2 sistemas lineares - utfpr
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CAMPUS PATO BRANCO Curso das Engenharias
2 SISTEMAS LINEARES
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CAMPUS PATO BRANCOCoordenação do Curso das Engenharias e Tecnologia
Índice de tabelasTabela 1- Matéria Prima e Produtos..........................................................................................................................6
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SumárioCAPITULO 2............................................................................................................................................................42 METODOS DIRETOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES.........................................................4
TRANFORMAÇÕES ELEMENTARES............................................................................................................52.1 ELIMINAÇÃO DE GAUSS...............................................................................................................................6
2.1.1 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................................62.2 PIVOTAMENTO PARCIAL.......................................................................................................................13
2.2.1 Estratégias De Pivotamento................................................................................................................132.2.1.1 Pivotação parcial..............................................................................................................................132.3.1 Exercicios............................................................................................................................................15
2.3 PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO..............................................................................................172.4 FATORIZAÇÃO LU....................................................................................................................................20
2.4.1 EXERCICIOS.....................................................................................................................................232.5 FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY...............................................28
2.5.1 Exercicios............................................................................................................................................292.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS LINEARES............................................33
2.6.1 Metodo Iterativo de Jacobi..................................................................................................................342.6.1.1Criterio de Convergencia para o Método de Jacobi....................................................................34
2..6.2 Método Iterativo de Gauss-Seidel......................................................................................................372.6.3 Exercicios............................................................................................................................................39
2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO.............................................................................................392.7.1 Norma Matricial..................................................................................................................................40
2.7.1.1 Exercicios...................................................................................................................................41J) MATRIZ INVERSA PELA ADJUNTA.........................................................................................................44L) USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO....................................................................................................452.8 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA...............................................................................45
2.5.2 Aplicações da Ferramenta Matematica Scilab....................................................................................472.5.3 Aplicações da Ferramenta Matematica wxmaxima............................................................................47
REFERÊNCIAS......................................................................................................................................................50
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CAPITULO 2
2 METODOS DIRETOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
• Para BARROSO (1987, p.17) através de um sistema linear Sn de n equações e n
variáveis pode-se aplicar em calculo de estruturas, redes elétricas e solução de
equações diferenciais, entre outras.
• Um sistema linear Sn de n equações com n incógnitas:
S n=
a11 x1a12 x2...a1n xn=b1
a21 x1a22 x 2...a2n xn=b2
..............an1 x1an2 x 2...ann xn=bn
• Sob a forma matricial Sn pode ser escrito como Ax=b, onde A é uma matriz
aumentada quadrada de ordem n, b e x são matrizes n por 1 , e aij é chamado de
coeficiente da variável xj e os bj são chamados de termos independentes.
• A matriz A é chamada matriz dos coeficientes e a matriz aumentada ou matriz
completa do sistema.
B=[a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2nb2
.........an1 an2 ... annbn
] = [A:b]1
Os números x1 , x2 , . .. , x n constituem uma solução do sistema linear e as equações
transformam em igualdades numéricas.
A solução é escrito na forma de matriz coluna:
X=[x1
x2
...x n
T
]1Concatenção de matrizes
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• Os sistemas lineares podem ser classificados quanto ao numero de soluções em
compatível, quando tem solução e incompatível não tem solução.
• Os sistemas compatíveis podem ser determinados ( uma solução) ou indeterminados
( varias soluções).
TRANFORMAÇÕES ELEMENTARESBARROSO (1987,p.17)
• trocar a ordem de duas equações do sistema
• multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula
• adicionar duas equações do sistema
LEON (2011, p.13) Sistemas sobredeterminados-
• há mais equações que variáveis, são geralmente inconsistentes.
LEON (2011, p.15) Sistemas Subdeterminados
• menos equações do que variáveis.
• Um sistema subdeterminado possa ser inconsistente , mas geralmente são consistentes
com um numero infinito de soluções.
Métodos diretos: estes métodos determinam a solução de um sistema linear com um numero
finito de operações. BARROSO(1987, p.17)
DALCIDIO( 1989,p.68), o método de Gauss é indicado para matrizes densas não simétricas
de ordem até 50.
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a) ELIMINAÇÃO DE GAUSS2.1 ELIMINAÇÃO DE GAUSS
2.1.1 EXERCÍCIOS
1) BOLDRINI ( 1980, p.51), resolva os sistemas lineares:a) x1+2x2-x3+3x4=1 b) x+y+z=4 c) x +y+z=4 d) x-2y+3z=0
2x+5y-2z=3 2x+5y-2z=3 2x+5y+6z=0
x+7y-7z=5
2) FRANCO (2009, p.162) aplicações práticas. Sejam x1,x2,x3,x4 o numero de quatro
produtos que podem ser produzidos no decorrer de uma semana. Para a produção de cada
unidade , precisa-se de tres tipos diferentes de matérias-primas A, B e C, conforme indicado
na tabela 1.0:
Tabela 1- Matéria Prima e Produtos
materia-prima
produtos A B C
1 1 2 4
2 2 0 1
3 4 2 3
4 3 1 2
Para produzir uma unidade de (1) precisa-se de 1 unidade de A, 2 de B e 4 de C. Se existem
disponíveis 30,20 e 40 unidades de A, B, C, respectivamente , quantas unidades de cada
produto pode ser produzido? Resolva o sistema linear pela eliminação de Gauss.
X=[6
−x4+ 82
−x4+ 8
2x4
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3) BOLDRINI ( 1980, p.54)Faça o balanceamento das reações:
a)HF + SiO2 →SiF4+H2O ( dissolução do vidro em HF)
SOLUÇÃO :
xHF + ySiO2 →zSiF4+tH2O
equações do balanceamento da reação química
H: x =2t
F: x=4z
Si: y =z
O: 2y =t
4) LEON (2011, p.17) FLUXO DE TRÁFEGO. Em uma regiao central de certa cidade, dois
conjuntos de ruas mão única se interceptam conforme figura seguir . O volume de trafego
* em cada intersecção, o numero de automóveis entrando deve ser o mesmo que o numero
saindo.
x1+450=x2+610 ( intersecção A)
x2+520=x3+480 ( intersecção B)
x3+390=x4+600 ( intersecção C)
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450 310
A D610 x1 640
x4x2
520 B x3 C 600
520 x3
480 390
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x4+640=x1+310 ( intersecção D)
• em seguida resolver o sistema linear.
• RESPOSTA: [k+330;k+170;k+210;k]T
5) LEON (2011, p.24) FLUXO DE TRÁFEGO.Em uma regiao central de certa cidade, dois
conjuntos de ruas mao única se interceptam conforme figura seguir . O volume de tráfego:
resposta: x1=280 x2=230 x3=350 x4=590
LEIS DE KIRCHHOF
LEON(2011, p.18)
1. em qualquer nó , a soma das correntes entrando é igual a soma das correntes saindo.
