2. specijalne funkcije
TRANSCRIPT
25
2 Neke specijalne funkcije
Neelementarne funkcije pod nazivom “specijalne“, nastale su kao rezultat rešavanja
raziličitih matematičkih modela u fizici i tehničkim naukama, i to najčešće kao rešenja diferencijalnih jednačina. Njihove vrednosti se ne mogu dobiti analitički (pomoću elementarnih funkcija), nego odgovarajućim numeričkim postupcima. Po obliku, mogu se podeliti u dve klase:
• Funkcije u obliku određenih integrala,
• Funkcije u obliku beskonačnih konvergentnih redova.
Vrednosti specijalnih funkcija su tabelirane u matematičkim priručnicima, a u softverskim proizvodima namenjenim za matematičke proračune (Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab itd.) postoje odgovarajuće funkcije.
2.1 FUNKCIJA GREŠKE
Pri rešavanju parcijalnih diferencijalnih jednačina provođenja toplote i difuzije često se pojavljuje funkcija greške, definisana kao:
∫ −
π=
xt dtex
0
22)(erf (2.1)
Dakle, erf(x) je funkcija gornje granice integrala eksponencijalne funkcije 2xe− .
Da se podsetimo da se u matematičkoj analizi dobija vrednost sledećeg nesvojstvenog integrala:
∫∞ − π=
0 2
2
dxe x (2.2)
Koristeći taj rezultat, dobijamo :
1)(erflim =∞→
xx
(2.3)
26
Izvod i integral funkcije
Funkciju diferenciramo imajući u vidu da je izvod određenog integrala po promenljivoj gornjoj granici jednak podintegralnoj funkciji :
22 22
)(erf0
xx
t edtedx
dx
dx
d−−
π=
π= ∫ (2.4)
Za integral se dobija parcijalnom integracijom:
Cxxxdxx +−π
+⋅=∫ )exp(1
)(erf)(erf 2 (2.5)
Zaista,
{
Cexxxdxexxvduuvdxx xx
dvu
+π
+⋅=π
−⋅=−= −−∫∫∫ 22 1)(erf
2)(erf)(erf
321
Čitaocu ostavljamo da izvede sledeći razvoj za funkciju greške:
∑∞=
++
+−π=
++−++−⋅+⋅−π=
0
121253
)12(!)1(
2
)12(!)1(
5!23!1
2)(erf
n
nn
nn
nn
x
nn
xxxxx LL (2.6)
Izračunavanje vrednosti funkcije. Stabilnost numeri čkog procesa
Pošto se integral kojim je definisana funkcija greške ne može dobiti analitički, njena vrednost za neko x se može izračunati samo približno (ili numerički) i to
• numeričkom integracijom funkcije 2te− u intervalu [ ]x,0 , prema definiciji (2.1)
• kao delimična suma njenog Maklorenovog reda (2.6)
Praktično izračunavanje specijalnih funkcija kao suma stepenih redova kojima su definisane je praćeno problemima, za veće vrednosti argumenta. Naime, neophodno je radi postizanja zadovoljavajuće tačnosti sabrati vrlo veliki broj članova reda, što može biti praćeno akumulacijom mašinske greške (greška računara), koja onemogućava dobijanje traženog rezultata. Za takav proračun se kaže da je nestabilan, jer tokom dugog računskog procesa greška računanja raste i prevazilazi dozvoljenu granicu. Kod nekih nestabilnih računskih procesa računska greška u toku procesa monotono raste po apsolutnoj vrednosti, dok se kod nekih uočavaju oscilacije greške uz povećanje amplitude. Rezultat je, da iako niz parcijalnih zbirova reda { })(xsn teoretski konvergira, niz izračunatih parcijalnih zbirova ne
pokazuje tendenciju nagomilavana kada n raste oko neke vrednosti koja predstavlja sumu reda )(xs , već divergiraju monotono ili oscilatorno. Jasno je da je numerička nestabilnost pri
izračunavanju parcijalnih suma beskonačnih redova utoliko veća ukoliko je konvergencija reda sporija, jer tada ono uključuje veći broj računskih operacija (veći broj članova reda).
