2007 développement du logiciel embarqué d un module de localisation fine (2)

Cycle de formation des ingénieurs en Télécommunications

Option :

Architecture des Systèmes de télécommunication

Rapport de Projet de fin d’étudesThème :

Développement du logiciel embarquéd’un module de localisation fine

Réalisé par :

Amel KLAA

Encadré par :

M. Samuel TARDIEUM. Khaled GRATI

Mlle Manel BEN ROMDHANE

Travail proposé et réalisé en collaboration avec

Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Paris

Année universitaire :

2006/2007

Dédicaces

Je dédie ce travail à tous ceux que j’aime.Une première pensée s’adresse tout particulièrement à mes parents,

qui m’ont tant soutenue durant mon cursus, veillant à mon bien être et à mon succès.A mes sœurs qui ont su, durant toutes ces années de travail,

me motiver et m’inviter à croire en moi.A mon frère qui m’a tant poussée à aller de l’avant.

A ma petite Myriam, que j’aime beaucoup.A tous mes amis qui ont toujours été présents pour moi.

A mes professeurs de Sup’Com, à qui j’exprime tout mon respectpour le travail qu’ils font.

A tous ceux qui m’ont aidée à réaliser ce travail.

I

Avant propos

Le travail de ce projet de fin d’études a été réalisé à l’Ecole Nationale Supérieure desTélécommunications (Télécom Paris), au sein du département Informatique et Réseau.

Je tiens à remercier mon maître de stage, M. Samuel Tardieu, de m’avoir accueilliedans son département et surtout de m’avoir proposé un projet industriel qui m’initie à lavie professionnelle.

J’adresse ensuite ma profonde gratitude à mon encadrant à Sup’Com et mon profes-seur, M. Khaled Grati, pour sa disponibilité, son soutien et sa compréhension.

Je remercie également Mlle Manel Ben Romdhane, qui a contribué dans l’encadre-ment de ce travail, pour ses remarques pertinentes et sa rigueur.

Mes remerciements s’adressent aussi à tous mes professeurs à Sup’Com, pour cestrois années de partage, d’enrichissement, d’échange, me projettant aujourd’hui dans unecarrière que j’ai hâte de conquérir. Nombreux sont mes enseignants auxquels je portecette gratitude, je ne me retiendrai pas de citer M. Adel Ghazel, M. Fethi Tlili, M. ChihebRebai et M. Hichem Besbes, qui m’ont tant apporté durant toute cette dernière annéed’école d’ingénieur.

Enfin, Merci à l’équipe qui m’a accompagnée tout au long de la période que j’ai passéà Télécom Paris. Je m’adresse particulièrement à Raja, Khaled, César, Olivier, Béchir,Hoa, Dorra, Irfan...et bien d’autres, avec qui j’ai partagé des moments exceptionnels dema vie.

Finalement, je remercie toutes les personnes qui ont contribué, de près ou de loin, à laréalisation de ce travail.

II

Résumé

A une époque où les technologies de communication ne cessent de se développer, lesdéfis de confort et de sécurité des personnes sont, de nos jours, l’une des problématiquesles plus préoccupantes des laboratoires de recherches, aussi bien chez les industriels, quedans les écoles et universités. D’énormes moyens, en R&D, sont déployés pour répondreau mieux aux besoins incessants des personnes. Notre projet, s’inscrivant dans un cadrede partenariat avec d’autres acteurs, s’intéresse à la localisation fine d’un mobile, à savoirune personne se déplaçant dans un espace physique ouvert.

Les systèmes de localisation sont multiples, certes, notamment avec la démocratisa-tion du récepteur GPS, qui est devenu un appareil accessible par tous. Mais, la précisiond’un tel composant demeure peu fine, quoi qu’elle réponde parfaitement à certains besoinsde localisation exprimés par les utilisateurs. D’autres applications sont, en effet, plus exi-geantes, et requièrent une précision centimétrique. Tel est le cas de notre travail, là où lebesoin de raffiner la localisation est impératif pour que l’information de positionnementsoit pertinente. Pour ce faire, l’idée consiste à combiner différents systèmes de positionne-ment, et d’exploiter les avantages de l’un pour compenser les faiblesses des autres. Avecle développement des capteurs inertiels, nous nous intéressons à réaliser le traitement adé-quat qui, ayant à l’entrée les mesures inertielles et la position délivrée par le GPS, permetd’aboutir à des performances meilleures que celles propres à chaque capteur.

Mots clés : localisation fine, récepteur GPS, système de positionnement, capteursinertiels.

III

Table des matières

Introduction générale 1

1 Introduction aux systèmes de localisation fine 21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Principe de la localisation fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Les sytèmes de positionnement par capteurs inertiels . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Les accéléromètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Les gyroscopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.3 Modèles d’erreur dans les capteurs inertiels . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Les systèmes de positionnement par satellites . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Technique d’estimation par filtre de Kalman 102.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Introduction au filtre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Le filtre de Kalman : approche linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Linéarisation des problèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1 Filtre de Kalman linéarisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Filtre de Kalman étendu "EKF" . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Implémentation du module embarqué et résultats 253.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Modélisation du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Transformations entre les systèmes de coordonnées . . . . . . . . 253.2.2 Formulation du vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3 Etude de la dynamique du système . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.4 Linéarisation autour de l’état estimé . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.5 Mise en oeuvre du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

IV

3.3 Les initialisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1 Le vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2 Les paramètres initiaux d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.3 Les paramètres intrinsèques aux capteurs utilisés . . . . . . . . . 37

3.4 Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4.1 Cas d’un mouvement uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.2 Cas d’un mouvement non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Conclusion générale 46

A Les systèmes de référence et de coordonnées 48

B Les Capteurs inertiels 50

C Outils mathématiques 55

V

Table des figures

1.1 Trois types d’erreurs de mesure classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Référenciel Géodésique Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Les techniques de Prédiction et de Lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Filtre de Kalman, contrôle feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Trajectoire nominale et réelle pour un filtre linéarisé de Kalman . . . . . 18

3.1 Représentation polaire dans l’espace des quaternions . . . . . . . . . . . 363.2 Estimation de l’altitude du mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Estimation de la vitesse du mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Estimation de la position du mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Estimation de la vitesse en X du mobile, pour w ∼ N(0, 1) . . . . . . . . 403.6 Estimation de la vitesse en X du mobile, pour w ∼ N(0, 10−2) . . . . . . 413.7 Estimation de la vitesse en X du mobile, pour w ∼ N(0, 10−4) . . . . . . 413.8 Estimation de la vitesse en Y du mobile, pour w ∼ N(0, 1) . . . . . . . . 423.9 Estimation de la vitesse en Y du mobile, pour w ∼ N(0, 10−2) . . . . . . 423.10 Estimation de la vitesse en Y du mobile, pour w ∼ N(0, 10−4) . . . . . . 433.11 Erreur d’estimation de la vitesse en X du mobile, pour différentes valeurs

de l’erreur de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.12 Estimée de la position du mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

B.1 ADXL202 Specification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51B.2 L’accéléromètre MEMSIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52B.3 Le gyroscope CRS-03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53B.4 Le gyroscope CRS-04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

VI

Liste des acronymes

DCM Direction Cosine MatrixDGPS Differencial Global Positioning SystemECEF Earth Centered Earth FixedEKF Extended Kalman FilterGPS Global Positioning SystemGRV Gaussian Random VariableIMU Inertial Measurement UnitINS Inertial Navigation SystemLLA Longitude, Latitude, AltitudeMEMS Micro Electro Mechanical SystemNED North-East-DownRMS Root Mean SquareRTK Real Time KinematicsUSDoD United States Department of DefenseWGS-84 World Geodetic System 1984

VII

Introduction générale

NOtre projet constitue une part d’un grand projet industriel, sous le nom de SOUND

DELTA. La définition globale du projet, dans un contexte partenarial, consiste en la créa-tion d’un Dispositif d’interaction temps réel pour l’exploration simultanée et corréléed’un espace physique et d’un espace musical. Les enjeux de ce projet se résument à assu-rer la navigation d’une composante musicale dans un espace urbain, de manière à ce quela composition, à sa reception par les spectateurs, soit optimale en terme d’interactivité etde qualité de service (rendu, latence, précision).

Compte tenu de la diversité des enjeux, le programme du projet global a été partagéentre six partenaires, dont l’ENST constitue un acteur responsable de la localisation dela personne mobile dans l’espace physique, afin d’assurer une meilleure navigation de lacomposition musicale. Ainsi se définit le cadre général de notre projet, qui, faisant abs-traction de la composante artistique confiée à d’autres spécialistes, consiste à réaliser lemodule embarqué responsable de la localisation fine du spectateur en mouvement. Cetraitement, prenant en entrées les mesures délivrées par les différents systèmes de posi-tionnement, sera dans une étape ultérieure implémenté sur un calculateur embarqué.

Pour répondre aux besoins de vérification, et ensuite de validation du traitement delocalisation demandé, un travail de simulation s’avère indispensable.

Dans une première partie, nous étudions les algorithmes qui permettent de réaliserle traitement des mesures. Le filtre de Kalma, dont nous détaillerons le principe, est unestimateur performant, bien adapté aux systèmes dynamiques.

Ensuite, Il s’agit de modéliser notre système. Une telle phase doit obéir à la nature dumouvement, aux contraintes de l’environnement ainsi qu’à la précision des instrumentsde mesures utilisés pour le positionnement. La connaissance du modèle d’évolution etd’observation du système étudié est indispensable pour la conception de l’estimateur.

Une fois la modélisation formulée, nous nous proposons d’implémenter le traitementappliqué à une trajectoire générée manuellement.

1

Chapitre 1

Introduction aux systèmes delocalisation fine

1.1 Introduction

Les problèmes traitant des besoins incessants de sécurité et de confort constituent denos jours des défis pour les chercheurs et les développeurs. De nombreuses études s’ins-crivent dans cette thématique, et plus particulièrement, le problème de positionnement.Pour répondre à ces défis technologiques, extrêmement utils pour la vie des personnes, denouveaux systèmes de positionnement ont été développés, offrant, à leur intégration, desperformances de fonctionnement importantes.

L’objet de ce premier chapitre consiste à introduire le principe de localisation fine, enexplicitant l’intérêt de combiner différents systèmes de positionnement. Ensuite, à pré-senter brièvement les principaux instruments de mesure qui seront utilisés pour estimer laposition du mobile, à savoir capteurs inertiels et systèmes de positionnement par satellites.

1.2 Principe de la localisation fine

Dans le cadre de notre projet, nous nous proposons de combiner capteurs inertiels etrécepteur GPS, dans l’objectif de réaliser un traitement optimal des différentes donnéesmesurées, estimant au mieux la position et l’orientation du mobile [1], [2].

L’intérêt d’effectuer cette intégration s’explique par la complémentarité des différentsinstruments de positionnement [3]. En effet, Pour le GPS, La fréquence de fonctionne-ment est de l’ordre de quelques Hertz, alors que les capteurs inertiels fonctionnent à desfréquences beaucoup plus élevées, généralement entre 20 et 200 Hz. Cette différence defréquence permet d’augmenter le rythme de mesure, et par conséquent augmenter la quan-

2

1.3. Les sytèmes de positionnement par capteurs inertiels 3

tité d’information disponible. En outre, l’utilisation des capteurs inertiels permet de dimi-nuer le besoin aux références externes, tel employé par un récepteur GPS. Par ailleurs,alors que les mesures du GPS se dégradent peu à long terme, celles des capteurs iner-tiels présentent une dérive. La combinaison des deux permet donc de compenser la dérivecausée par le gyroscope et l’accéléromètre.

L’intégration des différents composants a donc pour principal objectif d’aboutir à uneperformance de l’ensemble, meilleure que les performances individuelles des capteurs.

1.3 Les sytèmes de positionnement par capteurs inertiels

Les capteurs inertiels sont de plus en plus exploités dans diverses applications de posi-tionnement. En vue d’acquérir une information complète et fiable sur la position et l’orien-tation du mobile, la combinaison accelerometre + gyroscope retourne une informationcomplète sur le localisation du mobile. Etudions de plus près chacun de ces deux capteurs.

