2011

BACALAUREAT 2011SESIUNEA SPECIALA

M1

Proba E c)

Filiera teoretica, profilul real, specializarea matematica - informatica.Filiera vocat,ionala, profilul militar, specializarea matematica - informatica.

SUBIECTUL I

1. Calculat,i modulul numarului complex z = (3 + 4i)(5− 12i).

2. Punctul V (2, 3) este varful parabolei asociate funct, iei f : R → R, f(x) = x2 + ax+ b. Calculat,i f(3).

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia |√x− 1| = 2.

4. Determinat, i numerele naturale n, n ≥ 2, pentru care C2n≤ 4 · A1

n.

5. Fie G(1, 0) centrul de greutate al triunghiului ABC, unde A(2, 5) s, i B(−1,−3). Determinat, i cordonatele punc-tului C.

6. Calculat,i raza cercului ınscris ın triunghiul ABC s,tiind ca AB = AC = 5 s, i BC = 8.

SUBIECTUL II

1. Se considera matricea A =

1 2 −1a 1 13 0 2

, unde a ∈ Z.

a) Calculat,i det A.

b) Aratat,i ca rang A = 3, oricare ar fi a ∈ Z.

c) Determinat, i valorile ıntregi ale lui a s,tiind ca matricea A−1 are toate elementele numere ıntregi.

2. Se considera numerele reale a, b, c s, i polinomul f = X4 + aX3 + bX2 + cX + 36 ∈ R[X ], cu radacinile x1, x2,x3, x4 ∈ C.

a) Calculat,i a+ b+ c ın cazul ın care restul ımpart,irii lui f la X − 1 este 40.

b) Determinat, i c ∈ R astfel ıncat1

x1

+1

x2

+1

x3

+1

x4

=1

3·

c) Aratat,i ca daca a = 6 s, i b = 18, atunci polinomul f nu are toate radacinile reale.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = x4 − 4 lnx.

a) Aratat,i ca funct, ia f este strict descrescatoare pe (0, 1].

b) Determinat, i asimptotele verticale ale graficului funct, iei f .

c) Demonstrat,i ca, pentru orice n ∈ N∗, exista un unic numar xn ∈ (0, 1] pentru care f(xn) = n.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = cosx.

a) Calculat,i aria suprafee, i determinate de graficul funct, iei f , axa Ox s, i de dreptele de ecuat, ii x = 0, x =π

2·

b) Calculat,i limx→+∞

1

x

∫ x

0

f(t) dt.

c) Demonstrat,i ca s, irul (In)n≥1, In =

∫ π

2

0

fn(x) dx este convergent.

1

M2

Proba E c)

Filiera teoretica, profilul real, specializarea s,tiint,ele naturii.Filiera tehnologica: profilul servicii, toate calificarile profesionale; profilul resurse, toate calificarile profesionale;profilul tehnic, toate calificarile profesionale.

SUBIECTUL I

1. Comparat,i numerele a = log2 4 s, i b =3√27.

2. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale inecuat, ia 3x2 − 11x+ 6 ≤ 0.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 3x2+x+1 = 35x−2.

4. Determinat, i n ∈ N, n ≥ 2, pentru care C1n+ C2

n= 15.

5. Determinat, i numerele reale m pentru care punctul A(2m− 1,m2) se afla pe dreapta d : x− y + 1 = 0.

6. Calculat,i cosx, s,tiind ca 0◦ < x < 90◦ s, i sinx =12

13·

SUBIECTUL II

1. Se considera mult, imea G =

{(

a b

b a

) ∣

∣

∣

∣

a, b ∈ N

}

.

a) Determinat, i numerele naturale m s, i n pentru care matricea

(

4 m2

9 n2

)

∈ G.

b) Aratat,i ca daca U , V ∈ G, atunci U · V ∈ G.

c) Calculat,i suma elementelor matricei U ∈ G, s,tiind ca suma elementelor matricei U2 este egala cu 8.

