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制御工学第二 ノート2012 年後期
熊本大学工学部 情報電気電子工学科担当教員 教授 松永 信智
作成： September 21, 2012, Rev.2.2
目 次
はじめに 4
制御工学第二（後期）のシラバス . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
第 1回 制御工学第一の復習 6
1.1 微分方程式とラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 伝達関数とブロック図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 s領域での畳み込み積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 制御系とその特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 制御工学第二の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
第 2回 閉ループ系の過渡応答 12
2.1 伝達関数の極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 極の配置と過渡応答波形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 零点とその影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
第 3回 安定性の定義 18
3.1 安定性の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
第 4回 ラウスの安定判別法 23
4.1 ラウスの安定判別法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 フルビッツの方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
第 5回 システムの周波数応答の基礎 31
5.1 安定度を評価するには . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 周波数応答法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 周波数応答のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
第 6回 ベクトル軌跡 37
6.1 ベクトル軌跡の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 積分要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3 微分要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 一次遅れ要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.5 比例要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.6 不完全微分要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
6.7 むだ時間要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.8 複素数の乗法計算と合成の方法 . . . . . . . . . . . . . . . 42
第 7回 ナイキストの安定判別 45
7.1 開ループ伝達関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2 ナイキストの安定判別法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.3 s平面を写像する . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.4 簡略化したナイキストの安定判別法 . . . . . . . . . . . . . 50
7.5 ゲイン余裕と位相余裕 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
第 8回 ボード線図の基礎 55
8.1 対数グラフの基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2 ボード線図の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.3 デシベルとは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
第 9回 ボード線図 60
9.1 比例要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.2 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.4 一次遅れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.5 一次進み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.6 二次遅れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.7 むだ時間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.8 結合系の伝達関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.9 ボード線図上の安定判別 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
第 10回 制御系設計手法の基礎 72
10.1 制御系の仕様 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.2 定常偏差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.2.1 ステップ入力の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2.2 ランプ入力の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2.3 加速度入力の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.2.4 偏差のタイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.3 根軌跡法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
第 11回 フィードバック制御系の設計 83
11.1 PIDコントローラ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11.2 極配置法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.3 限界感度法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11.4 位相進み遅れ補償 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.4.1 位相進み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2
11.4.2 位相遅れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
第 12回 制御工学第二の復習 91
12.1 制御工学第二の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.2 極の配置と過渡応答波形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.3 ラウスの安定判別法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.4 周波数応答法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.5 ナイキストの安定判別法とボード線図 . . . . . . . . . . . 95
12.6 フィードバック系の設計例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
はじめに
本冊子は，(熊本大学情報電気電子工学科)2年時，制御工学第二の授業のために執筆したものである。本学科では，２年時前期にモデリングと伝達関数を中心とした制御工学第一を，後期に設計論を中心とした制御工学第二を開講している。まず，本講義において公開しているシラバスを紹介することで，本講義の目標・目的を示す。
制御工学第二のシラバスバックグラウンド制御技術はあらゆる産業に用いられてわが国の経済成長を支えた基幹技術です。産業界の様々なシステムを動的システムとして統一的に捉え、目的を達成していく制御手法を身につけることは、科学的な物の見方と問題解決の素養を養う上で重要である。本講義では、「制御工学第一」に続き、自動制御の基礎的事項について、とくに古典制御理論に基づく問題の捉え方と解決法を理解し、システムの評価や所望のシステムを実現する設計手法を学ぶ。目標
(1) 代表的なシステムの周波数応答特性を理解する。
(2) システムの応答性、安定性が分析できる。
(3) 簡単なフィードバック制御系が設計でき、その動特性の特徴を理解する。
授業の内容制御の基礎概念を復習後、フィードバック制御系の特性解析と設計法を根底に流れる考え方に重点を置いて、古典制御理論としての体系化された内容を取り扱います。制御工学第二では，システム解析に重点をおいて講義し，簡便なフィードバック制御法について説明する。（14回分の実施予定）
1. ガイダンス
2. 制御工学第一の復習
4
3. システムの極と零点
4. 安定性の定義
5. ラウス・フルビッツの安定判別法
6. 周波数応答
7. ベクトル軌跡の基礎
8. ベクトル軌跡
9. ナイキストの安定判別法
10. ボード線図の基礎
11. ボード線図
12. 制御系設計手法（定常偏差）
13. フィードバック制御系の設計
14. まとめ
参考文献「システムと制御 第２版 上・下」高橋安人 著，岩波書店「モデリングとフィードバック制御」古田勝久他著，東京電機大学出版局「自動制御」，水上憲夫，朝倉書店
関連科目この講義は古典制御理論のみの構成になっているが，３年次で開講される「制御系設計論」で扱われる現代制御理論により，制御工学の基礎ができるので，この講義の後に「制御系設計論」を履修することを勧める。関数論，微分方程式などに関する知識が必要であり，関連する科目として，物理学第一，電磁気学，電気回路 I，電気回路 IIを履修することが望ましく，また、制御工学第一，微分方程式，フーリエ解析，制御系設計論，情報機械システム，生体情報システムなどと関連している。
制御工学第二では，制御工学第一で学んだモデリング手法をベースに，あらたに設計手法を学ぶ。半年の授業で，モデリングをベースにシステム設計や解析の基礎が身につく。制御工学第二受講前に，制御工学第一を受講することを推奨する。
5
第1回 制御工学第一の復習
制御工学第一では、「制御対象の数学的モデリング」を行った。ここでは，制御工学第一のポイントをまとめる。なお，制御工学第二では，制御工学第一の結果を利用することから，ノートの再勉強を推奨する。
1.1 微分方程式とラプラス変換ラプラス変換の定義式を示す。f(t) = 0, t < 0 の関数に対して
F (s) =∫ ∞
0f(t)e−stdt (1.1)
を定義することができる。上式は，時間関数 f(t)のラプラス変換でありF (s) = L[f(t)]と表す。すべての信号を tで解くことは難しい。そこで，任意の信号を tの空間で表し、ラプラス変換で s空間に変換する。その後、sで設計した後、もとの tの空間にもどす。このやり方は、一見複雑だが，時間軸で信号の畳み込みを必要としないため、設計が容易である。ラプラス変換は微分方程式を代数方程式に変換し解を得る点に特徴があり，その解法も容易である。ラプラス変換による微分方程式の解法をまとめると次のようになる。
step1：微分方程式を sの関数で記述
step2：代数方程式を解く
step3：逆ラプラス変換により，tの関数に戻す。
step1では，微分方程式をラプラス変換表を用いて変換することで sで記述する。step2では，sに関する式は単なる代数方程式の解法になる。また sの世界で様々な演算も行うことができ，様々な入力をしたり，制御系を設計することができる。こで，step3では逆ラプラス変換（変換表）が適用できるように有理多項式を部分分数展開の形で表現する。その後，逆ラプラス変換により tの関数として記述できる。
6
図 1.1: ラプラス変換による微分方程式の解法のイメージ
1.2 伝達関数とブロック図すべての初期値を 0とした場合の入力信号のラプラス変換と出力信号のラプラス変換の比を「伝達関数」といい次式が成り立つ。
L[出力信号] =伝達関数G × L[入力信号] (1.2)
また，このように伝達関数が一定の比で記述できることから，要素の接続が簡単な積で記述できることになる。伝達関数の特徴は次の３つである。
(1)入出力に依存しない
(2)固有の性質を表している
(3)接続関係の処理が容易
ここで，伝達関数の例として図 1.2に示すマス－バネ系を考える。
図 1.2: マス－バネ系
7
ばねで吊り下げられた質量mを考えると，平衡点からの変位を xとすると，微分方程式は
mx + kx = f (1.3)
となる。初期値零でラプラス変換すると
ms2X + kX = F (1.4)
となる。ここで，入力を F ,出力をXとすると，伝達関数は
X
F=
1
ms2 + k(1.5)
となる。なお，伝達関数は平衡状態に対して記述するため，図中のmg
のは式に現れない。制御対象の伝達関数は数学的にあらかじめ与えられることが多く，制御構造も簡単なフィードバック系であることが多い。制御工学第二では簡単な系しか扱わない。伝達関数に関してはこれ以上言及しないが，世の中の事象が数学的に扱えることを理解する。
1.3 s領域での畳み込み積分畳み込み積分がラプラス変換ではどのような表現になるのであろうか。時間領域の畳み込み積分
L[x(t) ∗ g(t)] = X(s)G(s) (1.6)