27
Numerička integracija, koja se bazira na integraciji interpolacionog polinoma podintegralne funkcije [Bronšt] je stabilan računski proces, koji nije praćen uvećanjem (propagacijom) greške u toku procesa. Ugrađeni postupci za numeričko izračunavanje određenih integrala u Mathcad-u su:
1. Romberg: Rombergova iteraciona metoda - vidi Dodatak C
2. Adaptive: postupak sa varijabilnim korakom integracije (adaptive quadrature method), koji je manji što je nagib krive veći. Oni se odlikuju se velikom tačnošću. Izbor jedne od navedenih metoda se vrši u meniju koji se aktivara desnim klikom na sam integral u matematičkom regionu i koji pored navedene dve sadrži još dve metode, namenjene izračunavanju nesvojstvenih integrala (Dodatak C):
3. Infinite Limit za izračunavanje nesvojstvenog integrala prve vrste;
4. Singular Endpoint, za izračunavanje nesvojstvenog integrala druge vrste
Vežba 1.1. Nacrtati u Mathcad-u funkciju erf(x) u intervalu [-2, 2], koristeći ugrađenu funkciju erf(x). Proveriti identitete (2.4) i (2.5), koristeći simboličko računanje.
Vežba 1.2. Definisati funkciju za približno izračunavanje vrednosti funkcije greške, koja se bazira na definiciji (2.1) i testirati njenu pouzdanost (tačnost i numeričku stabilnost) poređenjem sa ugrađenom Mathcad funkcijom erf(x)
Vežba 1.3. Uočiti numeričke nestabilnosti sledeće dve Mathcad funkcije (Mcad fajl, Vezba 1.3) za približno izračunavanje funkcije greške pomoću Maklorenovog polinoma stepena 2N+1, prema jedn. (2.6),
Erf2 x( ) z x←s 0←
ε 109−←
n 0←
s s z+←
z z− 2n 1+2n 3+( ) n 1+( )⋅⋅ x
2⋅←
n n 1+←
z ε>while
s s2
π⋅←
sreturn
:=
Erf1 x N,( )2
π0
N
n
1−( )n x
2n 1+
n! 2n 1+( )⋅∑=
⋅:=
za veće vrednosti argumenta ( 5>x ) i uporedit trend računskih grešaka (monoton ili oscilatoran).
28
2.2 INTEGRALNE EKSPONENCIJALNE I TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Integralna eksponencijalna, sinusna i kosinusna funkcija su definisane redom kao integrali:
0,)exp(
)(Ei ≠= ∫∞−
xdtt
tx
x
(2.7)
,sin
)(Si0∫= x
dtt
tx (2.8)
0,cos1
lncos
)(Ci0
>−−+γ=−= ∫∫∞ xdtt
txdt
t
tx
x
x
(2.9)
Mogu se izvesti sledeće granične vrednosti datih funkcija:
−∞==−∞= )0(Ci,0)0(Si,)0(Ei (2.10a)
2)(Si,)(Ei π=∞∞=∞ (2.10b)
U literaturi [Bronšt] se mogu naći sledeći razvoji u redove integralnih funkcija:
∑∞= ⋅
++γ=1 !
ln)(Ein
n
nn
xxx (2.11)
∑∞=
−+
−−−=
1
121
)!12)(12()1()(Si
n
nn
nn
xx (2.12)
∑∞= ⋅
−++γ=1
2
)!2(2)1(ln)(Ci
n
nn
nn
xxx (2.13)
U datim razvojima, γ predstavlja Ojlerovu (Euler) konstantu :
∫∞ ∞→
− =
−++++=−=γ0
015335772156649.0ln1
3
1
2
11limln KL n
ntdte
n
t (2.14)
Izračunavanje vrednosti funkcija .
Integralna eksponencijalna funkcija (jedn. 2.7) je definisana složenim nesvojstvenim integralom (Dodatak C), jer je,
• donja granica integrala beskonačna,
29
• za pozitivne vrednosti argumenta, imamo singularnu tačku, 0=x u oblasti integracije.
Pri tom je funkcija u oblasti 0>x definisana kao Košijeva glavna vrednost (Dodatak C):
xcdtt
tdt
t
tdt
t
tdt
t
tx
x
c
c
c
c
<<+
++= ∫∫∫∫
ε
ε−
−−→ε
−
∞−
0,)exp()exp()exp(
lim)exp(
)(Ei0
(2.15)
gde je c proizvoljno odabran pozitivan broj, manji od x.
