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ALEJANDRO ORTIZ FERNANDEZ

Seccin Matemtica PUCP

Profesor Emrito UNT

LLIIMMAA PPEERR

ALEJANDRO ORTIZ FERNANDEZ(1936)

Profesor Principal. Seccin Matemtica. PUCP.Ex Profesor Principal y Profesor Emrito de la UNT.Ex Profesor de la U.N.M. de San Marcos.jortiz@pucp.edu.pe

Vivencias y Mensajes.Temas Pedaggicos MatemticosAutor: Alejandro Ortiz FernndezI.S.B.N.

Digitacin y DiagramacinGabriela Dolores Quispegabrian_2030@hotmail.com

(c) Todos los derechos reservadosPrimera Edicin: Marzo 2009

Printed in Per Impreso en Lima, Per

A Luz Marina,mi compaeraen gran parte delcamino recorrido.

PPRREESS EENNTTAACCIINN

El ayer es hoy;el maana, incertidumbre;mientras tenga ilusiones,todos los das sern,hoy.

PERMISO

Dese escribir algo que me permitiera ofrecer algunos mensajes pedaggicos matemticos a los jvenes; podra haber elegido la alternativa de entrar en elterreno de las distintas teoras que seguramente existen al respecto pero esto no meconvenca (para comenzar yo no conozco mucho de tales teoras). Cre msconveniente hacerlo a travs de mis vivencias, de mis experiencias, pero esto mellev a otra situacin no deseada en general: tener que hablar de mi mismo. Soyconsciente que esto no nos gusta y podra causar cierto rechazo por parte del lector ydel ambiente. Qu hacer?... Tal deseo deseaba concretizarlo por razonesgeneracionales, de edad. Tom la decisin de exponerme a la crtica por miegocentrismo; lo acepto pero mi intencin no es mi persona; es el joven lector oquizs tambin el de edad avanzada.

En su inicio, esta obra narra la influencia que puede tener en nuestra vidaprofesional las vivencias que tengamos en nuestra juventud; la edad colegial es muyespecial, es cuando aprendemos con muchas ilusiones y con una sana competencia;en 1. describimos como era el panorama matemtico en un colegio nacional entre1951 55. Es la etapa en que se van definiendo las vocaciones, algo tan complejoprecisar. Posiblemente pocos conocen cmo era el panorama matemtico en el nortedel pas, mas localmente en Trujillo, en la dcada de los aos 1950s y 60s; parte deeste panorama es bosquejado en 2 y 3. Creo que la historia de la evolucin de nuestraciencia en nuestro pas es algo que no est dems y complementa la formacinpropiamente acadmica y creo la enriquece. 4. contribuye informando el aprendizajede las ecuaciones en derivadas parciales y del anlisis funcional, que se ensearanluego a los jvenes de la UNT, segn se describe en 5., en donde se explicitan lasprimeras tesis de bachillerato hechas en el norte del pas.

Remarcamos que respecto a las tesis para ellas y todas las siguientes, damosunos comentarios a fin de orientar al lector sobre sus contenidos y objetivos; estatarea nos llev tiempo y paciencia pues tuvimos que recordar muchas cosas,

ordenarlas y dar un comentario simplificado. Por otro lado, lo tratado en 6 (laUniversidad de Chicago) influye en lo tratado en los captulos 7, 8, 9 y 10; todo elloes un universo en donde lo esencial es la contribucin de Caldern Zygmund y deotros analistas al desarrollo de los operadores integrales singulares y del anlisisarmnico. Una lectura cuidadosa de estos captulos d al lector un panorama de lohecho en Trujillo en relacin al anlisis de Fourier y su relacin con el anlisiscultivado por Caldern Zygmund; abarca el perodo 1967 1979. El 11 trata elperodo 1980-88 dedicado mayormente a los espacios de funciones, perodo quetambin es considerado en 12 y 13 en donde exponemos nuestra vivencia relacionadacon la enseanza de la matemtica en secundaria (12), as como el legado en cuatrolibros a nivel de post-grado en matemtica (13). Ac se cierra, digamos, la primeraetapa de nuestra vida acadmica.

La segunda se describe a partir de 14 y tiene como escenario a la PUCP, y porbreve tiempo a la Universidad de San Marcos. Esta segunda etapa est dominada porla teora de ondculas (15, 16, 17) sin dejar de caminar por otros senderos en dondeintentamos legar otros tipos de mensajes (18 y 19). Finalmente, en 20 damos unamiscelnea de vivencias y terminamos expresando que an tenemos proyectos porrealizar, como seguramente lo tiene todo colega en toda etapa de su vida acadmica.

Contrario a lo que pens inicialmente, esta publicacin me ha dado mstrabajo de lo imaginado; as, a veces los mensajes dados al final de cada captuloretaban a nuestra imaginacin y fueron achicndose conforme avanzbamos. Porotro lado, debo manifestar que ha sido una linda oportunidad para volver a caminarpor aquellas sendas recorridas en nuestra juventud y en nuestra adultez; de volver aencontrarme con muchos de mis amigos, mis ex alumnos; y tambin con algunosde mis profesores; todos ellos fueron gran parte de la motivacin que me anim aconcretizar la idea. Finalmente, gustara remarcar que cada foto puesta es un mensajevisual que nos llena de recuerdos; aspiramos que nuestros lectores puedan gozar deellas.

Agradezco a mi institucin, la Pontificia Universidad Catlica del Per, porlas condiciones que tengo para desarrollar proyectos, como el presente, de un modoptimo. En la distancia del tiempo mis agradecimientos a la Universidad Nacional deTrujillo, con quien me liga ser Profesor Emrito, y a la Universidad Nacional Mayorde San Marcos, a ambas por haberme acogido como docente y disfrutado de dasmaravillosos. Hoy, slo me queda retribuir con lo que disponemos: nuestrasvivencias, nuestras experiencias, y un poco de conocimiento adquirido con muchoesfuerzo.

Indudablemente Luz Marina, mi esposa, con su comprensin e inteligenciahizo que nuestro trabajo tenga siempre las condiciones para hacer algo; mis apreciosy carios a ella.

Mis agradecimientos a la Srta. Gabriela Dolores Quispe, quien escribi ellibro en la computadora y le hice pasar momentos de mucho trabajo con lascomplejas expresiones matemticas; aprecio su paciencia y competencia en su labor.As mismo, mis agradecimientos a la Srta. Marilyn Serrano C., quien tambincolabor en la elaboracin de este libro.

Lima, 03 de Marzo del 2009.

A.O.F.jortiz@pucp.edu.pe

CCOONNTTEENNIIDDOO

1ACADEMIA DE MATEMTICA FEDERICO VILLARREAL

(i) Antecedentes 1(ii) La Academia Federico Villarreal 3(iii) La Historia de la Matemtica 5(iv) Algunos mensajes. 9

2LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

(1956 1959)

(i) La Facultad de Educacin. Ingeniera Qumica 11(ii) La Matemtica Pura en Trujillo 15(iii) Godofredo Garca 21(iv) Algunos mensajes 22

3INGRESO A LA DOCENCIA UNIVERSITARIA

(Perodo 1960 mitad 1962)

(i) Ao 1960. Re-aprendiendo. Leopoldo Nachbin 25(ii) Ao 1961. Llenando lagunas 30(iii) Ao 1962 (enero julio). Hacia el Brasil 32(iv) Algunos mensajes 32

4LA UNIVERSIDAD DE BRASILIA

(Julio 1962 1964)

(i) Nuevas motivaciones 33(ii) Aprendiendo el Anlisis Moderno 36(iii) Las ltimas vivencias 38(iv) Algunos mensajes 40

5DE REGRESO A LA UNT

(i) El azar determina nuestro destino 43(ii) Enseando con nuevas ilusiones 44(iii) Seminarios Matemticos:

(1) Solucin del problema de Dirichlet Rafael Castaeda C. 46(2) Ecuaciones elpticas Rafael Castaeda C. 46(3) Principio de Dirichlet Benito Zanini G. 47(4) Espacios Lp Benito Zanini G. 47(5) Problema de Cauchy Nlida Medina G. 47(6) Teorema de Weierstrass Stone Nlida Medina G. 48

(iv) Comenzando a Escribir 48(1) A. Ortiz: Teoremas del punto fijo (1965), 49(2) Introduccin al anlisis funcional (1966), 49(3) Set Theory and Linguistics (co-autoria con E. Zierer). 49

(v) Algunos mensajes. 50

6LA UNIVERSIDAD DE CHICAGO

(i) Influencia a la Matemtica en el Per. A. Rosenblatt 53(ii) Antoni Zygmund 54(iii) Alberto P. Caldern 55(iv) Otras vivencias 58(v) Regreso a la Universidad de Chicago 59(vi) Un mensaje 62

7INTEGRALES SINGULARES EN LA UNT

(i) Perodo 1968 1969 63(ii) El Anlisis Real estudiado por nuestros alumnos 64

(1) Introduccin a la transformada de Hilbert Franklin Sheen C. 64(2) Introduccin a algunos aspectos sobre integrales singulares

Virgilio Gutirrez M. 66(3) Espacios funcionales Lpk Uldarico Malaspina J. 67(4) Espacios toneladas Emilio Gonzaga R. 69

(iii) Un mensaje 70

8OPERADORES INTEGRALES SINGULARES Y ANLISIS ARMNICO

Perodo 1971 1975

(i) Panorama 73(ii) Otra vivencia matemtica 73

(1) Operadores Integrales singulares de tipo

C , o < < 1Ana Mantilla F. 73

(2) El Teorema de Interpolacin para operadores sublinealesde M. Riesz Luis Vidal A. 77

(3) Algunos resultados fundamentales de los Espacios LP conNorma Mixta Luis Vidal A 78

(4) Operadores invariantes por translaciones sobre espacios deLipschitz y Espacios Lp Nery Nieves E. 79

(5) La funcin g de Littlewood Paley y algunas aplicacionesRosa Povis P. 81

(6) La integral de Poisson en Lp y su relacin con la transformadade Riesz en L2 Mariano Gonzlez U. 83

(iii) Breve mensaje 86

9OPERADORES INTEGRALES SINGULARES

(i) Entorno y motivaciones 87(ii) La transformada de Fourier y espacios de distribuciones 89(iii) La transformada de Riesz y el operador 91(iv) Tpicos de anlisis real 92(v) Integrales singulares 94(vi) Operadores integrales singulares 96(vii) Algebra de operadores integrales singulares 98(viii) Operadores integrales singulares y ecuaciones en derivadas parciales 99(ix) Miscelnea de tpicos 101(x) Mensaje 102

10ANLISIS ARMNICO

(Perodo 1976 1979)

(i) Panorama 105(ii) Otras vivencias matemticas 105

(1) Algunos tpicos en los espacios Hp clsicosRosa Castillo G. 105

(2) Interpolacin en espacios Lp, Juan Daz A. 107(3) Integracin Fraccional en los espacios H1 y dual

Juan Daz A. 109(4) Operadores invariantes por traslaciones de Lp a Lq

Guillermo Ramrez L. 112(5) Espacios de Oscilacin Media Acotada A. Ortiz F. 113(6) Espacios de Oscilacin Media Acotada Pesada

Leandro Aznarn C. 115(7) Espacios L(p,) de tipo fuerte Leandro Aznarn C. 116(8) Espacios de Hardy en Espacios Homogneos

Rolando Vsquez J. 116(9) Interpolacin de Operadores Freddy Paz S. 117(10) La Desigualdad de John Nirenberg y Algunas

Propiedades de Funciones con Oscilacin Media LimitadaUlices Zavaleta C. 118

(11) Medidas con Signo y Continuidad AbsolutaUlices Zavaleta C. 119

(12) Algunas Propiedades Bsicas de los Espacios HomogneosWalter Zavaleta F. 120

(13) Inmersin en los Espacios Lp, fuertesAndrs Figueroa A. Hartman Cevallos C. 122

