) простым полюсом, то можно пользоваться формулой

Res [ (z) = lim (2 — а) [ (z). (19.2)z= a z-+a

Вычисление вычета в простом полюсе еще более упрощ ается, если / (г) име­ет вид:

i|) (г)

где ф (а) Ф 0, я|> (о) = 0, ф' (а) Ф 0 . Тогда

Res /(г) = У Д (19.3)г- я ф (а)

В случае, когда а — полюс кратности к,

п г / ч 1 г d k ~ h [ f ( г ) ( г — я ) * ]Res f(z) = ------- lim ------- /194)г = а ' ( k - \ ) \ z - a dzk~ 1 V '

516. Вычислить:lRes

г— 0 23 — 2s

Р е ш е н и е . Преобразовав функциюl _ 1

" > (1 -2 = )’

замечаем, что точка 2 = 0 для нее полюс третьего порядка. Вы­чет найдем по формуле (19.4):

Гd-

Res - —— = — lim 2® (1 2") t 1- rf2 / 1 = — limг=0 2я — 25 2! г - о dz" 2 г - о dz2 \1 — z~

1 , d j 22 \ 1 2(1 + Зг2)= — lim — ----------- = — lim —-— ----- _ 12 dz \ ( \ — / 9 (\ —2 2 - 0 dz \ ( 1 — 22)2 / 2 г - о (1 — 22)

517. Вычислить:

Res —г=1 23

111

Р е ш е н и е , Записав функцию в виде1 1

г3 — г*5 z3 (1 — z) (1 -(- z)

замечаем, что точка z = 1 для нее простой полюс. По формуле(19.2) имеем:

Res — — = lim z ~ 1 = lim — — — = — -.г= \ Z3 — z8 z -+1 Z3 — Z5 г- l Z3 (z -f- 1) 2

Можно воспользоваться и формулой (19,3): ф (2) — 1, ф (1) = 1, у\) (г) = г3 — г5, г}/ (г) = 3zr — 5г4,

У (1) = — 2, R e s /(2) = ^ = - | .г=1 ^ (1) 2

518. Вычислить:С2гі _ 1

Resг——я (Z -{- я )2

Р е ш е н и е . В данном случае при z = —л наряду с знамена­телем обращается в нуль и числитель. Поэтому с первого взгляда неясно, к какому типу относится данная особая точка. Найдем для функции е~гі — 1 коэффициенты ряда Тейлора по степеням z + я :

ао ~ f (— я ) — 0; аі — f (—я) = 2 іе~2пі = 2і\ аг = ---■ = — 2.

Теперь можно записать разложение Лорана для данной функции:e-zi — 1 2f (z -j- л) —

(z + я)2 (z

По формуле (19,1) получим:

е-*1 — 1 _ 21 (z -j- я) — 2 (z -j- л)2 -|- ... _ 21 __^ i(г + я)2 (z+ л ) 3 z + л

Res / ( 2) = 2 t.г=—я

В з а д а ч а х 519—528 требуется вычислить вычеты указан­ных функций относительно каждой из их особых точек.

С1 0 1 z 1 -л п sin Я 2 с n t T *5 1 9 . ---------- . 520. ------- . 521. 23 cosг3 — г - (z— l)3 z — 2

522. tg 2. 523. 524.(г— l)2 (z л )“

525. —C0SJtz . 526. — 527. • sin л z .• / 2_ > N 3

2 / V 2528. .

c~ — 1

Пусть г — со — изолированная особая точка функции / (г). Тогда / (z) можно разложить в окрестности точки оо в ряд Лорана. Коэффициент этого

112

ряда с_! при 1 , взятый со знаком минус, называют в ы ч е т о м / (г) в

т о ч к е оо:

629. Вычислить:

Res f (г) = — c_v

n 2<+ 1 Res —-— .г—со ZG — 1

Р е ш е н и е . Преобразуем функцию:г»+ 1 = z< ,__ 1_ = _1_ __1__ , 2 12e_i г6 — 1 z6 — 1 г2 2 г° 1

2° 2°

Теперь воспользуемся известным рядом (14.6), заменив в нем z на Получим:

= _L ( l -f- — Ч— ?— j- ...) + — ll + - + — + . . .WZ5 - 1 2 П 2l* T / 2° I 2« 212 ^ J

= T + T + 7 + V + - •2 2 2 ° 2 s 2 “

Ряд сходится при \ z \ > 1. Это разложение в окрестности точ­ки оо. Коэффициент при г-1 равен нулю. Искомый вычет равен нулю.

В з а д а ч а х 530—535 требуется вычислить вычет указан­ных функций в бесконечности.

1 яг- sin — cos2 —

530. -z" + 531. --------- . 5 3 2 .-------23 — 2 Z — 1 Z -(- 1

Лz2 sin — .

z кос + l533. г cos2- . 534. --------- 535.1 2° (22 + 1)

Теория вычетов находит широкое применение благодаря следующей теореме.Т е о р е м а о в ы ч е т а х . Пусть функция f [г) является аналит и­

ческой в области D всюду, за исключением конечного множества особых точек. П усть замкнут ый конт ур С содержится в области D и не проходит через особые точки. Тогда инт еграл от / (z) по конт уру С равен сумме вычетов функ­ции относительно всех особых точек а1} сь> •••> заключенных внут ри С, умноженной па 2 я i:

Гf ( z ) d z = 2 л і]Г Res f{z).С ft=l

536. Вычислить интеграл

/ = ( — 1 І І ------dz>,) (z — 1) sin 2с

где С — окружность \г\ = 2 .

113

Р е ш е н и е . Особыми точками подынтегральной функции f (г) являются точки г = 1 и г = /гл.. Из них внутри С лежат толь­ко две: z± — 1 и Zo = 0* Поэтому

/ = 2л/ ^Res / (г) -+ Res / (г) j .

Обе эти точки являются для данной функции простыми полю­сами, причем можно воспользоваться формулой (19.3). Имеем:

Res /(г)г=0 1|)'(0)

Res f (z) =

(z — 1) cos z + sin z2

= — 1;г—0

г-Ы Sin 1

Отсюда искомый интеграл I равен:

I = 2 n i l —— — 1) « 8,65 і .\ sin 1 )

Иногда может случиться, что внутри контура интегрирования С нахо­дится довольно много особых точек интегрируемой функции, в то время как вне его их значительно меньше. Тогда лучше подсчитать сумму вычетов в особых точках (включая и со), лежащ их вне контура С. Возможность такого подхода вытекает из следующего факта: если аналитическая ф ункция имеето расш иренной плоскости только изолированные особые точки, то сумма вычетов относительно всех особых точек (включая и бесконечность) равна нулю. Отсюда ясно, что сумма вычетов относительно особых точек функции / (г), леж ащ их вне контура С, умноженная на 2л» и взятая со знаком минус, такж е даст интеграл от / (z) по контуру С.

537. Вычислить:dz

+ т К * - 0с3

где С — окружность \г \ = —,

Р е ш е н и е . Внутри С лежат восемь полюсов второго по­рядка, а вне С — простой полюс z — i и z = оо. Найдем вычет в точке i:

Res / (z) = lim / (z) (z — i) = lim 1 4

| 2 l + i J 9

Д ля определения вычета в точке оо найдем несколько членов разложения данной функции в ряд Лорана в окрестности этой точ­ки, С этой целью введем новую переменную t — Тогда

г

/(*> = / ( — - = 1': ч> (О- !+-(« ( l - r t )

114

Но функция ср (t) аналитична в круге |/| < 1 . Поэтому ее в данном круге можно разложить в степенной ряд:

Ф (t) = а0 -j- ciyt -J- cl» t2 + . . . , 111 <c 1.Тогда

f = 17 (ao + a^ + aJ~ + •••)» HI < 1»

или

/(*) = ~ - («0 + 7 + - ) > M > 1-

В полученном разложении коэффициент при — равен нулю,

т. е. Res / (г) = 0.Z = СО

Значит, искомый интеграл равен ------лг.