Praktično izračunavanje vrednosti teoretski konvergentnih nesvojstvenih integrala, sa jednom ili obe beskonačne granice integracije praćeno je, slično izračunavanju suma beskonačnih redova, problemom konvergencije odgovarajućih numeričkih postupaka. Mathcad ima ugrađen Rombergov iteracioni postupak za izračunavanje takvih nesvojstvenih integrala, u kojima se u kriterijumu za okončanje iteracionog postupka koristi sistemski parametar (tolerancija) TOL (Dodatak C). Izračunavanje nesvojstvenog integrala se realizuje kao i izračunavanje bilo kog određenog integrala, pomoću operatora integracije iz Calculus palete, u koju je uključen i simbol ∞ . Izbor odgovarajućeg postupka se postiže izborom: Infinite Limit iz menija koji se otvara desnim klikom na integral. Željena tačnost, ukoliko proračun konvergira, postiže se smanjivanjem tolerancije TOL, čija je vrednost po default-u jednaka 0.001, tako što se ona smanjuje dok se određeni broj cifara ne poklopi u dva uzastopna rezultata. Tako ako želimo rezultat sa s sigurnih cifara, smanjujemo toleranciju (recimo deleći je sa 10 ili 100) dok se dva uzastopna rezultata ne slože na (s+1) značajnoj cifri (nakon zaokruživanja).
U Mathcad nisu uklju čeni postupci za izračunavanje nesvojstvenog integrala druge vrste sa singularnom tačkom unutar inervala integracije. Tako se vrednosti integralne eksponencijalne funkcije za pozitivne vrednosti argumenata ne mogu računati po jednačini (2.7).
U analizi problema numeričkog izračunavanja funkcije greške (Vežbe 1.2 i 1.3) zapazili smo da je pogodnija formulacija funkcije u obliku integrala od one u obliku beskonačnog reda. To važi i u slučaju da definicija funkcije uključuje nesvojstveni integral, ali je tada računski problem teži imajući u vidu problem konvergencije iterativnog izračunavanja nesvojstvenog integrala. Tako ćemo radi izračunavanja vrednosti integralne eksponencijalne funkcije za veće vrednosti argumenta poći od definicije (2.7), imajući pri tom u vidu da Mathcad ne podržava neposrednu primenu te formulacije zbog singularne tačke 0=x (podintegralna funkcija neograničena). Zato ćemo integral (2.7) računati kao zbir integrala (2.15).
Prvi integral u zbiru (2.15),
xcdtt
tI
c
<<= ∫−∞−
0,)exp(
1 (2.15a)
je nesvojstveni integral prve vrste sa beskonačnom donjom granicom integracije, pa ga u Mathcad-u računamo birajući metod Infinite Limit. Poslednji integral u zbiru,
xcdtt
tI
x
c
<<= ∫ 0,)exp(
3 (2.15b)
30
je 'običan' tj. Rimanov određeni integral, pa za njegovo izračunavanje možemo da biramo metode: Romberg ili Adaptive. Pri tom za male vrednosti donje granice c prednost treba dati metodi Adaptive imajući u vidu veliki nagib podintegralne funkcije u blizini donje granice.
Preostaje problem izračunavanja granične vrednosti:
xcdtt
tdt
t
tI
c
c
<<
+= ∫∫
ε
ε−
−−→ε
0)exp()exp(
lim0
2
Podintegralnu funkciju ćemo zameniti razvojem u Maklorenov red, pa dobijamo:
⋅++
⋅+=
+
=
ε
∞
=
ε−
−
∞
=−→ε
ε
∞
=
−ε−
−
∞
=
−
−→ε∑∑∫ ∑∫ ∑
c
n
n
cn
nc
n
n
c n
n
nn
tt
nn
ttdt
n
tdt
n
tI
110
0
1
0
1
02 !
ln!
lnlim!!
lim
++⋅+⋅+=+⋅+=⋅−−⋅= ∑∑∑ ∞
=
+∞
=
∞
=
L
!55!332
)!12()12(2
!)1(
!
