200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου thanasiskopadis.blogspot.com Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης

[1]

Σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα

σπουδών 2014-2015.


[2]

Περιεχόμενα:

Κεφάλαια: 7 , 8 , 9 , 10 , 11

Πηγές:

1)Γεωμετρία Β΄Λυκείου - Βασίλης Παπαδάκης

2)Γεωμετρία Β΄Λυκείου - Χαρ. Στεργίου , Χρ. Νάκης ,

Ιωαν. Στεργίου

3) Γεωμετρία Β΄Λυκείου - Θ. Τζουβάρας , Κ. Τζιρώνης

4) Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Αλ. Τραγανίτης

5) Θέματα Εξετάσεων

6) Ευκλείδης Β

7) Διαδίκτυο


[3]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

Α) Λόγοι και αναλογίες ευθύγραμμων τμημάτων

Θεώρημα του Θαλή

1) Τα μήκη α , β και γ των πλευρών ενός τριγώνου είναι ανάλογα των

αριθμών 3 , 4 και 5 αντίστοιχα. Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 36 ,

να υπολογίσετε τα μήκη αυτά.

2) Οι γωνίες 𝛢 ̂, �̂� , �̂� και �̂� ενός τετράπλευρου ΑΒΓΔ είναι ανάλογες προς

τους αριθμούς 4 , 3 , 5 και 6 αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το

τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

3) Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=21 και το σημείο Μ το οποίο διαιρεί

εσωτερικά το ΑΒ σε λόγο 3

4 . Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΜΑ και

ΜΒ.

4) Α Β

Γ Δ

Ε Ζ

Αν στο παραπάνω σχήμα είναι ΑΒ//ΓΔ//ΕΖ και ΑΓ=2 , ΓΕ=3 και ΒΖ=4 , να

υπολογίσετε τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΒΔ και ΔΖ.

5) Α

Κ Λ Μ

Β Γ Δ


[4]

Στο προηγούμενο σχήμα δίνεται ότι : ΑΚ=12 , ΚΒ=15 , ΑΛ=16 , ΛΓ=20 ,

ΑΜ=x και ΜΔ=x+5.

α) Να αποδείξετε ότι: ΚΛ//ΒΓ

β) Να υπολογίσετε το x

6) Σε τρίγωνο ΑΒΓ από τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΑΒ φέρουμε

παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ , η οποία τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Ε.

Από το Ε φέρουμε παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ , η οποία τέμνει την

πλευρά ΒΓ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: ΑΔ

ΒΖ=

ΔΒ

ΖΓ .

7) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάμεσός του. Από τυχαίο σημείο Ε της

πλευράς ΒΓ φέρουμε παράλληλη στην ΑΜ , που τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Να

αποδείξετε ότι : ΑΒ·ΑΖ=ΑΓ·ΑΔ.

8) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και σημείο Ε της πλευράς ΒΓ. Από το

Ε φέρουμε παράλληλη στη ΒΔ , που τέμνει τη ΓΔ στο Ζ. Επίσης από το Ε

φέρουμε παράλληλη στη ΒΑ , που τέμνει τη ΒΔ στο Η. Αν οι ευθείες ΓΗ

και ΒΑ τέμνονται στο Θ , να αποδείξετε ότι: ΓΗ·ΖΔ=ΓΖ·ΗΘ.

9) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ της διαμέσου ΑΜ. Από το Δ

φέρουμε παράλληλη στην ΑΒ , που τέμνει τη ΒΓ στο Ε. Από το Ε φέρουμε

παράλληλη στη ΓΔ , που τέμνει την ευθεία ΑΜ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι:

ΜΔ2=ΜΑ·ΜΖ.

10) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΔ είναι διάμεσος αυτού και το σημείο Ε είναι το

μέσο της ΑΔ. Αν το σημείο Η είναι το μέσο της ΔΓ , να αποδείξετε ότι:

α) ΕΗ//ΑΓ

β) ΒΕ

ΕΖ = 3


[5]

11) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Ο στο εσωτερικό του. Από

σημείο Δ του τμήματος ΑΟ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ , η οποία

τέμνει την ΟΒ στο σημείο Ε. Από το Ε φέρουμε παράλληλη στη ΒΓ , η

οποία τέμνει την ΟΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΔΖ//ΑΓ

β) ΟΔ

ΟΑ+

ΓΖ

ΟΓ = 1

12) Σε τρίγωνο ΑΒΓ από τυχαίο σημείο Ζ της πλευράς ΑΒ φέρουμε ευθεία

που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Ε και την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο Δ.

Από το σημείο Γ φέρουμε παράλληλη στη ΖΔ , η οποία τέμνει την ΑΒ στο

Θ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΒΔ

ΔΓ=

ΒΖ

ΖΘ

β) ΒΔ

ΔΓ·

ΓΕ

ΕΑ·

ΑΖ

ΖΒ =1

Β) Θεωρήματα των διχοτόμων τριγώνου

13) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόμος της γωνίας �̂� τέμνει την ΑΓ στο

σημείο Δ και η διχοτόμος της γωνίας �̂� τέμνει τη ΒΔ στο Ε. Να αποδείξετε

ότι:

α) ΒΕ

ΕΔ=

ΑΒ

ΑΔ

β) ΑΒ·ΓΔ=ΑΔ·ΒΓ

14) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάμεσός του. Αν οι ΜΕ και ΜΔ οι

διχοτόμοι των γωνιών 𝛢𝛭�̂� και 𝛢𝛭�̂� αντίστοιχα , να δείξετε ότι ΔΕ//ΒΓ.


[6]

15) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , η διχοτόμος του ΑΔ και σημείο Ε της πλευράς

ΑΒ. Από το Ε φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ , που τέμνει την ΑΓ στο Ζ.

Να αποδείξετε ότι: ΑΕ

ΑΖ=

ΒΔ

ΔΓ

16) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , με ΑΒ=ΑΓ και σημείο Δ της πλευράς

ΒΓ. Προεκτείνουμε τη ΒΓ κατά τμήμα ΒΕ=ΓΔ. Η διχοτόμος της γωνίας �̂�

τέμνει την ΑΔ στο σημείο Ζ και η διχοτόμος της γωνίας 𝛢𝛣�̂� τέμνει την

ΑΕ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι ΖΗ//ΒΓ.

17) Θεωρούμε κύκλο με κέντρο Ο και έστω ΑΟΒ μια διάμετρός του.

Φέρουμε μια χορδή ΓΔ κάθετη στην ΑΒ και έστω Ε τυχαίο σημείο της ΓΔ.

Αν η ΒΕ τέμνει το τόξο ΓΑΔ στο Η , ενώ η ΑΕ τέμνει το τόξο ΓΒ στο Ζ , τότε

να αποδείξετε ότι:

α) η ΗΒ είναι διχοτόμος της γωνίας 𝛥𝛨�̂�

β) η ΑΖ είναι διχοτόμος της γωνίας 𝛤𝛧�̂�

γ) ΓΗ

ΗΔ=

ΓΖ

ΖΔ

18) Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος ΑΔ και η διάμεσος ΑΜ τριχοτομούν τη γωνία

�̂� . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

19) Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ , με κέντρο Ο , και τη διχοτόμο

της γωνίας 𝛣𝛢�̂� , η οποία τέμνει τη ΒΔ στο Ε και τη ΒΓ στο Ζ. Να

αποδείξετε ότι:

α) ΑΓ

ΑΒ = 2·

ΕΟ

ΕΒ

β) ΕΑ

ΕΖ -

ΑΓ

ΑΒ = 1


[7]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8

Όμοια ευθύγραμμα σχήματα – Όμοια τρίγωνα

20) Α Β

Δ Γ

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι: 𝛢𝛣�̂� = 𝛣𝛤�̂� και η ΔΒ είναι διχοτόμος της

γωνίας 𝛢𝛥�̂� . Αν ΑΔ=4 και ΓΔ=9 , να βρείτε το μήκος του ΒΔ.

21) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=10 και ΒΓ=5. Θεωρούμε

σημείο Δ της πλευράς ΑΓ τέτοιο , ώστε 𝛤𝛣�̂�=�̂�.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι όμοια

β) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ.

22) Δίνεται κύκλος (Ο,R) με R=2. Έστω ΑΒ μια διάμετρός του και (ε) η

εφαπτομένη του στο σημείο Α. Θεωρούμε ένα σημείο Γ του κύκλου και

έστω Δ το σημείο τομής των ευθειών ΒΓ και (ε). Να αποδείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΒ είναι όμοια

β) ΒΓ·ΒΔ=16

23) Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν η διχοτόμος ΑΔ της

γωνίας �̂� του τριγώνου τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε , να αποδείξετε ότι:

ΑΒ·ΑΓ=ΑΔ·ΑΕ.

24) Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έστω Ζ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΔ.

Φέρουμε τη ΓΖ , η οποία τέμνει τη ΒΑ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι:

ΒΓ·ΔΓ=ΔΖ·ΒΕ.


[8]

25) Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά

ΒΓ και προς τις δύο κορυφές και θεωρούμε τα σημεία Ε και Δ τέτοια ,

ώστε: ΑΒ2 = ΒΔ·ΓΕ.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι όμοια

β) Ποια γωνία του τριγώνου ΑΒΔ είναι ίση με τη γωνία 𝛤𝛢�̂�;

26) Έστω κύκλος διαμέτρου ΑΒ και ΑΓ μια τυχαία χορδή του. Έστω επίσης

τυχαίο σημείο Δ (εσωτερικό) της χορδής ΑΓ. Από το Δ φέρουμε κάθετη

στην ΑΒ που την τέμνει στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: ΑΔ·ΑΓ=ΑΒ·ΑΕ.

27) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Μια ευθεία διέρχεται από την

κορυφή Α και τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Ε και την προέκταση της ΔΓ στο

Ζ. Να αποδείξετε ότι: ΒΕ·ΔΖ=ΑΒ·ΑΔ.

28) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°). Εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ

σχεδιάζουμε τετράγωνο ΒΓΔΕ. Αν οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ τέμνουν την

ευθεία ΔΕ στα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι: ΔΕ2=ΕΖ·ΔΗ.

29) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , η διάμεσός του ΑΜ και σημείο Ε της ΑΓ , ώστε

𝛦𝛭�̂� = �̂�. Η παράλληλη από το Ε στη ΒΓ τέμνει την ΑΜ στο Δ. Να


α) τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΜΓ είναι όμοια

β) τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΕΔΜ είναι όμοια

γ) ΔΕ2 = ΔΜ·ΔΑ.

30) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ , �̂�=60° και σημείο Ζ της πλευράς ΑΔ. Η ευθεία

ΓΖ τέμνει τη ΒΔ στο Ρ και την προέκταση της ΒΑ στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

α) ΒΕ

ΓΔ=

ΒΓ

ΔΖ β) τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΔΒΖ είναι όμοια

γ) ΑΒ2 = ΕΒ·ΖΔ.


[9]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Α) Πυθαγόρειο Θεώρημα – Ορθές προβολές

31) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) με ΑΓ=15 και ΒΓ=25. Αν ΑΔ το

ύψος του τριγώνου ΑΒΓ , να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΒ , ΒΔ , ΔΓ

και ΑΔ.

32) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) με ύψος ΑΔ , για το οποίο

ισχύει ΒΔ=1 και ΒΓ=3. Να υπολογίσετε:

α) το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ

β) το μήκος της πλευράς ΑΒ

33) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) με ύψος ΑΔ , για το οποίο

ισχύει ΒΔ=2 και ΓΔ=8. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ , ΑΒ και

ΑΓ.

34) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) με ύψος ΑΔ και ΑΒ<ΑΓ. Αν η

περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 12 και η διάμεσός του ΑΜ έχει μήκος

5/2 , να υπολογίσετε:

α) τα μήκη των πλευρών του τριγώνου

β) τα μήκη των τμημάτων ΒΔ , ΔΓ και ΑΔ

35) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρος ΒΓ αυτού. Από σημείο Α του

κύκλου φέρνουμε την κάθετη στη ΒΓ. Αν ΒΓ=20 και ΔΓ=4ΒΔ , να

υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ


[10]

36) Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με περίμετρο 40 και έστω Ο το σημείο τομής

των διαγωνίων του. Αν Ε η προβολή του Ο στην ΑΒ με ΑΕ= 32

5, να

υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ.

37) Nα υπολογίσετε το ύψος και τις διαγωνίους ισοσκελούς τραπεζίου

ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ=20 , ΓΔ=8 και μη παράλληλες πλευρές ΔΑ=ΓΒ=10.

38) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές α=κ2+λ2 , β=2κλ και γ=κ2-λ2,

όπου κ>λ>0 , είναι ορθογώνιο.

39) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε �̂�=90° και υα= 𝛼√3

4. Να βρείτε τις γωνίες

�̂� και �̂�. (Υπόδειξη: δύο περιπτώσεις)

40) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο ισχύει 𝛢𝛣

3=

𝛢𝛤

4=

𝛣𝛤

5

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο

β) Αν ΑΔ το ύψος , να βρείτε τον λόγο ΔΒ

ΔΓ

41) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των διαμέσων κάθε

ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με τα 3

2 του τετραγώνου της

υποτείνουσας.

42) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε �̂�=90° και Δ τυχαίο σημείο της πλευράς

ΑΒ. Από το Δ φέρουμε ευθεία παράλληλη στη ΒΓ , που τέμνει την ΑΓ στο

Ε. Να αποδείξετε ότι: ΔΓ2+ΕΒ2=ΔΕ2+ΒΓ2.


[11]

43) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) και έστω ΑΔ το ύψος του. Αν

Ε το μέσο του ΑΔ , να αποδείξετε ότι: ΒΕ2+ΓΕ2+ 3

2 ΑΔ2=ΒΓ2.

44) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , με ΑΒ<ΑΓ , και το ύψος του ΑΗ. Αν Δ

και Ε οι προβολές του Η στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι:

ΑΓ·ΓΕ - ΑΒ·ΒΔ = ΑΓ2-ΑΒ2.

45) Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ και δύο χορδές του ΑΓ και ΑΔ , με

ΑΔ>ΑΓ. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές των Γ και Δ αντίστοιχα στην ΑΒ , να

αποδείξετε ότι : ΑΔ2-ΑΓ2 = ΑΒ·ΕΖ.

46) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε �̂�=90° , �̂�=30° και ΑΓ=β. Να υπολογίσετε,

ως συνάρτηση του β , τις προβολές των καθέτων πλευρών στην

υποτείνουσα.

47) Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και η διαγώνιος του ΒΔ. Από την κορυφή Α

φέρουμε κάθετη στη ΒΔ , η οποία τέμνει τη ΒΔ στο Ε και τη ΔΓ στο Ζ. Να


α) ΑΕ2+ΔΖ2 = ΕΖ2+ΒΓ2

β) ΔΕ·ΔΒ = ΑΕ·ΑΖ

γ) ΔΕ3 = ΕΒ·ΕΖ2

48) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο. Το

αντιδιαμετρικό σημείο του Α είναι το Δ. Η εφαπτομένη του κύκλου στο

σημείο Δ τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και

Ζ αντίστοιχα. Αν ΑΒ=4 , ΒΕ=8 και ΑΓ=6 , να βρείτε:

α) το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΓΖ

β) τη γωνία 𝛥𝛢�̂�


[12]

Β) Γενίκευση Πυθαγορείου Θεωρήματος

49) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με α=8 , β=6 και γ=5.

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο

β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς ΑΒ στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ

50) Να υπολογίσετε τη μεγαλύτερη γωνία τριγώνου ΑΒΓ , του οποίου τα

μήκη των πλευρών συνδέονται με τις σχέσεις β=2α και γ=√7α.

51) Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=11 παίρνουμε

σημείο Δ , ώστε να είναι ΒΔ=3 και ΔΓ=7. Να υπολογίσετε το μήκος του

ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ.

52) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , με α=3 , β=√2 και γ=√5. Να βρείτε:

α) το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες

β) τη γωνία �̂�

γ) την προβολή της πλευράς ΑΓ πάνω στην ΑΒ

53) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , με α=4 , β=6 και �̂�=60°. Να βρείτε:

α) το μήκος της πλευράς γ

β) το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες

γ) την προβολή της πλευράς ΒΓ πάνω στην ΑΒ

54) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=7 , ΒΓ=5√2 , και �̂� + �̂�= 45°. Να

υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ.


[13]

55) Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι γ2 = α2+β2-αβ , τότε να αποδείξετε

ότι �̂�=60° και αντιστρόφως (Να λυθεί με δύο τρόπους)

56) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις:

α2 = β2+γ2+βγ και β2 = α2+γ2-αγ√2 . Να βρείτε τη γωνία �̂�.

57) Έστω οξυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και ύψος ΓΔ. Να

αποδείξετε ότι ΒΓ2=2ΑΒ·ΒΔ.

58) Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψη ΒΔ και ΓΕ , να αποδείξετε ότι:

ΑΒ·ΒΕ+ΑΓ·ΓΔ = ΒΓ2

59) Έστω Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ με 𝛢𝛥�̂�<90°. Να

αποδείξετε ότι: ΑΒ2·ΓΔ+ΑΓ2·ΒΔ = ΑΔ2·ΒΓ+ΒΓ·ΒΔ·ΓΔ (Θεώρημα Stewart)

60) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ευθεία παράλληλη προς

τη ΒΓ που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να

αποδείξετε ότι: ΒΕ2 = ΕΓ2+ΒΓ·ΔΕ.

61) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου οι πλευρές α , β , γ είναι ανάλογες με

τους αριθμούς 6 , 5 , 4.

α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του.

β) Αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β , να αποδείξετε ότι

ΑΔ = α+β+γ

30 .

62) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , με ΑΒ<ΑΓ , και Δ τυχαίο σημείο της

πλευράς ΑΓ. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές των Α και Δ αντίστοιχα στη ΒΓ ,

να αποδείξετε ότι: ΑΓ2-ΔΓ2 = ΑΒ2-ΒΔ2+2ΒΓ·ΕΖ


[14]

63) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύουν: β=2γ και συνΒ

συνΓ=

2

3 . Να


α) α=γ√6

β) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο

γ) η προβολή της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΑΓ είναι ίση με γ

4 .

64) Δίνεται ένα ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ=2R. Στην προέκταση μιας

τυχαίας χορδής ΑΓ προς το σημείο Γ θεωρούμε ένα σημείο Δ. Να

αποδείξετε ότι: ΑΔ2-ΒΔ2 = 2ΑΔ·ΑΓ-4R2.

Γ) Θεωρήματα Διαμέσων

65) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=3 , ΒΓ=8 και �̂�=60°. Να υπολογίσετε το μήκος

της διαμέσου ΑΜ

66) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε β=6 , γ=4 και μα=4. Να υπολογίσετε:

α) την πλευρά α

β) την προβολή της διαμέσου μα στην πλευρά α.

67) Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ=6 , ΒΓ=12 και ΓΑ=8.

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο

β) Να υπολογίσετε τα μήκος της διαμέσου ΑΜ

γ) Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά

ΒΓ.


[15]

68) Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ , να αποδείξετε ότι:

α) μα2 + μβ

2 + μγ2 =

3

4 (α2 + β2 + γ2)

β) 16(μα2·μβ

2 + μβ2·μγ

2 + μα2·μγ

2) = 9(α2·β2 + β2·γ2 + α2·γ2 )

69) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) , να αποδείξετε ότι:

α) α2 + β2 + γ2 = 8 μα2

β) μβ2 + μγ

2 = 5 μα2

70) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ και την

κάθετη ευθεία προς την ΑΜ στο σημείο Μ που τέμνει την ΑΓ στο σημείο

Σ. Να αποδείξετε ότι: ΣΒ2+ΣΓ2 = 2ΣΑ2.

71) Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ προεκτείνουμε την πλευρά

ΒΓ κατά τμήμα ΓΔ=ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: ΑΔ2 = ΑΓ2+2ΒΓ2.

72) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάμεσός του. Από το σημείο Μ φέρουμε

ευθεία κάθετη προς την ΑΒ , που την τέμνει στο σημείο Δ. Να αποδείξετε

ότι: 3ΑΒ2+ΑΓ2-ΒΓ2 = 4ΑΒ·ΑΔ.

73) Oι πλευρές α , β , γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ικανοποιούν τη σχέση

β2+γ2=5α2. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που έχει πλευρές τις διαμέσους

του τριγώνου ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

74) Σε έναν κύκλο (Ο,R) παίρνουμε μια διάμετρο ΑΒ και δύο σημεία Γ και

Δ αυτής έτσι , ώστε ΑΓ=ΒΔ. Στο σημείο Δ φέρνουμε μια ημιευθεία κάθετη

προς την ΑΒ , η οποία τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΜΔ2 = ΔΑ·ΔΒ

β) ΜΓ2+ΜΔ2 = 2(R2+OΔ2)


[16]

75) Αν Κ το μέσο της διαμέσου ΑΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ , να αποδείξετε

ότι: β2+γ2 = ΚΒ2+ΚΓ2+ 3

2 μα

2.

76) Στην υποτείνουσα ΒΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τα

σημεία Δ και Ε , ώστε ΒΔ=ΔΕ=ΕΓ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ2+ΑΕ2=5

9 ΒΓ2.

77) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και

ΑΓ αντίστοιχα. Αν Κ είναι το μέσο του ΜΝ , να αποδείξετε ότι:

ΒΚ2 = 3𝛼2−2β2+6γ2

16 .

78) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α̂=120°.

α) Να αποδείξετε ότι α2 = β2+γ2+βγ

β) Αν επιπλέον β=2γ , να αποδείξετε ότι η διάμεσος μα του παραπάνω

τριγώνου ΑΒΓ είναι ίση με γ√3

2 .

79) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α , β , γ και διάμεσος ΑΜ=μα. Αν

ισχύει η σχέση: 2μα2 – βγ =

α2

2 , τότε:

α) να αποδείξετε ότι α2 = β2+γ2-βγ

β) να υπολογίσετε τη γωνία Α̂ .

80) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με α , β , γ ισχύει 3β2+2γ2 = 2α2. Να αποδείξετε ότι:

α) ισχύει η σχέση μα2 =

α2−β2

4 , όπου μα η διάμεσος στην πλευρά α

β) Α̂>90°


[17]

γ) η προβολή ΜΔ της διαμέσου ΒΔ στην πλευρά β είναι ίση με 3

4 β.

Δ) Μετρικές σχέσεις σε κύκλο

81) Έστω ΑΒ και ΓΔ δύο χορδές ενός κύκλου οι οποίες τέμνονται

εξωτερικά του κύκλου στο σημείο Σ. Αν ισχύει ότι: ΑΒ=9 , ΣΓ=4 και ΓΔ=5.

α) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΣΑ

β) Αν ΣΕ ένα εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου , να βρείτε το μήκος του

γ) Αν η ακτίνα του κύκλου είναι R=√13 , να βρείτε πόσο απέχει το σημείο

Σ από το κέντρο του κύκλου.

82) Έστω ΑΒ και ΓΔ δύο χορδές ενός κύκλου οι οποίες τέμνονται

εσωτερικά του κύκλου στο σημείο Ρ. Αν ισχύει ότι: ΡΑ=4 , ΡΒ=3 και

ΡΔ=3ΡΓ. Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΡΓ και ΡΔ.

83) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ=4. Η διάμεσος ΑΜ προεκτεινόμενη

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο Ε. Να

υπολογίσετε το γινόμενο ΑΜ·ΜΕ.

84) Σε κύκλο ακτίνας R=15 παίρνουμε σημείο Γ που απέχει από το κέντρο

απόσταση ίση με 10. Μια χορδή ΑΒ του κύκλου διέρχεται από το σημείο

Γ έτσι , ώστε ΑΓ=3ΓΒ. Να βρείτε το μήκος της χορδής ΑΒ.

85) Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο που έχει διάμετρο ΑΒ=8. Αν Κ το μέσο της

ΑΟ και ΓΔ η χορδή που διέρχεται από το σημείο Κ τέτοια , ώστε ΚΓ=3.

α) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΚΔ

β) Να υπολογίσετε το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος ΑΛ του κύκλου

που γράφεται με διάμετρο την ΟΒ.


[18]

86) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και σημείο Σ εκτός αυτού , που απέχει από το

κέντρο Ο του κύκλου απόσταση ΟΣ=20. Από το Σ φέρουμε τις τέμνουσες

ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου , ώστε ΣΑ=6 , ΣΒ=x-3 , ΣΓ=4 , ΓΔ=x και την

εφαπτομένη του κύκλου ΣΕ.

Να υπολογίσετε:

α) το x

β) την ακτίνα του κύκλου R

γ) το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος ΣΕ

87) Δίνεται κύκλος ακτίνας R=√13 , μια διάμετρός του ΒΓ και μια χορδή

του ΒΑ=4. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΓ και η προέκταση του ΒΜ τέμνει τον

κύκλο στο Δ , να βρείτε το μήκος του ΜΔ.

88) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β2+γ2=2α2. Αν η διάμεσος ΑΜ τέμνει τον

περιγεγραμμένο κύκλο στο Δ , να αποδείξετε ότι ΜΔ = α√3

6 .

89) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τον περιγεγραμμένο κύκλο του. Η

προέκταση της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου τέμνει τον κύκλο στο σημείο

Ε. Να αποδείξετε ότι: ΑΜ·ΑΕ = 1

2(β2+γ2).

90) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τον περιγεγραμμένο κύκλο του. Η

προέκταση της διχοτόμου ΑΔ του τριγώνου τέμνει τον κύκλο στο σημείο

Ε. Να αποδείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΕΓ είναι όμοια

β) ΑΔ2 = ΑΒ·ΑΓ-ΑΔ·ΔΕ

γ) ΑΔ2 = ΑΒ·ΑΓ-ΒΔ·ΓΔ


[19]

91) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και σημείο Α που απέχει από το Ο ίση με το μισό

της ακτίνας. Μια χορδή ΒΓ του κύκλου διέρχεται από το Α και ισχύει ότι: ΑΒ

3=

ΑΓ

4 . Να εκφράσετε συναρτήσει του R:

α) τη δύναμη του σημείου Α ως προς τον κύκλο (Ο,R)

β) το μήκος της χορδής ΒΓ

92) Θεωρούμε κύκλο (Ο,R) και ένα σημείο του Α. Με διάμετρο ΟΑ

κατασκευάζουμε ένα δεύτερο κύκλο και έστω Β ένα σημείο του.

Φέρουμε χορδή ΓΔ του πρώτου κύκλου (Ο,R) , η οποία διέρχεται από το

Β. Να αποδείξετε ότι: ΒΓ·ΒΔ = ΑΒ2.

93) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α , β , γ τέτοιες , ώστε να ισχύει

β2+γ2=3α2. Αν η διάμεσος ΑΜ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του

τριγώνου ΑΒΓ στο σημείο Ε , τότε:

α) να εκφράσετε τη διάμεσο ΑΜ ως συνάρτηση της πλευράς α

β) να αποδείξετε ότι ΑΜ·ΑΕ = 3α2

2 .

94) Θεωρούμε κύκλο (Ο,R) και μια διάμετρό του ΑΒ. Προεκτείνουμε την

ΑΒ κατά τμήμα ΑΡ και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΓ. Επίσης στο

σημείο Ρ φέρουμε ευθεία κάθετη στην ΑΡ , η οποία τέμνει την ευθεία ΒΓ

στο Δ. Να αποδείξετε ότι:

α) το τετράπλευρο ΑΓΔΡ είναι εγγράψιμο

β) ΡΒ2-ΡΓ2 = ΒΓ·ΒΔ

95) Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ , με ΑΒ>ΒΓ και έστω Ε η προβολή του Α στη

διαγώνιο ΒΔ. Αν οι ευθείες ΑΕ και ΒΓ τέμνονται στο Ζ , να αποδείξετε ότι:

α) το τετράπλευρο ΔΕΓΖ είναι εγγράψιμο

β) ΑΒ2 = ΒΓ·ΒΖ .


[20]

96) Δίνεται ένας κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρός του ΑΒ. Έστω (ε) ευθεία

η οποία εφάπτεται του κύκλου στο σημείο Α. Εκατέρωθεν του Α

θεωρούμε τα σημεία Μ και Ν της ευθείας (ε). Αν οι ΒΜ , ΒΝ τέμνουν τον

κύκλο στα σημεία Ρ , Κ αντίστοιχα , τότε:

α) να αποδείξετε ότι: ΜΒ2-ΑΒ2 = ΜΡ·ΜΒ

β) να αποδείξετε ότι: ΜΒ2-ΝΒ2 = ΜΡ·ΜΒ-ΝΚ·ΝΒ

γ) αν ΑΜ=R και ΑΝ=2R , να υπολογίσετε το λόγο ΝΚ2

ΜΡ2 .

97) Δίνεται ένας κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρός του ΑΒ. Από ένα σημείο

Μ του κύκλου , διαφορετικό από τα Α και Β , φέρνουμε κάθετη στη

διάμετρο ΑΒ , που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ζ και τη διάμετρο στο

σημείο Δ. Επί της διαμέτρου ΑΒ θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ=ΟΔ

και φέρνουμε τη ΜΓ , που τέμνει τον κύκλο στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

α) ΜΔ2 = ΑΔ·ΔΒ

β) ΜΓ·ΓΕ = ΜΔ·ΔΖ = R2-ΟΔ2

γ) ΜΓ2+ΜΔ2 = 2(R2+ΟΔ2)

δ) ΜΓ

ΓΕ+

ΜΔ

ΔΖ= 2

R2+ΟΔ2

R2−ΟΔ2

98) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Αν Ε και Ζ είναι οι

προβολές του Δ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι το

τετράπλευρο ΒΕΖΓ είναι εγγράψιμο.


[21]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10

Α) Εμβαδόν Βασικών ευθύγραμμων σχημάτων

99) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α̂=90°) ισχύει ΑΒ=6 και ΑΓ=8. Να βρείτε

το εμβαδόν του τριγώνου και το μήκος του ύψους που αντιστοιχεί στην

υποτείνουσα.

100) Ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει περίμετρο 14 και διαγώνιο ΒΔ=5. Να

υπολογίσετε το εμβαδόν του.

101) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ρόμβου ΑΒΓΔ , όταν ΑΒ=5 και ΒΔ=8. Στη

συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των απέναντι πλευρών του

ρόμβου.

102) Να υπολογίσετε το εμβαδόν τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) για το οποίο

ισχύει Α̂=�̂�=90° , �̂�=60° και ΒΓ=ΓΔ=10.

103) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ=3√5 , ΑΔ=6 , ΔΓ=8 , ΑΓ=10

και ΒΔ=9.

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο τραπέζιο

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του

104) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ρόμβου ΑΒΓΔ , όταν ΑΒ=10 και Α̂=60°.

105) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=6 , ΑΓ=3√3 και ΒΓ=3√7.

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο

β) Να βρείτε την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου που είναι ισοδύναμο με

το ΑΒΓ


[22]

106) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ , με βάσεις ΑΒ=2 , ΓΔ=9 και μη παράλληλες

πλευρές ΑΔ=5 και ΒΓ=4√2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ.

107) Δίνεται ένα ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ , ΑΒ<ΓΔ , Α̂=�̂�=90°,

ΑΒ=4 , ΑΔ=3 και ΒΓ=5. Να υπολογίσετε:

α) την προβολή της ΒΓ πάνω στη ΔΓ

β) το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ

γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΔΒΓ

108) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ , με διαγώνιο ΑΓ=6√2. Θεωρούμε σημείο Ε

της πλευράς ΓΔ , ώστε ΔΕ=2 και έστω Ζ η προβολή του Ε πάνω στην ΑΓ.