は，s領域では伝達関数の積
Y (s) = X(s)G(s) (1.7)
となる。意識はしてないが，たたみ込み積分はインパルス応答で示したように短冊型の応答波形を計算したことになり，ラプラス変換で「かける」（s領域でかけること）は，たたみ込み積分をすることになる。たとえば，図 1.3の場合は次の関係となる。s領域の伝達関数へ変換することで演算が簡単になりブロックの結合や合成も簡単に行える。
F2(s) = G1(s)F1(s)
Y (s) = G2(s)F2(s)
Y (s) = G2(s)G1(s)F1(s)
8
ラプラス変換と畳み込み積分の関係をまとめると，
正しい： L[f1(t) + f2(t)] = F1(s) + F2(s)
正しい： L[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)
間違い： L[f1(t)f2(t)] = F1(s)F2(s)
(1.8)
であり，時間関数だけで演算するには，伝達関数の積（応答計算）は時間関数を畳み込む作業が毎回必要となる。この作業は複雑なため，F1(s)F2(s)
だけですむように s空間へ変換するのである。
図 1.3: 伝達関数の縦続接続
制御工学第一では理論的な理解を重視したが，制御工学第二ではラプラス・逆ラプラス変換を利用し演算する。
1.4 制御系とその特性得られた制御対象を P とし，図 1.4に示す制御対象を考える。制御対象にフィードバックC1，フィードフォワードC2の制御ブロックを追加したものを図 1.4に示す。
図 1.4: 制御対象例
偏差をEとすると次式が成り立つ。
E = C2R − Y
Y = C1PE
9
整理すると，
Y = C1P (C2R − Y )
(1 + C1P )Y = C1C2PR
Y
R=
C2C1P
1 + C1P(1.9)
となる。制御工学第一は，ブロック図を理解するために等価変換を利用して図の意味を理解したが，第二の制御系設計の観点からは代数的にまとめられたプラントの伝達関数を扱うことが多い。制御系設計の手法は多々あり，全て理解するのは困難である。その極と零点がシステムの過渡的挙動を支配しており，極零の設計が「システム設計」と言っても過言ではない。制御工学第二では，より実用的な制御系の設計例を，極配置・PIDなど代表的な設計を中心に述べる。
10
1.5 制御工学第二の流れここで，制御工学第二の流れとキーワードをまとめる。毎回の講義のポイントを示しているが，細かい学習のシラバスは参照のこと。
(１)極と零点：応答との関係（復習）
⇓
(２)安定性の定義（計算例）
⇓
(３)極が計算できない時の安定解析（ラウスの方法）
⇓
(４)分析の基礎：ベクトル軌跡（代表的な要素）
⇓
(５)分析の基礎：ベクトル軌跡（ナイキストの方法，ゲイン余裕・位相余裕とは）
⇓
(６)代表的な分析方法：ボード線図と片対数グラフの使い方
⇓
(７)制御系設計の基礎：安定性からゲイン設計，定常偏差へ
⇓
(８)フィードバックの実例：極配置，PID制御，位相進み・遅れ制御
⇓
(９)まとめ
11
第2回 閉ループ系の過渡応答
システムの伝達関数が運動方程式で求まる。系はさらに簡略化でき，数学的な処理で sの多項式で表すことができる。入出力の特性は分母・分子の多項式の 0になる点，即ち極・零点で表される。この極・零点の配置は安定性を示すだけでなく，系の過渡応答特性を示すことが知られている。制御におけるシステム設計の本質は，一言で言えばこれらの極・零点をどの様に設計（配置）するかにある。そのためにいくつかのツールが研究され，制御工学第二では蒸気機関の発達以降の古典制御と呼ばれる設計方式のポイントを以後の章で見ていくことになる。古典制御は一入力一出力 (SISO)の簡単な事例ではあるが，設計法を理解するには有益であること，未だ工業用途では 90% 以上の割合で古典制御が使用されていることから古典制御の設計法を理解する価値は大きい。本章は制御工学第一の復習として，まず最も重要な極と零点の配置と過渡応答の関係を復習する。なお，本章の内容は制御工学第一の 10章の内容と同じである。
2.1 伝達関数の極代表的なフィードバック系を図 2.1に示す。フィードバックは誤差を 0
にするメカニズムで，以後の制御の基本形である。入力から出力までの伝達関数は，
Y (s) =G(s)
1 + G(s)H(s) (2.1)
となる。この系において入力U(s)からY (s)の特性を調べることにする。
ある系のインパルス応答を取ったときに，その応答のラプラス逆変換が系の伝達関数になることが知られている。そこで，U(s)に単位インパルスが加わった場合の応答を分析することにする。簡単のため，系が重複固有値を持っていない場合を考える。系の応答波形は部分分数展開により
Y (s) =K1
s − s1
+K2
s − s2
+ · · · + Kn
s − sn
+K+
s − si
+K−
s − si
(2.2)
12
図 2.1: フィードバック系
となる。ただし，s1 ∼ snは，特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0の根である。伝達関数 (2.1)の分母多項式を零とする方程式を特性方程式と呼び，その解を極と呼ぶ。上式のラプラス逆変換を求めると時間応答 y(t)は
y(t) = K1es1t + K2e
s2t + · · · + Knesnt + K+esit + K−esit (2.3)
となる。特性多項式の解が複素根の場合，そのひとつを si = σi + jγiとすると，該当する項の過渡応答 yi(t)を求める。siに対する時間応答は，次式となり，
K+esit = K+e(σi+jγi)t (2.4)
また，この共役複素解は
K−esit = K−e(σi−jγi)t (2.5)
となることから，y(t)として次式を得る。
y(t) = L−1
[K+
s − si
]+ L−1
[K−
s + si
]
=1
2jωe(σi+jωi)t − 1
2jωe(σi−jωi)t
=1
ωeσit
ejωit − e−jωit
2j
=1
ωeσit sin(ωit) (2.6)
上式に注目すると，極によりその過渡応答は次のようになる。
(1)s1 ∼ snの実部が負：式 (2.6)より，σ < 0の場合は，振動項がない場合は指数関数的に減衰し，振動項がある場合は振動しながら減衰する。また t → ∞ではその値は 0になる。
(2) s1 ∼ snが 0のとき：s1 ∼ snが 0のときは，
g(t) =1
ωe0 (2.7)
となることから，t → ∞においてもその値は変わらない。
13
(3)s1 ∼ snが純虚数のとき：式 (2.6)より，σi = 0のときは g(t) = sin(ωit)
となり，持続振動をくりかえす。t → ∞においても，値が定まらない。
(4)s1 ∼ snの実部が正：式 (2.6)より，σ > 0の場合は，振動項がない場合は指数関数的に増加し，振動項がある場合は振動しながら増加する。
ωi = 0 ωi = 0
σi > 0 単調増加 発散振動σi = 0 時間とともに変化しない 持続振動σi < 0 単調減衰 減衰振動
2.2 極の配置と過渡応答波形以上の極と応答波形の関係を図 2.2に示す。
図 2.2: 極と応答波形
なお，複素根は必ず共役な根を持ち実軸と対称となることから，jω > 0
の領域のみを図示している。システムの極は，特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0の根であるので，コントローラH(s)を設計した場合は，系の極を調べることにより系の特性が分かる。
14
2.3 零点とその影響伝達関数は一般的に
G(s) =N(s)
D(s)(2.8)
で与えられる。前節までは，分母多項式の根 (D(s) = 0)である極に関する考察を行った。極は，系の振動や収束性など，安定性を支配しているが，上述のように分子多項式もあるため，実際はその挙動の解析は複雑となる。一般に分子多項式 (N(s) = 0)の根を零点と呼ぶが，本節では，極と零点の配置による影響について詳説する。
U(s)から，Y (s)までの伝達関数を
G(s) =K(s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)(2.9)
とおく。いま，U(s) =1
sの入力を考えるとき，y(s)は
Y (s) =K0
s+
K1
s − p1
· · · + Kn
s − pn
(2.10)
となる。よって時間応答は
y(t) = K0 + K1ep1t · · · + Knepnt (2.11)
例えば，係数K0，K1は
K0 = [Y (s)s]s=0 =K(0 − z1)(0 − z2) · · · (0 − zm)
(0 − p1)(0 − p2) · · · (0 − pn) (2.12)
K1 = [Y (s)(s − p1)]s=p1 =K(p1 − z1)(p1 − z2) · · · (p1 − zm)
p1(p1 − p2) · · · (p1 − pn) (2.13)
以下，K2，K3，· · ·ともとまる。上式より，傾向をまとめると
(1)原点に近い極の係数は，遠い極の係数より大きい (Kiの分母 p1が小さくなり，結果Kiは大きくなる)。
(2)極の近くに零点があると，この極に対する係数は小さくなる（p1− zi
でKiの分子が小さくなる）。
(3)極と零点が近接すると，ほかの極への影響は打ち消し合う（近接すると極―零はキャンセル）。
(4)虚軸や支配的な極から遠い位置にある零点，極は影響を与えない（支配的な極，零を見ればよい）。
が言える。虚軸に近い極に対応する成分は減衰が小さく，原点に近い極の係数は大きくなるので，t = 0に近い部分を除きこれらが過渡応答の主要な部分を支配すると思ってよい。このような極を，代表根と呼ぶ。
15
図 2.3に極，零点の配置とそのインディシャル応答を示す。なお，図中の が極，×が零点である。
1.0I
t0
R
1p
1.0
I
t
p/z
0
R
1z
1p
t
1.0
p/z
0
I
1z
1p
R
t
図 2.3: 極，零点の配置とそのインディシャル応答 (その１：1次系の場合）
例えば，零点が１個の１次系の場合，
Y (s) =p1
z1
s + z1
s + p1
1
s=
K0
s+
K1
s + p1
(2.14)
K0 =p1
z1
[(s + z1)s
(s + p1)s]s=0 =
p1
z1
× z1
p1
= 1 (2.15)
K1 =p1
z1
[s + z1
s + p1
s + p1
s]s=−p1 =
p1
z1
−p1 + z1
−p1
=p1 − z1
z1
(2.16)
よって，次式を得る。
y(t) = 1 +p1 − z1
z1
e−p1t (2.17)
上式において t = 0では，y(0) = 1 +p1 − z1
z1
=p1
z1
を得る。|z| > |p|(図右上)では y(0)は 1以下の右上がりに，|p| > |z|(図右下)では y(0)は 1以上の右下がりになる。
16
他方，図 2.4に２次系，３次系の場合の極，零点の配置とそのインディシャル応答の比較を示す。
1.0
t0
R
I
2p
1p
1.0
t0
R
I
2p
3p
1p
1.0
t0
R
I
2p
3p
1p
t0
I
1z
1p
R
2p
1.0
t0
I
1z
1p
R
2p
1.0
t
0
R
I
2p
1p
1.0
図 2.4: 極，零点の配置とそのインディシャル応答 (その２：２次，３次系の場合）
図において零点が極より左の（原点から遠い）場合は 1次系に近い振る舞いになり，逆に原点に近い場合は零点の影響でオーバーシュートが発生する。３次系の場合は，原点側の極が実根の場合は振動しながらゆっくりと上昇し，原点側の極が共役複素根の場合は振動が大きくなる。
17
第3回 安定性の定義
システムが安定であるとは，システムが暴走せずにある一定値（あるいは領域）にシステムの状態をとどめることである。従って，目標値の変化や外乱のため振動が生じてもそれが「減衰」すれば安定であるといえよう。時間軸は有限の時刻しか書けないので，波形を見せても安定かどうかわからない。システムが安定かどうかどのようにチェックすればよいであろうか。本章では，その判定の方法について概要を述べる。
3.1 安定性の意味制御とは、目的を達成するように操作を加えることである。図 3.1の上図において考えてみよう。制御目的を達成するには，
1：目標値へ収束する
2：外乱の影響が零，あるいはずれが生じたらこれを元に戻す
とすればよい図 3.1上のブロック図でG = 1の場合を考えよう。入出力特性のゲインが 1，外乱の伝達特性が 0になればよく，式で表せば
Y = R (3.1)
Y = 0 × D (3.2)
となればよい。これが，フィードフォワードである。しかし，実際にこのような外乱が 0の理想的な特性を作ることはできない。フィードバックは常に目標の特性に一致する機構である。フィードバックの伝達特性を計算すると，
E = R − Y
U = CE
Y = P (U + D)
18
となる。計算すると
Y = P (CE + D) = P (CR − CY + D)
Y = PCR − PCY + PD
(1 + PC)Y = PCR + PD
となる。
r yd
Gr y
r y+ +d
eC P
r y+
-
+e
u
図 3.1: 制御対象例
整理すると，
Y = GyrR + GydD
=PC
1 + PCR +
P
1 + PCD (3.3)
U = GurR + GudD
=C
1 + PCR +
PC
1 + PCD (3.4)
それぞれの伝達要素は目標値と外乱から出力と入力の特性である。この４つの要素Gyr，Gyd，Gur，Gudが安定であることを，内部安定と呼ぶ。（なお，理解のために直感的に考えれば C = ∞にできれば Y = R + 0D
となりフィードフォワードの特性になる。なお，厳密には計算が必要である。）
19
フィードバック系の振る舞いを決定する特性多項式は 1 + PC = 0である。安定性の条件は様々あるが，SISO系では，「全てのG(s)の極が複素左半平面に存在する」という条件と等しい。つまり，
G(s) =N(s)
D(s)(3.5)
において分母多項式D(s) = 1 + PCにおいて 1 + PC = 0なる。図 3.2
に安定極，不安定極，安定限界を示すが，不安定極が 1個でもあるとシステムは不安定になる。（なお，図の例は 3次の特性多項式の例で，2つの共役複素解と 1つの実根を持つ）
Im Im Im
Re
Im
X
X Re
Im
X
X Re
Im
X
X
X X X
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図 3.2: 安定極と不安定極
数値例１：
図 3.1で P =b
s + a，C = kp の制御系を考える。系が安定な条件を求
めよ。
伝達関数は，
Y = GyrR + GydD
Gyr =PC
1 + PC=
bkp