В з а д а ч а х 538—547 требуется вычислить указанные ин­тегралы.

538. ( ---- г- ^ ----- , где С — окружность I г I = 3 .,1 ( г — 1)(г— 2 ) 2 1 1

где С — прямоугольник с вершинами 2 -j- 2г, —2-f*

с

539.2

С

-Һ 2/, 2 - - , - 2 — 1 2 2

Г* dz540. ------------------- , где С — окружность \ г \ — 2.J (22 - 0 2 ( 2 - 3 ) = ’С

541. | гЛе С — окруж ность | z | . = 1.с с п С dy542. ------ 1 , где С — окружность I z I = 2 .J 23(2*0 _ 2 )сС dz543. ------- , где С — окружность | z — Зг | = 4.Je*— 1 сг*

544. 1 t g n z d z , где С — окружность |г | = 100.

545 . ------ cfz, где С — окружность |z | = 2.с

i_546. I —— е2 cfe, где С — окружность | z | -■= 2.

. h + 1с

i_

547. J —~ e2zdz, где С — окружность | г | = 4.

115

Теория вычетов иногда с успехом используется и для вычисления инте­гралов в действительной области.

548. Вычислить:2 яР c o s -ф

J 13+12cos9 ф>о

Р е ш е н и е . Перейдем к комплексной переменной z по фор­муле е v — z. Тогда

, dz е(Ф + е—*<ра ср = —, cos ср = -----1--------12 2

Z2+ 1 2г

Интегрирование по отрезку 0 ^ ср ^ 2я сводится к интегриро­ванию по окружности С {I г ] = 1}:

I = L Г (г~ + l)*dz4І ,J 22(622

с ■+ 1 3 2 + 6 )

Подынтегральная функция имеет особыми точками такие:2 3zx = 0 — полюс второго порядка; z2 — ----- и z3 = — - — прос-3 2

тые полюсы. Внутри контура интегрирования лежат лишь две из них: zx и г*. Находим вычеты (см. 19.4 и 19.3):

Res / (г) = lim [ ■ — —2=0 z-o .бг2 + ІЗг+6.

Res f(z) =

Z 3

Z2 + 1\2

12г + 13

13.

36’

1169

180’

Окончательно получаем:j __ 2л/ /169

4i \ 18013'35

13л

45 '

В з а д а ч а х 549—558 требуется вычислить указанные опре­деленные интегралы.

2л 2 л

549«о2л

551,

553.

sin ф — COS ф 2 sin ф + 3

d ф

dcp. 550. |* d ф

J 3 + s in ф о2яС d(PJ ( 5 + 3 віпф)2 о

552.

554.

о 1 - j- — COS Ф3 к2лd ф

J 3 + 2 sin фо2л

d ф2л

555.d ф

(2 + cos ф)2

№

со

J

556. f — 12 — . 557. l '- ^ Л р .,1 (1-j-COS2 (f)2 1+5ІПафО о

558. f ...сор р rf<p.о 1 — — sin^p

Большую пользу оказывает теория вычетов при вычислении некоторых несобственных интегралов в действительной области. Приведем три формулы (см. [1], гл. VIII , п. 3).

Пусть

Q„ И

— дробно-рациональная функция, принимающая на действительной осп действительные значения, не имеющая полюсов на действительной оси и та­кая, что степень п знаменателя Qn (г) по крайней мере на две единицы превы­шает степень т числителя Р т (г). Тогда1

к

F (х) dx = 2л / У Res F (г), (19.5)ai /= l 1

где at (j — 1, 2, . . . , к) — полюсы F (z), лежащ ие в верхней полуплоскости Re z > 0.

Пусть Ф (z) — функция, аналитическая в верхней полуплоскости Re г > 0, за исключением конечного числа полюсов, не лежащ их на действи­

тельной оси. Если функция Ф (г) на действительной оси принимает действи­тельные значения и стремится к нулю при г ->- оэ в верхней полуплоскости, то

со к

( cos р, .V Ф (х) dx = л і У , Res [ед1г Ф (z)] (19.6)J я,-0 /=1

при условии, что ф (г) — четная функция, исо к

( sin p.v Ф (at) dx = л V Res [е^1гФ (z)] (19.7)J а ;о /= 1 '

при условии, что Ф (г) — нечетная функция. В формулах (1 9 .G) и (19.7) [I > 0, а ;- (j — 1, 2 ........ к) — полюсы Ф (г), лежащ ие в верхней полуплоско­сти.

559. Вычислить:00С d x

*4-1

1 Заметим, что в курсах действительного анализа интегралы такого ви­да такж е изучаются с помощью комплексных чисел и для их вычисления получается но сущ еству формула (19.5). См. пункт 496 «Курса дифференциаль­ного и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца.

117

Р е ш е н и е . Под знаком интеграла находится дробно-ра­циональная функция, удовлет­воряющая всем условиям, при которых можно пользоваться формулой (19.5). Найдем по­люсы подынтегральной функ­ции. Это точки zk = / " — 1 =

. я -|- 2 һ я

= е 6 , к = 0, 1, 2, ... , 5.Из них (рис. 40) в верхней

полуплоскости лежат только три:

1 -г20 = е , = е , г2 = е

Это простые полюсы, Вычеты в них можно найти по формуле (19.3):

R es/(г) = — 6 2'

(к = 0,1,2).

По ({юрмуле (19.5) имеем:

/ = 2Ш ( Л + -V + Л ) - ? (Ч + Zj? + Zi \V б гд 62? 6^0 ) Ь \ Zq z \ z V

А так как — 1, то«г6 _ -V61 2г ЯІ / г , \ 2

= + гі "|_ г-) = І я ’560. Вычислить:

/ = COS 0) .V

1 -I- * 2dx

Р е ш е н и е . В силу четности подынтегральной функции

I = 2 COS СО X

J 1 -I- А-2dx

Функция1 + г2

удовлетворяет всем условиям, при которых

можно использовать формулу (19.6). Так как у этой функции в верхней полуплоскости одни простой полюс z — І, то

Заметим, что неопределенный интеграл" COS (О X ,ах

1 + Л--не выражается через элементарные функции, так что нахождение интеграла / по стандартному методу невозможно, а его вычисление каким-нибудь искусственным способом без привлечения комп­лексных чисел весьма затруднительно.

В з а д а ч а х 561 — 568 требуется вычислить несобственные интегралы, используя сведения из теории вычетов.