2. Se considera polinomul f = X4 −X3 − 4X2 + 2X + 4.

a) Aratat,i ca restul ımpart,irii polinomului f prin polinomul g = X −√2 este egal cu 0.

b) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia f(x) = 0.

c) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia 16x − 8x − 4 · 4x + 2 · 2x + 4 = 0.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) =

x+ 1

x, x ∈ (1,∞)

x+ 1, x ∈ (0, 1]

.

a) Demonstrat,i ca funct, ia f este continua ın punctul x0 = 1.

b) Aratat,i ca funct, ia f este convexa pe intervalul (1,∞).

c) Demonstrat,i ca f(x) + f

(

1

x

)

≤ 4, pentru orice x ∈ (0,∞).

2. Se considera funct, iile f : (0,∞) → R, f(x) = ex · lnx s, i g : (0,∞) → R, g(x) =ex

x·

a) Calculat,i

∫ 2

1

x · g(x) dx.

b) Calculat,i

∫ e2

e

f(x)

x · ex dx.

c) Demonstrat,i ca

∫

e

1

(f(x) + g(x)) dx = ee.

2

BACALAUREAT 2011SESIUNEA IUNIE

M1

Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Aratat,i ca (√2,√5) ∩ Z = {2}.

2. Determinat, i valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie a parabolei y = x2 +mx+4.

3. Rezolvat,i ın mult, imea [0, 2π) ecuat, ia sin(

x− π

6

)

=1

2·

4. Determinat, i n ∈ N, n ≥ 2, pentru care C2n+A2

n= 18.

5. Determinat, i a ∈ R pentru care dreptele d1 : ax+ y + 2011 = 0 s, i d2 : x− 2y = 0 sunt paralele.

6. Fie x un numar real care verifica egalitatea tanx+ cotx = 2. Aratat,i ca sin 2x = 1.

SUBIECTUL II

1. Se considera matricea A(x) =

1 x x2

0 1 2x0 0 1

, unde x ∈ R.

a) Aratat,i ca A(x) · A(y) = A(x + y), oricare ar fi x, y ∈ R.

b) Aratat,i ca (A(x) −A(y))2011 = O3, pentru orice x, y ∈ R.

c) Determinat, i inversa matricei A(x), unde x ∈ R.

2. Se considera α ∈ C s, i polinomul f = X3 + (1 − α)X2 + (α − 2)iX + α+ (α− 2)i ∈ C[X ].

a) Aratat,i ca polinomul f are radacina −1.

b) Aratat,i ca, daca p, q sunt numere complexe s, i polinomul g = X2 + pX + q ∈ C[X ] are doua radacinidistincte, complex conjugate, atunci p s, i q sunt numere reale s, i p2 < 4q.

c) Determinat, i α ∈ C pentru care polinomul f are doua radacini distincte, complex conjugate.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : (1,∞) → R, f(x) = ln(x+ 1)− ln(x − 1).

a) Aratat,i ca funct, ia f este strict descrescatoare pe (1,∞).

b) Determinat, i asimptotele graficului funct, iei f .

c) Calculat,i limx→∞

xf(x).

2. Se considera funct, ia f : [1, 2] → R, f(x) = x2 − 3x+ 2.

a) Calculat,i

∫ 4

1

f(√x) dx.

b) Calculat,i aria suprafet,ei determinate de graficul funct, iei g : [1, 2] → R, g(x) =f(x)

xs, i de axa Ox.

c) Aratat,i ca (4n+ 2)

∫ 2

1

fn(x) dx+ n

∫ 2

1

fn−1(x) dx = 0.

3

M2

Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Determinat, i x ∈ R pentru care numerele x−1, x+1 s, i 3x−1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = 5− x. Calculat,i f(0) · f(1) · f(2) · . . . · f(10).

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia√x− 1 = x− 3.

4. Determinat, i numarul submult, imilor ordonate cu 2 elemente ale unei mult, imi cu 7 elemente.

5. Calculat,i distant,a de la punctul A(2, 3) la punctu de intersect, ie a dreptelor d1 : 2x−y−6 = 0 s, i d2 : −x+2y−6 =0.