s + (a + bkp)(3.6)
Gyd =P
1 + PC=
b
s + (a + bkp)(3.7)
となる。極は，s = −(a + bkp) < 0より，kp > −a
bとなればよい。
20
数値例２：
図 3.3のブロック図で，H(s) = 1とおいたときのY
Rを求め, 安定かどう
か示しなさい。
1：G(s) =1
s(s + 2),H(s) = 1
G
1 + GH=
1
s(s + 2) + 1=
1
(s + 1)2
2：G(s) =1
s2,H(s) = 1
G
1 + GH=
1
s2 + 1
3：G(s) =1
s(s − 1),H(s) = 1
G
1 + GH=
1
s(s − 1) + 1=
1
s2 − s + 1
1)は−1の 2重根，2)は±jの安定限界，3)は s =1 ±
√3j
2の不安定根
になる。
Gr y+
Im Im Im
y-
H
Re1
X Re
X
Re
Xj2
3
-1
X X-j2
3−
図 3.3: 例題
21
例のように，「極を一個一個チェックする」ことができれば系の安定性を調べることができる。たとえば，n次方程式の解
a0sn + a1s
n−1 + · · · + an = 0 (3.8)
を常に解ければよいが，必ずしも厳密には求まらない。従って，「方程式を解かずして極が右半平面にあるか」を判断できれば都合がよい。次章以降では安定性の分析の代表的な手法を紹介する。
[1]ラウスの方法：ラウス表で代数的に解く
[2]フルビッツの方法：行列で代数的に解く
[3]ナイキストの方法：図的に解く
なお，近年では，計算機が非常に精度よく近似解を求めることができるため，必ずしも，これらの解析手法を使う必要がない。しかし，古典制御として考え方が重要であり，授業ではこれらの手法の原理を理解する。
22
第4回 ラウスの安定判別法
システムが安定かどうかを調べるためにシステムの極の状態を調べる方法がある。極が代数的に求められる場合は非常に簡単だが，次数が高い場合などは難しい。特に，常に多項式の解を得なければならず計算機がなかった時代には分析は厳しかった。本章では，古典的な安定判別方法として安定性を代数的に判定する方法の一つであるラウスの方法を示す。また，安定判別法の別手法として行列を用いたフルビッツの方法を紹介する。いずれも明治 8～28年（1875
～1895）の自動制御系の分析アルゴリズムであるがアイデアが秀逸で現在でも使用するアルゴリズムである。
4.1 ラウスの安定判別法ラウスの方法は，ラウス表を作成してラウス表の符号の変化により安定性の判定をする。授業では，安定判別の方法を説明する。
特性多項式
a0sn + a1s
n−1 + · · · + an−1s + an = 0 (4.1)
を持つ制御系が安定になるには，次の 2つの条件を満足しなければならない。
[1]全ての係数 a0, · · · , anが同符号である。
[2]ラウス表の第一列が全て同符号である。同符号でなければ符号の変化回数に等しい数の不安定根がある。
図 4.1にラウス表の例を示す。この表は特性多項式の次数が 7次のシステムの例である。
a0s7 + a1s
6 + a2s5 + a3s
4 + a4s3 + a5s
2 + a6s + a0 = 0 (4.2)
まず，ラウス表の左端の s7，s6の項は多項式の係数をならべる。s7の項には a0，a2，a4，a6の係数を，s6の項には a1，a3，a5，a7の係数を並べる。s5から演算を行う。
23
30 2424
図 4.1: ラウス表
b1 =
−∣∣∣∣∣ a0 a2
a1 a3
∣∣∣∣∣a1
=−(a0a3 − a1a2)
a1
(4.3)
b3 =
−∣∣∣∣∣ a0 a4
a1 a5
∣∣∣∣∣a1
=−(a0a5 − a1a4)
a1
(4.4)
· · ·
同様に，s4の係数は
c1 =
−∣∣∣∣∣ a1 a3
b1 b3
∣∣∣∣∣b1
=−(a1b3 − a3b1)
b1
(4.5)
c3 =
−∣∣∣∣∣ a1 a5
b1 b5
∣∣∣∣∣b1
=−(a1b5 − b1a5)
b1
(4.6)
· · ·
ともとまる。順次，s0の数値まで求める。こうして求まったラウス表の第一列 (a0, a1, b1, c1, d1, e1. · · ·)の符号を調べ，符号変化がなければ安定，符号変化があれば不安定となり，符号変化の回数に等しい不安定根がある。これにより，系の安定性が判定できる。
24
数値例 1：特性多項式が次式で与えられるとき安定性を吟味せよ。
s4 + 10s3 + 35s2 + 50s + 24 = 0 (4.7)
この多項式の解は
(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4) = 0 (4.8)
なので，明らかに安定である。解が不明という条件下で，ラウスの方法で判定しよう。
[1]全ての係数は正である。
[2]ラウス表を作成する。
1 35 24
10 50 0
30 2430 24
42 0
24
b1 =
−∣∣∣∣∣ 1 35
10 50
∣∣∣∣∣10
=−(50 − 350)
10= 30 (4.9)
b3 =
−∣∣∣∣∣ 1 24
10 0
∣∣∣∣∣10
=−(0 − 240)
10= 24 (4.10)
c1 =
−∣∣∣∣∣ 10 50
30 24
∣∣∣∣∣30
=−(240 − 1500)
30= 42 (4.11)
c3 =
−∣∣∣∣∣ 10 0
30 0
∣∣∣∣∣30
= 0 (4.12)
25
d1 =
−∣∣∣∣∣ 30 24
42 0
∣∣∣∣∣42
=−(0 − 24 × 42)
42= 24 (4.13)
ラウス表より，第一列は 1，10，30，42，24 と符号変化がないので系は安定である。
数値例 2：特性多項式が次式で与えられるとき安定性を吟味せよ。
s3 + 2s2 + 3s + 10 = 0 (4.14)
この多項式の解は計算機で求めると s = −2.445，s = 0.227 ± 2.009であり 2つの不安定根がある。ラウス表で求めてみよう。
1 3
2 102 10
-2
10
b1 =
−∣∣∣∣∣ 1 3
2 10
∣∣∣∣∣2
=−(10 − 6)
2= −2 (4.15)
c1 =
−∣∣∣∣∣ 2 10
−2 0
∣∣∣∣∣−2
=−(0 + 20)
−2= 10 (4.16)
ラウス表より，第一列は 1，2，−2，10と符号変化が，2，−2で一回，−2，10で一回の計二回ある。よって，系には不安定根が2つあることがわかる。
26
数値例 3：次のブロック線図がある。図の制御系が安定となるK の範囲を求めよ。ただし，K > 0とする。
+K
r y+
-
図 4.2: ブロック線図
閉ループ伝達関数を求めると，
Y
R= G(s) =
k
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
1 +k
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
=k
(s + 1)(s + 2)(s + 3) + k(4.17)
よって，分母多項式は
(s + 1)(s + 2)(s + 3) + k = (s + 1)(s2 + 5s + 6) + k
= s3 + 5s2 + 6s + s2 + 5s + 6 + k
= s3 + 6s2 + 11s + 6 + k (4.18)
[1]全ての係数は同符号であるが，変数のある係数 (s0)で 6 + k > 0でなくてはならない。
[2]ラウス表を作成する。
b1 =
−∣∣∣∣∣ 1 11
6 6 + k
∣∣∣∣∣6
=−[(6 + k) × 1 − 6 × 11]
6=
60 − k
6(4.19)
c1 =
−
∣∣∣∣∣∣6 6 + k
60 − k
60
∣∣∣∣∣∣60 − k
6
= 6 + k (4.20)
27
1 111 11
6 6+k
6+k6+k
第一列が同符号であれば安定なので，s1，s0より
60 − k
6> 0 (4.21)
6 + k > 0 (4.22)
を満足すればよい。いま，k > 0より6+k > 0を満足するので，60−k > 0
より，0 < k < 60となる。
4.2 フルビッツの方法フルビッツの安定判別法は，行列の演算で安定性が評価できる。フルビッツの手法を以下に示す。
a0sn + a1s
n−1 + · · · + an−1s + an = 0 (4.23)
を持つ制御系が安定になるには，次の 2つの条件を満足しなければならない。
[1]全ての係数 a0, · · · , anが存在し（０でなく），正である。
[2]フルビッツ行列式の主対角小行列式が全て正である。
例えば，1x1，2x2，3x3の小行列式は次のようになる。
28
∆1 = a1 > 0
∆2 =
∣∣∣∣∣ a1 a3
a0 a2
∣∣∣∣∣ > 0
∆3 =
∣∣∣∣∣∣∣a1 a3 a5
a0 a2 a4
0 a1 a3
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 (4.24)
数値例 4：例題 2の特性多項式が次式で与えられるときフルビッツの方法で安定性を吟味せよ。
s3 + 2s2 + 3s + 10 = 0 (4.25)
フルビッツの方法で判定しよう。
[1]全ての係数が正である。
[2]フルビッツ行列式の主対角小行列式が全て正である。
いま，フルビッツ行列は３次となる。1 × 1，2 × 2，3 × 3の小行列式は次のようになる。
∆1 = 2 > 0
∆2 =
∣∣∣∣∣ 2 10
1 3
∣∣∣∣∣ = 2 × 3 − 1 × 10 = −4 < 0
∆3 =
∣∣∣∣∣∣∣2 10 0
1 3 0
0 2 10
∣∣∣∣∣∣∣ = 2 × 3 × 10 − 1 × 10 × 10
= −40 < 0
(4.26)
よって不安定である。
29
数値例 5：特性多項式が数値例１で与えられるときフルビッツの方法を用い安定性を吟味せよ。
s4 + 10s3 + 35s2 + 50s + 24 = 0 (4.27)
フルビッツ行列は４次となる。1 × 1，2 × 2，3 × 3，4 × 4の小行列式は次のようになる。
∆1 = 10 > 0
∆2 =
∣∣∣∣∣ 10 50
1 35
∣∣∣∣∣ = 350 − 50 = 300 > 0
∆3 =
∣∣∣∣∣∣∣10 50 0
1 35 24
0 10 50
∣∣∣∣∣∣∣ = 10 × 35 × 50 − 1 × 50 × 50 − 10 × 24 × 10
= 17500 − 2500 − 2400 = 12600 > 0
∆4 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣10 50 0 0
1 35 24 0
0 10 50 0
0 1 35 24
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 24 × ∆3 > 0
よって安定となる。
なお，これらの２つの判別法は「安定か不安定」かを判定するだけで，「どのくらい安定か」を調べるものではない。
30
第5回 システムの周波数応答の基礎
制御対象を動かすことなく，事前にその挙動がわかれば有益である。今まで，G(s)は極，零点に関する情報を持ち，ラウス法などを用いると事前にこの系が安定かどうかを評価することができることを示した。本章で学ぶ周波数応答法は，さらにシステムの安定度やシステムがどのように応答するかを明らかにすることができる。周波数応答法は単に数学的に与えられたプラントの分析だけでなく，逆に周波数特性から数学的モデルを推定する場合にも使用できる。ここでは，まず制御対象の応答を記述する周波数応答法を示し，その分析法の原理を示す。
5.1 安定度を評価するには
図 5.1に示す伝達関数を考える。いま，C =Ki
s，P =
1
s2 + 2ζs + ω2
とする。
C Pr y
+
-
図 5.1: フィードバックの安定性 (ブロック線図)
特性多項式は 1 + CP より
s3 + 2ζωs2 + ω2s + Ki = 0 (5.1)
である。
31
いま，ω =√
6，ζ =5
2ω≈ 1。とする。伝達関数は次式で得られる。
s3 + 5s2 + 6s + Ki = 0 (5.2)
図 5.2はKi = 1で，極は−3.2,−1.5,−0.2，Ki = 2で，極は−3.0,−1.0,−0.5，Ki = 9で，極は−4.0,−0.46 ± 1.4j
である。コントローラKiが大きくなるとフィードバックの応答波形が振動的になる。例えば，Ki = 9ではラウス表より安定となり，Ki = 31では不安定となる。各自ラウス表で確認してほしい。さて，図の 3つの応答波形とも安定なのだが，どの程度安定なのかがわからない。一般に，(a)の場合ゲインを大きくしたらもっと早く収束するが振動しない。(b)は臨界安定でゲインを大きくすると振動する。(c)の振動波形はゲインをちょっと大きくすると発散する。定性的な指標として，不安定な状態からの余裕の度合いである「安定余裕」を考える。そのように定義すれば，Ki = 1は安定度が大きい，不安定に向かうのでKi = 9は小さいと判断できる。
y
time
(a) Ki=1
y
time(b) Ki=2
y
time
(c) Ki=9
図 5.2: フィードバックの安定性
しかし，系の応答は時間により変わるため，厳密には制御対象を何らかの特性で記述する必要がある。その意味で，周波数応答法は伝達関数そのものの記述法であり，安定性を含めたシステムの応答分析を行うことができる。
32
5.2 周波数応答法いま，制御対象の式が次のように与えられ，制御系入力が x(t)，出力が y(t)であるとする。
Y (s) = G(s)X(s) (5.3)
一般に，制御対象の時系列波形は，立ち上がり時の状態の安定しない「過渡応答」，時間が十分経過した状態が安定した「定常応答」に分けられる。時間で記述すれば，t → ∞が定常応答である。
y
time
図 5.3: 定常特性と過渡特性
ここで，入力が正弦波の場合の定常応答を「周波数応答」と呼ぶ。いま，図 5.4の制御対象を考え位相角 0度，振幅Aiの正弦波を考える。
x(t) =Ai sin(ωt) (5.4)
上式をラプラス変換すると
X(s) =L[Ai sin(ωt)] =Aiω
s2 + ω2=
Aiω
(s + jω)(s − jω)(5.5)
いま，制御対象を次式で表す。
G(s) =N(s)
D(s)=
N(s)
(s − s1)(s − s2) · · · (s − sn)(5.6)
全ての siが負であるとする。
33
G(s) yx
図 5.4: 入出力特性
出力を部分分数展開して表すと，
Y (s) =k1
(s − s1)+
k1
(s − s1)+ · · ·+ kn
(s − sn)+ k+
(s − jω)+
k−
(s + jω) (5.7)
この制御対象には振動解はないとしているので，k+
(s − jω)，
k−
(s + jω)は，
入力された信号の成分である。上式を逆ラプラス変換すると