53
0
12
112
ccc
kk
c
nn
c
nn
cI
k
k
n
nn
n
n
(2.15c)
Konačno, možemo da predložimo prakti čne formule za izračunavanje vrednosti integralne eksponencijalne funkcije u Mathcad-u, pod pretpostavkom da se za pozitivnu konstantu c bira neki relativno mali broj :
0 za,)exp(
)(Ei <−
= ∫∞ xdtt
tx
x
(2.16a)
cxnn
xxx
N
n
n
≤<⋅++γ≈ ∑=
0 za,!
ln)(Ei1
(2.16b)
xcdtt
t
kk
cdt
t
tx
x
c
N
k
kc
<<++⋅+
+≈ ∫∑∫=
+−
∞−
0 za,)exp(
)!12()12(2
)exp()(Ei
Adaptive metodom
0
12
Limit Infinitemetodom4342143421
(2.16c)
Predložene formule zahtevaju odgovarajući izbor broja c, maksimalnog indeksa u sumama, N, kao i sistemskog parametra TOL, radi dobijanja vrednosti funkcije sa zadovoljavajućom tačnošću.
Integralni sinus je definisan jednačinama (2.8) i (2.12). Za praktične proračune ove funkcije, kao delimične sume reda, u Mathcad-u, pogodno je sumu (2.12) reformulisati kao:
∑ ∏∞
=
−
=
+
−
−=
1
12
1
1
12
)1()(Si
n
n
i
n
i
x
nx (2.17)
čime se menja redosled operacija pri izračunavanju člana reda i tako izbegavaju veliki brojevi. Svakako da prednost treba dati formulaciji (2.8), koja omogućuje vrlo tačno izračunavanje s obzirom da je podintegralna funkcija konačna u celom intervalu integracije te integral (2.8) nema karakter nesvojstvenog integrala.
31
Za integralni kosinus, jasno je da je najpogodnija za proračune druga od formula u jedn. (2.9) jer uključuje izračunavanje 'običnog' određenog integrala (podintegralna funkcija je konačna),
∫ −x
dtt
t
0
cos1
umesto složenog nesvojstvenog integrala,
∫∞x
dtt
tcos
u prvoj od formula.
Vežba 2.1. a) Proveriti da li je Ojlerova konstanta definisana simbolički u Mathcadu i izračunati je sa tačnošću od 10 sigurnih cifara.
b) Definisati Mathcad funkcije za približno izračunavanje integralne eksponencijalne funkcije pomoću predloženih formula (2.16a-c). Nacrtati grafik funkcije u intervalu ]10,0( sa
parametrima: 510TOL,1,10 −
=== cN . Proveriti da li je odabran broj članova delimičnog reda dovoljno veliki, a odabrana tolerancija dovoljno mala, da bi se obezbedilo izračunavanje vrednosti funkcije sa 10 sigurnih cifara.
Vežba 2.2. a) Formirati Mathcad funkcije za približno izračunavanje integralnog sinusa kao integrala (2.8) i kao delimične sume reda u jedn. (2.17).
b) Koristeći kao referentnu vrednost za Si(10) onu izračunatu pomoću druge od formiranih funkcija sa 100=N , uveriti se da je za izračunavanje prvom funkcijom pouzdanija Adaptive metoda od Romberg metode. Uveriti se da je pri tom dovoljno uzeti
001.0TOL = .
c) Nacrtati grafik funkcije u intervalu (0, 20].
Vežba 2.3. Nacrtati grafik integralnog kosinusa u intervalu (0, 20]
. 2.3 GAMA I BETA FUNKCIJA
Gama funkcija )(xΓ definisana je, za pozitivne vrednosti argumenta, kao parametarski nesvojstveni integral, tj. x figuriše kao parametar u podintegralnoj funkciji:
0,)(0
1 >=Γ ∫∞ −− xdtetx tx (2.18)
Izračunaćemo vrednosti Gama funkcije za x = 1 i x = 1/2:
1)1(0
0
=−==Γ∞
−
∞
−∫ tt edte (2.19a)
32
∫∫ ∞
−
=
∞
−− π===
Γ0
)(0
21 2
22
2
1duedtet u
ut
t (2.19b)
Potražićemo graničnu vrednost funkcije kada 0→x :
∫ ∫∫ −∞
∞−
∞
−=
−
∞=−=−===Γ0
0
0)(
)0(Ei)0( duu
edu
u
edt
t
e uu
ut
t
(2.20)
Kada x raste, )(xΓ raste vrlo brzo, u šta ćemo se uveriti u Vežbi 3.2., i pri tom se vrlo brzo približava elementarnoj funkciji:
x
e
x
xx
π≈Γ 2
)( (2.21)
Kažemo da se Gama funkcija asimptotski približava datoj elementarnoj funkciji, tj. da je ona asimptotska aproksimacija (Dodatak A) Gama funkcije. Aproksimacija (2.21) je poznata pod imenom Stirlingova (Stirling) formula .