α) Να βρείτε το (ΑΒΓΔ)

β) Να βρείτε το (ΑΕΓ)

109) Έστω Δ τυχαίο σημείο της διαμέσου ΒΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να

αποδείξετε ότι (ΔΒΑ)=(ΔΒΓ).

110) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα τυχαίο σημείο Ι της

διαγωνίου ΒΔ. Από το σημείο Ι φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές ΑΒ

και ΑΔ , οι οποίες τέμνουν τις ΑΒ και ΓΔ στα σημεία Ε και Ζ και τις ΑΔ και

ΒΓ στα σημεία Η και Θ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (ΑΕΙΗ)=(ΙΘΓΖ).

111) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν τα σημεία Κ , Λ και Μ είναι μέσα των πλευρών

ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα του τριγώνου , να αποδείξετε ότι:

(ΑΚΜ)=(ΚΜΛ)=(ΜΛΓ)=(ΚΛΒ)=1

4 (ΑΒΓ).


[23]

112) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και από το μέσο Κ της διαγωνίου

ΒΔ φέρουμε τυχαία ευθεία , που τέμνει τις ΑΒ και ΓΔ στα σημεία Ε και Ζ

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (ΑΕΖΔ)=(ΒΓΖΕ).

113) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Δ τυχαίο σημείο της διαμέσου του ΑΜ.

Από το Δ φέρουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΓ , που τέμνει την ΑΒ στο Ζ

και ευθεία παράλληλη στην ΑΒ , που τέμνει την ΑΓ στο Η. Να αποδείξετε

ότι: (ΒΜΔΖ)=(ΓΜΔΗ).

114) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ<ΓΔ. Από το Β φέρουμε ευθεία

παράλληλη στην ΑΔ , που τέμνει τη ΓΔ στο Ε. Αν Μ είναι το μέσο του ΓΕ ,

να αποδείξετε ότι: (ΒΜΔ) = 1

2 (ΑΒΓΔ)

115) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΑΓ

κατά τμήμα ΓΕ=ΑΓ. Να αποδείξετε ότι: (ΒΓΔΕ)=(ΑΒΓΔ)

Β) Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου

116) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=2α , ΑΓ=α και �̂�=150° (α>0). Να

υπολογίσετε συναρτήσει του α το εμβαδόν του ΑΒΓ.

117) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ρόμβου ΑΒΓΔ , όταν ΑΒ=10 και �̂�=135°.

118) Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (�̂�=90°). Να αποδείξετε ότι:

(ΑΒΓ)=τ·(τ-α).


[24]

119) Να υπολογίσετε το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ με μήκη πλευρών α=5 ,

β=6 και γ=7.

120) Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι α=10 , β=12 και γ=14.

Να βρείτε:

α) το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες

β) το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου

γ) το εμβαδόν του τριγώνου

δ) την ακτίνα του εγγεγραμμένου και την ακτίνα του περιγεγραμμένου

κύκλου του τριγώνου

121) Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Κ τέτοιο , ώστε

𝛢𝛫�̂� = 𝛤𝛫�̂�=120° , ΚΑ=2 , ΚΒ=6 και ΚΓ=10. Να υπολογίσετε τα εμβαδά

των τριγώνων:

α) ΚΒΓ β) ΑΒΓ

122) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=1 και ΒΓ=√3. Να

υπολογίσετε:

α) τη γωνία �̂�

β) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

γ) τη διάμεσο ΒΜ

123) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , με �̂�=120° , β=2 και γ=4. Να υπολογίσετε:

α) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

β) την πλευρά α

γ) την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ

δ) το ημΓ


[25]

124) Αν ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ΑΒΓ , να

αποδείξετε ότι: ρ = βγ·ημΑ

α+β+γ .

125) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με β=1+√2 , γ=2 και εμβαδόν

(ΑΒΓ) = βγ√2

4 . Να υπολογίσετε:

α) το μήκος της πλευράς α

β) την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ

γ) το μήκος της προβολής της πλευράς ΑΒ πάνω στην πλευρά ΒΓ.

Γ) Λόγοι εμβαδών όμοιων σχημάτων

126) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με εμβαδόν (ΑΒΓ)=27. Στις πλευρές του ΑΒ και

ΑΓ θεωρούμε αντίστοιχα τα τμήματα ΑΔ=2

3ΑΒ και ΑΕ=

1

3ΑΓ. Να βρείτε το

εμβαδόν του τετράπλευρου ΔΕΓΒ.

127) Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Στο εξωτερικό του τριγώνου

κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Να αποδείξετε ότι:

(ΑΒΓ)=(ΑΕΗ).

128) Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε στην πλευρά ΑΒ τέτοια,

ώστε ΑΔ=ΔΕ=ΕΒ , τα σημεία Ζ και Η στην πλευρά ΒΓ τέτοια , ώστε

ΒΖ=ΖΗ=ΗΓ και τα σημεία Ι και Θ στην πλευρά ΑΓ τέτοια , ώστε ΑΙ=ΙΘ=ΘΓ.

Να αποδείξετε ότι:

α) (ΑΔΙ)=(ΒΕΖ)=(ΓΘΗ)= 1

9(ΑΒΓ)

β) 3(ΔΕΖΗΘΙ)=2(ΑΒΓ)


[26]

129) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από ένα σημείο Ο εσωτερικό του ΑΒΓ φέρουμε

κάθετες στις πλευρές ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ και πάνω σε αυτές παίρνουμε

τμήματα ΟΔ=ΑΒ , ΟΕ=ΒΓ και ΟΖ=ΓΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) (ΔΟΕ)=(ΑΒΓ)

β) (ΔΕΖ)=3(ΑΒΓ)

130) Σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ οι μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και ΒΓ

τέμνονται στο σημείο Κ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΑΓ και ΚΒΔ είναι

ισοδύναμα.

131) Αν ΑΔ η εσωτερική διχοτόμος ενός τριγώνου ΑΒΓ , να αποδείξετε ότι:

α) (ΑΒΔ)

(ΑΓΔ)=

ΑΒ

ΑΓ β) ΔΓ·(ΑΒΔ)=ΔΒ·(ΑΓΔ)

γ) ΔΒ

ΔΓ=

ΑΒ

ΑΓ

132) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ. Στις πλευρές του ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ παίρνουμε

τα σημεία Δ , Ε και Ζ αντίστοιχα , ώστε ΑΔ=1

2ΑΒ , ΒΕ=

1

3ΒΓ και ΓΖ=

1

4ΓΑ. Αν Ε

είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ , να υπολογίσετε συνάρτηση του Ε:

α) τα εμβαδά των τριγώνων ΔΒΕ , ΕΖΓ και ΑΔΖ

β) το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ.

133) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θεωρούμε σημείο Δ στην πλευρά ΑΒ τέτοιο,

ώστε ΒΔ=6 και σημείο Ε στην πλευρά ΑΓ τέτοιο , ώστε ΔΕ//ΒΓ. Αν

(ΔΕΓΒ)=8(ΑΔΕ) , να βρείτε:

α) τον λόγο (ΑΔΕ)

(ΑΒΓ)

β) το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ


[27]

134) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε των πλευρών ΑΒ

και ΑΓ αντίστοιχα τέτοια , ώστε: 3ΑΔ=ΑΒ και 4ΓΕ=ΑΓ. Προεκτείνουμε την

πλευρά ΓΒ κατά τμήμα ΒΖ τέτοιο , ώστε 2ΒΖ=ΓΒ. Αν ισχύει ότι (ΒΔΖ)=8 , να

υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΕ.

