200506142126 formula to estimate the cable tension seee

8/6/2019 200506142126 Formula to Estimate the Cable Tension Seee

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S t r u c t u r a l E n g i n e e r i n g a n d M e c h a n i c s , V o l . 2 0 , N o . 3 ( 2 0 0 5 ) 3 6 3 - 3 8 0 3 6 3

E m p i r i c a l f o r m u l a s t o e s t i m a t e c a b l e t e n s i o n b y c a b l e

f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y

W e i - X i n R e n

1 , 2

, G a n g C h e n

1

a n d W e i - H u a H u

1

1

D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , F u z h o u U n i v e r s i t y , F u z h o u , F u j i a n P r o v i n c e , 3 5 0 0 0 2 , P . R . C h i n a

2

D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , C e n t r a l S o u t h U n i v e r s i t y , C h a n g s h a ,

H u n a n P r o v i n c e 4 1 0 0 7 5 , P . R . C h i n a

( R e c e i v e d N o v e m b e r 1 1 , 2 0 0 4 , A c c e p t e d M a r c h 2 2 , 2 0 0 5 )

A b s t r a c t . T h e c a b l e t e n s i o n p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e c o n s t r u c t i o n , a s s e s s m e n t a n d l o n g - t e r m

h e a l t h m o n i t o r i n g o f c a b l e s t r u c t u r e s . T h e c a b l e v i b r a t i o n e q u a t i o n i s n o n l i n e a r i f c a b l e s a g a n d b e n d i n g

s t i f f n e s s a r e i n c l u d e d . T h e e n g i n e e r i n g i m p l e m e n t a t i o n o f a v i b r a t i o n - b a s e d c a b l e t e n s i o n e v a l u a t i o n i s

m o s t l y c a r r i e d o u t b y t h e s i m p l e t a u t s t r i n g t h e o r y . H o w e v e r , t h e s i m p l e t h e o r y m a y c a u s e u n a c c e p t a b l e

e r r o r s i n m a n y a p p l i c a t i o n s s i n c e t h e c a b l e s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s a r e i g n o r e d . F r o m t h e p r a c t i c a l p o i n t

o f v i e w , i t i s n e c e s s a r y t o h a v e e m p i r i c a l f o r m u l a s i f t h e y a r e s i m p l e a n d y e t a c c u r a t e . B a s e d o n t h e

s o l u t i o n s b y m e a n s o f e n e r g y m e t h o d a n d f i t t i n g t h e e x a c t s o l u t i o n s o f c a b l e v i b r a t i o n e q u a t i o n s w h e r e

t h e c a b l e s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s a r e r e s p e c t i v e l y t a k e n i n t o a c c o u n t , t h e e m p i r i c a l f o r m u l a s a r e

p r o p o s e d i n t h e p a p e r t o e s t i m a t e c a b l e t e n s i o n b a s e d o n t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o n l y . T h e

a p p l i c a b i l i t y o f t h e p r o p o s e d f o r m u l a s i s v e r i f i e d b y c o m p a r i n g t h e r e s u l t s w i t h t h o s e r e p o r t e d i n t h e

l i t e r a t u r e s a n d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c a r r i e d o u t o n t h e s t a y c a b l e s i n t h e l a b o r a t o r y . T h e p r o p o s e d

f o r m u l a s a r e s t r a i g h t f o r w a r d a n d t h e y a r e c o n v e n i e n t f o r p r a c t i c a l e n g i n e e r s t o f a s t e s t i m a t e t h e c a b l e

t e n s i o n b y t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y .

K e y w o r d s : c a b l e s t r u c t u r e ; f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y ; c a b l e t e n s i o n ; p r a c t i c a l f o r m u l a s ; v i b r a t i o n

m e t h o d ; c a b l e s a g ; c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s .

1 . I n t r o d u c t i o n

C a b l e s , w h i c h a r e n o r m a l l y h e l d i n p o s i t i o n b y t e n s i o n s a l o n g t h e i r l e n g t h a n d e n d f o r c e s a t

s u p p o r t s , a r e v e r y e f f i c i e n t s t r u c t u r a l m e m b e r s u s e d i n t e n s i o n s t r u c t u r e s s u c h a s c a b l e - s u p p o r t e d

b r i d g e s , c a b l e r o o f s , a n d g u y e d t o w e r s / m a s t s e t c . d u e t o t h e i r h i g h s t r e n g t h a n d l i g h t w e i g h t

( L e o n a r d 1 9 9 8 ) . T h e u s e s o f c a b l e s m a y v a r y f r o m s e v e r a l k i l o m e t e r s l o n g i n t h e c a s e o f s u s p e n s i o n

b r i d g e s t o l e s s t h a n a m e t e r i n t h e c a s e o f m u s i c a l s t r i n g i n s t r u m e n t s . O f p a r t i c u l a r c o n c e r n s i n

c a b l e s t r u c t u r e s a r e t h e c a b l e t e n s i o n f o r c e s a n d t h e i r v a r i a t i o n s s i n c e c a b l e t e n s i o n s c o n t r o l t h e

i n t e r n a l f o r c e d i s t r i b u t i o n a s w e l l a s s t r u c t u r a l a l i g n m e n t s . A s a r e s u l t , t h e c a b l e t e n s i o n p l a y s a n

i m p o r t a n t r o l e i n t h e q u a l i t y c o n t r o l d u r i n g c o n s t r u c t i o n , t h e h e a l t h m o n i t o r i n g d u r i n g s e r v i c e , a s

w e l l a s a c h e a p a n d q u i c k m a i n t e n a n c e o f c a b l e - s u p p o r t e d s t r u c t u r e s . A s i m p l e , s p e e d y a n d r e l i a b l e

P r o f e s s o r , C o r r e s p o n d i n g a u t h o r , E - m a i l : r e n @ f z u . e d u . c n

F o r m e r G r a d u a t e S t u d e n t

G r a d u a t e S t u d e n t


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3 6 4 W e i - X i n R e n , G a n g C h e n a n d W e i - H u a H u

t e c h n i q u e t o e s t i m a t e t h e c a b l e t e n s i o n i s o f t e n r e q u i r e d f o r t h e p r a c t i c a l e n g i n e e r s .

T h e d i r e c t m e a s u r e m e n t o f c a b l e t e n s i o n f o r c e s c a n b e c a r r i e d o u t b y l i f t - o f f t e s t s , w h i c h p r o v i d e

t h e a c t u a l s t r e s s e s i n t h e c a b l e o n l y . H o w e v e r , t h e s e t e s t s c a n n o t b e r e p e a t e d t o o o f t e n b e c a u s e t h e

w e d g e s t o a n c h o r t h e s t r a n d s g e t d a m a g e d a n d v a l u a b l e c o r r o s i o n p r o t e c t i o n h a s t o b e r e m o v e d .

A n o t h e r w a y i s t o p r e - i n s t a l l t h e c a l i b r a t e d l o a d c e l l s u n d e r t h e c a b l e a n c h o r a g e d u r i n g c o n s t r u c t i o n .

B u t t h e i n i t i a l c o s t o f t h e s e h e a v y l o a d c e l l s h a s f r e q u e n t l y l i m i t e d t h e i r u s e . C o n s i d e r a b l e s h i f t a n d

d r i f t i n t h e i r o u t p u t h a s a l s o q u e s t i o n e d t h e l o a d c e l l a p p l i c a t i o n f o r l o n g - t e r m m o n i t o r i n g o f

t e n s i o n e d c a b l e s . A m e t h o d i n v o l v i n g a t t a c h m e n t o f s t r a i n g a g e s t o s t r a n d e d s y s t e m s o r w i r e s s e e m s

n e i t h e r a p p r o p r i a t e n o r r e l i a b l e f o r c a b l e - s u p p o r t e d s t r u c t u r e s .

I n s t e a d o f d i r e c t m e a s u r e m e n t o f c a b l e f o r c e s , v i b r a t i o n - b a s e d m e t h o d s h a v e b e e n m o s t w i d e l y

u s e d i n t h e e s t i m a t i o n o f c a b l e t e n s i o n f o r c e s ( C a s a s 1 9 9 4 , Y e n e t a l . 1 9 9 7 , R u s s e l l a n d L a r d n e r

1 9 9 8 , C u n h a e t a l . 2 0 0 1 ) . T h e c a b l e v i b r a t i o n s e x c i t e d b y e i t h e r a m b i e n t o r m a n u a l s o u r c e s a r e f i r s t

m e a s u r e d a n d t h e c a b l e v i b r a t i o n f r e q u e n c i e s a r e i d e n t i f i e d a c c o r d i n g l y . C a b l e t e n s i o n s c a n t h e n b e

i n d i r e c t l y c a l c u l a t e d f r o m t h e m e a s u r e d c a b l e f r e q u e n c i e s u s i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c a b l e

t e n s i o n s a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g n a t u r a l f r e q u e n c i e s . T h e s i m p l e s t r e l a t i o n s h i p t o c a l c u l a t e t h e c a b l e

f o r c e s b a s e d o n c a b l e v i b r a t i o n f r e q u e n c i e s i s s o c a l l e d c h o r d e q u a t i o n w h e r e t h e c a b l e s a r e

i d e a l i z e d a s t a u t s t r i n g s . T h i s i d e a l i z a t i o n s i m p l i f i e s t h e a n a l y s i s b u t m a y c a u s e u n a c c e p t a b l e e r r o r s

i n m a n y s i t u a t i o n s s i n c e t h e c a b l e s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t s a r e n e g l e c t e d . T h e t a u t - s t r i n g

f o r m u l a s h o u l d b e m o d i f i e d b y t a k i n g i n t o a c c o u n t c a b l e s s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t s .