2. Ao longo de qualquer malha fechada, a soma algebrica de todos os ganhos de tensão deve
ser igual a soma algebrica de todas as quedas de tensão.
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380 x4
430 A x1 D 450
x2420
400540 B x3 C
420 470
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6)LEON(2011, p.18)
As quedas de tensao E cada resistor são dadas pela lei de Ohm, E=iR onde i representa a
corrente em ampéres e R a resistencia em ohms.
Solução : primeira lei i1+i3=i2 ( nó A)
i2=i1+i3 ( nó B)
segunda lei 4i1 +2i2=8 malha superior
2i2 +(2+3)i3=9 malha inferior
resposta: i1=1 i2=2 i3=1
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7) LEON( 2011, p.25)
a) solução : (nó A) i1+i3=i2
( nó B) i2=i1+i3
2i1 +2i2=16
2i2 +3i3=0 resposta:[ 5;3;-2]
b) solução ( no A) i2=i1+i3
( no B) i2=i1+i3
2i1+ 4i2=20
4i2+2i3=20
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c) solução : (nó A) i1+i3==i2
( nó B) i1+i4=i2
( nó C) i3+i6=i5
( nó D) i5=i4+i6
malha superior 2i2+4i1=8
malha 2i2+4i5=0
malha inferior 4i5 +5i6=10
resposta: (2,0,-2,-2,0,2)
8) BARROSO(1987, p.37), determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do
método de Eliminação de Gauss: 4 casas
a)
2x13x2x3−x4=6,9−x1 x2−4x3x4=−6,6
x1 x2x3x4=10,24x1−5x2x3−2x4=−12,3
solução exata do sistema
[−1 1 −4 1 −6,62 3 1 −1 6,91 1 1 1 10,24 −5 1 −2 −12,3
] pivo:-1 operações: 2L1+L2 ; 1*L1+L3 ; 4L1+ L4
[−1 1 −4 1 −6,60 5 −7 1 −6,30 2 −3 2 3,60 −1 −15 2 −38,7
] permutando L2 e L4
[−1 1 −4 1 −6,60 −1 −15 2 −38,70 2 −3 2 3,60 5 −7 1 −6,3
] pivo: -1 operações: 2L2+L3 ; 5*L2+L4
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[−1 1 −4 1 −6,60 −1 −15 2 −38,70 0 −33 6 −73,80 0 −82 11 −199,8
] pivo : -33 -2,4848*L3+ L4
[−1 1 −4 1 −6,60 −1 −15 2 −38,70 0 −33 6 −73,80 0 0 −3,9088 −16,4218
]x4=4,2012 x3=3,0002 x2=2,0994 x1=0,8998
b̃=[6,8968−6,6
10,2006−12,3
] resíduo=[0,0032
0−0,0006
0]
* todos os resíduos menores que 10-2
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b) PIVOTAMENTO PARCIAL
2.2 PIVOTAMENTO PARCIAL
2.2.1 Estratégias De Pivotamento
2.2.1.1 Pivotação parcial
▪ CLAUDIO(1989, p.76-79) , é o mesmo que algoritmo de Gauss, com um troca
de linhas sistemáticas, de modo a minimizar os erros de arredondamento.
▪ A escolha dos pivôs é feita da seguinte maneira:
1. é o elemento de maior valor absoluto na coluna 1
2. é o elemento de maior valor absoluto na coluna 2 da matriz-resto.
* outra variante técnica do pivotamento parcial é tornar os pivos unitários visando diminuir o
erro de arredondamento.
2.2.1.2 GILAT ( 2008, p. 124) Potenciais dificuldades encontradas com a aplicação do método
de eliminação de Gaus
a) o elemento pivo é igual a zero
• se o valor do pivo for igual a zero pode ser corrigido com a mudança da ordem das
linhas ( outro pivo diferente de zero) chamado de pivotação.
b)o elemento pivo é pequeno em relação aos demais termos da linha pivo.
• Ocorre erros de arredondamento significativos.
9) Seja o sistema linear SPF( 10,4,-10,10) :
0,0003x1 + 12,34x2=12,343
0,4321x1 +x2=5,321
soluçao exata: X=[101 ]
solução: [0,0003 12,34 12,3430,4321 1 5,321 ]
* usando notação de ponto flutuante o numero 12,343= 0,12343*102= 0,1234*102=12,34
[0,0003 12,34 12,340,4321 1 5,321]
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usando a eliminação de Gauss.
m1=-0,4321/0,0003=-1440,3333=0,14403333*104 =-1440 ( SPF(10,4,-10,10)
• -1440*12,34+1=-17768,6=-0,177686*105=0,1777*105=-17770
• -1440*12,34+5,321=-17764,279=-0,1776*105=-17760
[0,0003 12,34 12,340 −17770 −17760] x2=0,9994
operação realizada :m1*L1+L2
primeira linha
0,0003*x1+12,34*x2=12,34
0,0003*x1+12,34*0,9994=12,34
0,0003*x1+12,33=12,34
x1=33,33
Aplicando o pivotamento parcial
[0,4321 1 5,3210,0003 12,34 12,34] m1=0,0003/0,4321=0,0006943=0,6943*10-3
[0,4321 1 5,3210 12,34 12,34]
x2=1 x1=10
10) FRANCO( 2009, p.146-147) Através do método de eliminação de Gauss, resolver o
sistema linear:
0,0001x1+ x2=1
x1+x2=2
usando em todas as operações com tres digitos significativos.
X=[0;1]
solução :
[0,0001 1 11 1 2]
[0,0001 1 10 −9999 −9998] m1=-10000
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x2=1 e x1=0
11) Resolver pelo pivoteamento parcial
resposta: x=[1;1]
[ 1 1 20,0001 1 1] m1=-0,0001 [1 1 2
0 1 1] x1=1 x2=1
2.3.1 Exercicios
12) CLAUDIO (1987, p.89) Resolva o sistema linear com pivoteamento parcial usando 5
casas após a virgula:
2,4759 x1 +1,6235x2+4,6231x3=0,0647
1,4725 x1+ 0,9589x2-1,3253x3=1,0473
2,6951x1+2,8965x2-1,4794x3=-0,6789
[2,6951 2,8965 −1,4794 −0,67890 −0,62363 −0,51702 1,418220 −1,03743 5,98218 0,68839 ]
m1=-0,54636 m2=-0,91867
m1*L1+L2
m2*L1+L3
[2,6951 2,8965 −1,4794 −0,67890 −1,03743 5,98218 0,688390 0 −4,11309 1,00441 ]
m3=-0,60113
m3*L2+L3
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X=[ 1,84056−2,07169−0,24420] b̃=[
0,064691,04732−0,67889] b−b̃=resíduo=r=[
0,00001−0,00002−0,00001]
para calcular b̃ faz-se a substituição do X no sistema de equações.
