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Interpolation

von Mathias Ott

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Gliederung

• Einführendes Beispiel• Rückblick auf GIS I• Inverse Distance Weighted Interpolation (IDW)• Aufgabe 1• Lokale und Globale Polynom Interpolation (LPI

und GPI)• Radiale Basis Function (RBF)• Aufgabe 2

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Einführendes Beispiel

• Überführung von punktartigen Daten zu flächenhaften Aussagen

• Interpolation!!

Ozonkonzentration in Mexiko

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Definition

Unter (räumlicher) Interpolation versteht man ein Verfahren, mit dem die unbekannten Werte einer Variablen an dem nicht beprobten Ort aus den gemessenen Daten geschätzt werden.

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Interpolationsverfahren

Es gibt grundsätzlich zwei Verfahren:

Das determinatische Verfahren

Das statistische Verfahren

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Gegenüberstellung

Determinantisches Verfahren

Annahme: je kleiner der Abstand,

desto ähnlicher die Punkte

Zwischenpunkte können interpoliert werden

Hintergrund: Mathematische Verfahren

Statistisches Verfahren

Annahme:Anwendung statistischer Verfahren

Angabe der Genauigkeit der Interpolationspunkte

Hintergrund:Mathematische

und statistische Verfahren

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Grundlagen aus GIS IVoronoi - Diagramm

Entstehen aus Voronoi–Regionen

Die nächsten Punkte zum Mittelpunkt liegen innerhalb dieser Regionen

Nachbarschaftsprinzip

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Grundlage aus GIS IProblem der

Dreiecksdarstellung

Welche Darstellung beinhaltet die beste Gelände Charakteristik?

Delauny TriangulationGewöhnliche Triangulation

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Grundlagen GIS IDelauny Triangulation

Durch Voronoi entsteht Delauny

Höhere Genauigkeit der Geländecharakteristik Delauny Tri. Voronoi-Diagr.

Kleinste Winkel werden maximal

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Determinatische Interpolationsarten

In ArcMap gibt es vier verschiedene Arten:

• Inverse Distance Weighted Interpolation • Global Polynom Interpolation• Lokal Polynom Interpolation• Radial Basis Funktion

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Wie kann nun ein Zwischenpunkt

interpoliert werden?

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Verfahrenstypen

Polygonmethode (Global - und Lokal Polynom Interpolation)

IDW und Basic Radial Funktion

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Inverse Distance Weighted Interpolation

• Gewichtete Punktdaten innerhalb der Regionen

• Abhängig von der Entfernung

Die Entfernung dient somit als Schätzgrundlage der Neupunktbestimmung

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Veranschaulichung der Formel

λ1

λ4

λ5

λ3

λ2

Referenzpunkte

Zu interpolierender Punkt

λi = Abstand

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Mathematischer Hintergrund

Die „Interpolationsformel“ ist folgende:

Z(s0) => ist der Wert, der für den Ort s0 vorhergesagt werden soll

n => ist die Anzahl der gemessenen Punkte um den Ort s0

i => ist das Gewicht, das jedem gemessenen Punkt zugeordnet wird

Z(si) => ist der beobachtete Wert am Ort si

=> Somit ist der vorhergesagte Ort abhängig von der Gewichtung und der Messung selbst

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Wie bekomme ich λ ?

StreckenallerSumme

sStrecke ii __

_

=> Je größer der Abstand, desto geringer die Gewichtung

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Aktivieren des Geostatistical Analyst

• Klicke auf view

• Klicke auf Toolbar

• Klicke auf geostatistical analyst

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Aktivieren des geostatistical Analyst

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Vorgehensweise in ArcMap

• Klicke auf Geostatistical Analyst• Klicke auf Geostatistical Wizard

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Interpolation mit IDW• Stelle wells

ein

• Stelle Well_DPTH ein

• Wähle IDW als Methode aus

• Drücke next

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Fortsetzung I

Drücke next

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Fortsetzung II

Drücke Finish

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Ergebnis

Veranschaulich- ung über

•Properties

•Extents

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Anpassen des Ergebnisses

Klicke auf Properties

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Fortsetzung IWählen sie Extent aus

Und „set the extent to: the full rectangular extent of all Layers“

Drücken sie Ok

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Ergebnis II

Sichtbarkeit der Referenzen durch

„Verschieben des Layers vor den IDW-Layer“

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Aufgabe 1• Kopiert D:\ GIS_DATA\ ESRI\ ARCTUTOR\

3D_ANALYST\ EXERCISE5\ SURFACE_DATA\ MASS_POINTS.SHP

• Aktivieren sie den Geostatistical Analyst• Dies sind Referenzpunkte für ein Höhenmodel.

(das zugehörige Attribut heißt FID) • Erstellen sie mit Hilfe der IDW-Funktion eine

Interpolation, um Information für das gesamte Gelände zu erhalten

• Erzeugen sie ein zweites IDW mit einer größeren Nachbarschaft

• Wieso ändert sich das Ergebnis????

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Global Polynom Interpolation

Gelände entspricht Polynom n-ten Grades

Grad wird an die Geländeoberfläche angepasst

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Hintergrund

Ein Gelände wird „Näherungsweise durchPolynomfunktionen ersten – zehnten Gradesausgedrückt

Somit wird ein Trend angegeben, der abernicht die Referenzwerte als fix betrachtet

Einsatzbereich: Luftverschmutzung über einem

Industriegebiet

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Umsetzung

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Umsetzung II

Auswahl des Funktionsgrads

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Ergebnis für P von 1-4

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Lokale Polynom Interpolation

Teilstücke eines Geländes werden in mathematische Funktionen unterteilt

=> Oberflächendarstellung wird verbessert

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Hintergrund

Trend wird für jeweils 3 Referenzpunkte festgelegt (Gerade)

=> Einzeltrend entspricht Lokale Polynome Interpolation

Ergebnis:

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Umsetzung

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Umsetzung II

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Ergebnis

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Radial Basis Funktion

Referenzen sind fix

Zwischenpunkte werden durch 5 Funktionen interpoliert

Ziel: Genauere Anpassung an die Oberfläche.

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Hintergrund I

Verschiedene Interpolationsarten• Thin-plate spline• Spline with tension• Completly regualized spline• Multiquadric function• Inverse multiquadric spline

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Umsetzung

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Umsetzung II

Wählen sie die Interpolations- art

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Ergebnis

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Vergleich mit IDW

IDW: Interpolation durch Kreise

=> Die Funktion ist in der Mitte zweier Punkte

max. bzw. min.

RBF: 5 Funktionen zur Auswahl

=> Anpassung variabler

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Gegenüberstellung der Ergebnisse

Global PolynomeInterpolation (P=4)

Local PolynomeInterpolation

Radial Basis Function

Inverse DistanceWeighted Interpolation

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Aufgabe 2

• Nehmet den Datensatz aus Aufgabe 1• Erzeugt nun eine Lokal und Global Polynome

Interpolation• Was fällt Euch auf, wenn Ihr den Grad der

Polynomfunktion (Global P. I.) verändern? Welcher Grad entspricht am ehesten dem der IDW

• Erzeugt ebenso eine Interpolation mit der Radial Basis Funktion

• Die einzelnen Interpolationen liegen nun übereinander

=> Ihr könnt durch aus und anklicken sehr gut die Unterschiede der einzelnen Typen

erkennen