СО ОО со

561. \ — — . 562. \ --------- — ------- 563. Г - - 2 dx.,) г Ч - 1 J (.v--i-l)(.v--| -9) .1 ,v» -}- 10ж* + 9

— со — со — оэоэ со со

564. Г dx. 565. — . 566. Г dx,J (А'2 -г 1 )2 • . J 9О — со

567> . Xj i n X l I X'' 568> Г * Sin 3-V d X '

(х2 4 I )2 .1 4 - І - Л- 2о о

Пусть / (г) — функция, аналитическая в области D и не имеющая » этой области особых точек, кроме, возможно, полюсов; ф (г) — функция, аналитическая всюду в D , и С — замкнутая спрямляемая кривая, лежащ ая в D и не проходящ ая пи через полюсы, ни через нули / (г). Если с помощью теории вычетов вычислить интеграл

Ф (г) dz,2л £ J ' f ( 2)

то получается такой результат: интеграл равен разности м еж ду суммой тех значений, которые функции ф (г) принимает в нулях функции / (г)Г лежащ их внутри С, и суммой тех значений, которые принимает та лее функция в полю­сах / (г), лежащ их внутри С. При этом в перечне нулей и полюсов каждая точка выписывается в количестве, равном ее кратности:

т п( Ф ( г ) у ^ dz - а*«р(«Л) — У ] fy <р (Ь}). (19.8)

С к — 1 /—1Здесь ах, «2, . . . , а т — нули функции / (г), лежащ ие внутри С, а 1( а 2........с/.т —их кратности; Ьх, Ь.,, . . . , Ьп — полюсы функции / (г), лежащ ие внутри С; Pi, . . . , Р/( - кратности этих полюсов.

569. Вычислить интегралI - dz,

J г-1 -1-16

где С — окружность |z — 1| == У 6.I f . , 4/.3- 3 - ----------•1 > г4 4Ю1 '* 4/3

Р е ш е н и е . / = — \ г- — - — dz.

119

Получили интеграл вида (19.8), где ср (z) = z2, / (z) — г4 + 16. Функция f (г) полюсов не имеет, а имеет лишь четыре простых нуля: 2, —2, 2 i, —2 i, один из которых (—2) лежит вне С.

Искомый интеграл равен:

/ = — С22 + (20°“ + (—20е] = — 2т .4

В з а д а ч а х 570—574 требуется вычислить указанные ин­тегралы по контуру Су который представляет собой окружность \z\ = 4, с помощью формулы (19,8),

570. j z~ ctg z dz.с

571. dz..) г2 -г 9 с

572. Г — dz.tg г

2г tg г

5 7 3 .

574.

Если в формуле (19.8) с качестве ср (г) взять функцию ср (г) = 1, то полу­чается интеграл

г т2 лі ,) / (г)

dz,

который называется л о г а р и ф м и ч е с к и м в ы ч е т о м функции / (г) относительно контура С. Формула (19.8) в этом случае принимает вид:

— — Г dz = N — Р, (19.9)2 л I J / ( z )

сгде N — количество нулей, а Р — количество полюсов функции / (г) внутри контура С (с учетом кратности и тех и других).

575. Найти логарифмический вычет функции

(г3 -{- 8)3 cos г

относительно окружности \z\ = 5.Р е ш е н и е. Внутри данной окружности функция / (г) имеет _

три нуля (значения У i), каждый кратности 2, три полюса (значения У —8) третьего порядка и четыре полюса ак — Ң- /гл (/г = 0,

1, — 1, —2), Это простые полюсы, так как точки ак — однократные

нули cos z. Действительно, cos ak — 0, a cos' ak = —sin ak Ф 0. Всего получилось 6 нулей, а полюсов 13. Следовательно, логариф­мический вычет равен: 6 — 13 = —7.

В з а д а ч а х 576—578 требуется найти логарифмические вычеты данных функций относительно указанных окружностей С,

576. ctg - , \г — 1 |= 0,999.

ez — \ 2578. th z, |z + я | = 7.

С помощью теории вычетов доказывается ряд предложений, имеющих как теоретическое, так и практическое значение. Приведем одно из них.

Т е о р е м а Р у ш е. Пусть две функции ф (г) и i}> (z), аналитические на замкнутой спрямляемой кривой С и в области, ограниченной ею, удовлет­воряют в точках линии С условию |ср (z)| > |i|> (z)|; тогда внутри С функцияср (z) -f-1|> (г) имеет столько же нулей, сколько их имеет функция ф (г) (с уче­том кратности нулей).

Эта теорема иногда позволяет определить число корней уравнения в той или иной области.

579. Сколько корней имеет уравнение z8 — 5z5 — 2z + 1 = 0 внутри-кольца 1 < |г | < 2?

Р е ш е н и е . Найдем вначале число корней уравнения в круге \г\ < 1. Представим левую часть уравнения в виде ср (z) + “ф (z), положив ср (z) = —5z5 Н“ 1 и ij) (z) = z8 — 2z. На окружности \ z \ = I имеем:

|cp (z) | = |—5z5 + 11 = |—5z5 - ( - 1)| > I—5z3| — 1 = 4 ,№ (z\ = |28 — 2z| < |z8| + |2z| = 3,

T. e. |cp (z)| > |ij) (z)|. Ho cp (z) имеет в единичном круге пять нулей(значения KVs) — значит, по теореме Руше столько же корней имеет здесь и данное уравнение. Из выполняющегося на единичной окружности неравенства |ср (z) | > |^ (z) | .вытекает, что ср (z) + 4 . 1}) (г) ф. 0 на окружности \ z \ = 1. А это означает, что данное уравнение имеет пять корней и в замкнутом круге |z| ^ 1.

Теперь найдем число корней данного уравнения, лежащих внут­ри круга | z | < 2 . Д ля этого представим левую часть уравнения в виде ср (г) + 'ф (z), положив ср (z) — z8, г|) (z) = —5z5 — 2z + 1. Н а окружности |z| = 2 имеем:

I ср (z) I = |z |8 = 256,(■ф (z) | = I— 5z5 — 2z Н- 1 | < 5 |z |5 -I- 2 |z | + 1 = 165.

Снова I cp (z)| > | ф (z)|. Поэтому данное уравнение имеет в круге |z| < 2 столько же корней, сколько их имеет там уравнение г3 = 0 , т. е. 8. Чтобы получить количество корней, находящихся в кольце1 < ] z | < 2, достаточно от их числа в круге |г | < 2 отнять их число в замкнутом кр уге '|г | 1, что дает нам 3.

121

В з а д а ч а х .580—589 требуется найти число корней данных уравнений в областях, указанных в скобках.

580. z9 — 2z° + г2 — 8г — 2 = 0 {\z\ < 1).581. 2z5 — г3 + 3z2 — г + 8 = 0 (|г| < 1).582. г4 — 32 + 1 = 0 (|г | < 1).583. 22* — 52 + 2 = 0 (| 21 < 1).584. 28 — 425 + г2 — 1 = 0 (|21 < 1).585. 23 — 12г 4 - 2 = 0 (|г | < 2).586. 21 — 92 4- 1 = 0 ( |21 < 2).587. 21 — 82 4- 10 = 0 (1 < |г | < 3).588. 27 — 521 4- 22 — 2 = 0 ( \z | < 1).589. 24 — 52 4- 1 =* 0 (1 < 121 < 2).

В задаче 508 было установлено, что всякую правильную рациональную

дробь Ф (z) = ~ — можно разложить на простейшие дроби:Quiz)

Т ак как выражение

Ф (г ) = £ 0 * ( г ) . (19.10)

к = \

К А<?° к(г)~ ( г - г кП + - + z - z „

представляет собой главную часть лорановского разложения функции Ф (г)

в окрестности точки zf t , то для коэффициентов A f , очевидно, справедливыследующие соотношения:

A f > = R e s [(г - zky - i Ф (г)], / = 1 , 2 , Р*. (19.11)г~ гк

В частности,А&) = Res Ф (г). (19.12)

1 г=2кТаким образом, в комплексном анализе не только легко и естественно

доказывается возможность разложения рациональных дробей на простейшие, но*и само разложение с помощью теории вычетов часто получается проще, чем применяемый в таких случаях в действительном анализе метод неопре­деленных коэффициентов.

