2011 sgm auteur : esnouf claude clym séminaire 2 cristallographie indexation et représentation des...
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2011
SGM
Auteur : ESNOUF ClaudeCLYM
Séminaire 2CRISTALLOGRAPHIEIndexation et représentation des plans réticulaires
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Introduction
Vous êtes autorisé : • A reproduire, distribuer et communiquer, au public, ce document,• A modifier ce document, selon les conditions suivantes : Vous devez
indiquer la référence de ce document ainsi que celle de l’ouvrage de référence : ESNOUF Claude. Caractérisation microstructurale des matériaux : Analyse par les rayonnements X et électronique. Lausanne: Presses polytechniques et universitaires romandes, 2011, 596 p. (METIS Lyon Tech) ISBN : 978-2-88074-884-5.
• Vous n'avez pas le droit d'utiliser ces documents à des fins commerciales.
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Accès aux autres séminaires1 - Séminaire « Rappels cristallographie 1 »
2 - Séminaire « Rappels cristallographie 2 »
3 - Séminaire « Emission, détection, propagation, optique des rayons X »
4 - Séminaire « Méthode des poudres en DRX »
5 - Séminaire « Méthodes X rasants et mesure des contraintes »
6 - Séminaire « Emission électronique – Conséquence sur la résolution des microscopes »
7 - Séminaire « Diffraction électronique »
8 - Séminaire « Projection stéréographique »
9 - Séminaire « Imagerie CTEM »
10 - Séminaire « HAADF »
11 - Séminaire « HRTEM »
12 - Séminaire « Ptychographie »
13 - Séminaire « EELS » 3
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INDEXATION et REPRESENTATION des INDEXATION et REPRESENTATION des PLANS RETICULAIRESPLANS RETICULAIRES
Plan réticulaire = plan de réseau (plan qui passe par les nœuds du réseau)
Les homologues parallèles et équidistants passent par tous les nœuds du réseau.
IINDICES DENDICES DE MILLER MILLER : h, k, l pour représenter les plans, u,v, w pour représenter les directions.
x1
x2
x3
a/h
b/k
c/lPLANSPLANS
(111)
a
b
c
4
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(221)
NON
(1 1 0,5)
OUI
(2 2 1)
h, k, l entiers
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Quelques plans simples :z
x
y
(100)
(100)
Si cubique : (100), (010), (001) sont indiscernables du point de vue de la symétrie : on dit qu’ils appartiennent à la famille {100}
Si quadratique : {100} comprend (100), (010) mais pas (001)
etc.............Le plan hkl est noté (hkl) et par {hkl}, les plans de même symétrie.
z
x
y
(010)(010)
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Quelques plans simples (suite) :z
x
y
(110)
z
x
y
(-110)
Si cubique : (110), (-110), (011), (01-1), (101), (-101) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {110},
Si quadratique : seuls (110), (-110) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {110}.
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Quelques plans simples (suite) :z
x
y
(111)
z
x
y
(1-11)
Si cubique : (111), (-111), (1-11), (11-1), (et leurs opposés) appartiennent à la famille {111},
Si quadratique : (111), (11-1), (1-11), (-111) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {111}.
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Q : Comment reconnaître les plans d’une même famille ?
R : Ceux qui ont la même symétrie et donc la même distance réticulaire, par exemple.
Exemple :
Cubique {125}{251} {152} .......
Quadratique {125}{215} {-215} {512}
Monoclinique
{125}{1-25} {-125} {12-5} ...
2222hkl
l+k+h=d
1
2
2
2
22
2hkl c
l+
a
k+h=
d
1
222
2
2
2
22
2
2hkl sinac
coshl2-
sinc
l+
b
k+
sina
h=
d
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x2x1
x3
uavb
wc
a b
c
AXESAXES
V
cw+bv+au=V
Remarque :
)hkl(
[uvw]
appartient à si :
hu + kv + lw = 0en toutes bases
De même, mais n’a pas pour composantes h, k, l !!!!!
N
0=.N
N
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Cas particulier de l’hexagonal (le notation à 4 indices) :
Plans d’une même famille {100}
A6
(010)
(100)
(1-10)
(100) (10-10)
(010
) (0
1-10
)
(1-10) (1-100)
Plans d’une même famille { }0011
a
b
x
y
-(x+y) Ajout d’un 4ème axe
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Cas particulier de l’hexagonal (suite) :
Notations 4 indices : (hkl) (hkil) avec i = - (h+k)
Par exemple : (125) devient (12-35)
La permutation des 3 premiers indices est autorisée pour les plans d’une même famille (symétrie 6 oblige) :
(2-315) {12-35}
c’est à dire que : d2-315 = d12-35 = d-3215
ou que : d2-35 = d125 = d-325
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Cas particulier de l’hexagonal (suite) :
Notations 4 indices des directions :
(UVW) (uvtw) avec t = - (u+v)
Par exemple : [123] devient [01-13]
Le passage d’une notation à l’autre est résumée par le tableau :
3 indices 4 indices
Directions
U = 2u + v
V = 2v + u
W = w
u = (2U - V)/3
v = (2V - U)/3
t = - (u + v)
w = W
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Changements d’axes ?