Parcijalnom integracijom se izvodi sledeća rekurentna formula :
)()1( xxx Γ=+Γ (2.22)
Uzastopna primena rekurentne formule za celobrojnu pozitivnu vrednost, x = n daje:
)1(12)2)(1()1()1()()1( Γ⋅⋅−−==−Γ−=Γ=+Γ LL nnnnnnnnn
i pošto je 1)1( =Γ (vdi jedn. 2.19a) ,
!)1( nn =+Γ (2.23)
Tako se Gama funkcija može smatrati generalizacijom faktorijela, na koga se svodi za pozitivne celobrojne vrednosti argumenta. Primenom Stirlingove formule (2.21), faktorijeli većih brojeva se mogu približno dobiti, kao:
n
e
nnn
π≈ 2! (2.24)
Nesvojstveni integral (2.18) (podintegralna funkcija je neograničena u donjoj granici integrala, a gornja granica integrala je neograničena) konvergira (ima graničnu vrednost) samo za pozitivne vrednosti x, pa je definicija Gama funkcije ograničena na interval x > 0. Koristeći međutim rekurentnu formulu u obliku:
x
xx
)1()(
+Γ=Γ (2.25)
može se proširiti definicija Gama funkcije i na negativne vrednosti argumenta . Naprimer,
33
π−=−
Γ=
−Γ 2
2
12
1
2
1
Iz (2.25) sledi da funkcija ima vertikalne asimptote u x = 0, kao i za sve negativne celobrojne vrednosti.
Vežba 3.1. Izračunati u Mathcad-u )21(Γ i )21(−Γ numerički (pomoću ugrađene Mathcad funkcije) i simbolički
Vežba 3.2. Nacrtati grafik )(xΓ u opsegu : 5)(,4 ≤Γ≤ xx i uporediti ga sa teorijom.
Beta funkcija
Beta funkcija je definisana kao parametarski integral sa dva parametra :
∫ >−=Β −−
1
0
11 0,,)1(),( yxdtttyx yx (2.26)
Između Beta i Gama funkcije postoji veza:
)(
)()(),(B
yx
yxyx
+ΓΓΓ= (2.27)
Neki određeni integrali se mogu izraziti preko Beta funkcije.
Primer:
=−=−=− ∫∫∫ −−=
3
2,
2
3
2
1)1(
2
1
12
1
1
1
0
13
21
2
31
03
1
03 2
2 2
Bdtttt
dtt
x
dxx tx
Vežba 3.3 Izračunati integral iz poslednjeg primera direktno i pomoću Beta funkcije
2.4 BESELOVE FUNKCIJE Beselove (Bessel) funkcije su partikularna rešenja poznate Beselove dif. jednačine
(Glava 7), koja predstavlja matematički model prenosa toplote i komponente u sistemima cilindrične geometrije. One imaju formu beskonačnih stepenih redova. Interesovaće nas ponašanje Beselovih funkcija samo za nenegativne vrednosti argumenta, 0≥x , s obzirom da x u pomenutim problemima uzima samo pozitivne vrednosti, kao koordinata tačke unutar tela kroz koga difunduje toplota ili masa.
34
Beselova funkcija prve vrste
Beselova funkcija prve vrste, reda p, definisana je kao stepeni red:
R∈
++Γ
−=∑∞=
+
px
pnnxJ
n
pnn
p ,2)1(!
)1()(
0
2
(2.28)
Ako je red celobrojan, p = m, ona postaje:
∑∞=
+
+
−=0
2
2)!(!
)1()(
n
mnn
m
x
mnnxJ (2.28a)
Naprimer, Beselova funkcija prve vrste nultog reda je red:
L+−+−+−=
−=∑∞=
28
8
026
6
24
4
2
22
20 )!4(2)!3(2)!2(221
2)!(
)1()(
xxxxx
nxJ
n
nn
Može se pokazati da se Beselove funkcije prve vrste, reda 1/2 i – 1/2 svode na elementarne funkcije:
xx
xJ sin2
)(21π
= (2.29a)
xx
xJ cos2
)(21π
=−
(2.29b)
Zaista,
( ) ( ) ( ) ( )
+Γ−Γ+Γ−Γ
=
+Γ
−
=
+Γ
−
=
+Γ
−= ∑∑∑ ∞
=
+∞
=
+∞
=
+
L
29!3227!22252232
2
2)23(!