590. Разложить дробь3za — 5г -j- 12Ф (2)

( г - 1 ) ( * - 2 ) (г4-3)на простейшие дроби.

Р е ш е н и е . Так как числа zx — 1, г2 = 2 и г3 = —3 — про­стые нули знаменателя и не являются нулями числителя (проверь­те!), то они служат простыми полюсами данной функции, Поэтому по формуле (19,10) Ф (г) можно представить в виде

Ф (г ) = — ~ т Н ~~z + Сг — 1 г — 2 2 -J- 3

122

По формуле (19.12)3z2А — Res Ф (z) = lim [(2 — 1) Ф (2)] = lim

z = 1 z-+ 1 z - i (2— 2 ) ( z + 3'

5 z -j- 12 ;)

Аналогичные вычисления дают В = —, С — — .5 10

Итак, искомое разложение имеет вид:5 14

3z2 — 5z -f- 12+ +

27

10

( z - 1)(2 — 2)(z -}- 3) z — 1 ' z — 2 ' z + 3'

В з а д а ч а х 591—594 требуется указанные рациональные дроби разложить на простейшие.

3z 5 |>лп 2 — 3591.

592.

24 — 1 z — 5

2з _ 3z~ + 4’

593.

594.

zJ — г 3z~ -f-

23 + 4z2 -j- 4z

Теория вычетов может быть использована и для определения сумм чис­ловых рядов. Рассмотрим одни прием, который применяется для этой цели,

595*. Пусть Ф (z) — рациональная функция с полюсами ги г.,, ..., zm,-среди которых нет действительных целых чисел и степень числителя функции Ф (z) ниже степени знаменателя по крайней мере на две единицы. Доказать, что в таком случае

Л ф (п) = — Res [Ф (z) ctg я г]./;= I

z = z k

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим интеграл

1п = ( Ф (г) ctg я г dz,

(19.13)

гд е Сп — о к р у ж н о с т ь | z \ = п + — (п — 1,2 , ...).

Оценим |Ф (г)| на окружности \z\ — R. Имеем:

|Ф(2)|

где

Р т (z) amzm - f - ... + tf0 a m 1 -f- а

Q«(Z) bnzn + ... + b0 bnzn ~ m 1 + P

а =

Так как а -»■ 0 и |3 —>- 0 при z 00, то11 -j- сх

|г т р1 +

а — ft 1 + (І

< 2

+ - Л г , P = ir 1 + - - - + r Va,„zrn b„z b,,zn

123

при достаточно большом | z |. А поскольку еще известно, что п — т ^ 2, то на окружности |z| = R при достаточно боль­шом R

іф (2)| < а ы .' V \bn\R*

Обозначив черезК \

К ,

получаем, что на окружности |z | = R справедливо нера­венство

|Ф (2)|< К_ R2

(19.14)

В задаче 265 было показано, что функция ctg яг ограничена по модулю некоторой константой М в области D , представляющей со­бой всю плоскость, из которой удалены кружки |z — k\ < е (ft == 0, ± 1 , ...). Взяв е = у , замечаем, что окружности Сп принад­

лежат области D (рис. 41), и поэтому на них|ctg я г | < М . • (19.15)

Воспользовавшись известной оценкой | f / (z) dz\ ^ l i bг

(Н — m ax| f (z)|, L — длина Г), с помощью (19.14) и (19,15) полу-

К

m ax| / (z)|, LгсГ

чим неравенство

1 \ 2М ,

п -г

справедливое для всех достаточно больших п. Из этого неравенства вытекает, что

lim 1п = 0 . (19.16)«-►ОО

С другой стороны, интеграл / п можно вычислить с помощью тео­ремы о вычетах. При достаточно большом п в круге \z\ < п -]- ~

лежат все полюсы функции Ф (г) и полюсы z = /г (/г = 0, + 1 , ± 2 , ,,,, ± п ) функции ctg лг, Так как

Res [Ф(г) ctg я г ]г=/г

Ф (г) cos гс г

(sin я г)'= - ф до,

г=* Л

Переходя в этом соотношении к пределу при п -* оо и учитывая(19.16), получаем формулу (19.13).

596. Найти сумму ряда ^ 1

/1=0(2 п + 1)!

Р е ш е н и е , Рассмотрим функцию Ф(г)1

(2г + 1)*. Тогда

У— — = У ф (я).** (2п +1)2 Vн=0 «=0

Заметим далее, что Ф (0) = Ф (— 1), Ф (1) = Ф (—2) и т. д., т. е. Ф (п) = Ф (— п — 1). Действительно,

Ф ( - Я - 1) - , J ‘ = Ф (п).

Поэтому(1— 2/1 — 2)а (— 2 п — 1)2 (2/1 + 1)2

(19.17)/1 = 0

Но левую часть этого выражения мы можем найти по формуле (19.13):

Л ф (п) = — л Res [Ф(г) ctg л г]. (19.18)

Точка г для функции Ф (г) ctg яг — полюс второго

порядка. Найдем вычет в этой точке:

Res [Ф (z) ctg л г] = limi 1--- ----2 2

Л

ctg Л Z Z +1 \ 2

lim

(22 + 1)2

1

— lim ctg7 я г = 4 lz -*•-----

2

4 i sin 2 nzг-*-----2

Из (19.17) и (19.18) находим:L I _ Я2

(2/г +1)2 “ 8~‘»1=0

В з а д а ч а х 597—600 требуется найти суммы указанных рядов.

оо ср1 v* 1

597. £/1 = 0

«2+2599. £

(иг + ^ ( л ’+Ь*), а ф Ь.

598. £ 1

'— “ • " - у )в0°- I .т

ОТВЕТЫ

ГЛАВА I

3§ 1. 3. п — 4k (к — любое целое число). 4. б) — 2 + у в) 2. 5. а) г = 0;

3 - И - iV Tz — i\ z — — i: б) г = — -j- j. 6. а) Да; б) да; в) нет. 7. а) 1,

Я, — — - f 2пи — -[* 2л я / t + 2лзх

__1— /гЛз 2 2 4-------- -— ; б) cos------- ------- -J-i sin — -------- , л = 0 , l t2,3; в) V 2 І cos +

Зл— + 2 t in

, n — 0 ,1; r) Y 8 1 c o s --------------

V T V T V T V T= 0,1,2. 10. 3 пары: 1) zx = 4 - i — ,2г = — —у - f i 2) = i, z2 =

_ e /Г . у т __ у т у т- 4 ) 4 - 2 J 2 > г2 - 2 t 2 •

v V T , 1 . . V 2~ / 2 " 1 , . У Т14. a) 1; 6) t; в ) — - f — t; r ) — - I — ; д ) - - Т ( - у .