6. Calculat,i cosinusul unghiului M al triunghiului MNP , s,tiind ca MN = 4, MP = 5 s, i NP = 6.

SUBIECTUL II

1. Se considera matricele I2 =

(

1 00 1

)

, A =

(

1 −1−2 2

)

s, i X(a) = I2 + aA, unde a ∈ Z.

a) Calculat,i A2 − 3A.

b) Demonstrat,i ca X(a) ·X(b) = X(a+ b+ 3ab), oricare ar fi a, b ∈ Z.

c) Aratat,i ca X(a) este matrice inversabila, oricare ar fi a ∈ Z.

2. Polinomul f = X3 + 2X2 − 5X +m, cu m ∈ R, are radacinile x1, x2 s, i x3.

a) Calculat,i x21 + x2

2 + x23.

b) Determinat, i m ∈ R∗ pentru care x1 + x2 + x3 =1

x1

+1

x2

+1

x3

·

c) Aratat,i ca determinantul ∆ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 x2 x3

x2 x3 x1

x3 x1 x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

este numar natural, oricare ar fi m ∈ R.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : [1,∞) → R, f(x) = ex − 1

x·

a) Calculat,i limx→2

f(x)− f(2)

x− 2·

b) Aratat,i ca f(x) > 0, oricare ar fi x ∈ [1,∞).

c) Aratat,i ca graficul funct, iei f nu admite asimptota spre +∞.

2. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) =√x2 + 10.

a) Calculat,i volumul corpului obt, inut prin rotat,ia, ın jurul axei Ox, a graficului funct, iei g : [0, 3] → R,g(x) = f(x).

b) Demonstrat,i ca orice primitiva F a funct, iei f este crescatoare pe mult, imea R.

c) Demonstrat,i ca

∫ 10

−10

f(x) dx = 2 ·∫ 10

0

f(x) dx.

4

M4

Proba E c)

Filiera vocat,ionala, profilul pedagogic, specializarea ınvat,ator-educatoare

SUBIECTUL I

1. Se considera o progresie aritmetica (an)n≥1, ın care a2 = 5 s, i a4 = 11. Calculat, i a6.

2. Se considera funct, iile f : R → R, f(x) = ax+ b s, i g : R → R, g(x) = cx + d, unde a, b, c, d sunt numere reale.Aratat,i ca, daca f(1) = g(1) s, i f(3) = g(3), atunci f(5) = g(5).

3. Se noteaza cu x1 s, i x2 solut, iile reale ale ecuat, iei x2 − 5x+ 3 = 0. Calculat,i1

x1

+1

x2

·

4. Determinat, i mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei log2(x2 + x+ 2) = 2.

5. Se considera un triunghi ABC s, i punctele M , N , astfel ıncat−−→AM = 3 ·−−→MB s, i

−−→AN = 3 ·−−→NC. Aratat,i ca dreptele

MN s, i BC sunt paralele.

6. Se considera un triunghi ABC ın care unghiurile A s, i C au masurile egale cu 30◦, respectiv 90◦. S, tiind caBC = 6, calculat, i lungimea laturii AC.

SUBIECTUL II

Pe mult, imea R se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = xy − 2x− 2y + 6.

a) Aratat,i ca legea ”⋆” este comutativa.

b) Aratat,i ca legea ”⋆” este asociativa.

c) Determinat, i numarul real a pentru care are loc egalitatea x ⋆ y = (2− x)(2 − y) + a, oricare ar fi x, y ∈ R.

d) Rezolvat,i ın mult, imea R ecuat, ia x ⋆ x = x.

e) Determinat, i elementul neutru al legii ”⋆”.

f) Aratat,i ca (x+ 2) ⋆

(

1

x+ 2

)

= 3, pentru orice x ∈ R∗.