)1(2
22)23(!
)1(2
2)23(!
)1()(
7
7
5
5
3
321
0
1221
0
2121221
0
212
21
xxxx
x
x
nnx
xx
nnx
x
nnxJ
n
nn
n
nn
n
nn
Ako primenimo rekurentnu formulu (2.22):
( )
( ) xx
xxxx
x
xxxx
xxJ
x
sin2
!7!5!3!121
12
21232527!32212325!222123221221
12)(
sin
753
1
21
7
7
5
5
3
321
21
π=
+−+−Γ
=
+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅Γ
=
π
4444 34444 21
L
321
L
Vežba 4.1. Nacrtati grafike Beselove funkcije prve vrste, nultog, prvog i drugog reda u intervalu [0, 15], pomoću ugrađenih Mathcad funkcija.
35
Beselova funkcija druge vrste
Definiše se Beselova funkcija druge vrste, celobrojnog reda, m, Ym(x) Izrazi su vrlo kompleksni i daćemo samo Beselovu funkciju druge vrste, nultoga reda:
−+
γ+
π= ∑∞=
+
1
222
100 )!(2
)1()(2
ln2
)(n
n
nnn xn
hxJ
xxY (2.30)
gde je γ Ojlerova konstanta (2.14), a hn je parcijalna suma harmonijskog reda:
n
hn
1
3
1
2
11 ++++= L (2.30a)
Ova funkcija je u literaturi poznata i kao Veberova (Weber) funkcija.
Vežba 4.2. Nacrtati grafike Beselove funkcije druge vrste, nultog, prvog i drugog reda u intervalu [0, 15]
Modifikovane Beselove funkcije prve i druge vrst e
Modifikovana Beselova funkcija prve vrste je definisana kao:
)()( ixJixI pp
p−
= (2.31)
što daje:
∑∞=
+
++Γ=
0
2
2)1(!
1)(
n
pn
p
x
pnnxI (2.32)
Za 21 i 21 −== pp svodi se na elementarne funkcije:
xx
xI sinh2
)(21π
= (2.33a)
xx
xI cosh2
)(21π
=−
(2.33b)
Definisana je modifikovana Beselova funkcija druge vrste, celobrojnog reda (modifikovana Veberova funkcija), Km(x) i daćemo samo izraz kojim je definisana modifikovana Beselova funkcija druge vrste, nultog reda:
∑∞=
+
γ+
−=1
2
200 2)!()(
2ln)(
n
n
n x
n
hxI
xxK (2.34)
Vežba 4.3. Nacrtati grafike modifikovanih Beselovih funkcija 1010 ,,, KKII u opsegu [0, 3]
36
za argument i [0, 2.5] za funkcije.
Asimptotsko ponašanje Beselovih funkcija za velik e vrednosti argumenta
Za velike vrednosti argumenta, važe sledeće asimptotske aproksimacije [] :
π−π−π≈24
cos2
)(p
xx
xJ p (2.35a)
)24
sin(2
)(π
−π
−π
≈ mxx
xYm (2.35b)
x
xxI p
π≈
2
)exp()( (2.35c)
)exp(2
)( xx
xKm −π
≈ (2.35d)
Neke rekurentne formule
Daćemo neke od rekurentnih formula [Rice,R.,D. Duong, 1995], koje su korisne za dobijanje vrednosti funkcija jednog reda i njihovih prvih izvoda preko poznatih vrednosti funkcija iste vrste drugog reda. Za Beselovu funkciju prve vrste važi:
)()()(
),(2
)()( 111 xJx
pxJ
dx
xdJxJ
x
pxJxJ pp
pppp −==+ −+− (2.36a)
Analogna formula, formuli (2.36a), važi i za Beselovu funkciju druge vrste, )(xYp .Dalje,
)()()(
),(2
)()( 111 xIx
pxI
dx
xdIxI
x
pxIxI pp
pppp −==− −+− (2.36b)
)()()(
),(2
)()( 111 xKx
pxK
dx
xdKxK
x
pxKxK pp
pppp −−=−=− −+− (2.36c)
Diferenciranje Beselovih funkcija
Pokazuje se da za Beselovu funkciju prve vrste, )(xJ p važe relacije [Varma A., M.