15. cos 3 ф = cos3 ф — 3 cos ф sin2 q>; sin Зф = 3 cos2 ф sin ф — sin3 ф; cos 4 ф == cos4 ф — 6 cos2 ф s in 2 ф -j- sin4 ф; sin 4 ф = 4 cos3 ф sin ф — 4 cos ф • sin 3 ф ,

n а ш (n -j- IJaccs — sin '--------- 1—

cos 50 a • cos 49,5 a sin 50 a • cos 49,5 а л 2 220. -------------------------------- . 2 1 . -------------------------*------- . 22.

cos 0,5 a cos 0,5 a asin —2

na n -j- 1. .. s i n — s i n --------a

cos 51 a sin 50 a 2 2 _ sin (n -1-1) a2 3 . ------------------------------ . 2 4 .------------------------------- , 25. 1 — ------- — L— .

sin a a sin a cos" asin —

2

28. 3. 30. 1) z; 2) — z ; 3 ) —z ; 4) i z . 31. = 1 + 3t, w3 = 4 + 2i. 32. z 3 =3 — V T 1 + V T

= -------—----- + i --------------•. 36. : \AM\ = 2 : 1, У к а з а н не. Введите комп­

лексные координаты данных точек A VA 2,A3, С и выразите через них координаты точек С1,Сг, и т. д. 50. Точки А.В,С лежат на одной прямой.

126

§ 2« 53.. (0°, 0°); (0°, 180* в. д.); (0°, 90° в. д.); (0°, 90° з.д .); ((2 arctg \ ’ 2—

л \ И| , V2 (2Ч- У 3 ) (1 + /) „— — с. ш., 45' з.д. 54. г —- -------------------------------------------- -- о;>- 2 —

2 / • ’ ‘ 2 2 у з 257. а) Пучок окруж ностей с вершиной в Северном полюсе /V; б) часть сфери­ческой поверхности меж ду двумя окружностями с единственной общей точ­кой N] в) сегментная поверхность; г) двуугольник на сфере.

§ 3. 69. 0. 70. Не имеет. 71. со. 72. 0. 73. Не имеет. 74. Не имеет. 75. Не имеет. 76. У к а з а и и е. Используйте, например, задачу 73. 78. z = = со. 79. Все точки расширенной комплексной плоскости. 80. z =» 0 и г =

= —2. 81. z = 1 и г = — 1. 82. г = л и г — — л. 83. z = 0, г = — , z = —т п

(гп и п — любые целые числа, гп ф 0, п Ф 0). 86 . Сходится абсолютно. 87. Сходится абсолютно. 88 . Сходится абсолютно. 89. Сходится абсолютно. 90. Сходится абсолютно. 91. Сходится абсолютно. 92. Сходится абсолютно.

2 ( 2 __cos 2 ci)93. Сходится абсолютно. 94. Сходится абсолютно. 95. --------------------.

5 — 4 cos 2 а2 sin 2 а cos а sin а /-sin а

9 8 . ------------------- . 97. ------------------- -----. 9 8 . -------—г — . 9 9 . ------------------------------ .5 — 4 cos 2 а 2( 1 -}- 3 sin- а) 1 + 3sin- а 1 г ’2 — 2г cos а

г ccs а — г2100. -------------- — .1 — 2г cos а - - г-

ГЛАВА II

§ 4. 105. Окружность л:2 + (у — I)2 = 4. 106. Прямая к — 2. 107. П ря­

мая х -г у = 1. 108. Прямая у = — (л: — Ьх) -|- Ь„ при ал Ф 0; если о, =

= 0, то прямая х — Ьх. 109. «Двойной» луч у — х — 1 (х ^ 1). 110 . Гнпер-1 1 X й

бола у = — . 111. Кривая у = — —j = . 112 . Парабола. И З. Э л л и п с---------—х У х (R +гУ-

у2+ -------- = I (R ф г)\ если R — г, то отрезок [— 2R, 2 R] действительной

(R—ry

оси. 114. Прямая у = х tg с Ф при с = ~ + 2/гл — положи-

лтельный луч мнимой оси; при с — — (2k — 1) л — отрицательная часть

у 2мнимой осн. 115. Парабола х — —— — с- при с Ф 0; если с = 0, то поло-

4с2жительный луч действительной осн. 118. Прямая х — — 1. 119. Отрезок [—2, 2] действительной осн. 120. Эллипс с фокусами в точках 2 и — 2 и полуосями

_ д;2 у 23 и У 5. 12 1 . Левая ветвь гиперболы ------- — — 7 3 ^ = 1. 122 . Гипербола

( V i 5V12 ) V 2

У2 / R \ 2 R-■— — — == .1. 123. О кружность 1л; — — J + у2 = — . 124. Прямая.

125. Прямая. 126. П рямая, проходящ ая через начало координат. 127. П устое множество. 128. Е сли-с > |а — 6 |, то эллипс; если с — |а — b |, то отрезок действительной оси; при 0 < с < |а — Ь\ — пустое множество. 131. П олу­

плоскость Re z > —— . 132. Круг — -g-j -1- у2 < 133. Область,

127

заключенная м еж ду двумя ветвями гиперболы у = — . 134. «Внутренности»

обеих ветвей гиперболы х2 — у2 = 1. 135. «Внутренность» параболы у = 1 — х 2 / 1 \ 2 / 4 \ 2 8 / 13 \2

“ — • т - Круг ( * + ? ) + ( у _ ? ) < і ' ш - Круг г _ т ) +

+ >'2 < —•^ > 16

138. Круг (х — 2)2 + у2 < 2. 139. «Внешность» эллипса с фокусами і и — І

и полуосями 2 и Ү 3. 140. «Внешность» параболы я = — 141. «Внутрен­

ность» лемнискаты. 142. Пересечение кругов |z + i) < У 2, \z — i\ < У 2 и «внешность» их объединения (включая границы кругов). 143. «Внутрен­ность» лемнискаты Бернулли (см. «Справочник», с. 107).

8 5 . 145. R e и) = - 7 — — ------ 77-, Im w — —------—----------- . 146. Re ш = 2 х 3, Im a =* * + (У — 1) x 2 + (у — l )2

a -j- P a — P + 2® a В■ «— 2.vy. 147. R e w = 2 p c o s — -— « c o s ----- ------ , Im ш = 2p sin — — X

a—Р+2ф . / „ 1 \ I 1 \X sin ------- ------ , где z= ре‘Ф. 148. Re w =|^P‘ — ~ j c o s 2ф, Im iv — ^p2 -j- — j sin 2ф,

где 2 = ре1'Ф. 149. Re ю = г — у2 + ах -[- b, Im u = 2 x y + a y . 151. w — —— .2 + 3 1 2

152. w = i z (z — 1). 153. 154. ю — 1 + * + ~ • 157. 1) Ось2 - [ - 0 Z

Ox преобразуется в прямую I гп и = 1, ось Оу — в себя; 2) координатная сетка z-плоскости преобразуется в себя; 3) единичная окруж ность преоб­разуется в окружность i r + (у — I) 2 = 1 плоскости ю. 158. 1) Ось Ох преобразуется в мнимую ось плоскости w, ось Оу — в действительную ось плоскости а ; 2) координатная сетка преобразуется в себя; 3) единичная

окруж ность преобразуется в себя. 159. I) На окружность М = — ; 2) на окру­

ж ность М = 1; 3) на прямую и = — и; 4) на прямую v = 0; 5) на окруж ность / 1 \2 1 1I и — — I + v2 = — ; 6) на прямую и = — . 160. В прямую Im и — 0.

161. 1) В полусегмент [0 , 1[ действительной оси; 2) в интервал [ 0 , 2[ действительной осн;3) в полусегмент [0, 1[ действительной оси; 4) в интервал ] — 2,2[ мнимой оси. 162. а) В промежуток ] — л, л] действительной осн; б) сектор параболы с вершиной в точке 2 /, ограниченный отрезком [ — 1 , 1] действительной осн. 163. См. любую из книг [1] — [3 ]. 165. Нет.166. Нет. 167. оо. 168. 1. 172. Непрерывна в точке z — 1; в точке z ~ *= — 1 не является непрерывной.

