2. volym och skala...2. volym och skala mål, delmål och måluppgifter i det gemensamma spåret,...
TRANSCRIPT
1
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
2. Volym och skala
Mål, delmål och måluppgifter
I det gemensamma spåret, G-spåret, finns Aktiviteter, Teorirutor och uppgifter som hjälper
eleverna att nå målen. Eleverna måste inte nödvändigtvis arbeta med alla tre komponenterna.
En del elever tycker de lär sig bäst när de gör Aktiviteter, andra när de får arbeta självständigt
med uppgifter. Du som lärare får se till klassens och individernas bästa och anpassa arbetets
upplägg.
Nedan finns en översikt av kapitlets mål indelade i delmål och förslag på typiska
måluppgifter. Måluppgifterna har vi valt så att de på ett tydligt sätt visar exempel på uppgifter
som eleverna bör arbeta med för att närma sig målen.
Matrisen hjälper dig att se hur eleverna är på väg mot målen via delmål. Den kan också
fungera som stöd för eleverna genom att de själva kan bocka av de olika delmålen och följa
sin egen utveckling.
(I Del 1, s. 9, finns en allmän beskrivning av Mål, delmål och måluppgifter.)
Mål Delmål Uppgifter
1 Beskriva geometriska egenskaper Kroppar (3D) och deras
hos objekt i 2D och 3D begränsningsytor (2D) 1-4
s. 50-56 Begränsningsytor, hörn och kanter 6-7
Kroppar sedda från olika håll 10, 11, 14
Diagnosuppgifter D 1-2
2 Jämföra och bestämma olika Volym i kubik 18-19
föremåls volym s. 57-60 Volym i liter 23-24
Diagnosuppgifter D 3-4
3 Mäta och ange föremåls volym Volymenheter 29-32
och vikt i olika enheter s. 61-67 Viktenheter 42-46
Samband 54-56
Diagnosuppgifter D 5
4 Använda och göra beräkningar i Längdskala, 1D 59, 74
skala för 1-3 dimensioner s. 68-72 Area och volym, 2D och 3D 62-64, 68-69
Diagnosuppgifter D 6-7
5 Använda strategier
vid problemlösning s. 73-74 (några av) strategierna 1-10 75-82
(Allmänt om problemlösning och strategier finns i Del 1, s. 14. Specifika förklaringar och
synpunkter hittar du i kommentarerna till Lösa Problem i respektive kapitel.)
2
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Diskussionsbild (sidan 49) Bilden visar Cloud Gate and Millennium Park i Chicago, USA.
Även om kapitlet heter Volym och skala kan bilden handla om mycket annat.
T.ex. höjd på byggnader, hur många våningar, hur högt står solen (människors
skugglängder) eller byggnaders och människors spegelbilder i den buktiga stålytan.
Vilka 2D figurer känner eleverna igen? De kan bl.a. hitta rektangulära långsidor
på skyskrapan till vänster. Ett tak i form av en romb och parallelltrapetsformiga
väggar på tredje skyskrapan från höger.
Vilka 3D figurer känner eleverna igen? Vilka figurer kan de beskriva eller rita?
Volym och skala i Prima Formula 4 och 5
Den sorts Volym som förekommer på s. 62-64 har tidigare behandlats i
Prima Formula 4, s. 80-84.
Den sorts Skala som finns på s. 69-70 har tidigare behandlats i Prima
Formula 4, s. 204-212 och 221-224 samt i Prima Formula 5, s. 217-219.
Den sorts diskussioner kring Skala och perspektiv som kan tas upp i
samband med Diskussionsbilden på s. 49 har tidigare belysts i Prima
Formula 4, s. 203 och återkommer i uppgift 7 nedan.
Diskussionsförslag
Titta på bilden sidan 49.
1. Frågan i bilden är inte färdig. Hur kan den fortsätta?
2. Vad ser ni på bilden som har med area att göra?
3. Vad ser ni på bilden som har med volym att göra?
4. På bilden ser ni några skyskrapor. Vilken verkar vara störst?
Vad menar ni med störst?
5. Vad ser ni på bilden som har med skala att göra?
6. Den närmaste skyskrapan ser ut att vara 8 cm hög på bilden.
Hur hög tror ni att den är i verkligheten?
7. Varför ser människorna närmast på bilden ut att vara längre än
de som står längre bort?
8. Närmsta byggnaden ser ut att ha 7 våningar. Varje våning är på
bilden 4 mm hög. I vilken skala är bilden, om vi räknar med att
varje våning är 4 m hög?
3
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
BUS-faser
Till våra storheter har vi tidigare presenterat och kommenterat storhetens speciella
begreppsutveckling i form av BUS-faser. Sådana finns beskrivna i
Lärarhandledningen för skolår 4, s. 80, och för skolår 5, s. 46. Nu när vi behandlar
Volym i 3D använder vi en liknande progression, som kort beskrivs så här:
BUS-faser – Begrepps Utveckling för Storheter
Exempel för Volym 3D
Fas 1 UPPTÄCKA Upptäcka och lära känna begreppet samt uppfatta dess egenskaper
diskutera olika uttrycksformer
Fas 2 JÄMFÖRA sortera
göra jämförelser
Fas 3 MÄTA uppskatta/jämföra med någon referens, t.ex. centikuber
använda olika volymmått
Fas 4 ENHETER
känna till olika enheter
kunna välja lämplig enhet och göra rimliga värderingar
förstå hur man växlar mellan olika enheter
Fas 5 BERÄKNA
arbeta med beräkningar
bedöma rimlighet och värdera
Sidan 50 (G-spår)
Aktivitet 2:1
Till uppgift A och C finns ett kopieringsunderlag som eleverna kan få. Aktivitetens mål är att eleverna ska kunna vika och känna igen de fem
polyedrarna i verklighet, samt känna igen dem på ritning (2D) och som utvikta
tvådimensionella (2D) ytor. De ska bekanta sig med begränsningsytor för dessa 5
polyedrar och andra polyedrar, och även lära känna kroppar som inte är polyedrar.
4
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
A Den enda 3D-figuren som kan vara svår att kombinera med motsvarande 2D är
tresidiga prismat, vilket delvis beror på att detta på bilden ser lite för lågt ut på
höjden. (Jämför med Toblerone-prismat i figur A och E på nästa sida.)
Låt gärna eleverna, här eller senare, undersöka hur en tetraeder kan tillverkas av
ett på mitten vikt rektangulärt papper. (Man kan se på en tom mjölktetra 2 cl hur den
är sammansatt.) Förslag finns också i samband med uppgift 3 nedan.
B I uppgift 1 är begränsningsarean 6 ∙ 1 cm2 = 6 cm
2. I uppgift 2, är kubens kant
dubbelt så lång och begränsningsarean blir 6 ∙ 4 cm2 = 24 cm
2.
