第 回数値流体力学シンポジウム 20F9-5

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フェーズフィールド界面追跡法による二相流数値シミュレーション

Numerical Simulation of Two-phase Flows Using Phase-Field Interface-Tracking Method

○ 高田尚樹, 産総研, 〒305-8564 茨城県つくば市並木 1-2-1, E-mail: naoki-takada@aist.go.jp 広川景俊, 神戸大, 〒657-8501 神戸市灘区六甲台町 1-1, Email: hirokawa@cfrg.scitec.kobe-u.ac.jp 林 公祐, 神戸大, 〒657-8501 神戸市灘区六甲台町 1-1, Email: hayashi@cfrg.scitec.kobe-u.ac.jp 冨山明男, 神戸大, 〒657-8501 神戸市灘区六甲台町 1-1, E-mail: tomiyama@mech.kobe-u.ac.jp Naoki TAKADA, Natl. Inst. of AIST, 1-2-1 Namiki, Tsukuba, Ibaraki 305-8564, Japan Keishun HIROKAWA, Kobe University, 1-1 Rokkodai-cho, Nada, Kobe, Hyogo 657-8501, Japan Kosuke HAYASHI, Kobe University, 1-1 Rokkodai-cho, Nada, Kobe, Hyogo 657-8501, Japan Akio TOMIYAMA, Kobe University, 1-1 Rokkodai-cho, Nada, Kobe, Hyogo 657-8501, Japan

For interface-tracking simulation of two-phase flows in micro-fluidics devices, Navier-Stokes phase-field method (NS-PFM) was examined, which is a combination of NS equations with phase-field model for interface based on the free-energy theory. A new version of NS-PFM which we have proposed was applied to flow problems of immiscible, incompressible, isothermal two-phase fluid on wetted solid surface at a high density ratio equivalent to that of an air-water system. Thermal non-ideal fluid flows with phase change around a critical point were simulated using another version of NS-PFM which solves a full set of NS equations and the van-der-Waals equation of state by the MacCormack finite difference scheme. The numerical results demonstrated the applicability of both NS-PFM.

１．はじめに

近年開発が進むμ-TAS等のマイクロスケールの各種熱流体デバ

イス(1)は，気液・液液二相の固体表面濡れ性や相変化を利用して

高効率・高精度の熱物質移動操作を実現する．それらデバイス内

のマイクロ流路の最適化設計では，室内実験で観測困難な多次元

的な流動現象をコンピュータによる数値実験を通してより詳細に

理解することが必要不可欠となっている．本研究では，そのため

の新しい二相流計算法としてフェーズフィールド法（PFM）(2)-(8)の

適用性の検討を目的とし，自由エネルギーを導入した界面追跡機

能の特徴と，不均一な濡れ性を持つ流路内の等温高密度比二相流，

および相変化を伴う非理想流体流れの計算結果を示す．

２．フェーズフィールド法（ Phase-field Method, PFM ） PFM(2)では，非平衡熱力学の自由エネルギー理論(9)に従って，二

相共存の平衡状態をその系の自由エネルギー汎関数Ψ の最小値

によって定義する．最も一般的で簡素なΨ の形は次式である．

( ) 2,2

d T κψ φ φ⎧ ⎫Ψ = + ∇⎨ ⎬⎩ ⎭∫ x (1)

ここで，φ は界面形状を表す秩序変数（質量密度ρ，モル濃度な

ど），Tは温度，ψ はφ に関する二重井戸ポテンシャル，第 2 項は

密度勾配に起因する界面でのエネルギー増加を表し，比例係数κ は表面張力と界面厚さに関係する．保存系の二相では，T が臨界

値より低い時，Ψ の値を最小化するように相分離（φ の不均一な

空間分布）が自律的に生じる(2)． 式(1)からは，熱力学的定義に従って，以下の圧力テンソルP，表面張力σ および化学ポテンシャルη が導かれる(2)-(9)．

22

2p κκ φ φ φ κ φ φ⎛ ⎞≡ − ∇ − ∇ + ∇ ⊗∇⎜ ⎟

⎝ ⎠P I (2)

2 dxσ κ φ+∞

−∞≡ ∇∫ (3)

