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２０００年 第10回 ⽇本数学オリンピック予選

2000年1⽉10⽇ 実施

予選問題

受験⽣への注意事項

試験開始の指⽰のあるまでこの⽤紙を開いたり,透かして⾒たりしてはいけません.

電卓やマイコン,またノートや参考書等を使⽤してはいけません.

問題は 12問,試験時間は 3時間です.

試験開始後まず,受験番号と⽒名と電話番号を解答⽤紙(別紙)に記⼊してください.

解答は答のみを解答⽤紙の該当欄に記⼊してください.

解答⽤紙だけを回収します.

 

†2000年 1⽉ 10⽇ 実施 試験時間 3時間 12問 (答のみを記⼊する)

 

１．下図のように 直⾓三⾓形内に３つの正⽅形と３つの円 Ｏ１，Ｏ２，Ｏ３があり、各円はそれぞれを含む⼩直⾓三⾓形の内接円であり、Ｏ１，Ｏ３の直径の⻑さはそれぞれ９，４ である.円Ｏ２の直径の⻑さを求めよ.

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なお, この図は1853年に佐々⽊ 萬蔵が陸奥の国（現在の岩⼿県）三陸綾⾥⼋幡神社に奉納した算額から取ったものである.

 

２．３ａ＋５ｂ (ただし, a, b は 0 以上の整数) の形で表わせない⾃然数の最⼤値を求めよ.

 

３．平⾯上に点Oを通る直線 と, ⼀辺の⻑さ1 の正三⾓形OAB がある. ただし, 辺ABと は交点を持たないとする. 頂点A, B から に下ろした垂線と との交点をそれぞれ A',B' とするとき, AA'+BB' のとりうる最⼤値を求めよ. ここで2点X,Y に対してXYはその間の距離を⽰す.

 

４．⼀歩で 1段, 2段, または 3段を登れる⼈が, 7段の⽯段を登る. 何通りの登り⽅があるか.ただし途中で下りたり, ⾜踏みしたりはしないものとする.

 

５．図のような1辺の⻑さ1の⽴⽅体ABCD-EFGH があり, 辺CD の中点をK ,辺 DH の中点をL, 辺EF の中点をM ,辺 FB の中点をN とする. ⼋⾯体A-KLMN-G の体積を求めよ.

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６．n を⾃然数とする. 有理数係数の2n 次⽅程式

  x^{2n}+a1x^{2n-1}+a2x^{2n-2}+… +a2n-1x+a2n=0

の解は, すべて

 x^2+5x+7=0

の解にもなっている. このとき係数a1の値を求めよ.

(注)＾の記号は乗算を⽰す。以下同じ。

 

７． 2以上の⾃然数n に対して,

  0≦ x ＜ x+y＜ y+z ≦ n

を満たす整数の組 (x,y,z) の総数を求めよ.

 

８．40Ｃ20を 41 で割った余りを求めよ.

 

９．∑k=1100 ( [k^2／100]+[10√k] )

を求めよ. ただし, [x] はx を超えない最⼤の整数のことである.

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１０．1か2か3の数字が書かれたカードがそれぞれ⼗分沢⼭ある. その中からそれぞれの数字のカードを奇数枚ずつ合計1999枚を選び, ⼀列に並べる. この⽅法は何通りあるか.

 

１１．四⾓形 ABCD があり, AD // BC,∠ ABC＝∠ BDC＝0.5 ∠ ACB であり, 直線 BD は ∠ABC の2等分線になっているとする. このとき ∠ ABC を求めよ.

 

１２．数列ａ１，ａ２，ａ３，…，ａ３０ は以下の条件 (i), (ii) を満たす. このような数列は何通りあるか.

条件

(i)ａ１，ａ２，ａ３，…，ａ３０は⾃然数1,2,3,…,30 の並べ換えである.

(ii) mが 2,3,5 のそれぞれの場合, 1 ≦ n ＜n+m ≦ 30 となる任意の n に対して,

an+m －an は m で割り切れる.

（注）例えば, ａ１＝１，ａ２＝２，ａ３＝３，…，ａ３０＝３０は条件 (i),(ii) を満たす.

 

 

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著作権は数学オリンピック財団に帰属します.

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