(iii) Otras inquietudes en el Anlisis Matemtico 124(1) Una presentacin de espacios BMO en variedades

diferenciales A.O.F. 125(2) On a Mean Value Inequality A. Torchinsky A.O.F. 128

(iv) Mensaje 131

11ULTIMOS AOS EN LA UNT

(Perodo 1980 1988)

(i) Panorama 133(ii) Otros seminarios 133

(1) Espacios L(Q) definidos usando la oscilacin media sobre cubosRal Sarchaga V. 133

(2) Continuidad de la Transformada de Hilbert en los Espacios LpwCarlos Abramonte A. 134

(3) Una caracterizacin de BMO en trminos de un conmutadorLuis Guillermo F. 136

(4) Espacios BMO; generalizacin de la caracterizacinde Ch. Fefferman Walter Cerna M. 137

(5) Los Teoremas de Baire, Brouwer y Ascoli, y susaplicaciones al anlisis, topologa y la geometraFernando Meja A. 139

(6) Una introduccin a las funciones holomorfas en variasvariables complejas Fidel Vera O. Waymer Barreto V. 140

(7) La Unicidad en problemas de contorno y de valor inicial enecuaciones diferenciales parciales Segundo Guibar O. 141

(8) Espacios vectoriales topolgicos y teoremas fundamentalesRuth Noriega S. Obidio Rubio M. 142

(9) Desenvolvimiento Histrico de los Conceptos de Funcin eIntegral Amalia Huerta S. 144

(10) Algunos mtodos de solucin del problema de DirichletAna Mara Rojas P. 145

(iii) Mensaje 146

12LIBROS SOBRE LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA

( hasta 1984)

(i) Motivacin y antecedentes 149(ii) Matemtica bsica para secundaria 150(iii) Mensaje 155

13NUESTRO LEGADO EN CUATRO LIBROS

(1986 1988)

(i) Una Ancdota 157(ii) Anlisis Real Funcional 158(iii) Introduccin a la Topologa 160(iv) Aspectos Bsicos en Ecuaciones en Derivadas Parciales 162(v) Tpicos sobre Anlisis Armnico 164(vi) Mensajes 167

14HACIA NUEVAS VIVENCIAS LA PUCP

(i) Algunas Frustraciones 169(ii) La Transicin 170(iii) Dos Seminarios 175

(1) Representacin Concreta de un Espacio de BanachOrdenado Fermin Mamani C. 175

(2) Acotacin de Operadores Integrales Singulares en Espacios deHardy Hp, 0 < p < 1 Ral Prado R. 178

(iv) Mensaje 182

15LAS WAVELETS LLEGAN A LA PUCP

(i) Antecedentes 185(ii) Acciones pro-ondculas 186(iii) Mensaje 191

16TESIS DE MAGISTER SOBRE ONDICULAS EN LA PUCP

(i) Motivaciones 193(ii) Alumnos estudian las Ondculas 194

(1) Bases locales de Coifman Meyer. Construccin deOndaletes Regulares Miguel Gonzaga R. 194

(2) Ondaletes de Soporte Compacto Andrs Beltrn C. 197

(3) Ondaletes, el Espacio de Hardy H1(IRn) y su Dual BMOEsptiben Rojas B. 201

(4) Anlisis en Espacios de Splines CardinalesDaniel Andrade G. 206

(5) Funciones Escala y Ondaletes Luis Chvez R. 208(6) Anlisis de Ondaletes Splines Cardinales

Alejandro Ttito T. 212(7) La transformada continua de ondcula; su aplicacin a la

funcin no-diferenciable de Riemann Teresa Crdenas R. 215(8) Onditas Discretas Sara Ochoa Q. 219

(iii) Mensaje 223

17VIVENCIAS EN LA UNIVERSIDAD DE SAN MARCOS

Perodo 1989 1997

(i) Antecedentes 225(ii) Una segunda vivencia 230(iii) Las ondculas en San Marcos 232

Fin de una ilusin. Dos monografas sobre ondculas:Teora de Ondculas Luis Nez R.Frames: Su aplicacin en la Teora de Muestreo Luis Nez R.

(iv) Mensaje 239

18MISCELNEA DE OTROS ESCRITOS

Perodo 1998 2000

(i) Panorama 241(ii) De Tales a las ondculas 242(iii) Artistas, Cientficos y Maestros 244(iv) El Len Dormido 246(v) Introduccin a la Teora de Wavelets 248(vi) Temas Humanos 251(vii) Mensaje 254

19HACIA OTROS LIBROS

Perodo 2003 2007

(i) Panorama 255(ii) Tpicos sobre Ecuaciones en Derivadas Parciales 256(iii) Fundamentos Matemticos para Aplicaciones 258(iv) Historia de la Matemtica. Vol. 1 La Matemtica en la Antigedad 261(v) Marcos y Ondculas (Frames y Wavelets) 264(vi) Enseanza Aprendizaje de la Matemtica 266(vii) Alberto P. Caldern: Algunos aspectos histricos de su obra

matemtica; Operadores integrales singulares. 270(viii) Mensaje 272

20MISCELNEA DE VIVENCIAS

(i) Los EEGGLL 273(ii) Maestra en Enseanza de la Matemtica 277(iii) Facultad de Educacin 284(iv) Conferencias, Coloquios 285(v) La Msica 287(vi) Proyectos an 291

Apndice. Miscelnea de fotos. 292

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ACADEMIA DE MATEMTICAFEDERICO VILLARREAL

( i ) Antecedentes.

Como todos los nios, nuestra primera vivencia con la matemtica latuvimos en la escuela primaria en donde aprendimos los temas bsicos dearitmtica y geometra; tuvimos un solo profesor del segundo grado al sexto. Me esdifcil precisar si tena alguna preferencia por la matemtica, como es natural queocurra en la mayor a de los casos en este nivel. Termin la primaria en 1950.

Nuestra vivencia con la matemtica se ha de producir en la secundaria; enmi poca, perodo 1951-55, en Trujillo haban poqusimos colegios. San Juan erael colegio nacional a donde iban a estudiar la gran mayor a de jvenes de la ciudad,en particular, los primeros puestos venidos de primaria, as como los venidos de lashaciendas cercanas y de ciudades vecinas. De este modo se produca unaseleccin natural en cuanto al aspecto competit ivo entre estos jvenes. Por lo tanto,era de esperarse que muchos de ellos mostraran aptitudes hacia la matemtica,como as sucedi con mi generacin. De algn modo, esto nos motivaba a ser losmejores posibles. En el primer ao de estudios llevamos el curso de aritmtica;nuestro profesor fue Don Gilberto Tresierra quien se guiaba con un libro un tantogordito que despus supimos era la Aritmtica de A. Baldor. Mi experiencia con laaritmtica fue algo tenue, era una extensin de lo aprendido en primaria y no medej mucha huella; no dispusimos en propiedad de libro alguno sobre aritmtica (labiblioteca del colegio posea libros muy antiguos). Poseer la obra de Baldor me fuuna obsesin por algunos aos.

En el segundo ao tuvimos el primer contacto con el lgebra; nos llam laatencin y la curiosidad que en un curso de matemtica se usaran letras pues hastaentonces pensaba que la matemtica era sinnimo de nmeros; no tuvimosalguna explicacin del porqu usar letras en ciertos argumentos matemticos. DonAugusto Rodr guez, el profesor del curso, tena la paciencia, la calma pararepetirnos las reglas algebraicas, sobre todo las primeras identidades como (a + b)(a b) = a2 b2 , (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , Fue el primer profesor que nos hablligeramente sobre el signif icado de la palabra lgebra y su origen rabe, y eso nosgustaba. El profesor nos entregaba unas notas mimeografiadas del curso escritaspor l, las que, en mi caso, fue mi primer documento matemtico que tuve; estasnotas contenan el desarrollo del curso y no ayud en nuestro aprendizaje. Ellgebra de Baldor no lo usamos an cuando sabamos que exista. En el tercerao, el lgebra fue an el curso que estudibamos. Conforme el joven avanza enedad va tomando ms conciencia de lo que aprende por esto en este segundo aode experiencia con el lgebra nuestro aprendizaje fue ms estimulante; mipromocin tena alrededor de 17 aos, una edad en que afloran ya muchas

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ilusiones; en mi caso, guardo vivencias agradables de mi contacto con el lgebra.Don Pedro Meza O., nuestro profesor, no se gui con algn libro para el dictado delcurso pero de vez en cuando llevaba un librito que despus supimos era uno de loslibros de lgebra de Bruo, nombre que por primera vez escuchamos.

Los Baldores y los Bruos se volvieron dos nombres que por primera vezconoc como fuente bibliogrfica; an no posea a ninguno de tales libros perosenta cierto gusto por el lgebra lo que me motiv a dar clases particulares ajvenes de mi barrio; junt el dinero necesario para comprar en 1953, el Algebra deBaldor; fu el primer libro de matemtica que tuve! lo que me permiti aprendermejor el curso surgiendo de modo natural un deseo de aprender ms cosas de loque nos enseaban. Es oportuno mencionar que por influencia de mi padre tuve ungusto por la literatura y me gustaba leer la vida de poetas y escritores; en particularme gustaba leer la historia de la clsica literatura espaola. Por otro lado, en mipromocin existan compaeros de promocin y de otros aos que eran buenos enmatemtica, y destacaban en los exmenes y concursos. Aquella sanacompetencia fue un saludable estmulo para aprender.

Lo mas remarcable que aprend en este curso de lgebra fue la ecuacin desegundo grado: ax2 + bx + c = 0 , la que v por primera vez. Nos dijeron que a, b y ceran nmeros pues, es claro, en ese entonces no conocamos a los nmerosreales ni a sus especiales subconjuntos de nmeros, pero lo dado ya era una vitalinformacin. La condicin esencial fue considerar a 0. Aprendimos la conocida

frmula que nos da las dos soluciones de esta ecuacin,a2

ac4bbx2

, la

que usamos para resolver diversas ecuaciones y problemas que conducen a estetipo de ecuaciones. Considero que este aprendizaje fue de mucha importancia enmi vivencia con el lgebra; como ancdota digamos que an uso tal frmula en micurso de MAT. 1, EEGGLL (PUCP). Otro tema que aprendimos con cierto intersfueron las progresiones (aritmticas y geomtricas) con ejercicios de uso directo delas frmulas respectivas. As, en este ao 1953 el libro de Baldor, despus el librode Bruo, aliment nuestra vivencia con el lgebra con un nivel aceptable para ellugar y la poca; seguramente este nivel hubiera sido mejor si hubiera estudiado ellgebra de Bruo pues contena ejercicios y problemas ms complejos y abstractos,como, por ejemplo, determinar m y n de manera que el polinomio x4 3x3 + mx + nsea divisible por x2 2x + 4. Con estos dos libros estuve bien protegido en elcampo algebraico pero no dedicamos al lgebra ms tiempo que el que permitieraconocer lo que nos exigan en los exmenes y posiblemente un poco ms, es decir,no hicimos un progreso remarcable.

En el verano de 1954, seguimos dando clases particulares; la idea era juntarel dinero necesario para comprar la Aritmtica de Baldor, libro que desde 1951quise poseer, pero mas por una cuestin de poseer un libro de aritmtica y por elplacer de hojear sus pginas de vez en cuando; salvo cuando me tuve que prepararpara ingresar a la Universidad Nacional de Trujillo, la aritmtica no la he usado ni

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enseado salvo en situaciones muy particulares. Sin embargo, siempre he tenido lacuriosidad de ver algunos problemas aritmticos y sus mtodos de solucin. Deboremarcar que nos referimos a la aritmtica elemental que se enseaba en loscolegios y no a la aritmtica avanzada, la que es una bella rea de la matemticamoderna y que contiene bellos resultados. Tampoco he tenido vivencias con estaaritmtica avanzada salvo algunos resultados puntuales. Volviendo a los Baldores(en mi poca, an no exista la geometr a de Baldor), estos libros junto con ellgebra de Bruo fueron mi patrimonio bibliogrfico que posea en vsperas deiniciar el cuarto ao de secundaria.