T h e i n c r e a s i n g u s e o f c a b l e s t r u c t u r e s i n m o d e r n c o n s t r u c t i o n r e q u i r e s a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f

c a b l e d y n a m i c b e h a v i o r . A h i s t o r y o f t h e d e r i v a t i o n a n d d y n a m i c s o l u t i o n s o f i n c l i n e d c a b l e s w a s

i n t e n s i v e l y s t u d i e d b y I r v i n e ( 1 9 8 1 , 1 9 7 4 ) . M a n y i n v e s t i g a t o r s ( S t a r o s s e k 1 9 9 1 , 1 9 9 4 , M e h r a b i a n d

T a b a t a b a i 1 9 9 8 , Z h e n g e t a l . 2 0 0 1 , N i e t a l . 2 0 0 2 ) h a v e a d d r e s s e d t h e e f f e c t s o f s a g e x t e n s i b i l i t y o r

b e n d i n g s t i f f n e s s o n c a b l e v i b r a t i o n s w h e r e v a r i o u s a n a l y t i c a l t o o l s , f i n i t e d i f f e r e n c e ( F D ) m e t h o d

a n d n o n l i n e a r f i n i t e e l e m e n t ( F E ) m e t h o d w e r e i m p l e m e n t e d . T h e d i f f i c u l t y t o i n c l u d e t h e c a b l e s a g

a n d b e n d i n g s t i f f n e s s i s t h a t t h e r e i s n o c l o s e d - f o r m s o l u t i o n b e t w e e n c a b l e t e n s i o n s a n d f r e q u e n c i e s

w h e r e e i t h e r t h e e q u a t i o n s a r e n o n l i n e a r o r t h e s o l u t i o n s a r e t h e t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n s .

N o w a d a y s , w i t h t h e w i d e s p r e a d u s e o f p e r s o n a l c o m p u t e r s a n d g o o d s o f t w a r e s u c h a s M A T L A B , i t

i s n o t a d i f f i c u l t t a s k t o s o l v e t h e s e n o n l i n e a r e q u a t i o n s . N e v e r t h e l e s s , f r o m p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w ,

i t m a y b e g o o d t o h a v e e m p i r i c a l f o r m u l a s t o c a l c u l a t e t h e c a b l e t e n s i o n f o r c e t h r o u g h m e a s u r i n g

t h e c a b l e f r e q u e n c i e s i f t h e y a r e s i m p l e a n d y e t a c c u r a t e . P r a c t i c a l f o r m u l a s t o e s t i m a t e t h e c a b l e

f o r c e s f r o m m e a s u r e d f r e q u e n c i e s w e r e p r o p o s e d b y Z u i e t a l . ( 1 9 9 6 ) w h e r e t h e f i r s t a n d s e c o n d

n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f c a b l e v i b r a t i o n a r e n e e d e d . A h i g h e r f r e q u e n c y d i f f e r e n c e - b a s e d m e t h o d w a s

p r e s e n t e d i n c l u d i n g t h e e f f e c t s o f c a b l e s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s ( C h e n 1 9 9 4 ) .

C o n s i d e r i n g t h a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y i s e a s i l y i m p l e m e n t e d b y p r a c t i c a l e n g i n e e r s , t h e a i m

o f t h e p a p e r i s t o d e r i v e s o m e e m p i r i c a l f o r m u l a s t o e s t i m a t e t h e c a b l e t e n s i o n s b a s e d o n t h e c a b l e

f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y . T h e e n e r g y m e t h o d i s f i r s t a p p l i e d t o s o l v e t h e e q u a t i o n s o f c a b l e v i b r a t i o n

a n d t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n c a b l e t e n s i o n s a n d c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a r e e s t a b l i s h e d . T h e

c a b l e s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s a r e s t u d i e d r e s p e c t i v e l y d e p e n d i n g o n t h e c a b l e t y p e s a n d b e h a v i o r .

T h e c u r v e f i t t i n g m e t h o d i s t h e n a p p l i e d t o t h e e x a c t s o l u t i o n s o f c a b l e v i b r a t i o n c o n s i d e r i n g t h e

e f f e c t s o f c a b l e s a g a n d c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s r e s p e c t i v e l y . F i n a l l y , t h e e m p i r i c a l f o r m u l a s a r e

g i v e n w h e r e t h e c a b l e t e n s i o n s c a n b e e a s i l y e s t i m a t e d b y t h e m e a s u r e d f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y . T h e

e r r o r s b e t w e e n t h e p r o p o s e d f o r m u l a s a n d t h e e x a c t s o l u t i o n s a r e l e s s t h a n 1 % . T h e a p p l i c a b i l i t y o f

t h e e m p i r i c a l f o r m u l a s i s v e r i f i e d w i t h t h e c o m p a r i s o n o f t h e r e s u l t s r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e .


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E m p i r i c a l f o r m u l a s t o e s t i m a t e c a b l e t e n s i o n b y c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y 3 6 5

W h i l e t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e d y n a m i c b e h a v i o r o f c a b l e s i s q u i t e c o m p l e t e , t h e r e h a s b e e n l i t t l e

e x p e r i m e n t a l v e r i f i c a t i o n o f t h e p r e d i c t i o n s f o r c a b l e t e n s i o n f o r c e s ( R u s s e l l a n d L a r d n e r 1 9 9 8 ) . O n e

o f t h e p u r p o s e s o f t h i s p a p e r i s t o p r e s e n t t h e l a b o r a t o r y d y n a m i c t e s t s o n s t a y c a b l e s w i t h d i f f e r e n t

t e n s i o n l e v e l s . O f p a r t i c u l a r i n t e r e s t i s t o c o m p a r e t h e a c t u a l c a b l e t e n s i o n s w i t h t h o s e p r e d i c t e d

f r o m t h e p r o p o s e d e m p i r i c a l f o r m u l a s b y u s i n g m e a s u r e d c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y . T h e

p r a c t i c a l f o r m u l a s m a t c h w e l l w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e v e r i f i c a t i o n o f t h i s p r a c t i c a l t o o l i s

a d d r e s s e d i n t h e p a p e r .

2 . S a g e f f e c t o n c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y

F i g . 1 s h o w s t h e s c h e m a t i c d i a g r a m o f a v i b r a t i n g c a b l e . T h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s a r e m a d e i n

t h e a n a l y s i s :

T h e c a b l e i s h o r i z o n t a l . I n t h e c a s e o f i n c l i n e d c a b l e , t h e c o m p o n e n t o f s e l f w e i g h t i n t h e c h o r d

d i r e c t i o n i s i g n o r e d .

T h e s a g - t o - c a b l e s p a n r a t i o i s l e s s t h a n 1 : 8 .

T h e b e n d i n g s t i f f n e s s o f c a b l e i s i g n o r e d .

T h e m o t i o n e q u a t i o n s o f a b o v e c a b l e s s u b j e c t e d t o a s m a l l p e r t u r b a t i o n a r o u n d t h e s t a t i c

e q u i l i b r i u m p o s i t i o n w e r e d e r i v e d b y I r v i n e a n d C a u g h e y ( 1 9 7 4 )

( 1 a )

( 1 b )

( 1 c )

w h e r e s i s t h e a r c l e n g t h c o - o r d i n a t e ; u i s t h e l o n g i t u d i n a l i n - p l a n e c o m p o n e n t o f m o t i o n ; v i s t h e

v e r t i c a l i n - p l a n e c o m p o n e n t o f m o t i o n ; w i s t h e o u t - o f - p l a n e c o m p o n e n t o f m o t i o n ; m i s t h e m a s s

p e r u n i t l e n g t h o f t h e c a b l e ; T i s c a b l e t e n s i o n ; a n d

i s t h e a d d i t i o n a l c a b l e t e n s i o n d u e t o t h e

v i b r a t i o n .

F o r t h e i n - p l a n e v i b r a t i o n , t h e s o l u t i o n s o f c a b l e n a t u r a l f r e q u e n c i e s a r e a s f o l l o w s ( I r v i n e a n d

C a u g h e y 1 9 7 4 ) :

s

- - - - - T +( )

xd

sd

- - - - -

u

s

- - - - - - +

m

2

u

t

2

- - - - - - - - - =

s

- - - - - T +( )

yd

sd

- - - - -

v

s

- - - - - +

m

2

v

t

2

- - - - - - - - - m g =

s

- - - - - T +( )

w

s

- - - - - - -

m

2

w

t

2

- - - - - - - - - - =

F i g . 1 S c h e m a t i c o f v i b r a t i n g c a b l e


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( i ) A n t i - s y m m e t r i c m o d e s

( 2 )

( i i ) S y m m e t r i c m o d e s

( 3 )

i n w h i c h

n

i s t h e n t h o r d e r c i r c u l a r f r e q u e n c y o f n a t u r a l v i b r a t i o n .