13) BARROSO (1987, p.37) ,determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do
método da Pivotação parcial. * 4 casas após a virgula
a)
2x13x2x3−x4=6,9−x1 x2−4x3x4=−6,6
x1 x2x3x4=10,24x1−5x2x3−2x4=−12,3
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c) PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO
2.3 PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO
• Em sistema linear escolhe o elemento de maior módulo e não pertencente à coluna dos
termos independentes.
• Quando ocorre um pivo nulo deve-se efetuar uma troca de linhas para escolher um
pivo não nulo.
• Outra maneira de se evitar o pivo nulo é usar o método da pivotação completa.
• Esta pivotação minimiza a ampliação dos erros de arredondamento durante as
eliminação, sendo recomendado na resolução de sistemas lineares de maior porte.
BARROSO(1987, p.40).
14) BARROSO (1987, p.37) ,determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do
método da Pivotação Completa : 4 casas após a virgula
a)
2x1+3x2+ x3− x4=6,9−x1+x2−4x3+ x4=−6,6
x1+ x2+ x3+x4=10,24x1−5x2+ x3−2x4=−12,3
SOLUÇAO:
permutou a L1 com L4
4 −5 1 −2 −12,3−1 1 −4 1 −6,61 1 1 1 10,22 3 1 −1 6,9
pivo: -5
0,2*L1+L2
0,2*L1+L3
0,6*L1+L4
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4 −5 1 −2 −12,3−0,2 0 −3,8 0,6 −9,061,8 0 1,2 0,6 7,744,4 0 1,6 −2,2 −0,48
pivo: 4,4
permutou a L4 com L2
4 −5 1 −2 −12,34,4 0 1,6 −2,2 −0,481,8 0 1,2 0,6 7,74−0,2 0 −3,8 0,6 −9,06
operações L2 ~ L3 ; L2~L4
-0,4091*L2+L3 0,0455*L2+L4
4 −5 1 −2 −12,34,4 0 1,6 −2,2 −0,480 0 0,5454 1,5 7,93640 0 −3,7272 0,5 −9,0818
pivo: -3,7272 0,1463*L3+L4
permutar L4 ~L3
1,5731 x4=6,6077
VETOR SOLUÇAO: X=[0,9002
2,13
4,2004]
b̃=[6,9
−6,599810,2005−12,3
] resíduo=[0
−0,0002−0,0005
0]
* todos os resíduos menores que 10-3
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b)
4x13x22x3 x4=10x12x23x34x4=5x1−x2−x3−x4=−1x1x2x3 x4=3
4 3 2 1 10
0 1,25 2,5 3,75 2,5
0 -1,75 -1,5 -1,25 -3,5
0 0,25 0,5 0,75 0,5Pivo: 4
4 3 2 1 10
0 1,25 2,5 3,75 2,5
0 -1,3333 -0,6667 0 -2,6667
0 0 0 0 0Pivo:3,75 Pivo: -0,6667
primeira equação :
4*x1+3*x2+2*x3+1*x4=10
isolando a variável do pivo
x1=10−x4−2∗x3−3∗x2
4
segunda equação
1,25*x2+2,5*x3+3,75*x4=2,5
isolando a variável do pivo
x 4=2,5−1,25∗x 2−2,5∗x3
3,75
terceira equação
-1,3333*x2-0,6667*x3=-2,6667
isolando a variável do pivo
x2=−2,6667+0,6667∗x 3
−1,3333
quarta equação
0x3=0 (variável livre- aparece em todas as equações)
x3=λ
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15) BARROSO( 1987, p.41) Resolver o sistema linear , usando 5 casas após a vírgula:
0,8754 x1+3,0081 x2+0,9358 x3+1,1083 x4=0,84722,4579 x1−0,8758 x2+1,1516 x3−4,5148 x4=1,12215,2350 x1−0,8473 x2−2,3582 x3+1,1419 x4=2,5078
2,1015 x1+8,1083 x2−1,3232 x3+2,1548 x4=−6,4984
resposta: X=[1;-1;2;1]T
i) pivotamento total ii) pivotamento parcial iii) eliminação de Gauss
d) FATORIZAÇÃO LU
2.4 FATORIZAÇÃO LU
• Para KOLMAN (1999, p.443), uma matriz é decomposta como um produto de uma
matriz triangular inferior com uma matriz triangular superior.
• Esta decomposição leva o algoritmo para resolver um sistema linear Ax=b.
• A popularidade deste método faz com que forneça uma maneira mais “ barata” de
resolver um sistema linear quando se faz uma mudança no vetor b de Ax=b.
• A decomposição para resolver o sistema linear , onde U e´ a matriz triangular superior
e L e´ uma matriz triangular inferior.
• A matriz U e´ resolvida sem colocar a matriz aumentada [ U: b], e possuem todos os
elementos diagonais diferentes de zero.
• A solução é obtida de baixo para cima. Para a construção da matriz L, coloca-se na
diagonal principal iguais a 1.
• Colocar na primeira coluna L1 , respectiva os multiplicadores com sinal trocado e
assim por diante.
• Suponha que uma matriz A n x n pode ser escrita com um produto de uma matriz
triangular inferior L com uma matriz triangular superior U, ou seja : A=LU.
• Entåo diz-se que A tem uma fatorização LU ou decomposição LU.
• Substituindo A=LU, no sistema Ax=b, escreve-se (LU)x=b. Fazendo Ux=z , então essa
equação matricial fica escrita Lz=b.
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Segundo BURDEN (2003, p.339-341), esta fatoração e´ chamada de método de Doolitle e
requer que valores iguais a 1 estejam na diagonal de L.
Então as matrizes L e U podem ser escritas:
Para LAY (1999, p.125) , existem matrizes unidades triangulares inferiores E1...Ep tais que:
E p ... E1∗A=U
A=(E p... E3 .E 2. E1)−1∗U ou L=E1
−1∗E2−1∗E3
−1 ... EP−1
A=L*U
O método de Crout requer valores iguais a 1 estejam na diagonal de U Seja Ax=b
fonte:http://www.monografias.com/trabajos92/factorizacion-matrices/image023.png
• A=Lc*Uc
• A matriz Lc (matriz triangular inferior) possui diagonal principal diferente de zero e
diferente de 1 e é obtida da seguinte maneira:
• Lc=L*D ( as matrizes L e D são obtidas da fatoração LU, onde D é matriz diagonal
da matriz U) , esta matriz Lc é triangular inferior.