2δ ψη κ φδ φ φ

Ψ ∂≡ = − ∇

∂ (4)

ここで，pは均質系での圧力，Iは2階の等方テンソル，式(3)はx軸に垂直で平坦な界面に対する定義である．Diffuse-interface Methodとも呼ばれるPFMで平衡条件η =一定で現れる界面は，φ

や物性の連続的な遷移領域に相当し，κ 0.5に比例する厚さを持つ(2),(7),(8),(10)． ３．基礎方程式と数値解法

ここで 2 種類の二相流に対するPFMの基礎方程式(2)と今回使用

した数値スキームを簡単に述べる．方程式を数値的に解く際には，

空間の座標系と離散化，時間進行，移流演算，圧力・速度の求解

アルゴリズム等に関して様々な選択が考えられる．本研究では，

PFMの能力の基礎評価と基盤計算コードの開発が目的であるた

め，出来る限り簡素で基本的な計算技法を採用した(7), (8),(11)-(13)． 3. 1 非混和性二相 非混和性二成分二相流体の計算法は，格子ボルツマン法（Lattice Boltzmann Method, LBM）(14),(15)の二相系モデル(16)-(23)が示すように，

連続の式，σ の効果を含むPを導入したNavier-Stokes（NS）方程式

およびη を含む変数φ のカーン･ヒリアード（Cahn-Hilliard, CH）移流拡散方程式(5)を連立して解く(3),(5),(7),(8),(17),(18)（uは流速）．

( ) [ ]( )tφ φ φ η∂

+ ∇⋅ = −∇⋅ − Γ ∇∂

u (5)

易動度（Mobility）Γ(φ)は物理的意味では物質の拡散性を与えるが，

界面の移流計算において数値安定性を確保する役割も担う(7),(8),(11)．

高密度比の非圧縮性二相流問題に適用できるPFM(7),(8),(11)-(13),(17),(18)

では，式(2)と(3)の変数φを流体の密度に置き換えて，Projection法を用いて圧力と流速を求める．なお本研究では，式(2)と(4)のκ を各々異なる係数として扱い(17)，σ と界面厚さを独立に調整した(7),(8)． 次節で述べる数値シミュレーションでは，液相に対する固体表

面の濡れ性の境界条件を次式によって考慮した(2),(19),(20)．

Snφφκ γ∂

= −∂

(6)

ここでnは固体表面の法線方向を示し，Wetting potentialと呼ばれる

パラメータγ S は界面と固体面との接触角θWを調整する(19),(20)． 本研究では，高密度比二成分二相流の計算に以下で述べるNS，CH方程式の直接数値解法NS-PFM(7), (8),(11)-(13)を適用した．まず，3次元デカルト座標系(x, y, z)の下で幅Δx=Δy=Δz=1 の立方セルの

Euler格子によって空間を一様に離散化し，スカラー・ベクトル各

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変数をスタガード状に配置した．セル表面上のスカラー変数は、

法線方向に隣接する4個のセル中心での値から4次精度の補間で

与えた．また，uとφ の時間更新では 2 次精度Runge-Kutta法(Δt =一定)を用いた．なお本研究ではNS方程式とCH方程式(5)を同じ空

間・時間解像度で解いたが，これらは本来両式で一致させる必要

はない．各時刻のuと圧力はProjection法を用いてNS方程式から求

めた．その際，uがソレノイダル条件を満たすようにSOR法を用

いて圧力Poisson方程式を解いた．NS式では，移流項，圧力項，粘

性項の各々を，3時精度風上差分，4次精度中心差分，2次精度中

心差分で近似した．一方のCH方程式(5)では，移流・拡散両項を

有限体積法に従って4次精度中心差分で近似した．スカラー量の

空間微分も4次精度中心差分近似で評価した． 3. 2 一成分二相 水-蒸気のように相変化を伴う一成分系のPFM(2),(4),(6),(24),(25)では，

式(2)のpに非理想流体の状態方程式を適用して質量・運動量・エ

ネルギー保存式を解く．

( )tρ ρ∂

= −∇⋅∂

u (7)

( )t

ρ ρ∂= ∇⋅ − ⊗ − +

∂u u u P τ (8)