C
Det kan vara svårt att bara ”se” vikningarna och vara säker på vilka av figur 1-6 som
duger att vikas till en kub. Så småningom bör eleverna komma fram till att:
- figur 1, 4, 5 och 6, går att vika till en kub.
- figur 2 endast har 5 rutor och därmed inte duger att bygga en sexsidig kub av.
- figur 3 har 7 rutor och därmed eventuellt kan uteslutas. Den kan också tänkas
fungera, då den går att vika till en kub, dock med dubbelt papper på en av
begränsningsytorna.
D Kanske har klassrummet och suddgummit formen av ett rätblock, en penna helt
utan spets kan vara ett sexsidigt prisma, ett stolsben vara cylindriskt osv.
Sidorna 51-53 (G-spår)
Reflektionsförslag Aktivitet 2:1
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3. I uppgift C kan det vara svårt att avgöra vilka figurer som
duger för att vika till en kub, utan att prova med utklippta
kvadrater. Varför kan det vara svårt att bara se det direkt?
4. Se uppgift A. Vilka 2D-figurer var lättast att para ihop med
motsvarande 3D? Varför?
5. Se uppgift A, figur 5. Går det att bygga en fyrsidig pyramid
om de fyra tringlarnas höjder (h) minskas (och t.ex. blir
hälften av triangelns bas)?
h
5
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Teorirutan. För att eleverna lättare ska lära känna polyedrars egenskaper, så är det
lämpligt att de får bekanta sig även med kroppar som inte är polyedrar.
Vi väljer att införa termen begränsningsyta, vilket enligt matematikterminologin
är det korrekta uttrycket (”yta som begränsar en kropp”). Detta är även användbart
för kroppar som inte är polyedrar, t.ex. kan en cylinder ha två cirkelformade och en
rektangulär begränsningsyta.
En del läromedel, diagnoser och prov väljer att istället tala endast om basytor och
sidoytor. Detta ställer till det för eleverna (och lärarna) då de t.ex. ska tala om hur
många basytor eller sidoytor ett rätblock har. Rätt svar kan vara att rätblocket har en
basyta, två (eller tre par) basytor och fem, fyra eller sex sidoytor. Ibland får eleverna
tipset att de kan kalla alla ytorna för sidoytor, och inte heller detta klarlägger
begreppen.
Det är korrekt att säga att det tresidiga prismat har ett par (parallella) basytor och
tre sidoytor, men vi kan också säga att det har fem begränsningsytor, varav ett par är
parallella.
Vi använder ordet basyta senare (då vi har behov av det), t.ex. då vi beräknar
volymer på sidan 57 och 59. Det är därför vi i Teorirutan inte skriver något om ”par
av basytor”, utan endast i pratbubblan pekar på basytan som kroppen står på.
Speciellt i samband med pyramider (och prismor) kan detta vara lämpligt, eftersom
vi här beskriver dem som tresidiga, fyrsidiga osv.
I kommentaren efter begränsningsyta och basyta samt i definitionen för tetraeder i
rutan nedan kan du se att gränsdragningen är problematisk mellan basyta och sidoyta,
även med rätt terminologi.
Uppgift 1. Kropp A finns i verkligheten som chokladen Toblerone och den består av
sex sammansatta kroppar av typ E.
Definitioner enligt Matematiktermer för skolan
begränsningsyta: yta som begränsar en kropp.
Exempel: Ett klot har en sfär som begränsningsyta. Ett rätblock har sex plana
begränsningsytor, som är rektangelområden.
basyta: yta som avgränsar en geometrisk kropp och som man valt ut vid
volymberäkning.
Kommentar: Begränsningsytorna i ett rätblock är parvis parallella och ett par av
sådana kan väljas till basytor. Övriga begränsningsytor kallas därvid för
sidoytor.
sidoyta: (i polyedrar) plan yta som begränsar polyedern.
polyeder: kropp som begränsas av ändligt många plana områden.
Kommentar: Det följer att de begränsande plana områdena är
månghörningsområden. De kallas sidoytor (eller bara sidor); dessas (en-
dimensionella) sidor kallas polyederns kanter; kanternas ändpunkter kallas
polyederns hörn.
regelbunden polyeder: (synonym: platonsk kropp) Polyeder där sidoytorna är
sinsemellan kongruenta regelbundna månghörningsområden och där
konfigurationen i varje hörn är kongruent med den vid varje annat hörn.
* Kommentar: Det finns fem regelbundna polyedrar: …
Ordet regelbunden utelämnas ibland och man avser i så fall med t.ex. tetraeder
en regelbunden tetraeder.
tetraeder: polyeder med fyra sidoytor.
* Dessa regelbundna polyedrar eller Platonska kroppar är: tetraeder, hexaeder
(kub), oktaeder, dodekaeder och ikosaeder (De finns i elevboken s. 53 uppgift 9.)
6
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Kropp B är ett rätblock och här kan eleverna, genom att med vågräta snitt dela in
paketet i fem lika delar se att den röda övre delen ser ut att vara just 20% av hela
paketet.
Kropp D är i verkligheten en ”tetraförpackning” med mjölk. En tetraeder behöver
inte vara regelbunden, men vi förutsätter här att Kroppen D består av fyra likadana
trianglar. Den är därmed regelbunden, vilket också gäller för tärningen H (trots att de
sex begränsningsytorna har olika många prickar, 1-6).
Tetraedern D kan eleverna tillverka av ett rektangulärt papper med ena sidan
dubbelt så lång som andra. Vik pappret på mitten, tejpa ihop långsidan och en av
kortsidorna. Öppna upp vid andra kortsidan och man kan se en tetraeder. Detta enkla
koncept var också förpackningsföretaget Tetra Paks första modell av mjölpaket.
Uppgift 4. Cylindrarna F och G har båda en rektangel och två cirklar som
begränsningsytor. Tack vare dessas storlek kan eleverna lättare se att kroppen F hör
ihop med 2D-figuren 6 och att G hör ihop med figur 4. Denna säkerhet kan då hjälpa
till att förklara de två rektanglarnas olika storlek.
Uppgift 6-9. Den fyrsidiga pyramiden har åtta kanter, den tresidiga (tetraedern) har
sex kanter. Sjung gärna en bit av sången nedan för eleverna. Fråga dem om de kan
hitta något fel i texten, eller om de kan tillverka en hatt med endast tre kanter. Min hatt den har tre kanter
Tre kanter har min hatt
Och har den ej tre kanter
Så är det ej min hatt
På tyska (originalspråket) sjunger man inte ”kanter” utan ”ecken” (hörn). Och en sådan platt
hatt/mössa är väl möjlig att tillverka och använda? I tabellen nedan syns tydligt att antalet
hörn och kanter för en polyeder aldrig är samma. Alla polyedrar som finns på denna och bokens övriga sidor är konvexa (buktar
utåt). För dessa polyedrar gäller Eulers polyederformel:
Antal hörn minus antalet kanter plus antalet begränsningsytor är lika med 2.