H

i s t h e c a b l e f o r c e i n t h e c h o r d

d i r e c t i o n w h e r e c o n s t a n t a n d . l i s t h e c h o r d l e n g t h o f c a b l e .

T w o i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s o f E q . ( 3 ) a r e d e f i n e d b y

( 4 )

w h e r e E i s t h e m o d u l u s o f e l a s t i c i t y o f c a b l e m a t e r i a l ; A i s t h e c r o s s - s e c t i o n a l a r e a o f c a b l e ; a n d L

e

=

.

T h e n a t u r e o f t h e r o o t s o f E q . ( 3 ) h i g h l y d e p e n d s o n t h e s i z e o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r

2

w h e r e t h e f i r s t t e r m r e f l e c t s t h e c a b l e g e o m e t r y e f f e c t ( c a b l e s a g e f f e c t ) a n d t h e s e c o n d t e r m r e f l e c t s

t h e c a b l e e l a s t i c i t y ( E A ) e f f e c t . T h e e i g e n v a l u e p r o b l e m s p e c i f i e d b y E q . ( 3 ) i s n o n l i n e a r w i t h

r e s p e c t t o t h i s p a r a m e t e r . T h e s o l u t i o n o f c a b l e i n - p l a n e s y m m e t r i c m o d e s ( 3 ) i s a t r a n s c e n d e n t a l

e q u a t i o n w h e r e t h e r e i s n o e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c a b l e t e n s i o n f o r c e a n d n a t u r a l f r e q u e n c i e s .

T h e e n e r g y m e t h o d i s u s e d h e r e t o f i n d o u t t h i s r e l a t i o n s h i p a p p r o x i m a t e l y .

T h e s t a t i c e q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n o f a c a b l e u n d e r i t s s e l f w e i g h t c a n b e e x p r e s s e d a s a

p a r a b o l a f r o m t h e a s s u m p t i o n w h e r e t h e r a t i o o f s a g t o c a b l e s p a n i s l e s s t h a n 1 : 8 ( I r v i n e 1 9 8 1 )

( 5 )

B y u s i n g L a g r a n g i a n s t r a i n m e a s u r e , t h e c a b l e e x t e n s i o n a l s t r a i n d u e t o v i b r a t i o n a r o u n d i t s s t a t i c

e q u i l i b r i u m p o s i t i o n i s ( N i e t a l . 2 0 0 2 )

( 6 )

S i n c e t h e l o n g i t u d i n a l d i s p l a c e m e n t i s s m a l l , i t s q u a d r a t i c d e r i v a t i v e t e r m c a n b e i g n o r e d . ( T h e

p r o f i l e o f c a b l e i s s h a l l o w a n d t h e l o n g i t u d i n a l d i s p l a c e m e n t i s c o n s i d e r e d u n i m p o r t a n t . ) T h u s t h e

e x t e n s i o n a l s t r a i n b e c o m e s

( 7 )

T h e f o l l o w i n g f o r m u l a t i o n i s d e r i v e d f r o m t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s :

( 8 )

n

2 n

l

- - - - - - - - - -

H

m

- - - - n 1 2 3 , , ,= =

t a n

l

2

- - - - -

l

2

- - - - -

4

2

- - - - -

l

2

- - - - -

3

=

H T

xd

sd

- - - - - = =

sd

xd

- - - - - 1

yd

xd

- - - - -

2

+ 1

m g x

H

- - - - - - - - - -

2

+= =

2

m

2

H

- - - - - - - - - - = ;

2

m g l

H

- - - - - - - - -

2

E A l

H L

e

- - - - - - - - - =

sd

xd

- - - - -

3

xd l 1

1

8

- --

m g l

H

- - - - - - - - -

2

+

0

l

y

m g l

2

2 H

- - - - - - - - - - -

x

l

- -

x

l

- -

2

=

xd

sd

- - - - -

u

s

- - - - - -

yd

sd

- - - - -

v

s

- - - - -

1

2

- --

u

s

- - - - - -

2

1

2

- --

v

s

- - - - -

2

+ + +=

yd

sd

- - - - -

v

s

- - - - -

1

2

- --

v

s

- - - - -

2

+=

W

I

W

E

=


5/18


w h e r e W

E

i s t h e e x t e r n a l v i r t u a l w o r k d u e t o t h e f i c t i t i o u s i n e r t i a f o r c e f

I

a c t i n g t h r o u g h t h e v i r t u a l

d i s p l a c e m e n t s v :

( 9 a )

w h e r e L i s t h e a r c l e n g t h o f c a b l e a n d b y D A l e m b e r t s p r i n c i p l e

( 9 b )

T h e i n f i n i t e s i m a l i n t e r n a l v i r t u a l w o r k d ( W

I

) i s d u e t o t h e i n i t i a l l y e x i s t e d c a b l e f o r c e T a n d

a d d i t i o n a l t e n s i o n f o r c e E A a c t i n g t h r o u g h t h e v i r t u a l e l o n g a t i o n o f t h e i n f i n i t e s i m a l s e c t i o n o f

c a b l e d s :

( 1 0 a )

T h e r e f o r e

( 1 0 b )

B y i m p l e m e n t a t i o n o f v a r i a b l e s e p a r a t i o n , v ( x , t ) b e c o m e s

( 1 1 )

i n w h i c h t h e s h a p e f u n c t i o n ( x ) m u s t s a t i s f y t h e d i s p l a c e m e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S u b s t i t u t i n g

( 1 1 ) i n t o ( 7 ) , ( 9 ) a n d ( 1 0 ) , a f t e r a r c l e n g t h i n t e g r a l , t h e f i n a l e x p r e s s i o n s f o r W

E

a n d W

I

c a n b e

o b t a i n e d . T h e n t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s ( 9 ) y i e l d s

( 1 2 )

F r o m E q . ( 1 1 ) , t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n o f c a b l e m o t i o n c a n b e o b t a i n e d a s

( 1 3 a )

w h e r e

( 1 3 b )

( 1 3 c )

( 1 3 d )

( 1 3 e )

W

E

f

I

v sd

0

L

=

f

I

m

2

v

t

2

- - - - - - - - - =

d W

I

( ) E A sd T sd+=

W

I

E A T+( ) sd

0

L

=

v x t,( ) x( ) q t( )=

q M q

t( ) K

1

q t( ) K

2

q

2

t( ) K

3

q

3

t( ) P+ + +[ ] 0=

M q

t( ) K

1

q t( ) K

2

q

2

t( ) K

3

q

3

t( )+ + + P=

M m

2

x( ) 1

yd

xd

- - - - -

2

+ xd

0

l

=

K

1

H

d

xd

- - - - - -

2

E A

yd

xd

- - - - -

d

xd

- - - - - -

2

xd

sd

- - - - -

3

+ xd

0

l

=

K

2

3

2

- -- E A

yd

xd

- - - - -

d

xd

- - - - - -

3

xd

sd

- - - - -

3

xd

0

l

=

K

3

1

2

- -- E A

d

xd

- - - - - -

4

xd

sd

- - - - -

3

xd

0

l

=


6/18


F i g . 2 F u n d a m e n t a l f r e q u e n c y r a t i o v e r s u s p a r a m e t e r

2

b e f o r e f i t t i n g

( 1 3 f )

I t c a n b e f o u n d t h a t t h e c a b l e s t i f f n e s s i n c l u d e s t h e f i r s t o r d e r s t i f f n e s s

K

1

, q u a d r a t i c s t i f f n e s s

K

2

,

a n d c u b i c a l s t i f f n e s s

K

3

. I n t h i s p a p e r , o n l y t h e f i r s t o r d e r s t i f f n e s s t e r m i s i n c l u d e d a n d t h e h i g h e r

o r d e r s t i f f n e s s t e r m s a r e i g n o r e d . T h e r e f o r e , t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e s y m m e t r i c i n - p l a n e

m o d e w h i c h t a k e s i n t o a c c o u n t t h e s a g e f f e c t c a n b e e x p r e s s e d a s

( 1 4 )

T h e f i r s t o r d e r v i b r a t i o n s h a p e f u n c t i o n ( x ) o f a c a b l e i s a p p r o x i m a t e l y s e l e c t e d a s a p a r a b o l a

t h a t i s t h e c a b l e d e f e c t i o n s h a p e u n d e r s e l f w e i g h t :

( 1 5 )

w h i c h s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o f a v i b r a t i n g s t r i n g : . S u b s t i t u t i n g i t i n t o

E q . ( 1 4 ) , t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f a c a b l e y i e l d s

( 1 6 )

E q . ( 1 6 ) i s i n f a c t t h e e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d t h e c a b l e

t e n s i o n , w h i c h i s t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n o f t r a n s c e n d e n t a l E q . ( 3 ) f o r t h e f i r s t o r d e r n a t u r a l

f r e q u e n c y . T o c o m p a r e t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n ( 1 6 ) w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n s p e c i f i e d b y E q . ( 3 ) ,

b o t h a r e p l o t t e d i n F i g . 2 a n d t h e e f f e c t s o f s a g - e x t e n s i b i l i t y o n t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y c a n