1.3.1 Les accéléromètres

Un accéléromètre est un appareil qui fournit un positionnement absolu du mobile au-quel il est fixé. Cette mesure retournée correspond à l’accélération non gravitationnelle−→accnongravit subie par une masse m. Il faut lui ajouter la valeur du champ local de gravita-tion ~g pour connaître l’accélération absolue −→accabs.

−→accabs = −→accnongravit + ~g (1.1)

Compte tenu du principe de mesure, ils existent différents types d’accéléromètres :les accéléromètres piézoélectriques, les piézorésistifs, les capacitifs et les asservis. Ilscouvrent à eux quatre la grande majorité des applications. Ces accéléromètres fonctionnenttous selon le même principe : ils intègrent une masse liée au bâti du capteur par une lameflexible ou un ressort ; l’accélération se déduit alors de la force appliquée à la masse.

En revanche, le principe de mesure de la force change d’une technologie à une autre.Dans la plupart des capteurs piézoélectriques, la masse sismique exerce des efforts decompression ou de cisaillement sur un matériau piézoélectrique qui génère alors unecharge électrique proportionnelle à la force qui lui est appliquée. Dans les capteurs pié-zorésistifs, la masse sismique est le plus souvent solidaire d’une poutre dont on mesurela déformation avec des jauges piézorésistives. Avec les accéléromètres capacitifs, parailleurs, on s’intéresse généralement au déplacement de la masse sismique sous l’effet del’accélération. La masse se déplace en effet entre deux électrodes. La variation de tensionaux bornes de celles-ci traduit alors l’accélération. D’autres accéléromètres capacitifs in-

3


tègrent une sorte de diaphragme dont le mouvement varie en fonction de l’accélération.Enfin, dans le cas des accéléromètres asservis, il n’y a pas de déplacement de la massesismique : une force, égale et opposée à celle induite par l’accélération, est crée pourmaintenir la masse sismique dans sa position initiale. La force appliquée est alors propor-tionnelle à l’accélération à mesurer.

Dans notre projet, et compte tenu des contraintes de disponibilité et de coût, le choix aété fixé sur deux modèles d’accéléromètres, à deux axes, couplés afin de mesurer l’accé-lération selon les trois axes : un ADXL202 et un MEMSIC 2125. Présentons brièvementces deux modèles.

L’ADXL202 :

Le circuit intégré ADXL202 d’Analog Devices intègre deux accéléromètres capaci-tifs : une masse sismique m, solidaire de l’armature centrale d’un condensateur plan dif-férentiel, traduit le déplacement des armatures par une variation de la capacité électrique.Il mesure les accélérations dynamiques et statiques.

Les principes de fonctionnement exploités s’appuient tous sur le principe fondamentalde la dynamique. En effet, selon la deuxième loi de Newton, l’accélération subit par lamasse m, dans un repère galiléen, est proportionnelle à la résultante des forces qui luisont appliquées ~F .

~F = m.~a (1.2)

Selon la loi de Hooke "Telle extension, Telle force ", l’allongement ~x est proportionnelà la force ~F .

~F = k.~x (1.3)

En considérant ce couple d’équations, on peut déduire l’accélération de (m).Cet accéléromètre permet aussi d’assurer la fonction d’inclinomètre. En effet, ce type

d’accéléromètre est configuré par rapport à la gravité de telle sorte que le tilt A calculéà partir de l’accélération mesurée constitue l’inclinaison du mobile. Cependant, ces deuxfonctions distinctes ne peuvent pas être assurées en même temps.

Certains accéléromètres à détection capacitive à masse sismique pendulaire permettentaussi d’assurer la fonction d’inclinomètre. Cette dernière est rendue possible par la confi-guration mécanique des accéléromètres capacitifs pendulaires et la gravité terrestre. Ce-pendant, la fonction d’accéléromètre ne peut pas être utilisée en même temps.

Aangle d’inclinaison

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Le MEMSIC 2125 :

À la différence de ceux d’Analog Devices qui emploient un faisceau mobile, les ac-céléromètres de Memsic mesurent l’accélération par le biais d’un gaz chaud à l’intérieurd’une chambre. La chambre est équipée d’un ensemble de capteurs qui surveille le mou-vement du gaz.

En changeant le tilt, le gaz est décalé, et c’est ainsi que les valeurs des sondes changentproportionnellement.

1.3.2 Les gyroscopes

Un gyroscope est un appareil qui permet de mesurer la vitesse angulaire du mobile.Deux composants sont également à présent disponibles : Le Silicon Sensing CRS-03 et leSilicon Sensing CRS-04. Les deux modèles CRS-03 et CRS-04 sont des produits de Sili-

con Sensing Systems B. Il s’agit de gyroscopes uni-axiaux, délivrant une sortie analogiqueproportionnelle à la mesure de la vitesse angulaire du mobile considéré, et qui diffèrenttoutefois par quelques spécifications.

Le tableau (1.1) explique les caractéristiques les plus importantes de ces deux gyro-scopes :

Gyroscope CRS-03 CRS-04Tension d’alimentation 5V ± 0, 5 5VCoût(en euros) 119 111Etendue de mesures ±100/sec ±150/secBande Passante (−3dB) 10 Hz De 50 à 85 HzBruit à la sortie 1 mV rms 0,75°/sec rmsSensibilité/Facteur d’échelle 20 mV/º/sec 12.75 mV/º/secPrécision du facteur d’échelle ±3% ±3%Non linéarité du facteur d’échelle ±1% ±0.6%Biais initial (à 0°/sec) ±60mV 2,5 VBiais (Variation selon la température) ±3% ±10%Biais de la dérive ±0.55/sec ±0.55/sec

Tableau 1.1 – Les caractéristiques des deux gyroscopes

Pour une spécification complète des ces quatre composants décrits dans le paragraphe(1.3), les deux datasheets présentés en AnnexeB décrivent explicitement chacun descapteurs.

Les capteurs inertiels, à eux seuls, constituent ainsi toute une théorie basée principa-lement sur les notions fondamentales de la mécanique.

Bhttp ://www.siliconsensing.com/

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1.3.3 Modèles d’erreur dans les capteurs inertiels

Un capteur inertiel présente souvent des erreurs de mesure. Il s’agit en effet de ladéviation de la valeur obtenue à la sortie du capteur par rapport à la vraie valeur de lagrandeur à l’entrée. La figure (1.1) illustre les trois formes d’erreur les plus communes.

Figure 1.1 – Trois types d’erreurs de mesure classiques

Le biais :

le biais, qu’on désigne par µ, est l’erreur la plus évidente, c’est une simple valeur quivient s’additionner au signal de mesure.

asortie = aentree + δabiais (1.4)

ωsortie = ωentree + δωbiais (1.5)

D’après cette forme que prend le biais, il est tout aussi systématique de penser quele biais est déterminé simplement en appliquant une entrée nulle au capteur. Cependant,la valeur du biais diffère généralement chaque fois que le capteur est mis en marche. Enoutre, le biais varie aussi dans le temps. Cette evolution, désignée par dérive "drift", estentre autres due aux variations de la température.

Il existe plusieurs modèles qui permettent de formuler cette dérive du biais. Pour cefaire, certains auteurs favorisent une démarche aléatoire. Compte tenu du contexte proba-biliste dans lequel est étudié notre système, nous pouvons considérer que le biais est unevariable aléatoire dont l’espérance ne dépend pas du temps : le modèle le plus communà utiliser est celui d’un bruit blanc gaussien δ(t) ajouté à une moyenne. Par souci de serapprocher de la réalité, il peut convenir de mettre en oeuvre un modèle d’erreur un peuplus complexe : le modèle "Random Walk"[4], qui décrit une évolution de premier ordre.

6


Certaines études élaborées sur le comportement des capteurs inertiels ont montré que l’er-reur prépondérante de ces capteurs est due à un bruit de type "Random Walk". Ce modèleconstitue, en effet, un processus stochastique de type chaîne de Markov, possédant unedynamique discrète composée d’une succession de pas aléatoires.

Le premier modèle prend ainsi la forme d’une simple évolution de premier ordre ex-primée par la formule (1.6) :

µ = δ(t) (1.6)

Ce modèle est généralement utilisé dans la cas où les capteurs choisis sont de bonnequalité, par rapport à la précision de l’estimation recherchée.

Le deuxième modèle est régie par l’expression (1.7).

µ = − 1

τµ

.µ + δ(t) (1.7)

Où τµ s’écrit selon l’équation (1.8).

1

τµ

=

1τx

0 0

0 1τy

0

0 0 1τz

(1.8)

Le facteur d’échelle :

le facteur d’échelle est un terme multiplicatif K dû aux erreurs de fabrication, certes.Mais, il n’évolue pas considérablement dans le temps, ce qui permet de le compenser parune simple calibration.

Généralement, le facteur d’échelle est décrit par le modèle (1.9).

asortie = Ka.aentree (1.9)

ωsortie = Kωωentree (1.10)

La non-linéarité :

la non linéarité est une contrainte de fonctionnalité présente dans tout capteur. Ilsexistent plusieurs modèles permettant de décrire cette imperfection des appareils. L’ap-proche la plus commune consiste à développer la mesure sous forme d’une série de typedécrit dans les équations (1.11) et (1.12).

asortie = K0 + K1.aentree + K2.a2entree + ... (1.11)

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1.4. Les systèmes de positionnement par satellites 8

ωsortie = L0 + L1ωentree + L2ω2entree + ... (1.12)

Les coefficients Ki et Li sont calculés en effectuant des mesures dynamiques sur lecapteur.

1.4 Les systèmes de positionnement par satellites

Le système de positionnement par satellites permet de calculer la position tridimen-sionnelle (latitude, longitude et altitude) d’un utilisateur, de manière continue et instanta-née, en tout endroit sur la terre, excepté sur les pôles.

Le premier satellite artificiel à orbiter autour de la Terre, a été lancé en octobre 1957par l’Union soviétique. Cet événement marquant a donné le départ d’une course effrénéeà la conquête de l’espace.

Au début des années Soixante dix, le Département de la Défense des Etats-Unis adéveloppé le système de positionnement GPS. Les quatre premiers satellites prototypesont été lancés en 1978. Une constellation de 24 satellites opérationnels a été complétée en1993.

A cette époque, seules les applications militaires bénéficiaient des avantages de po-sitionnement par GPS. Les récepteurs civils sont, par ailleurs, soumis à une dégradationvolontaire des performances. C’est uniquement à partir de l’année 2000 que le gouverne-ment américain a décidé de supprimer cette dégradation, afin d’améliorer la compétitivitédu système GPS face aux prochaines constellations de satellites concurrentes comme Ga-

lileo [5], pour des raisons politiques et stratégiques.Lorsqu’un récepteur de positionement par satellites est mobile, sa vitesse et la direc-

tion de son mouvement peuvent être également déterminées. Cette information temporelletient sa relativité du fait qu’elle utilise une référence, appelée référentiel géodésique. Eneffet, les systèmes géodésiques utilisés historiquement pour la cartographie diffèrent d’unpays à un autre. La constitution de ces systèmes géodésiques locaux s’appuie sur un mo-dèle de surface terrestre raccordé à la surface réelle en un ou plusieurs points de référenceconnus. Le modèle de surface terrestre utilisé est dit ellipsoïde et correspond à une sphèrelégèrement aplatie aux pôles afin de mieux représenter la véritable forme de la surfaceterrestre.

Les coordonnées en longitude, latitude et altitude sont déterminées par rapport à cetellipsoïde de référence. La figure (1.2) illustre le principe de constitution d’un référentielgéodésique local, constitué d’un ellipsoïde de référence raccordé à la surface terrestre auniveau d’un point de référence.

La mise en place du système GPS a imposé l’avènement d’un autre type de systèmegéodésique, dit spatial, appelé système WGS-84. Ce système WGS (World Geodetic Sys-

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1.5. Conclusion 9

Figure 1.2 – Référenciel Géodésique Local

tem) a été réalisé par le département de la Défense américain à partir des positions debases propres au système GPS et de constantes fondamentales. Toutes les coordonnéesGPS prennent leur signification dans ce système géodésique.