Detta kan göra uppgift 7 (och uppgift 6 och 9) intressantare för eleverna, genom att
de kan kolla om de räknat rätt. Nedan har vi skrivit formeln på ett annat, enklare, sätt
och gjort en sammanställning av uppgift 7.
Kropp Begränsningsytor (B) Hörn (H) Kanter (K) formel: B + H – K = 2
A 6 8 12 6 + 8 – 12 = 2
B 4 4 6 4 + 4 – 6 =
C 5 6 9 5 + 6 – 9 =
D 8 12 18 8 + 12 – 18 =
7
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
I uppgift 9 finns bilder på fem regelbundna polyedrar (platonska kroppar). Dessa fem
är de enda som är möjliga att tillverka. Varför? Jo, om vi tänker på hur ett hörn i en
3-dimensionell kropp ser ut förstår man att minst tre månghörningar måste mötas och
att vinkelsumman på månghörningarna som möts i hörnet måste vara mindre än 360º.
Vid 360º blir nämligen figuren plan.
De fem möjliga fallen blir då:
3 trianglar (tetraedern)
4 trianglar (oktaedern, med 8 liksidiga trianglar)
5 trianglar (ikosaedern, med 20 liksidiga trianglar)
3 kvadrater (hexaedern, kuben, med 6 kvadrater)
3 femhörningar (dodekaedern, med 12 regelbundna femhörningar)
Ö9 På övningsblad 9 finns uppgifter som anknyter till s.50-53.
Aktivitet 2:2
A 1 Om rätblocket ser ut som suddgummit på bilden bör svaren bli ungefär så här:
rakt uppifrån rakt framifrån från sidan
Reflektionsförslag efter sidan 51-53
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
Titta på kropparna A-H i uppgift 1. Begränsningsytorna i A består av 6
rektanglar och 2 regelbundna sexhörningar.
2. Vilka begränsningsytor har H G E D B
3. a Försök rita de två begränsningsytorna för C.
b Hur gör du om din stjärngossemössa är för stor för ditt huvud?
4. Förklara med egna ord vad du menar med begränsningsyta, hörn och kant.
5. Vilka påståenden är sanna
A. En tetraeder har fyra sidoytor
B. En tetraeder har en basyta och tre sidoytor
C. Ett tresidigt prisma har 5 begränsningsytor
D. En fyrsidig pyramid har fyra begränsningsytor
6. Se de regelbundna polyedrarna i uppgift 9. Dessa kan användas som
”rättvisa” tärningar. Ikosaedern kan användas som 20-sidig tärning. Hur
många sidor har de övriga kropparna?
Gruppledtrådar
6-2A och 6-2B
passar till s. 50-60.
8
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
A 2 Om cylindern ser ut som på bilden bör svaren bli ungefär så här:
rakt uppifrån rakt framifrån
röd
B 1 Från sidan (till höger) ser den ut så här: gul
grön
B 2-3 Med fem centikuber kan figuren se ut på olika sätt framifrån, och det räcker
inte alltid med att se figuren från endast två håll.
Den kan se ut så här: Eller så här:
blå blå
gul gul
Reflektionsförslag Aktivitet 2:2
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3. Varför ritar vi i A2, rakt framifrån
så här: och inte så här:
4. Är det rätt att avbilda en kon
rakt fram ifrån så här?
5. Du har byggt figurer med fyra centikuber i olika färger i uppgift
C. Varför räcker det inte alltid att avbilda en figur från två olika
håll, för att kunna bygga figuren?
9
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Sidorna 55-56 (G-spår)
Uppgift 10-11. I dessa uppgifter står det att ”Tanja/Cesar har ritat …”, och det
innebär att storlekarna mellan 2D och 3D inte helt behöver stämma överens.
Till uppgift 10 d hör cylindern D. Eleverna upptäcker och accepterar kanske att
3D-figuren har något större bredd/bas än rektangeln d. Eleverna har tidigare, i
uppgift 4, bekantat sig med olika bilder av cylindrar och kan förmodligen föreställa
sig att cylindern rakt framifrån i 2D blir en rektangel.
Till uppgift 10 a hör konen B, och här har Tanja överensstämmande mått i 2D.
Det kan dock vara lätt att förväxla svaren i a-b, speciellt eftersom tetraedern kan ritas
mer eller mindre ”rakt framifrån”. Om eleverna tittar till höjden på figurerna ser de
att höjden i B stämmer bäst överens med höjden i a.
I uppgift 11 c-d har cirklarna samma diameter. Det som får vägleda till att c hör
samman med B är att c har en liten ofärgad cirkel i centrum.
Eleverna kan upptäcka att det för uppgift 11 b endast finns tetraedern C som
alternativ. Och därmed kan de också lära sig hur en sådan kropp bör ritas ovanifrån.
Uppgift 12. Så här står det i facit: 12 a B och C. Även E? b A, B, C och G c F, G och H
I facit har vi allstå skrivit ut ”Även E?”, därför att eleverna kan lockas att undra över
om även E är rätt, och kanske försöka rita E i 2D sett ovanifrån.
Det bör då, med tanke på uppgift 11b, bli så här:
Och, visst kan man se en rektangel/kvadrat när
man tittar på den fyrsidiga pyramiden ovanifrån,
precis som kuben (B) och rätblocket (C).
I uppgift c kan det vara intressant att diskutera från vilket/vilka håll man kan se en
cirkel. För F gäller från alla håll, för G uppifrån eller underifrån och för H endast
underifrån.
Uppgift 13. Endast alternativ B är rätt och denna figur är kanske svår att finna,
eftersom den har roterat nästan ett halvt varv.
Uppgift 14-15. Hoppas eleverna har tillgång till färger, annars får de, precis som vi,
i vårt färglösa facit, skriva ut namnen på färgerna. Som synes i facit så är uppgift 15
omfattande och tidskrävande. Det är kanske inte nödvändigt att låta alla elever göra
alla deluppgifterna. Endast uppgift 14 hör till delmålsuppgifterna.
Uppgift 16. 16c är en försmak på den officiella volymberäkningen (3 ∙ 3 ∙ 3 = 27),
se t.ex. s. 58, uppgift 18c.
I 16 b är vårt svar i facit ”6 olika färger”. Kuben har sex begränsningsytor, alltså
sex färger.
Ö10 På övningsblad 10 finns uppgifter som anknyter till s.54-56.
10
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Sidan 57 (G-spår) Aktivitet 2:3
A1 Kopiera underlaget till aktiviteten och dela ut det till eleverna.
A2 Här skriver vi ”Vilken ask tror ni rymmer flest …”, för att eleverna ska uppskatta
innan de mäter och beräknar. På vilka grunder tror de något?