135) Θεωρούμε τρεις διαδοχικές γωνίες 𝑥𝛰�̂� , 𝜓𝛰�̂� και 𝑧𝛰�̂� έτσι , ώστε

𝑥𝛰�̂� = 𝜓𝛰�̂� = 𝑧𝛰�̂� = 150°. Στις ημιευθείες Οx , Οψ , Οz παίρνουμε τα

σημεία Α , Β , Γ αντίστοιχα , έτσι ώστε ΟΑ=2 , ΟΒ=4 και ΟΓ=6. Να


α) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΑ

β) τον λόγο των εμβαδών (ΟΑΒ)

(ΟΒΓ)

136) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με �̂�=45°. Ο κύκλος διαμέτρου ΒΓ τέμνει τις

πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το

τρίγωνο ΑΔΕ και το τετράπλευρο ΒΓΕΔ έχουν ίσα εμβαδά.

137) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της πλευράς ΑΒ. Προεκτείνουμε

την πλευρά ΒΓ προς το μέρος του Β κατά ευθύγραμμο ΒΔ= ΒΓ

2 και

φέρουμε την ΑΔ.

α) Να αποδείξετε ότι (ΔΕΒ)= 1

2 (ΑΔΒ)

β) Να βρείτε τους λόγους (ΔΕΒ)

(ΑΒΓ) και

(ΑΒΓ)

(ΑΔΓ)

γ) Αν ΑΜ η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ , να αποδείξετε ότι (ΒΔΕ)=(ΑΜΕ).


[28]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11

Α) Κανονικά Πολύγωνα – Εγγραφή βασικών κανονικών

πολυγώνων σε κύκλο

138) Να βρείτε το πλήθος των πλευρών κανονικού πολυγώνου , στο

οποίο:

α) η κεντρική γωνία είναι 72°

β) η γωνία του πολυγώνου είναι 144°

139) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία 130°

140) Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου είναι τετραπλάσια από την

κεντρική του γωνία. Να βρείτε:

α) το πλήθος ν των πλευρών του ν-γώνου

β) τη γωνία και τη κεντρική γωνία του ν-γώνου.

141) Να αποδείξετε ότι: λ42+λ6

2 = λ32

142) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R=100 και απόστημα αν=50√3.

Να βρείτε την πλευρά του λν και το εμβαδόν του Εν.

143) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R=10 και πλευρά λν=10√2. Να

βρείτε το απόστημά του αν και το εμβαδόν του Εν.


[29]

144) Σε κύκλο (Ο,R) με ακτίνα R=10 , παίρνουμε τα διαδοχικά τόξα

ΑΒ=120°, ΒΓ=90° και ΓΔ=60°. Να υπολογίσετε τις πλευρές και το εμβαδόν

του τετράπλευρου ΑΒΓΔ.

145) Nα υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου ως

συνάρτηση της ακτίνας του R.

146) Σε κύκλο (Ο,R) και εκατέρωθεν του κέντρου του θεωρούμε δύο

παράλληλες χορδές του ΑΒ και ΓΔ με ΑΒ=R και ΓΔ=R√2 . Να υπολογίσετε,

ως συνάρτηση του R , τις μη παράλληλες πλευρές του τραπεζίου ΑΒΓΔ ,

το ύψος του και το εμβαδόν του.

147) Σε κύκλο (Ο,R) και προς το ίδιο μέρος του κέντρου του θεωρούμε

δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ και ΓΔ με ΑΒ=R και ΓΔ=R√3 . Να

υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R , τις μη παράλληλες πλευρές του

τραπεζίου ΑΒΓΔ , το ύψος του και το εμβαδόν του.

148) Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R=4.

Να υπολογίσετε:

α) την πλευρά του λ3

β) το απόστημα του α3

γ) το εμβαδόν του Ε3

149) Το εμβαδόν ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R) είναι

32 cm2. Να βρείτε:

α) την ακτίνα R

β) το εμβαδόν κανονικού εξάγωνου που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο

(Ο,R).


[30]

150) Η γωνία φν ενός κανονικού πολυγώνου είναι 120° , ενώ η πλευρά

του είναι λν=12 cm.

α) Να αποδείξετε ότι το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου αυτού είναι

ν=6.

β) Να υπολογίσετε την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου και το

απόστημα αν.

γ) Να βρείτε το εμβαδόν του πολυγώνου.

151) Ένα κανονικό ν-γωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και

ακτίνα R=√8. Αν ισχύει ότι αν=2 , να βρείτε:

α) την πλευρά λν

β) το πλήθος ν των πλευρών

γ) το εμβαδόν του κανονικού ν-γώνου.

152) Έστω ΑΒΓ ένα ισόπλευρο τρίγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R)

και ΔΕΖ ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο (Ο,R). Να

βρείτε τον λόγο (ΑΒΓ)

(ΔΕΖ) .

153) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και οι χορδές του ΑΒ=R√3 , ΒΓ=R και ΓΔ= R√2.

α) Να βρείτε το μήκος της χορδής ΑΔ , συναρτήσει της ακτίνας R.

β) Να βρείτε τον λόγο (ΒΓΔ)

(ΑΒΔ)


[31]

Β) Μήκος κύκλου και τόξου

154) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα , ο οποίος αναφέρεται σε

τόξα κύκλου ακτίνας R=6.

Γωνία τόξου σε μοίρες Γωνία τόξου σε ακτίνια Μήκος τόξου 40

π

10

10π

3

π

2

72

155) Δύο τόξα ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου (Ο,R) έχουν μέτρα 36° και 𝜋

8 rad

αντίστοιχα. Αν το τόξο ΑΒ έχει μήκος 8π cm , να βρείτε:

α) την ακτίνα R

β) το μήκος του τόξου ΓΔ.

156) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) , για το οποίο ισχύει ΑΒ=5

και ΑΓ=12. Να βρείτε το μήκος:

α) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ

β) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

157) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς √48 cm. Να βρείτε το

μήκος:

α) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ

β) του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.


[32]

158) Δύο κύκλοι (Κ,ρ1) και (Λ,ρ2) έχουν διάκεντρο ΚΛ=2 και ακτίνες ρ1=1

και ρ2=√3.

α) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται

β) Να βρείτε το μήκος του καμπυλόγραμμου σχήματος που ορίζεται από

τα σημεία τομής των κύκλων και τα δύο ελάσσονα τόξα των κύκλων.

159) Τρία ίσα κέρματα εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά. Να αποδείξετε

ότι το μήκος του καμπυλόγραμμου τριγώνου που σχηματίζεται από τα

σημεία επαφής είναι ίσο με το μισό του μήκους του καθενός κέρματος.

160) Ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς 10 cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα

κύκλο. Να βρείτε το μήκος του κύκλου αυτού.

161) Σε ένα κύκλο (Ο,R) θεωρούμε τις διαδοχικές χορδές ΑΒ=R , ΒΓ=R√2

και ΓΔ=R√3. Να υπολογίσετε:

α) τις επίκεντρες γωνίες που αντιστοιχούν στα τόξα ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ και ΔΑ

β) τα μήκη των παραπάνω τόξων.

162) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Γράφουμε τα τόξα των

κύκλων (Α,α) , (Β,α) και (Γ,α) που περιέχονται στις γωνίες �̂� , �̂� και �̂�

αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την περίμετρο του καμπυλόγραμμου

τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση του α.

163) Δίνεται τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ. Με διάμετρο ΟΑ γράφουμε ημικύκλιο

στο εσωτερικό του τεταρτοκυκλίου και κύκλο C1 που εφάπτεται στο

ημικύκλιο , στο τόξο ΑΒ και στην πλευρά ΟΒ. Να αποδείξετε ότι το μήκος

του κύκλου C1 είναι ίσο με το μήκος του τόξου ΑΒ.


[33]

164) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με: ΑΒ=√2 , ΑΓ=2 και ΒΓ=1+√3. Γράφουμε το

τόξο ΑΔ του κύκλου (Β,ΒΑ) και το τόξο ΑΕ του κύκλου (Γ,ΓΑ).

α) Να αποδείξετε ότι �̂�=45° και �̂�=30°

β) Να βρείτε την περίμετρο του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΕΔ.

165) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 10√3 εγγεγραμμένο σε

κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R.

α) Να υπολογίσετε την ακτίνα R του κύκλου.

β) Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου ΑΓΒ

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κανονικού εξάγωνου που εγγράφεται

στον κύκλο.