Les systèmes de navigation par satellites sont donc conçus pour fournir des positionscompatibles à moins d’un mètre près. Les champs d’application de la localisation parsatellite utilisant le GPS ne cesseront de s’élargir du fait du développement de bases dedonnées géographiques et cartographiques de plus en plus précises.

1.5 Conclusion

Ainsi, les systèmes de positionnement délivrent une information de position, de vitesseoù encore de temps absolu, pourvu que l’association soit optimale et bien étudiée.

Dans notre projet, nous nous intéressons au traitement qui suit l’acquisition des me-sures des différents systèmes de positionnement, en vue de localiser la personne en mou-vement. Nous sommes alors ramenés à trouver le bon système qui réalisera au mieux cettemission de localisation.

9

Chapitre 2

Technique d’estimation par filtre deKalman

2.1 Introduction

L’objet de notre travail consiste à combiner les données provenant des différents sys-tèmes de positionnement utilisés, à savoir un récepteur GPS, un accéléromètre et un gy-roscope. L’intégration efficace de ces informations requiert un outil mathématique perfor-mant pour effectuer les compensations.

Pour ce faire, le filtre de Kalman constitue un algorithme candidat qui présente lesperformances et les exigences requises pour répondre à notre problème.

Dans ce chapitre, nous expliciterons le traitement de Kalman, aussi bien dans sa ver-sion traditionnelle, que dans d’autres approches plus élaborées et supportant les contraintesde non linéarité des systèmes dynamiques.

2.2 Introduction au filtre de Kalman

En 1960, Rudolph E. KalmanA a évoqué un algorithme d’estimation approprié pourl’intégration de données de différents types et à des différentes fréquences, et ceci entenant compte de la cinématique de l’objet considéré.

Cependant, ce filtre a fait l’objet de plusieurs publications, faisant ainsi, à cette époque,une controverse dans la communauté scientifique [6].

Plusieurs chercheurs ont participé à son développement, son implémentation et savalidation. La première application du filtre a permis l’estimation de la trajectoire pourle programme Apollo. Ensuite, vue les performances réalisées de l’estimateur, il a été

Ahttp ://www.cs.unc.edu/ welch/kalman/kalmanBio.html

10

2.2. Introduction au filtre de Kalman 11

exploité dans l’ordinateur de navigation. Plus tard, son évolution a permis son intégrationdans d’autres applications de positionnement [7] [8].

Une grande variété de filtres a été, depuis, développé à partir de la formulation origi-nale dite "filtre de Kalman classique". Stanley Schmidt, qui a réalisé la première implé-mentation du filtre, a ensuite dévelpppé la version étendue [9]. Ensuite, Bierman, Thorn-ton et bien d’autres ont développé toute une gamme de filtres "racine carrée". Le filtrele plus utilisé est vraisemblablement la boucle à verrouillage de phase "Phase-Locked

Loop", largement répondu dans les radios, ordinateurs, équipements de communication,etc.

L’approche de Kalman, qui modélise le système étudié comme étant dynamique, cor-respond, comme toute méthode de filtrage, à résoudre des problèmes paramétrés par letemps. Une telle approche stipule que l’état du système à l’instant t n’est autre que laconséquence des observations et de l’état du système aux instants précédents. De ce fait,cette méthode utilise la prédiction, qui est l’estimation d’une inconnue à partir des obser-vations passées, et se distingue du lissage, qui estime la meilleure solution par l’utilisationdes observations passées et futures. La figure (2.2) présente la comparaison entre les deuxtechniques dans le domaine temporel.

Figure 2.1 – Les techniques de Prédiction et de Lissage

Le filtrage, fait ainsi intervenir le principe de la navigation à l’estime, dont la notionest plus connue par la désignation anglaise le "dead reckoning". Il s’agit d’une techniquede discrétisation de la trajectoire, procédant par intégration des vitesses ou double inté-gration des accélérations afin de déduire le changement de position entre deux points.Considérons l’exemple simple d’un véhicule en mouvement, si l’on connaît sa position,sa vitesse et son accélération à l’instant t, il est possible de prédire sa position, sa vitesseet même son accélération à l’instant t + 1. La compensation prend en compte non seule-ment les mesures à l’instant t + 1 (correction), mais aussi l’évolution dans le temps desparamètres (prédiction). La figure (2.2) souligne cette continuité dans le temps entre lesdeux phases : la phase de prédiction permet de calculer l’estimée a priori de l’état, quisera par la suite corrigée par le biais des observations disponibles.

Ils existent plusieurs types du filtre de Kalman, et ceci selon la linéarité du système.Lorsque la relation décrivant le système à l’instant t en fonction de son état à l’instant t−1

est linéaire, on parle du filtre de Kalman traditionnel [10]. D’autres algorithmes, reposant

11

2.3. Le filtre de Kalman : approche linéaire 12

sur le même principe, décrivent plutôt un système non-linéaire. Une introduction au filtrede Kalman fait l’objet d’un article publié par Greg WelchAet Gary BishopB [11].

Figure 2.2 – Filtre de Kalman, contrôle feedback

2.3 Le filtre de Kalman : approche linéaire

Le système d’équations utilisé dans le filtre de Kalman repose sur la définition de deuxmodèles qui sont le processus et la mesure. Le modèle du processus est la représentationde l’évolution de l’état du système. Il est utilisé pour estimer l’état d’un système dyna-mique observé. L’équation (2.1) décrit Le modèle de processus d’un système linéaire.

xk = φk−1.xk−1 + vk−1 + Gk.uk (2.1)

xk : Vecteur d’état à l’instant tk

φk−1 : Matrice de transition,Elle fait le lien entre les paramètres du système entre deux étapes successives.

Gk : Matrice de commande.Elle fait le lien entre les valeurs optionnelles de contrôle et l’état du système.

uk : Vecteur de commandevk : Bruit du modèle ou dit aussi bruit de l’état, blanc gaussien

Le modèle de mesure décrit l’information fournie par le ou les capteurs en une équa-tion liant les paramètres de l’état de la mesure et du bruit. L’équation de mesure ou d’ob-servation est donnée par (2.2).

zk = Hk.xk + wk + Dk.uk (2.2)[email protected], http ://www.cs.unc.edu/ [email protected], http ://www.cs.unc.edu/ gb

12


zk : vecteur de mesure à l’instant tk

Hk : Matrice de mesureDk : Matrice d’observation de la commandewk : bruit de mesure, bruit blanc

Les conditions initiales se résument à :– intitialement, le vecteur d’état est estimé par son espérence mathématique selon la

formule (2.3).

x0 = E(x0) (2.3)

– La covariance de l’erreur d’estimation de l’état est initialisée à la variance de x0,comme décrit par l’équation (2.4).

P0 = E((x0 − x0).(x0 − x0)T ) (2.4)

On note aussi la covariance de l’erreur d’estimation de l’état xk par l’expression (2.5).

Pk = E((xk − xk).(xk − xk)T ) (2.5)

Lors de l’initialisation du filtre, l’hypothèse est faite telle que les bruits d’état et de me-

sure sont des variables aléatoires dont les distributions gaussiennes sont connues a priori(doivent être estimées à l’avance), blanches et indépendantes de l’état initial du système.Cette indépendance des bruits permet de simplifier le formalisme des équations d’évolu-tion et d’observation.

Les bruits de mesures et de l’état sont modélisés par un processus aléatoire gaussiende moyenne nulle.

vk ∼ N(0, Rk) (2.6)

wk ∼ N(0, Qk) (2.7)

Rk et Qk sont respectivement les matrices de covariance du bruit de modèle et du bruitde mesure.

Les covariance des bruits du modèle et de mesure sont respectivement exprimées dans

13


les équations (2.8) et (2.9).Où δkj est le symbole de kronecker.

E(vk.vTj ) = Rkδkj (2.8)

E(wk.wTj ) = Qkδkj (2.9)

L’hypothèse d’indépendance des bruits de mesure et de modèle est prise, ce qui setraduit explicitement par l’expression (2.10).

E(wk.vTj ) = δkj (2.10)

En posant cette hypothèse d’indépendance entre les bruits, le calcul réalisé dans le dé-veloppement du filtre est simplifié, ce qui exige de satisfaire cette condition tout au longdu fonctionnement du filtre. Le filtre de Kalman consiste à calculer un certain nombrede paramètres, de manière récursive et incrémentale. Ce traitement comporte deux étapesprincipales. L’étape de prédiction, qui consiste à estimer a priori l’état du système ainsique la matrice de covariance de l’erreur d’estimation. Puis, l’étape dite de correction per-met de réaliser une mise à jour par le biais des observations. La figure (2.2) illustre cesdeux phases du filtre.

Les étapes du filtre de Kalman dans son approche linéaire se résument comme suit :

Prédiction temporelle :

Cette étape permet la prédiction de l’état du système (2.11) et de sa précision (2.12)à l’instant tk en partant de ces mêmes paramètres à l’instant tk−1, ainsi que du modèled’évolution du système. On parle alors de mise à jour temporelle des paramètres.

x−k = φk−1.x+k−1 + Gk.uk (2.11)

P−k = φk−1.P

+k−1.φ

Tk−1 + Rk−1 (2.12)

z−k = Hk.x−k + Dk.uk (2.13)

x−k étant l’estimée a priori du vecteur d’état, x+k est l’estimée a posteriori du vecteur

d’état et z−k la mesure prédite a priori.

14


Correction :

Cette étape récupère les observations disponibles à l’instant tk, et les utilise pour corri-ger l’estimation a priori de l’état du système. En effet, l’état prédit dans l’étape précédenteest alors corrigé par sa variance associée P−

k ainsi que l’innovation s−k , pondéré par le gaindu filtre Kk. On en déduit ainsi l’estimation de l’état x+

k à l’aide de la matrice de cova-riance P+

k .

s−k = zk − z−k (2.14)

S−k = Hk.P−k .HT

k + Qk (2.15)

Kk = P−k .HT

k .(S−k )−1 (2.16)

x+k = x−k + Kk.s

−k (2.17)

P+k = (Ik −Kk.Hk).P

−k (2.18)

Où Ik est la matrice identité d’ordre k et S−k est la covariance de l’innovation a priori.Il est important de noter que le résiduel zk − z−k reflète l’écart entre la mesure prédite

et la mesure réelle. Un résiduel à zéro signifie que les deux mesures sont équivalentes.Cette phase de mise à jour consiste, en un premier lieu à calculer le gain de Kalman,

de façon à minimiser la covariance de l’erreur a posteriori. A son optimum, ce gain estégal à la covariance de prédiction d’état P−

k .HTk , divisée par la covariance d’innovation

S−k . Sa valeur converge alors vers 1 (Kk∼= 1) lorsque la covariance de prédiction de l’état

P−k devient équivalente à la covariance d’innovation S−k .

Ainsi, dans ce cas, l’examen de l’équation (2.16) stipule l’interprétation suivanteSi les mesures réalisées sont plus précises que l’erreur du système ; en d’autres termes

si Qk ¿ Pk et la gain de Kalman s’approche de 1 (Kk∼= 1), alors l’équation (2.17) est

approximativement identique à x+k = x−k +S−k , ce qui donnerait plus de poids à la mesure

dans l’estimation de l’état.Les tableaux (2.1) et (2.2) récapitulent le traitement réalisé lors des deux phases du

filtre.