• Para obter a matriz triangular superior UC do método de Crout , divide cada linha
matriz U ( fatoração LU ) pelos elementos da diagonal principal.
• Então pode- se escrever :A=Lc*Uc
• ou a matriz pode ser fatorada na forma de:
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• A=L*D*Uc= Lc*UC
• L= matriz triangular inferior com diagonal igual a 1 da fatoração LU
• D= matriz diagonal de U
• UC= matriz triangular superior com diagonal principal igual a 1.
O esforço computacional
CUNHA(2009, p.34) , em um sistema triangular requer n2 operações.
• Para eliminação de Gauss requer 2n3
3+
3n2
2−
7n6
e para n grande 2n3
3• Na fatoração LU tem dois sistemas triangulares portanto requer 2n2 operações.
ALGORITMO DA FATORIZAÇÃO LU DOOLITLE
Os elementos da matriz L são os aij e os de U são os uij .
fonte: http://MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt
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2;,,1
1
,,2
2;,,
,,1
1
1
11
11
1
1
11
knkj
uau
nju
a
jnjkuau
nkau
k
iikjijk
kkjk
jj
j
iikjijkjk
kk
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2.4.1 EXERCICIOS
16)BURDEN( 2003, p.340), seja o sistema linear
x1 x23x4=42x1x2− x3x 4=1
3x1−x2−x32x4=−3−x12x23x3−x 4=4
U=[1 1 0 30 −1 −1 −50 0 3 130 0 0 −13
] L=[1 0 0 02 1 0 03 4 1 0−1 −3 0 1
]RESPOSTA: [ -1;2;0;1]T
17) BURDEN (2003, p.345) Resolver o seguinte sistema linear pelas seguintes fatorações:
2x1−x2+ x3=−13x1+ 3x2+ 9x3=03x1+ 3x2+ 5x3=0
i) Doolitle
solução 1:
passo1: eliminação de Gauss
A=[2 −1 13 3 93 3 5 ] U=[2 −1 1
0 4,5 7,50 4,5 3,5] U=[2 −1 1
0 4,5 7,50 0 −4 ] L=[ 1 0 0
1,5 1 01,5 1 1 ]
operações
m1=-3/2=-1,5 m1*L1+L2
m2=-3/2=-1,5 m2*L1+L3
m3=-4,5/4,5=-1 m3*L2+L3
passo 2: Ux=z e Lz=b
resposta: Z=[-1;1,5;0] X=[-1/3;1/3;0]
solução 2:
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L=[1 0 0
L21 1 0L31 L32 1 ] U=[
u11 u12 u13
0 u22 u23
0 0 u33] A=[2 −1 1
3 3 93 3 5]
ii) Crout
A=LDLc
a matriz Lc é obtida atraves da matriz U=[2 −1 10 4,5 7,50 0 −4 ] , dividindo cada linha pelo
elemento de cada diagonal, U c=[22
−12
12
04,54,5
7,54,5
0 0−4−4
] U c=[1 −0,5 0,50 1 5/30 0 1 ]
AC=[ 1 0 01,5 1 01,5 1 1 ][
2 0 00 4,5 00 0 −4] [
1 −0,5 0,50 1 5 /30 0 1 ]
L*D= L=[ 1 0 01,5 1 01,5 1 1 ][
2 0 00 4,5 00 0 −4]
= A=[2 0 03 4,5 03 4.5 −4] [
1 −0,5 0,50 1 5 /30 0 1 ]
A=(L*D) *Uc
iii) solução pela fatoração LU
Lz=b e Ux=z
resposta: Z=[-0,5;1/3;0] X=[-1/3;1/3;0]
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18) KOLMANN (1999, p.448) , resolver os sistemas lineares Ax=b pelas seguinte fatorações:
i) Doolitle ii) Crout
a) A=[ 2 3 4;4 5 10;4 8 2] b=[6;16;2]
solução
i) fatoração LU - doolitle
U=[2 3 40 −1 20 0 −2] L=[1 0 0
2 1 02 −2 1]
ii) crout
L=[1 0 02 1 02 −2 1] D=[2 0 0
0 −1 00 0 −2]
Lc=L∗D=[2 0 04 −1 04 2 −2]
• Na matriz Uc é obtida atraves da matriz U e para obter a diagonal principal 1 é preciso
dividir cada linha pelo elemento da diagonal principal.
U c=[22
32
42
0−1−1
2−1
0 0−2−2
] U c=[132
2
0 1 −20 0 1
] , então matriz A pode ser fatorada da seguinte
maneira:
Lc=L∗D=[2 0 04 −1 04 2 −2] U c=[1
32
2
0 1 −20 0 1
] , A=Lc*Uc ou pode ser decomposta na
forma : A=L*D* Uc
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L=[1 0 02 1 02 −2 1] D=[2 0 0
0 −1 00 0 −2] U c=[1
32
2
0 1 −20 0 1
]iii) solução do sistema linear pela fatoração LU.
• Lz=b
L=[1 0 02 1 02 −2 1] b=[
6162 ]
resposta : z=[ 64−2]
Ux=z
U=[2 3 40 −1 20 0 −2] z=[ 6
4−2]
x=[ 4−21 ]
iv) solução do sistema pelo método de Crout
• Lc*z=b
Lc=[2 0 04 −1 04 2 −2] b=[ 6
162 ]
resposta: Z=[ 3−41 ]
• Uc=Z
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U c=[132
2
0 1 −20 0 1
] Z=[ 3−41 ]
resposta: X=[ 4−21 ]
b) A=[ 2 8 0;2 2 -3;1 2 7] b=[18;3;12]
c)A=[ -3 1 -2;-12 10 -6; 15 13 12] b=[15;82;-5]
19)FRANCO (2009, p.128) Aplicando-se a fatoração LU A=[... ... 3 ...4 −1 10 8... −3 12 110 −2 −5 10
] obteve-se
as matrizes L=[... ... ... ...2 ... ... ...3 0 ... ..... ... 1 ...
] U=[... −1 ... 50 1 ... −2... 0 3 −40 ... 0 10
] . Preencher os espaços
pontilhados, usando o método de Doolitle.
Respostas: A=[ a11=2 a12=-1 a13=5 a31=6 ] L= diagonal principal igual a 1 , L31=0
L32=-2 ] U= [ u11=2 u12 =-1 u13=3 u23=4 ]
KOLMAN(1998, p.244) diagonalização de matrizes: B=P−1∗A∗P
A= matriz primitiva
P=autovetores
B=resulta na diagonal os autovalores
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e) FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY
2.5 FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY
• Em BURDEN (2003, p.349), o método de Cholesky, que requer que lii =uii para cada i.
• A matriz definida positiva é chamada definida positiva simétrica.
