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2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1
Université Paris 13
Traitement Numérique du Signal Master 11. Exemple de filtres analogiques2. Principe d’invariance et réponse impulsionnelle3. Propriétés du produit de convolution4. Transformée de Laplace5. Filtres et Fonction de transfert6. Critère de stabilité, pôle, zéro7. Filtre à phase linéaire8. Schéma général
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 2
1/ Exemple de filtre analogique
t
dfm
tvfvm0
)(1
)(
t t
m
dfm
etvfvvm
0
)(
)()(
inertie
inertie + frottement fluide
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 3
Exemple de filtrages
Entrée
Réponse impulsionnelle Sorties
t
t
t
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 4
Fonctionnement du produit de convolution
t t
m
dfm
etvfvvm
0
)(
)()(
h(t)
f(t)
v(t)
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 5
2/ Propriétés d’invariance pour un système physique
Invariance par translation spatiale
Invariance dans le temps
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 6
Fonction de Green//Réponse impulsionnelle
• En général on a
• Principe d’invariance dans le temps :
• Alors
dfthtv )(),()(
)()()()( 1212 TtvtvTtftf
dTfthdfTth )(),()(),( 21
')'()',( 1 dfTth
• D’où )(),(),( thTthTth u
dfthtv u )()()(
(Impulse response, Filter Kernel)
Entréesortie
Réponse impulsionnelle
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 7
3/ Propriétés du produit de convolutionPropriétés des filtres temps invariant
0101 *)(*)( ttxhtxhttxtx
)(*)(*)(*)()()( 2121 txhtxhtxhtxtxtx
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(*)( fXfHfYtxhty
)()()()(*)( pXpHpYtxhty
txhtxhtxtx **)()( 11
)()()( txdtthtyConservation de la moyenne
Invariance temporelleSuperposition des signaux
Réponse fréquentielle
Fonction de transfert
Amplification des signaux
Conservation de la périodicité TtxhtxhTtxtx *)(*)(
)(**)()(*)(),(*)( 1212 txhhtztxhtytyhtz Filtres en cascade
)()(ˆ)()( 2 txfHtyetx ftj Réponse harmonique
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 8
4/ Transformée de Laplace
0
)()( dtetspS pt
dtetsfS ftj 2)()(ˆ
tets at[,0[1
module
phase
p=j2f
appS
1)(
signal causal
Re(p)
f
t
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 9
Propriétés de la transformée de Laplace
02 20 fjpSptseTL tfj
pYpXpttxtxTL 21 *
)()]([ 00 pSepttsTL pt
Décalage fréquentiel
)()()]([)()]([ pYpXftytxTLpaSftasTL
fjpjfjpj
ftfTFfjpfjp
ftfTLp
ptTLptTL RRR
2
1
2
1
2
1
2
1)](1)2[sin(
2
1
2
1
2
1
2
1)](1)2[cos(
111))](([ 00
)()()(1
)(0
ppSpsd
dTLpS
ppdsTL
t
t
)()( apaSpa
tsTL
Retard=>déphasage
Linéarité
Dilatation/concentration
Intégration/dérivation
Produit de convolution/produit
Sinusoïdes=>hyperboles
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 10
5/ Filtrage
)()( tth
)(*)()()()()()( tutttyttuty
)(1 [,0[ t
)(*)()(1)()()()( [,0[
0
tutttzdtutzt
tfjtfj efHte 00 20
2 ˆ)(
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()( fUfHfYttuty
[,] t
][)( hTLpH
Réponse impulsionnelle
Réponse indicielle
Réponse harmonique ou réponse fréquentielle