y(t) =k1es1t + · · · + kne
snt + k+ejωt + k−e−jωt (5.8)
G(s)が安定なので，t → ∞で安定な極の部分は 0 になるので，・ 内の定常正弦波入力の影響だけ振動が残る。
ys(t) =k+ejωt + k−e−jωt (5.9)
ここで，それぞれの係数は
K+ =[G(s)
Aiω
s2 + ω2(s − jω)
]s=jω
= G(jω)Aiω
2jω= G(jω)
Ai
2j
K− =[G(s)
Aiω
s2 + ω2(s + jω)
]s=−jω
= G(−jω)Aiω
−2jω= −G(−jω)
Ai
2j
G(jω)とG(−jω)は共役複素数であり次式で定義する。
G(jω) = |G(jω)|ejθ
G(−jω) = |G(jω)|e−jθ
θ = G(jω) (5.10)
よって，ys(t)を計算すると
ys(t) = |G(jω)|e−jθ Aiω
−2jωe−jωt + |G(jω)|ejθ Aiω
2jωejωt
= |G(jω)|Ai[ej(ωt+θ) − e−j(ωt+θ)]
2j
= |G(jω)|Ai sin(ωt + θ)
= Ao sin(ωt + θ) (5.11)
34
以上をまとめると
入力を x(t) = Ai sin(ωt)，出力を y(t) = A0 sin(ωt + θ) とするとき，伝達関数は
|G(jω)| =Ao
Ai
:ゲイン
G(jω) = θ :位相で表される。sを jωに置き換えたG(jω)を周波数伝達関数とよぶ。
5.3 周波数応答のまとめ今まででG(s)が極，零点に関する情報を持ち，その配置により特性がきまることを示した。特に安定性は，極を直接求めることなくラウス法などにより評価ができた。しかし，それらの手法では安定性の度合いを調べることができない。安定性の度合いは，制御対象の周波数応答G(jω)により決まる。制御対象が未知の場合，周波数応答G(jω)はG(jω1)，G(jω2)，G(jω3) ，· · ·のように，ある周波数 ωiにおいてゲイン・位相の特徴量をプロットすれば，制御対象の特徴がわかる。図 5.5に概念図を示す。
図 5.5: 周波数応答特性
35
図に示すように，
[1]ラプラス変換G(s)を与えると周波数応答が得られる。
[2]周波数 0 ∼ ∞でゲインと位相がわかっていると，過渡応答が決定できる。
[1]は当然なので，[2]を説明する。たとえば，与えられた入力における過渡応答は周期関数ならフーリエ級数（非周期ならフーリエ積分）で周波数成分に分けられる。周波数応答がわかってると個々の入力に対する出力成分が求まる。得られた出力の和を求めると，重ねの理から入力信号に対する過渡応答が得られる。
36
第6回 ベクトル軌跡
周波数ごとに周波数応答のゲイン・位相を求め，それらをつなげることで制御対象の分析が可能となる。ゲイン・位相を記述する手法としてベクトル軌跡があり，例えば制御対象の伝達関数が与えられるとシステムの分析に利用することができる。制御対象の伝達関数の代表的な要素として，積分・微分・一次遅れ・比例，不完全微分・むだ時間がある。本章では，これらの要素が周波数ごとにどのような挙動をするのかゲイン・位相図を使って示す。また，制御対象はこれらの合成関数であるので，これらの要素で合成法を紹介する。
6.1 ベクトル軌跡の基礎G(jω)はその
[1]絶対値 |G(jω)|
[2]偏角 G(jω)
を持つ複素数である。まずは，ベクトル軌跡の使い方の前にゲイン・位相を記述する手法を示す。
Im
|)(| 2ωjG2ω
Re
)( 2ωjG∠
1ω
図 6.1: ベクトル軌跡
37
6.2 積分要素積分要素は，位相が 90deg.遅れ，ω → ∞で |G(jω)| = 0となる。
G(jω) =1
jωT=
1
ωT(−j)
|G(jω)| =1
ωT G(jω) = −90deg (6.1)
Im
Re
0
-90deg
図 6.2: 積分要素
6.3 微分要素微分要素は，位相が 90deg進み，ω → 0で |G(jω)| = 0となる。
G(jω) = jωT
|G(jω)| = ωT
G(jω) = 90deg (6.2)
38
Im
Re0
+90deg
図 6.3: 微分要素
6.4 一次遅れ要素一次遅れ要素は
G(jω) =K
1 + jωT
|G(jω)| = | 1
1 + jωT|K =
K√1 + (ωT )2
G(jω) = K − (1 + jωT ) = 0 − tan−1 ωT (6.3)
要素は，ω → 0で位相 G(0) = 0，ゲインG(0) = K，ω → ∞で位相 G(∞) = − tan−1 ωT = −90，ゲインG(∞) = 0となる。ここで，一次遅れ要素が円になることを示す。
K
1 + jωT=
K
1 + ω2T 2︸ ︷︷ ︸x 成分
− jKωT
1 + ω2T 2︸ ︷︷ ︸y 成分
(6.4)
x2 + y2 =1 + ω2T 2
(1 + ω2T 2)2K2 =
K2
1 + ω2T 2= Kx
(x − K
2)2 − K2
4+ y2 = 0
(x − K
2)2 + y2 = (
K
2)2
39
Im
Re
0x
図 6.4: 一次遅れ要素
6.5 比例要素比例要素は，位相が 0degであり，ゲインは一定値である。
G(jω) = K
|G(jω)| = K
G(jω) = 0deg (6.5)
Im
Re0
k
図 6.5: 比例要素
6.6 不完全微分要素不完全微分要素は，
G(jω) =KjωT
1 + jωT
=
KjωT ωが小さく，1 >> ωT
K ωが大きく，1 << ωT(6.6)
40
これは，低周波（1 >> ωT）は微分し，高周波（1 << ωT）は一定のゲインになるという意味で不完全微分と呼ぶ。まとめると
G(jω) =jωT
1 + jωTK
|G(jω)| = | jωT
1 + jωT|K =
ωT√1 + (ωT )2
K
G(jω) = jωT − (1 + jωT ) = 90deg − tan−1 ωT (6.7)
ω = 0で位相が G(0) = 90deg，ゲイン |G(0)| = 0となる。ω = ∞で位相が G(∞) = 0deg，ゲイン |G(∞)| = Kとなる。
Im
Re
0x
図 6.6: 不完全微分要素
6.7 むだ時間要素むだ時間要素は，
G(jω) = e−jωL
|G(jω)| = |e−jωL| = 1
G(jω) = −ωL (6.8)
G(jω) = −ωLなので，同じLなら，ωが大きくなるほど位相は遅れる。
41
Im
Re
0
1
図 6.7: むだ時間要素
6.8 複素数の乗法計算と合成の方法最後に合成方法を示す。
G(s) =K
s(1 + sT )=
K
s× 1
1 + sT= G1(s)G2(s) (6.9)
さてこの合成関数の全体の挙動を考える。
G(jω) =K
jω(1 + jωT )(6.10)
複素数の乗数計算において
|G(jω)| = |G1(jω)| × |G2(jω)| (6.11)
G(jω) = G1(jω) + G2(jω) (6.12)
の関係を使う。
ωが小さいと 1 + jωT → 1となり，伝達関数は
G(jω → 0) ≈ K
jω(6.13)
と近似される。ゲインと位相は，
|G(jω → 0)| ≈ K
|ω|= ∞ (6.14)
G(jω → 0) ≈ −90 + 0 = −90deg (6.15)
となり，ω → 0で積分（虚軸に漸近）に近似できる。一方，ω → ∞で1 + jωT → jωT となることから
G(jω → ∞) ≈ K
(jω)2T= 0 (6.16)
42
より，ゲインと位相が次のようになり，
|G(jω → ∞)| ≈ K
|ω2|T= 0 (6.17)
G(jω → ∞)| ≈ −90 + (−90) = −180deg (6.18)
ω → ∞で 2重積分（∞で−180degに漸近）に近似できる。
よって，ω → ∞の位相角は伝達関数の次数の差となる。
G(s) =K
s(1 + sT )(6.19)
では，次数差 2次−90 × n(n = 2)で−180となる。以上より，0 ≤ ω ≤ ∞の概要がわかったので，合成関数が描画できる。
Im
Re
0
図 6.8: 合成
実験でデータをとるとベクトル線図が得られるが，実際はそれらを近似することで制御対象の数式を得ることができる。
43
代表的なベクトル線図を図 6.9１に示す。また，この章ではベクトル線図の記法を示したが，次章ではこれらの結果を用いた，ナイキストの安定判別法を示す。
図 6.9: 代表的ベクトル線図 (1)
図 6.10: 代表的ベクトル線図 (2)
44
第7回 ナイキストの安定判別
周波数ごとに周波数応答のゲイン・位相が決まり，周波数ごとにそれをつなげることである関数の分析が可能となる。第 6章では，ゲイン・位相を記述する手法としてベクトル軌跡があり，伝達関数が与えられる場合は周波数毎にプロットできることを示した。制御系設計では閉ループは代表的で非常に有効な手法であり，安定にするには試行錯誤で調整しなければならなかった。そこで，ベクトル軌跡を安定性の尺度に利用したナイキストの安定理論が 1932年 (昭和 7年)
に提案された。本章では，フィードバック制御系の安定性を判定できるナイキストの安定判別法を示す。また，ナイキストの安定判別は系が安定かどうかの判定だけではなく安定の度合いを示すため有用である。
7.1 開ループ伝達関数伝達関数のゲイン・位相を一点に表現できるベクトル線図の書き方を前章にて学んだ。このベクトル線図を使って，系の安定性を判定する方法を考える。いま，図 7.1に閉ループ系の伝達関数を示す。
Y (s) =G1(s)G2(s)
1 + G1(s)G2(s)R(s) +
G2(s)
1 + G1(s)G2(s)D(s) (7.1)
G1(s)r y+
-G2(s)
d
+ +
図 7.1: ブロック図
図 7.1において，G1(s)G2(s)はループを一巡した伝達関数の積で一巡伝達関数あるいは開ループ伝達関数と呼ぶ。丁度，フィードバックルー
45
プを「カット」すると一巡で増える（または減る）値を示す。フィードバックで「負帰還」すると一定値に落ち着く（一巡で一未満に信号が減る）と設計したフィードバック系が安定になる。そこで，信号路を切った開ループG1(s)G2(s)を評価すれば，構成されるフィードバック系が安定かどうか判定できるので，その考え方を利用したナイキストの方法を紹介する。
7.2 ナイキストの安定判別法図 7.2に示す系の，入力から出力までの伝達関数は
F (s) =G(s)
1 + G(s)H(s)(7.2)
である。特性多項式 1+G(s)H(s)の根が全て複素左半平面に存在すると
G(s)
H(s)
r y+
-
図 7.2: フィードバック
フィードバック系が安定である。図 7.3に安定領域を示す。
Im
Re
図 7.3: 極の配置
４章では，G(s)，H(s)が数式で与えられれば，ラウスの方法や，フルビッツの方法のような安定判別法を用いて安定か不安定かの判別が可能
46
であることを示した。しかし，ラウス・フルビッツの方法はG(s)，H(s)
が数式でないと判別法が使えない，安定かどうかは判定できるが判別は安定の度合いがわからないという欠点がある。ラウス・フルビッツ法の欠点をまとめると，
[1]システム設計に不可欠な安定の度合いがわからない
[2]ラウス・フルビッツ法は係数を取り扱い，伝達関数の時定数などのパラメータと結びつかない。
[3]ラウス・フルビッツ法は周波数の実測値が与えられる場合は使えない。
これらの問題を解決する方法として，ナイキストの安定判別がある。ナイキストの手法の導出法のポイントと使い方について理解する。
一巡伝達関数 G(s)H(s)を考える。s = σ + jωに応じて G(s)H(s)平面上の一点が定まる。従って s領域を考えるとG(s)H(s)のある閉区間で囲まれた領域が定まる。つまり，s平面における正方の領域はG(s)H(s)
のひずんだ長方形となる。
=0
=0
-1
S GH
図 7.4: 写像
s平面の特性根の写像を考える。s = σ + jωを根とする特性方程式が成り立つ。
1 + G(s)H(s) = 0 (7.3)
これより，G(σ + jω)H(σ + jω) = −1 (7.4)
となる。即ち特性根のG(s)H(s)平面上の写像は (−1, j0)である。従って，sの右半平面をG(s)H(s)平面に写像したとき (−1, j0)を領域内に含めば sの右半平面上に特性根があり，不安定である。図 7.5において，s平面の根 σ + jωはGH平面 (−1, j0)に写像されるので，右半平面が写像された斜線部に含まれなければ根が左半平面（安定）にあり，含まれれば右半平面（不安定）になる。
47
sの右半平面をG(s)H(s)平面の写像した領域内に，(−1, j0)を領域内に含めば系は不安定，含まなければ安定である。
図 7.5に，(−1, j0)を含む例，含まない例を示す。
Re Re
Im Im
Re Re
( )
Im Im
(-1, j0)
(-1, j0)
S GH
図 7.5: s平面とGH平面
このGH 空間の写像により，安定性の判定が「図的に」判定しやすくなる。なお，ここではG(s)，H(s)が式で分かっているものとしているが，実験により特性が求まっている場合など図が書ける場合も同様に分析できる。
48
7.3 s平面を写像するここではまず写像について考え，安定判別の方法を示す。ωの区間は
−∞から∞までであり，その連続区間で次のような右半円区間を考える。
[1]s平面虚軸の写像虚軸は s = jω,−jωを写像する。s = jωは ωが大きくなると図の下方から上方に向かって動く。 次に，半円の半径を∞に広げて∞の挙動を考
Re
Im
s=
R
s=-
図 7.6: s平面写像
える。
[2]無限大半径の右半円の写像いま，
s = Rejθ (7.5)
−π
2< θ <
π
2
にてR → ∞とし，G(s)H(s)は
G(s)H(s) =b0s
m + b1sm−1 + · · · + bm
a0sn + a1sn−1 + · · · + an
(7.6)
n ≥ m
とする。式 (7.5)を式 (7.6)に代入すると，
G(s)H(s) ≈ b0Rmejmθ
a0Rnejnθ=
b0
a0
Rm−nej(m−n)θ (7.7)
n ≥ m
R → ∞のとき，
G(s)H(s) ≈
b0
a0
if n = m (...R(n−m) = R0 = 1)
0 if n ≥ m (...R(n−m) = R−∗ and R → ∞)
(7.8)
49
これにより，R → ∞の無限遠点はG(s)H(s)の一点か，原点に写像される。例として，
G(s)H(s) =1
(sT1 + 1)(sT2 + 1)
(7.9)
の場合のベクトル軌跡は ω = 0 ∼ ∞で図 7.7の実線となる。次に実軸で折り返すと ω = −∞ ∼ 0の破線となる。
Re
Im
=
= =
= j
=j
図 7.7: ベクトル軌跡 1(sT1+1)(sT2+1)
以上より，次の手順で安定判別すればよい。
[1]ωが 0 ∼ ∞に対しG(jω)H(jω)のベクトル軌跡を書く。