( ) ( )SE E k Tt

κ ρ ρ∂⎡ ⎤= ∇⋅ − + − + ⋅ + ∇ − ∇⋅ ∇⎣ ⎦∂

u P τ u u (9)

P は式(2)同様，表面張力σ の効果を含む圧力テンソルである．粘

性応力テンソルτ にはNewton流体の仮定を適用した． 22 1

2S S Sp κ ρ ρ κ ρ κ ρ ρ⎛ ⎞= − ∇ − ∇ + ∇ ⊗ ∇⎜ ⎟⎝ ⎠

P I (10)

( ) ( )23

Tμ μ⎡ ⎤= ∇⋅ ∇ + ∇ − ∇⋅⎢ ⎥⎣ ⎦τ u u u I (11)

係数κSは，前出の式(3)と同様のσ の定義(3)に従う(2),(4),(6),(8)． 2

S dσ κ ρ ξ (12) +∞

−∞≡ ∇∫

PFMの基盤研究に当たる現段階では，臨界点近傍の非理想流体を

扱い(4),(6),(25)，次の密度勾配依存のEとvan der Waalsの状態方程式p (24),(25)を式(8), (9)で考慮した．

( ) 2212 2

SE cT A κρ ρ ρ= + − + ∇u ρ (13)

2

1Tp AB

ρ ρρ

= −−

(14)

ここでA，Bは流体粒子間の長距離引力作用と短距離反発作用の強

さのパラメータ，cは定容比熱，Tは温度である(24),(25)． 一成分系二相流のPFM(2),(4),(6),(24),(25)においても，二成分系の式(6)

と同様の次式によって固体表面での液体の濡れ性を考慮できる(4)．

S Snρκ γ∂

= −∂

(15)

本法による計算ではθW=90度の条件γS=0を用いた(27),(28)． 本節冒頭でも述べたように，上記のNS方程式(7)-(9)を解くには

LBM(24),(25)を含めて様々な方法が利用できる．著者らは，PFMの基

礎研究段階にあたる現在，良く知られる簡便な数値解法として 3次 4 階微分形陽的人工粘性項を入れたMacCormack有限差分スキ

ーム(24)を使用し，臨界点近傍で温度変化を伴う圧縮性流れ場を計

算している(27),(28)． ４．二相流数値シミュレーション

4. 1 界面移流問題のベンチマーク計算 まず，上述のフェーズフィールド法が有する二相流体界面移

流・再構成の特徴を調べるため，次のvan der Waalsモデル(16),(17)，

Swiftら(16)およびBadalassiら(5)による 3 種類のバルク自由エネルギ

ー関数ψ (φ )に基づくCH方程式(5)を使用して2次元円形界面の非

定常移流問題を計算した．

2( ) ln1

TB

φ Aψ φ φ φφ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

(16)

( ) ( )

( )

2 1( ) 1 1 ln2 2

11 ln2 2

CT TT

T2φψ φ φ φ

φφ

+⎛ ⎞= − − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞+ − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(17)

( ) ( )2 2( ) / /

4αψ φ φ β α φ β α= − + (18)

上式の正値のパラメータA, B, T, TC, α, β は，φ によって描かれる界

面の厚さ形状を決める(7),(8),(29)．以下の計算では，上記 3 関数の適

用において界面厚さがほぼ同じになるようにη の係数κ の値を設

定した(29)．式(16)の場合，A=B=1，T=0.293，κ=0.1を用いている． Fig.1に，線形移流問題での界面指標関数φの空間分布を示す（界

面形状はφ の中間値の等高線として実線で描かれる）．ここでは，

周期境界で囲まれる(x, y)空間を幅Δx=Δy=1の正方形セルで一様に

離散化し，初期直径d=32Δxの円形流体を含む領域全体を一定速度

U=(u, v)で斜め 45 度方向へ動かした．φ の初期値設定では，界面

の曲率に依存する局所的な化学ポテンシャルバランスを考慮した(7),(8)．式(15)-(17)のいずれの場合も，クーラン数C=uΔt/Δx=0.1 で，

流体は無次元時刻t*=tu/d=25でもなお界面は一定の厚さ（約8.96）(27)と初期形状を維持した（Fig.1）．また，界面（図中実線）で囲

0 10 20-0.1

0

0.1

A(t* )/A

(t* =0) -

1

Dimensionless time t*=tU/d

van der Waals modelSwift modelBadalassi model

Fig.2: Conservation error of area A(t*) of 2D circular-shaped fluid in linear translation at C=0.1

