RESOLUÇÃO DA 1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL DE ÁLGEBRA I

Justifique as suas respostas. Você também será avaliado pela clareza da linguagem utilizada. Cada questão vale 2.0 pts.

1. Seja R a relação sobre o conjunto dos números racionais, definida da seguinte forma xRy (x-y)∈Z (conjunto dos números inteiros). Prove que R é uma relação de equivalência e descreva a classe

⇔1 .

Resolução: R será uma relação de equivalência em Z (conjunto dos

inteiros), se R for reflexiva, simétrica e transitiva em Z.

• Reflexiva: x∈Z, tem-se x R x, pois (x-x) ∈ Z. Logo R é

reflexiva em Z.

( x∀ )

• Simétrica: Se x e y ∈ Z, tais que x R y, então (x-y)∈ Z.

Assim y-x = - (x-y) ∈ Z, assim y R x. Tem-se então que R é uma relação

simétrica em A.

• Transitiva: Se x,y e z ∈Z, tais que x R y e y R z. Logo existem e

inteiros tais que x-y = e y-z = , tem-se então que x-z = k + k

Z. Assim R é uma relação de equivalência em Z.

1k

22k 1k 2k 1 ∈

1= {x∈ Z | x R1} = { x∈ Z | (x-1)∈ Z } = Z

2. Use a Indução Matemática para provar que .

nn 32 > ∀ . 4≥n Resolução: Se n =4 16 > 12. Supõem-se que a desigualdade seja válida

para k 4. Assim,

→

≥

kk 32 > , então

( ) )1(33123121 22 +=+>++>++>+ kkkkkkkk . Logo, pelo primeiro princípio

da indução, a desigualdade é válida para todo n ≥ 4

3. Usar o Algoritmo de Euclides para obter números r e s tais que:

MDC (1128,336) = 1128r + 336s. Qual o valor do MDC (1128,336)

Resolução: (1) 1128 3 . 336 + 120

(2) 336 = 2 . 120 + 96

(3) 120 = 1 . 96 + 24

(4) 96 = 4 . 24

Em (1), obtém-se 120 = 1128-3 . 336. Substituindo em (2), vem que

336 = 2 . (1128 – 3 . 336) + 96, logo, 96 = -2 . 1128 + 7 . 336. Assim

de (3), vem que 1128 – 3 . 336 = 1 . (-2 . 1128 + 7 . 336) + 24, logo

24 = 3 . 1128 – 10 . 336. Então r = 1 e s = - 10.

Além disso MDC (1128,336) = 24

4. Use a definição de ideal para provar que seguintes subconjuntos I de

Z, dados abaixo, são ideais de Z

a) I = {m∈ Z : 21 . m é divisível por 9}

Resolução:

i) 0∈I, pois 21 . 0 = 0, e 0 é divisível por 9.

ii) Sejam x,y∈I. Logo x . m e y . m são divisíveis por 9. Tem-se

então que (x + y) . m = x. m + y . m. também é divisível por 9.

iii) Seja x∈I. Assim x . m é divisível por 9. Então –x . m também é

divisível por 9.

iv) Sejam r ∈Z e x ∈I. Assim x . m é divisível por 9. Então rx . m

também é divisível por 9.

Devido a i), ii), iii) e iv) tem-se que I é um ideal de Z

b) I = {m∈ Z : MDC (7,m) = 1}

Resolução: Tem-se por exemplo que 2∈ I, já que MDC (7,2) = 1.

Porém 7.2∉ I, pois MDC (7,14) = 7. Assim o conjunto I não é um ideal de Z.

5. Seja m um inteiro fixo e sejam a,b e c inteiros arbitrários. Prove que:

a) Se MDC(c,m)=1 então ac bc (mod m) implica a b (mod m). ≡ ≡

Resolução: Se ac ≡ bc (mod m) então m | (a - b) c.

Como MDC (c,m) = 1 tem-se do Teorema de Euclides que m | (a - b).

Portanto a ≡ b (mod m).

b) Se a b (mod m) e b c (mod m) então a c (mod m) ≡ ≡ ≡

Resolução: Supõem-se que a b (mod m) e b c (mod m) então

m | (a - b) e m | (b - c). Logo m | (a -b)+(b -c), assim m| a-c, e portanto

a c (mod m)

≡ ≡

≡

c) A operação a+b = ba + definida em Z = {m 0 ,1 ,..., 1−m } é

uma operação associativa em Z . m

Resolução:

( a+b )+c =( ba + )+ c = cba ++ )( = )( cba ++ =a + )( cb + = a +(b + c )