15

2.4. Linéarisation des problèmes non linéaires 16

Tableau 2.1 – Mise à jour Temporelle : "Prédiction"(1) Estimée a priori de l’étatx−k = φk−1.x

+k−1 + Gk.uk

(2) Estimée a priori de la covariance de l’erreur d’estimationP−

k = φk−1P+k−1φ

Tk−1 + Rk−1

Tableau 2.2 – Mise à jour par les observations : "Correction"(1) Calcul du gain de KalmanKk = P−

k HTk (HkP

−k HT

k + Qk)−1

(2) Estimée a posteriori de l’état par le biais des observationsx+

k = x−k + Kk(zk −Dkuk −Hkx−k )

(3) Estimée a posteriori de la covariance de l’erreur d’estmationP+

k = (Ik −KkHk)P−k

2.4 Linéarisation des problèmes non linéaires

La formulation du traitement de Kalman, telle qu’elle est décrite précédemment, nereprésente qu’une approche linéaire. Elle ne peut s’appliquer que sur un modèle parti-culier de systèmes dynamiques. Elle est désignée par formulation traditionnelle ou clas-sique. Dans la réalité, la plupart des systèmes présentent la propriété contraignante de nonlinéarité, ce qui représente une limite à la formulation précédente. De ce fait, un certainnombre de méthodes a été développé pour répondre à cette problématique. L’idée consisteà linéariser d’abord le modèle, puis d’appliquer le filtre de Kalman standard afin d’obte-nir l’état du système. L’objet de la linéarisation est un critère permettant de classifier lesdifférents types de filtres linéarisés. En effet, si la linéarisation est effectuée autour d’unetrajectoire nominale dans l’espace d’état qui ne dépend pas des données de mesure, lefiltre résultant s’appelle le filtre linéarisé de Kalman [13]. Dans le cas d’une linéarisationautour d’une trajectoire estimée, continuellement mise à jour avec les estimations d’étatrésultant des mesures, le filtre de Kalman est dit étendu [14]. Une autre approche de linéa-risation consiste à utiliser un ensemble de points échantillons choisis, ce qui est désignépar le filtre de Kalman non parfumé (Unscented Kalman Filter ou Sigma Point KalmanFilter). Cette approche, un peu plus élaborée que les autres, est surtout utilisée pour lessystèmes fortement non linéaires.

Nous nous intéresserons dans ce qui suit à présenter uniquement le filtre de Kalmanlinéarisé et le filtre de Kalman étendu.

16


2.4.1 Filtre de Kalman linéarisé

Dans cette première approche, la linéarisation se fait autour d’une certaine trajectoirenominale, qui ne dépend pas des données de mesure. En d’autres termes, le développe-ment en série de Taylor, utilisé pour la linéarisation, est évalué à un certain point nominalconnu.

Soit un modèle non linéaire décrit par le couple d’équations (2.19) et (2.20).

xk = f(xk−1, uk) + vk−1 (2.19)

zk = h(xk, uk) + wk (2.20)

Les deux modèles d’évolution et d’observation ne sont donc pas linéaires. Ils sontreprésentés, respectivement par les deux fonctions connues et différenciables f (décritedans l’équation 2.19) et h (décrite dans l’équation 2.20). Toutefois, la non-linéarité peutrésider soit dans le modèle du processus soit dans le modèle de mesure, soit dans les deuxmodèles régis respectivement par les fonctions f et h.

La figure (2.3) illustre un exemple de trajectoire nominale avec une erreur de δxk parrapport à la trajectoire réelle.

Supposons que la trajectoire approximative est obtenue par un quelconque moyen.Elle constitue une trajectoire de référence et est désignée par la trajectoire nominale. Latrajectoire réelle peut alors être exprimée en fonction de celle de référence et d’une cer-taine erreur δxk, comme décrit par l’équation (2.26).

xk = xnomk + δxk (2.21)

En tenant compte du modèle d’évolution et de mesure du système, l’expression (2.19) setransforme en (2.22).

xnomk + δxk = f(xnom

k−1 + δxk−1, uk) + vk−1 (2.22)

La linéarisation étant basée sur le développement en série de Taylor, et en supposantque δxk est petit, le développement de f autour de xnom

k ,donne l’expression (3.2.2).

xk = xnomk + δxk

= f(xnomk−1 , uk) +

∂f

∂x|x=xnom

k−1.δxk−1 +

∂2f

∂x2|xk=xnom

k−1.(δxk−1)

2

2!+ ... + vk−1(2.23)

17


Figure 2.3 – Trajectoire nominale et réelle pour un filtre linéarisé de Kalman

Compte tenu de la nature de la trajectoire nominale, xnomk =f(xnom

k−1 , uk)

En limitant le développement en série de Taylor au premier ordre, la prédiction del’état est ainsi propagée par des équations non linéaires, alors que les erreurs d’état le sontpar un système linéaire.

Ainsi, l’équation (2.24) exprime la dynamique linéarisée :

δxk ≈ Υk−1δxk−1 + vk−1 (2.24)

Où,

Υk−1 =

[∂f

∂x

]

xk=xnomk−1

=

∂f1

∂x1

∂f1

∂x2

∂f1

∂x3...

∂f2

∂x1

∂f2

∂x2

∂f2

∂x3...

∂f3

∂x1

∂f3

∂x2

∂f3

∂x3...

...

...

xk=xnomk−1

(2.25)

Par analogie, la linéarisation du modèle de mesures est formulée selon l’équation(2.26) :

zk = znomk + δzk (2.26)

18


En tenant compte du modèle d’évolution et de mesure du système, l’équation (2.20)prend la forme de l’expression (2.27).

zk = h(xnomk + δxk, uk) + wk (2.27)

La linéarisation étant basée sur l’expansion en série de Taylor, et en supposant que δzk

est petit, le développement de f autour de znomk , donne l’expression (3.2.2).

zk = znomk + δzk (2.28)

= h(xnomk , uk) +

∂h

∂x|x=xnom

k.δxk +

∂2h

∂x2|x=xnom

k.(δxk)

2

2!+ ... + wk (2.29)

Ainsi, et compte tenu de l’approximation δzk ≈ zk−h(xnomk , uk), la dynamique linéa-

risée s’exprime selon l’équation (2.30). Une telle approximation s’explique par la naturenon bruitée, voire non réelle, de la trajectoire nominale.

δzk ≈ Hkδxk + wk (2.30)

Où,

Hk =

[∂h

∂x

]

x=xnomk

=

∂h1

∂x1

∂h1

∂x2

∂h1

∂x3...

∂h2

∂x1

∂h2

∂x2

∂h2

∂x3...

∂h3

∂x1

∂h3

∂x2

∂h3

∂x3...

...

...

x=xnomk

(2.31)

Ainsi, les deux équations (2.24) et (2.30) constituent une formulation linéarisée dufiltre de Kalman appliqué à notre système, en temps discret. Au terme de ce traitement, lesrelations de la dynamique de l’erreur d’estimation et de l’erreur de mesure sont devenueslinéaires. Cette transformation est essentiellement basée sur la construction des matricesJacobiennes Υ et H , qui ne sont autres que les dérivées partielles de f et h le long de latrajectoire nominale. Il est à noter que ces matrices peuvent évoluer au cours du temps,du fait de l’évolution récursive du vecteur d’état. De ce fait, à chaque étape du processusrécursif, les matrices Υ et H sont recalculées.

Cependant, au fur et à mesure que le système évolue dans le temps, la déviation de latrajectoire nominale par rapport à la trajectoire réelle tend à augmenter. Cette déviationse traduit également par l’importance du poids des termes d’ordre supérieur dans le déve-loppement en séries de Taylor. D’où la notion précédemment évoquée, dite d’innovation.En d’autres termes, cette déviation de trajectoire traduit exactement le résiduel entre lamesure réelle et celle prédite par la trajectoire nominale, en l’absence de bruit.

19


Ce risque de voir le système diverger au bout d’un certain nombre d’itérations, limitel’utilisation du filtre de Kalman linéarisé dans certaines missions prolongées.

Toutefois, nous supposerons, dans le cas de notre système, que cette déviation resterelativement petite durant toute la période d’intérêt.

Enfin, ce type de filtre présente l’avantage d’une exécution en temps réel, quoiqu’ilmanque de robustesse vis à vis des approximations non linéaires des erreurs du modèleet de mesure. Pour remédier à cette problématique, une autre version du filtre de Kalmana été développée, c’est le filtre de Kalman étendu, qu’on explicitera dans le paragraphe(2.4.2).

2.4.2 Filtre de Kalman étendu "EKF"

Le filtre de Kalman étendu "EKF", développé par Stanley F.Schmidh [14], représenteune évolution du filtre de Kalman linéarisé, dans le sens où il ramène la modélisation d’unsystème non linéaire à un problème plutôt linéaire. Il diffère du filtre de Kalman linéarisé,par le fait que le processus de linéarisation se fait autour d’une trajectoire estimée plutôtqu’autour d’une trajectoire nominale. En d’autres termes, les dérivées partielles sont cal-culées le long de la trajectoire qui a été mise à jour avec l’estimation du filtre. Il s’agitdonc d’exploiter les mesures disponibles à chaque itération pour calculer les paramètres àévaluer, entre autres le gain de Kalman. L’idée est alors basée sur le principe de linéarisertoutes les équations non linéaires, afin de ramener le système à une approche linéaire, detelle sorte que la version traditionnelle du filtre de Kalman soit applicable. La formulationinitiale est bien conforme à celle décrite précédemment par le filtre de Kalman linéarisé,telle est décrite par le couple d’équations (2.32) et (2.33).

xk = f(xk−1, uk, vk−1) (2.32)

zk = h(xk, uk, wk) (2.33)

où vk−1 et wk représentent respectivement les bruits du modèle et de mesure.La fonction f est utilisée pour l’état prédit à partir de l’état estimé à l’itération précé-

dente, et semblablement, la fonction h servira à calculer l’observation prédite de l’état pré-dit. Autrement, un passage aux matrices de covariance requiert le calcul des jacobiennesrespectives de f et h.

En pratique, nous ne disposerons bien évidemment pas des valeurs exactes du bruit àchaque itération. Toutefois, nous pouvons approximer les vecteurs d’état et de mesure xk

et zk, en annulant ces termes relatifs au bruit.

20


xk = f(xk−1, uk, 0) (2.34)

zk = h(xk, uk, 0) (2.35)

Le processus de linéarisation des équations (2.32) et (2.33) est effectué en utilisantl’approximation décrite par les équations (2.34) et (2.35).

xk = xk + A(xk−1 − xk−1) + vVk−1 (2.36)

zk = zk + H(xk − xk) + wWk (2.37)

xk : une estimée a posteriori de l’état à l’instant tk

xk : une approximation de l’état, obtenue en ignorant le bruit du modèle.A : la matrice jacobienne des dérivées partielles de f par rapport à x :

A[i,j] =∂f[i]

∂x[j]

(xk−1, uk, 0) (2.38)

V : la matrice jacobienne des dérivées partielles de h par rapport à v :

V[i,j] =∂h[i]

∂v[j]

(xk, uk, 0) (2.39)

H : la matrice jacobienne des dérivées partielles de h par rapport à x :

H[i,j] =∂h[i]

∂x[j]

(xk, uk, 0) (2.40)

W : la matrice jacobienne des dérivées partielles de h par rapport à w :

W[i,j] =∂h[i]

∂w[j]

(xk, uk, 0) (2.41)

Notons que les matrices Jacobiennes A, V, H et W peuvent évoluer au cours du temps ;l’omission de l’indice k de chaque étape n’est autre qu’une forme de simplification desexpressions.

Une fois l’approximation est faite, on définit une nouvelle forme de l’erreur de pré-

21


diction qui est décrite par l’expression (2.42).

exk≡ xk − xk (2.42)

Ainsi que le résiduel relatif à la mesure par l’équation (2.43) :

ezk≡ zk − zk (2.43)

Dans les équations (2.42) et (2.43), le terme xk étant inconnu puisqu’il représentela valeur actuelle de l’état qu’on cherche à estimer, nous disposons plutôt de la mesureactuelle zk. Compte tenu de la disponibilité des observations, nous aboutissons aux ex-pressions (2.44) et (2.45).

exk≈ A(xk−1 − xk−1) + εk (2.44)

ezk≈ Hexk

+ ηk (2.45)

Où εk et ηk représentent deux variables aléatoires indépendantes, de moyenne nulle etde covariances respectives V RV T et WQW T , avec R et Q les covariances d’erreur desbruits du modèle et de mesure.