[2][1]を実軸に対し対称に折り返す。
[3][1][2]の閉曲線内に (−1, j0)がなければ安定（(−1, j0)を囲めば不安定）
例えば，G(s)H(s) =1
Ts + 1は図??左図，先ほど例示したG(s)H(s) =
1
(T1s + 1)(T2s + 1)は右図となる。なお，開ループの不安定極の個数を知っ
た上で，不安定な閉ループ極の個数を知ることができるがその安定判別法は省略し，使いやすい簡略化されたナイキストの安定判別法を示す。
7.4 簡略化したナイキストの安定判別法複素平面において，フィードバック制御系の開ループ (一巡)伝達関数で s = σ + jω の角周波数を−∞ ∼ ∞まで変化させたG(jω)のベクトル軌跡をナイキスト線図と呼ぶ。
50
図 7.8: ベクトル軌跡
一般に開ループ伝達関数の極が右半平面に存在すると系が不安定になり，実データはとれない。普通，制御性能の改善は不安定状態から調整するのは希であるので，ノートでは不安定な開ループ極がない簡略化されたナイキストの安定判別を紹介する。簡略化したナイキストの方法は，ω = 0 ∼ ∞での軌跡をわかり安く判別する手法である。
簡略化されたナイキストの方法は以下のようにまとめられる。
閉ループ伝達関数G(s)において，s = jωとおき，ω = 0 ∼ ∞で動かすとき，ベクトル軌跡が−1 + j0の点を左にみて描ければこのフィードバック系は漸近安定である。
ナイキストの図 7.9のようにナイキストの手法では，−1近辺の安定性に関わる帯域を見ればよい場合が多いので簡略化手法のみを紹介する。ナイキストの安定判別を用いると
[1]ベクトル軌跡が−1を「左」にみて通過する場合は安定
[2]ベクトル軌跡が−1を通過する場合は安定限界
[3]ベクトル軌跡が−1を「右」にみて通過する場合は不安定
と判定できる。
51
Re
Im
(-1,0j) 0
図 7.9: 閉ループ伝達関数の安定性
図 7.10に簡易化した例を示す。
例題１
P =1
(s + 0.1)(s + 1)とC =
K
sのフィードバックを考える。
K = 1，K = 0.08の概略図を描け。
開ループ極は s = 0と安定極が 2つあるので簡略化されたナイキスト手法を用いると，K = 1の時は図 7.11左図，K = 0.08にすると右図のようになる。
K = 1のとき PC =1
s(s + 0.1)(s + 1)の特性多項式は
1 + s(s + 0.1)(s + 1) = s3 + 1.1s2 + 0.1s + 1 となるので，数値計算で求めると−1.48，0.19 ± j0.8となり不安定根となる。
52
図 7.10: 簡易化した安定判別例
7.5 ゲイン余裕と位相余裕ナイキスト線図では，安定限界からどの程度離れているかを判定できる。図 7.12は，ベクトル軌跡が実軸上の−1を左に見て通過する安定なシステムである。この安定なG(jω)H(jω)の位相角が−180degとなるとき「位相交点（交差）周波数 (ωϕ)」とよぶ。その逆数は
1
G(jωϕ)H(jωϕ)(7.10)
となり，デシベルで表すと
gm = −20 log |G(jωϕ)H(jωϕ)| (7.11)
となる。gmをゲイン余裕とよぶ。また，G(jω)H(jω)のゲインが 1となるωはゲイン交点（交差）周波数
(ωc)と呼ばれる。原点と ωcの角度は位相余裕とよばれ，
ϕm = 180 + G(jωc)H(jωc) (7.12)
となる。
53
Re
Im
=
Re
Im
=
-1+j0 -1+j0
=
=
図 7.11: 例題
Re
Im
1/
図 7.12: ゲイン余裕と位相余裕
位相余裕とゲイン余裕をナイキストの手法から図的に読むことができる。この関係を，次章以降のボード線図で詳しく説明する。
54
第8回 ボード線図の基礎
1900 年代に入ると蒸気から電気式での制御に変わり，電気制御に対応する制御理論が提案されてくる。1930 年にボードの提案した負帰還増幅器の設計法がその代表である。ボード線図は制御系の設計をする際に用いる設計・分析法の一つであり，現場の SISO系では未だに用いられる手法であり設計法の基礎となっている。本章ではボード線図の書き方を示す前に，分析に使用する対数グラフの描画法とその特徴を示す。
8.1 対数グラフの基礎100から 101まで 100.1刻みの指数を考える前に，まず対数の復習をしよう。
8 = 23
は，「2の 3乗が 8」という意味である。次に，
3 = log2 8
は「2を 8にする指数は 3」という意味である。これから作成するグラフは，「指数が比例した」グラフである。n = log10 x
の指数を見ると 0から 1まで 0.1きざみの表になっており, つまり指数 n
が比例した表になる。比例した指数が，どのような値になるか計算してみよう。まず，指数が
0と 1の場合は簡単に計算できる。
x = 10p
より 0のとき 100 = 1，101 = 10となる。では，具体的に整数となる指数 pはどうなるであろう。例えば 2 = 10p
を考える。表を見ると 1.99 ≈ 100.3が近いので，指数で 0.3あたりと見当がつく。実際に p = log10 2(10を 2にする指数 p)を求めればよい。
55
具体的に整数となる pは p = log10 xより次のように求まる。
1 = 10p p = log10 1 = 0
2 = 10p p = log10 2 ≈ 0.301
3 = 10p p = log10 3 ≈ 0.477
4 = 10p p = log10 4 = log10(2 × 2) = log10 2 + log10 2 ≈ 0.602
5 = 10p p = log10 5 = log10
10
2= log10 10 − log10 2 ≈ 1 − 0.301 = 0.699
6 = 10p p = log10 6 = log10(2 × 3) = log10 2 + log10 3 ≈ 0.778
7 = 10p p = log10 7 ≈ 0.845
8 = 10p p = log10 8 = log10(2 × 2 × 2) = 3 × log10 2 ≈ 0.903
9 = 10p p = log10 9 = log10(3 × 3) = log10 3 + log10 3 ≈ 0.954
10 = 10p p = log10 10 = 1
0
100
(1)
0.1
100.1
(1.25)
0.2
100.2
(1.58)
0.3
100.3
(1.99)
0.4
100.4
(2.51)
0.5
100.5
(3.16)
0.6
100.6
(3.98)
0.6
100.7
(5.01)
0.8
100.8
(6.31)
0.9
100.9
(7.94)
1
101
(10)
p=log10x
X=10p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
図 8.1: 対数グラフ
以上のように，log10 2，log10 3，log10 7の値がわかれば，対数グラフを簡単に描画できることに注意する。図 8.1の横軸X = 100，X = 101，X = 102，· · ·[Hz]が，p = log10 1 = 0
から p = log10 10 = 1，p = log10(10 × 10) = log10 10 + log10 10 = 2で線形に配置される。その結果，方眼紙と異なり周波数のような「数Hzから数GHz」のようなプロットが可能になる。
56
8.2 ボード線図の特徴図 8.1に示すように，ボード線図は横軸に対数 [Hz]あるいは [rad/s]など周波数の軸をとる。縦軸はゲイン |G(jω)|[dB]と位相 G(jω)[deg]で，線形の軸となる。従って，「片対数グラフ」を使う。例えば，伝達関数の積，
G(jω) = G1(jω)G2(jω) (8.1)
のゲインと位相はそれぞれ以下のようになる。
|G(jω)| = |G1(jω)||G2(jω)| G(jω) = G1(jω) + G2(jω) (8.2)
しかし，２つの積を合成し各周波数の特性を計算するには「和算」がやりやすい。性質を説明する前に，加算，減算に関する対数の法則を説明する。
loga MN = loga M + loga N
loga
M
N= loga M − loga N
loga Mp = p loga M
loga M =logb M
logb a(8.3)
[性質 1]ボード線図は対数で記述する
伝達関数は各々の積になることから，G1(jω)G2(jω)のかけ算形になるがそのままでは演算が難しい。そこで，対数 [dB]（デシベル）で表現するとそれぞれの和となり，[dB]表現したそれぞれの数値を加算することで簡単に「合成」できる。これは，1番目の対数法則より明らかである。ゲイン線図 [dB]
20 log10 |G(jω)| = 20 log10 |G1(jω)G2(jω)| (8.4)
= 20 log10 |G1(jω)| + 20 log10 |G2(jω)|(8.5)
位相線図 [deg]
G(jω) = G1(jω) + G2(jω) (8.6)
なお，角度は [deg]のまま加算すればよい。
57
[性質 2]G(s)，1
G(s)の関係は ω軸対称になる
微分と積分のように，G(s)，1
G(s)の関係はどのようになるだろうか？
いま，1
G1(jω)の値が次式で表されるとする。
G(jω) =1
G1(jω)(8.7)
ゲイン線図
20 log10 |G(jω)| = −20 log10 |G1(jω)|(8.8)
位相線図
G(jω) = − G1(jω) (8.9)
1
G1(jω)のボード線図はG1(jω)の ω軸対称となる。これは，２番目の
対数法則より明らかである。
8.3 デシベルとはボード線図で使用するデシベルという単位を説明する。信号を信号の振幅比あるいは電力比で表す。
20 log10 |G(jω)| = 10 log10 |G(jω)|2 (8.10)
信号の振幅で 1V → 100V で 40dB(デシベル)上昇する。
|G(jω)| dB表示0.1 -201√2 -3
1 0√2 3
10 20
100 40
58
前述の [性質 1]では対数が都合がよいということを説明した。たとえば海底ケーブルが２個で信号を増幅しているとする。
|G(jω)| = |G1(jω)||G2(jω)| (8.11)
これが，普通の演算である。一方，一個ずつ利得を加算する方法が下記である。
20 log10 |G(jω)| = 20 log10 |G1(jω)| + 20 log10 |G2(jω)|(8.12)
もしどこかの海底アンプを置き換える場合は，（掛け算を再計算せずに），追加した機器のゲイン |Gi(jω)|だけ加算するか，入れ替えた場合は装置の差分 |∆Gi(jω)|だけ加算すればよいので便利である。
参考：音量のデシベルのついて：基準となる音圧は通常の人の耳に聞こえる最小音 (2 × 10−5[N/m2])と比較してどの程度大きいという表現になる。身近な例を示す。
120 dB 飛行機のエンジンの近く110 dB 自動車の警笛（前方 2m）・リベット打ち100 dB 電車が通るときのガードの下90 dB 騒々しい工場の中・カラオケ（店内客席中央）80 dB 地下鉄の車内・電車の車内70 dB ステレオ（正面 1m、夜間）・騒々しい事務所の中・騒々しい街頭60 dB 静かな乗用車・普通の会話50 dB 静かな事務所・クーラー（屋外機、始動時）40 dB 市内の深夜・図書館・静かな住宅の昼30 dB 郊外の深夜・ささやき声20 dB 木の葉のふれあう音・置時計の秒針の音（前方 1m）
大学の授業は 50dB強と思われる。しかし例えば，騒音が 57[dB]と 60[dB]
で 3[dB]しか違わないが信号レベルで 1.4倍違う。
59
第9回 ボード線図
ゲイン対周波数の関係と，位相対周波数の関係をそれぞれ直交座標に表し，一組の線図にした物がボード (Bode）線図である。ボード線図は制御系の設計をする際に最も用いる分析法の一つで,今でも最もメジャーなSISO系の設計法である。ベクトル線図と異なり，ボード線図では「対周波数」の関係を明示的に記述する。前章では，ボード線図の分析に使用する対数グラフの描画法とその特徴を示した。本章では，代用的な要素のボード線図を描き，ゲインと位相の推移を理解する。また，具体的なボード線図の合成手法と安定性の分析手法を示す。
9.1 比例要素比例要素は一定ゲインのみを有する。
20 lo
g 10|
G(
jω )
|
ω [rad/sec]0
[dB]
20 log10| K |
−90
−45
0
φ
ω [rad/sec]
[°]
図 9.1: 比例要素
60
ゲインは周波数によらず一定量であり，例えばK = 2倍だと |G(jω)| =
20 log10 2 = 20 × 0.301 = 6[dB]の値になる。
G(jω) = K
|G(jω)| = 20 log10 K
G(jω) = 0deg (9.1)
9.2 積分
積分はG(jω) =1
jωTであるので，周波数特性を持つ。まず，ゲイン特性
は右下がりの特性を持つが，|G(jω)| = −20 log10 ωT となるので 1[dec](デカート：10倍）で−20[dB]である。また，log10 ωT = 0つまり ω = 1/T の周波数で 0[dB]となる。位相
G(jω) = −90[deg]より，位相は 90[deg]遅れる。
G(jω) =1
jωT
|G(jω)| = 20 log10
1
ωT= −20 log10 ωT
G(jω) = −90deg (9.2)
9.3 微分ゲインは ω = 1/T の周波数で 0[dB]の，20[dB/dec]の直線になる。位相は G(jω) = 90[deg]となる。前章で，「[性質 2]G(s)， 1
G(s)の関係は ω軸対称になる」，という特徴を
示したが，ゲイン・位相とも積分特性の ω軸対称（微分：ゲイン右上がり，位相 90[deg]）となる。図は省略する。
G(jω) = jωT
|G(jω)| = 20 log10 ωT
G(jω) = 90deg (9.3)
61
−20 [dB/decade] の傾き20 lo
g 10|
G(
jω )
|
ω [rad/sec]0
[dB]
1
−90
−45
0
φ
ω [rad/sec]
[°]
図 9.2: 積分
9.4 一次遅れ一次遅れは，どのような特性であろうか。一次遅れの伝達関数は次のようになる。
G(jω) =1
1 + jωT
|G(jω)| = 20 log10
1√1 + (ωT )2
= −20 log10
√1 + (ωT )2[dB]
G(jω) = − tan−1 ωT [deg] (9.4)
ゲイン，位相特性は，ωT << 1つまり低周波の領域，ωT = 1の点（折れ線周波数），ωT >> 1つまり高周波の領域で計算する。
ωT << 1 |G(jω)| = − 20 log10
√1 + (ωT )2 ≈ 0[dB]
ωT = 1 |G(jω)| = − 20 log10
√1 + (ωT )2 = −20 log10