Summan av längd, bredd och höjd är samma i de båda askarna (4 + 3 + 3 = 5 + 2 +
3), men volymen är 6 cm3 större i A.
Eleverna kan kanske redan nu se att här finns ett samband Area-Volym (som följs
upp i uppgift 21), vilket har likheter med sambandet Omkrets-Area (i kapitel 1, s.
27).
A3 I denna uppgift inför vi begreppet basyta, som senare används av Bella i uppgift
19.
B Här kan eleverna, genom Cesars och Dibas svar, se att 1 dm3 = 1000 cm
3.
Sidan 58-60 (G-spår)
Reflektionsförslag Aktivitet 2:3
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3. Hur beräknar du på enklaste sätt volymen för asken A respektive
B?
4. Rutnät A har ungefär samma antal rutor som rutnät B. Varför är
då volymen för A så pass mycket större?
5. Se Cesars och Dibas svar och gör enhetsbytena.
a 1 dm3 = ____ cm
3 b 1 cm
3 = ____ mm
3 c 1 m
3 = ____ cm
3
6 . Hur tänker du när du gör enhetsbyten av typ
a) 3 cm3 = ____ mm
3
b) 1,5 cm3 = ____ mm
3
c) 1 m3 = ____ dm
3 = ____ cm
3 = ____ mm
3
7. Varför har man valt att
a) skriva just en trea (3) lite upphöjt i t.ex. m
3?
b) kalla enheterna för just kubik- meter/decimeter/centimeter?
6. Hur tänker du när du ska uppskatta volymen av
a) en tändsticksask
b) en glass-strut
7. Hur tänker du när du ska mäta och beräkna volymen av en
tändsticksask?
Reflektionsförslag efter sidan 55-56
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2. Titta på uppgift 10 a och b.
Hur tänkte du ut de rätta svaren?
3. Titta på uppgift 11 b. Varför är här tre sträckor inuti triangeln?
4. Titta på uppgift 12 a.
a Varför bör kroppen E ritas i 2D så här?
b Varför står det i facit att även E kan vara rätt svar?
5. Titta på uppgift 16c.
Hur vet du att stora kuben innehåller 27 småkuber? Alla syns väl inte?
11
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Teorirutorna. På sidan 58 tar vi upp enheterna kubikdecimeter och kubikcentimeter
samt att dessa motsvaras av de ”våta”, vanliga, volymenheterna liter respektive
milliliter.
På sidan 60 introduceras kubikmetern och i tabellen sammanfattas enhetsbytena
för längd (1D), area (2D) och volym (3D). På sista raden finns också uppföljning till
Aktivitet 2:3 Reflektionsuppgift 6c.
Uppgift 18-19. I uppgift 18 kan eleverna se antalet kuber i ett, två respektive tre
lager. Detta anknyter då till Bellas sätt att beräkna volymen utifrån en basyta i
uppgift 19. Det är nyttigt för eleverna att förstå både Bellas och Cesars sätt att
beräkna volym på rätblock. I senare skolår kommer de att använda Bellas sätt då de
t.ex. ska beräkna volymen av en cylinder, och redan nu är Bellas sätt lämpligt vid
beräkning av volym för tresidigt prisma (t.ex. toblerone).
F Uppgift 21 c. Här kommer parallellen mellan Omkrets-Area och Area-Volym och
i facit skriver vi:
Ju mer regelbunden kroppen är, desto mindre begränsningsarea har den.
Uppgift 22-23. Genom deluppgifterna får eleverna också praktisera enhetsbyten.
Ö11 På övningsblad 11 finns uppgifter som anknyter till s.57-60.
Reflektionsförslag efter sidan 58-60
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2. Titta på uppgift 19.
Tänker du helst som Bella eller som Cesar när du beräknar
volymer? Motivera ditt val.
3. Titta på uppgift 21c.
Vilka likheter ser du mellan denna uppgift och uppgift 73 på sidan
28?
4. Du vet att 1 dm3 = 1000 cm
3 = 1000 ml = 1 liter.
Hur många centikuber (cm3) går det då på 4 cl?
5. Ge exempel på likheter/skillnader mellan Volym och Vikt.
12
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Sidan 61 (G-spår)
Aktivitet 2:4
A Liknande aktiviteter finns i Formula 4, kapitel 3.
A1 Ordning efter storlek, med ungefärlig vikt i gram (inklusive emballage):
Föremål vikt (g)
Loka 1550
Mjölk 1050
Yoghurt 1050
CornFlakes 600
Fruit Cocktail 490
A4 papper 5
Tre centikuber 3
Penna 3
Tändsticka 0,1
A2 Ordning efter storlek, med ungefärlig volym i liter:
Föremål volym (l)
CornFlakes 5
Loka 1,5
Mjölk 1
Yoghurt 1
Fruit Cocktail 0,6
Penna 0,01
3 centikuber 0,003
A4 papper 0,006*
Tändsticka 0,0002
* I uppgift 51b, på sidan 66, kommer eleverna fram till att ett vanligt A4-papper (80 grams)
har volymen 6 cm3. 1 dm
3 = 1 liter och då är 1 cm
3 = 1 ml. Då är 6 cm
3 = 6 ml = 0,006 liter.
A3 Föremålen har olika densitet, väger olika mycket per kubikcentimeter. Fler exempel får
eleverna se på sidan 67.
B1 Eleverna kan kanske tycka att Cylinder B bör bli fylld. ”Det är ju samma papper”. Men, i
cylinder B utnyttja vi bottenarean bättre. Bottenarean beräknas med π ∙ r2 och då får större
radie större betydelse (r ∙ r) än mindre höjd.
B2 Teoretiskt kan man räkna fram att Volymen för B, VB = VA ∙ 2 ≈ VA ∙ 1,414.
Då är VA / VB = 1 / 2 ≈ 0,7. Cylinder B blir alltså fylld endast till 70%. Att roten ur två dyker
upp här beror på att A4 papprets höjd/bas = 2 .
B3 Rätt svar är här C = 2 ∙ B. Detta kan också beräknas teoretiskt, men kan förklaras på ett
enklare sätt så här:
Basytans omkrets i C är dubbelt så stor som den är i B. Därmed blir basytans area 4 gånger
så stor. Å andra sidan blir höjden hälften så stor. Alltså volymen dubbelt så stor.
13
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Sidan 62-64 (G-spår) Vi har tidigare, i Prima Formula 4 på s. 81-84, presenterat volym och volymenheter.
I Lärarhandledning 4, s. 85, beskriver vi en aktivitet som heter Vilken volym har munhålan?
Först får eleverna gissa och därefter mäta hur många centiliter vatten de kan ha i sin mun. Om
vi säger att man kan ha 5 cl i sin mun, hur många kubikcentimeter motsvarar detta då?