Ainsi, au terme de ces expressions, nous aboutissons à un système d’équations li-néaires, décrit par (2.44) et (2.45). L’avantage de cette linéarisation réside dans le faitqu’elle nous ramène à un système linéaire, comme celui décrit initialement par les équa-tions (2.1) et (2.2). Compte tenu de cette nouvelle formulation, nous nous proposonsd’utiliser le résidu des mesures ezk

en vue d’estimer l’erreur de prédiction exkdécrite

par l’équation (2.44). Cette estimation d’erreur, désignée par ek , sera par la suite intégréedans l’équation (2.42), ce qui permettra de retourner une estimée a posteriori du processusinitial , à savoir celui décrivant le système non linéaire de départ.

xk = xk + ek (2.46)

Les variables aléatoires présentées dans les équations (2.44) et (2.45) sont régies parune loi de probabilité gaussienne, de moyenne nulle

exk∼ N(0, E[exk

eTxk

]) (2.47)

εk ∼ N(0, V RkVT ) (2.48)

ηk ∼ N(0,WQkWT ) (2.49)

22


En ajoutant l’hypothèse d’annuler la valeur prédite de xk, l’application du filtre deKalman traditionnel pour estimer l’erreur retourne ainsi l’équation (2.50).

ek = Kkezk(2.50)

En substituant les égalités (2.50) et (2.43) dans l’équation (2.46), nous aboutissons àl’expression (2.52).

xk = xk + Kkezk(2.51)

= xk + Kk(zk − zk) (2.52)

Cette dernière équation sera ainsi utilisée par le filtre de Kalman étendu, dans la phasede mise à jour des observations, et ceci en faisant appel aux équations (2.34) et (2.35),ainsi que le gain de Kalman Kk décrit dans l’équation (2.16), en substituant la valeur dela covariance de l’erreur de mesure.

Le filtre de Kalman étendu peut alors être récapitulé par les deux tableaux (2.3) et(2.4). Notons la substitution de xk par x−k afin de se conformer à la notation de l’estimée apriori utilisée dans l’approche linéaire. Nous avons aussi souligné la variation temporelledes matrices jacobiennes en les indexant par l’indice k, ils seront ainsi recalculés à chaqueitération.

Tableau 2.3 – Mise à jour Temporelle : "Prédiction"(1) Estimée a priori de l’étatx−k = f(xk−1, uk, 0)(2) Estimée a priori de la covariance de l’erreur d’estimationP−

k = AkPk−1ATk + VkRkV

Tk

Cette première phase du filtre de Kalman étendu décrite par le tableau (2.3) est conformeà la phase de prédiction dans l’approche classique du filtre de Kalman, dans le sens oùelle permet de prédire l’état et la covariance d’erreur à la kme itération à partir de l’état àl’itération précédente et du modèle d’évolution du système décrit par la fonction f.

Toujours conformément au filtre de Kalman dans son approche linéaire, le tableau(2.4) rejoint la phase corrective qui consiste à corriger l’estimée a priori de l’état x−k et dela covariance de l’erreur P−

k par le biais des observations disponibles à l’instant actuel.Ainsi, le filtre de Kalman étendu est applicable pour un nombre important de pro-

blèmes d’observation, notamment pour les missions prolongées. Cependant, comme toutalgorithme exploitable, ce type de filtre présente une certaine limite :

23

2.5. Conclusion 24

Tableau 2.4 – Mise à jour par les observations : "Correction"(1) calcul du gain de KalmanKk = P−

k HTk (HkP

−k HT

k + (WkQkWTk ))−1

(2) Estimée a posteriori de l’état par le biais des observationsxk = x−k + Kk(zk − h(xk, uk, 0))(3) Estimée a posteriori de la covariance de l’erreur d’estmationP+

k = (Ik −KkHk)P−k

– Tout au long du fonctionnement du filtre, une variable aléatoire gaussienne est pro-pagée par la dynamique du système. Cette propagation est effectuée lors de la li-néarisation du premier ordre du système non linéaire. Les termes négligés dans lalinéarisation peuvent être relativement grands, ce qui risque d’augmenter les erreursdans l’estimation des paramètres, et par conséquent mener à une performance sub-optimale, voir même à la divergence du filtre.

– Le filtre de Kalman étendu est relativement coûteux en temps de calcul. En effet,contrairement au filtre linéarisé, la linéarisation est effectuée autour des estima-tions obtenues à partir du filtre, nous ne pouvons donc pas estimer les paramètres àl’avance.

– Les dérivations partielles effectuées lors du calcul des matrices Jacobiennes consti-tuent des opérations lourdes à implémenter, au sens de complexité de calcul, pourcertaines applications.

2.5 Conclusion

Le filtre de Kalman est ainsi connu sous plusieurs versions, sachant nous n’avonsdétaillé que certaines d’entres elles. L’approche étendue répond le plus à notre système, dufait qu’elle soit bien adaptée aux contraintes de non linéarité. D’autres approches, encoreplus élaborées, ont été développés, certes. Mais, leur exploitation est notamment utilelorsqu’il s’agit de systèmes fortement non linéaires et dont le modèle est plus contraignant.

Par ailleurs, une fois le principe global du filtre explicité, il faudra modéliser notresystème dynamique, en retrouvant les modèles d’évolution et d’observation du mobileconsidéré.

24

Chapitre 3

Implémentation du module embarqué etrésultats

3.1 Introduction

Notre projet s’inscrit dans le cadre du partenariat "Sound Delta". La mission consisteà la mise en oeuvre d’une carte de localisation fine par GPS. Pour ce faire, une phasede simulation du traitement numérique des données s’impose, en vue de vérifier le bonfonctionnement du filtre de Kalman, et de conclure sur sa validation, une fois la préci-sion de localisation recherchée est atteinte. Dans ce dernier chapitre, nous présenteronsles formulations analytiques de notre système de navigation, en tenant compte de la na-ture du mouvement considéré. Par la suite, une fois l’implémentation de l’ensemble de ladescription analytique faite, nous illustrerons les résultats de la simulation, vérifiant ainsile fonctionnement du filtre de Kalman simulé.

3.2 Modélisation du système

L’étape de modélisation est d’une importance majeure dans notre travail. Les pro-blèmes de localisation sont, en effet, dépendant de certaines contraintes liées directementà la dynamique du système. D’où s’exprime le besoin de décrire cette problématique ana-lytiquement de manière à pouvoir appliquer le filtre de Kalman dans sa version adéquate.

3.2.1 Transformations entre les systèmes de coordonnées

Dans un système là où il s’agit de combiner système de navigation terrestre utilisépar le GPS et système de navigation inertielle associé aux capteurs, il est important de

25

3.2. Modélisation du système 26

maintenir, tout au long de l’acquisition des différentes mesures, l’information d’orienta-tion. En d’autres termes, afin d’assurer la bonne maîtrise de l’information d’orientationdans un système de type "Strapdown" (là où les capteurs sont fixés rigidement au mobile),nous sommes ramenés à connaître à chaque instant le rapport entre les axes de mesureset ceux du système de localisation. Mathématiquement, ceci revient à exprimer la matricede transformation de la base du mobile vers la base terrestre.

Il existe plusieurs outils mathématiques permettant de faire cette transformation, parmilesquels on distingue les angles d’Euler et les quaternions (voir Annexe C). Dans notretravail, nous avons opté particulièrement pour le choix des quaternions pour un intérêtde simplicité et d’efficacité [15]. En effet, ceux-ci présentent, d’une part, une propriétéparticulière de rotation qui en fait un outil complet de description des trois orientationspossibles. D’autre part, la dérivation des quaternions revient à réaliser des multiplicationsde matrices d’ordre 4, où d’ordre 3 dans la cas d’un quaternion unitaire, ce qui est net-tement plus simple que la dérivation des angles d’Euler faisant appel à des expressionsbeaucoup plus complexes en cosinus et sinus, et surtout coûteuse en temps de calcul.

Ainsi, les formules de quaternions donnent la Matrice des Cosinus Directeurs "DCM"décrite dans l’équation (3.1).

C =

q20 + q2

1 + q22 + q2

3 2(q1q2 − q0q3) 2(q0q2 + q1q3)

2(q1q2 + q0q3) q20 − q2

1 + q22 − q2

3 2(q2q3 + q0q1)

2(q1q3 − q0q2) 2(q0q1 + q2q3) q20 − q2

1 − q22 + q2

3

(3.1)

Cependant, une des particularités du mouvement étudié est qu’il est associé à un mo-bile rigide, c’est-à-dire ne se déforme pas lors de son déplacement. Le quaternion est alorsunitaire.

3.2.2 Formulation du vecteur d’état

Le projet consiste à combiner récepteur GPS et capteurs inertiels, en vue d’estimerla position et l’orientation du mobile. Pour ce faire, il est important de bien fixer lesparamètres à introduire dans le vecteur d’état.

Compte tenu du fait que le réajustement va se faire avec les données GPS, les pa-ramètres de position et de vitesse doivent nécessairement figurer dans le vecteur d’état.En outre, les quaternions, qui sont particulièrement responsables de l’orientation du mo-bile, doivent aussi être recalculés à chaque itération, afin de tenir compte du changementd’orientation. Finalement, les biais causés par le gyroscope et l’accéléromètre, du fait deleur évolution dans le temps, permettent de corriger la mesure fournie par chacun des cap-teurs. Leur mise à jour constitue alors un moyen d’améliorer la précision de l’estimationdes éléments du filtre.

26


La formulation du vecteur d’état résultant prend alors la forme (3.2).

XT = ( u v w︸︷︷︸V

x y z︸︷︷︸Ξ

q0 q1 q2 q3︸︷︷︸q

νx νy νz︸︷︷︸ν

µx µy µz︸︷︷︸µ

) (3.2)

Avec :V la vitesse exprimée dans la base mobileΞ la position en coordonnées terrestres projetées à platq le quaternion des altitudesν le vecteur biais du gyroscopeµ le vecteur biais de l’accéléromètre

3.2.3 Etude de la dynamique du système

Le système étudié présente une certaine dynamique, qui, compte tenu de sa non linéa-rité, requiert la formulation adéquate des fonctions d’évolution des différents paramètresà estimer, dans le temps. Cette première étape est cruciale, dans le sens où elle préciseexplicitement le modèle dynamique. Dans le cas de navigation inertielle, la fonction f del’équation (3.3) est construite en faisant appel à la matrice de transformation C.

X(t) = f(t,X(t), u(t)) (3.3)

En effet, la matrice DCM, comme explicité dans l’expression (3.1), permet de décrirela dynamique du système. Elle constitue une matrice de passage de la base du mobile à labase terrestre.

Les deux bases, étant orthonormées, la DCM vérifie alors la propriété d’orthogonalitéC−1 = CT .

Exprimons maintenant par groupes d’états les diverses équations de la dynamique dusystème.

3.2.3.1 Evolution de la vitesse

L’expression de la vitesse du mobile est régie par l’équation de l’accélération dansle repère du mobile. En effet, l’accéléromètre nous fournit la valeur de l’accélérationnon gravitationnelle, exprimé dans le système inertiel (voir Annexe A). Transposons cetteaccélération dans la base du mobile, comme explicité dans l’égalité (3.32).

A =

ax

ay

az

inertiel

=

[∂V

∂t

]

mobile

+ (Ωgyro − ν) ∧ V − CT .

0

0

g

(3.4)

27


Avec Ωgyro = (wxwywz) est la vitesse angulaire du mobile, mesurée par le gyroscope.L’opération ∧ désigne le produit vectoriel.

La dynamique de la vitesse prend alors la forme (3.5).

[∂V

∂t

]

mobile

=

u

v

w

=

ax

ay

az

inertiel

+ CT .

0

0

g

− (Ωgyro − ν) ∧ V (3.5)

Ainsi, la vitesse du mobile n’est autre qu’une forme d’intégration de la mesure accé-léromètrique, corrigée par le biais du gyrocospe. L’équation (3.5) montre la contributionde chaque appareil de mesure dans l’expression de la dynamique de la vitesse du mobile.

3.2.3.2 Evolution de la position

l’évolution de la position du mobile est régie par l’équation de la dynamique (3.6).

[∂Ξ

∂t

]

mobile

= C.V (3.6)

3.2.3.3 Evolution des quaternions

Compte tenu de la dépendance des éléments de positionnement du vecteur quaternion,celui-ci constitue un paramètre extrêmement important à estimer à chaque itération.

En effet, la dérivation des quaternions par rapport au temps fait apparaître une partiearbitraire dans la direction du vecteur quaternion à dériver. Pour ce faire, nous définissonsun facteur k (en seconde−1) qui, multiplié par λ, determine la direction du quaternion,tel que k <= 1

∆t, où k désigne le temps qui s’écoule entre deux calculs consécutifs de la

dérivée, et λ = 1− (q20 + q2

1 + q22 + q2

3).