√2 = −10 log10 2 = −3[dB]
ωT >> 1 |G(jω)| = − 20 log10
√1 + (ωT )2 ≈ −20 log10
√(ωT )2 = −20 log10 ωT [dB]
ωT << 1 G(jω) ≈ 0[deg]
ωT = 1 G(jω) = −45[deg]
ωT >> 1 G(jω) ≈ −90[deg]
62
−20 [dB/decade] の傾き
20 lo
g 10|
G(
jω )
|ω [rad/sec]
1/T
0
[dB]
−90
−45
0
φ
ω [rad/sec]
1/T1/(5T) 5/T [°]
図 9.3: 一次遅れ
である。ここで，ω =1
T(あるいはωT = 1)を折点周波数とよぶ。ゲイン
は ω =1
Tで 0[dB]近傍，ω =
10
Tで−20[dB]近傍を通る。これは，低周
波でゲイン 0を，高周波で積分のような特性を滑らかにつないだ特性である。さて，一次遅れの特性はどのような記述ができるであろうか。ゲイン
は ω =1
Tで 0[dB]，ω =
10
Tで−20[dB]を通る直線で近似できる。位相は
様々な近似があるが G(jω) = − tan−1 ωT の近似曲線を使う。まず横軸を x = log10 ωT とおく。ωT = 10x とおくと，縦軸は ϕ =
− tan−1 ωT = − tan−1 10x)である。この傾きは ϕを微分すると
dϕ
dt= − 10x ln 10
1 + (10x)2
なので，x = 0(つまり ω =1
T)のとき
dϕ
dt= − 10x ln 10
1 + (10x)2= − ln 10
2
そこで，線形近似式は x = 0のとき−45deg(0 ∼ −90の動きをするた
63
め)を通る近似を行うと，
ϕ = − ln 10
2x − π
4
より
ϕ = 0 x = (log10 ωT =)−π
4ln 10
2
=−0.78
1.15= −0.68
ϕ = −π
2x = (log10 ωT =)
π
4ln 10
2
=0.78
1.15= 0.68
よって ωT = 10−0.68 = 0.21 → ω ≈ 0.2
T=
1
5T
ωT = 100.68 = 4.8 → ω ≈ 5
T
よって，図のように1
5T∼ 5
Tの折れ線で近似できることがわかった。
9.5 一次進みゲイン，位相とも一次遅れ特性の ω軸対称になる。図は省略する。
G(jω) = 1 + jωT
|G(jω)| = 20 log√
1 + (ωT )2[dB]
G(jω) = tan−1 ωT [deg] (9.5)
9.6 二次遅れ二次遅れのゲイン，位相は次にようになる。
G(jω) =ω2
n
(ｊω)2 + 2jωnωζ + ω2n
=ω2
n
(ω2n − ω2) + 2jωnωζ
|G(jω)| =ω2
n√(ω2
n − ω2)2 + 4ω2nω2ζ2
=1√
(1 − (ω
ωn
)2)2 + 4ζ2(ω
ωn
)2
[dB]
G(jω) = − tan−1 2ωnωζ
(ω2n − ω2)
= − tan−12ζ(
ω
ωn
)
1 − (ω
ωn
)2[deg] (9.6)
64
ω
ωn
<< 1のとき，|G(jω)| ≈ 1よって，20 log10 |G(jω)| = 0[dB]
ω
ωn
>> 1のとき，|G(jω)| ≈ 1
(ω
ωn
)2よって，20 log10 |G(jω)| = −40 log10
ω
ωn
[dB]
ω
ωn
= 1のとき，20 log10 |G(jω)| = 20 log10
1
2ζ[dB]
位相は
ϕ = − tan−12ζ( ω
ωn)
1 − ( ωωn
)2
なので，ω
ωn
<< 1のとき，ϕ = 0(...分子 = 0)
ω
ωn
= 1のとき，ϕ = −90(...分母 = 0)
ω
ωn
>> 1のとき，ϕ = −180
なお，ゲイン特性は|G(jω)|
dω= 0を解けばわかる。またゲイン特性はピー
クを持つがここでは証明は省略する。
ゲイン線図の形状は一次遅れに似ているが −40 [dB/dec]であること，また ζが変わるとゲインにピークがあることが特徴である。また，ζにより位相は変化するが，0 ∼ 180で変化することが特徴である。これは，次数と位相の関係は，定常状態で１次のシステムが90[deg]，２次で−180[deg]，· · ·という関係になる。
の直線に漸近
が小さいほどゲインは大きい。
10−2 10−1 100 101 102
−80
−40
0Ω = ω / ωn
gain
[db] ζ = 1.5
ζ = 0.2
ζ = 0.707
折点
−40 [ db/decade ] の傾き
10−2 10−1 100 101 102
−180
−90
0Ω = ω / ωn
phas
e [ ゜
]
ζ = 1.5ζ = 0.2
ζ = 0.707
折点周波数
図 9.4: 二次遅れ
65
9.7 むだ時間むだ時間は次式のようになり，ゲインが |G(jω)| = 0[dB]となり，位相のみ遅れる。位相の遅れは純粋むだ時間など時間の遅れを意味する。
G(jω) = e−jωL
|G(jω)| = 20 log 1 = 0[dB]
G(jω) = −ωL[deg] (9.7)
20 lo
g 10|
G(
jω )
|
ω [rad/sec]0
[dB]
−400
−200
0
φ
ω [rad/sec]
[°]
図５：むだ時間系のボード線図
図 9.5: むだ時間
9.8 結合系の伝達関数結合系の伝達関数をG(jω)とおき，複数の伝達関数の積で構成されるとする。
G(jω) = G1(jω)G2(jω)G3(jω) · · · |G(jω)| = 20 log |G1(jω)||G2(jω)||G3(jω)| ·
= 20 log |G1(jω)| + 20 log |G2(jω)| + · · · [dB]
G(jω) = G1(jω) + G2(jω) + G3(jω) · · ·
となる。ある伝達関数が与えられたとき，一次遅れなど前述の代表的な特性を加算し，ゲインと位相線図を得ることができる。次に例題を示す。
66
例題１
G(jω) =1
jω(1 + 0.125jω)
のボード線図を書け。
まず，簡単な積分と一次遅れ系の合成を行う。1
jωのゲインは，1[rad/s]を通る右下がりの図である。
1
0.125jω + 1の
ゲインは，折れ線 1/0.125 = 8[rad/s]の一次遅れ系となる。1
jωの位相は−90である。
1
0.125jω + 1の位相は，1/5T = 1/(5×0.125) =
1.6で 0度，5/T = 5/0.125 = 40で−90[deg]となる。以上を合成すると図 9.6のようになる。
20
20
0
|G(j )|
18
-180
0G(j )
G2G1
G2G1
0.1
-90
10010
1 1.60.1 10 10040
図 9.6: ボード線図の合成 (1)
67
例題 2
G(jω) =6(1 + 2jω)
(1 + 5jω)(1 + 0.4jω)
のボード線図を書け。
この伝達関数は次の直列結合として表される。
G1(s) =1
1 + 5s,G2(s) =
1
1 + 0.4s,G3(s) = 1 + 2s,G4(s) = 6
ゲイン線図を計算すると，G1(jω)の折れ線は 1/5 = 0.2で−20[dB/dec]，G2(jω)の折れ線は 1/0.4 = 2.5で−20[dB/dec], G3(jω)の折れ線は 1/2 =
0.5で 20[dB/dec]，G4(jω)は直線である。位相線図を計算すると，G1(jω)
の近似は 1/5T = 1/(5× 5) = 0.04で 0[deg]，5/T = 5/5 = 1で−90[deg]，G2(jω)の近似は 1/5T = 1/(5× 0.4) = 0.5で 0[deg]，5/T = 5/0.4 = 12.5
で-90[deg]，G3(jω)の近似は 1/5T = 1/(5 × 2) = 0.1で 0[deg]，5/T =
5/2 = 2.5で 90[deg] ，G4(jω)は定数で 0[deg]である。
20
-20
0
|G(j )|
0.20.5 2.5
90
-90
0
G(j )
0.2 0.5 2.50.04 0.1 1.0 12.5
G3
G2G1
G4
G2
G1
G3
G4
図 9.7: ボード線図の合成 (2)
68
それぞれの要素のゲイン・位相を折れ線で近似し，最後に加算する。計算のポイントは，定常状態での位相をチェックして図が正しいか検算できる。この例題では，定常状態で分子１次で 90deg，分母２次で −180deg
より定常状態で位相は −90degとなる。また，ゲインは定常で次数の差−20[dB/dec]となる。
9.9 ボード線図上の安定判別ボード線図はベクトル軌跡と同じ周波数応答を示す図なので，ボード線図でも安定判別が容易にできる。いま，図 9.8のブロック図を示す。図において，例えばH(s) = 1ならば開ループ（一巡伝達関数）は 1 + G(s) = 0となる。またそのときの安定性は図 9.9のようになる。
G(s)
H(s)
r y+
-
図 9.8: ブロック線図
Re
Im
図 9.9: ベクトル線図での安定性
なお，
[1]位相交点：位相角が−180[deg]となる交点
[2]ゲイン交点：ゲインが１となる交点
である。再度確認しておくが位相交点，ゲイン交点の図は図 9.10のようになる。これを，ボード線図で書くと，ボード線図上で
69
Re
Im
1/
図 9.10: ベクトル線図
[1]ゲイン余裕：位相が−180[deg]の時，ゲインが 1になるまでのゲイン
[2]位相余裕：ゲイン１の時，位相が−180[deg]となるまでの位相の余裕
が計測できる。図 9.11に安定の例，不安定の例を示す。図の場合，位相が−180[deg]の
<0
<0
0dB
-180
>0
>0
0dB
-180
図 9.11: ボード線図での安定性
時ゲインが 1未満（0[dB]未満：矢印上向き）でゲイン 1（0[dB]）の時位相が−180[deg]未満（遅れていない：矢印上向き）の場合安定である。逆に位相が−180[deg]の時ゲインが 1以上 (矢印下向き)，ゲイン 1（0[dB]）の時位相が−180[deg]以上（矢印下向き）の場合不安定である。
70
G(s)の安定性は，位相とゲインで記述でき，
[1]−180[deg]の時ゲインが 1
[2]ゲイン１（0[dB]）の時位相が−180[deg]未満
であれば，系は安定と言えた。簡単に解説すると，「−180[deg]の時ゲインが 1以上」であると，フィードバックで信号が増幅されどんどん信号が大きくなる。あるいは，「ゲイン 1（0[dB]）の時に位相が−180[deg]以上」ずれると，ループを一巡した際に，その偏差 r− yは明らかに 360度で増幅され，制御系は発散することがわかる。これらの安定度として，先に示したゲイン余裕，位相余裕で数値化できる。一般に対象とする系は，「データがとれる」のを仮定してるので「系は安定である」と考えてよい。さらに，制御により振動を小さくしたり応答を早くしたりするのが実用的な設計であろう。ここで扱う制御系は開ループ（あるいは一巡伝達関数フィードバックループを切ったもの）であるが，信号が増幅されているかあるいは遅れているかを分析し，フィードバック系をつなぐと安全に制御できることが「事前に」わかるのがこの手法の特徴である。
71
第10回 制御系設計手法の基礎
この章から，具体的な制御系の設計を行う。制御系の設計において，「振動がないようにゲインを調整したい」，「偏差なく追従したい」といった具体的な要望がある。コントローラの設計においてまず明らかにすべきことは，「どのような構造のコントローラで達成できるか」という点をまず明らかにして，その後具体的な調整法について議論すればよい。本章では，特に制御系設計の基礎として，定常状態の性能として制御系の型を学び，定常偏差が最後にどれくらい残るかを計算する。次に，コントローラの極の配置について示し，フィードバックゲインを大きくすると極がどの様に変化するかを調べる根軌跡法を示す。なお，エバンスによる根軌跡法は 1952 年に確立されている。
10.1 制御系の仕様制御系の制御目的は，
[1]目標値に追従する
[2]外乱が入ったときには，その影響を打ち消し制御量を目標値に一致させる
ことである。さらに具体的な仕様としては，
[1]定常偏差をなくす
[2]即応性を改善する
[3]安定度を改善する
といったことが設計の際に注意すべきものであり，例えば図 10.1は系の配置によりどのような仕様が与えられるかを図示したものである。図に示すように，極配置によりシステムは振動したり，振動しなかったりする。また，極の位置が原点に近いほど動きが遅くなり，原点から遠いほど応答が速くなる。図 10.2は系の評価指標例と，ほかにどの様な仕様があるかを応答波形の観点でまとめたもので，立ち上がり時間，オーバシュート（OS：最大
72
Im
Re
OS
図 10.1: 極の位置
Time
図 10.2: 系の設計指標
行き過ぎ量），整定時間，定常偏差などがある。ほかの包括的な数学的指標として，応答波形を意図的に評価したものとして誤差面積の量の積分量を評価する方法などもある。ここでは，例として２つの指標を示す。
[1]ISE(積分二乗誤差：integral of squared error)
I =∫ ∞
0e(t)2 dt
(10.1)
[2]ITSE(積分時間二乗誤差：integral of time multiplied by squared error)
I =∫ ∞
0te(t)2 dt
(10.2)
73
例えば，ISEでは誤差が小さいほどよい評価となり，振動が少ない波形となる。ITSEでは時間がさらに評価される。ほかにも積分絶対値誤差などもある。
10.2 定常偏差制御系の最も重要な基本的な評価量は定常偏差である。図 10.3のブロック図において，偏差E(s)を考える。
E(s) = R(s) − Y (s)
Y (s) = G1(s)G2(s)E(s) − G2(s)D(s)
(10.3)
ここで，G1(s)G2(s)は開ループ（一巡）伝達関数である。
E(s) = R(s) − (G1(s)G2(s)E(s)＋G2(s)D(s))
(1 + G1(s)G2(s))E(s) = R(s) − G2(s)D(s)
E(s) =1
1 + G1(s)G2(s)R(s) − G2(s)
1 + G1(s)G2(s)D(s)
(10.4)
G1(s)r y+
-G2(s)
d
+ +
図 10.3: ブロック図
一方，最終値の定理から定常偏差は次のようになる。
e(∞) = limt→∞
e(t) = lims→0
sE(s)
(10.5)
いま，D(s) = 0として，入力による偏差を考える。
74
10.2.1 ステップ入力の場合
位置目標値を r(t) = r0とする。このとき，ステップ入力はR(s) =r0
sであり，定常偏差は次式となる。
e(∞) = lims→0
1
1 + G1(s)G2(s)
r0
ss =
r0
1 + Kp
ただし，lims→0
G1(s)G2(s) = Kp