SUBIECTUL III

Se considera matricele I3 =

1 0 00 1 00 0 1

s, i A =

0 a 00 0 −a

−a 0 0

, unde a ∈ R.

a) Determinat, i numarul real a pentru care det(A+ I3) = 1.

b) Calculat,i det(A+ At ), unde At este transpusa matricei A.

c) Pentru a = 1, determinat, i inversa matricei A.

d) Aratat,i ca A3 = a3 · I3.

e) Pentru a = 1, verificat,i egalitatea (A+ I3)(A2 −A+ I3) = 2I3.

f) Determinat, i valorile numarului real a pentru care det(A+ At + I3) = 1.

5

SESIUNEA AUGUSTM1

Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Calculat,i rat,ia progresiei geometrice (bn)n≥1, cu termeni pozitivi, daca b1 + b2 = 6 s, i b3 + b4 = 24.

2. Determinat, i a ∈ R pentru care funct, ia f : R → R, f(x) = (1− a2)x + 4 este constanta.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale inecuat, ia

(

3

2

)x

<

(

2

3

)x

.

4. Determinat, i numarul termenilor rat,ionali ai dezvoltarii (1 +√2)10.

5. Calculat,i distant,a de la punctul A(2, 2) la dreapta determinata de punctele B(1, 0) s, i C(0, 1).

6. Triunghiul ABC are masura unghiului A de 60◦, AB = 4 s, i AC = 5. Calculat,i−−→AB · −→AC.

SUBIECTUL II

1. Se considera mult, imea H ={

A ∈ M2(R) | A2 = A}

.

a) Aratat,i ca

(

1 20 0

)

∈ H .

b) Demonstrat,i ca, daca A ∈ H , atunci An ∈ H , pentru orice numar natural nenul n.

c) Aratat,i ca mult, imea H este infinita.

2. Se considera polinomul f = (X + i)10 + (X − i)10, avand forma algebrica f = a10X10 + a9X

9 + · · ·+ a1X + a0,unde a0, a1, . . . , a10 ∈ C.

a) Determinat, i restul ımpart,irii polinomului f la X?i.

b) Aratat,i ca tot, i coeficient, ii polinomului f sunt numere reale.

c) Demonstrat,i ca toate radacinile polinomului f sunt numere reale.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x5 − 5x+ 4.

a) Calculat,i limx→2

f(x)− f(2)

x− 2·

b) Aratat,i ca graficul funct, iei f are un punct de inflexiune.

c) Aratat,i ca, pentru orice m ∈ (0,∞), ecuat, ia f(x) = m are exact trei solut, ii reale distincte.

2. Se considera funct, ia g : R → R, g(x) = e−x.

a) Calculat,i

∫ 1

0

g(x) dx.

b) Calculat,i

∫ 1

0

x5g(x3) dx.

c) Demonstrat,i ca s, irul (In)n≥1 definit prin In =

∫ n

1

g(x3) dx este convergent.

6

M2

Proba E c)


SUBIECTUL I

1. Intr-o progresie aritmetica (an)n≥1 se cunosc a2 = 6 s, i a3 = 5. Calculat, i a6.

2. Determinat, i solut, iile ıntregi ale inecuat, iei 2x2 − x− 3 ≤ 0.

3. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale ecuat, ia log3(x+ 2)− log3(x− 4) = 1.

4. Dupa o scumpire cu 5%, pret,ul unui produs cres,te cu 12 lei. Calculat, i pret,ul produsului ınainte de scumpire.

5. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(1, 4) s, i B(5, 0). Determinat, i ecuat, ia mediatoarei segmentului[AB].

6. Calculat,i raza cercului circumscris triunghiului ABC, s,tiind ca BC = 9 s, i m(∢BAC) = 120◦.

SUBIECTUL II

1. Se considera determinantul D(x, y) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 11 x y

1 x+ 1 y + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, unde x, y ∈ Z.

a) Calculat,i D(−1, 1).

b) Determinat, i x ∈ Z pentru care D(x, 2010) = 1.

c) Demonstrat,i ca D(x, y) ·D(x,−y) = D(x2, y2), oricare ar fi x, y ∈ Z.