∂q∂t

= fonction(Ωgyro − ν)

=1

2

−q1 −q2 −q3

q0 −q3 q2

q3 q0 −q1

−q2 q1 q0

.

ωx − νx

ωy − νy

ωz − νz

+ k.λ.

q0

q1

q2

q3

(3.7)

Toutefois, comme le quaternion est unitaire dans le cas de notre système, le multipli-cateur λ annulera le terme en Q.

28


3.2.3.4 Evolution des biais

Le biais est une forme d’erreur qui est d’autant plus évidente que contraignante. Eneffet, comme décrit dans le paragraphe (1.3.3), le biais peut être modélisé selon la com-plexité de son évolution. Pour l’accéléromètre, nous avons choisi le premier modèle, quirepose sur une variable aléatoire gaussienne. Le gyroscope, étant beaucoup plus sen-sible aux contraintes de la température et aux conditions de mesure, exige l’utilisationdu deuxième modèle "random Walk" qui répond mieux à la qualité de l’appareil de me-sure.

3.2.4 Linéarisation autour de l’état estimé

Cette phase de linéarisation, comme précédemment décrite dans le filtre de Kalmanétendu (§2.4.2), a pour objectif de réaliser une mise à jour temporelle. Cette phase depédiction consiste à calculer une estimée a priori du vecteur d’état, en partant de l’état dusystème à l’instant précédent ainsi que du modèle d’évolution du système.

Cette Mise à jour temporelle est régit par l’équation (C.2).

X =

V

Ξ

qν

µ

=

Ωgyro − ν 0 Aνq AVν −I3

C 0 AΞq 0 0

0 0 Aq Aqν0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

.

︸︷︷︸A

V

Ξ

qν

µ

(3.8)

Explicitons les différents termes intervenant dans la matrices d’évolution du vecteurd’état X de l’équation (3.2).

(Ωgyro − ν) ∧ V =

ωx − νx

ωy − νy

ωz − νz

∧

u

v

w

(3.9)

=

0 −(ωz − νz) ωy − νy

ωz − νz 0 −(ωx − νx)

−(ωy − νy) (ωx − νx) 0

.V (3.10)

=

(ωy − νy).w − (ωz − νz).v

(ωz − νz).u− (ωx − νx).w

(ωx − νx).v − (ωy − νy).u

(3.11)

Cette matrice traduit l’évolution du vecteur vitesse.

29


Cependant, dans la base du mobile, l’évolution de la vitesse est régie par l’équation del’accélération, d’où intervient la mesure accéléromètrique, qui correspond à l’accélérationnon gravitationnelle, comme explicité dans l’équation (3.32).

Aνq =

[∂CT

∂q

].

0

0

g

(3.12)

=∂

∂q

2(q1q3 − q0q2).g

2(q0q1 + q2q3).g

(q20 − q2

1 − q22 + q2

3).g

(3.13)

= 2g.

−q2 q3 −q0 q1

q1 q0 q3 q2

q0 −q1 −q2 q3

(3.14)

AVν =∂(ν ∧ V )

∂ν

=∂

∂ν

−νz.ν + νy.w

−νx.w + νz.u

−νy.u + νx.ν

(3.15)

=

0 w −ν

−w 0 u

ν −u 0

(3.16)

AΞq =∂C.V

∂Q

=∂C

∂q.V

= 2

−νz.ν + νy.w

−νx.w + νz.u

−νy.u + νx.ν

(3.17)

=

q0u− q3v + q2w q1u + q2v + q3w −q2u + q1v + q0w −q3u− q0v + q1w

q3u + q0v − q1w q2u− q1v − q0w q1u + q2v + q3w q0u− q3v + q2w

−q2u + q1v + q0w q3u + q0v − q1w −q0u + q3v − q2w q1u + q2v + q3w

30


Aq =1

2

∂

∂q

−q1(wx − νx)− q2(wy − νy)− q3(wz − νz) + 2kλq0

q0(wx − νx)− q3(wy − νy) + q2(wz − νz) + 2kλq1

q3(wx − νx) + q0(wy − νy)− q1(wz − νz) + 2kλq2

−q2(wx − νx) + q1(wy − νy) + q0(wz − νz) + 2kλq3

=1

2

2kλ −(wx − νx) −(wy − νy) −(wz − νz)

(wx − νx) 2kλ (wz − νz) −(wy − νy)

(wy − νy) −(wz − νz) 2kλ (wx − νx)

(wz − νz) (wy − νy) −(wx − νx) 2kλ

=1

2

q1 q2 q3

−q0 q3 −q2

−q3 −q0 q1

q2 −q1 −q0

(3.18)

Ainsi, au terme de cette mise à jour, nous aboutissons à une estimée a priori du vecteurd’état, il suffit d’intégrer le X .

3.2.5 Mise en oeuvre du filtre

3.2.5.1 La phase de propagation

La phase de propagation est la première phase dans la mise en oeuvre du filtre. Elleexige la bonne connaissance de la dynamique de l’état du système. Ainsi, elle prend enentrée la dérivée du vecteur d’état calculée dans la section (3.2.4). L’objectif de cette étapeest de calculer une estimée a priori du vecteur d’état Xk et de la covariance d’erreur d’es-timation Pk. Pour ce faire, il suffit d’intégrer les dérivées obtenues à l’issue de la phaseprécédente. Ils existent plusieurs approches réalisant cette opération d’intégration. Tou-tefois, plus les capteurs utilisent des hautes fréquences, plus la dynamique du systèmeglobal est importante, plus le calcul d’intégrale doit être précis. En d’autres termes, noustravaillons à des fréquences relativement hautes, entre 20 Hz et 200 Hz, surtout par rap-port à la fréquence d’un GPS qui est de l’ordre de quelques Hz. Cette haute dynamiquerequiert l’utilisation d’algorithmes d’intégration, plus élaborés qu’une simple méthodedes rectangles, telle explicitée par la formule (3.19).

Xi+1 = Xi + Xi.dt, (3.19)

Pour ce faire, il est possible d’utiliser la méthode Runge-Kutta, d’ordre 2 ou 4 (voirAnnexe C).

31


Cette phase de propagation commence généralement par estimer le vecteur d’état X,ensuite il convient d’utiliser cette estimée a priori de l’état pour propager la covariance del’erreur d’estimation P.

Les équations de propagation qui régissent cette phase prennent la forme de l’expres-sion (3.20).

P−k = Pk−1 + (Ak−1.Pk−1 + (Ak−1.Pk−1)

T + R(t)).dt (3.20)

Où R(t) est la matrice de covariance du bruit de modèle.L’estimée retournée après propagation, désignée par P−

k est un paramètre qui quantifiela confiance que l’on peut apporter à l’estimée du vecteur d’état X. Cette relation traduitl’importance d’évaluer la covariance d’erreur au fur et à mesure de l’estimation de l’état.

Ainsi, au terme de ces opérations, nous aboutissons aux estimées a priori de l’état dusystème et à la convariance d’erreur associée. Ces estimées constitueront les entrées de laphase de mise à jour par réajustement avec le GPS.

3.2.5.2 Mise à jour : phase de correction par les mesures GPS

Cette dernière étape consiste à corriger les estimées a priori des éléments du filtre, enintroduisant les mesures fournies par le récepteur GPS. Généralement, le filtre effectueune telle correction à chaque acquisition des données GPS, c’est à dire à une cadenceégale à la fréquence de fonctionnement du GPS. Cette fréquence est souvent de l’ordre duHertz, parfois au plus de quelques Hertz.

La phase de correction est effectuée sur le vecteur d’état, et plus précisément sur laposition et la vitesse du mobile, qui seront recalés par les données GPS. Compte tenudu traitement explicité dans le tableau (2.4), nous avons opté pour un traitement plutôtséquentiel, qui opère sur les différents paramètres séparément. L’intérêt d’un tel choixconsiste à alléger la complexité de calcul en ramenant le calcul effectué sur des matricesd’ordre 16 (du fait de la taille du vecteur d’état), à des opérations matricielles d’ordre 3. Enoutre, si la capacité de calcul du calculateur ne supporte pas ce traitement séquentiel, il estpossible de découpler chacun des axes et passer à des manipulations scalaires, plutôt quematricielles. Ces méthodes d’optimisation des ressources sont d’une importance majeuredans l’implémentation des modules embarqués. Dans notre cas, nous avons opté pour lapremière méthode, à savoir un traitement séquenciel par paramètre, sachant que chaqueparamètre est projeté sur les trois axes du système de coordonnées (voir annexe A).

1. Mise à jour de la vitesse :

Nous commençons par calculer l’innovation, en soustrayant la mesure prédite de lamesure réelle. Le résiduel est noté Zvit.

32


Zvit = −

Vgpsx − u

Vgpsy − v

Vgpsz − w

(3.21)

Où Vgpsx, Vgpsy et Vgpsz sont les mesures délivrées par le récepteur GPS.

Ensuite, la matrice d’observation H prend simplement la forme de l’expression(3.22).

Hvit =

1 0 0 0 ..... 0

0 1 0 0 ..... 0

0 0 1 0 ..... 0

(3.22)

Par la suite, on calcule le gain de Kalman associé à la vitesse du mobile, en intro-duisant le bruit de mesure de la vitesse Qvit.

Kvit = P−k .HT

vit.(Hvit.P−k .HT

vit + Qvit)−1 (3.23)

Enfin, il convient de corriger le vecteur d’état, plus précisément la composante "vi-tesse" dans le vecteur d’état, ainsi que la covariance associée.

P+k = P−

k −Kvit.Hvit.P−k (3.24)

X+k = X−

k −Kvit.Zvit (3.25)

Cette méthode de recalage par mesures GPS permet de calculer l’estimée a poste-riori des éléments du filtre, désignées dans le tableau (2.4) par xk et Pk. La valeur decette vitesse est ainsi exprimée selon les trois axes, dans le système de coordonnéesterrestre, en mètres par seconde, vers le Nord terrestre.

2. Mise à jour de la position :

L’approche suivie pour réaliser la mise à jour de la position est une simple extensionde celle abordée dans le cas de la vitesse. La seule différence réside dans le calculde l’innovation Zpos qui obéit à la forme décrite dans (3.26).

33


Zpos = −

(λGPS − λ0).k − px

(µGPS − µ).cosλGPS.k − py

Zalt − pz

(3.26)

La matrice H correspondante à la position est régie par l’expression (3.27).

Hpos =

0 0 0 1 0 0 0 ..... 0

0 0 0 0 1 0 0 ..... 0

0 0 0 0 0 1 0 ..... 0

(3.27)

Par la suite, on calcule le gain de Kalman associé à la position du mobile, en intro-duisant la covariance du bruit de mesure de la position Qpos.

Kpos = P−k .HT

pos.(Hpos.P−k .HT

pos + Qpos)−1 (3.28)

Ainsi, une fois le gain de Kalman calculé, l’étape finale consiste à calculer les esti-mées recherchées (equations 3.29 et 3.30).

P+k = P−

k −Kpos.Hpos.P−k (3.29)

X+k = X−

k −Kpos.Zpos (3.30)

Au terme de ce traitement, le filtre de Kalman retourne ses estimations des différentsparamètres.

Récapitulons tout le traitement réalisé, en énumérant les différents phases de l’estima-teur :

1. Initilisations des éléments du filtre :

Les quaternions,X0,P0,Le biais du gyroscope : ( νx νy νz ),Le biais de l’accéléromètre : ( µx µy µz ).