G1(s)G2(s) =K
sn(Ts + 1)に対する偏差を示す。G1(s)G2(s)で 1/sを含
まない場合は偏差が生じるが，1/sを含むと偏差は 0になる。なお，Kp =
∞で数値上 e(∞) = 0になるが系が不安定となり∞にできない。
G1(s)G2(s) =K
s0(Ts + 1)のとき Kp = lim
s→0
K
Ts + 1= K, e(∞) =
r0
1 + K
G1(s)G2(s) =K
s1(Ts + 1)のとき Kp = lim
s→0
K
s(Ts + 1)= ∞, e(∞) = 0
G1(s)G2(s) =K
s2(Ts + 1)のとき Kp = lim
s→0
K
s2(Ts + 1)= ∞, e(∞) = 0
10.2.2 ランプ入力の場合
速度目標値を r(t) = v0tとする。このとき，ランプ入力はR(s) =v0
s2と
なる。速度偏差は次のようになる。
e(∞) = lims→0
1
1 + G1(s)G2(s)
v0
s2s = lim
s→0
v0
s + sG1(s)G2(s)=
v0
Kv
ただし，lims→0
sG1(s)G2(s) = Kv
G1(s)G2(s) =K
sn(Ts + 1)に対する偏差を示す。G1(s)G2(s)で 1/s2を
含まない場合は偏差が生じるが，1/s2を含むと偏差は 0になる。
G1(s)G2(s) =K
s0(Ts + 1)のとき Kv = lim
s→0s
K
Ts + 1= 0, e(∞) =
v0
Kv
= ∞
G1(s)G2(s) =K
s1(Ts + 1)のとき Kv = lim
s→0s
K
s(Ts + 1)= K, e(∞) =
v0
Kv
=v0
K
G1(s)G2(s) =K
s2(Ts + 1)のとき Kv = lim
s→0s
K
s2(Ts + 1)= ∞, e(∞) = 0
75
10.2.3 加速度入力の場合
加速度目標値を r(t) = 12a0t
2とする。このとき，加速度入力はR(s) = a0
s3
となる。
e(∞) = lims→0
1
1 + G1(s)G2(s)
a0
s23s = lim
s→0
a0
s2 + s2G1(s)G2(s)=
a0
Ka
ただし，lims→0 s2G1(s)G2(s) = Ka
G1(s)G2(s) =K
sn(Ts + 1)に対する偏差を示す。G1(s)G2(s)で 1/s3を含
まない場合は偏差が生じるが，1/s3を含むと偏差は 0になる。
G1(s)G2(s) =K
s0(Ts + 1)のとき Ka = lim
s→0s2 K
Ts + 1= 0, e(∞) = ∞
G1(s)G2(s) =K
s1(Ts + 1)のとき Ka = lim
s→0s2
K
s(Ts + 1)= 0, e(∞) = ∞
G1(s)G2(s) =K
s2(Ts + 1)のとき Ka = lim
s→0s
2 K
s2(Ts + 1)= K, e(∞) =
a0
Ka
=a0
K
10.2.4 偏差のタイプ
次の表は入力する信号と定常偏差の関係を示しており，例えば単位ステップ入力では位置偏差・速度偏差・加速度偏差があるかが重要である。これを「型（タイプ）」と呼ぶ。偏差のタイプをまとめる前に，それぞれの入力を与えたときに偏差が発生するか，偏差は 0になるかをまとめる。
入力タイプ L変換 定常偏差
単位ステップ 1
s位置偏差
単位ランプ 1
s2速度偏差
単位加速度 1
s3加速度偏差
G1(s)G2(s)(コントローラと制御対象）の設計においては「型」により偏
差が残るかどうかが決まる。前節では，例としてG1(s)G2(s) =K
sn(Ts + 1)に対する偏差を示したが，その特徴をまとめる。
76
図 10.4: 位置信号（ステップ）
図 10.5: 速度信号 （ランプ） 図 10.6: 加速度信号
開ループG1(s)G2(s)の伝達関数を次式で与える。
G1(s)G2(s) =K(1 + b1s + b2s
2 · · ·)sn(1 + a1s + a2s2 + · · ·)
(10.6)
開ループ系の伝達関数で，積分器1
sの nを型という。例えばプラント
G2(s)に積分器がないとき，１型 (n = 1)でコントローラに積分器1
s1が
あれば位置偏差は発生せず速度偏差が生じる。２型 (n = 2)（1
s2）で速度
偏差は 0となり，加速度偏差が生じる。逆に，コントローラに積分器がない０型（n = 0）だったら，どんなゲインにしようと（∞は設定できないとしている）位置偏差は必ず発生する。
型 位置偏差 速度偏差 加速度偏差 r = r0 r = v0t r = 1
2a0t
2
0型 (n=0)r0
1 + K∞ ∞
1型 (n=1) 0v0
K∞
2型 (n=2) 0 0a0
K
積分器の数はコントローラ，プラントどちらでもよいが，制御対象に内包する場合，モデル化の際に近似された特性である（実際は積分でない）こともあり，実装においては明示的にコントローラに積分器を持たせる場合が多い。この例では，積分器を内包するので偏差を減らすことができ，「積分器を増やすと確実に偏差が 0となり安全？」と考えられるが，単純に積分器をいれると１個あたり定常で−90[deg]位相が遅れるので不安定になりやすい。そのため，位置を制御したい場合は位置偏差で「最小の型」n = 1(位置偏差 0)にする。また，速度を制御したい場合は最小の型 n = 2であれば速度偏差 0となる。
77
例題１
下図においてG1 = Kp，G2 =1
s − 2のフィードバック系を考える。フィー
ドバック系を内部安定とするKpを求めよ。さらに，目標値がステップ信号のとき定常偏差が 5% となるKpの範囲を求めよ。
ブロック線図を再掲する。
G1(s)r y+
-G2(s)
d
+ +
図 10.7: ブロック図
４つの要素Gyr，Gyd，Gur，Gudが安定であることを，内部安定と呼ぶ。
Y = GyrR + GydD =G2G1
1 + G2G1
R +G2
1 + G2G1
D (10.7)
U = GurR + GudD =G1
1 + G2G1
R +G2G1
1 + G2G1
D (10.8)
極は 1 + G2G1 = 1 + Kp1
s − 2= 0より，s− 2 + Kp = 0であるので極は
s = 2 − Kpとなる。よって，Kp > 2となる。目標値と偏差の関係は次式となる（偏差=0）。
E =1
1 + G2G1
R =1
1 + Kp1
s − 2
R =s − 2
s − 2 + Kp
R (10.9)
目標値を rのステップ応答とすると，r
sであるので，最終値の定理より
e(∞) = lims→0
s − 2
s − 2 + Kp
r0
ss =
(−2)r
−2 + Kp
(10.10)
偏差が目標値の 5%なので
| −2r
Kp − 2| ＜ 0.05|r| (10.11)
Kp − 2 > 0に注意して計算するとKp > 42となる。
78
10.3 根軌跡法制御系の過渡特性は代表特性根によって近似的に知ることができ，制御系の安定性は吟味できることが知られている。特に，コントローラ構造とプラントが既知の場合に制御系の特性多項式の解（極）はあるパターンで推移する。制御系のパラメータを決定する方法として根軌跡法（root-locus tech-
nique）について紹介する。根軌跡法は,制御系のひとつのパラメータを変化させたときに制御系の特性根が複素平面上に描く「根軌跡」を,極および零点から求める方法である。まず，図 10.8に示す系の特性根がKを0から∞で変化させたときに描く軌跡を考えてみよう。この，特性多項
r y+
- )1( +ss
K
図 10.8: ブロック図
式は
1 +K
s(s + 1)= 0
より
s2 + s + K = 0
となるので，解は
s = −1
2±
√1
4− K
となる。Kが 0 ∼ ∞まで変化するとき，特性根は次のように変化する。
K = 0 ２実根 s = 0，−1
0 < K <1
4２実根 s = −1
2±
√1
4− K
K =1
4等根 s = −1
2
K >1
4共役複素根 s = −1
2± j
√K − 1
4
79
根軌跡式はこのような，根の配置がどの様に変わるかを図示した図で
ある。1
s(s + 1)をコントローラKで制御する場合にゲインが大きくなっ
たときの特性がどのようになるか，根軌跡を図 10.9に示す。
0
Im
Re
K=0
(-1)
K=0.25
(0.5)
K=1
K=1
K=0
図 10.9: 根軌跡（例題）
K = 0で特性根は−1にある。K = 0 ∼ 1
4のとき，実軸上に 2つある。
Kの増加に従い−1
2に近づきK =
1
4となる。KがK =
1
4を超えると複
素根になる。実部は1
4で一定だが，Kが大きくなると虚部が大きくなる。
今，Kがコントローラ，s(s + 1)がプラントとするとき，「ゲインKを大きくすると系は不安定になるか」，「ゲインKを大きくすると振動するか」ということがわかる。図の例の場合，等根となる範囲が臨界制動の範囲である。以上からまとめると
[1]安定性：どんなにKが大きくなろうと安定である。
[2]K <1
4のとき過渡応答が振動せずに減衰する。K >
1
4のとき振動す
るので，1
4が臨界となる。
80
さらに，詳細は省くが
1.根軌跡は実軸に関して対称
2.根軌跡の始点は開ループ伝達関数の極
3.根軌跡の数は開ループ伝達関数の極の数に等しい
4.根軌跡の終点は開ループ伝達関数の零点および無限遠点
ということが分かっているので，軌跡をこまかく分析することができる。極および零点が追加されたときに，Kが大きくなったときの特性が種々かわるため根軌跡法で大まかな動きを把握していればよい。具体的な根軌跡の例題を示す。
例題２極を追加した場合，次の根軌跡を示せ
1.1
s(s + a)(s + b)
2.1
s(s + a)(s + b)(s + c)
1
s(s + a)(s + b)では根軌跡が実軸を横切る点は右に移動するので，Kが
大きくなるとこの系は不安定になる。また，1
s(s + a)(s + b)(s + c)では左
と右に分岐する。これらの軌跡は，電気力線とのアナロジーが成り立つ。
Im
Re-b -a
0
図 10.10: 根軌跡１
Re
Im
Re
-c-a
0
-b
図 10.11: 根軌跡２
81
例題３
数値例の1
s(s + 1)に，新たに零点を追加した場合の根軌跡はどうなるか。
零点を加えると一巡伝達関数は，K(s + b)
s(s + a)となる。零点がない例題で
は，2つの根軌跡とも−∞に向かうが，零点が付加されると 2個の極のうち，1つは有限値−bに向かう。
0
Im
Re
-b -a
図 10.12: 根軌跡３
なお，制御系設計で−∞の極は非常に不安定なため（−∞は Im項も大きくなるため）零点を付加して有限値にする方法も有効である，
現在では特性多項式の解を計算機で求めることができるので，原理を理解すればよい。
82
第11回 フィードバック制御系の設計
前章では，偏差の有無・ゲイン調整において不安定になるかなど，制御系の調整の基礎を示した。本章では，さらに具体的に制御系を調整する。フィードバック制御系を図 11.1に示す。プラントG2(s)が与えられたとき，コントローラG1(s)がどの様な構造かを設定し，どの様に調整するかをいくつかの例で紹介する。
G1(s)r y+
-G2(s)
d
+ +
図 11.1: ブロック図
制御工学で説明した設計方程式を振り返ってみよう。設計方程式は次の様に書ける。
[Objective] = [Controller] × [Plant] (11.1)
この意味は，[Plant]が正確に表現でき（誤差がない），[Controller]が 設計されれば，[Objective]でよりよい性能（制御目的が達成できる）がえられるという関係を示す。例えば以下に紹介する極配置法では，数学的に [Plant]が与えられ [Con-
troller]が理想的に求まるが，誤差がある場合，実際の性能は悪くなる。その意味で，本当に [Plant]が制御対象を示しているかを吟味する必要がある。他方，限界感度法などの調整法では [Plant]はチープ（交点の傾き程度の情報）だが，経験上の繰り返し調整で [Controller]を得ることができる。また本章では，[Controller]の構造として直列補償型補償器，一般的な
PIDを示す。まず，極配置法，限界感度法ゲイン調整例を示す。次に，今までの理論の延長で議論できる「直列補償型（位相進み・遅れ）」で設計できる事例を紹介する。
83
11.1 PIDコントローラまず，代表的なコントローラとして「PIDコントローラ」を説明する。比例動作はＰ動作と呼ばれ，偏差 e(t)と比例した修正を行う。
up(t) =Kpe(t) (11.2)
次に，積分動作は I動作と呼ばれ，比例動作の残した定常偏差を取り除く。偏差を時間積分し修正するので
ui(t) =1
Ti
∫ t
0e(t)dt (11.3)
とかける。微分動作はD動作と呼ばれ，閉ループの即応性・安定性を改善する。微分は偏差の変化率 de(t)/dtを用いて「予見した動作」を行うので
ud(t) =Tdde(t)
dt(11.4)
となる。PIDの一般型は次式で与えられる。
u(t) =Kp(e(t) +1
Ti
∫ t
0e(t)dt + Td
de(t)
dt) (11.5)
U(s) =Kp(1 +1
Tis+ Tds)E(s)
図 11.2に一般的な PIDコントローラの構成を示す。
E(s) I
D
P U(s)
+
++
図 11.2: 一般的な PID
84
11.2 極配置法制御対象が既知の場合，閉ループ系の極を任意の応答特性となるように配置する方法を，極配置法とよぶ。今，制御対象を
G2(s) =K
Ts + 1(11.6)
とおき，
G1(s) = Kp(1 +1
sTi
) (11.7)
の PIコントローラを考える。なお，ここで PIコントローラとは偏差(e(t) = r(t) − y(t))の値に比例した量と偏差の積分量で制御する。閉ループ伝達関数
Gcl(s) =G1(s)G2(s)
1 + G1(s)G2(s)=
KpK
Ts +
KpK
TTi
s2 +1 + KpK
Ts +
KpK
TTi
(11.8)
これにより，Kp，Tiを任意に選び，このフィードバック系が安定となる極配置を考える。特性多項式は
s2 +1 + KpK
Ts +
KpK
TTi
= 0 (11.9)
他方，一般の 2次多項式は次式で表される。
s2 + 2ζωns + ω2n = 0 (11.10)
ここで，各係数を比較すると
ω2n =
KpK
TTi
2ζωn =1 + KpK
T
よって，Ti，Kpについて解くと
Kp =2ζωnT − 1
K
Ti =KpK
Tω2n
=2ζωnT − 1
ω2nT
となる。
85
極配置法は数学的な手法でゲインを求めることができるのが特徴である。例えば，ζ，ωnを仕様として与えると，理想のPIコント―ラのゲインKp，Tiが求まる。この場合，制御対象が式のように記述されパラメータが正確に T，Kで記述されれば，設計は終了である。しかし，「制御対象のモデル」と「コントローラの構造」の両方が正確にわかっていることは希であり，誤差のある中でコントローラの調整が不可欠である。