Praktiska frågan blir då: Hur många centikuber (iskuber) motsvarar 5 cl vatten? Det väldigt
sällan en elev tror att 5 cl motsvaras av 50 cm3 (centikuber), förrän man gjort
omvandlingarna:
1 liter = 1 dm3, alltså är 1 ml = 1 cm
3. Då är 5 cl = 50 ml = 50 cm
3.
Kan eleverna ha 5 cl vatten i sin mun, så borde de kunna ha 50 centikuber?
Hårda centikuber är dock inte så lättformade som vatten, vilket också bidrar till synen på
volym för fasta respektive flytande ämnen.
Detta kan vara en minnesvärd tankeställare, gärna som en aktivitet. Eller som en
diskussion där man får gissa först och därefter se hur viktigt det är att kunna göra korrekta
enhetsbyten.
Uppgift 25d. Om Zlatan väger 100 kg är hans volym ungefär 100 liter. Kanske
eleverna vet att en människa nästan flyter i vatten och har därför ungefär samma
densitet, 1kg/dm3. Mer om densitet kommer på sidan 67.
Teorirutan på s. 63 visar eleverna vad prefixen deci, centi och milli betyder. Vid byte ett steg
från större till mindre enhet multiplicerar man med 10 (som i uppgift 30 och 32). Vid byte ett
steg från mindre till större enhet dividerar man med 10 (som i uppgift 31).
(OBS, feltryck i bokens första tryckning! Längst ner, till höger i elevbokens teoriruta står det: / 100. Det är fel! Det ska vara: / 10.)
Uppgift 29. Elevernas svar kan och får skilja sig från dem i facit. Be dem gärna
motivera sina svar. Man kan diskutera vad som menas med ”passar bäst”. Är det t.ex.
bäst med enheten centiliter för läskburken, bara för att den oftast anges så på burken?
Uppgift 30-32. Här finns både progression och samband mellan uppgifterna. Uppgift
30 och 32 byter enhet från större till mindre enhet, i uppgift 32 med decimaltecken.
Dessa uppgifter ligger nära dem i 30, för att eleverna lätt ska kunna kolla storleken.
Uppgift 30 och 31 ligger parvis ”nära” varandra i storlek, vilket underlättar då
eleverna i uppgift 31 ska går från mindre till större enhet.
Reflektionsförslag Aktivitet 2:4
1 Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2 Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3 Hur tänker du när du rangordnar föremål efter
a) vikt b) volym
4 Varför kommer Cornflakes paketet överst när du rangordnar efter volym, men
bara i mitten när du rangordnar efter vikt?
5 Försök förklara varför C = 2 ∙ B är rätt svar i uppgift B3.
14
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Uppgift 33-34. Det kan vara nyttigt för eleverna att se sina svar inprickade på
tallinjen. En sådan visar tydligt storleksordning från vänster till höger (och alltid i
samma enhet). Den ligger då som grund och förklaring till uppgift 34.
Uppgift 35. För att eleverna ska slippa ta upp tiden med att skriva av tabellen, har vi
gjort uppgiften med många deluppgifter a-h. Om du själv däremot har möjlighet att
skriva av tabellen på tavlan, så att eleverna får se den helt ifylld, så kan det öka
elevernas förståelse vid enhetsbyten.
Uppgift 36. Här kommer den klassiska formuleringen ”Alex och fyra kompisar ska
dela lika …”, vilket ofta får elever att välja att dividera med 4 i stället för 5.
Uppgift 41. I denna uppgift finns risken att elever får svaret till 40 dagar (i stället för
10), eftersom de inte läser sista raderna ”om man ska ta fyra matskedar om dagen”.
Ö12 På övningsblad 12 finns uppgifter som anknyter till s. 61-64.
Sidan 65-67 (G-spår) Vi har tidigare, i Prima Formula 4 på sidan 85-87, presenterat vikt (massa) och viktenheter.
Teorirutan. Denna liknar teorirutan på sidan 63, men nu visas prefixen kilo (k) och hekto (h)
som är tiopotenser större än gram (g) och utgår ifrån gram. Enheten mellan hektogram (hg)
och gram (g) finns inte längre. På bilden i boken visar vi det genom att skriva ett streck där
den gamla enheten dekagram (dg) skulle stått. Om vi återinförde gamla enheten dekagram
(deka = 10) så skulle enhetsbytet handla om 10 hela vägen. Nu måste eleverna tänka en
enhetsövergång på 100 mellan gram och hektogram. Kanske blir det enklare för en del elever
att tänka dekagram emellan? Annars kan eleverna tänka på att ”hekto” betyder hundra och att
”kilo” betyder tusen och då utgå från enheten gram.
Reflektionsförslag efter sidan 62-64
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2. Titta på uppgift 30 och 32.
Hur kan du se att du byter enheter rätt genom att jämföra 30a med
32a, 30b med 32 b osv. ?
3. Titta på uppgift 31.
Hur tänker du när du går från mindre till större enhet?
4. Titta på uppgift 33.
På vilket sätt kan en tallinje hjälpa dig när du ska bedöma olika
volymers storlek?
5. Ge exempel på likheter/skillnader mellan enheter för Volym och
enheter för Vikt.
Gruppledtrådar
6-2C och 6-2D
passar till s. 61-70.
15
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Jämför vi enheterna för Längd, Volym och Massa (Vikt) så ser vi prefixens olika betydelser
och vilka omvandlingstal som behövs. Se nedan.
Fastän det är svårt att uppskatta (känna) hur mycket 1 g är, så använder man ofta att 1 g =
1000 mg i beräkningar. Enheten hektometer (1 hm = 100 m) var tidigare vanlig inom
lantmäteri och artilleriet.
km __ __ m dm cm mm
__ __ __ l dl cl ml
kg hg __ g __ __ mg
För elever som behöver ord för att göra enhetsbyten med enbart 10 är prefixen dessa:
kilo- hekto- deka- meter/liter/gram deci- centi- milli-
Uppgift 43-45. Här finns både progression och samband mellan uppgifterna. Uppgift
43 och 45 byter enhet från större till mindre enhet, i uppgift 45 med decimaltecken.
Uppgifterna i 45 ligger nära dem i 43, för att eleverna lätt ska kunna kolla att svaren
ligger nära varandra i storlek.
Uppgift 43 och 44 ligger parvis ”nära” varandra i storlek, vilket underlättar då
eleverna i uppgift 44 ska går från mindre till större enhet.
Uppgift 47-48. Se kommentarer till uppgift 33-35 ovan.
Uppgift 49-50. Dessa uppgifter ger eleverna ytterligare exempel på behovet/nyttan
av att överföra olika enheter till en och samma.
Uppgift 51b. Som beskrivits i kommentarer till Aktivitet 2:4, A2, ovan, så handlar
det här om den vanliga typen av A4, ett s.k. 80 gramspapper, vilket betyder 80 g/m2.