( ii ) La Academia Federico Villarreal.

Con motivo que nuestro colegio San Juan cumpla 100 aos de existencia(1954) se programaron diversas actividades culturales y deportivas. Don GilbertoTresierra era el coordinador del rea de matemtica y tuvo la idea de reunir ungrupo de estudiantes de los diferentes aos de estudios con quienes organiz LAACADEMIA DE MATEM TICA, FEDERICO VILLARREAL. As, tuvimos laoportunidad de conocer que Villarreal fue un matemtico peruano y que habahecho una gran labor como tal. Tuve la suerte de integrar esta Academia yseguramente fue un estmulo para todos nosotros el seguir progresando en lamatemtica. Fue tambin la oportunidad para incrementar nuestra amistad conalgunos compaeros de estudios; nos una nuestro inters por la matemtica,amigos como Jaime Paredes (Ingeniero Civil), J. Julio Silva (Mdico), Arturo Paz(Mdico), Rudy Snchez (Ingeniero), Walter Torres (Mdico), entre otros; todosramos del cuarto ao y el nico que eligi la carrera de matemtica fui yo; algunosde ellos eran muy buenos y hubieran sido destacados matemticos. Es oportunomencionar a Edy Segura P., del quinto ao, quien lleg a ser ingeniero qumico yDoctor en Fsica.

La Academia fue fundada en el mes de Junio de 1954; San Juanfuncionaba en el nuevo local de la Gran Unidad Escolar; fue una gran idea ponerleel nombre de un ilustre matemtico peruano, Don Federico Villareal Villarreal; yosaba muy poco de su vida y en una conferencia nos hablaron de su trayectoria; enesa poca los matemticos eran pocos conocidos, sobre todo sus produccionescientf icas (creo que an es as actualmente, de algn modo). De esta manerasurgi de un modo natural una sana competencia que nos impulsaba a estudiarmas por nuestras cuentas; as, aprendimos algunos difciles problemas para serplanteados a alguno de nuestros compaeros y recprocamente; estos problemaspodan ser de aritmtica, lgebra o geometr a; la trigonometr a muy poco lamanejamos pues recin la estudibamos en el segundo semestre del quinto ao, envsperas de salir del colegio. De esta manera, capaz sin darnos cuenta,aprendamos de un modo integral, como un todo, como es la matemtica; ello fueimportante. Una frase usual entonces era: scate este problema por aritmtica ypor lgebra; as, experimentamos de la gran fuerza de los mtodos algebraicos.

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Academia de Matemtica Federico Villarreal. C.N. San Juan.Trujillo. 1954.

El profesor Tresierra (en la foto de arriba aparece sentado el primero de laizquierda) enseaba geometr a plana a las cuatro secciones que formaba mipromocin; no tuvimos un libro texto pero l tena unas notas mimeografiadas quepude conseguir y me sirvi de gua para el desarrollo del curso; su contenido era losconocidos temas bsicos que tradicionalmente se enseaban en el colegio y creoque an actualmente. Este curso fue mi primera vivencia con la geometr a yconstituy una grata experiencia por estar rodeada de algunos estmulos, aparte deaprobar un curso de matemtica; en efecto, ese ao compr un libro de problemasde geometr a de Bruo que contena ejercicios y problemas de cierta dif icultad, deun nivel superior a lo que se enseaba en el colegio; en general, los libros de Bruotenan un nivel que siempre aspiraba tener, lo que obtuve a medias. Rudy Snchez() fue un compaero que progres rpido v a estos antiguos libros de Bruo; enotras circunstancias, Rudy pudo haber estudiado matemtica y haber sido uncompetente profesional; la vida lo llev por otro camino, en el que tambin tuvoxito. Ahora descansa en paz.

Con Rudy Snchez; losaos han pasado perola amistad qued!

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De mi padre hered la aficin por los libros; l fue un gran lector no obstanteque solo estudi hasta primar ia pero fue un autodidacta y as lleg a tener una grancultura sobre temas de la mente y de sus enfermedades; en su tierra natalCajabamba lleg a poseer una pequea biblioteca; gustaba leer mucho sobreliteratura y saba muchas poesas.

Don Alejandro Ortiz Salirrosas(1899-2001) con sus libros sobrepsiquiatr a.

Con esta influencia estando el colegio comenc a formar mi biblioteca; yaposea los dos libros de Baldor y el libro de Bruo sobre geometr a; estos libros losconservo hasta ahora y formar parte de mi patrimonio de libros bsicos sobrematemtica. En mi poca de estudiante en Trujillo haban pocas librer as y gustabavisitarlas con cierta frecuencia aunque sea para tener el deleite de ver los libros enla vitrina. As, logr ubicar un libro con un ttulo que atrajo mi atencin: BreveHistoria de la Matemtica, el autor era Francisco Vera, que no conoca denombre; luego de reunir el dinero, el 06 de diciembre de 1954 lo adquir ms porcuriosidad que por necesidad pues al hojearlo v que no haban frmulasmatemticas; haba solo literatura sobre temas que estaban lejos de mi informacinpero esto me despert ms curiosidad. El libro tena diez captulos cuyos ttulos meeran nuevos en su mayora: I. La matemtica oriental; II. La geometra griega; III. Ellgebra; IV. La geometr a analtica; V. El clculo infinitesimal; VI. Renacimiento dela geometr a; VII. El anlisis del siglo XIX; VIII. Las geometr as no-euclideanas; IX.Funciones, grupos y conjuntos; X. lgica y matemtica. Como apreciamos todo estoera un amplio universo que yo no esta en condiciones de comprender pero an asdecid leer el libro en el verano de 1955, alternando con las distracciones que tenacon mis amigos de mi barrio.

( iii ) La Historia de la Matemtica.

La vivencia tenida en la Academia en el ao 1954 debe haber sido muyestimulante en muchos de nosotros que la integrbamos pues, adems, ya surgala cuestin de elegir la carrera universitaria a seguir al trmino de nuestra vidacolegial; la mayora eligieron la medicina y la ingeniera. Debemos remarcar que enesa poca no exista la carrera de matemtica, lo ms cercano era estudiar para ser

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profesor de matemtica a nivel de secundaria, una carrera no muy atrayente por lasdiversas razones conocidas. Es curioso pero an actualmente muchos jvenes contalento matemtico estudian ingenier a o medicina no obstante que ya existe lacarrera del matemtico pero no muy bien conocida en nuestro medio. Con talestmulo muchos de nosotros aprendimos ms temas que las que nos enseaban;en mi caso estaba bien protegido pues posea los dos Baldores y el Bruo degeometra (tiempo despus comprara otros Bruos, como el de aritmtica, lgebray el de trigonometr a). Pero yo no estaba seguro de poder ir a Lima para postulara la antigua Escuela de Ingenieros, que era la institucin a donde iban los jvenescon talento matemtico. Mi motivacin para ir a la Escuela no estaba en querer seringeniero en s, sino en aprender la matemtica que se exiga; yo no era concienteque tal vivencia solo era en los primeros meses de la carrera y luego se entra en laingenier a elegida con sus propias caractersticas. Por otro lado, en Trujillo solohaba Ingenier a Qumica y la carrera en Educacin para ser profesor dematemtica en secundaria. Pero haba otra idea que me motivaba, el statusprofesional que tiene el ingeniero (sobre todo en aquellos aos en Trujillo) y estoes, muchas veces, la razn para elegir una profesin y no la vocacin en s. Yo estaconfundido. Como no puede ir a Lima, en 1955 (ao en el que haca el quinto) mientusiasmo por la matemtica baj un poco; en la literatura buscaba un equilibrio;saba que el ingreso a la Universidad Nacional de Trujillo no era tan excitante comoel de la Escuela. Sin embargo, con los muchachos de la Academia anmantenamos cierto contacto para intercambiar problemas, sobre todo de geometr aplana en donde haban muchos lindos problemas.

El curso de matemtica del quinto ao estaba dividido en dos partes; en elprimer semestre estudiamos la geometr a del espacio y en el segundo se hacia unaintroduccin a la trigonometr a. Fue una vivencia un poco diferente a las tenidas enaos anteriores, pues ambos temas tenan sus propias caractersticas y formas depensar. Nuestro profesor fue Don Alfonso Chvez C., un ingeniero qumico quetena la fama de ser un buen matemtico y esto nos motivaba. Como los alumnosde mi promocin tenamos, en promedio, 19 aos de edad ya ramos msconscientes de nuestras propias responsabilidades sin dejar de tener la alegra ylas travesuras de los jvenes. As transcurri este ltimo ao de vivir cinco ao ennuestro querido Colegio San Juan, pero a inicios de ese ao (1955) tuve unagrata experiencia!

El mencionado libro de Vera lo hojeaba de vez en cuando en los das pre-navideosy lea al azar algunas de sus pginas; me despertaba curiosidad algunas palabras,como infinitesimal, qu signif icaba?; daba la sensacin de algo muy pequeo,un clculo muy pequeo?. Decid leer el libro en el verano del 55 an cuandocomprendiera poco; adems, senta que no tena a alguien a mi alcance queconociera los temas del libro y me or ientara en su lectura. Estaba aprendiendo aaprender. Este libr ito, como as lo llama Vera, an lo conservo; lo tuve comoperdido por un tiempo pero hace poco tiempo lo encontr entre mis cosas.

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Cartula del Libro de Vera.

Su autor lo termin de escribir en diciembre de 1945 y fue un reto para l escribiruna obra sobre historia de la matemtica sin usar trminos especializados nismbolos matemticos. Dice: No me dirijo a los especialistas, que no encontrar annada nuevo para ellos en este librito, sino al hombre que tiene un mnimo de culturamatemtica y que quiere conocer la gnesis y el desarrollo de la ciencia llamadaexacta . Seguramente el leer estas palabras me animara a leer el librito. Enefecto, la redaccin es bastante fluida, el lenguaje es simple y no hay smbolomatemtico alguno! Es difcil lograr esto, ahora lo s por experiencia. Hagamos unbreve paseo por el t iempo, segn como Vera nos conduce. De esta manera,tambin, recordar los caminos seguidos en aquel verano de 1955 cuando tenaalgunas ilusiones y cierta frustracin. Esta aventura fue mi primer contacto en laHistoria de la Matemtica; estaba lejos de imaginar que en mi vejez escribira unlibro con el tambin ttulo: Breve Historia de la Matemtica.

En el primer captulo I, Vera presenta a la matemtica oriental; iniciadiciendo: El Captulo ms difcil de escribir sobre una disciplina cientf ica es el desus orgenes, pues que se encuentran siempre en la bruma de los dasprehistricos tan llenos de conjeturas e hiptesis como vac os de hechos concretosy fidedignos, y, por lo que a la matemtica se refiere, solo puede afirmarse que elhombre primitivo posee un Aritmtica porque necesita contar objetos o cabezas deganado, pero carece de Geometr a porque no tiene nada que medir. El autornos conduce de un modo atrayente a los lejanos tiempos cuando surgen losnmeros primitivos y cierta nocin de correspondencia; describe a la matemtica delos caldeos y nos narra el surgimiento de la geometr a en el antiguo Egipto; porprimera vez supe de la existencia de los papiros de Mosc y de Rhind. Tambin noslleva a las legendarias culturas China e India. Estas vivencias con la matemtica delas primeras civilizaciones es algo fascinante; tengo recuerdos algo escondidos enmi subconsciente de lo ledo en aquella oportunidad pero soy consciente de quedisfrut de informarme que existieron culturas, muy lejanas en el tiempo, en donde

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ya existi la matemtica en relacin directa con las necesidades del hombre deentonces. Lo logrado en aquellos tiempos fue evolucionando y sirvi para dar elsiguiente gran paso con la gloriosa civilizacin griega.