2. Pe mult, imea numerelor reale se defines,te legea de compozit, ie x ⋆ y = 2xy − 6x− 6y + 21.

a) Aratat,i ca x ⋆ y = 2(x− 3)(y − 3) + 3, oricare ar fi x, y ∈ R.

b) Aratat,i ca legea ”⋆” este asociativa.

c) Calculat,i 1 ⋆ 2 ⋆ . . . ⋆ 2011.

SUBIECTUL III

1. Se considera funct, ia f : R → R, f(x) = x3 + x2 + x+ 3x.

a) Calculat,i f ′(0).

b) Aratat,i ca funct, ia f este crescatoare pe R.

c) Aratat,i ca a3 + a2 + a− b3 − b2 − b ≤ 3b − 3a, oricare ar fi numerele reale a, b cu a ≤ b.

2. Pentru fiecare numar natural nenul n se considera funct, ia fn : [0, 1] → R, fn(x) = xnex.

a) Calculat,i

∫ 1

0

f1(x)

exdx.

b) Calculat,i

∫ 1

0

f1(x) dx.

c) Aratat,i ca

∫ 1

0

fn(x2) dx ≥ 1

2n+ 1, pentru orice n ∈ N, n ≥ 1.

7

M4

Proba E c)

Filiera vocat,ionala, profilul pedagogic, specializarea ınvat,ator-educatoare

SUBIECTUL I

1. Calculat,i log2(5 +√17) + log2(5−

√17).

2. Calculat,iP4 − C1

4

A15

·

3. Graficul unei funct, ii de gradul al II-lea este o parabola care are abscisa varfului egala cu 2 s, i intersecteaza axaOx ın doua puncte distincte. Daca unul dintre acestea are abscisa egala cu 5, atunci determinat, i abscisa celuilaltpunct de intersect,ie.

4. Rezolvat,i ın mult, imea numerelor ıntregi ecuat,ia 2x+3 =1

4·

5. Aratat,i ca dreapta determinata de punctele A(1, ?2) s, i B(?2, 4) este perpendiculara pe dreapta d de ecuat,iex?2y + 3 = 0.

6. Calculat,i lungimea razei cercului circumscris unui triunghi ABC ın care AB = 6 s, i m(∢BCA) = 60◦.

SUBIECTUL II

Pe mult, imea R se definesc legile de compozit,ie x ⋆ y = x+ y − 1 s, i x ◦ y =1

2(xy − x− y + 3).

a) Aratat,i ca legea ”⋆” este asociativa.

b) Determinat, i elementul neutru al mult, imii R ın raport cu legea ”⋆”.

c) Aratat,i ca x ◦ y =1

2(x− 1)(y − 1) + 1, pentru orice x, y ∈ R.

d) Rezolvat,i ın R ecuat,ia 2x ◦ 3 = 1.

e) Rezolvat,i ın mult, imea numerelor reale sistemul

{

(x+ 1) ⋆ y = 3

(2x) ◦ (y − 1) = xy − 1.

f) Demonstrat,i ca (x ⋆ y) ◦ z = (x ◦ z) ⋆ (y ◦ z), pentru orice x, y, z ∈ R.

SUBIECTUL III

Se considera matricele A =

1 2 a

2 a 1a 1 2

, B =

0 1 11 0 11 1 0

, I3 =

1 0 00 1 00 0 1

s, i sistemul de ecuat,ii liniare

(S)

x+ 2y + az = 6

2x+ ay + z = 6

ax+ y + 2z = 6

, unde a este un parametru real.

a) Determinat, i numarul real a pentru care tripletul (1, 1, 1) este solut, ie a sistemului (S).

b) Aratat,i ca A2 − (a2 + 5)I3 = (3a+ 2)B.

c) Determinat, i numarul real a pentru care suma elementelor matricei A2 este egala cu 0.

d) Aratat,i ca, pentru a =?3, sistemul (S) este incompatibil.

e) Pentru a = 0, rezolvat,i sistemul (S).

f) Determinat, i inversa matricei B.

8

2011

Documents