256

256

32

x

y

Δx=Δy=1

φ

Fig.1: Interfacial profile of two-phase fluid at time t*=t u/d=25 in linear translation at Courant number C= uΔt/Δx=0.1

(a) 2D computational domain (b) van der Waals model, Eq.(15)

(c) Swift model, Eq.(16) (d) Badalassi model, Eq.(17)

φ φ

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まれた円形領域の面積A(t*)（空間セル数で評価）は，Cの各値に

対して±1%以内の誤差で保存された（Fig.2）(7),(8),(12)．続くFig.3 と

Fig.4は，同じ流体界面に対する一定角速度の回転移流問題で得ら

れた計算結果を示す．線形移流の結果と同様に，どの自由エネル

ギーを採用しても，界面の形状と厚さおよび流体体積（面積）は

時刻t*= 25に至るまで高精度で保持され続けた(7),(8),(12)．

4. 2 高密度比二相流シミュレーション 本節では，著者らが提案する上述のNS-PFM (7),(8),(11)-(13)を使用し

た高密度比非圧縮性等温二相流の3次元数値シミュレーションの

結果を示す．本計算では，空気-水系に相当する液相Lと気相Gの密度比ρL/ρG=801.4および粘性比μL/μG=73.76を設定した． (1) 平板上の液滴の静的接触角 自由エネルギー理論に基づく

濡れ性境界条件の式(6)を組み込んだNS-PFMの妥当性を検証する

ため，固体表面に付着する静止液滴の数値実験を実施した．対象

として，無重力下で空気中の平板上に置かれた半球型の水滴を想

定し，その初期直径約 16mmを 32 個の空間セルによって表した．

計測結果のFig.5に示すように，再現される界面の曲率と接触角θW

はパラメータγSの数値に依存して連続的に変化し，指標変数φ や密度ρの断面分布で描かれる界面の厚さは固体表面近傍でも一定

であった．以上により，本計算法は高密度比二相流で撥水性から

親水性まで固体表面の液体濡れ性を簡潔な境界条件を用いて再現

できることを実証した． (2) マイクロチャネル内流れ ここでは，一辺Ly=20Δy=Lz=20Δzの正方断面と長さLx=70Δxを持つ矩形管（Fig.6）内における空気-水相当の高密度比二相流の3次元計算について述べる．管壁面で

はφ の法線方向勾配に濡れ性境界条件(2)を適用し，接触角θW =119°の撥水性面とその一部に長さaの親水性領域（θW =60°）を設置し

た．液相を管の一端から一定速度Uinで一様に流入させ，流出側に

は速度・密度の勾配 0，一定圧力P0を設定した．Capillary数Ca =μL|Uin|/σ = 0.275，Reynolds数Re=ρLLz|Uin|/μL =1.99×10-2の計算結果

（Fig.7）では，親水性面に接する界面の移動はaの増加とともに

毛管力によって局所的により一層加速されることを確認した．

Surface of solid wall

Wθ

Liquid

dD=32Δx (initial)

Gas

Interface

ρ =(ρG+ρL)/2

z

φ

ρ

ρG ρL

0.265 0.405

Interface

Wθ

ρG ρL

0.265 0.405

Interface

Wθ

ρG ρL

0.265 0.405

Interface

Wθ

ρG ρL

0.265 0.405

Fig.5: Contact angle of single drop on solid wall with wetting potential γS in a stagnant gas at density ratio ρL/ρG =801.7 under no gravity

(a) γS=5×10-4, θW=104º (b) γS =2.5×10-4, θW=96º

(c) γS=-2.5×10-4, θW=84º (d) γS =-5×10-4, θW=76º

0 10 20-0.1

0

0.1

A(t

Dimensionless time t*=tU/d

* )/A(t* =0

) -1

van der Waals modelSwift modelBadalassi model

Fig.4: Conservation error of area A(t*) of 2D circular-shaped fluid at time t* in linear translation at C=0.1