P H

yd

xd

- - - - -

d

xd

- - - - - -

xd

0

l

=

2

K

1

M

- - - - - -

H

d

xd

- - - - - -

2

E A

yd

xd

- - - - -

d

xd

- - - - - -

2

xd

sd

- - - - -

3

+ xd

0

l

m

2

x( ) 1

yd

xd

- - - - -

2

+ xd

0

l

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- = =

x( ) a l x x

2

( )=

0( ) l( ) 0= =

2

1 0

H

m l

2

- - - - - - - -

3

2

- --

E A

m

- - - - - - -

m g

H

- - - - - - -

2

+=


7/18


b e d e m o n s t r a t e d . T h e c u r v e s i n F i g . 2 a r e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n o n - d i m e n s i o n a l f r e q u e n c y

a n d n o n - d i m e n s i o n a l c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r

2

f o r t h e f i r s t s y m m e t r i c o r t h e f i r s t a n t i -

s y m m e t r i c i n - p l a n e m o d e s . T h e n o n - d i m e n s i o n a l f r e q u e n c y i s d e f i n e d a s t h e f r e q u e n c y

r a t i o w h e r e

1 s

i s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e t a u t s t r i n g t h e o r y

( 1 7 )

F i g . 2 c l e a r l y d e m o n s t r a t e s t h e m o d a l c r o s s o v e r p h e n o m e n o n ( I r v i n e 1 9 8 1 , I r v i n e a n d C a u g h e y

1 9 7 4 ) . B e f o r e t h e c r o s s o v e r p o i n t (

2

< 4

2

) , t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y i s t h e f r e q u e n c y o f

t h e f i r s t s y m m e t r i c m o d e , w h e r e a s i t j u m p s t o t h e f r e q u e n c y o f t h e f i r s t a n t i - s y m m e t r i c m o d e a f t e r

t h e c r o s s o v e r p o i n t (

2

> 4

2

) . I t c a n b e f o u n d t h a t t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n c o i n c i d e s w e l l w i t h t h e

e x a c t s o l u t i o n o n l y i n t h e r a n g e o f s m a l l v a l u e s o f

2

. T h e r e a s o n i s t h a t t h e s e l e c t e d a p p r o x i m a t e

p a r a b o l i c m o d e s h a p e f u n c t i o n ( 1 5 ) i n c u r r e n t e n e r g y m e t h o d j u s t m a t c h e s t h e a c t u a l f i r s t o r d e r

m o d e s h a p e o f a c a b l e w e l l i n t h e r a n g e o f s m a l l

2

. I n s p e c t i n g t h e a p p r o x i m a t e f u n d a m e n t a l

f r e q u e n c y e x p r e s s i o n ( 1 6 ) , t h e f i r s t t e r m i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e

t a u t s t r i n g t h e o r y w h i c h i s

2

H / m l

2

, w h e r e a s t h e s e c o n d t e r m i s a c t u a l l y t h e a d d i t i o n a l c o n t r i b u t i o n

d u e t o t h e c a b l e s a g e f f e c t . I t i s t h e r e f o r e a s s u m e d t h a t

( 1 8 )

F i t t i n g f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y ( 1 8 ) w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n b y t h e l e a s t s q u a r e s t e c h n i q u e , t h e

v a l u e o f c o e f f i c i e n t a i s f o u n d o u t t o b e 0 . 7 7 7 . S i n c e t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e c a b l e i s i n

f a c t t h e f r e q u e n c y o f t h e f i r s t a n t i - s y m m e t r i c m o d e a f t e r t h e m o d a l c r o s s o v e r p o i n t (

2

= 4

) a n d

c a n b e o b t a i n e d e a s i l y f r o m E q . ( 2 ) , t h e c u r v e f i t t i n g i s c a r r i e d o u t o n l y w i t h i n t h e r a n g e o f

0


8/18


s o l u t i o n . T h e m a x i m u m d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o c u r v e s i s l e s s t h a n 1 % a n d i t o c c u r s a t t h e

m o d a l c r o s s o v e r p o i n t

2

= 4

. B y i n s p e c t i n g t h e c u r v e o f t h e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n , i t i s

d e m o n s t r a t e d t h a t t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y c o n s i d e r i n g t h e c a b l e s a g e f f e c t i s a l m o s t s a m e a s t h a t

o f t h e t a u t s t r i n g t h e o r y w h e n < 0 . 1 7 4 . T h e r e f o r e , t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e c a b l e c a n b e

c a l c u l a t e d b y t h e s i m p l e t a u t s t r i n g t h e o r y w i t h i n t h i s r a n g e . T h e e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e

c a b l e t e n s i o n a n d t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y i n c l u d i n g t h e s a g e f f e c t c a n b e s u m m a r i z e d a s

( 1 9 a )

( 1 9 b )

( 1 9 c )

3 . B e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t o n c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y

B y i g n o r i n g t h e c a b l e s a g a n d t a k i n g t h e c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s i n t o a c c o u n t , t h e c a b l e c a n b e

t r e a t e d a s a b e a m s u b j e c t e d t o a n a x i a l t e n s i o n f o r c e . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n i s

( 2 0 )

w h e r e E I i s t h e b e n d i n g s t i f f n e s s o f c a b l e . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s s o l u t i o n s o f a b o v e e q u a t i o n

d e p e n d o n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e c a b l e ( H u m a r 1 9 9 0 ) .

S i m p l y s u p p o r t e d a t b o t h e n d s

( 2 1 )

F i x e d a t b o t h e n d s

( 2 2 )

w h e r e . T w o n o n - d i m e n s i o n a l

p a r a m e t e r s a r e i n t r o d u c e d

( 2 3 )

w h e r e , f = / 2 , f

n

i s t h e n t h o r d e r c a b l e n a t u r a l f r e q u e n c y c o n s i d e r i n g t h e c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s ,

a n d i s t h e n t h o r d e r n a t u r a l f r e q u e n c y o f a t a u t s t r i n g . E q . ( 2 2 ) c a n b e r e w r i t t e n

i n a m o r e c o m p a c t f o r m ( Z u i e t a l . 1 9 9 6 )

( 2 4 )

l

- --

H

m

- - - -

2

0 . 1 7 ( )=

2

2

H

m l

2

- - - - - - - - 0 . 7 7 7

E A

m

- - - - - - -

m g

H

- - - - - - -

2

0 . 1 7

2

4

2

<


9/18


I t i s c l e a r l y s h o w n t h a t t h e n o n - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r ( 2 3 ) r e f l e c t s t h e e f f e c t o f c a b l e b e n d i n g

s t i f f n e s s o n t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c a b l e v i b r a t i o n . T h e n a t u r e o f t h e r o o t s o f t h e E q . ( 2 4 )

h i g h l y d e p e n d s o n t h e s i z e o f p a r a m e t e r . E q . ( 2 2 ) o r ( 2 4 ) i s t h e t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n s w h e r e

t h e s o l u t i o n o f

n

f o r a g i v e n v a l u e o f c a n b e o n l y o b t a i n e d b y a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e s u c h a s

N e w t o n - R a p h s o n m e t h o d . T h e e n e r g y m e t h o d a n d l e a s t s q u a r e f i t t i n g a r e u s e d a g a i n t o e s t a b l i s h t h e

e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c a b l e t e n s i o n a n d f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y w h e r e t h e c a b l e b e n d i n g

s t i f f n e s s i s t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e f o l l o w i n g t w o c a s e s a r e i n v e s t i g a t e d r e s p e c t i v e l y d e p e n d i n g o n

t h e s i z e o f n o n - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r .

3 . 1 i s r e l a t i v e l y s m a l l ( )

W h e n i s r e l a t i v e l y s m a l l , t h e c a b l e w i t h r e l a t i v e l y l a r g e b e n d i n g s t i f f n e s s i s s u b j e c t e d t o

r e l a t i v e l y s m a l l t e n s i o n . I n s u c h a c a s e , t h e c a b l e b e h a v i o r s a r e m u c h l i k e a n a x i a l l y t e n s i o n e d

b e a m . B y i m p l e m e n t a t i o n o f v a r i a b l e s e p a r a t i o n a n d d e t e r m i n a t i o n o f c a b l e k i n e t i c e n e r g y , s t r a i n

e n e r g y a n d t h e w o r k d o n e b y e x t e r n a l f o r c e , t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n o f c a b l e m o t i o n c a n b e

o b t a i n e d a c c o r d i n g t o H a m i l t o n s p r i n c i p l e ( 8 )

( 2 5 )

w h e r e

( 2 6 a )

( 2 6 b )

T h e r e f o r e , t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y t a k i n g t h e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t i n t o a c c o u n t c a n b e

d e t e r m i n e d f r o m

( 2 7 )

T h e f i r s t o r d e r v i b r a t i o n s h a p e f u n c t i o n ( x ) i s c h o s e n a s t h e f i r s t o r d e r m o d e s h a p e o f a b e a m

f i x e d a t b o t h e n d s

( 2 8 )

E q . ( 2 7 ) y i e l d s

( 2 9 )