16 sådana A4-papper väger 80 g och lägger man ut dem sida vid sida så täcker de
arean 1 m2. Ett sådant papper har tjockleken 0,1 mm. Det är intressant att fundera
över hur ett så tunt papper kan få så stor volym. Låt därför eleverna vika ett A4 några
gånger. Då ser de att det kan vara rimligt med volym kring 6 cm3.
F Uppgift 52. Precis som i uppgift 51a handlar detta om att det är samma massa före
som efter poppningen. Massan ska alltså även här vara oförändrad, om påsen inte
läcker. Det kan dock, tack vare läckage skilja något, men också därför att våra
vanliga vågar ”känner” skillnad på om påsen är stor eller liten. Detta sker genom att
lyftkraften i luft (precis som i vatten) påverkas. Svaret blir under alla omständigheter
närmast alternativ B.
Uppgift 54. Vi har tidigare konstaterat att
1 dm3 = 1 liter och att 1 cm
3 = 1 ml
Nu vet vi också att 1 liter vatten väger 1000 g, och därmed att vikten för
1 cm3 = 1 ml är 1 gram
Uppgift 56. Eleverna vet av erfarenhet att is är lättare än vatten (därför att isen
flyter). Här får de göra beräkningar på differensen.
F Uppgift 57. Denna uppgift har viss likhet med uppg. 25d, s. 62, Zlatans vikt.
16
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Ö13 På övningsblad 13 finns uppgifter som anknyter till s. 65-67.
Sidan 68 (G-spår) Aktivitet 2:5
Aktiviteter som handlar om längdskala finns i Formula 4 s. 204, 207-208 och
211(area).
Aktivitet 2:5 behandlar egentligen även areaskala och volymskala, men vi nämner
inte dessa namn. Den visar också sambanden med kvadrattal och kubtal.
Nedan följer facit till A-C. Uppmärksamma gärna sambanden mellan dem.
A Facit:
1) 2 cm 2) 3 cm 3) 10 cm = 1 dm 4) 0,1 cm = 1 mm
B Facit:
1) 4 cm2 2) 9 cm
2 3) 100 cm
2 = 1 dm
2 4) 0,01 cm
2 = 1 mm
2
C Facit:
1) 8 cm3 2) 27 cm
3 3) 1000 cm
3 = 1 dm
3 4) 0,001 cm
3 = 1 mm
3
D Svaret 162 cm3 kan eleverna få på olika sätt. Volymen blir 27 (3x3x3) gånger så
stor, alltså 27 ∙ 6 cm3. Eller kan eleverna skriva förstorade rätblockets kanter och
beräkna volymen (cm3) = 9 ∙ 6 ∙ 3 = 162.
Reflektionsförslag efter sidan 65-67
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2. Förklara på något sätt varför det går 100 g på 1 hg.
3. Titta på uppgift 43 och 45.
Hur kan du se att du byter enheter rätt genom att jämföra 43a med
45a, 43b med 45b osv. ?
4. Titta på uppgift 51.
a Varför förändras inte papprets vikt när du viker det?
b Hur kan ett så tunt papper ha så stor volym som 6 cm3?
5. Titta på uppgift 52.
a Varför förändras inte popcornspåsens efter poppningen?
6. Titta på sidan 67.
Varför är det så speciellt att utgå från vatten när man ska se samband
mellan vikt och volym.
7. Varför har 4 centikuber samma volym som 4 cl (= 40 ml)?
17
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Sidan 69-72 (G-spår)
Teorirutor och uppgifter som handlar om längdskala finns i Prima Formula 4, s. 205-
209, och i Prima Formula 5, s. 217-219.
I Prima Formula 4, s. 210-212, behandlas även förstoringar i 2D.
Teorirutan. Bilden på fjärilen i naturlig storlek eller skala 1:1 kan också benämnas
som verklig storlek. När vi i förstoringen 2:1 skriver att ”Blåvingen är dubbelt så stor
som i verkligheten”, så menar vi att längd (eller bredd) är dubbelt så stor. Dock är ju
arean 4 gånger så stor.
Uppgift 59-60. I uppgift 59 finns sträckan 4 cm i 1D. Detta innebär att sträckan i
skala 4:1 blir 4 gånger så lång, men tjockleken på linjen förblir samma. Detta med
linjen tjocklek utreder vi i kommentarer till s. 19 Aktivitet 1:4.
I uppgift 60 ser eleverna vad som händer med centikuber när de avbildas i 2D
och hur arean förändras i olika skalor.
(När vi ritar våra rektanglar på ett rutnät (0,5 cm) så menar vi att detta är ett
papper som hela tiden är samma. Rutorna på pappret ska alltså inte förändras när
rektangeln ska förstoras/förminskas.)
Uppgift 62. Här ser eleverna att ”kvadrattalen” kan ses som en kvadrat med arean 1
cm2
som förstoras i skalan 2:1, 3:1 osv.
Uppgift 63-64. Upplysningen om att blå rektangelns höjd är 1,0 cm talar om att
rektanglarna är ritade på 0,5 cm papper. Detta gör kanske att några elever tänker i
antal rutor när de löser uppgifterna.
I uppgift 64b kan eleverna välja att utgå från den blå rektangelns area på 1,5
cm2, när de beräknar gröna rektangelns area: 9 ∙ 1,5 cm
2 = 13,5 cm
2, men de kanske
föredrar att beräkna arean utifrån den gröna rektangelns bas och höjd.
Ö14 På övningsblad 14 finns uppgifter som anknyter till s. 68-70.
Reflektionsförslag Aktivitet 2:5
1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på?
2. Vad lärde du dig? Hur gick det till?
3. Hur tänker du när du förstorar något i
a) en dimension, 1D (en sträcka)
b) två dimensioner, 2D (en area)
c) tre dimensioner, 3D (en volym)
4. Ett rätblock har volymen 1 dm3. Hur stor blir volymen i skala
a) 2:1 b) 10:1 c) 1:10 d) 1:2
Gruppledtrådar
6-2E och 6-2F
passar till s. 71-74.
18
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Uppgift 67. I denna uppgift läser eleverna: ”Hur många gånger större blir arean
…”. Vi skriver så för att eleverna även ska känna till detta vanliga sätt att utrycka
sig, men vi föredrar det mera korrekta sättet: ”Hur många gånger så stor är …” .
Det kan uppstå problematik utifrån uppgifter av typ:
”Rita en sträcka som är fyra gånger så stor som …”.
Vid en sådan uppgift kan en elev bli osäker och fråga:
”Ska jag ta med den sträckan som redan är där?”
Om eleven inte får svar, kan han eller hon rita en sträcka som är fem gånger så
lång.
Uppgift 68. Här ser eleverna att ”kubtalen” (i tabellen: Volym, cm3), kan ses som
en kub som har volymen 1 cm3
och att denna förstoras i skalan 2:1, 3:1 osv.