Morbidelli, 1997]:
[ ] )()( 1 xJxxJxdx
dp
pp
p−
= (2.37a)
37
[ ] )()( 1 xJxxJxdx
dp
pp
p+
−−−= (2.37b)
Analogne relacije važe i za Beselovu funkciju druge vrste.
Za modifikovanu Beselovu funkciju prve vrste važi:
[ ] )()( 1 xIxxIxdx
dp
pp
p−
= (2.38a)
[ ] )()( 1 xIxxIxdx
dp
pp
p+
−−= (2.38b)
a za modifikovanu Beselovu funkciju druge vrste
[ ] )()( 1 xKxxKxdx
dp
pp
p−
−= (2.39a)
[ ] )()( 1 xKxxKxdx
dp
pp
p+
−−−= (2.39b)
ZADACI
2.1 Pokazati metodama matematičke analize da je erf(x) neparna i monotono rastuća funkcija.
2.2 a) Polazeći od jedn. (2.5), definisati funkciju ∫= x
dttxF0
)(erf)(
b) Pokazati da je parna i konkavna (udubljena, gledano odozgo), sa jedinim ekstremumom u tački 0=x i skicirati njen grafik.
c) Nacrtati njen grafik u Mathcad-u, u intervalu 1010 ≤≤− x
2.3 U literaturi se definiše komplementarna funkcija greške kao:
∫∞ −
π=
x
t dtex22
)(erfc
a) Pokazati da je erf(x) + erfc(x) = 1
b) Pronaći u Mathcad-u ovu funkciju i nacrtati je u intervalu [-2, 2]
c) Proveriti u Mathcad-u identitet u a)
2.4 Gustina verovatnoće slučajne promenljive X sa normalnom raspodelom je :
σµ−−σπ=2
2
2
)(exp
2
1)(
xxf
gde su µ i σ srednja vrednost i disperzija raspodele. Funkcija raspodele verovatnoće slučajne promenljive X , F(x) predstavlja verovatnoću da bude xX < :
38
∫∞−
=≤=x
dttfxXPxF )()()(
Pokazati da se funkcija normalne raspodele može izraziti kao:
σµ−+=
2erf1
2
1)(
xxF
Ako definišemo bezdimenzionu slučajnu promenljivu (standardizovana slučajna promenljiva)
σµ−= x
z , nacrtati standardizovanu funkciju normalne raspodele,
+=2
erf12
1)(0
zzF
u intervalu 5<z .
2.5 Imajući u vidu da je, praktično, funkcija greške jednaka 1 za 5>x , modifikovati
funkciju Erf2(x) (Vežba 1.3.), koristeći instrukcije if i otherwise, da bi se izbegle greške pri izračunavanju za veće vrednosti argumenta.
2.6 Izvesti izraz za integralnu ekpsonencijalnu funkciju datu jednačinom (2.11). Uputstvo: Prikazati polazni integral kao zbir integrala sa intervalima ],0[],0,( x−∞ i prvi od njih rešiti parcijalnom integracijom, a u drugom razviti podintegralnu funkciju u red.
2.7 Dokazati granične vrednosti : −∞=−∞= )0(i,)0(Ei C
2.8 Izvesti razvoj za integralni sinus (2.12).
2.9 Pokazati da je integralni sinus neparna funkcija i to:
a) Analizom njenog reda (2.12)
b) Koristeći geometrijsku interpretaciju određenog integrala
2.10 U literaturi [Bronšt.] se nalazi i sledeća definicija gama funkcije preko beskonačnog proizvoda:
)()2)(1(
!lim)(
nxxxx
nnx
x
n +++=Γ
∞→L
a) Koristeći tu definiciju izvesti rekurentnu formulu (2.19).
b) Pokazati da se )(1 xΓ može prikazati kao:
( )∏=
∞→−
+
+
+=Γ
n
knxn
kxxhn
n
xxxx
x 1
exp)exp(
12
11
1
lim)(
1L
gde je nh parcijalni zbir harmonijskog reda (2.30a) i odatle izvesti:
∏∞=
−
+γ=Γ 1
)exp(1)exp()(
1
n
nxn
xxx
x
39
gde je γ Ojlerova konstanta (2.14)
2.11 Izvesti sledeće rezultate: 1!0 = , π=
−Γπ=
Γ3
4
2
3,
8
15
2
7
2.12 Izvesti i proveriti matematičkom indukcijom sledeće formule:
( ) ,...2,1,!)!12(
21
2
1,
2
!)!12(
2
1 =π−−=
+−Γπ−=
+Γ nn
nn
nn
n
n
2.13 Polazeći od Stirlingove formule (2.21), izvesti aproksimaciju (2.24). Izračunati približno faktorijele brojeva 5, 7 i 10 i relativne greške rezultata.