En el capitulo II, Vera nos narra sobre la geometr a griega. Este fueposiblemente el captulo que ms comprend ya que el hombre de Euclides nos eraun poco conocido por el curso de geometra plana que acabbamos de estudiar.Para un joven sensible al idealismo del pensamiento griego, la lectura de esta partees muy estimulante; en ese entonces algunos nombre nos eran conocidos, comoTales de Mileto, Pitgoras y Euclides; ahora tuve la oportunidad de tener una visin,un sentimiento de la evolucin de la matemtica en este llamado milagro griego.Observemos que me estaba metiendo en una lectura que se apartaba de lainquietud de mis compaeros que era aprender a resolver complicados problemaspensando en el examen de ingreso a la Escuela de Ingenieros; como yo ya tenaclaro que no ira a Lima tal aprendizaje se atenu. Ahora estaba informndome detemas que posiblemente poco interesaba a mis condiscpulos, sin ser consciente,yo estaba encontrando mi camino, mi vocacin, pero capaz tal lectura la hayarealizado para olvidarme de mi frustracin de no ser ingeniero; esto pudo serposible; an ahora no tengo claro tal panorama.

Vera presenta de un modo atrayente y simple la obra de Tales, Pitgoras,Euclides y Arqumedes, entre otros nombres no muy bien conocidos; para mi fue elprimer contacto con estos famosos personajes; yo no estaba preparado paracomprender el valor histrico - matemtico de sus obras pero fue una informacinque qued guardada en nuestro subconsciente dado que no tuve otros contactospor un buen tiempo. Es posible que la crisis surgida en la poca de los Pitagricosrespecto a la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado unitario debahaberme creado cierta curiosidad an cuando no entenda bien el problema en s.

El captulo III trata sobre el lgebra, un tema que estaba un poco a mialcance pues ya haba llevado dos cursos de lgebra; aunque no existen smbolosalgebraicos la lectura es amena; se describe la evolucin histrica del lgebra enBabilonia y en Egipto, sobre todo lo ocurrido en Grecia con nfasis en la obra deDiofanto de Alejandr a. Vera dice que el lgebra es una generalizacin de laAritmtica en donde los nmeros son reemplazados por letras, expresin queseguramente comprendimos entonces. Tambin el autor nos conduce por la pocamedieval cuando los rabes contribuyeron con la difusin del lgebra gr iega en elmundo occidental. Si bien no estaba aprendiendo elaborados ejercicios y problemasde lgebra al estilo de Bruo, estaba obteniendo una informacin que me serviraen el futuro para incursionar en la historia de la matemtica.

No recuerdo bien la reaccin tenida cuando comenc a leer el libro a partirdel captulo IV dado que eran sobre temas completamente desconocidos para unjoven que an estuviera en secundaria; posiblemente la atencin la pondr a en lospersonajes que encontrbamos (Fermat, Descartes, New ton, Leibniz, ) y en susbreves biografas. La curiosidad es tambin un factor importante en el aprendizaje

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del joven; capaz tena la curiosidad de saber que es la geometr a analtica y elclculo infinitesimal. Mucho ms lejano senta que estaba el anlisis matemtico ylas geometr as no-euclideanas; grupos y conjuntos eran palabras familiares peroen el sentido casero. Qu era todo esto?! Con frecuencia digo a mis alumnosque a veces se comienza a aprender ignorando y no comprendiendo lo que se lee;bueno, esto es una forma de explicar aquella situacin en que la informacin laobtenamos en forma solitaria, sin tener motivaciones ni alguien a quien consultarlas dudas o nos explicara el panorama que encontrbamos. Pero, estoy ahoraseguro, vali la pena hacer el intento, an cuando mis compaeros de colegio yasaban ms trucos que yo, para resolver difciles problemas.

Izq. a der.: J. Paredes,Academia J. Silva, A. Paz, W. Torres,

Federico Villarreal R. Snchez, ?, Quevedo,San Juan 1954 A. Ortiz.

( iv ) Algunos Mensajes.

- Con algunos compaeros de mi Promocin (San Juan, 1955. Trujillo) nosreunimos peridicamente y coincidimos que los aos vividos en el colegiofueron posiblemente los ms felices tenidos en nuestras vidas, al menos encierto sentido. Las vivencias tenidas son recordadas con la dimensin que lamadurez adquirida pero siempre afloran nuestras conductas como si furamoslos muchachos de entonces. Estas reuniones son muy positivas y son unabuena terapia para enfrentar nuestros males fsicos y posibles depresiones.

- An con las limitaciones que lo jvenes puedan tener (por ejemplo, de carctereconmico) los estudiantes pueden, y deben, ir construyendo su futuro delmejor modo posible. Ser un buen estudiante es la base, tanto en conocimientoscomo en la conducta personal. Los errores y los fracasos existen en nuestrasvidas, forman parte de nuestra naturaleza humana, pero tambin es cierto quepodemos tener la fuerza para corregirnos y para levantarnos cada vez quecaigamos. Siempre necesitamos de algunos estmulos que nos ayuden aprogresar; la Academia jug un importante papel en nosotros pues nosrelacion para familiarizarnos ms y ayudarnos mutuamente.

- Algunas veces no podemos hacer lo que quisiramos realizar; yo aspiraba ir aLima posiblemente ms por no quedarme atrs de mis compaeros decolegio con quienes comparta algunas experiencias matemticas. Tuve queaceptar una realidad en una edad llena de sueos e ilusiones; ahora me

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pregunto, Cul habr a sido mi destino si hubiera sido un ingeniero civil?; paracomenzar pronto hubiera visto que la matemtica (en el sentido que laentenda) era un encanto solo de los aos bsicos y luego era otro mundoprofesional; capaz me hubiera sentido desilusionado como de alguna manerasucedi cuando estuve en la Universidad de Trujillo.

- Tambin es cierto que la persona dignif ica la carrera y la optimiza en base asus recursos, a su fe y a su capacidad. Tenia esperanzas que siendo unprofesor de matemtica en un colegio podra ser feliz enseando la geometr a yel lgebra que me hizo feliz en esos aos juveniles. En este argumento noentr otros factores que solo la vida me ensear a; eran argumentos sinceros;adems, vea la tranquila vida que llevaban mis profesores (no saba quedetrs de esta imagen podr an existir insatisfacciones y amarguras). Sinsaberlo, estaba cerca de encontrar mi vocacin, algo tan complejo deencontrar; a veces lo encontramos en la adultez, otras veces no laencontramos y vivimos en un mundo de insatisfacciones.

- La experiencia tenida con el libro de Vera sobre la Historia de la Matemticame fue muy til en mi vida acadmica; ya a partir de 1955 adopt la costumbrede hacer algunas referencias histricas a mis compaeros de colegio, quienesgustaban or esas historias de tiempos lejanos. En ese entonces slo poseael libro de Vera, no conoca otro libro sobre historia de la matemtica; labibliografa que daban eran sobre libros muy antiguos y estaban en ingls,francs y alemn, algo muy lejano para m; la biblioteca del colegio erapequea y no recuerdo algn libro sobre este tema, salvo la coleccin ElTesoro de la Juventud que era muy solicitado por los alumnos por sushermosas narraciones histricas que posea.

- En conclusin, podramos decir que la etapa colegial es donde vamosdefiniendo nuestra futura vida, tanto profesional como en otro campo laboral.Es el periodo en que afloran algunos cambios biolgicos; mi promocin (1955)termin la secundara entre los 19 y 20 aos de edad, mucho mayor alpromedio actual, y por tanto ramos ms conscientes del paso que nosesperaba dar. As fue, a cada uno de nosotros nos esperaba un mundo porexplorar, por conquistar. Atrs quedaban las aulas, los patios, los muros delcolegio, las imgenes de nuestros maestros, quedaba nuestro hogar por cincoaos, quedaban muchos recuerdos y vivencias

Fachada del antiguo colegioSan Juan. Trujillo.

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LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO(1956 1959)

( i ) La Facultad de Educacin. Ingeniera Qumica.

En diciembre de 1955 se realiz la clausura del ao colegial en la GranUniversidad Escolar Manuel Isidoro Surez, en donde estaba el colegio SanJuan. A partir de entonces vino la despedida mutua entre quienes integrbamos laPromocin 1955 y cada uno de nosotros tom su propio camino. En mi caso,comenc a prepararme para el examen de ingreso que se realizara en el mes demarzo; el examen consista de una prueba de matemtica con cuatro problemassobre aritmtica, lgebra, geometra y trigonometr a, pruebas que eran calif icadaspor un jurado especial; luego haba una prueba sobre percentil y f inalmentepasbamos por una entrevista personal donde nos preguntaban sobre los demscursos. Aprob el examen. En lo relativo a la prueba de matemtica, con laexperiencia tenida en el colegio, en particular en la Academia me sentasuficientemente preparado para tal reto. En esa poca no haban academias depreparacin ni libro y folletos sobre el ingreso. Estamos en marzo de 1956. Yahaba determinado estudiar en la facultad de educacin para ser Profesor deSecundaria, en la especialidad de matemtica; para ello deba pasar por la Facultadde Ciencias, la que estaba integrada por alumnos que estudiar an medicina,biolgicas y matemticas. Yo era ms o menos consciente del nivel matemtico queiba a tener; en mi subconsciente an estaba el deseo de tener otras aspiraciones yniveles; en este breve perodo creo que no hice algo en pro de mi auto aprendizajematemtico; no estaba motivado. Pero, en aquellos aos era posible estudiar doscarreras simultneamente. Deseando ser ingeniero como sea decid matricularmetambin en la facultad de Ingenier a Qumica, la nica ingeniera que existaentonces.

Cmo era el ambiente matemtico en Trujillo en aquellos tiempos (1956)?...

Mi vivencia en la primaria (1945 1950) que con la caracterstica propia deesta etapa estudiantil; no poseo recuerdos remarcables salvo mi aprendizaje de lascosas bsicas de la aritmtica y de la geometr a plana; en cuanto a personajesescuchaba en mi barrio los nombres de algunos profesores de matemtica encolegios de la ciudad. Cuando ingres a San Juan ya era ms consciente delambiente matemtico, al menos localmente. En los aos 1950's Trujillo era unatranquila ciudad; existan pocos colegios y una sola universidad, la UniversidadNacional de Trujillo (UNT), la que atraa a muchos estudiantes de provinciasvecinas y del norte del pas. Habiendo una sola ingeniera y la Facultad deEducacin, es claro inducir que el nivel matemtico de entonces sera el bsico,posiblemente el tope superior haya sido el clculo infinitesimal al estilo de una

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ingenier a de entonces. Los matemticos eran los ingenieros, los contadores yalgunos profesores de colegio. Este fue, ms o menos, el panorama que encontren la UNT.