Uppgift 71. Anledningen till att Arvid visar sin beräkning är för att eleverna ska
vänja sig vid korrekta och sammansatta lösningar med rätt utsatta enheter.
Uppgift 72. I facit skriver vi så här: 72 a Basen ≈ 5 ∙ 3,4 cm = 17 cm. Höjden ≈ 5 ∙ 4,8 cm = 24 cm.
b Höjd i verkligheten (mm): 24. Höjd på bilden (mm): 24/5 = 4,8 ≈ 5
Eleverna kan mäta med lite olika noggrannhet och därmed få lite olika svar.
I uppgift b kanske några elever mäter den verkliga höjden på sexan till 25 mm. Den
är egentligen närmare 24 mm. Vilket svar de än ger blir den beräknade höjden på
bilden av förminskningen ändå 5 mm efter avrundning.
Uppgift 74. I denna delmålsuppgift kan eleverna få göra beräkningar på sina egna
sätt och behöver inte ta efter Milos sätt i föregående uppgift.
Ö15 På övningsblad 15 finns uppgifter som anknyter till s. 71-72.
Reflektionsförslag efter sidan 69-72
1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor.
2. Hur tänker du när du ska avbilda en sträcka (40 cm) i skala
a) 10:1 b) 2:1 c) 1:1 d) 1:2 e) 1:10
3. En rektangel har basen 6 cm och höjden 4 cm. Hur stor blir arean om
rektangeln avbildas i skala
a) 10:1 b) 2:1 c) 1:1 d) 1:2 e) 1:10
4. Ett rätblock har längden 10 cm, bredden 6 cm och höjden 4 cm. Hur stor
blir volymen om rektangeln avbildas i skala
a) 10:1 b) 2:1 c) 1:1 d) 1:2 e) 1:10
5. Hur förklarar du för någon vad som menas med
a) kvadrattal b) kubtal
6. Ungefär vilken volym har din bok Prima Formula 6? Gissa först.
19
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Sidan 73-74 (G-spår) Lösa problem
Problemlösningsstrategier
De problemlösningsstrategier som vi arbetar med i Prima FORMULA 4-6 är:
1. Upptäcka mönster
2. Göra tabell
3. Rita bild
4. Gissa och kontrollera
5. Leta systematiskt
6. Granska villkoren
7. Börja bakifrån
8. Rita hjälplinjer och flytta delar
9. Använda ekvation
10. Förenkla problemet
I detta kapitels Lösa problem bör en eller flera av strategierna komma till god nytta.
Uppgift nr Strategi nr
75-78 1, 2
79 10, 1-2
80 8
81 4
82 9, 6
Uppgift 75-78. Dessa bygger parvis på varandra, så att uppgift 75 konkret visar den
talföljd som kommer i uppgift 76. Det samma gäller för uppgifterna 77-78.
Uppgift 79. I avsnittet Något extra i Prima Formula 4, s. 32, har vi samma trappor
som i denna uppgift
I a-uppgiften frågas efter hur många kuber som behövs för en trappa med 6
våningar. Det är svårt för de flesta elever att svara på detta om de bara ska se bilden
och räkna antalet. Men om de ser mönstret i tillhörande talföljd så blir det lättare.
Att bygga talföljder och se talmönster har de fyra föregående uppgifterna haft som
budskap.
Eleverna kan här använda strategin Förenkla problemet (strategi 10) och börja
med att se antalet för 1-3 våningar (”Bus bygger en som är 3 våningar”). Därefter
kan de använda strategi 1-2 (Upptäcka mönster och Göra tabell).
Antal våningar: 1 2 3 4 …
Antal kuber: 1 4 9 16 …
Att göra tabell är eleverna vana vid från tidigare och nu visar Bus att man kan gå
direkt på talföljden och skriva ut den från början och därmed se mönstret.
På detta sätt får hela sidans uppgifter tillsammans budskapet Upptäcka mönster i
talföljder, och så småningom känna igen vissa talföljder.
Uppgift 81a. Eleverna vet att det är en kub och kan därmed använda strategin Gissa
och kontrollera (strategi 4), och sätta in lämpligt värde på s för att få fram s ∙ s ∙ s =
125.
De kan också genom att känna igen vissa talföljder se att talet 125 är ett kubtal,
och de har bekantat sig med just detta kubtal i uppgift 76a.
20
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Uppgift 82. I detta problem kan eleverna använda strategin Använda ekvation
(strategi 9), eller snarare hitta vad x står för i uttrycket:
2 ∙ (5 ∙ 4 + 5 ∙ x + 4 ∙ 3)
Till läraren: I uppgift 82 ska egentligen den sista produkten vara 3 ∙ 4 i stället för 4 ∙ 3.
OBS, det har blivit fel deluppgifts-numrering i uppgift 82. Istället för a, c och d ska
det förstås vara a, b och c.
Sidan 75 (G-spår) Tänk efter 2
T1 Eleverna tänker säkert på flera olika sätt innan de kommer fram till följande svar.
a Be gärna eleverna förkorta kropparnas namn, t.ex: trianglar med T, rektanglar med
R och cirklar med C. Svaret blir då:
A: 2T + 3R
B: 6R
C: 4T
D: 4T + 1R
E: 1R + 2C
b Vi kan även med formel kontrollera (som vi visade i lärarhandledningen till uppgift
7, elevboken s. 53) att vi räknat rätt.
Kropp Begränsningsytor (B) Hörn (H) Kanter (K) formel: B + H – K = 2
A 5 6 9 5 + 6 – 9 = 2
B 6 8 12 6 + 8 – 12 = 2
C 4 4 6 4 + 4 – 6 = 2
D 5 5 8 5 + 5 – 18 = 2
E 3 - - Formeln gäller endast polyedrar
T2 Ovanifrån Framifrån
A *
C *
E
* Sett snett framifrån
21
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
T3 . a dl (cl) b ml c liter d m3 (liter)
T4. apelsin < mjölkpaket < cornflakes < badboll
T5. I deluppgift a ska eleverna utgå från liter och övergå till centiliter där centi
betyder ”hundradels”. Alltså: 3 liter = 300 cl.
I b ska 3 kilogram växlas till gram. ”kilo” betyder tusen, alltså: 3 kg = 3000 g.
T6. Massan ändras inte vid förändrat utseende. Vi kallar här massa för vikt, och
menar att den inte ändras då bladet skrynklas.
T7. a 80 m b 800 m c 400 m d 400 km = 40 mil.
Eleverna kan dra nytta av progressionen i uppgifterna och låta svaren delvis bygga på
varandra.