(hkl)[uvw]
D
a b
c
Ancien
(HKL)[UVW]D
A
B
C
Nouveau
[ ] c
b
a
wvu
wvu
wvu
=
C
B
A
333
222
111
si ........etc=B
cw+bv+au=A 111
Matrice [M]
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Changements d’axes (suite) :
[ ] W
V
U
www
vvv
uuu
=
w
v
u
321
321
321
soit
cWw+bWv+aWu+
cVw+bVv+aVu+
cUw+bUv+aUu=r
CW+BV+AU=cw+bv+au=r
333
222
111
Soit un vecteur :r
321
321
321
Ww+Vw+Uw=w
Wv+Vv+Uv=v
Wu+Vu+Uu=ud’où :
ce qui s’écrit :
[MT]W
V
U
=
w
v
u
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c b a
lkh
cba
wvu***
{{
{
anciens
C
B
A
LCW
KBV
HAU
*
*
*
{
{ {nouveaux
M
MT (M)~
M
[M]c
b
a
=
C
B
ATableau d’application :
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C B A
LKH
CBA
WVU***
{{
{
nouveaux
c
b
a
lcw
kbv
hau
*
*
*
{
{ {anciens
M-1
(M-1)~
M-1
[M]c
b
a
=
C
B
ATableau d’application :
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ESPACE et RESEAU RECIPROQUES
Direct Réciproque
c b.a=v
c
b
a
****
*
*
*
c b.a=v
v/b a=c
v/a c=b
v/c b=a
0=b c=a c 1=c c
0=c b=a b 1=b b
0=c a=b a 1=a a
***
***
***
compatibles avec :
Exemple : HEXAGONAL
a
*a
b
*b
60°
3a2
)30cos( a1
a donc accb
)30cos( ca v)30cos(ab a
*
2
2
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PROPRIETESPROPRIETES :
1 - Produit scalaireProduit scalaire :
2 – Indices de MillerIndices de Miller :
Réseau réciproque
****
*******
w w+v v+u u=V V
cw+bv+au=e)(réciproquV
cw+bv+au=(direct)V
x1
x2
x3
a/h
b/k
c/l
a b
c
DIRECTDIRECT N
oH
OH = dhkl x1*
x2*
x3*
ha* kb*
lc*
*a
*b
*c
RECIPROQUERECIPROQUE
hklg
o
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Réseau réciproque
Soit :
Or :
D’où : ghkl plan (hkl)
g= 1/dhkl (dhkl : distance interréticulaire)
R.R. Espace de points
hkl
hkl
***hkl
d/a N=a g=h
l/c N=k/b N=h/a N=OH=d
l=c g ; k=b g ; h=a g
cl+bk+ah=g
Application : Droite [uvw] d’un plan (hkl) est telle que : est à la droite et donc : hu + kv + lw = 0hklg
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Réseau réciproque
+
T
1 T
3 – Espace réciproque – Espace de Fourier :3 – Espace réciproque – Espace de Fourier :
Rappel : Notion de série de Fourier
f(t) = - F().exp(2it) F() = t=0
f(t).exp(-2it) dt
Périodique Discret
T
f(t)
t1/T
F()
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Réseau réciproqueSoit une fonction tripériodique , qui se développe de la manière suivante :
avec
= Transformée de FOURIER (TF)
Si est la période dans l’espace des :
Si on identifie à un vecteur de l’espace réciproque :
* Conclusion : R.R. Espace de Fourier
En tout point de l’espace réciproque d’un cristal, est associé un coefficient de En tout point de l’espace réciproque d’un cristal, est associé un coefficient de FOURIER d’une série à 3 dimensions. FOURIER d’une série à 3 dimensions. Cette série est égale à une fonction Cette série est égale à une fonction décrivant une propriété f( ) de l’espace direct.décrivant une propriété f( ) de l’espace direct.
)z,y,x(f=)r(f
)rRi2exp().g(f=)r(f g
rd )rRi2exp().r(fv
1=)R(f 3
aillem
�-
t
r
entier=tR ou
1=)tRi2exp( )r(f=)t+r(f
entier=lw+kv+hu=tR
)entiers w,v,u( cw+bv+au=t
)entiers l,k,h( cl+bk+ah=g=R ***
R
g
r
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Une application directe : NORMALE à un PLAN (hkl) :
1 - Systèmes à bases orthogonales : ( , etc ....)
à une constante près
Mais,
donc : = [h/a2, k/b2, l/c2]
Le cas particulier du système cubique entraîne que la normale à un plan (hkl) s’indexe [hkl].
Exemple du quadratique a = 2c : Le plan (401) admet pour normale[4/a2,0,4/a2], c’est à dire : [101].
*** cl+bk+ah=N
222 c
cl+
b
bk+
a
ah=
c
l+
b
k+
a
h=N
N
*a//a
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2 - Système à base hexagonale :
Normale à un plan (suite)
a
*a
b
*b
60°3a
2=b=a donc 1=a.a ***
2*
22*
22*
c
c=c et
b3
b4+
a3
a2=b ;
b3
b2+
a3
a4=a
2a3
a4 2b3
b2
*a
2
2*22
2*
a3
4=a où'd
a9
16=
b9
4+a :car
222***
c
c+)h+k2(
a3
b2+)k+h2(
a3
a2=cl+bk+ah=N
En notation 4 indices, u = (2U-V)/3 , ....., il vient :
u = 2(4h+2k-2k-h)/9a2 = 2h/3a2
v = 2(4k+2h-2h-k)/9a2 = 2k/3a2
w = l/c2
Finalement, le plan (hkil) prend pour normale : = [h, k, i, 3/2(a/c)2l]N
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LES
FORMULES
USUELLES
Les distances interréticulaires
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LES
FORMULES
USUELLES
Les angles entre plans
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26
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LES
FORMULES
USUELLES
Les volumes de maille
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27Séminaire suivant : « Emission, détection, propagation, optique des rayons X »