11.3 限界感度法制御対象が未知の際に，コントローラを調整する代表的な手法を示す。調整にあたり通常，コントローラの構造は「既知」としPIDコントローラを用いる。一方，制御対象は構造・パラメータも全くわからない。このコントローラのゲイン調整の手法は現場調整であり，簡単ではあるが非常に効果が高い。様々な手法があるがここでは，Ziegler and Nichols
の限界感度法を紹介する。Ziegler and Nicholsの限界感度法（ZN法）は原始的な手法であるが現在も使われる調整則である。制御対象が未知なため調整則も経験的なゲイン計算式により求められる。
ZN法の調整法：
[1]TI = ∞，TD = 0として積分・微分動作を停止しKpのみ動かす。
[2]振幅一定の持続振動が現れるまでKpを大きくする（限界感度）。
[3]このときの Tcを計る（限界周期）。
[4]Kpと Tcから PIDのパラメータを求める。
制御動作 Kp Ti Td
P制御 0.5Kc ∞ 0
PI制御 0.45KcTc
1.20
PID制御 0.6KcTc
2
Tc
8
この手法でゲインは求まるが，熱などのプラント系に適しているなど必ずしも最適なゲインではない。得られたPIDパラメータを基に試行錯誤しなければならない。なお，PID制御は古典的な手法であるが，現在の制御機器の出荷の 90%以上が PID制御である。
86
例題１図 11.3に示すように，限界感度 4.5のとき持続振動が周期 5[s]で得られた。持続振動データに基づきゲインを算出しなさい。
図 11.3では，限界感度Kc = 4.5のとき持続振動が T = 5[s]で得られた。表より PIDゲインはKp = 0.6Kc = 2.7 ，Ti = Tc/2 = 2.5，Td =
Tc/8 = 0.6となる。
y
time5 10
5
y
time5 100
図 11.3: 限界感度による調整
11.4 位相進み遅れ補償最後に，直列補償の代表的な手法を示す。PIDは代表的な手法であるが，ゲインの決定が試行錯誤になるという欠点がある。まず，代表的な直列補償法を紹介する。図 11.4は直列補償の例であり，例えば位相進み・遅れ補償器 (C1，C2)
を直列に配置し，開ループのコントローラを調整することでボード線図などを設計できる。
PIDの一般型は次式で与えられるが
U(s) = Kp(1 +1
Tis+ Tds)E(s) (11.11)
87
r(t) P y(t)+
-
C1 C2
図 11.4: 直列補償
コントローラ（比例，積分，微分）が並列に動作するため，ボード線図のような設計ができない。ここでは，設計が容易なようにプラントに対して「直列」動作するコントローラの設計を示す。
11.4.1 位相進み
位相進み制御器は次式で表される。
Gc(s) =1 + sT2
1 + sT1
(11.12)
T1 < T2
である。位相進みのボード線図を図 11.5に示す。位相進みは，1
T2
∼ 1
T1
Ga
in[d
B]
1/T21/T1
20dB / dec
Ph
ase
[de
g]
1/T21/T1
0
0
図 11.5: 位相進み
の周波数域で 20[dB/dec]で増加するハイパスフィルタになる。位相進み補償器を直列接続したフィードバック系の効果を考える（図
11.6）。ωg > ωp なので元々の特性は不安定である。位相進み補償器にGc(jω)が付加された特性を考える。ωpの位相を進めるように T1，T2を選べば位相交点 ω′
pが高周波に移動する。すると，併せてゲイン交点 ωp
が高くなり，ω′pとなる。この結果，Gc(jω)Gp(jω)の ω′
g < ω′pとなり系
88
は安定化し，かつ応答は高速になる（高い周波数まで追従するようになるから）。
Gain[dB]
0
[deg]
0
<0
<0
Gain[dB]
0
[deg]
0
’
-180 -180
>0
>0
図 11.6: 位相進み補償の例
11.4.2 位相遅れ
位相遅れ補償は安定性や即応性を変えることなく定常特性を改善する，あるいは不安定システムの安定化に用いられる。位相遅れ補償は低周波ゲインに影響をあたえず安定性に関係ない周波ゲインを低下させることができる。
1/T21/T1
-20dB / dec
Ph
ase
[de
g]
1/T21/T1
0
0
Ga
in[d
B]
図 11.7: 位相遅れ
89
位相遅れ補償は
Gc(s) =1 + sT2
1 + sT1
(11.13)
T2 < T1
で与えられる。1
T1
∼ 1
T2
の領域で，ゲインが 20[dB/dec]となるローパス
フィルタとなる。図 11.8に設計手順を示す。図 11.8左図は STEP1の位相遅れ補償器を導入したものである。点線が設計前，実線が設計後である。一般に，1/T2
は ωgより 1dec低い位置に挿入するとゲインは小さくなるが位相交点 ωp
は影響がない。次に右図に示すように，STEP2で一巡伝達関数ゲインが高くなるように調整する。図で細点線が設計前，STEP1で細実線となり，STEP2の最終調整後が実線である。このゲイン変化はゲイン調整で合わせるので位相に影響がなく，ωgと等しくなるように調節する。以上のように設計すれば ωg と ωpは変化せず，安定性と即応性は変化しない。低周波ゲインのみ高くなり，定常偏差のみを改善できる。
Gain[dB]
0
[deg]
0
Gain[dB]
0
-180
[deg]
0
-180
図 11.8: 位相遅れ補償の例
位相進み・遅れは直列コントローラで処理できるように工夫したものである。設計・調整そのものは複雑な割には便利ではなく，現代で用いられることは多くはない。構造が簡単なうえ，調整の利便性もあるPID制御が主流である。現在では，半導体の温度制御をはじめデジタルコントローラの 90％以上でPID
制御が用いられる。PID制御は 50年以上前の古典制御の領域であるが現在でも研究されている領域である。
90
第12回 制御工学第二の復習
制御工学第二では、「制御系の設計」を行った。半年の授業をまとめる。
12.1 制御工学第二の流れまず制御工学第二の流れをまとめる。
(１)極と零点：応答との関係（代表的な計算，極と応答がかけること）
⇓
(２)安定性の定義
⇓
(３)極が計算できない時の安定解析（ラウスの方法が計算できること）
⇓
(４)分析の基礎：ベクトル軌跡（周波数応答法，ベクトル軌跡で代表的な要素が計算できる）
⇓
(５)分析の基礎：ベクトル軌跡（ナイキスト線図が描けてゲイン余裕・位相余裕が説明できること）
⇓
(６)代表的な分析方法：ボード線図と片対数グラフの使い方 （Bode線図がかけること）
⇓
(７)制御系設計の基礎：安定性からゲイン設計，定常偏差へ（フィードバック系の定常偏差が計算できること）
⇓
(８)フィードバックの実例：極配置，PID制御，位相進み・遅れ制御（PID
と極配置法，ほかの方法の説明）
91
12.2 極の配置と過渡応答波形入出力の特性は多項式の分母・分子の 0になる点，即ち極・零点で表される。特性多項式の解が複素根の場合，そのひとつを si = −σi + jγiとすると，該当する項の過渡応答 yi(t)を求めることできる。
g(t) =1
ωe−σit sin(ωit) (12.1)
以上の極と応答波形の関係を図 12.1に示す。
図 12.1: 極と応答波形
ωi = 0 ωi = 0
σi > 0 単調増加 発散振動σi = 0 時間とともに変化しない 持続振動σi < 0 単調減衰 減衰振動
92
12.3 ラウスの安定判別法システムが安定かどうかを調べる方法としてラウスの安定判別法がある。安定判別法はラウス表を作成して，表の符号の変化により安定性の判定をする。特性多項式の次数が 4次の場合を考える。
s4 + 10s3 + 35s2 + 50s + 24 = 0 (12.2)
系が安定になるには，次の 2つの条件を満足しなければならない。
[1]全ての係数 a0, · · · , anが同符号である。
[2]ラウス表の第一列が全て同符号である。同符号でなければ符号の変化回数に等しい数の不安定根がある。
ラウス表を作ると次のようになる。
1 35 24
10 50 0
30 2430 24
42 0
24
計算はたとえば，b1，b3は次のように表される。
b1 =
−∣∣∣∣∣ 1 35
10 50
∣∣∣∣∣10
=−(50 − 350)
10= 30 (12.3)
b3 =
−∣∣∣∣∣ 1 24
10 0
∣∣∣∣∣10
=−(0 − 240)
10= 24 (12.4)
ラウス表より，第一列は 1，10，30，42，24と符号変化がないので系は安定である。また不安定の例は，ラウス表の第一列 (a0, a1, b1, c1, d1, e1. · · ·)の符号を調べ，符号変化があれば不安定であり，符号変化の回数に等しい不安定根がある。
93
12.4 周波数応答法位相角 0度，振幅Aiの正弦波を考える。
x(t) =Ai sin(ωt) (12.5)
上式をラプラス変換すると
X(s) =L[Ai sin(ωt)] =Aiω
s2 + ω2=
Aiω
(s + jω)(s − jω)(12.6)
いま，重根がなく，全ての極 (si)が負であるとする。定常状態 (t → ∞)では，定常正弦波入力の影響だけ振動が残り次式で書ける。
ys(t) = k+ejωt + k−e−jωt (12.7)
ここで，それぞれの係数は
K+ =
[G(s)
Aiω
s2 + jω2(s − jω)
]s=jω
= G(jω)Aiω
2jω= G(jω)
Ai
2j
K− =
[G(s)
Aiω
s2 + jω2(s + jω)
]s=−jω
= G(−jω)Aiω
−2jω= −G(−jω)
Ai
2j
いま，G(jω)とG(−jω)は
G(jω) = |G(jω)|ejθ
G(−jω) = |G(jω)|e−jθ
θ = G(jω) (12.8)
であり，ys(t)を計算すると
ys(t) = |G(jω)|e−jθ Aiω
−2jωe−jωt + |G(jω)|ejθ Aiω
2jωejωt
= |G(jω)|Ai sin(ωt + θ)
= Ao sin(ωt + θ) (12.9)
周波数応答法の原理として，導出のプロセスは重要である。
94
12.5 ナイキストの安定判別法とボード線図ナイキストの安定判別を用いると，閉ループ伝達関数G(s)において，
s = jωとおき，ω = 0 ∼ ∞で動かすとき，次のようにまとめられる。
[1]ベクトル軌跡が−1を「左」にみて通過する場合は安定
[2]ベクトル軌跡が−1を通過する場合は安定限界
[3]ベクトル軌跡が−1を「右」にみて通過する場合は不安定
図 12.2に簡易化した事例を示す。
図 12.2: 簡易化した安定判別例
95
さて，次にゲイン対周波数の関係と，位相対周波数の関係をそれぞれ直交座標に表し，一組の線図にした物がボード (Bode)線図である。
G(jω)のボード線図を書いてみる。
G(jω) =1
jω(1 + 0.125jω)
積分と一次遅れ系を合成すると，図 12.3のようになる。
[1]積分
・1
jωのゲインは，1[rad/s]を通る右下がりの図である。
・1
jωの位相は−90である。
[2]一次遅れ
・1
0.125jω + 1のゲインは，折れ線 1/0.125 = 8[rad/s]の一次遅れ系と
なる。
・1
0.125jω + 1の位相は，1/5T = 1/(5 × 0.125) = 1.6で 0度，5/T =
5/0.125 = 40で−90[deg]となる。
20
20
0
|G(j )|
18
-180
0G(j )
G2G1
G2G1
0.1
-90
10010
1 1.60.1 10 10040
図 12.3: ボード線図の合成)
ゲイン，位相線図にはゲイン余裕，位相余裕を記入できるようにする。また，ボード線図（直線近似）は試験に出すので必ず書けるようにしておく。
96
12.6 フィードバック系の設計例ステップ入力の場合を考える。位置目標値を r(t) = r0とする。このとき，ステップ入力はR(s) =
r0
sとなり，定常偏差は
e(∞) = lims→0
1
1 + G1(s)G2(s)
r0
ss =
r0
1 + Kp
ただし，lims→0
G1(s)G2(s) = Kp
G1(s)G2(s) =K
sn(Ts + 1)に対する偏差は，1/sを含まない場合は偏差
が生じるが，1/sを含むと偏差は０になる。
G1(s)G2(s) =K
s0(Ts + 1)のとき Kp = lim
s→0
K
Ts + 1= K, e(∞) =
r0
1 + Kp
G1(s)G2(s) =K
s1(Ts + 1)のとき Kp = lim
s→0
K
s(Ts + 1)= ∞, e(∞) = 0
G1(s)G2(s) =K
s2(Ts + 1)のとき Kp = lim
s→0
K
s2(Ts + 1)= ∞, e(∞) = 0
なお，フィードバックの偏差の例題を計算できること。また，図 12.4に示すフィードバック系の偏差の例題を示したが，偏差
G1(s)r y+
-G2(s)
d
+ +
図 12.4: ブロック図
の計算に使用する「目標値と偏差の関係式」
E =1
1 + G2G1
R
(12.10)
や「最終値の定理」
limt→∞
f(t) = lims→0 sF (s)
(12.11)
なども併せて復習しておくこと。
97
様々な制御系の例を出したが，最後にコントローラの設計例（極配置）を示す。今，制御対象を
G2(s) =K
Ts + 1(12.12)
とおき，
G1(s) = Kp(1 +1
sTi
) (12.13)
の PIコントローラを考える。閉ループ伝達関数
Gcl(s) =G1(s)G2(s)
1 + G1(s)G2(s)=
KpK
Ts +
KpK
TTi
s2 +1 + KpK
Ts +
KpK
TTi
(12.14)
これにより，Kp，Tiを任意に選び，このフィードバック系が安定となる極配置を考える。特性多項式は
s2 +1 + KpK
Ts +
KpK
TTi
= 0 (12.15)
Kp，Kiをうまく設定すれば，2次多項式の係数
s2 + 2ζωns + ω2n = 0 (12.16)
において，任意の ζ，ωnにするゲインが求まる。コントローラの設計は，様々ありゲイン設計は複雑で巧妙なものもある。制御工学第二ではその考え方を理解していただきたい。
以上で古典制御を中心とした「制御工学第一」「制御工学第二」が終了しました。3年次の「制御系設計論」を受講し，1960以降の現代制御論を用いたシステム設計の世界を堪能ください。行列記述ですが，アルゴリズムはパワフルになり設計は簡単になります。
98
更新履歴
First version March 30 2010
ノート記録開始2nd Version March 30 2012
PPT授業に変更のため急遽配布
2.1 Version May 21 2012
修正
2.2 Version September 21 2012
修正
熊本市黒髪 2-39-1
熊本大学情報電気電子工学科 松永信智
99