0 1 8

M q

t( ) K q t ( )+ 0=

M m

2

x( ) xd

0

l

=

K E I

d

2

x

2

d

- - - - - - - - -

2

T

d

xd

- - - - - -

2

+ xd

0

l

=

2

K

M

- - - - -

E I

d

2

x

2

d

- - - - - - - - -

2

T

d

xd

- - - - - -

2

+ xd

0

l

m

2

x( ) xd

0

l

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- = =

x( ) s i n 4 . 7 3 1 s i n h 4 . 7 3 1 +( ) s i n

4 . 7 3 1

l

- - - - - - - - - - - - - x s i n h

4 . 7 3 1

l

- - - - - - - - - - - - - x

=

c o s 4 . 7 3 1 c o s h 4 . 7 3 1 ( ) c o s

4 . 7 3 1

l

- - - - - - - - - - - - - x c o s h

4 . 7 3 1

l

- - - - - - - - - - - - - x

+

2

1 2 . 3 2

T

m l

2

- - - - - - - - 5 0 1 . 4 0 4

E I

m l

4

- - - - - - - - +=


10/18


I t i s a c t u a l l y t h e e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p o f E q . ( 2 2 ) o r ( 2 4 ) b e t w e e n t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y

a n d t h e c a b l e t e n s i o n w h e r e t h e c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s i s t a k e n i n t o a c c o u n t . T o i n s p e c t t h e

d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n a n d t h e e x a c t s o l u t i o n , b o t h s o l u t i o n s a r e c o m p a r e d i n

F i g . 4 w h e r e t w o c u r v e s a r e p l o t t e d i n t h e n o n - d i m e n s i o n a l f o r m w i t h a r a n g e o f . T h e

f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y r a t i o i s d e f i n e d a s t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y

1

t a k i n g t h e b e n d i n g

s t i f f n e s s e f f e c t i n t o a c c o u n t o v e r c o r r e s p o n d i n g f r e q u e n c y

1 b

o f a b e a m f i x e d a t b o t h e n d s . I t c a n

0 1 8

F i g . 4 F u n d a m e n t a l f r e q u e n c y r a t i o v e r s u s p a r a m e t e r b e f o r e f i t t i n g 1 8( )

F i g . 5 F u n d a m e n t a l f r e q u e n c y r a t i o v e r s u s p a r a m e t e r a f t e r f i t t i n g 1 8( )


11/18


b e s e e n f r o m F i g . 4 t h a t t w o c u r v e s c o i n c i d e w e l l i n t h e r a n g e o f s m a l l v a l u e s o f w h e r e

t h e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t w o c u r v e s i s l e s s t h a n 1 % . H o w e v e r , t h e d i s c r e p a n c y b e c o m e s l a r g e r

w h e n i n c r e a s e s . W h e n = 1 8 , f o r i n s t a n c e , t h e d i f f e r e n c e g o e s t o 3 . 8 % . T h e r e a s o n i s t h a t t h e

e f f e c t o f b e n d i n g s t i f f n e s s o n t h e c a b l e v i b r a t i o n f r e q u e n c i e s d e c r e a s e s w i t h t h e i n c r e a s e i n n o n -

d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r . I n s u c h a c a s e , t h e c a b l e i s o v e r s t i f f e n e d b y u s i n g t h e f i r s t o r d e r m o d e

s h a p e ( 2 8 ) o f a b e a m f i x e d a t b o t h e n d s a s t h e a c t u a l m o d e s h a p e o f a c a b l e . T o f i t t h e e x a c t

s o l u t i o n w e l l , s i m i l a r l y , i t i s a s s u m e d t h a t

( 3 0 )

F i t t i n g E q . ( 3 0 ) w i t h t h e e x a c t f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y s o l u t i o n i n t h e r a n g e o f b y t h e

l e a s t s q u a r e f i t t i n g m e t h o d , t w o c o e f f i c i e n t s a r e f o u n d t o b e

a = 1 1 . 4 9 , b = 5 1 9 . 2 4

. F i g . 5 s h o w s t h e

c o m p a r i s o n o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y b e t w e e n t h e e x p l i c i t s o l u t i o n a n d t h e o r e t i c a l s o l u t i o n . T h e

m a x i m u m d i s c r e p a n c y b e t w e e n t w o c u r v e s g o e s d o w n t o 0 . 8 6 % a t

= 1 8

.

3 . 2 i s r e l a t i v e l y l a r g e ( > 1 8 )

W i t h t h e i n c r e a s e i n t h e s i z e o f , t h e e f f e c t o f b e n d i n g s t i f f n e s s o n t h e c a b l e v i b r a t i o n f r e q u e n c i e s

d e c r e a s e s s i n c e t h e c a b l e h a s r e l a t i v e l y s m a l l b e n d i n g s t i f f n e s s s u b j e c t e d t o r e l a t i v e l y l a r g e t e n s i o n .

I n s u c h a c a s e , t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y t e n d s t o t h a t o f a t a u t s t r i n g . I t i s a s s u m e d w i t h i n

t h e r a n g e o f t h a t

( 3 1 )

w h e r e t h e f i r s t t e r m o f a b o v e e q u a t i o n i s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f t h e t a u t s t r i n g t h e o r y , a n d

8( )

2

a

T

m l

2

- - - - - - - - b

E I

m l

4

- - - - - - - - +=

0 1 8

1 8


12/18


t h e s e c o n d t e r m i s t h e a d d i t i o n a l c o n t r i b u t i o n d u e t o c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t . F i t t i n g E q . ( 3 1 )

w i t h t h e e x a c t s o l u t i o n o f a c a b l e w i t h i n t h e r a n g e o f b y t h e l e a s t s q u a r e f i t t i n g , t h e

c o e f f i c i e n t c a n b e o b t a i n e d a s

a

= 7 . 4 2 .

F i g . 6 s h o w s t h e c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n a n d t h e e x a c t s o l u t i o n i n t h e r a n g e

o f . B o t h c u r v e s a r e p l o t t e d i n t h e n o n - d i m e n s i o n a l f o r m . T h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y

r a t i o i s t h e r a t i o o f c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y

1

t a k i n g t h e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t i n t o a c c o u n t

t o t h e c o r r e s p o n d i n g f r e q u e n c y

1 s

o f a t a u t s t r i n g . I t c a n b e s e e n f r o m F i g . 6 t h a t t w o c u r v e s

c o i n c i d e w i t h e a c h o t h e r w e l l . T h e m a x i m u m d i f f e r e n c e i s a b o u t 0 . 9 5 % w h i c h o c c u r s a t

= 1 8

.

B y f u r t h e r a n a l y z i n g t h e c u r v e o f t h e t h e o r e t i c a l s o l u t i o n , i t c a n b e f o u n d t h a t , t h e c a b l e

f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y t a k i n g t h e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t i n t o a c c o u n t g o e s t o t h e f u n d a m e n t a l

f r e q u e n c y

1 s

o f a t a u t s t r i n g w h e n > 2 0 8 . 1 . N a m e l y , t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f a c a b l e c a n b e

c a l c u l a t e d b y t h e s i m p l e t a u t s t r i n g t h e o r y w h e r e t h e c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s c a n b e n e g l e c t e d .

C o n s i d e r i n g t h e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t , a s a r e s u l t , t h e e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e c a b l e

f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d t h e c a b l e t e n s i o n c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s

( 3 2 a )

( 3 2 b )

( 3 2 c )

4 . E m p i r i c a l f o r m u l a s t o e s t i m a t e c a b l e t e n s i o n s

E q s . ( 1 9 ) a n d ( 3 2 ) r e p r e s e n t t h e e x p l i c i t r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d

c a b l e t e n s i o n w h e r e t h e c a b l e s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t r e s p e c t i v e l y .

T h e r e f o r e , t h e e m p i r i c a l f o r m u l a s t o d e t e r m i n e t h e c a b l e t e n s i o n s b y u s i n g c a b l e f u n d a m e n t a l

f r e q u e n c y c a n b e d e r i v e d . N o t e t h a t t h e r e l a t i o n s h i p = 2 f i s a p p l i e d s o t h a t t h e f r e q u e n c y f i n t h e

f o r m u l a s i s i n H z .

E m p i r i c a l f o r m u l a s t o e s t i m a t e c a b l e t e n s i o n c o n s i d e r i n g c a b l e s a g e f f e c t

( 3 3 a )

( 3 3 b )

( 3 3 c )

E m p i r i c a l f o r m u l a s t o e s t i m a t e c a b l e t e n s i o n s c o n s i d e r i n g c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t

( 3 4 a )

1 8


13/18


( 3 4 b )

( 3 4 c )

I t i s n o t i c e d i n E q . ( 1 9 ) t h a t H i s t h e c a b l e t e n s i o n c o m p o n e n t i n t h e c h o r d d i r e c t i o n w h e r e

. I n t h e c a s e o f s m a l l r a t i o o f s a g t o s p a n ( l e s s t h a n 1 : 8 ) , , t h u s . T h e a p p l i c a b i l i t y

o f a b o v e p r a c t i c a l f o r m u l a s h i g h l y d e p e n d s o n t h e s i z e s o f t w o n o n - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s

2

a n d

t h a t c h a r a c t e r i z e t h e c a b l e s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t s r e s p e c t i v e l y . T h e p a r a m e t e r s

2

a n d

c a n b e c a l c u l a t e d f r o m c a b l e s t r u c t u r a l a n d p h y s i c a l p a r a m e t e r s a s w e l l a s t h e d e s i g n e d c a b l e

t e n s i o n f o r c e .