En abril de 1956 inici mi aventura por dos caminos diferentes pero con uninicio un tanto comn. As, en la Facultad de Ciencias llev los cursos: AritmticaTerica y Prctica, Geometra y trigonometr a Esfrica, Geometra Analt ica I,Clculo Diferencial e Integral I, Revisin de Matemticas; adems, en este PrimerAo tambin llevamos, Castellano, Fsica General I, ingls e instruccin pre-militar.Debemos indicar que los cursos eran anuales, se dictaban de abril a diciembre; norecuerdo el nmero de horas semanales pero por el numero de ellos (eran nueva!)deben haber sido de cuatro horas semanales los cursos de carrera. Durante loscinco aos llevamos instruccin pre-militar! Sin comentarios. Pasemos a comentarbrevemente los cursos de carrera que llevamos en este primer ao de vidauniversitaria. Procuraremos ser objetivos y con el respeto que se merecen quienesfueron nuestros profesores quienes responden a una realidad acadmica deentonces; asumimos que ellos hicieron honestamente lo que pudieron pero en arasde la verdad histrica tenemos que ser justos en nuestras apreciaciones.

El curso de aritmtica terica y prctica fue dictado por Don IndalecioPuig, espaol de or igen, quien hizo un curso bastante elemental, prctico, casi alestilo del colegio; el tema se prestaba para hacer un bonito curso sobre nmerosreales; nunca se us la palabra conjunto. Casi no recuerdo algo de lo que se hizoen nueve meses; una lastima pues nos hubiera servido mucho en nuestraformacin. No tuvimos un libro gua. El curso de geometra y trigonometraesfrica fue dictado por Don Virgilio Rosales R. quien dio ms nfasis a latrigonometr a y lo desarroll en base a diferentes libros, en forma sucesiva, y queno estuvieron a nuestro alcance. El profesor Rosales fue un excelente expositor,con letra muy clara y orden en la pizarra. Es oportuno mencionar que en esostiempos (1956) en la UNT haban constantes huelgas, algunas duraban buentiempo, lo que perturbaban el dictado de los cursos y as se perda la continuidad delas ideas. En este curso extraamos lo aprendido en el colegio a base de geometr ade Bruo; posiblemente la dinmica de trabajo un poco lenta sea producto de queestbamos inmersos en un medio poco competit ivo, sin muchas aspiracionesacadmicas futuras; era cuestin de cumplir el presente de algn modo.Posiblemente en otras condiciones este curso pudo ser mejor.

La geometra analtica, un nombre que ya haba ledo en el libro de Vera yque tenia curiosidad de saber que trataba, fue dictado por Don Virgilio Rosales R.El ambiente bibliogrfico que encontr en la Facultad estaba dominado por doslibros: la geometr a analt ica de Ch. Lehmann y el clculo diferencial e integral deW.A. Granville; en esos tiempos no haban muchos libros sobre esos temas enTrujillo. Don Virgilio hizo parte de los correspondientes a la geometr a analtica en elplano; para nueve meses que dur el curso hicimos relativamente poco. Uno de losdefectos de la enseanza de la UNT de esa poca fue la ausencia de solucin deejercicios y problemas de un modo organizado, salvo algunos ejemplos que el

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profesor hacia en clase, esto fue un defecto esencial en nuestra formacin; capazse pensaba que bamos a ser profesores de secundaria y no era necesario tantaexigencia. Quedaba a nuestra iniciativa el tener tal entrenamiento pero comollevbamos muchos cursos, y en mi caso dos carreras, tal vivencia fue muy dbil.Por otro lado, no tenamos informacin de lo importante que era este curso; de unmodo general los profesores se limitaban a dictar el curso de un modo operativo,sin jugar con ideas ni de las aplicaciones que tiene lo enseado en problemasconcretos; mucho menos de la evolucin histrica del tema que se ensea. Qutil hubiera sido si mis profesores hubieran ledo el libro de Vera y lo hubieranpredicado! El curso estuvo centrado en el estudio de la recta, circunferencia,parbola, elipse y posiblemente algo de hiprbola. Recuerdo que uno de mis ex-compaeros de colegio, y que estaban en Lima, le encargu que me compraraalgunas monografas de problemas sobre geometr a analtica y sobre clculodiferencial e integral; as tuve la oportunidad de manejar algunos problemas del t ipoque usaban en la Escuela de Ingenieros, el nivel era superior a lo que hacia enTrujillo.

Parados: Mximo Verau, A. Ortiz, Juan Benites;Arrodillados: C. Minchola, Gustavo Bastarrechea.Matemticas UNT 1956.

El fundamental curso clculo diferencial e integral 1 lo dict el profesorGilberto Tresierra C., a quien conoca bastante pues haba sido mi profesor dearitmtica y de geometr a plana en el colegio San Juan; adems tuvimos una brevevivencia con l en la Academia Federico Villarreal; por lo tanto, me una un gransentimiento de amistad y de respeto a l, quien tambin me apreciaba mucho. Estoera el plano afectivo, personal. Don Gilberto era natural del Cusco y seguramenteestudi para ser profesor de secundaria en la Universidad de esa ciudad y suaprendizaje del clculo debe haber sido en tal ambiente; adems, ya en Trujillo sumayor tiempo lo pas como profesor de colegio. Ese ao (1956) entr a la UNTcomo profesor. Esto nos induce a pensar que el dictado del curso no haya sido delnivel bsico requer ido; en un ao acadmico hicimos muy poco, creo que solo laparte diferencial, sin ejercicios ni problemas dados con periodicidad; no tuvimosalgn libro de texto. El libro de Granville lo adquir al f inal del curso pero no lo uscasi. Ahora comprendo las cosas importantes que no aprendimos bien en una edadVital para el desarrollo del pensamiento matemtico. Fue una realidad y hay queaceptarla y respetarla a travs del tiempo.

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Respecto al curso de revisin de matemtica no recuerdo que profesor lodict ni su contenido; el curso de fsica general 1 lo dict Don Javier Trevisani, uningeniero buena gente que hacia el curso para tener contentos a los estudiantes.As pas, ms o menos, mi primera vivencia universitaria en la Facultad deCiencias, teniendo como meta ser profesor de secundaria, en la especialidad dematemtica.

En ese ao 1956 tambin me matricul en la Facultad de IngenieraQumica, primer ao, en donde tambin llev algunos cursos de matemtica, comoson: revisin de matemtica, geometr a analtica, clculo diferencial e integral,geometra descriptiva y fsica. Como apreciamos, ese ao llev simultneamentedos cursos de geometr a analtica, de clculo, de revisin y de fsica. Fue curioso,pero el nivel de tales cursos en ingenier a eran de mejor nivel que los dematemtica; posiblemente la razn fue que el profesor de geometr a analt ica y declculo fue un egresado de la Escuela de Ingenieros (el ingeniero Miguel Zamora);el curso de geometr a descriptiva lo dict el ingeniero Grimaldo Luna Victoria G.,tambin egresado de la Escuela; mi vivencia con este curso fue por primera y lt ima

Retegui, Ortiz, ?, ?, Dioses.Ingenier a Qumica, UNT. 1956.

vez dado que nunca ms tuve contacto con esta rama de la geometr a. TantoZamora como Luna Victoria eran profesores un tanto exigentes lo que a veces elestudiante no sabe apreciar. En esta etapa, mi vivencia con ellos era la clsicarelacin profesor-alumno, aunque tena mayor acercamiento con Don Grimaldo.Aos despus, ya yo como profesor, tuve con ambos cierta amistad, de apreciomutuo. El curso de revisin de matemtica fue dictado por Don Alfonso Chvez C.,un ingeniero qumico que me haba enseado geometra del espacio ytrigonometr a en el colegio y por tanto ya nos conocamos. Mi vivencia con estecurso me di la oportunidad de conocer un excelente libro sobre lgebra de un nivelms avanzado a lo aprendido en el colegio, con muy bonitos ejercicios, algunos denaturaleza abstracta. Me refiero al libro lgebra Superior de H.S. Hall S.R.Knight. Don Alfonso us parte de este libro para desarrollar el curso; fue el tipo deaprendizaje que anhelaba tener; no obstante que fue una experiencia fugaz me dejuna huella en mi aprendizaje.

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Los otros casos que llev fueron qumica inorgnica (con el ing. ReyesPr ncipe) y su correspondiente prctica de laboratorio (con el ing. C. Chirinos), fsicageneral (dictado por el ing. Aurelio Cmere), que fue hecho mas atractivo que eldado en matemtica. Al f inal de ao hice el balance correspondiente y llegue a laconclusin de que mi vocacin no estaba por ese camino, pero no me arrepentpues haba tenido una relativa buena experiencia matemtica. Decid continuar misestudios solo en la Facultad de Ciencias donde se estaba dos aos y de ah pasar ala Facultad de Educacin. Pero ya surgan otros vientos en el ambiente de losestudiantes de matemtica lo que habr a de cambiar mi destino acadmico profesional!

En efecto, desde que ingres a la UNT ya haba una fuerte inquietud demuchos estudiantes de matemticas y de otras especialidades para que en laUniversidad se creara la carrera de Ingenier a Civil; pareca que el sentimiento queyo tena en el colegio era tambin compartido por muchos otros jvenes. Sehicieron muchas gestiones, consultas, se present un ante proyecto, etc., en pro detal idea. Al f inal las autoridades universitarias no aprobaron el proyecto dandodiversas razones, sobre todo el econmico; esto provoc seguramente unafrustracin colectiva; algunos se fueron a Lima a estudiar en la Escuela; los quequedamos en Trujillo nos preguntamos qu hacemos ahora?... Por ah surgi laidea de crear la carrera de matemtica pura de cuya existencia seguramentealguien descubri en la universidad de San Marcos.

( ii ) La Matemtica Pura en Trujillo.

Estbamos en 1956. Se comenz a obtenerse informaciones sobre talnueva carrera que en ese entonces era desconocida en Trujillo, as como,desconocamos cual era el campo de trabajo de los egresados pero sospechamosque era una mejor alternativa que la de ser profesor de secundaria,desgraciadamente. En 1957 llega la matemtica pura a la UNT! Se crea la carreraen base a los dos aos que hacan los alumnos en la Facultad de Ciencias; esdecir, la carrera de matemtica pura propiamente se iniciaba con el tercer ao, ytendra una duracin total de cuatro aos. Como ancdota digamos que uno de losproblemas que tuvimos era reunir el nmero mnimo de estudiantes que creo eraalrededor de seis alumnos; como la carrera era un poco incierta varios (de losestudiantes que haban) no se matricularon, entonces se tuvo que convencer aalgunos egresados de educacin varios aos atrs para que se matriculen solopara completar tal requerimiento. As se hizo. Otro problema que hubo fue elconseguir los profesores que dicten los cursos segn un programa anlogo alexistente en San Marcos. Supimos que en esta universidad el nmero deestudiantes en matemtica pura eran muy pocos, mas an los egresados, peor anlos egresados que tengan el grado de Bachiller en Matemtica, que era muy difcilobtener entonces. Adems, nos imaginamos, que el ir a trabajar a una provinciapodra haber sido una limitante. Sin embargo, se consigui que dos jvenesegresados fueran a Trujillo para iniciar una aventura acadmica en el norte del pas;ellos fueron: Oscar Valdivia Gutirrez y Alberto Vidal Carrin. Don Oscar vino al

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rea de matemtica, mas concretamente a dictar los cursos de anlisis y DonAlberto se encargo de la fsica ter ica. Valdivia introdujo el libro de T. Apstol:Mathematical Anlisis, una excelente obra sobre clculo avanzado, tema que erauna especie de taln de Aquiles en Trujillo.