• Em PERESSINI (1988), a fatoração LLT resolve um sistema linear Ax=b onde U= LT
é uma matriz triangular superior com os elementos da diagonal positivos.
• Condição para uma matriz ser definida positiva de tamanho n xn:
• a) aii>0 para cada i=1,2,...,n
• b) xTAx>0 para todo vetor n-dimensional.
• c)determinante matrizes condutoras ou submatrizes são positivas.
• d) na eliminação de Gauss sem intercambio de linhas todos os pivôs positivos.
• Matriz nxn A e chamada de estritamente em diagonal quando
• é valido para cada i=1,2,...,n BURDEN (2003, p.346).
• KOLMANN(1998, p.399) uma matriz simétrica A é positica definida se e somente se
todos os autovalores são posítivos.
• A matriz L na fatorizaçao de Cholesky da matriz definida positiva pode ser calculada
pela seguinte matriz equação A=LLT.
[l11 ....
l 21l 22 ........
ln1 ln2 ... l nn] [
l11l 21 ... ln1
... l22 ... l n2
........l nn
] =A=L*LT
Para resolver o sistema Ax=b faz-se:
Lz=b e Lty=z
ou pode ser fatorada a matriz simétrica definida positiva conforme RUGGIERO ( 1996,p.147)
• A=GGT
• A=LU
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• A=LDLT
• U=DLT
D=√D diagonal da matriz U
A=(L∗D)∗(D∗LT) sendo G=L∗D A=GGT
2.5.1 Exercicios
20)BURDEN (2003, p.352-357)
a) Fatores a matriz A=(4 −1 1−1 4,25 2,751 2,75 3,5 ) pelos seguintes métodos :
i) doolitle ii) crout iii) cholesky
solução 1: doolitle
L=(1 0 0
−0,25 1 00,25 0,75 1) U=(
4 −1 10 4 30 0 1)
a diagonal principal :4.4,1 são autovalores da matriz U
solução 2: crout
Lc=L*D Uc= dividir cada linha pelo elemento da diagonal principal
(1 0 0
−0,25 1 00,25 0,75 1)(
4 0 00 4 00 0 1)(
4 /4 −1/4 1/40 4/ 4 3/40 0 1/1)
Lcrout=[4 0 0−1 4 01 3 1] U crout=[
1 −1 /4 1/40 1 3/40 0 1 ]
* Lcrout=U doolitle * matriz simétrica
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solução 3: cholesky
A matriz LDLT:
(1 0 0
−0,25 1 00,25 0,75 1)(
4 0 00 4 00 0 1)(
1 −0,25 0,250 1 0,750 0 1 )
* calcular a raiz quadrada da diagonal principal da matriz U ( doolitle)
(1 0 0
−0,25 1 00,25 0,75 1)(
√4 0 00 √4 00 0 √1)(
1 −0,25 0,250 1 0,750 0 1 )
(1 0 0
−0,25 1 00,25 0,75 1)(
√4 0 00 √4 00 0 √1)
G=(2 0 0
−0,5 1 00,5 1,5 1)
conclusão:
G=(2 0 0
−0,5 2 00,5 1,5 1) Gt
=(2 −0,5 0,50 2 1,50 0 1 ) A=(
4 −1 1−1 4,25 2,751 2,75 3,5 )
produto :G*Gt =A
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b) Mostrar que a matriz simétrica é definida positiva.
A=(2 −1 0−1 2 −10 −1 2 )
Dica: calcular os determinantes das submatrizes
c) Considere as matrizes A=
7 2 03 5 −10 5 −6
eB=
6 4 −34 −2 0−3 0 1
, mostre que é possível ou
não fatorar pela decomposição de Cholesky.
21) Resolva os sistemas lineares pela fatorações
i) doolitle ii) crout iii) cholesky
a) 2x1 –x2 =3
-x1 +2x2 –x3=-3
-x2 +2x3=1
b)
4x1 +x2 +x3+x4=0,65
x1 +3x2 –x3 +x4=0,05
x1- x2 +2x3 =0
x1+x2 + 2x4 =0,5
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22) FRANCO (2009,p.145) Aplicando-se o processo de Cholesky a matriz A, obteve-se :
A=[... 2 ... ...... 8 10 −83 10 14 −5... −8 ... 29
] =L*Lt onde L=[
1 ... ... ...2 ... ... ...... 2 1 ...0 −4 ... 2
] Preencher os espaços
pontilhados com valores adequados.
23) FRANCO (2009,p.159) Relacione os sistemas lineares :
I ) 3x2+ 2x3=5
x1+ 4x2+ x3=62x2+ 5x3=7
resposta: X=[111]
II) −2x1+ 2x2=−1x1+ 3x2− x3=3−x 2+ 2x3=1
resposta: X=[ 1,3570,85720,9286]
III) x1+ 2x2+ x3=4
2x1+ 6x2=8x1+ 4x3=5
resposta: Z=[401 ] X=[
111]
e resolva pela eliminação de Gauss ou decomposição de Cholesky.
24) Dada a matriz A=[2 1 −11 10 2−1 2 4 ] calcular A-1 utilizando o processo de Cholesky.
25) BURDEN( 2003,p.358) Encontre α de modo que A=[ α 1 −11 2 1−1 1 4 ] seja definida
positiva.
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f) MÉTODOS ITERATIVOS
2.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS LINEARES
• Para BURDEN (2003, p.381), os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel
surgiram no final do século XVIII.
• Estas técnicas são raramente utilizadas para solucionar sistemas lineares de pequenas
dimensões.
• Em sistemas grandes, com uma grande porcentagem de entradas zero, essas técnicas
são eficientes em termos tanto de calculo como de armazenamento.
• São sistemas que surgem na analise de circuitos e na solução numérica de problemas
de valor limite e equações diferenciais parciais.
• Esta técnica iterativa para resolver sistemas linear nxn Ax=b começa com um
aproximação inicial x(o) para a solução x e gera uma seqüência de vetores xK para k
=0 até ꝏ(infinito) , que converge para x.
• O sistema Ax=b e convertido em um sistema equivalente na forma x=Tx+c para
alguma matriz T e algum vetor c fixos.
• Quando o vetor inicial xo ter sido selecionado, a seqüência de vetores para aproximar
a solução ‘e gerada calculando-se:
xk=Txk−1
c para cada k=1,2,3...
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g) MÉTODO DE JACOBI
2.6.1 Metodo Iterativo de Jacobi
BURDEN(2003, p.383)
• A equação Ax=b ou (D-L-U)x=b , é transformada em Dx=(L+U)x+b, isolando x,
tem-se :
x=D−1LU xD−1 b para D matriz não singular.
• Resulta na forma matricial da técnica iterativa de Jacobi:
xk+1=D−1
(L+U ) x(k)+D−1 b para k=0,1,2,...