E q . ( 3 3 ) i s a p p l i c a b l e t o t h e c a b l e s w h e r e t h e e f f e c t o f b e n d i n g s t i f f n e s s i s n e g l i g i b l e b u t t h e c a b l e

s a g e f f e c t h a s t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t . I n m o r e t h a n 9 5 % o f t h e s t a y c a b l e s i n c a b l e - s t a y e d b r i d g e s ,

f o r e x a m p l e , t h e r a n g e s o f p a r a m e t e r s

2

a n d a r e w i t h i n

2

< 3 . 1 a n d > 5 0 ( M e h r a b i a n d

T a b a t a b a i 1 9 9 8 ) . W h e n

2

< 3 . 1 , t h e m a x i m u m d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y

a n d t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y p r e d i c t e d b y a t a u t s t r i n g w i l l r e a c h 1 0 . 7 % a c c o r d i n g t h e e x a c t

s o l u t i o n o f E q . ( 3 ) , w h i c h i n d i c a t e s t h a t t h e c a b l e s a g e f f e c t c a n n o t b e n e g l e c t e d . C o n s i d e r i n g t h e

c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t o n l y w i t h i n

> 5 0

, t h e m a x i m u m d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a b l e

f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d c o r r e s p o n d i n g f r e q u e n c y o f a t a u t s t r i n g i s f o u n d t o b e 4 . 4 % a c c o r d i n g

t o t h e e x a c t s o l u t i o n o f E q . ( 2 4 ) w h e r e t h e c a b l e i s f i x e d a t b o t h e n d s . W h e n t h e s t a y c a b l e s i n

c a b l e - s t a y e d b r i d g e s a r e a s s u m e d t o b e s i m p l y s u p p o r t e d a t b o t h e n d s , i t i s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e

e f f e c t o f b e n d i n g s t i f f n e s s o n t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y b e c o m e s e v e n s m a l l e r a c c o r d i n g t o E q . ( 2 1 ) .

T h u s , t h e p r a c t i c a l f o r m u l a s a s s h o w n i n E q . ( 3 3 ) c a n b e u s e f u l f o r e n g i n e e r s t o e s t i m a t e t h e c a b l e

t e n s i o n b y t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o n l y .

E q . ( 3 4 ) i s a p p l i c a b l e t o t h e c a b l e s w h e r e t h e e f f e c t o f s a g i s n e g l i g i b l e b u t t h e c a b l e b e n d i n g

s t i f f n e s s e f f e c t h a s t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t . O n e e x a m p l e i s t h e p r e - t e n s i o n e d s u s p e n d e r s a n d t i e d

b a r s i n a r c h b r i d g e s o r b e a m s s u b j e c t e d t o a x i a l p r e - t e n s i o n s . I n s u c h a c a s e , t h e v a l u e o f

c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r i s r e l a t i v e l y l a r g e d u e t o r e l a t i v e l y s h o r t l e n g t h a n d l a r g e t e n s i o n .

I n t h e c a s e o f m a i n c a b l e s o f s u s p e n s i o n b r i d g e s d u r i n g t h e f r e e l y h a n g e d s t a g e w h e r e o n l y t h e

t o w e r - c a b l e s y s t e m i s e r e c t e d b u t n o n e o f d e c k s e g m e n t s h a s b e e n h o i s t e d i n t o p o s i t i o n , t h e v a l u e o f

p a r a m e t e r

2

i s f a r g r e a t e r t h a n 4

2

( m o d e c r o s s o v e r p o i n t ) . I n s u c h a c a s e , t h e c a b l e f u n d a m e n t a l

f r e q u e n c y i s a c t u a l l y t h e f r e q u e n c y o f t h e f i r s t a n t i - s y m m e t r i c m o d e . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o f

s u c h m a i n c a b l e s c a n b e a s s u m e d t o b e s i m p l y s u p p o r t e d a t b o t h e n d s , a n d t h e c a b l e t e n s i o n f o r c e

c a n b e d e r i v e d f r o m E q . ( 2 1 )

( 3 5 )

T h e c a b l e t e n s i o n f o r c e s c a n b e d e t e r m i n e d s t r a i g h t f o r w a r d l y t h r o u g h p r o p o s e d p r a c t i c a l f o r m u l a s

( 3 3 ) a n d ( 3 4 ) b y u s i n g t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y e x c e p t f o r E q . ( 3 3 b ) w h e r e t h e i t e r a t i o n

c a l c u l a t i o n i s r e q u i r e d . T h e i n i t i a l v a l u e o f T c a n b e g i v e n a s t h a t c a l c u l a t e d f r o m t h e t a u t s t r i n g

t h e o r y . T h e c o n v e r g e n c e i s f a s t a n d o n l y s e v e r a l i t e r a t i o n s a r e o f t e n n e e d e d . A t y p i c a l s t a y c a b l e o f

a c a b l e - s t a y e d b r i d g e i s t a k e n a s a n e x a m p l e w h e r e c a b l e l e n g t h d e n s i t y

m = 4 0 0

k g / m , l e n g t h

l = 1 0 0 . 0 m , e l a s t i c i t y m o d u l u s E = 1 . 5 9 8 8 1 0

1 0

P a , a n d c r o s s - s e c t i o n a l a r e a A = 7 . 8 5 0 7 1 0

- 3

m

2

.

T m 2 l f

2 . 3 6 3

l

- - - - - - - - - - - - -

E I

m

- - - - - -

2

1 8 2 1 0


14/18


I f t h e m e a s u r e d c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y i s f = 0 . 4 4 H z a n d t h e c o n v e r g e n c e c r i t e r i o n i s d e f i n e d

a s t h a t t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e s o l u t i o n s i s l e s s t h a n 1 % , i t i s d e m o n s t r a t e d t h a t o n l y

4 i t e r a t i o n s a r e n e e d e d f o r t h e c o n v e r g e n t s o l u t i o n . T a b l e 1 s h o w s t h e d e t a i l s o f t h e i t e r a t i v e

c a l c u l a t i o n o f c a b l e t e n s i o n f o r c e .

5 . V e r i f i c a t i o n o f t h e e m p i r i c a l f o r m u l a s

5 . 1 T h e e f f e c t o f c a b l e s a g

T o v e r i f y t h e a p p l i c a b i l i t y o f p r o p o s e d e m p i r i c a l f o r m u l a s t o i n c l u d e t h e c a b l e s a g e f f e c t , t w o

c a b l e s w i t h d i f f e r e n t s a g p a r a m e t e r s

2

a r e a n a l y z e d a n d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h t h o s e

r e p o r t e d i n l i t e r a t u r e s . T h e p h y s i c a l a n d g e o m e t r i c p a r a m e t e r s o f t w o c a b l e s a r e l i s t e d i n T a b l e 2 .

S i n c e t h e v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r o f t w o c a b l e s a r e r e l a t i v e l y l a r g e , t h e i n f l u e n c e o f b e n d i n g

s t i f f n e s s o n t h e c a b l e s f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y c a n b e n e g l e c t e d . T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a b l e

f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a n d t h a t o f a t a u t s t r i n g i s 0 . 6 7 % w h e n = 3 0 3 a c c o r d i n g t o t h e e x a c t

s o l u t i o n ( 2 4 ) w h e r e t h e c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s i s t a k e n i n t o a c c o u n t , w h e r e a s t h e d i f f e r e n c e i s o n l y

0 . 3 3 % w h e n = 6 0 5 . T h e f i r s t c a b l e (

2

= 0 . 7 9

) h a s a m o d e r a t e s a g a n d t h e s e c o n d c a b l e

(

2

= 5 0 . 7 0 ) h a s a l a r g e s a g . T a b l e 3 s h o w s t h e c o m p a r i s o n o f t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s

c o m p u t e d b y t h e p r o p o s e d f o r m u l a ( 1 9 ) w i t h t h o s e o b t a i n e d f r o m t h e f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d

( M e h r a b i a n d T a b a t a b a i 1 9 9 8 ) , n o n l i n e a r f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ( N i e t a l . 2 0 0 2 ) a n d t h e t a u t s t r i n g

t h e o r y . I t i s o b s e r v e d t h a t t h e p r o p o s e d e m p i r i c a l f o r m u l a s c o i n c i d e w e l l w i t h t h e r e s u l t s o f

c o m p l i c a t e d n u m e r i c a l m e t h o d s r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e s . T h e s i m p l e t a u t s t r i n g t h e o r y i g n o r i n g t h e

s a g e f f e c t r e s u l t s i n t h e u n a c c e p t a b l e e r r o r s f o r t h e a n a l y z e d c a b l e s .

T a b l e 3 C o m p a r i s o n o f c o m p u t e d c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s ( H z )

C a b l e

n o .

2

S t r i n g

t h e o r y

F i n i t e d i f f e r e n c e

m e t h o d

( M e h r a b i a n d

T a b a t a b a i 1 9 9 8 )

F i n i t e e l e m e n t

m e t h o d

( N i e t a l .