2.14 Izračunati pomoću Gama funkcije integrale:
a) ∫∞ −
0
2.5 2
dxex x b) ,...2,1,0
2 2
=∫∞ − ndxex xn
2.15 Pokazati da je :
2
1ln
1
0
π=∫ dx
x (Pomoć: uvesti smenu tex −= )
2.16 Pokazati : 0
)1(=
+Γ−=γx
xdx
d
2.17 a) Pokazati da je ),(),( xyyx Β=Β .
b) Izračunati: )21,21(),21,1(),2,1( ΒΒΒ i proveriti rezultate, koristeći simbolički račun u Mathcad-u.
2.18 Pokazati :
a) ,...2,1,,)!1(
)!1()!1(),(B =
−+
−−= nm
nm
nmnm b)
Β=−∫ 3
1,
2
1
3
1
1
1
03x
dx
c) ∫π
βα
+β+α=⋅⋅2
0 2
1,
2
1B
2
1cossin xdxxx (Uputstvo: smena xt 2sin= )
d) ,...4,22,22
!)!12(sin
2
0
==π−
=⋅∫π
kmk
kxdxx
km
2.19 Napisati prvih 5 članova reda kojim je definisana funkcija )(2 xJ .
2.20 a) Izvesti, koristeći formulu iz zadatka 2.11, sledeći izraz za opšti član reda funkcije )(21 xJ :
2112 2
!)!12(!2)1(
+−+
xnn
xn
nn
b) Pokazati matematičkom indukcijom da je : )!12(!)!12(!2 +=+ nnnn
40
c) Koristeći izraz u a) i jednakost u b), izvesti jedn. (2.25a).
2.21 Izvesti jedn. (2.29b).
2.22 Izvesti izraz (2.32).
2.23 Pokazati (2.33a,b).
2.24 Izvesti sledeće aproksimacije za male vrednosti argumenta:
xxK
xxY
p
xxIxJ
p
p
pp
ln)(
ln2
)(
)1(2)()(
0
0
−≈π
≈
+Γ≈≈
2.25 Pokazati da je:
broj) ceo je (0)(,0)(Y
broj)realan je ()(,0)(
)0(,)0(Y
0) broj, ceo je (0)0()0(
1)0()0(
00
00
mK
pIJ
K
mIJ
IJ
mm
pp
mm
=∞=∞
∞=∞=∞
∞=−∞=
≠==
==
2.26 Proveriti grafički aproksimacije (2.35a,b) za p =2.
2.27 Proveriti grafički aproksimacije (2.35c,d) .
2.28 Pronaći prve (po veličini) tri nule funkcije )(2 xJ .
2.29 Pronaći prve (po veličini) tri nule funkcije )(2 xY .
2.30 Napisati formule kojima se, polazeći od vrednosti funkcija )( i )( 10 xJxJ mogu dobiti
vrednosti funkcija )( i )( 32 xJxJ i proveriti ih u Mathcad-u.
2.31 a) Pokazati :
−−
π=
−π= xx
xx
x
xxJx
x
x
xxJ cos
3sin
32)(,cos
sin2)(
2
2
2523
i proveriti simbolički u Mathcad-u.
b) Pokazati da se , uopšte, bilo koja Beselova funkcija prve vrste, reda 21+m ( m je ceo broj) može izraziti preko elementarnih funkcija.
41
2.32 a) Izvesti sledeću aproksimaciju trećeg reda za funkciju greške, za male vrednosti argumenta:
−π≈
3
2)(
3xxxerf
b) Koristeći ovu aproksimaciju, proceniti )3.0(erf sa preciznošću od 4 decimale.
c) Procenti granice intervala u kome leži tačna vrednost za )3.0(erf , sa preciznošću od 5 decimala i proveriti ih, smatrajući tačnom vrednost koju daje Mathcad funkcija erf.