§ 6 . 174. Имеет производную в каждой точке плоскости. 175. Имеет про­изводную в точке .z = 0. 176. П роизводная не сущ ествует ни в одной точке. 177. П роизводная не существует ни в одной точке. 180. а ' (0) = 0 , аналити­ческой нигде не является. 181. Имеет производную в точках прямой у = а-, причем в каждой из них w' = 2x; аналитической нигде не является. 182. :с/(0 ) = 0 183. Производная не существует ни в одной точке. 184. Имеет производную

iw — — ----- -— в точках прямых у == ± х пт (т = 0 , ± 1 , ± 2 , . ..); не

cos- хявляется аналитической ни в одной точке. 185. Аналитическая всюду, кроме

точки г — 0 ; іУ (z) = —— . 186. Аналитическая на всей плоскости, /' (z) = z2

«= Зха — Зу2 + 6ху/. 188. Д а . 190. Д а . 191. Д а . 192. Д а. 193. Нет. 194. Нет. 195. Нет. 197. а) Нет; б) нет; в) да. 198. [Удовлетворяет уравнению Лапласа в точках прямых х = tin и у = кп (п, к — 0 , ± 1, ±.2 , . ..); не сущ ествует.

1

128

2 0 1 . а) / (z) = ех sin у — iex cos у - f ic «= — icz + ic (с — действительная постоянная); б) / (г) = —е~2У sin 2х + ^ _2уо cos 2х с = ie2lz + с(с —действительная постоянная); в) / (г) = (у3 — Злг2>' + с) + I (х? — Зхуа) *=

— л4~уа= /г3 4 - с (с — действительная постоянная); r) /(z )= z 3; д) / (г) =» — --------------}-

А'2 + >'а

-|- i — -— = ------ е) / ( г ) = е —a>*sin 2х— у 4 *1(—e-2 >’cos 2лг+ jc)+ с = — іёііг’\- іг- \-с*24-уа z

(с — действительная постоянная). 206. а) |г| < —■; б) \г + 1 1 < — ; в) |г| >Z /> 1. 207. а) | г | = ү ; б) |г |= р ^ = ; в) |z — 11 = у . 208. a) arg г = — у ; б) Re г=»

■= 0; в) Im г = 0, Re z > 1.

§ 7 . 211. w = — iz + 2t. 212. w = — i (z 4 - 1)- 213. w = az-f-6 (а и действительные числа, a > 0). 214. w = — az + b (a и b — действительные числа, a > 0). 215. v) => t (az 4- b) (a н b — действительные числа, a > 0). 216. &y=az4-6i (a и b — действительные числа, a > 0 ) . 217. w = ± ( z — 1)4- 4 - 1 4 * bi {b — действительное число). 218. to = ± z + b (1 4 - 0 (6 — дей*

z — i i ( z — 1)ствительное число). 222. w — -------— — . 223. ыі = --------r в верхнюю полу*

г — 2 4 * * z — Iплоскость ю-плоскости преобразуется «внешность» окруж ности, проходящ ей через точки 1, 0, і. 224. ^ = *г; вещественная ось z-плоскости преобразуется в мнимую ось ю-плоскости; в вещественную ось w-плоскости преобразуется

(г -|- 1) імнимая ось г-плоскостн. 225. w — іг\ w = — ---------. У к а з а н и е . Исполь*

1 — гг 4* 1

зовать принцип соответствия границ. 226. Например, к> = ---------- . У к а*1 — г

з а н и е. Использовать принцип соответствия границ. 227. В единичный

круг; z = 0 преобразуется в = — ; в окружности |к>| = с (с Ф 2) преобра*

зую тся окружности

зуется прямая

1г — — г — 2 , а в окруж ность |ц>| = 2 преобра*

_L Z ~ 2 \г — 2 |. 228. В единичный круг; в окружности

М = с преобразую тся окружности \г -\- \ \ — с \г — 1| (с Ф I) и прямая \z 4" 11 = Iz — 1| (с — 1). 229. Окружности Аполлония |z — (| = с \г 4 - Л (0 < с < 1). 230. Окружность |z| = 1 преобразуется в мнимую ось су-пло- скости; окружности |г| — с Ф 1 преобразую тся в окруж ности |су 4 - 1 1 ^ = с \ v j — 11; нижняя полуплоскость преобразуется в себя. 231. 1) В лучи, симметричные данным относительно действительной оси; в окруж ности

1 / 1 \г 1Ы = — ; 2) оси координат н системы окруж ностей * 4 - — 4 - У2 = —й и

с V 2 с ) 4са/ 1 \ 2 1

.V2 -I- у 4- — = 3) окружности I г — i \ — с преобразуются в окружности\ 2с J 4cJI 1 \ 2 С 1

«2 + о 4------------------ --------------- при 0 < С Ф 1, при с — 1 в прямую V — — — .v 1 — с) (1 — с)3 2

. г — i z — р232. су = с ф------ . 233. uj = е ф------ =•. У к а з а н и е . Точке с комплексной

• г 4" i I — pz

координатой р симметрична относительно единичной окруж ности точка -ir.Р

129

250. Re г = eco s 1; Im z = esin I; | z | = e; a r g z = l . 251. R ez = 0 , Im z = — ,e

1 я e- — 1 e3 — 1 jr|z I = — , argz = — . 252. R ez = 0, Im z = — , | z | = — , argz = — .

253. Re z = cos 2 ch 3, Im z — sin 2 • sh 3. 255. Re sin z = sin a: ch y,Im sin z = cos x sh y. 256. Re ch z = ch x cos y, Im ch z = sh x sin y. 257. Re sh z = sh x cos y, Im sh z = ch x sin y. 258. 3 ,1059 — 1,9590/.259. 2 ,0327 — 3,0520/. 260. 2,0327 — 3,0520/. 261. Д а , см. Лз 252. 266. Нет.

267. a) z = х + ік л {к — целое); б) г = к л + /у (к — целое); в) г = ,4*

4 - кл) 4 - /у (к — целое). 268. а) г ~ { ^ "Ь Н" /у (/г — целое, у ф 0);

.6) z = кл -|- /у (А — целое, у # 0). 269. Re z < 0. 271. а) О кружность; tf—ь

б) луч; в) спираль г = е к ; г) угол; д) круговой сектор. 272. а) Ветвь гипер­болы; б) половина эллипса; в) верхняя полуплоскость; г) четвертый квадрант; д) правая полуплоскость с разрезом по отрезку [ 0 , 1]; е) вся плоскость с раз­резами по действительной оси вдоль лучей ] — со, — 1J и [ 1, оо[; с) «внутрен­ность» эллипса с разрезами по [ — ch Л, 1] и [1 , ch Л].

.& 9 . 281. Нет. В этом можно убедиться на частных примерах. 283. Отре­зок , соединяющий точки л (1 -\- /) и —л (1 -|- /), без концов. 284. П олуполо­са л < v < Зл, и < 0. 285. Прямоугольник — Зл < у < — л, In 2 < и <

ГГ л< In 4. 286. Полоса 0 < v < л. 287. Полоса —— < v < — . 288. Полоса

2 2Зл л л Зл

— — < v < — — . 289. Прямоугольник — < v < > 0 < // < 1.