34

3.3. Les initialisations 35

2. Mise en oeuvre du filtre :

ÃAcquisition des signaux GPSFor (Compteur incrémenté avec l’acquisition des mesures GPS)

ÃAcquisition des signaux accéléromètre+GyroscopeFor (Compteur incrémenté avec l’acquisition des mesures inertiels)

Etude de al dynamique du système :

Evolution de la vitesse (eq 3.5)Evolution de la position (eq 3.6)Evolution des quaternions (eq 3.7)Evolution des biais

Linéarisation autour de l’état estimé : (eq 3.8Phase de propagation

(eq 3.20)(eq 3.19)

=⇒ Les estimées a priori Pk et Xk

Mise à jour par les observations GPS :Mise à jour de la vitesse (3.25)Mise à jour de la position (3.30)

=⇒ Les estimées a posteriori Pk et Xk

3.3 Les initialisations

Cette étape est importante, voire cruciale pour le fonctionnement du filtre. En effet,une fois l’expression des équations régissant le déroulement des étapes de l’estimationdu processus d’état faite, il ne reste plus qu’à initialiser notre système afin de pouvoirdémarrer le calculateur. Voici la liste des paramètres à initialiser :

35

3.3. Les initialisations 36

3.3.1 Le vecteur d’état

Etant composé de 16 composantes, comme déjà explicité au §3.2.2, le vecteur d’étatest initialisé en tenant compte de la position initiale du mobile, son orientation ainsi que lesbiais gyroscopique et accélérométrique, tels qu’ils sont données par les modèles choisis.Plus précisément, le mobile étant initialement à une position bien déterminée, ses vitesseslinéaires et angulaires sont mises à zéro. Les quaternions sont initialisés grâce à la mesurede l’accélération. En effet, étant au repos, le mobile perçoit la réaction de la terre à sonpoids, ce qui permet de déterminer exactement, à l’instant initial, la valeur du quaterniondes attitudes. La mesure de l’accéléromètre résulte essentiellement de la mesure de laforce gravitationnelle selon la formule (3.31).

mesureaccelerometre =

ax

ay

az

' CT .

0

0

− ‖ g ‖

(3.31)

La matrice C des Cosinus directeurs s’écrit en fonction des quaternions, on obtient direc-tement la formule (3.32) permettant d’initialiser les altitudes.

mesureaccelerometre = − ‖ g ‖ .

−2q1.q3 + 2.q0.q2

−2q0.q1 − 2.q2.q3

−q20 +−q2

1 +−q22 − q2

3

(3.32)

Compte tenu du fait que le quaternion est unitaire, notre système à trois équationsprésente alors 3 inconnues. En plus, en supposant que le mobile est orienté vers l’axe desx selon la représentation en coordonnées polaires par la figure (3.1), on fixe déjà l’angleψ à zéro. De ce fait, il ne reste plus qu’à déduire les angles θ et φ.

Figure 3.1 – Représentation polaire dans l’espace des quaternions

36

3.4. Résultats de simulation 37

q = cosθ + (iα + jβ + kγ)sinθ (3.33)

Où :α = cosφ

β = sinφcosψ

γ = sinφcosψLe développement de l’équation (3.32) nous permet de déduire les expressions (3.34)

et (3.35).φ = cot(−ax/− ay) (3.34)

θ = 0.5× arccos(−az/g) (3.35)

3.3.2 Les paramètres initiaux d’estimation

Il est important d’initialiser l’estimée du vecteur d’état, appelée X0 ainsi que la cova-riance d’erreur d’estimation P0.

Pour permettre au filtre de converger, éventuellement, lors de son fonctionnement, ilest indispensable d’éviter de fixer P0 à 0A. Nous avons choisi d’initialiser les élémentsdiagonaux à la valeur 10−5.

3.3.3 Les paramètres intrinsèques aux capteurs utilisés

Il reste ainsi à introduire la covariance de l’erreur de mesure Q, ainsi que les biais del’accéléromètre et du gyroscope.

3.4 Résultats de simulation

L’algorithme d’estimation, qui a été décrit dans la section (3.2), a été implémenté enlangage C ANSI. Le travail réalisé consiste à simuler le fonctionnement du filtre en vuede vérifier quelques performances. L’intérêt est alors de parvenir à estimer la position dumobile, avec la meilleure précision possible.

Pour ce faire, nous avons généré une trajectoire, qui additionnée par un bruit gaussien,forme la sortie des différents instruments de positionnement. Une fois les signaux injectés,il est important de bien initialiser le filtre, afin d’éviter une éventuelle divergence, commenous l’avons décrit dans la section (3.3).

Nous avons choisi de tester le filtre pour différents types de mouvement du mobile.

A0 ici, est l’élément absorbant de l’espace matriciel <m.n

37


Tout d’abord, compte tenu du fait que seul le récepteur GPS nous informe sur le pa-ramètre "altitude", nous présentons séparément son estimée, dont la précision reste inva-riable, avec ou sans les capteurs inertiels. Comme le mobile se déplace dans un milieuurbain, nous avons considéré que son altitude garde la valeur (207.48m). La figure (3.2)illuste l’estimation de l’altitude du mobile.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100200

202

204

206

208

210

212

214

216

218

220

itération

altitude (en m)signal GPSestimée de l’altitude

Figure 3.2 – Estimation de l’altitude du mobile

3.4.1 Cas d’un mouvement uniforme

Dans ce cas de figure, seul le récepteur GPS fournit des mesures. L’estimée de lavitesse et de la position du mobile n’est alors rien d’autre qu’une simple interpolation desdonnées GPS. Le filtre d’intervient pas vraiment pour faire de traitement util, puisque lescondition de son optimalité ne sont pas vérifiées.

L’estimation retourne les courbes (3.4.1) et (3.4.1) , qui traduisent simplement la pré-cision de l’information GPS, sans aucune amélioration ajoutée.

3.4.2 Cas d’un mouvement non uniforme

Considérons un mobile qui se déplace avec une accélération constante, et une vitesseangulaire constante.

38


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.5

1

1.5

itération

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

itération

vitesse en X (en m/s)signal GPSestimée de la vitesse en X

vitesse en Y (en m/s)signal GPSestimée de la vitesse

Figure 3.3 – Estimation de la vitesse du mobile

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002

2.2

2.4

2.6

2.8

3

itération

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1004

4.2

4.4

4.6

4.8

itération

Position en X (en m)signal GPSestimée de la Position en X

Position en Y (en m)signal GPSestimée de la position en Y

Figure 3.4 – Estimation de la position du mobile

39


La trajectoire générée, est bien évidemment connue. On commence par générer lamesure accéléromètrique, qui une fois intégrée et additionnée par un bruit gaussien, nouspermet de déduire les données GPS. Comme un récepteur GPS est généralement nonprécis à long terme, les mesures qu’il délivre dans son repère inertiel permettent deduirela mesure du GPS.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

itération


Figure 3.5 – Estimation de la vitesse en X du mobile, pour w ∼ N(0, 1)

Afin d’examiner le comportement du filtre, nous avons représenté l’estimée de la vi-tesse, en X et en Y, pour trois valeurs différentes de l’erreur de mesure Q.

Les figures (3.5), (3.6) et (3.7) représentent les estimées de la vitesse du mobile se-lon l’axe X, pour trois valeurs différentes de l’erreur de mesures, respectivement, w ∼N(0, 1), w ∼ N(0, 10−2) et w ∼ N(0, 10−4).

De la même manière, nous avons représenté ces estimée pour la vitesse du mobileselon l’axe des Y par les figures (3.5), (3.6) et (3.7).

Ainsi, notons que l’estimée de la vitesse du mobile est d’autant plus précise que l’er-reur de mesure est faible. En effet, plus la mesure est bonne, plus le filtre répond mieuxau système et estime au mieux la valeur de la vitesse.

Évaluons ceci par la valeur de l’erreur d’estimation. Il s’agit en effet de représenterl’évolution des élements diagonaux P11 et P22 de la matrice de covariance de l’erreurd’estimation P .

40


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

itération


Figure 3.6 – Estimation de la vitesse en X du mobile, pour w ∼ N(0, 10−2)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

itération


Figure 3.7 – Estimation de la vitesse en X du mobile, pour w ∼ N(0, 10−4)

41


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

itération


Figure 3.8 – Estimation de la vitesse en Y du mobile, pour w ∼ N(0, 1)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

itération


Figure 3.9 – Estimation de la vitesse en Y du mobile, pour w ∼ N(0, 10−2)

42


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

itération


Figure 3.10 – Estimation de la vitesse en Y du mobile, pour w ∼ N(0, 10−4)

La figure (3.11) représente l’évolution de l’erreur d’estimation de la vitesse du mobilesuivant l’axe X .

Une estimée de la position de mobile à été également calculée, selon les deux axes X

et Y . Les courbes de la figure (3.12) en illustrent l’evolution.L’évolution de la position du mobile est ainsi corrigée à chaque itération. Alors que les

observations disponibles sont bruitées au fur et à mesure du déplacement du mobile, l’ac-céléromètre fournit, avec une dynamique plus importante, les mesures accéléromètriques.Ces mesures sont alors recalées avec les mesures du GPS, pour corriger la dérive issue dela double intégration des mesures de l’accéléromètre.

43


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Itération

Err

eur

d’es

timat

ion

de V

x

Q=1Q=1e(−2)Q=1e(−4)

Figure 3.11 – Erreur d’estimation de la vitesse en X du mobile, pour différentes valeursde l’erreur de mesure

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−100

0

100

200

300

400

itération

Position en X (en m)signal GPSestimée de la Position en X

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−100

−50

0

50

100

itération

Position en Y (en m)signal GPSestimée de la position en Y

Figure 3.12 – Estimée de la position du mobile

44

3.5. Conclusion 45

3.5 Conclusion

Ainsi, l’estimation des paramètres composant le vecteur d’état souligne l’améliorationde la précision en recalant les mesures inertiels par les données GPS. Cette méthode denavigation hybride repose sur la complémentarité entre les différents appareils de mesure.Le traitement de Kalman constitue un observateur performant qui permet d’extraire l’in-formation recherchée du bruit additionnel. En plus, la modélisation des bruits de mesureet du modèle par des processus gaussiens fait que le filtre atteint son optimalité.

En outre, notons que la précision de l’estimateur peut être encore plus amélioré enagissant sur les biais relatifs à chaque capteur. Ces biais, qui figurent déjà dans le vecteurd’état, varient égalment dans le temps, ce qui requiert leur mise à jour à chaque itération.

45

Conclusion générale

DAns ce projet, nous avons présenté un système de localisation temps réel basé surla fusion hybride de différents systèmes de positionnement. Le système élaboré fait inter-venir un récepteur GPS, un accéléromètre et un gyroscope. L’ensemble a permis de tirerprofit des avantages de chaque capteur. Le but de ce travail consiste à simuler le fonction-nement du filtre de Kalman, qui, ayant à son entrée les signaux délivrés par les différentssystèmes de positionnement, permet d’améliorer la précision de la position de la personneen mouvement.

Pour ce faire, nous avons explicité le traitement de l’information et de l’intégrationdes trois systèmes de positionnement. L’intérêt de cette intégration hybride est de cher-cher dans les spécificités de chaque capteur ce qui peut être compensé par les autres cap-teurs. Les capteurs inertiels sont par exemple caractérisés par une certaine dérive desmesures que le récepteur GPS parvient à compenser, du fait de sa meilleure précision àlong terme. En revanche, le GPS fonctionne à une fréquence beaucoup moins élevée quecelle d’acquisition des mesures inertielles. Le rythme de mesure est alors augmenté grâceà la disponibilité plus fréquente des mesures accéléromètriques et gyroscopiques. Enfin,le récepteur GPS est peu autonome du fait de sa dépendance aux référenciels terrestres,alors que les capteurs inertiels ne présentent pas cette dépendance. A l’examen de cettecomplémentarité entre les différents systèmes de positionnement, l’idée de concevoir unsystème hybride s’avère d’un intérêt indéniable.

Dans une première partie, nous avons explicité le traitement de Kalman. Ce filtre pré-sente des performances indéniables, mais requiert le respect de certaines conditions quiaboutissent à son optimalité. Plusieurs approches de ce filtre ont été élaborées, chacunerépondant à un aspect spécifique du système considéré. Nous nous sommes focalisés, enparticulier, sur la version étendue, qui s’adapte au système dynamique, tel qu’il est définipar le projet. Dans une deuxième partie, nous avons présenté les modèles d’évolution etd’observation qui régissent notre système. Cette modélisation est très importante, dans lesens où elle définie deux principaux aspects du système : un aspect décrivant l’évolutiondynamique de l’état du système, et un deuxième décrivant la variation de l’observation

46

3.5. Conclusion 47

disponible à l’instant actuel en fonction de l’état au même instant. Une fois la modélisa-tion faite, nous sommes passé, dans une dernière étape, à l’implémentation du filtre et autest de son fonctionnement.