Mientras funcionaba el tercer ao de matemtica pura (1957) yo hacia elsegundo ao en la facultad de Ciencias pero esta vez estaba ms motivado pues yatena un nuevo dominio por explorar. No toc hacer el segundo curso de geometr aanaltica, dictado por el Prof. Rosales en base al libro de Lehmann; el cursoconsisti en algunos temas sobre la geometr a analtica del espacio pero nos faltfuerza para entrar con detalles a las superficies bsicas. En realidad poco recuerdode lo que realmente hicimos. Rosales tambin nos enseo el segundo curso declculo diferencial e integral; es posible que la presencia de los jvenes profesoresvenidos de San Marcos haya estimulado a nuestros profesores para elevar el nivelde enseanza, al menos en cuanto a la disciplina de trabajo. El curso estuvocentrado en el trabajo operativo de calcular integrales; el profesor usaba un librocuyo nombre no recuerdo pues nunca lo tuvimos. Como siempre, Don Virgilio haciaexposiciones metodolgicamente buenas pero poco se avanz en el curso;adems, los exmenes no fueron muy exigentes. Tambin Rosales nos ense elprimer curso de anlisis infinitesimal; creo que para l fue un reto ensear estecurso pues durante un ao acadmico hizo bastante poco pero tuvo el mrito, comogran novedad, de usar la terminologa conjuntista; fue la primera vez que vimos lasexpresiones: conjunto abierto, cerrado, punto de acumulacin, punto aislado, ;recuerdo que se gui del libro de Mario Gonzles sobre funciones de variablecompleja, libro que adquir en 1959 para el curso de funciones analt icas y pudeapreciar por primera vez el gran mundo de la variable compleja, un dominiomatemtico que nos era desconocido. De los otros cursos, elementos deastronoma y mecnica racional, podra decir que pasaron sin dejar mucha huella.

As cumpl, con el segundo aos de estudios. Estaba listo para, otra vez,llevar dos carreras, una en la Facultad de Educacin para ser profesor desecundaria, la otra en la nueva Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas paraser un matemtico puro.

Siempre he pensado que el futuro de una persona se lo construye lapersona misma cuando adems de poseer ciertas adecuadas condiciones, sabeaprovechar la coyuntura que vive. Yo, en 1957, an no siendo alumno de Vidal yValdivia, adopt la costumbre de acercarme a ellos para preguntar les cosasrelacionadas a la matemtica y a la fsica, en particular sobre la que haba en SanMarcos, quienes eran los profesores, los cursos,

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Estudiantes de Matemtica de la UNT.Huampan, 1957.

Estudiantes de Matemtica de la UNT.Prof. Virgilio Rosales (sentado, tercerode izquierda a derecha.)Huampan, 1957.

A fines de 1957 nuestro panorama de la matemtica se ampli para muchosestudiantes pues se organiz una excursin a Lima, con el objetivo de visitar laFacultad de Ciencias Fsicas y Matemticas de la Universidad de San Marcos; setrataba de conocer a sus profesores, establecer contactos con los alumnos; en fin,desebamos ampliar nuestra visin de la carrera que recin se iniciaba en Trujillo.Para mi, era la primera vez que viajaba a Lima y por tanto tuve la impresin naturaldel provinciano que conoce recin a la gran ciudad. En esa oportunidad conocimosa algunos profesores, a algunos estudiantes, de conocer la Facultad de CienciasFsicas y Matemticas que funcionaba en la antigua Casona en el Parque

Csar Carranza y AlbertoVidal (segundo y tercerode izq. a der.), OscarValdivia (segundo de der.a izq.).Hotel Bolvar, 1957.

Universitario. Fue un primer contacto muy estimulante y nos dej el deseo deregresar pronto para indagar ms sobre la matemtica que se hacia en esta Casa

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de Estudios. As, culmin ms o menos el ao 1957; ya tenamos una idea masclara sobre la carrera que iniciara propiamente al ao siguiente.

1958. La vivencia tenida en Lima, la existencia de la carrera dematemtica-pura y la amistad ya iniciada con los profesores Vidal y Valdivia, eranmotivaciones para que tengamos nuevas ilusiones; parec a que estbamosencontrando nuestro camino. Decid seguir tambin con la carrera en Educacinpues se poda llevar dos especialidades en forma paralela; adems, los cursos quetendra eran en su gran mayora cursos de letras (metodologa, psicologa, etc.)salvo el curso de clculo de probabilidades que lo dictaba Don Vicente Vega L.Adems, solo asistira a algunas sesiones; mi prior idad estaba en la matemticapura con la idea de recuperar en algo el tiempo perdido de los dos primeros aosen que muy poco aprendimos o no lo aprendimos bien. Don Vicente merecealgunas palabras especiales; l era un profesor de secundaria con muchos deseospor aprender ms, por progresar, algo no muy comn en la tranquila Trujillo deentonces; escuchaba que era un matemtico puro sin saber yo que signif icabaesta frase. Vega posea una gran biblioteca personal sobre matemtica y reasafines; su sala estaba rodeada de estante llenos de libros; cuando an no tenaconfianza con l, gustaba pasar por su casa, verlo leer rodeado de brillantescolecciones de libros. Cuando fue mi profesor de probabilidades gustaba hacerlepreguntas a la salida de clase, le indagaba sobre la vida de algunos matemticosque l responda de un modo estimulante. Yo gustaba visitarlo para deleitarmeviendo sus libros; ah v por primera vez un bello libro, Los Grandes Matemticosde E.T.Bell que era el segundo libro relacionado con la historia de la matemticaque vea, despus del libro de Vera.

En abril iniciamos las clases; el segundo curso de anlisis infinitesimal lodict el Prof. Valdivia; hizo los primero captulos de un recin libro aparecido,Mathematical Analysis, A Modern Approach to Advanced Calculus, un excelentelibro pero que lo veamos avanzado para nosotros; fue una lstima que losprerrequisitos que tenan los pocos alumnos que asistan al curso (Juan Benites,Carlos Martines, Carlos Vargas y yo) eran muy pobres; nos faltaba conocer bien,por ejemplo, la teor a de los nmeros reales y de funciones; fue una realidad quehaba que aceptar pero a la vez reaccionar positivamente; poseamos algunaslagunas esenciales. Por esto posiblemente Valdivia no pudo avanzar mucho con ellibro de Apostol, un libro que actualmente merece ser estudiado de un modoorganizado. El curso de geometr a diferencial y clculo tensorial lo dict DonErnesto Lpez C., un egresado de San Marcos y que tambin estudi Mecnica enla Escuela de Ingenieros. Como estbamos flojos en geometr a analt ica plana y delespacio, as como en el clculo infinitesimal, poco se poda avanzar en este cursopues sentamos dif icultades conceptuales lo que nos provocaba inseguridades en elcurso. Don Ernesto era un buen expositor, con mucha claridad en sus lecturas,tena orden en la pizarra, buena letra y posea un carcter amigable, usaba frasesque nos entretenan. El curso de fsica terica 1 y el segundo curso de mecnicaracional lo dict Vidal con quin logr estrechar mas nuestra amistad; l era un netofsico terico y daba la impresin que poco haba estado en un laboratorio; recuerdo

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que siempre nos hablaba del Prof. Leite Lpez, un conocido brasileo con quienhaca algunas investigaciones, creo, en partculas elementales.

Como apreciamos, en esa poca la matemtica y la fsica estaban juntascomo carreras, uno las elega en el camino; la estadstica an no apareca. En esteao llev tambin clculo de probabilidades pero no recuerdo quien fue el profesor,(Vega lo ense en Educacin); algo similar ocurre con el curso de astronoma.Lleve tambin introduccin a la fsica atmica que lo ense el ing. Sato, uningeniero qumico que acababa de llegar del Japn. Lo descrito fue el panorama delo que hicimos en este ao 1958; mi vivencia matemtica y la de mis compaerosde promocin, se enriqueci; fui mas consciente del reto que tenia por delante sideseaba sobrevivir en un medio que por razones naturales haba sido muy lento ypasivo. En este sentido debo agradecer a Don Alberto Vidal () su constanteestmulo para que estudiase duro y me preparara para salir al extranjero para hacerel post-grado!

A. Vidal, parado extremo derecho;V. Rosales, parado segundo de izq.a der. Lima 1957.

1959. Entre 1958 e inicios del 59 hice algunos visitas a San Marcos;fue as como supe de los profesores Jos Tola, Jos Ampuero, Jos Retegui,Gerardo Ramos, Flavio Vega, y de otros ms jvenes como Csar Carranza,Roberto Velsquez, Vctor Latorre, ; tambin conoc a algunos alumnos comoEmilio Isla C., Juan Guerra T., Miguel Tantalen, Gloria Snchez, Vctor Horma,Jorge Sotomayor, Napolen Castillo; despus vinieron otras promociones, entre losque estaban Oscar Valverde, Mario Piscoya, Lus Romero y muchos otros jvenesmatemticos. El comentar lo sucedido dentro de este panorama es algo extenso yno es el objetivo en esta oportunidad; digamos que mi vivencia matemtica seestaba enriqueciendo mucho, de algn modo estaban llegando a todo el dominiomatemtico que exista en el pas en ese entonces. Pero, qu ocurra en Trujillo ainicios del 59?... Valdivia viaj al exterior para continuar sus estudios; una comisinviaj a Lima para contratar a un profesor que lo re-emplace y buscar otro para eldictado de estadstica y filosofa de la matemtica. Vinieron los egresados EduardoLen Gonzles y Pedro Castro Ochoa; Vidal an se quedo en Trujillo. Un hechointeresante fue que Vicente Vega se matricul como estudiante de matemtica puraconservando su condicin de Profesor en Educacin; ahora era nuestro compaero

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de estudios. El curso de lgebra moderna lo dict Len, quien tambin nos ensefunciones analticas; l en San Marcos era jefe de prcticas del Prof. Tola y portanto tena ya experiencia en estos cursos que fueron nuestra primera experienciacon las estructuras algebraicas (espacios vectoriales, grupos, anillos,) y con lateora de variable compleja; Len tena una personalidad un tanto singular pero conmi promocin funcion bien y aprendimos estos dos fundamentales cursos, almenos hasta donde nuestra preparacin lo permita. Castro nos enseo estadsticay filosofa, de un modo bastante aceptable; hay que considerar el hecho que, engeneral, los profesores que vinieron tuvieron que ensear cursos que posiblementeno eran de su especialidad pero haba que resolver un problema concretoinstitucional. Vidal continu con el segundo curso de fsica terica. Adems, antenamos el curso de pre-militar !!

En este ao haca tambin el cuarto ao de Educacin; asista a clasessegn mi disponibilidad de tiempo; mi pr ioridad estaba en la matemtica pura. Asmismo, en este ao mi contacto con San Marcos se incremento; cuando iba a laUniversidad visitaba a los profesores Tola, Ampuero, Ramos y otros, quienes meestimulaban con sus palabras para seguir estudiando. No obstante que el Dr. Tolaera un profesional muy ocupado como ingeniero siempre me dedic un tiempo cadavez que lo visitaba; l estaba interesado en saber como iban las cosas en Trujillo enrelacin con la matemtica. Con el prof. Ampuero inicie contactos que habran deperdurar mucho tiempo; como su rea de inters era el anlisis matemtico y estecampo me interesaba, tal vivencia se hizo fuerte. Le debo a Don Jos muchosconsejos; un verano lo dedicamos a estudiar la topologa general de Mac Lane; yohaca las exposiciones y l las observaciones y complementos de ideas; estavivencia me enriqueci mucho en un etapa en que necesitaba de este tipo deestmulos. Con el prof. Ramos mi relacin en esa poca fue un tanto rala; lcultivaba la geometr a diferencial y temas relacionados, un rea en la que teniagrandes vacos; sin embargo, participe en un seminario sobre curvas algebraicasdirigido por Don Gerardo. Esta vivencia me abri la puerta para tener otra muyinteresante experiencia: conocer ms de cerca a Juan Guerra T., un jovenestudiante que posea una gran capacidad matemtica y estaba dotado, adems,de una bondadosa personalidad que lo hacia muy querido por sus profesores y porsus compaeros de estudios. Lstima que Guerra muri en un accidente en Europaen plena juventud cuando ya haba terminado su tesis doctoral. Creo que Guerrahubiera llegado a ser un matemtico de prestigio, as como, hacer obra en pro denuestra ciencia.