256

256 32

x

y

x

y

Δx=Δy=1

φ

Fig.3: Interfacial profile of two-phase fluid at t*=25 in rotational translation at Courant number C= 0.1

(a) 2D computational domain (b) van der Waals model, Eq.(16)

(c) Swift model, Eq.(17) (d) Badalassi model, Eq.(18)

φ φ

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(3) 不均一な濡れの固体面上の液滴挙動 次に，無重力の気相

中で濡れ性が異なる固体表面上に置かれた，半球状の単一液滴の

3次元挙動を計算した．32セル幅の液滴径は，空気-水系換算で約

16mmに相当した（Fig.8）．接触角θW =61°の撥水表面からθW =119°の親水表面へ移動した（Fig.9）．以上から、Electro-wetting技術を

利用するマイクロ流体デバイス内の液滴挙動の数値予測について

本計算法が適用できることを確認した． 4. 3 相変化二相流数値シミュレーション (1) 過熱平板上での気泡核の形成 本研究ではまず，上記 3.2のPFM(27),(28)を用いて，加熱平板上における2次元気泡核形成を計

算した．上式には，A=B=c=1, κS=0.01, 粘性係数μ=熱伝導係数k=0.2, 空間セル幅Δx=Δy=1，時間刻みΔt=0.2 を与えた．初期条件では

50Δx×50Δyの計算領域（Fig.9）をT=T0=0.293，ρL =0.405 の飽和液

相で満たし，左右に周期境界, 上部に自由流出境界，下部のすべ

りなし固体壁境界には幅LH =10Δxで一定温度TH =T0+ΔTの加熱面

を設定した．本計算結果（Fig.10）では，加熱部分でρ≤ρG=0.265の気相領域(図中白色部分)がほぼ一定の界面厚さを保ちながら時

(a) ΔT=10-2T Fig.11: Density and velocity fields around 2D vapor bubble

nucleated on a flat heater with width 10Δx and temperature T0+ΔT in a van-der-Waals fluid at time t (T0=0.293, Δx=Δy=1, Δt=0.2, ρG=0.265, ρL=0.405)

t=10,000Δt

t=50,000Δt

t=100,000Δt (b) ΔT=5×10-2T

Lx

Ly

TH=T0+ΔTLH

TW=T0

T=T0,

Periodic boundaries

Non-slip wall Heater

Outflow boundaryP=P0,

x

y

/ 0v y∂ ∂ =

Fig.10: Two-dimensional computational domain

(b) Case2 (a=8Δx) t*=0.160 t*=0.319

Fig .7: Side view of two-phase fluid in channel at time t* = t |Uin|/Lz

Lz

x

zUin

Liquid Gas

InterfaceContact line

(a) Case1 (a=2Δx) t*=0.160 t*=0.319

Fig.6 : Computational domain

x

yz

Liquid

Gas

Lx= 70Δx Ly= 20Δy

Lz= 20Δz

Δx=Δy=Δz=1

Hydrophobic non-slip solid walls with θW =120deg.

Uniform inflow

Free outflow

Hydrophilic regionwith θW =60deg.

Uin=const.

0x

∂=

∂u

p=const.

0px

∂=

∂

Transition region

aΔx

Δx

ρ =ρL

ρL /ρG = 801.7

μL /μG = 73.76

Density ratio：

Viscosity ratio：

L inUCa μσ

=

L Z in

L

L URe ρμ

=

Capillary number:

ynolds number:Re

(a) (b)

(c) (d)

Fig.9 : Time series of snapshot of single hemispherical-shaped drop on a flat sold surface with heterogeneous wettability under no gravity in a stagnant gas

ρL /ρG =801.7, and μL /μG =73.76.