Introduzindo a notação T j=D−1LU e c j=D−1 b , então a técnica iterativa de Jacobi
passa a ter a forma xk+1=Txk+c
Critério de interrupção de Passo:
∥x k−xk−1∥∥xk∥
tol ( tol=tolerância)
Para BARROSO (1987, p.52), continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios seja
satisfeito:
max∣xk1− xk∣tol
ou k>M , M=numero maximo de iterações.
Nota: a tolerância (Epsílon) fixa o grau de precisão das soluções.
2.6.1.1Criterio de Convergencia para o Método de Jacobi
a) BARRROSO (1989,p.67) Criterio das Linhas: é condição suficiente para que a iteração
convirja, que:
∣a ii∣> ∑j=1 e j≠i
n
∣aij∣ para i=1,2,..n
b) Criterio das colunas:é condição suficiente para que a iteração convirja, que:
∣a jj∣> ∑i=1ei≠ j
n
∣aij∣
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Na pratica são usados criterios de suficiencia de convergência tanto para o metodo de Jacobi
e Gauss-Seidel.
Este Criterio de convergência para o metodo de Jacobi converge testanto se a matriz dos
coeficientes é estritamente diagonalmente dominante.FRANCO (2009, p.173)
26)O Sistema linear Ax=b dado por
10x1 –x2 +2x3=6
-x1 +11x2 –x3+3x4=25
2x1-x2+10x3-x4=-11
3x2-x3+8x4=15
resolva pelo método de Jacobi.
X o [0000] , e o critério de parada ϵ<10−3
solução:
isolar cada variável x1,x2,x3,x4 e encontrar as equações e compor a matriz T com
a diagonal igual a zero.
xk=Txk−1
c
Construir uma tabela para x1,x2,x3 e x4
Usar o vetor inicial nulo.
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Sintaxe: E(ABS(C5-C4)<10^-3;ABS(D5-D4)<10^-3;ABS(E5-E4)<10^-3;ABS(F5-F4)<10^-3)
2.6.1.2 Exercicios
27) Obtenha as 4 primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares,
usando xo=0.
a)3x1-x2+x3=1
3x1+6x2+2x3=0
3x1+3x2+7x3=4
28) Resolva o seguinte sistema linear :
a) [1 0 02 1 0−1 0 1 ][
2 3 −10 −2 10 0 3 ] [
x1x2x3]=[
2−11 ]
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k x1 x2 x3 x40 0 0 0 01 0,6000 2,2727 -1,1000 1,8750 FALSO2 1,0473 1,7159 -0,8052 0,8852 FALSO3 0,9326 2,0533 -1,0493 1,1309 FALSO4 1,0152 1,9537 -0,9681 0,9738 FALSO5 0,9890 2,0114 -1,0103 1,0214 FALSO6 1,0032 1,9922 -0,9945 0,9944 FALSO7 0,9981 2,0023 -1,0020 1,0036 FALSO8 1,0006 1,9987 -0,9990 0,9989 FALSO9 0,9997 2,0004 -1,0004 1,0006 FALSO
10 1,0001 1,9998 -0,9998 0,9998 VERDADEIRO
criterio de parada
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h) MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
2..6.2 Método Iterativo de Gauss-Seidel
• A forma matricial do método de Gauss-Seidel é:
(D-L)xk=Uxk-1+b
Isolando xk tem-se:
xk= (D-L)-1Uxk-1+(D-L)-1b
• Em LAY (1999),uma matriz A, nxn é chamada de estritamente dominante se o modulo
de cada elemento da diagonal principal é maior que a soma dos módulos dos outros
elementos da sua linha.
• A velocidade de convergência depende do quanto os elementos da diagonal principal
dominam as somas de linhas correspondentes.
2.6.2.1 Criterio de Convergência para o Método de Gauss-Seidel.
FRANCO ( 2009,p.177-178) , o metodo de Gauss-Seidel converge se :
a) criterio de Sassenfeld for satisfeito :
max1in
i1 onde os Βi=αs são calculados por recorrencia através de :
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fonte:http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/metnum/condicao_para_convergencia.htm
nn - ordem do sistema linear que se deseja resolver
aij - coeficientes das equações do sistema
Este critério garante que o método de Gauss-Seidel convergirá para um dado SEL se a
quantidade M, definida por:
M= max1≤i≤n
βi for menor que 11 (M<1M<1).
29) O sistema linear dado
10x1 –x2 +2x3=6
-x1 +11x2 –x3+3x4=25
2x1-x2+10x3-x4=-11
3x2-x3+8x4=15
resolva pelo metodo de Gauss-Seidel.
Solução:
30)Mostre que o método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que converge para a solução do
seguinte sistema, desde que as equações estejam devidamente arrumadas:
x1-3x2+x3=-2
-6x1+4x2+11x3=1
5x1-2x2-2x3=9
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k x1 x2 x3 x4 criterio de parada0 0 0 0 01 0,6000 2,3273 -0,9873 0,8789 FALSO2 1,0302 2,0369 -1,0145 0,9843 FALSO3 1,0066 2,0036 -1,0025 0,9984 FALSO4 1,0009 2,0003 -1,0003 0,9998 FALSO5 1,0001 2,0001 -1,0002 0,9998 VERDADEIRO
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2.6.3 Exercicios
31) FRANCO (2008, p.194) Considere cada um dos seguintes sistemas lineares :
I)3x1−3x27x3=18
x16x2− x3=1010x1−2x27x3=27
II)x12x25x3=20x13x2x3=10
4x1x22x3=12
a) sem rearranjar as equações, tente achar as soluções iterativamente, usando os métodos de
Jacobi e Gauss-Seidel, começando com xo=1,001 ,2,01,3 ,01t .
b) rearranje as equações de tal modo que satisfaçam os critérios de convergência e repita o
que foi feito no item (a).
c)verifique suas soluções nas equações originais.
i) NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO
2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO
• BARROSO ( 1987, p.74), para avaliar a precisão da solução x do sistema Ax=b, o
resíduo r=b−A∗x̂ , onde x̂ é a solução computada.
• Se x for uma boa aproximação para x , é esperado que as componentes de r seja
valores pequenos.
• Valores pequenos para as componentes do resíduo podem não indicar que x seja
uma boa aproximação para x.
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32) a) Seja o sistema linear
x1+ 1,001x2=2,001
0,999x1+ x2=1,999
• a solução exata do sistema [ 1;1] r=[0;0]
• para x =[2; 0,001] o resíduo r=[-0,00001; 0]
b)x1+ 1,001x2=2
0,999x1+ x2=1,999
solução: [-999;1000] resíduo=[0;0]
*o sistema é mal condicionado
c) Seja o sistema linear:
0,992x + 0,873y=0,119
0,481x+0,421y=0,060 solução :[1,-1]T
d) 0,992 x +0,873y=0,12 ( valor perturbado)
0,481x+0,421y=0,060
solução:[0,8154 ; -0,7891]
e) Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert.