л290. Полоса 2Д’Л < и < 2кл -}------ . 292. Прямоугольник. 303. На луче, вы­

ходящ ем из начала координат и образующем с действительной осью угол Im b • In |а |. 304. Может. 305. Нет. 306. а) Нет; б) нет. 309. Д а .

7л 4 9л л л315. а) Угол — < Arg w < — ; б) угол —л < arg w < — ; в) угол — <

8 о 2 47л л л

< arg и) < — ; г) круговой сектор: М < 2, — — < arg w < — . 319. Одно4 4 4

действительное число 3.

§ 8. 248. Re г = у е2 + е 2 j ; Im г = 0; | г | = cos i ~ ; arg z = 0.

---------------- [ г -{- 1 \ 2 г-------*-------§ Ю . 323. a = i у — z2 — /г . 324. tv = (•—1— ) . 325. = / У — е2г — 1 .

, w = i 327‘ и 328. to = с ~ 'П + 2 ) . 329. ю =

У ~ зз° - У * (" г + ' ) • зз1- “ = с“ - зз2:“ = ( ^ ~ ) •

ГЛАВА III

§ 11. 336. | z | < У 5 . 337. | z | < е. 338. | г — 2 / 1 < —. 339. \ г \ < оо.I >

340. I z | < 1. 341. | z — 1 | < У 2 . 342. Сходится лишь при z—0 343.*| z -|- / 1 < 2. 344. j z | < оо. 345. | z 1 < оо. 346. | z | < 1. 347. | z | < оо. 348. | z f < оо.

130

1 3 3§ 12. 352. 1) — - f 4(■; 2) — + 3/. 353. — і. 354. 4. 355. 0. 356. 0. 357. — я/.

358. 4/. 359. 2я2 ( 1 — a2) -j- АлаЧ. 360. — 2 і Ү Т 361. 2 ( 1 + Q.

§ 1 3 . 365. а) 2-т ~ ~ — ; б) 8Ш ( і ~ 366. — . 367. я /. 368. ^ ~ ^5 ’ 5 2 с

ж' , — я я369. 0. 370. 8 sh — = -ii Ү 2 . 371. — 6га. 372. 0 . 373. 1) — ; 2) — — ; 3) 0 .

4 3 32л( cos 2 2лг'

374 . _ ---------------. 375. а) 0; б) 0. 376. — — .99! ’ 3

§ 14. 378. а) У < _ І Г Г Н Т(2/і — 1)! (2и)|

«=і /і=и ' '

1 X I , (2 — 0" , 2 /* — *\я58,- й ^ <_,) "р" | г - ' ' ' < 2- 382- ^ п 2 Д г ^ ) пр" |г- г |<

Г»=:-0 « = 0ОО 03

<}/j-т - т І і iff" лр" |г| <2-m 1 - 1 Ё Н т-Т прі'«—0 п—032/1 . -2 « ^ 3 2 Я - 1 . г а « - і

(— 1)'г -------------- -j- sin І > (— I) " -1 — ---------- :-----^ (2я)! (2/1-1)!/1 0

озV (—4)/z_1

-------------- г-'1 1 при \ z \ < оо.‘ ' ' jiaA (2/1— 1)! 1 1

«=100 со

1 (z 4- \)п 2*n~i.z2n387- 7 ^ л! пр“ |г |< с о - 388- Z t ^ )n ^ Г ,,рн|г| <

»1=0 «=1я \«

V Т V I ,|(“+ |) г389. —г— ^ . (— 1) 2 —-^ — при | г | < о в .

Z п\П=ООО СО

390. е1 при | г | < оо. 393. (п + 2) (п - f 1) гп при | г | < 1.жж п- Jamя=0 /1=0

со со

394. г2 (— 1)/і+1 — -j- “ j при I г I < 1. 395. (— і у + һ и 2'1' 2 при

n~2 n~ICO

\ z \ < 1. 396. /гг3" * 1 при | г | < 1. 399. г + — г3 -j- — г5 -\- ... при | г | <^шл 2 24/і= і

я 1 і 7 179< — . 400. — 1 — г -|----- г2 ... при I г | < 1. 401. 1 -{- — г2 -{- — г4 -{- ...

2 2 1 12 i l l 6 180при I г I < 1.

1S 15 . 403. Her. 404. Her. 405. Нет. 406. Да, Д г ) = --------. 408. Нет.3 2 + 1

131

- Z M409. Нет. 410. Да, f (z) = \ 2 ’ ^ 411. Нет' 412. Нет. 414. Нет. 417. п =I 0, z = 1

= 15. 418. /1 = 3 . 419. 2 = 3І и г — — Зі — нули второго порядка.420. 2 = 0 — нуль второго порядка и z = кп (к — ± 1 , ± 2 , ...) — нули первого порядка. 421. z — — нули второго порядка, г = кп (к = ± 2 ,

± 3, ...) — нули первого порядка. 425. \ г — 2 / | < У 5 . 426.

3 5< 427. | z — 1 | < — . 428. Нет. 429. а) Нет; б) да; в) нет.

ГЛАВА IV

§ 16 . 432. у < | г | < 2. 433. | г — 1 1 > 1. 434. 0 < | z + l | < o o .

_2

435. Р яд расходится. 436. | г | > 1 . 437. 0 < | z | < оо;е г . 438. 1 < | z | < 2;5z — 4 І — 2 2 — i — 1

•----------------------- 439. I г > 2 ; ---------------------------- . 440. 0 < г + 2 I < 5; ----------------.(2 — г) (г - 0 1 (z - 2) (2 - 0 1 ^ 1 z3 — г — 6

со оо5 1 + 3/ in 9 — Зг V I (— 1),г2,г

441. 2 < | г | < 3; — ----------- Г . 444. — ----- ж '6 + z — z2 10 гп+1 10 3/г+1

/1=0 /і=0

при

446. V zn. 446. V ------- -------. 447. V — — Vп\ г,і_3 г/г+1 2,г+1

п = — 1 п= 0 л = 0 /2 = 000 00

- - І Ё <- , 11 ......... 11 ■ 2 ; ~ V , при | г 11 > 2

п= 0 /і= 0 /г= — сосо оо

1 < I г I < 3; — (3« — I) при I 2 I > 3. 450. — zn при 0 < |2| <

/г=0 /1= — 1— 2 o o 0 0

< и ^ при I z I > 1. 451. - (~ 1)Мг2/г ПрИП——00 /1=0 /1=0

СО 00 001 V ^ 23" t i2n+l 1 V 4 2 2/г+1

|г1 < 1 ; ~ 2 0 2 j 1 < | ! | < 2 ; i 2 j ? 5 r +я= 0 /1 = 0 . /1=0

со 0 0 0 0

t V I і2П+1 ( 7 + t)t ж п 2« 2+ 1 V I 2«+ — X при I z I > 2. 453. — --------- > — — ------ > ----- +

5 j L J z2n+2 1 50 itl 50 2nr t= 0 /1=0 /1=0

оз 0 0 0 0

3 - M V I ( - z ) « 7 + i V I t« 2 + 1' V l Z«

150 3« ПРИ ^2 1 < ' 50 zn+1 50 2«/1— 0 /1=0 n= 0

132

- * = - ' 2 ^ пр" 1 < и < 2; - ^ 2 £ + — v — + и5о и=0со оэ

3 - / ^ Л (“ г),г 7 + і ү і , 2 - И у і 2" ,Т І Ғ 2 ^ "Р« 2 < U I < 3; - 1 т 2 ^ ? :::Г + ' Й “ ^ г ^ +

/1=0 л=і0 п=0оо

3 - І \ 1 ( - 3)»2 j - ^ r "р" iz i > j -

150 3« ' 1 ' 50 ^ J z ^ i £5 _ J zn+iп — 0 м=0 П=0

' 50л=0

§ 1 7 . 458. г = 0 — устранимая особая точка. 459. z = 0 — полюс вто­рого порядка. 460. z — 2/гл (А = r h l, zb2, ...) — полюса второго порядка, г = О — полюс первого порядка. 461. г = 0 — полюс второго порядка- 462. 2 = 0 — сущ ественно особая точка. 463. г = Ал (к — четное) — устра­нимые особые точки; г = Ал (А — нечетное) — полюса второго порядка.