θW = 61.4°

Liquid（Water, 16mm）

Gas（Air）

64Δx

64Δy

32Δz

Δx=Δy=Δz=1

θW = 118.6°

32Δyx

y

z

Fig.8: Computational domain for simulation of motion of single hemispherical-shaped drop on a flat sold surface with heterogeneous wettability under no gravity in a stagnant gas

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間経過とともにマッシュルーム状に成長し(27)，過熱度ΔTが増加す

るとその蒸気泡の成長が促進されることを確認した． (2) 等温物体周りのvan der Waals流体流れ 次に，幅a =20Δx，高さH= 5Δy，壁面温度TW=T0の等温物体周りの非理想流体流れの

計算（c=1.5, κS=μ=0.01, Δt=0.05）を実施した．初期条件では，

Lx=300Δx，Ly=50Δyの2次元計算領域をρL=0.405，p0=0.0354，T=T0

の飽和液相で満たし，その上下に鏡面対称境界，左側にuin=(0.05,0)の一様流入境界，右側に一定圧力poutの自由流出境界を配置した．

本計算結果（Fig.12）では，下流側の物体背後でρ≤ρG=0.265 の領

域（図中の白色部分）が発生し(28)，2 次元ノズル内キャビテーシ

ョンの実験(28)と同様にCavitation数Ca=(pout – p0)/(0.5ρL|uin|2)の増加

に従って気相の発生量は減少することが確認された． 5．おわりに 本報では，各種マイクロ熱流体デバイス(1)の最適化設計に不可

欠となっている二相流数値流体力学シミュレーションのためのフ

ェーズフィールド法（PFM）(2)-(8),(11)-(13)の適用性の検討を目的とし，

その界面追跡機能の特徴と，不均一な濡れ性を持つ固体面を有す

る流路内の高密度比等温非圧縮性二相流，および相変化を伴う非

理想流体流れを計算した．その結果，以下の結論を得た． (1) PFM は，化学ポテンシャル勾配で生じる体積流束により二

相流中において一定厚さを持つ界面の形状と体積を高精度

に保存する． (2) 自由エネルギー理論に基づく固体表面の濡れ性境界条件は，

空気-水相当の高密度比の二相流体に任意の接触角を与える． (3) PFM は，局所的な固体表面の濡れ性の差に基づく毛管力で

加速される流体界面の移動を再現できる． (4) PFM は，非理想流体流れにおいて，温度変化による気泡核

の形成・成長，および圧力変化による沸騰・凝縮を，非平衡

系熱力学の自由エネルギー理論に基づいて自律的に再現す

る能力を有する． 謝 辞 上記の成果の一部は，文部科学省による平成18年度科研費補助

金若手研究(B)の支援の下，課題No.18760134「フェーズフィール

ドモデルに基づくマイクロ流路内二相流の界面追跡計算法の開

発」の中で得られたものである．ここに謝意を示す． 参考文献

(1) 丸山茂夫, 他 編, "マイクロ・ナノ熱流体ハンドブック," NTS (2006).

(2) Anderson, D. M., McFadden, G. B., and Wheeler, A. A., "Diffuse- interface methods in fluid mechanics," Annu. Rev. Fluid Mech., 30 (1998), pp.139–165.

Fig.12: Density field around the body at time t*= tUin/a for Re=2.025 (Uin=0.05,Δt=0.05,ρG=0.265, ρL=0.405)

(a) Ca =0, pout /p0=1 (b) Ca =0.7, pout /p0=1.1

t*=0.125

t*=1.250

t*=1.875

t*=2.50

t*=0.125

(3) Jacqmin, D., "Calculation of two-phase Navier-Stokes flows using phase-field modeling," J. Comput. Phys., 155 (1999), pp.96–127.

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(5) Badalassi, V. E., Ceniceros, H. D. and Banerjee, S., "Computation of multiphase systems with phase field model," J. Comput. Phys., 190 (2003), pp.371–397.

(6) Jamet, D., "Fundamental issues related to the numerical simulation of two-phase flows with phase change," Proc. 2006 ASME Joint U.S.-European Fluids Engineering Summer Meeting (2006), Paper No. FEDSM2006–98376.

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(9) Cahn, J.W. and Hilliard, J.E., "Free energy of a nonuniform system I. Interfacial free energy," J. Chem. Phys., 28 (1958), pp.258–267.

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(11) 高田尚樹, 三澤雅樹, 冨山明男, "二相流界面追跡シミュレ

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