Aij=1
i j−1
Um modo de se detetar o mal condicionamento é através do determinante normalizado da
matriz dos coeficientes do sistema dado; se o determinante normalizado for sensivelmente
menor que a unidade, o sistema será mal condicionado.
Se A é uma matriz de ordem n , seu determinante normalizado, denotado por det(Norm A) é
dado por :
det norm A=det A12 ...n
onde =i ,12i ,2
2i ,n
2
2.7.1 Norma Matricial
Segundo FRANCO (2008, p.16-17) , seja A uma matriz (nxn) . Define-se:
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∥A∥∞ = máx1in∑j=1
n
∣aij∣ ( norma linha)
2.7.1.1 Exercicios
33) Considere as matrizes A=[2 13 2] , B=[
3 2 12 2 13 3 2] C=[
2 1 3 −14 3 8 26 7 10 13 −1 0 1
] , calcule
∥A∥∞ ∥B∥∞ ∥C∥∞ .
34)BURDEN (2003, p.372),seja a a matriz A=[1 2 1;0 3 -1;5 -1 1] calcule a ∥A∥∞ .
35)Seja o sistema linear x1+2x2+3x3=1
2x1+3x2 +4x3=-1
3x1+4x2+6x3=2
sendo dado X=[0 ;−7 ;5]T solução geral e X=[−0,33 ;−7,9 ;5,8]T solução aproximada
calcule : ∥X− X∥∞e∥A X−b∥∞ Respostas: 0,9 e 0,27.
• Para CLAUDIO (1989, p.79-84), seja um sistema sistema linear Ax=y e os vetores
soluções x1 e x2 duas aproximações exata para x.
• Qual das aproximações é melhor?
• Uma forma trivial seria calcular os resíduos dados por r1=y-Ax1 e r2=y-Ax2.
36)Seja o sistema linear:
0,24x+0,36y+,12z=0,84
0,12x+0,16y+0,24z=0,52
0,15x+0,21y+0,25z=0,64
e sejam x1=[25,-14,-1]T e x2=[-3,4,0]T
Os resíduos são :
[ 0 0 0,08] e [0,12 0,24 0,25]
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A solução exata : [-3,4,1]T , embora modulo r1 < modulo de r2, a solução de x2 é melhor que
x1.
Conclusão:
Nem sempre a aproximação de menor resíduo é a melhor ou mais exata.
Um problema é dito mal condicionado se pequenas alterações nos dados de entrada
ocasionam grandes erros no resultado final.
Quando o sistema linear é 2x2 é fácil de verificar ( construção das retas) , mas quando
aumenta o tamanho do sistema é preciso um meio de medir este condicionamento.
Seja o sistema linear Ax=b e o sistema linear com alguma perturbação Ax=b’ . Então a
solução Ax=b’ é x’ .
Qual é a modificação em x , sabendo que b foi alterado para b’ .
Ax=b
A(x-x’)=b-b’
(x-x’)=A-1(b-b’)
Aplicando a norma de vetores, indicada por uma barra e a norma de matrizes indicada por
duas barras ∥.∥∞ .
Aplicando uma propriedade de norma de matrizes:
∣x−x '∣≤∥A−1∥∣b−b '∣ (1)
Divindo por |x|:
∣x−x '∣∣x∣
≤∥A−1
∥
∣x∣∣b−b '∣
Pode-se escrever :
∥x∥≤∥A−1∥∥b∥
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1∥x∥
≤∥A∥∣b∣
(2)
Multiplicando as equações (1) e (2) ambos os membros.
∣x−x '∣∣x∣
≤∥A−1∥∥A∥∣b−b '∣∣b∣
valor relativo provocado pela alteração
dos sistema linear de b para b’
fator de
ampliação
valor relativo de perturbação
feita no sistema Ax=b
A definição de condicionamento é dado por:
cond (A)= ||A||* ||A-1||
FRANCO (2008, p.153) o cond (A) será considerado grande quando valer por volta de 10000
ou mais. Então o sistema será mal condicionado.
37)Sejam os sistemas lineares
a) x1+ 1,001x2=2,001
0,999x1+ x2=1,999
b)0,992x + 0,873y=0,119
0,481x+0,421y=0,060
calcule cond (A)= ||A||* ||A-1|| e verifique se os sistemas são mal ou bem condicionado.
38) ARENALES (2008, p.49) Considere o sistema linear :
a) [1 11 1.00001][ x1
x2]=[ 2
2.00001] b) [1 11 1.00001][ x1
x 2]=[ 2
1.9999]resolva-os e calcule o condicionamento das matrizes e escreva se é mal ou bem condicionado.
39) BURDEN ( 2003, p.402) O seguintes sistemas lineares Ax=b tem x como solução real e
x̃ como soluçaõ aproximada. Calcule ∥x− x̃∥∞ ; K (A)∞ ; ∥b−A x̃∥∥A∥∞
a) [3,9 1,66,8 2,9][ x1
x2]=[5,5
9,7] X=[11] X̃=[0,981,1 ]
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b) x1 +2x2 =3
1,0001 x1 +2x2=3,0001
X=[11] X̃=[0,961,02]
J) MATRIZ INVERSA PELA ADJUNTA
. Cálculo da matriz C dos cofatores de A. Seja A, a matriz , então a matriz C dos cofatores
de A é
Cofator Ai,j do elemento a11 (1):
Cofator Ai,j do elemento a12 (3):
Cofator Ai,j do elemento a21 (2):
Cofator Ai,j do elemento a22 (0):
De posse dos valores dos cofatores escrevemos a matriz C dos
cofatores:
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3. Cálculo da matriz Adjunta de A.A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto
é:
A = Ct
Portanto temos:
4. Cálculo da inversa A-1, pelo teorema
encontrados anteriormente no teorema temos:
Multiplicando pelos elementos da matriz A, obtemos enfim a inversa de A.
fonte:http://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-matriz-adjunta/
L) USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO
2.8 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA
• SOLUÇAO NO WXMAXIMA PELO COMANDO TRIANGULARIZE
• INFORMA A MATRIZ MATRIZ AMPLIhADA DO SISTEMA.
(%i4) Matrix([2,3,1,-1,6.9],[-1,1,-4,1,6.6],[1,1,1,1,10.2],[4,-5,1,-2,-12.3])
• LINHA DE COMANDO: triangularize(%i4);
(%o9)matrix([20,30,10,-10,69],[0,-2200,-200,0,-5220],[0,0,-6000,-16500,-87300 [0,0,0,-
322500,-1750500])
*a matriz fica tela em forma de matriz escalonada ou triangularizada.