Juan Guerra T.

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( iii ) Godofredo Garca.

Ante la ausencia de Valdivia, mi relacin con Vidal se increment; algunasveces nos reunamos en Lima, as en una oportunidad me dijo: oiga Alejandro,desea acompaarme a visitar a Godofredo Garca?; percibiendo que yo no sabiaquien era este personaje me explic en el camino a Magdalena (donde viv aGodofredo) que era un conocido fsico que trabajaba en la teor a de la relatividad,que haba llegado a ser rector de la Universidad de San Marcos entre otros cargos.Llegamos a su casa. Godofredo ya estaba retirado de la docencia y viva de susrecuerdos y de los amigos que lo visitaban; nos recibi con mucha atencin y nos

Godofredo Garca.

hizo pasar a su estudio, un sobrio ambiente en donde se respiraba el tiempo ido ysabor a conocimiento de algo grande; las paredes repletas de libros y revistasantiguas; papeles desparramados en un viejo escritorio. Nos narr parte de susvivencias con grandes matemticos de su poca, algunos de los cuales lo habanvisitado ah, donde ahora estbamos. Nos cont que haba trabajado con FedericoVillarreal, algo que nos conmovi pues ya sabamos quien era Villarreal por laAcademia habida en mi colegio; que haba publicado con Alfred Rosenblat,nombre que poco conoca an cuando ya V. Rosales nos haba narrado algo sobrel ya que haba sido su asistente; supimos que era un reconocido matemticopolaco que Godofredo lo invit al Per y por razones del destino (segunda guerramundial!) se qued en nuestro pas nacionalizndose peruano haciendo una muyimportante labor cientf ica pues introdujo en nuestro pas la matemtica que secultiva en Europa; estamos a fines de los aos 1930s y comienzos de los 40s. Aslleg el lgebra moderna, la variable compleja, la topologa, la geometr a diferencial,la fsica terica (teora de la relatividad),

Don Godofredo se deleitaba narrando sus vivencias y como un recuerdo nosobsequi un libro sobre anlisis algebraico que escribi junto con Rosenblat; alhojearlo v algunos nombres desconocidos para m; uno se me qued grabado, elde Zermelo; v muchas misteriosas frmulas y argumentos que estaban lejos de m.Al trmino de esta visita, con Don Alberto comentamos lo agradable y motivadoraque haba sido esta visita; se nos ocurri invitarlo a nuestra universidad para quenos d una conferencia. En Trujillo se hizo los trmites correspondientesobtenindose el apoyo del rectorado; se distinguir a a Garca con el ttulo Honorario.

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Homenaje a Godofredo Garca, UNT. 1959.De izq. a der.: Juan Benites, Segundo Snchez, Roberto vila, Dr. AndrsMolinar i (rector), Dr. Godofredo Garca, Alejandro Ortiz, Mariano Rodr guez,Jaime Santisteban.

Con el prof. Vidal regresamos a Lima para hacerle la invitacin de un modopersonal. Don Godofredo se emocion mucho con la noticia; nos hizo pasarnuevamente a su estudio y continu narrando su vida acadmica... El 21deNoviembre de 1959 Don G. Garca que homenajeado por la UNT en el Paraninfolleno de autoridades, profesores y alumnos; luego nos ofreci la conferenciaEcuaciones diferenciales del movimiento, tanto en la teor a clsica as como en lateora de la relatividad, la que ofreci con una voz trmula y alguna dif icultad paradesplazarse en la pizarra. Eran muchos aos de estudio y ciencia la que tenamospor delante, lo que apreciamos con emocin an cuando posiblemente noentendimos la conferencia en s. Estas dos vivencias tenidas, con el Maestro Garcaenriquecieron muchos nuestra alma estudiantil. Don Godofredo muri en 1970;tena 82 aos. En 1988, con motivo del centenario de su nacimiento, la Universidadde San Marcos le rindi un merecido homenaje pstumo.

( iv ) Algunos Mensajes.

- Una difcil etapa en nuestras vidas es aquel per odo cuando terminamos lasecundaria y debemos precisar que hacer en el futuro; en la mayora de loscasos el joven aspira seguir estudios universitarios; hay que decidir que carreraseguir, una preocupacin que el joven va madurando en los lt imos aos delcolegio. Es una tarea no fcil en general pues descubrir nuestra vocacin esalgo complicado sobre todo cuando en la toma de decisin intervienen factoresexternos, como la influencia vertical de los padres. En mi caso, en un inicio tuveel dilema de elegir entre las ciencias y las letras; decid por las ciencias comoel camino a seguir pero manteniendo a las letras como un elemento de cultura.

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En esta etapa de mi vida, la secundaria (y parte de la universidad) la msicatuvo muy poca presencia lo que creo se debi mas a razones materiales (comoposeer una radio o un equipo de msica).

- La introduccin de la matemtica pura en la Universidad Nacional de Trujillo en1957 fue un acontecimiento esencial en el desarrollo de la matemtica en elnorte del pas; ella contribuy a elevar el nivel del pensamiento matemtico delos profesores y de los alumnos, as como, la actitud para aprender cosasnuevas, ensearlas y aplicarlas; por primera vez en esa regin se introdujeroncursos desconocidos hasta entonces, cursos como: lgebra moderna, variablecompleja, ecuaciones en derivadas parciales, topologa, geometra diferencial,anlisis matemtico, . Todo esto signif ic un adelanto signif icativo desde elpunto de vista acadmico, posiblemente con algunas deficiencias en sus iniciospero se echaron las bases para un crecimiento con los aos y con otrasgeneraciones, como as ocurri.

- El aporte hecho por los jvenes egresados de San Marcos en la UniversidadNacional de Trujillo fue de un gran valor en la evolucin de la matemtica enTrujillo, an ms en el norte del pas. Los actuales jvenes profesores yalumnos deberan conocer este proceso de aprendizaje de nuestra ciencia;creemos que esta informacin nos enriquece y nos motiva para continuar laobra iniciada, como as se hizo en los ltimos 20 aos. El cult ivo de estesentimiento es un rescate de valores, rescate que debera ser cultivada pornuestras universidades.

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INGRESO A LA DOCENCIA UNIVERSITARIA(Periodo 1960 mitad 1962)

( i ) Ao 1960. Re-aprendiendo.

Terminamos el cuarto aos de estudios de matemtica pura en diciembre de1959; mi promocin fue la segunda y la integraron: Juan Benites, Carlos Martnez,Carlos Vargas y yo. La primera estuvo constituida por Juan Garca, Rogelio Llatas,Pedro Gonzlez y Vilma Gonzlez (?). De esta manera ramos ya ocho egresadosque estbamos por definir que hacer a partir de ahora. Martnez regres a Ica (sutierra) y luego fue a Lima a trabajar; no tuvimos mas noticias de l; Vargas yBenites creo trabajaron en un colegio en espera de alguna oportunidad. Vilma secas y se fue a Lima; tampoco tuvimos mas noticias de ella, Garca se fue al Cuscoa trabajar, creo, en un colegio; Llatas se qued en Trujillo en el observatoriometeorolgico; l estuvo interesado en la fsica. Gonzalez y yo tuvimos la suerte debeneficiarnos con la coyuntura del momento. En efecto, Vidal an estuvo unosmeses mas, pero luego viaj al Brasil; Valdivia continuaba estudiando en Alemania;Eduardo Len tambin regres a Lima; Lpez se qued un ao mas y vino el prof.Reynaldo Franco para dictar los cursos de estadstica y traa un buen currculumpues haba estudiado en el Cienes de Chile. A Franco le debemos la introduccinde la estadstica en Trujillo.

Una comisin viaj a Lima para traer nuevos profesores para ensear loscursos de anlisis matemtico, aritmtica terica, geometr a diferencial, variablecompleja, lgebra moderna, y los cursos de fsica. La comisin no tuvo xito estavez lo que cre una situacin de emergencia. Qu hacer?.. Luego de diversassugerencias se lleg a la conclusin que la solucin estaba en recurrir a los propiosegresados de la UNT. Fue as como, Pedro Gonzlez Cueva y yo ingresamos a ladocencia universitaria a inicios de 1960; la responsabilidad que asumamos era muygrande pues ramos concientes de las lagunas que tenamos an. Es reto estabahecho y haba que enfrentarlo poniendo todo de nuestra parte; adems, tenamos elapoyo de nuestros compaeros de estudios, algunos de los cuales pasaron a sernuestros alumnos, una situacin un tanto anecdtica. Es oportuno mencionar queen 1957 gane un concurso para ser asistente para la ctedra del curso ClculoDiferencial e Integral, primer curso, cuyo profesor fue Virgilio Rosales; este cargome motiv para aprender ms de este importante curso; durante el ao 1958conserv este cargo de asistente.

Por otro lado con el prof. Vidal mantena cierta comunicacin; l siempre medaba consejos y orientaciones para que salga a estudiar al extranjero. As, Vidal meinforma que haba recibido una comunicacin de la Universidad Nacional Autnomade Mxico que deca me haban aceptado como alumno y que deba iniciar misestudios a partir de 1961, los que se haran con una beca de la OEA. Esta noticia

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me alegr; as como mis padres, pero a la vez me senta abrumado por diversascircunstancias particulares. Yo ya era profesor en la UNT; dictaba el curso deAritmtica Terica y lgebra y el primer curso de Anlisis Infinitesimal en laSeccin de Matemtica comn a los estudiantes de matemtica pura como a losque iran a Educacin. Debo remarcar que en este ao (1960) yo estaba anculminando mis estudios en le Facultad de Educacin; en el mes de diciembreobtuve mi ttulo de Profesor de Educacin Secundaria, especialidad en CienciasMatemticas, ttulo que debo agradecer pues me permiti ser nombrado profesoren la universidad pues los egresados de matemtica pura no tenamos opcin deobtener algn ttulo o grado por ser una carrera nueva y no tenamos profesoresque asesoraran tesis; esta situacin se mantuvo por algunos aos.

Con el dictado de los mencionados cursos se inicia una etapa formal de re-aprendizaje de la matemtica. Como he manifestado nuestra formacin bsica fuemuy deficiente, sobre todo en los fundamentos de los nmeros reales; mipromocin desconoca tales fundamentos y desde luego tambin no nos era claro loque se puede construir en base a tales nmeros. En estas circunstancias me va sertil mi relacin con el prof. Ampuero, quin dictaba esos cursos en San Marcos;ahora lo visitaba con ms frecuencia. Yo ya posea desde mi poca de estudiante,las notas mimeogrficas que existan de esos cursos, las que hojeaba sin entrar endetalles pero ahora la situacin era otra: tenia que estudiarlas para ensearlas caside inmediato. As fue como aprend los nmeros reales; al f in tuve la tranquilidad desaber qu era un nmero real! Esta vivencia nos llev tambin a clasif icar lo queeran los nmeros naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. De algnmodo fue un aprendizaje muy divertido pues aprenda para ensear; es claro quepasaba por situaciones difciles y de cierta angustia pues ante mis dudas ydif icultades no tena cerca a alguien a quien consultar.