2 0 0 2 )

P r e s e n t

m e t h o d

1

2

0 . 7 9

5 0 . 7 0

6 0 5 . 5

3 0 2 . 7

0 . 4 2 6

0 . 2 1 3

0 . 4 4 0

0 . 4 2 8

0 . 4 4 1

0 . 4 2 1

0 . 4 3 9

0 . 4 2 6

T a b l e 2 P a r a m e t e r s o f t w o a n a l y z e d c a b l e s

C a b l e

2

m ( k g / m ) L ( m ) H ( k N ) E ( P a ) A ( m

2

) I ( m

4

)

1

2

0 . 7 9

5 0 . 7 0

6 0 5 . 5

3 0 2 . 7

4 0 0 . 0

4 0 0 . 0

1 0 0 . 0

1 0 0 . 0

2 9 0 3 . 6 0

7 2 5 . 9 0

1 . 5 9 8 8 E 1 0

1 . 7 1 8 6 E 1 0

7 . 8 5 0 7 E - 0 3

7 . 6 1 1 0 E - 0 3

4 . 9 5 3 5 E - 6

4 . 6 0 9 7 E - 6

T a b l e 1 I t e r a t i v e c a l c u l a t i o n o f c a b l e t e n s i o n f o r c e ( k N )

T

0

T

1

T

2

T

3

T

4

3 0 9 7 . 6 3 0 4 3 . 9 3 0 0 6 . 6 2 9 8 0 . 7 2 9 8 0 . 7


15/18


5 . 2 T h e e f f e c t o f c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s

B y a p p r o x i m a t e l y s o l v i n g c a b l e c h a r a c t e r i s t i c E q . ( 2 4 ) , Z u i e t a l . ( 1 9 9 6 ) p r o p o s e d t h e p r a c t i c a l

f o r m u l a s t o c a l c u l a t e t h e c a b l e t e n s i o n s c o n s i d e r i n g c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s a s w e l l a s c a b l e s a g b y

u s i n g t h e f i r s t a n d s e c o n d - o r d e r f r e q u e n c y . E x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d t o v e r i f y t h e i r p r a c t i c a l

f o r m u l a s . T h e s a m e c a b l e i s h e r e i n s t u d i e d t o s e e t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e p r o p o s e d e m p i r i c a l

f o r m u l a s i n t h e p a p e r . T h e c a b l e p a r a m e t e r s i n c l u d e t h a t l = 9 . 9 8 m , m = 1 2 . 0 4 k g / m a n d

E I = 2 3 . 5 k N m

2

. T a b l e 4 s h o w s t h e c o m p a r i s o n o f t h e c a b l e t e n s i o n f o r c e s c a l c u l a t e d b y t h e

p r e s e n t f o r m u l a s ( 3 4 ) w i t h t h o s e o b t a i n e d f r o m Z u i s f o r m u l a s ( 1 9 9 6 ) a s w e l l a s t h e t a u t s t r i n g

t h e o r y . I t i s d e m o n s t r a t e d t h a t t h e c a b l e t e n s i o n e s t i m a t i o n s b y t h e p r e s e n t f o r m u l a s a g r e e w e l l w i t h

t h o s e b y Z u i e t a l . T h e s i m p l e t a u t s t r i n g t h e o r y i g n o r i n g t h e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t r e s u l t s i n t h e

u n a c c e p t a b l e e r r o r f o r t h e a n a l y z e d c a b l e s .

6 . L a b o r a t o r y t e s t s o n s t a y c a b l e s

T o e v a l u a t e t h e c a b l e t e n s i o n b y u s i n g m e a s u r e d c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y , d y n a m i c t e s t s o n

t h e s t a y c a b l e s w i t h d i f f e r e n t l e v e l s o f t e n s i o n s w e r e c a r r i e d o u t i n t h e l a b o r a t o r y . A p a i r o f s t e e l

s t a n d s c o n s i s t i n g o f 7

5

h i g h s t r e n g t h w i r e s w e r e u s e d a s t w o p a r a l l e l s t a y c a b l e s . O n e e n d o f t h e

s t a y c a b l e s i s f i x e d t o t h e r e s i s t i n g w a l l ( F i g . 7 a ) a n d a n o t h e r e n d i s t e n s i o n e d b y a h y d r a u l i c j a c k

F i g . 7 S t a y c a b l e s t e s t e d i n t h e L a b . ( a ) C a b l e e n d s f i x e d t o t h e w a l l , ( b ) C a b l e e n d s t e n s i o n e d b y j a c k

T a b l e 4 C o m p a r i s o n o f c o m p u t e d c a b l e t e n s i o n s ( k N )

F u n d a m e n t a l f r e q u e n c y ( H z ) S t r i n g t h e o r y Z u i e t a l . ( 1 9 9 6 ) P r e s e n t f o r m u l a s

6

8

1 0

1 2

1 7 1 . 6 6

3 0 5 . 1 7

4 7 6 . 8 3

6 8 6 . 6 3

1 4 3 . 0 5

2 6 7 . 2 0

4 2 9 . 5 0

6 2 9 . 9 4

1 4 2 . 8 2

2 6 6 . 2 7

4 2 7 . 8 7

6 2 7 . 6 2


16/18


( F i g . 7 b ) a t d i f f e r e n t l e v e l s f r o m 5 0 k N t o 1 2 0 k N . T h e a p p l i e d c a b l e t e n s i o n f o r c e s a r e m e a s u r e d

b y a l o a d c e l l . T h e t e s t e d c a b l e p a r a m e t e r s a r e l i s t e d i n T a b l e 5 .

A t o t a l f i v e p i e z o e l e c t r i c a c c e l e r o m e t e r s w e r e a t t a c h e d t o e a c h c a b l e u s i n g t h e m a g n e t i c b a s e s .

T h e y w e r e a r r a n g e d i n a s y m m e t r i c a l m a n n e r a s s h o w n i n F i g . 8 . A l l t h e a c c e l e r o m e t e r s w e r e

o r i e n t e d p e r p e n d i c u l a r t o t h e c a b l e t o m e a s u r e i n - p l a n e v i b r a t i o n . A 1 6 - c h a n n e l d a t a a c q u i s i t i o n

s y s t e m w a s u s e d a n d c o r r e s p o n d i n g a c c e l e r o m e t e r s i g n a l s w e r e r e c o r d e d i n a c o m p u t e r .

T h e e x c i t a t i o n w a s p r o v i d e d b y s l i g h t l y t a p p i n g t h e c a b l e w i t h a h a m m e r . T h e s i g n a l s w e r e

r e c o r d e d f o r 5 m i n u t e s w i t h s a m p l i n g f r e q u e n c y o f 2 , 0 0 0 H z . T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e c a b l e s

F i g . 8 A c c e l e r o m e t e r a r r a n g e m e n t s o n t h e t e s t e d c a b l e s

T a b l e 5 P a r a m e t e r s o f t e s t e d s t a y c a b l e s

C a b l e l e n g t h M a s s / u n i t l e n g t h S e c t i o n a l a r e a I n e r t i a m o m e n t Y o u n g s m o d u l u s

1 3 . 6 m 1 . 2 0 3 1 k g / m 1 2 3 7 . 4 4 m m

2

6 . 4 1 0

- 8

m

4

1 . 8 1 0

5

M P a

F i g . 9 P o w e r s p e c t r a l d e n s i t i e s o f c a b l e a c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t s . ( a ) C a b l e t e n s i o n l e v e l a t 5 0 k N ,

( b ) C a b l e t e n s i o n l e v e l a t 1 2 0 k N


17/18


w e r e d e t e r m i n e d b y i d e n t i f y i n g t h e p e a k s f r o m t h e P o w e r S p e c t r a l D e n s i t y ( P S D ) o f r e c o r d e d

a c c e l e r a t i o n t i m e h i s t o r i e s . T h e s p e c t r a l p a r a m e t e r s i n c l u d e H a n n i n g w i n d o w , 5 0 % o v e r l a p , a n d

8 1 , 9 2 0 d a t a p o i n t w i n d o w l e n g t h , w h i c h r e s u l t s i n t h e f r e q u e n c y r e s o l u t i o n o f 0 . 0 2 4 H z . T h e P S D s

o f t h e s i g n a l s c o l l e c t e d b y t h e a c c e l e r o m e t e r ( 2 # ) m o u n t e d o n o n e - q u a r t e r o f t h e c a b l e a r e s h o w n i n

F i g . 9 a t t h e c a b l e t e n s i o n l e v e l s o f 5 0 k N a n d 1 2 0 k N r e s p e c t i v e l y . T h e p e a k s a r e c l e a r l y s h o w n

a n d t h e c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e f i r s t p e a k c a n b e o b t a i n e d .

F o r t h e t e s t e d s t a y c a b l e s , t h e v a l u e s o f t w o n o n - d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s a r e i n t h e r a n g e o f

a n d . E q . ( 3 4 c ) i s t h e r e f o r e e m p l o y e d t o e s t i m a t e t h e c a b l e t e n s i o n f o r c e s b y u s i n g

i d e n t i f i e d c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s . T h e c a l c u l a t e d c a b l e t e n s i o n s a r e c o m p a r e d w i t h a p p l i e d

c a b l e t e n s i o n s i n T a b l e 6 . I t i s c l e a r l y s h o w n t h a t a g o o d a g r e e m e n t h a s b e e n a c h i e v e d b e t w e e n t h e

a p p l i e d c a b l e t e n s i o n s a n d t h o s e c a l c u l a t e d f r o m p r o p o s e d e m p i r i c a l f o r m u l a w i t h a n e r r o r o f l e s s

t h a n 3 % .