Fonction de transfert
)()()()()()( pUpHpYttuty
)(ˆ fhTFfH
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 11
Equations différentielles, filtres linéaires et Réponses fréquentielles
2
2
2102
2
210 dt
xdb
dt
dxbxb
dt
yda
dt
dyaya
2
210
2210
)(
)()(
papaa
pbpbb
pX
pYpH
2
210
2210
22
22)(ˆ
fjafjaa
fjbfjbbfH
)()( 2210
2210 pXpbpbbpYpapaa
Relation entrée-sortie
TL
Fonction de transfert
Réponse fréquentielle
p opérateur de dérivation
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Pôles, zéros et allure de la réponse fréquentielle
2
2
2102
2
210 dt
xdb
dt
dxbxb
dt
yda
dt
dyaya
2
210
2210
)(
)()(
papaa
pbpbb
pX
pYpH
z
ez
eb ffjzRffjzRfH 11000 2)(arg2)(arg1)(ˆarg
pe
pe ffjpRffjpR 1100 2)(arg2)(arg
210
210)(pppppp
zpzpzpbpH
222
22
122
12
022
02
222
22
122
12
022
02
444
444)(ˆ
pRffpRffpRff
zRffzRffzRffbfH
ep
ep
ep
ez
ez
ez
Relation entrée-sortie
Fonction de transfertfactorisation zéros
pôlesModule de la réponse fréquentielle
Phase de la réponse fréquentielle
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 13
Equations différentielles, décomposition en élément simple et réponse impulsionnelle
2
210
2210)(papaa
pbpbbpH
2
2
1
1
0
0210
)(pp
eA
pp
eA
pp
eAbpH
jjj
tfjtpRtfjtpR pe
pe eeAeeAtbth 111000 2)(
12)(
0)()(
210
210)(pppppp
zpzpzpbpH
Fonction de transfert
Décomposition en éléments simples
pôlesRéponse impulsionnelle TL-1
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 14
6/ Filtres stables / Filtres à minimum de phase
0, ie pRi
0, ie zRi
Le filtre est stable si:
Le filtre est à minimum de phase si:Re(p)
Im(p)
Zone destabilité
Ordre du filtre = nombre de pôles
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 15
xaydt
dy
appH a
1)(
)(1)( [,0[ teth ata
2224
1)(ˆ
affH a
a
fa
ffsign
fH a
2arctan
2arctan)(
)(ˆarg
0a
0a
Re(p)
Im(p)
xxxxx
pôles
stable
in-stable
t
tff
f f
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 16
bxdt
dxy
dt
dy
1)(
p
bppH b )(1)1()()( [,0[ tebtth t
b
14
4)(ˆ
22
222
f
bffH b
b
fb
ffsign
ffH b
2arctan
2arctan)(
)2arctan()(ˆarg
0b
0b
Im(p)
ooooo
zéros
min
t
tff
f fRe(p)x
nonmin
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7/ Filtre à phase linéaire
0)(ˆargdf
dt)-h(Tt)(h fH
Symétrie de la réponse impulsionnelle phase linéaire
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 18
)(tha
)(thb
)(thc
)(thd
)(ˆ fH a
)(ˆ fHb
)(ˆ fH c
)(ˆ fH d
)(ˆarg fH i )(ˆarg fHdf
di
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 19
Réponse impulsionnelle symétrique => phase linéaire
)(1)( [1,0[ ttha
)(1')'(1)( [,1[
0
[1,0[ tdtttht
b
)1()()( ththth bbc
))2(()()( ththth bbd
fj
e
f
fefH
fjfj
a
2
1)sin()(ˆ
2
22
2
2
4
121
2)(ˆ
2
1)(ˆ
f
fje
fj
efH
fjfH
fj
fj
ab
fjb
bfj
bc
efH
fHefHfH
2
2
1)(ˆ
)(ˆ)(ˆ)(ˆ
fjb
fjb
fj
bfj
bd
efHefHe
fHefHfH
222
4
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)(ˆ)(ˆ
réelle linéaire
phase non-linéaire
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8 /Temps continu : filtres et transformées
)(th )(*)()( txthty
)( pH )(ˆ fH
)()()()( thtyttx
ftj
ftj
efHty
etx
2
2
)(ˆ)(
)(
TL
fjp 2
TF Equation dérivée
d/dt ->p