Γ) Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

166) Ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Στο

τετράγωνο αυτό είναι εγγεγραμμένος ένας άλλος κύκλος (Ο,ρ). Να

βρείτε:

α) την πλευρά και το εμβαδόν του τετραγώνου

β) το εμβαδόν που περικλείεται από τον κύκλο (Ο,R) και το τετράγωνο

γ) το εμβαδόν που περικλείεται από το τετράγωνο και τον κύκλο (Ο,ρ)

167) Δίνεται ένας κύκλος (Ο,R) και δύο χορδές του ΑΒ=R√2 και ΑΓ= R√3

που βρίσκονται εκατέρωθεν της διαμέτρου ΑΟΔ. Να βρείτε το εμβαδόν

του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.


[34]

168) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°). Με διαμέτρους τις ΒΓ , ΑΒ

και ΑΓ γράφουμε ημικύκλια. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των

εμβαδών των μηνίσκων που σχηματίζονται είναι ίσο με το εμβαδόν του

τριγώνου ΑΒΓ. (οι παραπάνω μηνίσκοι είναι γνωστοί ως «μηνίσκοι του

Ιπποκράτη»)

169)

Η κυκλική πλατεία του παραπάνω σχήματος έχει ακτίνα R=40 m. Το

τετραγωνικό μέρος της πλατείας πρόκειται να πλακοστρωθεί. Στα

τέσσερα κυκλικά τμήματα θα τοποθετηθούν ισάριθμες κυκλικές

γλάστρες με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν και το υπόλοιπο μέρος θα

φυτευτεί με γκαζόν. Να βρείτε το εμβαδόν:

α) του μέρους που θα πλακοστρωθεί

β) του μέρους που θα καλύπτουν οι γλάστρες

γ) του μέρους που θα φυτευτεί γκαζόν.

(Δίνεται ότι: π(2√2 -1) = 5,75)

170) Να βρείτε το εμβαδόν των δύο κυκλικών τμημάτων που

σχηματίζονται από χορδή ΑΒ κύκλου (Ο,R) , συναρτήσει της ακτίνας R ,

όταν:

α) ΑΒ=R√2

β) ΑΒ= R√3

171) Δίνεται ένας κύκλος (Ο,R) και τα διαδοχικά σημεία του Α , Β και Γ

έτσι , ώστε ΑΒ= R√2 και ΒΓ= R√3. Να βρείτε το εμβαδόν του

μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.


[35]

172) Έστω ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά α. Με κέντρα τις κορυφές Α ,

Β , Γ και Δ και ακτίνα ίση με α

2 γράφουμε τόξα στο εσωτερικό του

τετραγώνου. Να βρείτε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τετράπλευρου

που σχηματίζεται.

173) Έστω ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά α. Με διαμέτρους τις πλευρές

του τετραγώνου γράφουμε ημικύκλια μέσα στο τετράγωνο. Να βρείτε:

α) την περίμετρο του τετράφυλλου που σχηματίζεται

β) το εμβαδόν του τετράφυλλου.

174) Δίνονται δύο κάθετες διάμετροι ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου (Ο,R). Με

κέντρο το σημείο Γ και ακτίνα ΓΑ φέρνουμε δεύτερο κύκλο. Να

αποδείξετε ότι ο μηνίσκος που σχηματίζεται έχει εμβαδόν R2.

175) Δίνεται ένας κύκλος (Ο,R) και έστω ΑΒ=R μια χορδή του. Έστω ε η

εφαπτομένη ε στο σημείο Α. Αν ΒΓ κάθετη στην ευθεία ε , να βρείτε το

εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.

176) Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο,R) και (Ο,ρ) , με R>ρ και μια

χορδή ΑΒ του (Ο,R) που εφάπτεται στον (Ο,ρ). Να αποδείξετε ότι το

εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου που ορίζεται από τους κύκλους (Ο,R)

και (Ο,ρ) ισούται με το εμβαδόν του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ.

177) Δίνεται τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ ακτίνας R και ημικύκλιο διαμέτρου ΟΒ

στο εσωτερικό του. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του

μεικτόγραμμου τριγώνου ΟΑΒ , συναρτήσει του R.


[36]

178) Θεωρούμε τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ κέντρου Ο και ακτίνας R. Ο κύκλος

(Α, ΑΟ) τέμνει το τεταρτοκύκλιο ΑΟΒ στο Γ. Να βρείτε συναρτήσει του R

την περίμετρο και το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΟΒΓ.

179) Α Β

Δ Γ

Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ του παραπάνω σχήματος με διαγώνιο: ΒΓ=2√2 , οι

πλευρές ΒΓ και ΑΔ είναι διάμετροι των δύο εφαπτόμενων ημικυκλίων. Να


α) την πλευρά του τετραγώνου

β) το εμβαδόν του τετραγώνου

γ) το εμβαδόν του χρωματισμένου χωρίου.

180) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 4 cm. Με διαμέτρους ΑΔ και ΒΓ

γράφουμε κύκλους που εφάπτονται στο σημείο Μ. Να υπολογίσετε:

α) το εμβαδόν του τριγώνου ΜΚΒ , όπου Κ το μέσο της ΒΓ

β) το εμβαδόν του μεικτόγραμου τριγώνου ΑΜΒ.

181) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και ΑΒ μια χορδή του με ΑΒ=R. Έστω (ε) η

εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α και Γ η προβολή του Β πάνω στην

(ε). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.

182) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (�̂�=90°) με ΑΒ=15 και ΒΓ=25. Με

κέντρο το Α γράφουμε το τεταρτοκύκλιο ΖΗ που εφάπτεται στη ΒΓ στο

σημείο Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το

τρίγωνο ΑΒΓ και το τεταρτοκύκλιο ΖΗ.


[37]

183) Τρεις κύκλοι (Κ1,ρ1) , (Κ2,ρ2) και (Κ3,ρ3) εφάπτονται ανά δύο

εξωτερικά στα σημεία Α , Β και Γ. Αν ρ1=ρ2=√2 και ρ3=2-√2 , τότε:

α) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Κ1Κ2Κ3 είναι ορθογώνιο

β) να υπολογίσετε την περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ

γ) να υπολογίσετε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.

184) Δύο κύκλοι με ακτίνες R και 3R εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α.

Αν ΒΓ είναι μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους , να υπολογίσετε

συναρτήσει του R

α) την περίμετρο και το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ

β) το εμβαδόν του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου του

τριγώνου ΑΒΓ.

185) α) Ένας τετραγωνικός κήπος έχει πλευρά 40√2 m. Στις τέσσερις

κορυφές των γωνιών του κήπου τοποθετούνται περιστρεφόμενοι

μηχανισμοί ποτίσματος που έχουν τη δυνατότητα να ποτίζουν κυκλικές

περιοχές (κυκλικούς δίσκους) ακτίνας 25 m. Να βρείτε το εμβαδόν του

κήπου που δεν ποτίζεται , όταν λειτουργούν ταυτόχρονα και οι τέσσερις

μηχανισμοί.

β) Ένας πέμπτος μηχανισμός , που τοποθετείται στο κέντρο του κήπου

και ποτίζει μια κυκλική περιοχή αυτού, λειτουργεί ταυτόχρονα με τους

άλλους τέσσερις. Ποια είναι η ακτίνα της μεγαλύτερης κυκλικής

περιοχής, που πρέπει να ποτίζει ο κεντρικός μηχανισμός , έτσι ώστε

καμία περιοχή του κήπου να μην ποτίζεται από δύο ή περισσότερους

μηχανισμούς;

γ) Πόσο είναι το εμβαδόν του κήπου που παραμένει απότιστο στην

περίπτωση β);

δ) Ποια είναι η ακτίνα της μικρότερης κυκλικής περιοχής που πρέπει να

ποτίζει ο κεντρικός μηχανισμός έτσι , ώστε καμία περιοχή του κήπου να

μην μείνει απότιστη , όταν λειτουργούν και οι πέντε μηχανισμοί

ταυτόχρονα;


[38]

186) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , με β=3√2 , γ=5 και μα=√37

2 .

