20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves
TRANSCRIPT
![Page 1: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/1.jpg)
1
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Кривые и поверхности
в компьютерной графике
URL: http://www.school30.spb.ru/cgsg/cgc/
E-mail: [email protected]
![Page 2: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/2.jpg)
2
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Представления кривых на плоскости
• явный способ (explicit curves)
• неявный способ (implicit)
• Параметрический способ (parametric curves)
![Page 3: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/3.jpg)
3
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Явные кривые
![Page 4: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/4.jpg)
4
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Неявные кривые
![Page 5: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/5.jpg)
5
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Параметрические кртвые
![Page 6: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/6.jpg)
7
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Кривые Безье (Pierre Bézier): линейные
• Линейные кривые Безье• Линейная интерполяция между концевыми точками
![Page 7: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/7.jpg)
8
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Кривые Безье: квадратичные
• Квадратичные кривые Безье• Композиция нескольких линейных кривых:
![Page 8: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/8.jpg)
9
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Кривые Безье: кубические
• Кубические кривые Безье
![Page 9: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/9.jpg)
10
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Кривые Безье: старшие степени
• В общем случае:
полином Бернштейна
число Сочетаний
![Page 10: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/10.jpg)
11
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Кубические кривые Безье: матричная запись
![Page 11: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/11.jpg)
12
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Сопряжение кривых Безье
R0
P0 R2
R3
P1
P2 P3R1
P4 P5
P6
P7
![Page 12: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/12.jpg)
13
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Интерполяция с помощью кривых Безье
• Сплайны Катмула-Рома:
P0
Q0 P2
P3
Q1
Q2 Q3P1
Q4 Q5
Q6
Q7
![Page 13: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/13.jpg)
14
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Рациональные кривые Безье (rational)
w=(1, 1, 1, 1) w=(1, 1, 10, 1) w=(1, 30, 30, 1) w=(1, 1000, 1, 1)
![Page 14: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/14.jpg)
15
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
B-сплайны (B-splines)
• Кокс и де Бур:
полагаем
- узловой вектор
![Page 15: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/15.jpg)
16
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Примеры B-сплайнов (кривая Безье)
• Кубическая кривая Безье:
![Page 16: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/16.jpg)
17
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Примеры B-сплайнов (uniform)
• Униформный кубический B-spline
![Page 17: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/17.jpg)
18
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Примеры B-сплайнов (nonuniform rational)
• NURBS
![Page 18: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/18.jpg)
19
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Поверхности (surfaces)
• явный способ
• неявный способ
• параметрический способ
![Page 19: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/19.jpg)
20
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Повехности Безье: билинейные
P00
P01
P11
P10
R0
R1
![Page 20: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/20.jpg)
21
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Поверхность Кунса
• Граничные кривые:
• Билинейно смешиваем (учитывая повторение угловых точек):
![Page 21: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/21.jpg)
22
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Поверхности Безье (общий случай)
![Page 22: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/22.jpg)
23
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Бикубическая поверхность Безье
![Page 23: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/23.jpg)
24
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Бикубическая поверхность Безье: сопряжение
![Page 24: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/24.jpg)
25
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Бикубическая поверхность Безье: пример
![Page 25: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/25.jpg)
26
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Общий случай бикубических поверхностей
uniform B-spline cubic Bezier Catmull-Rom
![Page 26: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/26.jpg)
27
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Трикубические пространства: Free Form Deformation
![Page 27: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/27.jpg)
28
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
• Практические задания (до 13.11.2011)– Реализовать интерактивную среду демонстрации
параметрических кубических кривых (выполнять интерполяцию по нескольким точкам, использовать uniform B-spline и сплайн Катмула-Рома). Дополнительное задание: реализовать изменение весов точек и визуализацию рациональными кривыми.
– Реализовать интерактивную среду демонстрации FFD на плоскости для растрового изображения. Использовать биквадратную «сетку» (9 точек) Безье.
(
![Page 28: 20111023 computer graphics_galinsky_lecture06_curves](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060116/557fcf70d8b42ad1048b4ce5/html5/thumbnails/28.jpg)
29
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
Литература
• David F. Rodgers, J. van Adams. "Mathematical Elements for Computer Graphics", 2nd ed., McGraw-Hill Publishing Company, 1990.
• Alan Watt, Mark Watt. "Advanced Animation and Rendering Techniques. Theory and Practice", ACM Press, Addison-Wesley Longman Limited, 1992.
• Е.Шикин, А.Плис. "Кривые и поверхности на экране компьютера". Москва: Диалог-МИФИ, 1996.
• Е.В.Шикин, М.М.Франк-Каменецкий. "Кривые на плоскости и в пространстве". Москва: "ФАЗИС", 1997.