T8. a 8 cm3 b 24 cm
2 c 21 ∙ 3 mm
2 = 63 mm
2
Sidan 76 (G-spår) Diagnos 2
Facit till Diagnos 1 Sida i Spår 1 med
liknande uppgifter
D1 a 3R + 2T b 4T c 1R + 4T
d 1R + 2C e 6R 78
D2 a tetraedern b cylindern c rätblocket 78
D3 a 27 cm3 b 54 cm
2 79
D4 6 dm3 = 6 l = 6000 cm
3 = 6000 ml 80
D5 a 15 cl < 1,5 l < 1550 ml < 150 dl 80
b 0,3 kg < 0,31 kg < 3,2 hg < 325 g 81
D6 30 m 79
D7 a 27 cm3 b 54 cm
2 c 126 mm
2 = 1,26 cm
2 79
22
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Sidan 37 Utmaningar 2
U1 Här finns tre olika stenar: röd (r), grön (g) och blå (b). Eleverna kan ställa upp tre
ekvationer.
r + g = 6
g + b = 7
b + r = 5
Eleverna kan inte lösa sådana ekvationssystem systematiskt, men de kan Gissa och
kontrollera (strategi 4) Då kan de komma fram till:
r = 2
g = 4
b = 3
På sidan 211 kan eleverna se exempel på liknande ekvationssystem och hur man kan
lösa mera systematiskt.
Eleverna väljer kanske strategi Göra tabell i stället (strategi 2). När de Granskar
villkoren (strategi 6) finner de att ingen sten väger mer än 4 kg (b + r = 5 och endast
heltalsvärden) och att den gröna verkar tyngst. Detta kan begränsa de olika värden
som behöver sättas in i tabellen. Dessutom hjälper det vid val av värden att Leta
systematiskt (strategi 5).
grön blå röd summa
4 3 7
4 _ 6
_ _ 5
Det finns bara en lösning, tre obekanta och tre villkor, men det är nyttigt för eleverna
att ändå ställa frågan och pröva om det finns fler lösningar.
U2 Om vi antar att tegelstenen väger x kg så får vi ekvationen:
x = 13
1 x
Denna ekvation har lösningen x = 3/2 = 1,5. Eleverna löser inte sådana ekvationer
nu, men kanske kan de lösa uppgiften genom prövning med olika värden. Eller kan
de Göra tabell och sätta in olika värden.
Hel sten (kg) Tredjedels (kg) 1 kg
3 > 1 + 1
2 > 2/3 + 1
1 < 1/3 + 1
1,5 = 0,5 + 1
U3 Den tydligaste lösningen för eleverna får de nog med en tabell:
2 liter motsvarar 60 bitar
1 liter motsvarar 30 bitar
A 33 cl (0,33 l) motsvarar ungefär (1/3 liter) 30/3 = 10 bitar
B 1,5 l motsvarar 1,5 ∙ 30 = 45 bitar
23
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Sidan 78-81 (Spår 1)
På dessa sidor förekommer endast de begrepp och uppgiftstyper som eleverna arbetat
med i G-spåret. Vi kommenterar därför endast de uppgifter där det kan finnas
tveksamheter i tolkning eller något annat som är speciellt intressant att lyfta fram.
Uppgift 83b. Eleverna får gärna tycka att klotet D ser regelbundet ut. Detta finns inte
med i facit, eftersom regelbunden endast definieras för polyedrar (och klotet är inte
en polyeder).
Uppgift 84c. I facit har vi svarat med både F och E.
Avbildningen av E ovanifrån bör se ut så här:
Här kan vi då säga att vi ser (minst) en triangel ovanifrån.
Uppgift 96c och f. En liten kaffekopp kan ha volymen 1 dl, en stor 2,5 dl = 250 ml.
I facit har vi valt svaret 1 dl, eftersom 250 ml passar in på uppgift f
Uppgift 102. Vi har i facit placerat in badboll som nr 2, men låt gärna eleverna lägga
den senare. Det viktigaste är att kunna uppskatta/jämföra vikten och motivera sina
val.
Sidan 82-85 (Spår 2)
Uppgift 112b. I facit skriver vi B, F och H. Man kan tänka sig att även ta med D. På
bilden ser inte sidoytan ut att vara kvadratisk, därför har vi inte med den i facit. Låt
gärna eleverna ta med D i sitt facit, och låt dem motivera varför.
Uppgift 118c. I facit svarar vi ” Ja, nästan dubbelt så stor.”
Det är bara 160/96 ≈ 1,7 gånger så stort. Och eventuellt kan eleverna acceptera detta
som ”nästan” dubbelt.
Meningen är att detta ska få eleverna att upptäcka att trots att Ebbas rätblock har
samma volym som Dibas, så har det ”nästan” dubbelt så stor begränsningsarea. Den
vanliga generella slutsatsen kan då komma fram, nämligen att ju mer kubisk desto
mindre begränsningsarea.
Uppgift 119. Om eleverna ritar detta L i skala 1:2 på
halv-centimeterrutat papper så bör det bli så här:
De kan då se att arean är 1 cm2.
De har också tidigare sett att arean blir 1/4 när längdskalan är 1:2.
Uppgift 127. Svaret bör vara 200 cm3, eftersom detta är den naturliga enheten för
denna stens volym. Därför har vi facit skrivit svar i denna följd:
200 cm3 (2 dl = 0,2 l = 0,2 dm
3 = 200 cm
3)
Egentligen är ”skillnaden mellan volymen före och efter ...” = – (minus) 2dl, men
detta hindrar inte från att hitta rätt svar.
Uppgift 128. Denna bygger på att densiteten för vatten är 1 kg/dm3, vilket tidigare
framförts på s. 67.
24
Får kopieras! © Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB
Uppgift 132. Den ekvation som passar till denna uppgift kan vara: 6x + 100 = 1000.
Men eleverna kommer nog, utan att använda ekvation, fram till att de sex äpplena
tillsammans väger 900 g. De får ändå en sorts upptäckt i vad vågskål och ekvation
har för samband.
Uppgift 133. Beräkningen kan ske direkt genom att dividera 50 med 2/3. Detta klara
inte eleverna, och det blir inte bättre av att dividera 50 med 0,67. (De som gör detta
får svaret till ungefär 74,63. De som dividerar 50 med 0,7 får till ungefär 71,43.)
Ett sätt att få exakta svaret 75 mil är att lösa uppgiften på detta sätt:
På 2 liter kommer man 3 mil
På 50 ” ” 25 ∙ 3 mil = 75 mil
Sidan 86-88 Något extra
Uppgift 143. På sidan 112-115 kommer mer om potenser där exponenten är noll.
Vi kan då se att 100 = 1 och att även 2
0 = 1. Eleverna kan se det genom att upptäcka
mönstret i 103 = 1000, 10
2 = 100, 10
1 = 10, 10
0 = 1, 10
-1 = 0,1 …
Uppgift 144. Här kan 1 m3 paras med såväl 10
3 liter som 10
6 ml.
Nu önskar vi dig och dina elever roliga och
lärorika matematik-lektioner!