\ПГ і іЛГ464. z — zҺ --- -- d z — у 11 — четыре полюса первого порядка. 465. г = 0 —

полюс второго порядка. 466. Полюс второго порядка. 467. Н еизолирован­ная особенность. 468. Полюс третьего порядка. 469. Нет. 472. г = 0 —

лустранимая особая точка; г = — (2А -f- 1) (А — целое) — полюса первого

порядка. 473. 2 = 0 — существенно особая точка. 474. 2 = 0 — существен­но особая точка. 475. 2 = 0 — существенно особая точка. 476. z = 1 — сущ ественно особая точка. 477. 2 = 0 — существенно особая точка.

§ 1 8 . 480. Д а. 481. Д а . 482. Нет. 483. Нет. 484. Д а . 485. Нет. 488. Уст­ранимая особая точка. 489. Существенно особая точка. 491. Полюс второгопорядка. 492. Существенно особая точка. 494. Полюс. 495. Существенно осо­бая точка. 498. Не является мероморфной. 499. Ц елая. 500. Целая трансцен­дентная. 501. М ероморфная. 502. Целая трансцендентная. 503. Мероморф- ная. 504. Мероморфная. 505. Д а. 510. Д а .

к 1 9 . 519. Res / (2) = 1; Res / (2) = 7 - ; Res / (z) = — . 520. R es/(z)=5 г=о z--=i 2 2 = — 1 2 2=1

23= 0. 521. R es/ ( 2) = — 5 — . 522. Res / (2) = — 1 (ft = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) .

г= 2 24 я , ,j - + А л

523. Res f (2) = — sin 1. 524. Res / (z) = — 1. 525. Res / (z) = — л. 526. Res f (z) =2— 1 2—л 1 z = ‘2kniz~ <2

c= 2/глi (ft = 0 , z t 1, ...)• 527. Res / (z) = 0. 528. Res / (z) = — 4/г2л 2 (A= 0 , ± 1 , ...).1 г=2 А'ях

---о”530. — 1. 531. — 1. 532. — 1. 533. л 2. 534. — л. 535. — 2. 538. 0.

539. — — . 540. — л І. 541. т. 542. 0. 543. 4лг. 544. — 400/. 545. 2лі.2 64

546. — — . 547. — — я/. 550. Зл К - . 551. — ^ 2 . 553. — . 554. 2л^ -3 _ 3 _ 2 2 32 15

А д \ f 3 З л 1 ^ 2555. — 1 556. — ~ L , У к а з а н и е. Воспользоваться четностью подынте­

гральной функции, ввести подстановку <г1ф <= z. 557. 2л ^У 2 — . Подстановка

2іф z. 558. л (2 — У 2 ) . 561. - У 2 - . 562. — . 563. — . 564. л У 22 4 12 г

133

565. — . 566. — . 567. — . 568. -^г. 570. 4я3*. 571. 0. 572. 2лі. 573. 8яі.4 З 9 4е 2е'*

576. 0. 577. 1. 578. 1 580. 1. 581. 0. 582. 1. 583. 1. 584. 5. 585. 1. 586. 1.2 1 5/ — 3 3 -{- 5і

587. 4. 588. 4. 589. 3. 591. Ф (г) = ------- -- ------------ +

592. Ф (z) =

594. Ф (z)

598. я2. 599. я

— 1 2 (2 Н- I) 4(z— I) 4 (z + i)

z - f 1 z — !

2 1 10

і ~ ё = & - 5M- ® w - 7 2 — 1 Z -I- 1

г * ' z + 2 ( z + 2) 2 'a cth л/; — b сіц яа

597.

a'o (a2 — ^2)

( Щ - / )

t _|.л ] /'2 ) -j- (л VA2 — l)

Mfi'-rfJ-- 1) 7 1ch* я 2 cth л У 2

600. —л4 У 8 4 v 8

I .Q

1 2

0 '/

p / l 1

i 2 I

О ГЛАВЛЕН ИЕ

П р е д и с л о в и е ................................................................................Гласа I.

Комплексные числа и числовые ряды

§ 1. Комплексные числа и их геометрические истолкования на пло­скости ................................................................................................................

§ 2. Комплексная числовая сфера и стереографическая проекция.§ 3. Комплексные числовые последовательности и р я д ы ...................

Глава II.

Функции комплексного переменного

§ 4. Кривые и области на комплексной п л о с к о с т и .................................§ 5. Функции комплексного переменного и их геометрическое.истол­

кование. Предел, непрерывность .....................................................§ 6 . Понятие производной. Условия дифференцируемости. Понятие

об аналитических и гармонических функциях. Понятие конформ­ного отображ ения. Геометрический смысл модуля и аргументапроизводной ......................................................................................................

§ 7. Линейные и дробно-линейные ф у н к ц и и ............................................§ 8 . Показательная и тригонометрические функ ции комплексного

переменного ......................................................................................................§ 9. Логарифмы комплексных чисел. Степень с произвольным пока­

зателем ...............................................................................................................§ 10. Примеры конформных отображ ений, даваемых элементарными

функциями ......................................................................................................

Гласа III .

Степенные ряды и интеграл в комплексной области

§ 1 1 . Степенные ряды ............................................................................................§ 12. Комплексные интегралы .................................................................... ....§ 13. Интегральная формула Коши ...............................................................§ 14. Разлож ение функций в ряд Т е й л о р а .....................................................§ 15. Теорема единственности. Нули аналитических функций. Ана­

литическое продолжение .........................................................................

Глава IV.Особые точки аналитических функций. Вычеты и их приложения

§ 16. Ряд Л орана. ......................................................................................................§ 17. Изолированные особые точки однозначной аналитической ф унк­

ции ................................................................................................. . . . . .§ 18. Поведение аналитической функции в бесконечности. Целые и

мероморфные функции ..............................................................................§ 19. Вычеты и их приложения ..............................................................................О т в е т ы .....................................................................................................................

3

51720

27

34

3949

55

61

70

77798286

89

95

102

106110126

Марк Евневич Б А Л К

Виктор Алексеевич ПЕТРОВ

Антон Андреевич ПОЛ У Х И Н

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Редактор А. И. Юдина

Технический редактор М. М. Широкова

Корректор К. А. Иванова

Сдано в набор 14/XI 1975 г. Подписано к печати 7/V 1976 г.6 0 x 9 0 Vie- Бумага типограф. № 3. Печ. л. 8,50. Уч.-изд. л. 7,58. Тираж 35 тыс. экз. А 05624.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам из­дательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфиче­ский комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комите­та Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфиии книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

Заказ 411

Цена 21 коп.