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* para resolver este sistema linear utilizando o comando TRIANGULARIZE , neste caso
precisa-se de uma calculadora.
EXERCICIO NUMERO 10
SOLUÇÃO 1:WXMÁXIMA
(%i2) algsys([x=2*t, x=4*z, y=z, 2*y=t], [x,y,z,t]);
(%o2) [[x=%r1,y=%r1/4, z=%r1/4,t=%r1/2]]
%r( variável livre que pode ser atribuida como w
t=w/2 z=w/4 y=w/4 x=w
SOLUÇÃO 2 : SCILAB
A=[1 0 0 -2;1 0 -4 0;0 1 -1 0; 0 2 0 -1]
b=[0;0;0;0]
X8=linsolve(A,-b)
* encontra apenas solução nula
disp('comando RREF ')
disp('matriz ampliada do sistema')
Ab8=[A8,b8]
disp('forma escada ')
X81=rref(Ab8)
[1 0 0 −2 00 1 0 −0,5 00 0 1 −0,5 00 0 0 0 0
]* a partir desta matriz na forma escada tem que resolver a mão este sistema linear.
SOLUÇÃO 1 : SCILAB COMANDO : linsolve
A=[ 2 -1 3;4 -3 2;1 1 1; 3 1 1]
b=[11;0;6;4]
X=linsolve(A,-b)
SOLUÇÃO 2 : SCILAB COMANDO : RREF
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disp('comando RREF ')
disp('matriz ampliada do sistema')
Ab=[A,b]
disp('forma escada ')
X2=rref(Ab)
SOLUÇÃO 3 : WXMÁXIMA
COMANDOS: EQUAÇÕES/SISTEMAS LINEARES /NUMERO DE EQUAÇÕES/ DIGITAR
AS VARIÁVEIS
(%i1) linsolve([2*x-y+3*z=11, 4*x-3*y+2*z=0, x+y+z=6, 3*x+y+z=4], [x,y,z]);Dependent
equations eliminated: (4)(%o1) [x=-1,y=2,z=5]
* aqui é possível ver quando o sistema é possível e indeterminado, uma solução e impossível.
APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA
• (%i10) matrix([3,2], [1,6]);
• (%o10) matrix([3,2],[1,6])
• (%i11) lu_factor (%o10);
• (%o11) [matrix([3,2],[1/3,16/3]),[1,2],generalring]
• (%i12) get_lu_factors(%o11);
• (%o12) [matrix([1,0],[0,1]),matrix([1,0],[1/3,1]),matrix([3,2],[0,16/3])]
APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB
>> A=[ 3 2;1 6]
>> [L,U,P]= lu(A) *P=matriz permutação
2.5.2 Aplicações da Ferramenta Matematica Scilab>>L =chol(A) * resultado matriz triangular superior e a matriz triangular inferior
fazer transposta: L'*L=B
2.5.3 Aplicações da Ferramenta Matematica wxmaxima • (%i12) matrix( [4,3], [3,8]);
• (%o12) matrix([4,3],[3,8])
• (%i13) cholesky (%o12);
• (%o13) matrix([2,0],[3/2,sqrt(23)/2])
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40) Exemplo: Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert
USANDO O WXMAXIMA:
(%i1) h [i, j] := 1 / (i + j - 1);
1(%o1) h := --------- i, j i + j - 1(%i2) genmatrix (h, 3, 3); [ 1 1 ] [ 1 - - ] [ 2 3 ] [ ] [ 1 1 1 ](%o2) [ - - - ] [ 2 3 4 ] [ ] [ 1 1 1 ] [ - - - ] [ 3 4 5 ]
fonte: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html
Função: mat_cond (M, 1)
Função: mat_cond (M, inf)
• Retorna o número condiciona da norma de ordem p da matriz m.
• Os valores permitidos para p são 1 e inf.
• Essa função utiliza a factorização linear alta para inverter a matriz m.
• Dessa forma o tempo de execução para mat_cond é proporcional ao cubo do tamanho
da matriz;
• lu_factor determina as associações baixa e alta para o número de condição de norma
infinita em tempo proporcional ao quadrado do tamanho da matriz.
• (%i6) matrix( [1,2], [5,9]);
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• (%o6) matrix([1,2],[5,9])
• (%i7) mat_cond(%o6,1);
• (%o7) 154
• (%i8) mat_cond(%o6,inf);
• (%o8) 154
• a principio esta calculando a norma infinita pelas linhas
• ou
• mat_norm(A,inf); norma infinita das linhas
APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB
-->A=[1 2; 5 9]
A =
1. 2.
5. 9.
-->cond(A)
ans = 110.99099
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numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo, SP: Thomson
Learning, 2008. x, 364 p.
• KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações. 6a edição. RJ.
Editora LTC.1999.
• BARROSO, L.C. et. al. Cálculo Numérico(com aplicações) 2.ed. SP. Editora
Harbra.1987.
• BURDEN, R.L e FAIRES, J.D. Analise Numérica. Pioneira Thomson Learning.
2003.
• LAY, D. C. Algebra Linear e suas aplicações.2a edição Editora LTC.RJ. 1999.
• PERESSINI, A. L.et .al. The Mathematics of Nonlinear Programing.USA.1988.
• CLAUDIO, D.M e MARINS, J.M.Calculo Numérico Computacional.Teoria e
Pratica.Editora Atlas.SP.1989.
• LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de
Janeiro, RJ: LTC, 2011. xi, 451p. ISBN 85-216-1150-1.
• STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Álgebra Linear.2.ed. SP.McGRaw-Hill.1987.
• BOLDRINI, L. J.et.al. Algebra Linear. 3a edição. SP. Editora Harbra. 1980.
• BATSCHELET, E. Introdução A Matemática para Biocentistas. SP.Editora da
Universidade de São Paulo.1978.
• Disponivel em MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt acessado em
16/02/2009.
• Disponivel em http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html,
acessado em 17/09/2009.
• FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. São Paulo, SP: Pearson Prentice Hall,
2009. xii, 505 p. ISBN 8576050870.
• disponível em www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/.../CN_Sistemas_%20Parte2.ppt -,
acessado em 31/03/2011.
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• GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish. Métodos numéricos para engenheiros e
cientistas: uma introdução com aplicações usando o MATLAB . Porto Alegre:
Bookman, 2008. 479 p
• Disponível em http://www.monografias.com/trabajos92/factorizacion-
matrices/image023.png, acessado em 01/11/2013.
• fonte:http://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-matriz-
adjunta/ , acessado em 16/04/2014.
• Disponível em
http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/metnum/condicao_para_convergencia.htm,
acessado em 01/09/2014.
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