Les résultats auxquels nous avons abouti mettent en œuvre la finesse apportée à lalocalisation du mobile. L’estimée des éléments du filtre témoigne du réajustement effectuépar les mesures GPS, offrant ainsi une bonne amélioration de la précision d’estimation.

47

Annexe A

Les systèmes de référence et decoordonnées

Les systèmes de référence constituent des un outil mathématique pour exprimer l’orien-tation, le module et implicitement la position d’une entité physique représentée souventpar un vecteur. Changer de système de coordonnées ne change pas le vecteur mais seule-ment sa représentation mathématique.

D’autre part,tout mouvement, qu’il soit de translation ou de rotation, est relatif ausystème de référence dans lequel il est exprimé. d’où l’importance du choix du référenciel.Ainsi, toute mesure physique est la valeur d’une quatité relative entre deux systèmes deréférence.

Pour mieux exprimer les equations de navigation inertielle, nous présentons dans cetannexe les différents sytèmes de référence utilisé :

le système attaché au mobile

Ce système est propre au mobile. Les capteurs lui étant attachés, nous considérons quec’est la même que celui des capteurs inertiels. L’origine de ce repère est, le centre de lacarte électronique sur laquelle seront soudés les différents composants. Les axes prennentles directions suivantes :

l’axe x (roulis) : vers l’avant, l’axe y (tangage) : vers la droite ; l’axe z(lacet) : en bas.

le système de navigation

Ce système est défini dans le plan tangent local "LTP" , son origine se trouve à laposition actuelle du mobile et son plan x-y (North-East) est tangent à la surface de la

48

49

terre, où plus précisément à l’ellipsoide. Il existe deux conventions de systèmes LTP quisont bien usuelles dans la navigation :

– NED : North,East,Down(vers le bas ou vers le vecteur gravité)

– ENU : East,North,Up (vers le haut)

C’est dans ce référenciel que le récepteur GPS va retourner les mesures de position et devitesse.

le système inertiel

Les lois de Newton sont applicables dans ce référenciel.Il ne suit pas la rotation de laterre et donc ne tourne pas par rapport aux étoiles. L’origine de ce système est le centrede la Terre.Le système des coordonnées correspondant est un système cartésien avec sesaxes notés :

– Axe X : Vers le "Vernal Equinoxe" (étoile distante)– Axe Z : East,North,Up (vers le haut)– Axe Y : pour compléter le repère direct

C’est dans ce référenciel que les capteurs inertiels (accéléromètres et gyroscopes ) re-tournent leurs mesures.

49

Annexe B

Les Capteurs inertiels

Les accéléromètres

L’ADXL202

Features :

2-Axis Acceleration Sensor on a Single IC Chip Measures Static Acceleration as Wellas Dynamic Acceleration Duty Cycle Output with User Adjustable Period Low Power<0.6 mA Faster Response than Electrolytic, Mercury or Thermal Tilt Sensors BandwidthAdjustment with a Single Capacitor Per Axis 5 mg Resolution at 60 Hz Bandwidth +3 Vto +5.25 V Single Supply Operation 1000 g Shock Survival APPLICATIONS 2-Axis TiltSensing Computer Peripherals Inertial Navigation Seismic Monitoring Vehicle SecuritySystems Battery Powered Motion Sensing.

General Description

The ADXL202 is low cost, low power, complete 2-axis accelerometer with a measu-rement range of either ±2g. The ADXL202 can measure both dynamic acceleration (e.g.,vibration) and static acceleration (e.g., gravity). The outputs are digital signals whose dutycycles (ratio of pulsewidth to period) are proportional to the acceleration in each of the 2sensitive axes. These outputs may be measured directly with a microprocessor counter, re-quiring no A/D converter or glue logic. The output period is adjustable from 0.5 ms to 10ms via a single resistor (RSET). If a voltage output is desired, a voltage output proportio-nal to acceleration is available from the XFILT and YFILT pins, or may be reconstructedby filtering the duty cycle outputs. The bandwidth of the ADXL202/ADXL210 may be setfrom 0.01 Hz to 5 kHz via capacitors CX and CY. The typical noise floor is 500 mg/ÖHzallowing signals below 5 mg to be resolved for bandwidths below 60 Hz. The ADXL202 is

50

51

available in a hermetic 14-lead Surface Mount CERPAK, specified over the 0°C to +70°Ccommercial or -40°C to +85°C industrial temperature range.

ADXL202 specifications

Figure B.1 – ADXL202 Specification

51

52

Memsic 2125

The Memsic 2125 is a low cost, dual-axis thermal accelerometer capable of measuringdynamic acceleration (vibration) and static acceleratiion (gravity) with a range of ±2 g.For integration into existing applications, the Memsic 2125 is electrically compatible withother popular accelerometers. What kind of things can be done with the Memsic 2125 ac-celerometer ? While there are many possibilities, here’s a small list of ideas that can be rea-lized with a Memsic 2125 and the Parallax BASIC Stamp® microcontroller : . Dual-axistilt sensing for autonomous robotics applications (BOE-Bot, Toddler, SumoBot) . Single-axis rotational position sensing . Movement/Lack-of-movement sensing for alarm systemsPacking List Verify that your Memsic 2125 Demo Kit is complete in accordance with thelist below : . Parallax Memsic 2125 Demo PCB (uses Memsic MXD2125GL) . Documen-tation Note : Demonstration software files may be downloaded from www.parallax.com.Features . Measure 0 to ±2 g on either axis ; less than 1 mg resolution . Fully temperaturecompensated over 0° to 70° C range . Simple, pulse output of g-force for X and Y axis. direct connection to BASIC Stamp . Analog output of temperature (TOut pin) . Lowcurrent operation : less than 4 mA at 5 vdc Connections Connecting the Memsic 2125 tothe BASIC Stamp is a straightforward operation, requiring just two IO pins. If single-axistilt of less than 60 degrees is your requirement, only one output from the Memsic 2125need be connected. Figure (??) illustrates connections details.

Figure B.2 – L’accéléromètre MEMSIC

Les gyroscopes

CRS-03 / 04

The CRS-03/04 is robust and affordable mass-produced gyroscope for automotive andcommercial customers. Angular rate sensors are used wherever rate of turn sensing is re-quired without a fixed point of reference. The sensor will output a DC voltage proportionalto the rate of turn and input voltage. High performance motion sensing even under severeshock and vibration. Whatever your application, the unique silicon ring technology, cou-pled with closed loop electronics, gives advanced and stable performance over time and

52

53

temperature, overcoming the mount sensitivity problems experienced with simple beamor tuning fork based sensors.

Figure B.3 – Le gyroscope CRS-03

Figure B.4 – Le gyroscope CRS-04

Le récepteur GPS

Le récepteur GPS fournit un positionnement absolu, sur un ellipsoïde de référencereprésentant le globe terrestre (figure 1.2). Cependant, un tel positionnement est peu ex-ploitable dans notre application, et l’on serait plus intéressé par un positionnement relatifen mètres plutôt que par une position en Longitude/Latitude en radians.

La formule de conversion est la suivante :

l =1

2ln

1 + sin(ϕ)

1− sin(ϕ)− e

2ln

1 + esinϕ

1− esinϕ(B.1)

R = Cexp(−nl) (B.2)

γ = n(λ− λ0) (B.3)

X = Xs −Rsinγ (B.4)

Y = Ys −Rcosγ (B.5)

Où :

53

54

λ et ϕ sont les longitude et lattitude initiales.n, C , Xs et Ys sont des constantes de la projection.λ0 , est la longitude su méridien central.e , est l’excentricité de l’ellipsoîde

LAMBERT I LAMBERT II LAMBERT III LAMBERT IV LAMBERT 93N 0,7604059656 0,7289686274 0,6959127966 0,6712679322 0,7256077650C 11603796,98 11745793,39 11947992,52 11947992,52 11754255,426Xs 600000,000 600000,000 600000,000 234,358 700000,000Ys 5657616,674 6199695,768 6791905,085 7239161,542 12655612,050

Tableau B.1 – Les constantes de la projection Lambert

λ0 = 0 grades à Paris (= 2° 20’ 14,025" E Greenwich)e=0,08248325676

54

Annexe C

Outils mathématiques

Les quaternions

La théorie des quaternions a été découverte en 1843, par Mr William Hamilton. Pen-dant de longues années, Mr Hamilton a essayé d’étudier l’interpolation géométrique del’arithmétique de nombres complexes dans le plan et cherchait à obtenir des résultats ana-logues dans l’espace à trois dimensions. Au terme de ces recherches, il eut la convictionqu’une telle construction est impossible à définir et eut ainsi l’idée d’utiliser les quadru-plets.

Le terme "quaternion" , noté H , est une dénomination d’une expression à quatretermes, un premier terme dit partie réelle, et trois autres composantes formant un vecteur.

Les quaternions sont ainsi un type de nombres hypercomplexes, constituant une ex-tension des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit des nombresréels aux nombres complexes. Tout quaternion peut alors être considéré comme une com-binaison linéaire de quatre quaternions "unités" 1, i, j, k :

H = a.1 + b.i + c.j + d.k

Méthode d’intégration : Runge-Kutta

Les méthodes de Runge-KuttaA sont des méthodes d’analyse numérique, d’approxi-mation de solutions d’équations différentielles. Ces méthodes reposent sur le principe del’itération, c’est-à-dire qu’une première estimation de la solution est utilisée pour calculerune seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite. L’idée de cet ensemble de méthodesest d’essayer de répartir les endroits où l’on évalue f(x) entre les abscisses x et x + h,plutôt que de calculer les dérivées successives jusqu’à un certain ordre de t en un point.

Aportant le nom des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta

55

56

Dans la méthode de Runge-Kutta d’ordre 2B, on passe de la valeur de Ui de U à ti à lavaleur Ui+1 de U à ti + dt en prenant la valeur de la dérivée à l’instant ti+1/2 = ti + dt/2

On s’intéresse aux méthodes à un pas, définies par la relation de récurrence décritedans l’équation (C.1).

yn+1 = yn + h.Φ(xn, yn; h) (C.1)

pour une certaine fonction Φ.Soient :– k1 = f(x, y) ;

– k2 = f(x + α1h, y + β2,1k1h) ;

– ...– ki = f(x + αih, y +

∑i−1j=1 βi,j.kj.h).

On définit la méthode (implicite) de Runge-Kutta à E-étages par l’expression (C.2).

Φ(x, y; h) =E∑

i=1

γi.ki (C.2)

Où αi, βi,j et γi seront déterminés de façon à définir la méthode d’ordre le plus élevépossible. Notons qu’il existe deux grandes familles de formules d’intégration numérique :les formules explicites et les formules implicites. Les secondes sont généralement stablesalors que les premières ne le sont pas toujours.

La formule (C.2) décrit l’ensemble des formules de Runge-Kutta explicites, c’est àdire que l’on calcule les ki uniquement avec les k précédents. Mais on peut aisémentgénéraliser au cas implicite. On aura alors comme formule pour les ki, l’expression (C.3).

ki = f(x + αih, y +E∑

j=1

βi,j.kj.h) (C.3)

∀ i in [1,..,E], avec α1 = 0.On aura dans ce cas un système de E équations à E inconnues pour déterminer les ki.

E∑i=1

γi = 1 (C.4)

Bencore appelée méthode du point milieu

56

57

La méthode à un étage (Méthode d’Euler)

Quand E=1, on (re)trouve la méthode d’Euler. En utilisant la formule (C.2), on obtientk1 = f(x, y) et Φ(x, y; h) = γ1.f(x, y). Or,

∑Ei=1 γi = 1) ce qui implique que γ1 = 1.

On a donc, d’après le développement de l’équation (C.1), yn+1 = yn + hf(xn, yn). Cetteformule est d’ordre 1 et instable.

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Bibliographie

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2007 développement du logiciel embarqué d un module de localisation fine (2)

Education