α) Να βρείτε την πλευρά α

β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες

γ) Να βρείτε τη γωνία �̂�

δ) Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πλευράς γ πάνω στην

πλευρά α

ε) Να βρείτε το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ

στ) Αν ο κύκλος (Γ,ΓΑ) τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Η , να βρείτε το

εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΗ.

187) Α Β

Δ Ε Ζ Γ

Στο παραπάνω σχήμα δίνεται η πρόσοψη μιας σήραγγας (τούνελ). Αν

ΑΔ=ΒΓ=10m , ΔΕ=ΖΓ=6m και ΕΖ=10m , τότε να υπολογίσετε:

α) το ύψος ΑΕ

β) το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ

γ) το εμβαδόν του ημικυκλίου με διάμετρο ΕΖ (δίνεται π=3,14)

δ) το κόστος της επένδυσης της πρόσοψης (μη χρωματισμένο μέρος) με

πέτρα , αν η επένδυση κοστίζει 40€ ανά τετραγωνικό μέτρο.

188) Β

Α Γ

Δ

Δίνεται κύκλος (Ο,R) και μια διάμετρός του ΑΓ. Η μεσοκάθετος της

ακτίνας ΟΑ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β , Δ , όπως στο παραπάνω

σχήμα.


[39]

α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=R√3

β) Να υπολογίσετε , ως συνάρτηση του R , το εμβαδόν του τετράπλευρου

ΑΒΓΔ

γ) Να υπολογίσετε , ως συνάρτηση του R , το εμβαδόν του

χρωματισμένου κυκλικού τμήματος.

189)

Α Γ Δ Β

Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ=6α . Διαιρούμε τη διάμετρο ΑΒ σε τρία

ίσα τμήματα ΑΓ=ΓΔ=ΔΒ. Με διαμέτρους τα ΑΓ , ΓΔ και ΔΒ γράφουμε τρεις

ίσους κύκλους. Να υπολογίσετε:

α) το εμβαδόν του κύκλου με διάμετρο ΑΒ

β) το εμβαδόν του καθενός των τριών κύκλων

γ) το λόγο του αθροίσματος των εμβαδών των τριών ίσων κύκλων προς

το εμβαδόν του κύκλου (Ο,ΟΑ)

δ) το εμβαδόν του χρωματισμένου χωρίου που βρίσκεται έξω από τους

τρεις κύκλους.

190) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ=R και

ΓΔ=R√3 , οι οποίες βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του Ο. Να βρείτε ,

συναρτήσει του R , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον

κύκλο (Ο,R) και τις χορδές ΑΒ και ΓΔ.


[40]

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β (Ε.Μ.Ε.)

191)

Ένα στρατόπεδο σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α φωτίζεται

από έναν προβολέα πάνω σε μια κολώνα στο κέντρο του στρατοπέδου.

Ο προβολέας είναι τοποθετημένος κατακόρυφα , ώστε η φωτεινή

περιοχή να σχηματίζει κύκλο.

α) Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου , ώστε να φωτίζεται ο χώρος μέχρι

την περίφραξη του στρατοπέδου.

β) Να βρείτε το εμβαδόν που μένει σκοτεινό.

γ) Στις τρεις γωνίες του στρατοπέδου μπήκαν τρεις ακόμη προβολείς

όμοιοι με τον αρχικό και με την ίδια τοποθέτηση. Ποιο είναι το εμβαδόν

της περιοχής που μένει σκοτεινό τώρα;

δ) Θα είχαμε καλύτερα αποτελέσματα αν καταργούσαμε τον μεσαίο

προβολέα και στις τρεις άκρες τοποθετούσαμε προβολείς φωτεινού

κύκλου ακτίνας α

2 ;

192) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ τυχαίο σημείο της πλευράς του ΒΓ. Έστω

Δ και Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Η ευθεία ΕΜ τέμνει

την ΑΒ στο σημείο Λ και η ευθεία ΜΔ την ΑΓ στο σημείο Κ. Αν ισχύει ότι

ΑΘ//ΔΕ , να αποδείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα ΑΘΔ και ΔΒΜ είναι ίσα

β) ΚΑ

ΚΕ =

ΒΜ

ΔΕ

γ) ΑΜ//ΚΛ


[41]

193) Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με �̂�>90° , ΑΒ=5 , ΑΓ=3 και

(ΑΒΓ)= 154

.

α) Να υπολογίσετε τη γωνία �̂�

β) Να βρείτε το ύψος υα

γ) Να βρείτε το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

194) Σε κύκλο (Ο,R) φέρουμε διάμετρο ΑΒ και χορδή ΑΓ=R.

Προεκτείνουμε τη ΒΓ κατά τμήμα ΓΔ=ΓΒ και στη συνέχεια φέρουμε τη ΔΑ

που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ζ.

α) Να δείξετε ότι ΒΓ=R√3

β) Να υπολογίσετε τη χορδή ΑΖ

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΔΓ.

195) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=4λ , ΑΓ=5λ και �̂�=60° (λ>0).

α) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΓ

β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

γ) Να υπολογίσετε το ύψος ΑΕ του τριγώνου

δ) Αν Η το ορθόκεντρο του ΑΒΓ , να υπολογίσετε το γινόμενο ΑΗ·ΑΕ.

196) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και τα διαδοχικά σημεία του Α , Β , Γ τέτοια ,

ώστε να ισχύει ΑΒ=λ6 και ΒΓ=λ3.

α) Να εξηγήσετε γιατί η ΑΓ είναι διάμετρος του κύκλου

β) Να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ

γ) Αν Μ το μέσο της ΒΓ , να βρείτε το (ΑΜΓ)

δ) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των κυκλικών τμημάτων που

ορίζονται από τις χορδές ΑΒ και ΒΓ


[42]

ε) Αν η προέκταση της ΑΜ τέμνει τον κύκλο στο Δ , να αποδείξετε ότι

ΜΔ=3R√7

14

στ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΜΔ.

197) Από σημείο Ρ εκτός κύκλου (Ο,R) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα

ΡΑ και ΡΒ του κύκλου. Αν 𝛢𝛲�̂�=60° , να υπολογίσετε:

α) τη γωνία 𝛢𝛰�̂�

β) τα μήκη των εφαπτόμενων τμημάτων ΡΑ και ΡΒ συναρτήσει της

ακτίνας R

γ) το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου ΡΑΒ συναρτήσει της ακτίνας R.

198) Δίνονται οι κύκλοι (Κ,R) και (Λ,Ρ) με Ρ=R√3 και διάκεντρο ΚΛ=2R.

Αφού διαπιστώσετε ότι οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία , τα οποία

ονομάζουμε Α και Β , τότε:

Να υπολογίσετε , ως συνάρτηση του R , το εμβαδόν του κοινού τους

μέρους.

199) Θεωρούμε κύκλο (Ο,R) και δύο ακτίνες του ΟΑ και ΟΒ οι οποίες

τέμνονται κάθετα. Ο κύκλος (Α,R) τέμνει το τόξο ΑΒ στο σημείο Μ και η

προέκταση της ΑΜ τέμνει την προέκταση της ακτίνας ΟΒ στο σημείο Δ.

α) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του χωρίου που ανήκει

στον κυκλικό τομέα ΟΑΒ και εξωτερικά του κύκλου (Α,R)

β) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του μεικτόγραμμου

τριγώνου ΜΒΔ.


[43]

200)

Στο προηγούμενο σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (�̂�=90°) και

ισοσκελές με ΒΓ=α. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε κύκλους με

κέντρα Β και Γ και ακτίνες το μισό της ΒΓ που τέμνουν τις πλευρές ΑΒ και

ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Στη συνέχεια με κέντρο το Α και ακτίνα

ΑΔ φέρουμε ένα τρίτο κύκλο. Να υπολογίσετε το μήκος της περιμέτρου

και το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας , συναρτήσει του α.

«Όποιος μπορεί λίγο , μπορεί και πολύ»

Αρχιμήδης

200 άλυτες ασκήσεις γεωμετρίας κοπάδης

Education