Pero, paralelo a ensear la aritmtica terica enseaba el curso de anlisisinfinitesimal en el que debemos tener cierta seguridad con los nmeros reales y susfundamentos, y por ello en el dictado de este curso tuve algunos momentosdifciles. Fue la primera vez que aprenda, y enseaba, los famosos s y s en lasnociones de lmite y continuidad; el inicio fue un aprendizaje un tanto memorsticosin necesariamente comprender lo esencial de tales ideas. Qu hacer en talescircunstancias?... armarnos de coraje y seguir adelante! Yo posea las notas deanlisis de Ampuero, las que me sirvieron de mucho; eran unas notas hechas amimegrafo y que conserv por un buen tiempo; en ellas aprend muchas cosas: aoperar con los s y s, a comprender que era un limite de sucesiones y defunciones, a entender la idea de continuidad y de derivada; este primer curso creollegada hasta la integral de Riemann, cuya nocin fue dada en forma analt ica vasumatorias. El dictado de este curso me dio la confianza, y la calma, para podercomprender mejor las cosas que vea, por ejemplo, en el libro de anlisis deApstol, libro que ya haba adquirido y que an me era difcil digerir, sobre todo losejercicios. Recuerdo que Juan Guerra era un joven hincha del libro de Apstol. Amitad de ese ao (1960) apareci como libro la Aritmtica Terica de Ampuero (yo

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ya posea como notas mimeogrficas) el que adquir y me sirvi para el dictado delcurso respectivo.

Con algunos de mis alumnos al inicio de mi carrera docente.Arrodillado izq.: Atilio Len R.; sentado Rubn Siccha. UNT. 1960.

Con el Ing. Javier Trevisani. 1960. Con un grupo de mis alumnos.Huanchaco. 1960.

Con Juan Benites A. UNT. 1960.

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En este ao, 1960, con la asesora de los profesores Vidal, Lpez y Castro,la seccin de Matemtica organiz una conferencia la que expondran los doctoresJos Tola y Jos Retegui. Debemos mencionar que aos atrs nos visit el Dr.Rafael Dvila C. quien nos ofreci una conferencia de su especialidad. Ahora elambiente era motivador pues nos visitaban dos destacados profesionales SanMarquinos; Tola expuso sobre los espacios de Hilbert y Retegui sobre aspectosanalticos de las ecuaciones diferenciales ordinarias, temas que en esa poca erannovedades en Trujillo; era la pr imera vez que se escuchaba sobre esos interesantesespacios abstractos. Adems, fue importante introducir en Trujillo una inquietud porel estudio de la matemtica pura y que mejor motivacin que la venida por dosmaestros San Marquinos; recordemos que Tola siempre tuvo un inters por sabercomo avanzaba la matemtica en Trujillo. En particular, yo recib muchos de susconsejos y orientaciones.

Conferencia de Matemtica. Al centro, de izq. a der.: Ernesto Lpez, Jos Retegui, JosTola, Csar Castro, Alberto Vidal. UNT. 1960.

Conferencia de Matemtica. Primera fila, izq a der.: Csar Castro, Jos Tola, Alberto Vidal.UNT. 1960

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Como observamos, 1960 fue un ao fructfero para muchos de nosotrospues se estaban abriendo nuevas ventanas que nos permitan ver nuevoshorizontes matemticos; quedaban atrs muchos aos de pasividad, deconformismo y de claustrofobia; los jvenes alumnos tenan ahora mayoresmotivaciones y perspectivas por delante. En lo personal tendr a an una gransatisfaccin acadmica gracias a la visin de futuro que tuvo Don Alberto Vidal,quien me relacion con un prestigioso matemtico brasileo.

Leopoldo Nachbin.

Como hemos mencionado, ya fui admitido en la Universidad NacionalAutnoma de Mxico para estudiar el post-grado a partir de 1961; cuando el prof.Vidal regres al Brasil es posible que haya visto la pos ibilidad de hacer esosestudios en el IMPA de Ro de Janeiro; Vidal era conoc ido por Don LeopoldoNachbin, un lder de la matemtica brasilea en aquella poca. El resultado fueque Vidal me pidi que escribiera al prof. Nachbin para expresarle mi inters enestudiar en el IMPA; as lo hice, fue el inicio de una prolongada correspondenciaque ahora, pstumamente, agradezco la generosidad de Don Leopoldo hacia mipersona. En efecto, l tuvo una buena costumbre: escriba y contestaba las cartasque reciba; yo tuve la suerte de tener una buena correspondencia con el profesorquien siempre me aconsejaba que estudiara. En el mes de diciembre de 1960 tuveuna agradable sorpresa: recib un abultado paquete enviado por Nachbin; al abrirlovi que se trataba de diversas publicaciones de la serie Notas de Matemtica que ldiriga en el IMPA; fue la primera vez que vi algo escrito en portugus as comoalgunas palabras y ttulos matemticos como; Topologa dos espacios mtricos deElon Lima, Curso de Topologa Gral de S.M. Lane, Integral de Haar de L.Nachbin, Conmutative Banach Algebras de G. Mackey , entre otras publicacionesy autores. Fue la primera vez que a Trujillo llegaban publicaciones sobre topologa,palabra cuyo s ignif icado desconoc amos ; lo mismo suceda con las otraspublicaciones. Hoje muchas veces tales escritos para determinar por donde

Leopoldo Nachbin

tendra que comenzar a estudiarlas; en Trujillo no haba alguien que me orientara.Por analoga con el curso de anlisis infinitesimal que enseaba dedujimos quedeberamos comenzar con la monografa de E. Lima, y luego con la de M. Lane.Las otras publicaciones nos parecan avanzadas, no tenamos los prerrequisitos

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para entenderlos pero comenzamos a entender que se comienza a aprender algono entendiendo bien las cosas de inicio. Sin saberlo estbamos haciendo uso delmtodo del subconsciente en que la informacin se guarda para llegado elmomento aflorarlo y recin entenderla.

Con estos sentimientos cerramos el ao 1960; aquella Navidad fue especial,pues a mis padres pude ofrecerles la alegra que ellos tienen cuando el hijo vaencontrando su camino. Yo tambin estaba feliz !.

( ii ) Ao 1961. Llenando Lagunas.

Las aplicaciones enviadas por el prof. Nachbin constituyeron mis primerasvivencias con una matemtica avanzada, que sin comprenderlas eran un granestmulo al ver que haban tantas cosas por estudiar, por aprender. En efecto, en elverano de 1961 tendr a una experiencia acadmica que me ayudar a mucho caside inmediato. Las monografas de Lima y de M. Lane las hojeaba con frecuencia,sobre todo la primera la que me permiti entrar al universo de los espacios mtricos(a mi lado y a mi ritmo!) en donde poda apreciar mucha analoga con el curso deanlisis matemtico que enseaba; algo que aprend ,y me gustaba, eran loscontraejemplos existentes en tal obra y que permitan comprender mejor losconceptos y resultados dados. Es claro que esta tarea la haca en forma solitariapues en Trujillo estos temas eran desconocidos y cuando los comentaba conalgunos colegas, sonaban a cosas raras.

Esta relativa familiaridad que iba teniendo con los espacios mtricos memotivo el inters por la topologa general que haba en la monografa de M. Lane.En una de mis visitas a la ciudad de Lima coment estas inquietudes a losprofesores Tola y Ampuero quienes siempre me daban consejos. Con A mpuerosurgi la idea de estudiar en un seminario la obra de M. Lane en enero y febrero (de1961); el profesor tambin estaba interesado en conocer mas la topologa general;la metodologa sera: yo har a las exposiciones y l las observaciones y estudiar enun seminar io con un profesor a quien siempre admiraba por su generosidad yhumildad; as era Don Jos Ampuero, un maestro querido por muchos; lstima quesu salud fsica no era muy buena y eso lo limitaba en su trabajo.

Jos Ampuero.

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Al regresar a Trujillo, luego de esta estada en Lima, me senta muyentusiasta y con deseos de mejorar la calidad del dictado de los cursos. En mayo(1961) fui ascendido a profesor Auxiliar de la Facultad de Ciencias y me asignaronlos cursos: anlisis matemtico 1 (aritmtica terica) y anlisis matemtico 2. Elprof. Valdivia haba regresado de Alemania con mucho entusiasmo, nuevas ideas ydeseos de contribuir con el desarrollo de la matemtica en la UNT; lstima que soloestuvo pocos meses pues volvi a viajar. Asum el dictado de sus cursos; as apartir de setiembre dict, adems, anlisis matemtico 3, topologa y lgebramoderna. En conclusin, dictaba 5 cursos! Con 3 horas tericas y 2 de prcticacada curso. Esto era un verdadero reto para m; mi trabajo era preparar clases yensearlas; no haba tiempo para otras cosas; yo tena 25 aos de edad, conmuchas ilusiones en la vida. Recuerdo que fue un periodo agotador pero,placentero! Adems, estaba llenando mis vacos matemticos y esto era urgentedado que las gestiones para ir a estudiar al Brasil estaban avanzando. Para loscursos de anlisis matemtico 2 y 3 las notas de Ampuero me sirvieron de gua; as pude entrar a la teora integral, su definicin abstracta y propiedades, tambin a lasseries infinitas de funciones. Para el curso de topologa, con las monografas de E.Lima y de M. Lane estaba bien protegido, al menos en tales circunstancias en queno haban libros de topologa en la biblioteca de la Facultad; ahora que cuando fuiconsciente de la utilidad del seminar io hecho con el prof. Ampuero meses atrs. Aspude salvar la valla de ensear un curso que nunca llev como estudiante.

Un hecho anecdtico fue que V. Vega, quien fue mi profesor en la Facultadde Educacin y con quien conversaba en los pasillos sobre la vida de algnmatemtico y luego mi compaero de estudios en matemtica pura, continu susestudios mas lentamente dado que l trabajaba paralelamente; de esta manera, eneste ao l pas a ser mi alumno en los cursos de topologa y lgebra moderna;desde luego esta circunstancia en nada cambi el mutuo respeto que nos tenamos;siempre conserv el respeto a su persona. El profesor Vicente Vega fallecimuchos aos despus; su rica biblioteca fue donada a la Facultad de ciencias de laUNT; algo loable.

El dictado del curso lgebra moderna que posiblemente el que me dio mastrabajo, dado que mi inters estaba por el lado del anlisis matemtico; slo posealo aprendido con E. Len; por otra parte, dispona de las notas de clase del cursode lgebra dictado por Tola en S. Marcos. Supe que Vega posea, entre otros librosde lgebra, el Algebra Moderna de Birkhoff-Mac.Lave el que le prest para ampliarmi visin del curso. El dictado de este curso me permiti, dentro de la estrechez detiempo como fue dictado, afianzar los conceptos bsicos como espacio vectorial,grupo, anillo, campo,, y a operar con tales ideas. Mi vivencia con el lgebra nofue mas all que algunos cursos que llev posteriormente.

En tanto, mi correspondencia con Nackbin continuaba as como mi gestinpara obtener una beca de la OEA; todo iba bien y esto me presionaba paraprepararme a entrar a otros dominios, mas exigentes.

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( iii ) Ao 1962. (enero-julio). Hacia el Brasil.

En el primer semestre de este ao me asignaron los cursos anlisismatemtico 3 y el de topologa (general); el decano de la Facultad de Ciencias erael Ing. Alfonso Chvez, ex-profesor mo, en el colegio y en ingenier a qumica y portanto nos conocamos bien; nos tenamos un muto respeto y l como autoridadsiempre me apoy en mis trmites para viajar, algo que agradezco pstumamente.

Por otro lado, gan una beca de la OEA gracias fundamentalmente a lapresentacin que hizo el prof. Nachbin. Se fij el segundo semestre de este aopara iniciar mis estudios de post-grado en el IMPA. De esta manera, durante elprimer semestre trat de aprender todo lo que sea posible ya que nuevamenteestaba solo; con Vidal continu en contacto; l estaba en Ro en el Centro Brasileode Pesquisas Fsicas, donde estaba Nachbin. Por otro lado, en el aspecto personalcon Pedro Gonzalez alquilamos un departamento para tener la tranquilidad deestudiar tanto nuestras lecciones como otros temas en donde nos sentamosinseguros. En este ambiente se pas este primer semestre del 62; con la nostalgiaadelantada de dejar a mis padres y amigos, lleg la hora de partir !

( iv ) Algunos Mensajes.