7 . C o n c l u s i o n s

T h e e m p i r i c a l f o r m u l a s t o e s t i m a t e c a b l e t e n s i o n f o r c e s b y u s i n g c a b l e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y a r e

p r o p o s e d i n t h e p a p e r w h e r e t h e c a b l e s a g a n d b e n d i n g s t i f f n e s s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t r e s p e c t i v e l y .

T o a v o i d s o l v i n g t h e t r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n s , t h e e m p i r i c a l f o r m u l a s a r e e s t a b l i s h e d b y t h e

a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s w i t h t h e h e l p o f e n e r g y m e t h o d a n d f i t t i n g t h e e x a c t s o l u t i o n s o f c a b l e

v i b r a t i o n . T h e a p p l i c a b i l i t y o f p r o p o s e d e m p i r i c a l f o r m u l a s d e p e n d s o n t h e s i z e s o f t w o n o n -

d i m e n s i o n a l c h a r a c t e r i s t i c c a b l e p a r a m e t e r s t h a t a r e

2

c h a r a c t e r i z i n g t h e c a b l e s a g e f f e c t a n d

r e f l e c t i n g t h e c a b l e b e n d i n g s t i f f n e s s e f f e c t . T h e p r o p o s e d e m p i r i c a l f o r m u l a s a r e v e r i f i e d b y t h e

c o m p a r i s o n o f t h e r e s u l t s w i t h t h o s e r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e s a n d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s

c a r r i e d o u t o n t h e s t a y c a b l e s i n t h e l a b o r a t o r y . T h e f o r m u l a s a r e s i m p l e i n f o r m a n d t h e y a r e v e r y

c o n v e n i e n t f o r p r a c t i c a l e n g i n e e r s t o f a s t e v a l u a t e t h e c a b l e t e n s i o n s .

A c k n o w l e d g e m e n t s

S u p p o r t f r o m t h e N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a ( N S F C ) , u n d e r g r a n t n u m b e r 5 0 3 7 8 0 2 1 t o

F u z h o u U n i v e r s i t y , i s g r e a t l y a c k n o w l e d g e d . T h e s e c o n d a u t h o r a l s o t h a n k s t h e f i n a n c i a l s u p p o r t

f r o m t h e P r o g r a m f o r N e w C e n t u r y E x c e l l e n t T a l e n t s ( N C E T ) i n U n i v e r s i t y , M i n i s t r y o f E d u c a t i o n ,

P e o p l e s R e p u b l i c o f C h i n a .

2 1 0

2

0 . 0 1

T a b l e 6 C o m p a r i s o n o f t e s t e d a n d c a l c u l a t e d c a b l e t e n s i o n s

M e a s u r e d f u n d a m e n t a l

f r e q u e n c y ( H z )

7 . 6 0 8 . 3 2 8 . 9 6 9 . 5 9 1 0 . 1 6 1 0 . 7 4 1 1 . 2 3 1 1 . 7 4

C a l c u l a t e d c a b l e

t e n s i o n ( k N )

5 1 . 4 1 6 1 . 6 2 7 1 . 4 6 8 1 . 8 6 9 1 . 8 8 1 0 2 . 6 7 1 1 2 . 2 5 1 2 2 . 6 8

A p p l i e d c a b l e t e n s i o n

( k N )

5 0 . 0 0 6 0 . 0 0 7 0 . 0 0 8 0 . 0 0 9 0 . 0 0 1 0 0 . 0 0 1 1 0 . 0 0 1 2 0 . 0 0

E r r o r

( % )

2 . 8 2 2 . 7 0 2 . 0 9 2 . 3 3 2 . 0 9 2 . 6 7 2 . 0 6 2 . 2 3


18/18


R e f e r e n c e s

C a s a s , J . R . ( 1 9 9 4 ) , A c o m b i n e d m e t h o d f o r m e a s u r i n g c a b l e f o r c e s : T h e c a b l e - s t a y e d A l a m i l l o B r i d g e , S p a i n .

S t r u c t . E n g . I n t . , 3 , 2 3 5 - 2 4 0 .

C h e n , G . ( 1 9 9 4 ) , P r a c t i c a l f o r m u l a s f o r e s t i m a t i o n o f c a b l e t e n s i o n b y v i b r a t i o n m e t h o d , M . S c . T h e s i s , F u z h o u

U n i v e r s i t y .

C u n h a , A . , C a e t a n o , E . a n d D e l g a d o , R . ( 2 0 0 1 ) , D y n a m i c t e s t s o n l a r g e c a b l e - s t a y e d b r i d g e , J . B r i d g e E n g . ,

A S C E , 6 , 5 4 - 6 2 .

H u m a r , J . L . ( 1 9 9 0 ) , D y n a m i c s o f S t r u c t u r e s . P r e n t i c e - H a l l , I n c . , E n g l e w o o d C l i f f s , N . J .

I r v i n e , H . M . ( 1 9 8 1 ) , C a b l e S t r u c t u r e s . T h e M I T P r e s s , C a m b r i d g e , M a s s a c h u s e t t s , U S A .

I r v i n e , H . M . a n d C a u g h e y , T . K . ( 1 9 7 4 ) , T h e l i n e a r t h e o r y o f f r e e v i b r a t i o n o f a s u s p e n d e d c a b l e , P r o c . R o y a l

S o c i e t y o f L o n d o n , E n g l a n d , S e r i e s A , 3 4 1 , 2 9 9 - 3 1 5 .

L e o n a r d , J . W . ( 1 9 9 8 ) , T e n s i o n S t r u c t u r e s . M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , N e w Y o r k .

M e h r a b i , A . B . a n d T a b a t a b a i , H . ( 1 9 9 8 ) , A u n i f i e d f i n i t e d i f f e r e n c e f o r m u l a t i o n f o r f r e e v i b r a t i o n o f c a b l e s , J .

S t r u c t . E n g . , A S C E , 1 2 4 ( 1 1 ) , 1 3 1 3 - 1 3 2 2 .

N i , Y . Q . , K o , J . M . a n d Z h e n g , G . ( 2 0 0 2 ) , D y n a m i c a n a l y s i s o f l a r g e - d i a m e t e r s a g g e d c a b l e s t a k i n g i n a c c o u n t

f l e x u r a l r i g i d i t y , J . S o u n d V i b . , 2 5 7 ( 2 ) , 3 0 1 - 3 1 9 .

R u s s e l l , J . C . a n d L a r d n e r , T . J . ( 1 9 9 8 ) , E x p e r i m e n t a l d e t e r m i n a t i o n o f f r e q u e n c i e s a n d t e n s i o n f o r e l a s t i c c a b l e s ,

J . E n g . M e c h . , A S C E , 1 2 4 , 1 0 6 7 - 1 0 7 2 .

S t a r o s s e k , U . ( 1 9 9 1 ) , D y n a m i c s t i f f n e s s m a t r i x o f s a g g i n g c a b l e , J . S t r u c t . E n g . , A S C E , 1 1 7 ( 1 2 ) , 2 8 1 5 - 2 8 2 9 .

S t a r o s s e k , U . ( 1 9 9 4 ) , C a b l e d y n a m i c s - A r e v i e w , S t r u c t . E n g . I n t . , 3 , 1 7 1 - 1 7 6 .

Y e n , W . H . P . , M e h r a b i , A . B . a n d T a b a t a b a i , H . ( 1 9 9 7 ) , E s t i m a t i o n o f s t a y c a b l e t e n s i o n u s i n g a n o n - d e s t r u c t i v e

v i b r a t i o n t e c h n i q u e , B u i l d i n g t o L a s t : P r o c . o f t h e 1 5 t h S t r u c t u r e s C o n g r e s s , A S C E , 1 , 5 0 3 - 5 0 7 .

Z h e n g , G . , K o , J . M . a n d N i , Y . Q . ( 2 0 0 1 ) , M u l t i m o d e - b a s e d e v a l u a t i o n o f c a b l e t e n s i o n f o r c e i n c a b l e - s u p p o r t e d

b r i d g e s , S m a r t S t r u c t u r e s a n d M a t e r i a l s 2 0 0 1 : S m a r t S y s t e m s f o r B r i d g e s , S t r u c t u r e s , a n d H i g h w a y s 2 0 0 1 ,

S P I E , 4 3 3 0 , 5 1 1 - 5 2 2 .

Z u i , H . , S h i n k e , T . a n d N a m i t a , Y . ( 1 9 9 6 ) , P r a c t i c a l f o r m u l a s f o r e s t i m a t i o n o f c a b l e t e n s i o n b y v i b r a t i o n

m e t h o d , J . S t r u c t . E n g . , A S C E , 1 2 2 ( 6 ) , 6 5 1 - 6 5 6 .

200506142126 formula to estimate the cable tension seee

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